Matematická úloha o závěti Martina Bečvářová Ústav aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT v Praze Na Florenci 25 Praha 1, 110 00
Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská 83 Praha 8, 186 75
[email protected]
• Od nepaměti byly velmi citlivě vnímány otázky dědictví, poslední vůle a sestavení platné závěti. • Různá psaná a nepsaná pravidla a zákony komplikovaly poslední vůli zůstavitele. • Představy a přání pozůstalých často takřka znemožňovaly „spravedlivé“ rozdělování pozůstalosti, vedly k rodinným sporům a soudům, někdy i bojům a válkám. • Na jedné matematické úloze si ukážeme, jak v různém období byla tato problematika matematicky vnímána a řešena.
Úlohu o dědictví poprvé formuloval římský právník Salvius Iulianus (přelom 1. a 2. st. n. l.) • římský praetor, 2x konzul, praefekt urbi • redigoval Edictum perpetuum (nové právní předpisy císaře Publia Aelia Hadriana (asi 76–138) platné pro celou římskou říši) • autor spisu Digesta (90 knih = kapitol) – rozsáhlý výklad římského práva (vliv na evropskou tradici)
Salvius Iulianus (Právnická fakulta, Univerzita, Berlín)
Starořímská úloha – 2. st. n. l.
Jeden umírající člověk řekl: „Jestliže se mé ženě narodí syn, ať mu patří dvě třetiny jmění a zbytek ženě. Jestliže se narodí dcera, ať jí patří třetina a ženě dvě třetiny.“ Narodila se dvojčata – syn a dcera. Jak se má rozdělit jmění, aby se splnila závěť nebožtíka? [Ko, str. 70]
Římská odpověď: jmění syna, vdovy a dcery nebožtíka musí být rozděleno v poměru
4 : 2 : 1. syn : matka dcera : matka
~ 2/3 : 1/3 → 2 : 1 ~ 1/3 : 2/3 → 1 : 2
Syn dostane dvakrát tolik, co dostane matka, matka dostane dvakrát tolik, co dostane dcera.
Poznámky • • • •
klasická a oblíbená úloha římských právníků jasná formulace zadání stručná pravidla „dědictví“ logické, názorné a srozumitelné řešení
• jednoznačné povinnosti dědice (např. syn má povinnost starat se o matku, pokud se znovu neprovdá, povinnost starat se o sestru, dokud se neprovdá a musí jí zajistit věno, proto dědí největší díl, matka má povinnost připravit pro dceru věno, proto dědí větší díl než dcera)
Matematická literatura • M. Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Band I, Teubner, Leipzig, 2. vydání, 1894 (úloha na str. 523). • A. G. Konforovič: Významné matematické úlohy, SPN, Praha, 1989.
Obecná literatura • Encyklopedie antiky, Academia, Praha, 1973. • Slovník antické kultury, Svoboda, Praha, 1974.
al-Chorezmi (asi 783 až 847) Abú Abdalah Muhammad ibn Músa al-Chorezmi (též al-Chwarizmí) • slavný arabský matematik, astronom, encyklopedista první poloviny 9. století
• učenec na dvoře chalífa al-Mamúna (asi 786–833) • nejprve pracoval v Mervu (dnešní Mari v Turkmenistánu) • potom v Bagdádu (správce Domu moudrosti) • autor řady prací o aritmetice, algebře, geometrii, astronomii, geografii, konstrukci astrolábu a slunečních hodin, kalendáři apod.
Krátká kniha o počítání algebry a almukabaly [Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala]
• vliv na rozvoj arabské i evropské algebry (úpravy algebraických výrazů, „řešení“ rovnic prvního a druhého stupně, geometrické důkazy správnosti postupu řešení, trojčlenka, řetězový a směšovací počet, převody měr a vah, přepočet peněz, výpočty obsahů rovinných útvarů, resp. výpočty jejich jednotlivých prvků, aplikace algebry na úlohy z kupecké a právnické praxe)
4. část – Kniha o závětích • dělení majetku podle pravidel islámského práva • vliv právníka Abu Hanifa (asi 699–767) zakladatel první muslimské právní školy (tzv. hanafíjská škola), která ponechávala místo vlastnímu úsudku její stoupenci vytvořili právní systém dominantní v pozdější Osmanské říši, Střední Asii a Indii
• Jestliže řeknou: žena zemřela a zanechala svého muže, syna a tři dcery. Dále ona odkázala jiné osobě jednu osminu a jednu sedminu svého majetku. • Pravidlo je takové: určíš počet dílů neopominutelného dědictví, tj. vezmeš jich dvacet. Vezmi majetek a odečti od něj jednu osminu a jednu sedminu. Zůstane matek bez jedné osminy a jedné sedminy. Doplň svůj majetek, tj. přičti k němu patnáct čtyřicetijednin. Vynásob počet dílů neopominutelného dědictví, tj. dvacet, čtyřiceti jednou, dostaneš osm set dvacet. Přičti k tomu patnáct čtyřicetijednin toho, tj. tři sta, dostaneš, že všeho je tisíc sto dvacet. Osoba, které bylo odkázáno, dostane z toho jednu osminu a jednu sedminu. Jedna osmina a jedna sedmina je tři sta, protože jedna sedmina je sto šedesát a jedna osmina je sto čtyřicet. Zůstane osm set dvacet, které se rozdělí mezi dědice podle jejich podílů. [BK, str. 134]
Poznámky nutno detailně znát pravidla o rozdělování dědictví existují neopominutelní dědicové (manžel, manželka, děti) k dobrému mravu patří odkázat část majetku na dobročinné účely bezdětné manželství: muž dědí jen polovinu ženina majetku, zbytek na dobročinné účely manželství s dětmi: muž dědí čtvrtinu ženina majetku, syn dvojnásobek toho, co dědí dcera atd.
Komentář Díl neopominutelného dědictví obvykle činí alespoň 3/20 (tj. 15 procent), tj. majetek se musí dělit 20. Podle nevyslovených (ale platných) pravidel dostane: • muž 5 dílů, • syn 6 dílů, • každá dcera 3 díly.
Závěť 1/7 + 1/8 = 15/56 je odkázáno další blíže nespecifikované osobě. Podle islámského práva se tento majetek oddělí od celého majetku jako první, teprve zbytek se dělí podle závěti. 1 – 15/56 = 41/56 se rozdělí na 20 dílů, tj. Jeden díl neopominutelného dědictví obnáší 41/1120.
muž
5 x 41/1120 = 205/1120
syn
6 x 41/1120 = 246/1120
každá dcera
3 x 41/1120 = 123/1120
další osoba
300/1120
Komentář • majetek je tedy dělen na 1120 dílů • jsou uvedeny podmínky dědění, ale není uvedena konkrétní částka • tato část al-Chorezmiho spisu nebyla v Evropě často studována, neboť popis řešení nebyl bez znalosti islámského práva srozumitelný a pochopitelný • majetek odkazuje žena ??? • závěť sestavuje žena (v evropské tradici byl umírajícím muž) ???
Mešita Imána Abu Hanifa
Literatura • Muhammad ibn Músa al-Chorezmi: Matěmatičeskije traktaty, Taškent, 1983. • J. Baštinec, Z. Kohoutová: Muhammad ibn Músa al-Chorezmi, in J. Bečvář, E. Fuchs (eds.): Matematika v proměnách věků I, edice Dějiny matematiky, sv. č. 11, Prometheus, Praha, 1998, str. 125– 141.
• A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977. • S. Ch. Siraždinov, G. P. Matvievskaja: Al-Chorezmi – vydajuščijsja matěmatik i astronom sredněvjekovja, Prosveščenije, Moskva, 1983.
Alkuin (asi 735–804) • • • • • • •
studoval na katedrální škole v Yorku později učitel a správce knihovny uznávaný západoevropsky vzdělanec a učenec 781 se v Parmě setkal s Karlem Velikým (747–814) pracoval na jeho dvoře pověřen organizací vzdělávacího systému 796 na vlastní žádost jmenován opatem kláštera svatého Martina v Tours
• dílo: Propositiones ad acuendos iuvenes
35. úloha Nějaký otec rodiny zanechal děti a majetek 960 zlatých a těhotnou manželku. Nařídil, kdyby se jí narodil chlapec, aby dostal z celkového množství tři čtvrtiny, to jest 9 uncí, a matka aby dostala jednu čtvrtinu, to jest 3 unce. Kdyby se však narodila dcera, aby dostala 7 uncí, a matka aby dostala 5 uncí. Stalo se však, že se narodila dvojčata, a to chlapec a děvče. Ať rozřeší, kdo může, kolik dostane matka a kolik syn a kolik dcera. [Ma, str. 34]
Před sestavením závěti …
• Propositio de obitu cuiusdam patrisfamilias. Quidam paterfamilias moriens reliquit infantes et in facultate sua solidos DCCCCLX et uxorem praegnantem. Qui iussit, ut, si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrantem, hoc est, uncias VIIII, et mater ipsius acciperet quadrantem, hoc est, unicas III. Si autem filia nasceretur, acciperet septuncem, hoc est, VII uncias, et mater ipsius acciperet quincuncem, hoc est, V uncias. Contigit autem, ut geminos parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui potest, quantum accepit mater vel quantum filius quantumve filia. [Ma, str. 80]
Solutio. Iunge ergo VIIII et III, fiunt XII. XII namque unciae libram faciunt. Prorsusque iunge similiter VII et V, faciunt iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII. XXIIII autem unciae faciunt duas libras, id est, solidos XL. Divide ergo per vicesimam quartam partem DCCCLX solidos: vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deinde duc, quia facit dodrans, XL in nonam partem. Ideo novies fiunt XL accepit filius, hoc est, XVIII libras, quae faciunt solidos CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium accepit et quintam contra filiam, III et V fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur, quod faciat bis sive bisse, XL in parte octava. Octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXX. Deinde duc, quia legitur, quod faciat septunx sive septus, XL in VII partibus. Postea duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX. Hoc filia accepit. Iunge ergo CCCLX est CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCVLX solidi et XLVIII librae. [Ma, str. 80–81]
Řešení podle římského (tj. našeho) práva Jmění syna, vdovy a dcery nebožtíka musí být rozděleno v poměru 15 : 5 : 7. syn : matka matka : dcera dcera … 7/5x matka … x syn … 3x
~ 3/4 : 1/4 → 3 : 1 → 5:7 syn
15/27
533,3 zlatých
dcera
7/27
248,9 zlatých
matka
5/27
177,8 zlatých
Alkuinovo řešení • ku podivu neodpovídá římské právní tradici • odráží církevní tradici ??? • uměle vytvořené řešení ???
syn dcera matka
Alkuin 18 liber 14 liber 16 liber
římsky 26.666 liber 12,444 liber 8,888 liber 0,002 libry na zaokrouhlení
Poznámky 20 zlatých = 1 libra 960 zlatých = 48 liber Nesrozumitelná může být formulace: z celkového množství tři čtvrtiny, to jest 9 uncí, a matka aby dostala jednu čtvrtinu, to jest 3 unce. 1 unce = 1/12 celku (užito v římském smyslu), 12 uncí je jedna jednotka vyššího řádu, 9 uncí jsou 3/4 celku, 3 unce jsou 1/4 celku.
Alkuinův postup Po narození dvou dětí je třeba majetek rozdělit na dvě poloviny a každou polovinu pak samostatně dělit podle pravidla uvedeného stanoveného v závěti. 1. polovina majetku syn … 3/4 x 1/2 = 3/8 matka … 1/4 x 1/2 = 1/8
2. polovina majetku dcera … 7/12 x 1/2 = 7/24 matka … 5/12 x 1/2 = 5/24
• syn 9/24 majetku … • dcera 7/24 majetku … • matka 8/24 majetku …
360 zlatých = 18 liber 280 zlatých = 14 liber 320 zlatých = 16 liber
• Proč Alkuin řeší takto? jiná dědická práva v době Karla Velikého matematická konstrukce „aby to pěkně vyšlo“ chybné řešení při tomto dělení je zvýhodněna matka (dělení je „spravedlivější“)
Literatura • K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Prometheus, Praha 2001, 101 stran.
Ondřej Klatovský z Klatov (asi 1504–1551) Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom niekteré welmi užitečné regule a exempla mince rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie sebrané ..., Norimberk, 1530 (2. vydání, Praha, 1557) • Ondřej Šimkovič z Klatov (též Andreas Glatoviensis) • bakalář UK (1524), matematik • účastnil se bojů proti císaři a králi Ferdinandu I. (1503–1564) • 1547 vypovězen z Čech, ale směl se usadit a vyučovat matematiku v Olomouci
1. část zápis čísel (indoarabské i římské cifry), písemné algoritmy základních aritmetických operací, zkoušky (7, 9), vlastnosti aritmetické posloupnosti, matematická podstata a užití trojčlenky 2. část totéž na linách (oblíbená počítací pomůcka)
3. část počítání se zlomky (základní operace) a jednoduché slovní úlohy řešitelné z paměti 4. část slovní úlohy ze života (obchod, dědictví), trojčlenka, řetězový počet, diofantické rovnice, směšovací počet, procenta a úroky
Standardní zpracování učebního textu. Autor se řídil osvědčenými zdroji.
Jiný příklad (důležitý zvláště pro právníka) jest tento: „Jeden měštěnín ležel nemocen k smrti a měl ženu těhotnou, kterýžto udělal kšaft takový: jest-li by po jeho smrti porodila syna, tehdy ten syn aby 3/4 statku a zboží měl a máti ostatek, jestli by pak dceru porodila, tehdy třetí díl statku aby dceři a mateři ostatek. Nu ten jistý měštěnín umřel, statku po sobě pozůstaviv 2000 zl. Žena jeho však porodila syna i dceru, otázka co se tomu synu, té dceři a mateři podle kšaftu zřízeného dostati má spravedlivě.”
Dělej takto; poněvadž dcera nejméně má, vezmi před sebe počet, který se ti líbí, jako 2, mateři 6, synu 18, tyto počty v hromadu sumůj, budeš míti obecný divisor, jako zde 26
2000
dcera 2, facit matka 6, facit syn 18, facit === 26 [Še, str. 42–43]
153 11/13 zl. 462 7/13 zl. 1384 8/13 zl.
Klatovského přístup Užil klasickou metodu chybného předpokladu, která byla známa již od starověku a která umožnila „vyhnout“ se neoblíbenému a obávanému přímému dělení. • Poměr majetků syna, matky a dcery z neznámého důvodu stanovil jako
18 : 6 : 2, neboli 9 : 3 : 1. • Chybí komentář či zdůvodnění postupu řešení.
•
Pravděpodobně chybný výsledek (poměr vypočtených majetků neodpovídá zadání), což je u tohoto autora neobvyklé.
• Zcela jistě tisková chyba u majetku matku – správně má být 461 a 7/13 zl.
Přístup podle římského práva logičtější postup syn matka
¾ majetku ¼ majetku
dcera x matka 2x syn 6x -----------------celkem 9x dcera matka syn
222,2 zl. 444,4 zl. 1333,3 zl.
matka dcera
2/3 majetku 1/3 majetku
→
9 · x = 2000
Alkuinův přístup 1. polovina majetku syn … 3/4 x 1/2 = 3/8 matka … 1/4 x 1/2 = 1/8
2. polovina majetku dcera … 1/3 x 1/2 = 1/6 matka … 2/3 x 1/2 = 2/6
• syn • dcera • matka
9/24 majetku 4/24 majetku 11/24 majetku
… … …
750,0 zlatých 333,3 zlatých 916,7 zlatých
* * * * * * Klatovský Římský přístup
syn dcera matka
1384,6 153,8 461,5
1333,3 222,2 444,4
Alkuin
750,0 333,3 916,7
Literatura • J. Šedivý a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360 – 1860, MFF UK, SPN, Praha, 1987, 264 stran.
Stanislav Vydra (1741–1804) Tentamen III … ex praelectionibus mathematicis … Adnotatiuncula ad regulam caeci, seu virginum, Pragae, 1780, 8 nečíslovaných stran.
Archiv Univerzity Karlovy, sgn. A73-13/6 úloha o dědictví jako součást zkoušky z matematiky na pražské univerzitě roku 1780 římský přístup k řešení
Děkuji za pozornost.
