MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

R

ˇ POMNENKA

2

prase

Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku , MSc. Catherine Morris

POMNĚNKA Verze ze dne:

14. října 2012 Materiál je v aktuální verzi ke stažení na: <www.matematika-lucerna.cz/pomnenka.pdf>

3

Poděkování Na tomto místě děkuji panu doc. RNDr. Petru Gurkovi, CSc. za ochotu a veškerou poskytnutou pomoc nejen při psaní tohoto dokumentu, ale i při mnohých konzultacích. Děkuji panu Ing. Pavlu Střížovi, Ph.D. za technicko-uměleckou pomoc při zpracovávání tohoto materiálu, za trpělivost a ochotu, s jakou se Pomněnce i mně věnoval. Také děkkuji Ivanu Johansenovi, tvůrci programu Graph. Tento šikovný program mi mockráte pomohl s grafickou představou příkladů a za jeho pomoci je nakreslena drtivá většina obrázků v této knize.

4

Citátky a postřehy od učitelů z České zemědělské univerzity: Informace je cokoli, co snižuje neurčitost našeho poznání o realitě. Mít štěstí znamená, že jsme neudělali chybu. Když si to vyzkoušíte, tak se s tím zkamarádíte a bude vše v pořádku. Dobrý student má právo být dobře zkoušen. Kdo chce dostřelit, musí přestřelit. Kdo společnosti přispívá ve vědách ale ne v mravech, ten společnosti spíše nepřispívá.

elektronický test informatika Petr Gurka matematická analýza Eva Kaňková makroekonomie Helena Nešetřilová lineární algebra Karel Hauzer filosofie Miroslav Svatoš agrární ekonomie

Hlavně vědět PROČ, JAK už se najde. účetnictví

Slovo úvodem Milí čtenáři, tento soubor byl vytvořen převážně z materiálů zveřejněných na stránkách <www.matematika-lucerna.cz>. Jsou zde uvedeny příklady jednodušší i složitější pro přípravu na zkoušku z matematiky na úrovni České zemědělské univerzity (ČZU), ale také různé poznámky, rady a návody k výpočtům. V Příloze A jsou uvedené vzorečky, které jsou na ČZU povolené ke zkoušce. Ke zkoušce je však potřeba si i některé vzorečky pamatovat, a to konkrétně vzorce pro tyto typy příkladů:

Tečna a normála,

Asymptoty a

Taylorův polynom.

Vzhledem k tomu, že je tento materiál šířený v elektronické podobě, může být v průběhu času měněn. Proto je na stránce 2 uvedeno vždy aktuální datum souboru. Tento materiál vzniká od roku 2009. Doporučuji soubor tisknout barevně, neboť je v něm spoustu „barevných odkazůÿ a oboustranně, nejlépe samozřejmě na recyklovaný papír. Oboustranný tisk je OPRAVDU velice důležitý, už proto, že pak budete mít vytištěný stoh o polovinu lehčí ,. Btw. věděli jste že . . . „na jednoho obyvatele v České republice připadlo v roce 2009 krásných 150 kg papíru?ÿ

Obrázek 1: Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany

Zdroj: Přeji vám mnoho úspěchů ve studiu a doufám, že vám tato kniha v některých věcech usnadní cestu a pomůže k úspěšnému složení zkoušek.

Katka V

5

Obsah

I

Matematická analýza

18

1 Než začneme počítat

19

1.1

Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2

Obecné předpisy funkcí a grafy elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3

Vzorečky pro algebraické úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4

1.5

1.3.1

Mnohočleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2

Kvadratická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3

Mocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4

Odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.5

Některé úpravy zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Logaritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1

Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2

Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.3

Odlogaritmování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1

Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2

Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Definiční obor jedné proměnné

33

2.1

Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2

Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3

Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Definiční obor dvou proměnných 3.1

39


4 Limity 4.1

40

Vzorce a vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6

OBSAH

4.2

7

Klasické příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Derivace funkcí jedné proměnné

43

5.1

Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2

Úprava funkcí před derivováním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3

Vzorce pro derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4


5.5


6 Limity – l´Hospitalovo pravidlo

48

6.1

Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2


6.3


7 Parciální derivace

50

7.1

Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2


8 Inverzní funkce

51

8.1

Návod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.2


9 Tečna a normála v bodě T

54

9.1

Vzorce tečny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.2

Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.3

Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.4


9.5


10 Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p

61

10.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.2 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8

OBSAH

11 Tečná rovina a normála

65

11.1 Vzorce tečné roviny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.2 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12 Jak čteme z derivací průběh původních funkcí?

66

12.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12.2 Monotonie a zakřivenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

13 Monotonie

76

13.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 13.2 Vzorový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 13.3 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

14 Konvexita a konkávita

82

14.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 14.2 Vzorový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 14.3 Memo pomůcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 14.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14.5 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 14.6 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

15 Souhrnný příklad

90

16 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné

91

16.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 16.2 Extrémy – možné intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 16.3 Vzorový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 16.4 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 16.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

17 Lokální extrémy dvou proměnných

99

17.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

OBSAH

9

17.2 Vzorový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 17.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

18 Vázané extrémy

102

18.1 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

19 Asymptoty

103

19.1 Vzorce asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 19.2 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 19.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

20 Taylorův polynom

106

20.1 Vzorce Taylorova polynomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 20.2 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 20.3 Vzorové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 20.3.1 Vzorový příklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 20.3.2 Vzorový příklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 20.4 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 20.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

21 Neurčitý integrál

111

21.1 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 21.2 Ukázkové jednoduché příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 21.3 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 21.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

22 Určitý integrál

116

22.1 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 22.2 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

23 Aplikace určitého integrálu

120

23.1 Vzorce aplikovaného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 23.2 Co se počítá – obsah plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10

OBSAH

23.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

24 Diferenciální rovnice I. řádu

124


25 Diferenciální rovnice II. řádu

127


II

Lineární algebra

129

26 Základní pojmy z lineární algebry

130

26.1 Skalární součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

27 Lineární rovnice

134

27.1 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

28 Inverzní matice

136

28.1 Jordanova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 28.2 Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29 Matice

140

29.1 Sčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 29.1.1 Obecný návod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

29.1.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 29.2 Násobení matic reálným číslem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 29.2.1 Obecný návod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

29.2.2 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 29.3 Násobení matic maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 29.3.1 Obecný návod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

29.3.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 29.4 Rovnice s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

OBSAH

11

29.5 Matice s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

30 Determinanty

144

30.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 30.1.1 Determinant matice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 30.1.2 Determinant matice 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 30.1.3 Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 30.1.3.1 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 30.1.4 Determinant matice řádu > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 30.2 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 30.2.1 Výpočet determinantů matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 30.2.2 Rovnice s determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 30.2.3 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

III

Přílohy

149

A Vzorce povolené ke zkoušce

151

A.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.2 Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.3 Neurčité integrály

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.4 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

B Návod k programu Graph 4.3

153

B.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.2 Popis pracovní lišty a nápovědy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.2.1 Nastavení os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.2.2 Nápověda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3 Jak zadávat funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3.1 Předpisy funkcí a jak je zadávat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.3.2 Konkrétní příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

12

OBSAH

B.4 Další funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.4.2 Tečna a normála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.4.3 Řada bodů / souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.4.4 Text, popisky a legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.4.5 Výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.4.6 Ostatní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 B.5 Užitečné odkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

C Lineární algebra

163

C.1 Definice z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 C.2 Věty z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

D Řecká abeceda

174

Seznam obrázků 1

Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1

Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2

Označení kvadrantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3

Průběh funkce y = log2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4

Průběh funkce y = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5

Průběh funkce y = log5 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6

Průběh funkce y = log x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7

Průběh funkcí y = log2 x, y = ln x, y = log5 x, y = log x, y = log100 x . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8

Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9

Jednotková kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1

Průběh funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2

√ Průběh funkce y = 2 + 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3

Průběh funkce y = 3 +

2.4

Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.1

Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.2

Tečna a normála v bodě T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.3

Tečna a normála v bodě S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

√

2 x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.1 Průběh funkce f (x) = 6x − 10 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.2 Průběh funkce p : y = −2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.3 Očekávaný průběh hledané tečny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.4 Derivace zadané přímky p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.5 Derivace zadané funkce f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12.1 Průběh funkce y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12.2 Rostoucí interval funkce y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.3 Průběh funkce y = sin x a funkce y 0 = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.4 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 12.5 Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13

14

SEZNAM OBRÁZKŮ

12.6 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) a funkce y 0 =

18x 16 + 9x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

12.7 Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 12.8 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) a funkce y 00 =

18(16−9x2 ) (16+9x2 )2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

13.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 13.2 Průběh funkce y 0 = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 14.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 14.2 Průběh funkce y 00 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 14.3 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14.4 Průběh ryze konkávní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14.5 Číselná osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2

14.6 Průběh funkce y = e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

16.1 Dva globální extrémy na hranicích intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 16.2 Dva globální extrémy na hranicích intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 16.3 Globální neostré extrémy jsou na hranicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 16.4 Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 16.5 Průběh funkce y =

−x2 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

20.1 Průběh funkce y = (x − 1) · ln x + 1 a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5

20.2 Průběh funkce y = x 2 − 21.1 Průběh funkcí y 0 =

√

3x2 49+25x2

2 − x a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

ay=

3 1250

(49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C . . . . . . . . . . . . 113

23.1 Určitý intergrál – Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

26.1 Lineární obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

29.1 Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

30.1 Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.1 Základní pracovní plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B.2 Základní nastavení os a barev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

SEZNAM OBRÁZKŮ

15

B.3 Slovník – seznam funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 B.4 Vložení nové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.5 Konkrétní příklad – funkce f (x) = x + e(1−x

2

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

B.6 Šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.7 Vložení tečny a normály k vybrané funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.8 Řada bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 B.9 Vložení textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

D.1 Cyklus učení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Seznam tabulek

1.1

Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2

Obecné předpisy funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3

Grafy elementarnich funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4

Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5

Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6

Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí . . . . . . . . . 30

2.1

Značení výsledků u definičních oborů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2

Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 2.4

√ Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 √ 2 Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 x

2.5

Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8.1

Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.2

Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

12.1 Jak čteme z derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 12.2 Rostoucí intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12.3 Klesající intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 12.4 Intervaly konvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 12.5 Intervaly konkávity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12.6 Různé funkce a řada jejich derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

16.1 Určení kvality extrémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 16.2 Extrémy – body z případu 16.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 16.3 Extrémy – body z případu 16.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 16.4 Extrémy – body z případu 16.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 16.5 Extrémy – body z případu 16.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 16.6 Vybrané funkční hodnoty funkce y =

−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4

16.7 Porovnání funkčních hodnot funkce y =

−x2 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

16

20.1 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 . . . . . . . . . 107 20.2 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2 . . . . . . . . . 109

26.1 Vektorové prostory a podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

28.1 Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.1 Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B.1 Slovník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 B.2 Konkrétní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Část I

Matematická analýza

18

Kapitola 1

Než začneme počítat Návody na řešení příkladů jsou určeny především pro zkouškové úlohy na úrovni ČZU, tj.:

funkce jsou spojité, jejich definiční obory jsou konečným sjednocením intervalů,

derivace se počítá dle vzorců a pravidel.

1.1

Číselné obory

Tabulka 1.1: Číselné obory Označení

Název skupiny

Příklad čísel

N

Přirozená čísla

{ 1, 2, 3, 4, . . . }

N0

Celá nezáporná čísla

{ 0, 1, 2, 3, . . . }

Z

Celá čísla

Q

Racionální čísla

{. . . −2, −1, 0, 1, 2, . . . } 17 332 , , ... 19 15

IQ

Iracionální čísla

R

Reálná čísla

C

Komplexní čísla

{π, e, . . .} 17 332 , π, e, ,... 19 15 x2 + 1 ⇒ výsledky jsou i a −i

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q a IQ ⊂ R ⊂ C

19

(1.1.1)

20

KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT

Obrázek 1.1: Číselné obory

IQ

Q Z N0 N

R C

1.2

Obecné předpisy funkcí a grafy elementárních funkcí

Obrázek 1.2 zobrazuje označení kvadrantů použité v tomto souboru. Obrázek 1.2: Označení kvadrantů II

I

III

IV

Tabulka 1.2 představuje souhrn obecných předpisů.

1.2. OBECNÉ PŘEDPISY FUNKCÍ A GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ

21

Tabulka 1.2: Obecné předpisy funkcí

Obrázek

Název

Obecný předpis

Přímka

y = ax + b

Hyperboly

Logaritmus

y=

Obrázek

c x

y = log x

Název

Obecný předpis

Parabola

y = ax2 + bx + c

Hyberboly

x2 y2 − 2 =1 2 a b

Odmocnina

√ y =a x+b

Kde a, b, c jsou R.

Tabulka 1.3: Grafy elementarnich funkci y y = x2 3 2 1 x

−2 −1

1 y = x2

y=

1 x

2 y=

√

x

y = ax , a > 1

y = x3

y = ax , 0 < a < 1

22


y = loga x, a > 1

y = loga x, 0 < a < 1

y = sin x

y = cos x

y = tg x

y = cotg x

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arctg x

1.3. VZOREČKY PRO ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY

1.3

23

Vzorečky pro algebraické úpravy

1.3.1

Mnohočleny

Pro a, b ∈ R platí:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , 2

2

2

(a − b) = a − 2ab + b , a2 − b2 = (a + b) · (a − b).

1.3.2

(1.3.1) (1.3.2) (1.3.3)

Kvadratická rovnice

Jedná se o rovnici ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c ∈ R, a 6= 0, s neznámou x. Kořeny (neznámé) x1 , x2 vypočítáme podle vzorce √ −b ± D , jestliže D = b2 − 4ac ≥ 0 (diskriminant). x1,2 = 2a Pokud D = 0, je x1 = x2 =

−b 2a

(1.3.4)

(1.3.5)

dvojnásobným kořenem.

Platí rovnost ax2 + bx + c = a(x − x1 ) · (x − x2 ). Pokud a = 1, máme x2 + bx + c = (x − x1 ) · (x − x2 ) = x2 − x(x1 + x2 ) + x1 · x2 , tedy b = −(x1 + x2 ), c = x1 · x2 . Poznámka 1. Pokud D < 0, √ kvadratická rovnice √ (1.3.4) nemá reálné kořeny. Má však dva komplexně sdružené −b+i |D| −b−i |D| komplexní kořeny x1 = , x2 = , kde i je imaginární jednotka, tj. i2 = −1. 2a 2a Zjednodušeně řečeno, je-li

diskriminant D > 0, pak řešením rovnice jsou dva různé reálné kořeny,

diskriminant D = 0, pak řešením rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen,

diskriminant D < 0, pak řešením rovnice dva komplexně sdružené kořeny.

24

1.3.3


Mocniny

Jsou-li r, s ∈ R, pak platí následující rovnosti pro všechna x, y ∈ R, pro která mají obě strany smysl: xr 1 = xr−s , x−r = r , x0 = 1, s x x 1 −1 −r r 0 speciálně: x = , x · x = x = 1, x x r 1 r 1 xr r r r = = , , x · y = (x · y) , yr y xr x

xr · xs = xr+s ,

xr : xs =

(xr )s = xr·s .

(1.3.6)

(1.3.7) (1.3.8)

Příklady 2. Pro x 6= 0 máme: 1 x

1.3.4

2 3

2

= x− 3 ,

x−1 1 1 = = −x −x · x −x2

(dle (1.3.6)).

Odmocniny

Pro m, n ∈ N, r ∈ R a x, y ∈ (0, ∞) platí: √ n

1

x = xn , √ r n √ √ x x √ n n n n = √ , x · y = x y, n y y q q √ √ r √ r n m m √ n n xr = n x = x n , x= x= √ n speciálně: xn = x.

1.3.5

x y w z

usměrňování zlomků – příklad: rozložení zlomků:

1.4.1

(1.3.10) √

n·m

x,

(1.3.11)

Některé úpravy zlomků

složený zlomek:

1.4

(1.3.9)

=

x z xz · = y w yw

(y, z, w 6= 0),

√ √ √ x 1 √x = 1 1 x x √ √ ·√ = = x x x x a a+b a b = + × . c c c b+c

Logaritmy Vzorce

Předpokládejme, že a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).

(1.3.12) (x > 0),

(1.3.13) (1.3.14)

1.4. LOGARITMY

25

Platí ay = x

⇔

speciálně: 10y = x y

⇔

speciálně: e = x

x = ln y loga b

a

=b

y = loga x ⇔

pro x > 0, y ∈ R,

(1.4.1)

(pro x > 0, y ∈ R),

x = log y

(pro x > 0, y ∈ R, e = 2, 71 . . . je Eulerovo číslo), (např. eln 3 = 3),

pro b > 0,

(1.4.2)

Pro u, v > 0, s ∈ R a n ∈ N platí: loga (u · v) = loga u + loga v,

loga

u v

= loga u − loga v,

(1.4.3)

1 √ 1 n u = loga (u) n = · loga u, n loga 1 = 0, loga a = 1, speciálně z (1.4.4), (1.4.5) plyne: s = loga as .

loga (us ) = s · loga u,

loga

loga b =

1.4.2

(1.4.4) (1.4.5) (1.4.6)

log10 b log10 a

(1.4.7)

Hodnoty

Tabulka 1.4: Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot

loga 1 = 0

loga a = 1

barva křivky

x

(∞; 0i

0, 5

1

2

e

5

10

100

456

♥ ♥ ♥ ♥ ♥

log2 x ln x log5 x log x log100 x

? ? ? ? ?

−1 −0, 69315 −0, 43068 −0, 30103 −0, 15051

0 0 0 0 0

1 0, 69315 0, 43068 0, 30103 0, 15052

1, 43829 1 0, 61944 0, 43297 0, 21649

2, 32193 1, 60944 1 0, 69897 0, 34949

3, 32193 2, 30259 1, 43068 1 0, 5

6, 64386 4, 60517 2, 86135 2 1

8, 83289 6, 12249 3, 80412 2, 65896 1, 32948

Obrázek 1.3: Průběh funkce y = log2 x

Zdroj: program Graph

26


Obrázek 1.4: Průběh funkce y = ln x


Obrázek 1.5: Průběh funkce y = log5 x


Obrázek 1.6: Průběh funkce y = log x


1.4. LOGARITMY

27

Obrázek 1.7: Průběh funkcí y = log2 x, y = ln x, y = log5 x, y = log x, y = log100 x


28

1.4.3


Odlogaritmování

Např. při výpočtu definičních oborů se občas setkáváme s nutností odlogaritmovat určitý výraz, níže jsou příklady, jak takovou úpravu provést. Pro a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), A > 0 a y > 0 platí: x = loga y

y = ax

⇔

B

aB loga A = aloga A = AB

(1.4.9)

aloga A = A

(1.4.10)

loga aB = B

(1.4.11)

V následujících příkladech ukážeme několik možností s logaritmy o různých základech.

1) Dekadický logaritmus (základ 10)

1 − log(8 − x) log(8 − x) 8−x x

= 0 = 1 (podle vzorce (1.4.8)) = 101 = −2

2) Přirozený logaritmus (základ e)

2 − ln 6x ln 6x ln 6x 6x x

= = = = =

(1.4.8)

0 2 ln e2 e2

(podle vzorce (1.4.11)) (neboť logaritmus je prostá funkce)

e2 6

3) Logaritmus o základu 6

log6 (8x2 − 12) − 5 log6 (8x2 − 12) log6 (8x2 − 12) 2 6log6 (8x −12) 8x2 − 12 8x2 x2

= = = = = = =

x

=

x

= ±

x

= ±

2 7 log6 67 7 6log6 6 67 67 + 12 67 +12 8 q 7 ± 6 +12 q 8

q

279936+12 8 279948 8

(podle vzorce (1.4.11)) (podle vzorce (1.4.10))

1.5. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1.5 1.5.1

29

Goniometrické funkce Vzorce

1. sin (x ± 2kπ) = sin x

8. sin (−x) = − sin x

15. sin2 x + cos2 x = 1

2. cos (x ± 2kπ) = cos x

9. cos (−x) = − cos x

16. tg x =

3. tg (x ± kπ) = tg x

10. tg (−x) = − tg x

4. cotg (x ± kπ) = cotg x

11. cotg (−x) = − cotg x

5. sin(α ± β) = sin α · cos β ± sin β · cos α 6. cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β 7. cotg2 α =

cotg2 α − 1 2 · cotg α

tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β 1 − 2 cos 2α 13. sin 2α = 2

tg x · cotg x = 1 cos x 18. cotg x = sin x 2 · tg α 19. tg 2α = 1 − tg2 α 1 + 2 cos 2α 20. cos 2α = 2

14. cos 2α = cos2 α − sin2 α

21.

17.

12. tg(α ± β) =

22. cotg(α ± β) =

1.5.2

sin x cos x

sin 2α = sin α · cos α

cotg α · cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

Hodnoty

Tabulka 1.5: Důležité hodnoty goniometrických funkcí

x

− π2

− π3

− π4

√

sin x

−1 −

3 2

cos x

0

1 2

tg x

?

√ − 3

cotg x

0

−

√

2 2

− √

2 2

0

π 6

− 12

0

1 2

√

3 2

√

1

3 2

π 4

π 3

√

√

2 2

√

2 2

√

√

−1

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

√

3 3

− π6

3 3

√

1

π 2

2π 3

3π 4

√

√

3 2

1

3 2

1 2

0

− 12

√

√ 3 ? − 3

√

3

1

3 3

3 3

π

7π 6

1 2

0

− 12

2 2 √

−

2 2

√

−

3 2

5π 4

3 2

2 2

√

−

2 2

√

√

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

3 3

√

4π 3

√

−

√

−1 −

−1

√

0 −

5π 6

1

3π 2

5π 3

√

3 2

−

− 12

−1 −

1

√

2 2

− √

2 2

11π 6

− 12 √ 3 2

0

1 2

3

?

√ − 3

−1

−

3 3

0

−

√ 3 3

−1

√ − 3

√ √

3

√ 3 2

7π 4

√

3 3

30


Tabulka 1.6: Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí −π π x ∈ h−1; 1i sin = −1 ⇒ arcsin(−1) = − 2 2 arcsin x: D −π π E 7π −1 −1 π arcsin x ∈ ; sin ALE arcsin = = − 2 2 6 2 2 6 arccos x:

x ∈ h−1; 1i arccos x ∈ h0; πi x ∈ (−∞; ∞)

arctg x: arctg x ∈

arccotg x:

−π π ; 2 2

x ∈ (−∞; ∞) arccotg x ∈ (0; π)

cos(0) −π cos 3 −π tg 3 2π tg 3 5π tg 3 π cotg 4 5π cotg 4

=

1

⇒

=

1 2

ALE

=

√ − 3

=

√ − 3

=

√ − 3

=

1

⇒

=

1

ALE

⇒ ALE ALE

arccos(1) 1 arccos 2 √ arctg − 3

√ arctg − 3

= = = =

0 π 3

=

arccotg(1)

=

π 4

arccotg(1)

=

π 4

√ arctg − 3

−π 3 −π 3 −π 3

1.5. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

31

Obrázek 1.8: Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních y

(0, 1)

3 1 2 , 2

− 12 ,

√

3 2

√ 2 2 , 2 2

√

−

√

−

√ 3 1 , 2 2

π 2 π 3

2π 3 3π 4

90

180◦

−

3 1 2 , −2

11π 6 5π 4

√ 2 2 2 ,− 2

− 12 , −

300◦ 270

5π 3 3π 2

√

3 2

(0, −1)

Zdroj: LATEX

√

7π 4

◦

4π 3

√

−

x

2π

330◦ 240◦

(1, 0)

360 0◦ ◦

7π 6 √

30◦

210◦

3 1 2 , 2

π 6

150◦

π

√

60◦

5π 6

(−1, 0)

√ 2 2 , 2 2

π 4

◦

120◦

√

3 1 2 , −2

√

√ 3 1 , − 2 2

√ 2 2 2 ,− 2

32


Obrázek 1.9: Jednotková kružnice y

sin α

0

α x

Zdroj: LATEX

tg α

y 1

x

sec α

= y y = x 1 = x

cos α cotg α csc α

= x y = x 1 = y

Kapitola 2

Definiční obor jedné proměnné

2.1

Návody k výpočtu

Činitelé, kteří kladou podmínky jsou: 1. JMENOVATEL. Musí být nenulový. 1 ; x

x 6= 0

√ 2. ODMOCNINA. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Může se rovnat nule ( 0 = 0). Nula je nejmenší číslo, které může být „podÿ sudou odmocninou. √

x;

x≥0

3. LOGARITMUS. Logaritmovaný výraz (argument) musí být větší než nula, ať je základem logaritmu jakékoli číslo. ln x; x>0

log x;

x>0

4. DVĚ CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. Argument, ze kterého se počítá arcsin a arccos (nikoli arctg a arccotg) musí být na intervalu h−1; 1i ArcSin ArcCos

arcsin x; arccos x;

−1 ≤ x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1

Tabulka 2.1: Značení výsledků u definičních oborů

2.2 (1)

Značení na číselné ose

otevírací závorka

uzavírací závorka

◦ •

( h

) i

znaménka podmínky >

6= < ≥ ≤

Ukázkové příklady y = log(x)

Z Obrázku 2.1 je vidět, že x může být jakkoli veliké v kvadrantu I a IV, tedy kladné. Nikdy se však nerovná nule ani není záporné (x roste od nuly, nezačíná na ní), x > 0. Definiční obor je tedy x ∈ (0; ∞)

(2)

√ y =2+2 x 33

34

KAPITOLA 2. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ

Obrázek 2.1: Průběh funkce y = log(x)


Tabulka 2.2: Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) x y

−4 ×

−0.5 ×

0 ×

1 0

5 0.698

10 1

√ Obrázek 2.2: Průběh funkce y = 2 + 2 x


Je evidentní, že nejmenší možná hodnota x je 0. Podmínky ze sudé odmocniny jsou x ≥ 0. Tabulka 2.3 ukazuje vybrané hodnoty, které tvoří zadanou funkci. Definiční obor je tedy x ∈ (0; ∞)

100 2

2.2. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY

35

√ Tabulka 2.3: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2 x x y

−4 ×

−0.5 ×

0 0

1 1

5 6.472

10 8.325

100 22

√ (3)

y =3+

2 x √

Obrázek 2.3: Průběh funkce y = 3 +

2 x


√ Tabulka 2.4: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 + x y

−4 2.646

−0.5 0.172

0 ×

1 4.414

5 3.283

2 x

10 3.141

100 3.014

Definiční obor je tedy x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞) nebo lze tuto skutečnost zapsat jako x ∈ R\{0}.

(4)

y = x2

Z této funkce žádné podmínky neplynou. Obrázek 2.4: Průběh funkce y = x2


36


Tabulka 2.5: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2 −4 16

x y

−0.5 0.25

0 0

1 1

5 25

10 100

100 10 000

Definiční obor je tedy x ∈ R.

2.3

Jednoduché příklady ze skript Zadání 1) f (x) = 2) f (x) =

r

√

Výsledky 1−x 1+x

2 + x − x2 +

√ 4

6x − 8 − x2

3) f (x) = log (x3 − 5x2 + 6x) √ √ √ 4) f (x) = x2 − 4 + 3 2 − x + 3x2 + 4 √ 5) f (x) = 3x − 9 √ 6) f (x) = e 1−log (x+3)

1X

D(f ) = (−1; 1i

2X

D(f ) = {2}

3X

D(f ) = (0; 2) ∪ (3; ∞)

4X D(f ) = (−∞; −2i ∪ {2} 5X D(f ) = h2; ∞) 6X D(f ) = (−3; 7i

x

5 2 +1 +√ x 2 −1 8 − 2x √ x 8) f (x) = 4 − 3 · 2x − 4 1 − 2x 9) f (x) = arccos 3

7X D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; 3)

7) f (x) =

8X D(f ) = h2; ∞) 9X D(f ) = h−1; 2i

5 arctg x + arcsin (x − 2) 4 − x2 r 2x + 1 11) f (x) = arccos 2

10)

f (x) =

10X

D(f ) = h1; 2) ∪ (2; 3i

1 1 − ; 2 2

11X

D(f ) =

12) f (x) = sin(arcsin x)

12X

D(f ) = h−1; 1i

13) f (x) = arcsin(sin x)

13X

f (x) = log (4x2 − 1)

14X

D(f ) = (−∞; ∞) 1 1 D(f ) = −∞; − ∪ ;∞ 2 2

14)

ln(x − 1) x2 − x − 2 √ f (x) = 16 − x2 + log (6x + x2 ) r 2−x f (x) = log (x3 + x) + 4 2+x 2 log 12 + 4x − x √ f (x) = x2 − x − 2 p f (x) = log(log x + 8)

15) f (x) =

15X

D(f ) = (1; 2) ∪ (2; ∞)

16)

16X

D(f ) = (0; 4i

17X

D(f ) = (0; 2i

18X

D(f ) = (−2; −1) ∪ (2; 6)

19X

D(f ) = h2; ∞)

20X

D(f ) = (2; 3)

17) 18) 19)

20) f (x) = log 1 − log(x2 − 5x + 16)

2.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET

2.4

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

Zadání 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

37

r

Výsledky

2

1 9x − 1 + 1 − log (8 − x) x2 − 10x + 21 3 √ x − 16x f (x) = ln + 36 − x2 x−5 r 2 2x2 + 9x − 5 + f (x) = x4 − 3x5 x−5 2 √ x + 2x − 15 f (x) = ln + e 2x−16 x−1 r 5 − 3x f (x) = + 1 + ln(x2 − 1) x+3 2x − 5 1 + arcsin + ln(x2 − 1) f (x) = x−2 5 √ 4x − 16 25−4x2 + e f (x) = log 2 x + 2x − 3 √ 2 x − 3x − 10 f (x) = + log(8 − x) log(x + 4) − 1 r p x2 + 2x − 3 f (x) = ln(5 − x) + 2x − 4 r x 2 −8 f (x) = + log(100 − x2 ) 3 x − 3x2 − 10x √ x3 + 4x2 − 21x f (x) = 25 − x2 + ln 4−x 2 x − 3x + 2 2x − 1 f (x) = ln + arcsin x+4 7 r x2 − 9 f (x) = log(x2 − 4) + 2 x − x − 20 2 √ x + 2x − 3 2 f (x) = 25 − x + ln x2 + 2x − 8 r 2 − e4x f (x) = ln 2 + e4x r 2x − 8 f (x) = + ln(x2 + 3x) 2 x + 4x − 5 r x2 − 9x + 20 f (x) = + log (log(10 − x)) x−3 r 5x − 25 + log(x2 − 1) f (x) = 2 x − x − 12 p √ f (x) = x2 − 4x + 3 + ln(5 − x) p f (x) = log (log(x + 8)) f (x) =

1 1 1X D : x ∈ (−∞; −2) ∪ −2; − ∪ ; 3 ∪ (7; 8) 3 3 2X D : x ∈ h−6; −4) ∪ (0; 4) ∪ (5; 6i 3X D : x ∈ (−∞, −5i ∪

1 1 , 3 2

4X D : x ∈ h8; ∞) 5X D : x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 4i 6X D : x ∈ (1; 2) ∪ (2; 5i 7X D : x ∈

5 5 − ; 1 ∪ 2; 2 2

8X D : x ∈ (−4; −2i ∪ h5; 6) ∪ (6; 8) 9X D : x ∈ h−3; 1i ∪ (2; 4i 10X

D : x ∈ (−10; −2) ∪ (0; 3i ∪ (5; 10)

11X

D : x ∈ h−5; 0) ∪ (3; 4)

12X

D : x ∈ h−3; 1) ∪ (2; 4i

13X

D : x ∈ (−∞; −4) ∪ h−3; −2) ∪ (2; 3i ∪ (5; ∞)

14X

D : x ∈ h−5; 4) ∪ (−3; 1) ∪ (2; 5i

ln 2 −∞; 4

15X

D:x∈

16X

D : x ∈ (−5; −3) ∪ (0; 1) ∪ h3; ∞)

17X

D : x ∈ (3; 4i ∪ h5; 9)

18X

D : x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 2i ∪ (4; ∞)

19X

D : x ∈ h−∞; 1i ∪ h3; 4i

20X

D : x ∈ h2; ∞)

21X

D : x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 3)

22X

D : x ∈ (−3; 7i

23X

D : x ∈ (−1; 3) ∪ (5; 8i

x

21) 22) 23)

2 +1 5 +√ 2x − 1 8 − 2x √ f (x) = e 1−log(x+3) √ x−3 f (x) = 64 − x2 − ln x2 − 4x − 5 f (x) =

38

24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40)

41) 42) 43) 44)


√ x2 − 2x − 15 2 + e x −16 x−1 √ x2 − 4 f (x) = log(x + 4) − 1 r x+6 f (x) = + log(x2 − 9) 2 x − 6x + 8 r x2 + 3x − 4 f (x) = + log (log(2x + 15)) x2 − 9 2 √ x − 2x − 35 2 f (x) = x − 9 + log x2 − 16 √ x2 − 4x − 12 2 f (x) = e 49−x + ln x + 10 r x2 + 2x − 15 f (x) = + ln(16 − x2 ) 4x − 16 √ f (x) = x2 − x − 2 − ln (5 − x) r x+3 x−3 f (x) = − + ln (x2 − 4) x−3 x+3 √ 3x − 3 f (x) = ln + 16 − x2 2 x + 2x − 15 √ √ f (x) = x2 − 1 − arctg x2 − 1 r x2 − 6x + 8 f (x) = + ln (x2 − 36) x+8 r x2 + 7x − 8 f (x) = + log (log(x + 7)) 9 − x2 r x2 + 2x − 24 f (x) = ln(x2 − 4) + x2 + 4x r x2 + x − 2 f (x) = + log (9 − x2 ) 16 − x2 √ x3 − 8 2 + e 25−x f (x) = ln 2 x + 5x − 6 3 √ x − 25x 2 f (x) = x − 1 + log x−3 s x3 − 9x f (x) = + ln(12 − x) log(x + 5) − 1 2 √ x − 4x − 5 f (x) = ln + 16 − x2 x 8−2 √ 2x − 16 f (x) = ln + x2 − 1 x2 + 2x − 15 r x2 − 3x − 10 f (x) = + log(log(x + 5)) x2 − 7x + 12 f (x) = ln

24X

D : x ∈ (5; ∞)

25X

D : x ∈ (−4; −2i ∪ h2; 6) ∪ (6; ∞)

26X

D : x ∈ h−6; −3) ∪ (4; ∞)

27X

D : x ∈ (−7; −4i ∪ (−3; 1i ∪ (3; ∞)

28X

D : x ∈ (−∞; −5) ∪ (−4; −3i ∪ h3; 4) ∪ (7; ∞)

29X

D : x ∈ h−7; −2) ∪ (6; 7i

30X

D : x ∈ (−4; 2) ∪ h3; 4)

31X

(−∞; −1i ∪ h2; 5)

32X

(−3; −2) ∪ (3; ∞)

33X

h−4; 1) ∪ (3; 4i

34X

(−∞; −1i ∪ h1; ∞)

35X

(−8; −6) ∪ (6; ∞)

36X

(−6; −3) ∪ h1; 3)

37X

(−∞; −6i ∪ (−4; −2) ∪ h4; ∞)

38X

h−3; −2i ∪ h1; 3i

39X

h−5; 1) ∪ h2; 5i

40X

(−∞; −5i ∪ h1; 3i ∪ h5; ∞)

41X

h−5; −3i ∪ h0; 3i ∪ (5; 12i

42X

h−4; −1) ∪ (3; 4i

43X

(−5; −1i ∪ h1; 3) ∪ (4; ∞)

44X

(−4; −2i ∪ (3; 4) ∪ (5; ∞)

Kapitola 3

Definiční obor dvou proměnných

3.1

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) f (x, y) = ln

p

x2

y2

+ −9 2x + y + 3

Zadání

!

2 p x + y2 − 4 2 3) f (x, y) = 16 − y + ln 2x + y + 2 5) f (x, y) = p 7) 9) 11) 13)

arccos y

y − ln(x + 1) 2 4x + 9y 2 − 36 f (x, y) = ln ln x − y r 1+x−y f (x, y) = ln x − y 2x + 3y f (x, y) = arcsin x−1 p 4x − y 2 f (x, y) = ln(1 − x2 − y 2 )

17) f (x, y) = ln

4 − x2 x2 + 4y 2 − 16

f (x, y) = ln

4)

s

ln x − y y2 − 1

8)

p f (x, y) = 1 − y 2 +

14) 16) 18)

39

s

x2 − 1 + ln(9 − y 2 ) x2 + y 2 − 4

f (x, y) =

12)

f (x, y) =

x2 + y 2 − 9 3

6)

10)

15) f (x, y) = arcsin(y − x2 ) + arcsin(y − x − 1)

2)

s

ln x + y ln x − y 2−x−y f (x, y) = ln y − log x 36 − 4x2 − 9y 2 f (x, y) = log x2 + y − 4 2 x +y+1 f (x, y) = ln 1 − x2 2 4x + y 2 − 4 f (x, y) = log y2 − 1 2 4x + 9y 2 − 24x − 36y + 36 f (x, y) = ln 4x2 − y 2 − 24x + 4y + 28

Kapitola 4

Limity

4.1

Vzorce a vztahy

Níže jsou uvedeny vzorce pro oboustranné limity ve vlastním bodě. Analogické vzorce platí i pro limity v ±∞ a také pro limity jednostranné, není-li řečeno jinak může být A také ±∞. 1)

Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, tj. je-li lim f (x) = A a lim f (x) = B, pak je A = B;

2)

je-li lim f (x) = A ∈ R a lim g(x) = B ∈ R, potom je:

x→a

x→a

x→a

x→a

lim (f (x) + g(x)) = A + B;

x→a

lim (f (x) − g(x)) = A − B;

x→a

lim (f (x) · g(x)) = A · B;

x→a

lim

x→a

3)

f (x) g(x)

=

A , samozřejmě za předpokladu, že B 6= 0; B

je-li f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) v nějakém okolí bodu a (s vyjímkou tohoto bodu a) a lim f (x) = lim g(x) = A, x→a

x→a

potom je také lim h(x) = A; x→a

4)

lim g(x) = b, lim h(x) = A a je-li pro každé x ∈ D(g),

x→a

x→b

x 6= a splněna nerovnost g(x) 6= b, pak je

lim h(g(x)) = A.

x→a

Poznámka. Důsledkem právě uvedených vlastností limit jsou i následující dvě vlastnosti: 5)

je-li lim f (x) = A ∈ R, potom je lim (k · f (x)) = k · A pro libovolné k ∈ R;

6)

je-li lim f (x) = 0 a je-li funkce g(x) omezená v nějakém okolí bodu a (tj. | g(x) |≤ K, pro nějaké K ∈ R,

x→a

x→a

x→a

potom je lim (f (x) · g(x)) = 0. x→a

40

4.2. KLASICKÉ PŘÍKLADY

4.2

41

Klasické příklady

Určete limity funkcí: Zadání x2 + 5 1) lim 3 x→1 x + 1

Výsledky 1X

3

Zadání 2)

2X

−3

4)

lim

x3 + 1 x→1 x2 − 1

4X

Neexistuje

6)

x2 − 5x + 6 x→3 x2 − 9

6X

3)

x3 + 1 x→−1 x2 − 1

3X −

5)

x2 − 5x + 6 x→2 x2 − 9

5X

0

7X

1

9X

−2

11X

3

12)

13X

0

14)

lim

lim

x2 − 5x + 6 x→∞ x2 − 9 6 2 − 9) lim x→1 1 − x 1 − x3

7)

11) 13)

lim

3x + 1 x→∞ x + 4 x4 lim −x x→∞ x3 + 1 lim

3 2

5 + x2 − x3 x→∞ 7 − x + 2x3

15X

−

17)

3x3 − 2x + 1 x→∞ x2 + x − 1

17X

∞

19) 21) 23) 25) 27) 29) 31) 33) 35) 37)

lim

x4 + x + 5 lim x→−∞ 2x2 + 3x + 4 √ (x − 1) · 2 − x lim x→1 x2 − 1 √ 3x − 3 lim x→3 x2 − 9 √ √ 3+x− 3 lim x→0 x √ 3 x−6+2 lim x→−2 x+2 √ x+2−2 lim ln x→2 x−2 √ x4 + 3 − 2x lim x→∞ x2 + 5x p √ x+ x−1 √ √ lim 3 x→∞ x− x √ √ √ lim x · x−3− x x→∞

lim tg x +

1 2

16)

limπ

x→ 2

2 cos2 x + 5 cos x 2 cos2 −9 cos x

41)

sin x x→0 sin 2x

43)

limπ

lim

x→ 4

sin 2x − cos 2x − 1 cos x − sin x

−

x4 + 1 x→∞ (x2 + 2)2

12X

1

x2 + 3x − 1 x→∞ 3x3 + 2x + 4

14X

0

16X

2

lim lim

lim

2x2 + 1 −x+3

x→−∞ x2

1 2

−∞

(2x + 1)10 · (3x − 2)20 lim x→∞ (2x − 3)30

20X

20 3 2

22X

−4

24X

1 16

26X

1 4

28X

1 4

30X

1 144

32X

0

34X

0

lim

ex x→∞ 2 + sin x

36X

∞

lim cos x · x−6

38X

∞

40X

1

42X

5

44X

1 2

21X

1 2

22)

23X

1 12

24) 26)

27X

1 12

28)

29X

− ln 4

30)

31X

1

32)

33X

−1

34)

35X

−

3 2

36)

37X

−∞

38)

39X

− 59

40)

41X

1 2

42)

43X

√ − 2

44)

x→ π2

39)

10X

18X

20)

2 3

8X

3x3 − 2x + 1 x→−∞ x2 − 3x + 4

∞

1 √

lim

1 6 10 3 2

18)

19X

25X

lim

(x2 − x − 2)20 x→2 (x3 − 12x + 16)10 8 2 10) lim − x→2 x2 − 4 x−2 8)

15)

lim

Výsledky

2x − 3 lim x→0 log(x + 10)

lim

x−4 √ 2− x √ x − 3x − 2 lim x→2 x2 − 4 √ x+4−1 lim x→−3 2(x + 3) √ 4 x−2 lim √ x→16 x−4 √ 3 x−6+2 lim x→−2 x3 + 8 p (1 − x)3 √ lim 3 x→−∞ x x2 √ √ lim ( x − 3 − x) lim

x→4

x→∞

x→0

lim log

x→1

x2 + 8x − 9 x2 − x

2 tg2 x + tg x − 3 x→ 4 2 tg2 x − 3 tg x + 1 2 1 lim − x→0 sin 2x · sin x sin2 x limπ

42

45) 47) 49) 51) 53)

KAPITOLA 4. LIMITY

lim

x→π

sin 2x tg x

sin x − cos x lim x→ π cos 2x 4 x + sin x x − cos x arctg x lim x→−∞ x lim

x→∞

45X

2

46) √

2 2

47X

−

49X

1

50)

51X

0

52)

48)

1 + cos x sin x

46X

0

lim (x5 + sin 2x)

48X

∞

lim (2 arccotg x + 3)

50X

3

52X

1 2

x→π

x→∞

x→∞

lim

x→∞

1 1+e

1 x

Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru f (x) =

D(f ) = (−∞; 2) ∪ (2; ∞)

lim f (x) = 0

x→−∞

1 x−2 lim− f (x) = −∞ x→2

lim f (x) = ∞

lim f (x) = 0

x→∞

54)

lim+

x→2+

Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru f (x) =

D(f ) = R\{−3; 1}

lim f (x) = 0

x→−∞

lim f (x) = 0

x→∞

x2

1−x + 2x − 3 1 lim f (x) = − − 4 x→1 1 lim f (x) = − 4 x→1+

lim f (x) = ∞

x→−3−

lim f (x) = −∞

x→3+

Kapitola 5

Derivace funkcí jedné proměnné

5.1

Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě f 0 (a) = lim

h→0

5.2

f (a + h) − f (a) v bodě a h

(5.1.1)

Úprava funkcí před derivováním

Pakliže je naším úkolem zderivovat nějakou funkci, je často vhodnější si tuto funkci nejprve nějak příhodně upravit – viz příklad (modře je vyznačena samotná derivace) a teprve po úpravě ji zderivovat. Výsledky však musí být stejné ať už zadání upravíme, nebo ne. Naším úkolem je zderivovat funkci: y=√

1 3 + 2x

Mohu ji derivovat: a) Neupravenou y=√

1 3 + 2x

0· y0 =

√

1 1 √ 3 + 2x − 1 · √ ·2 1 1 1 2 3 + 2x 3 + 2x · =− = −√ = −p 3 + 2x 3 + 2x 3 + 2x 3 + 2x (3 + 2x)3 1

b) Upravenou 1

y = (3 + 2x)− 2 √ √ 3 3 y 0 = − 12 · ( 3 + 2x)− 2 · 2 = −( 3 + 2x)− 2 = − p

1 (3 + 2x)3

43

44

5.3

KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ

Vzorce pro derivování

Pokud aplikujeme vzorec Equation 5.1.1 v každém bodě a, dostaneme následující vzorce. Níže jsou uvedeny všechny vzorce z tabulky z technické fakulty. Ani na zmíněné tabulce nejsou všechny vzorce Diferenciálního počtu. Některé vzorce jsou zde (i v tabulce) odvozené od ostatních, například: vzorce č. 2, 4, 5 jsou odvozeny od vzorce č. 3; vzorec č. 7 odvozen od vzorce č. 6; vzorec č. 9 odvozen od vzorce č. 10. Funkce a exponenty 1. 2. 3. 4. 5.

0

(konstanta) = 0 (x)0 = 1 (xa )0 = axa−1 0 1 1 =− 2 x x √ 0 1 √ ( x) = 2 x

Pravidla pro derivování Pravidla pro sčítání 19. Pravidla pro násobení 20.

20.a

9.

1 x ln a 1 (log x)0 = x ln 10 1 ln x)0 = x (ex )0 = ex

10.

(ax )0 = ax · ln a

7. 8.

(loga x)0 =

Goniometrické funkce

12.

(cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 (x) 1 (cotg x)0 = − 2 sin (x)

13. 14.

21. (u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v 0 · w + u · v · w0 0

nebo též ((u · v) · w) = (u · v)0 · w + (u · v) · w0 Pravidla pro podíl 22.

0

(sin x) = cos x

22.a Pravidla pro složené funkce 23.

Cyklometrické funkce 1 1 − x2 1 16. (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 0 17. (arctg x) = 1 + x2 1 18. (arccotg x)0 = − 1 + x2 Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici obecné mocniny f (x)g(x) = eg(x)·ln f (x) 15.

5.4

(arcsin x)0 = √

Jednoduché příklady ze skript Zadání

Výsledky

√ √ 1) y = 7 x + 5 2

1X

7 y0 = √ 2 x

2X

1 √ y 0 = 12 x7

p √ 12 x3 x √ 2) y = 3 5 x4

(k · f (x))0 = k · (f (x))0

Násobení více funkcí

Speciální případ s konstantou

11.

(u · v)0 = u0 · v + u · v 0


Logaritmy a exponenciála 6.

(u ± v)0 = u0 ± v 0

u 0 v

=

f (x) k

u0 · v − u · v 0 v2

0

= 0

f 0 (x) k

[f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)

5.4. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT √ ( x − 1)2 x x 4) y = 2x − 1 3) y =

45 √

3X 4X

x−1 x2 1 y0 = − (2x − 1)2 y0 =

5) y = x2 · 3x

5X

y 0 = x · 3x · (2 + x · ln 3)

6) y = x · ln x − x

6X

y 0 = ln x

7) y = (2 − x2 ) · cos x + 2x · sin x

7X

y 0 = x2 · sin x

8) y = (x − 1) · log3 x tg x ex 4x + 6 = 9 − 4x2 cos x = 1 − sin x 1 + ln x = x x+3 = ln x−3 1 = arctg x x+1 = arccotg x−1

9) y = 10) y 11) y 12) y 13) y 14) y 15) y

√ x+1

√

16) y = e

+ x+1

17) y = arcsin

p

x2 − 1

18) y = tg4 x − 2 · tg2 x − 4 · ln(cos(x)) x 19) y = ln tg 2 1+x 2 20) y = 2x − (1 − x ) · ln 1−x 5 √ 1 x+ √ 21) y = x

1 22) y = x · arctg x − · ln(1 + x2 ) 2 π x + 23) y = ln tg 4 2 p x x 24) y = · 16 − x2 + 2 · arcsin 8 4 √ p x 25) y = 16x − x2 + 4 · arcsin 4 √ ! x· 3 1 26) y = √ · arctg 1 − x2 3 p 1 27) y = x · arcsin + ln x + x2 − 1 x 1 x cos x 28) y = · ln tg − 2 2 2 sin2 x

8X

1 1 · 1− y = log3 x + ln 3 x 0

1 − sin x · cos x ex · cos2 x 4 10 X y 0 = (3 − 2x)2 1 11X y 0 = 1 − sin x ln x 12X y 0 = − 2 x 6 13 X y 0 = 9 − x2 9X

y0 =

14X

y0 = −

15X

y0 =

1 1 + x2

1 1 + x2 √

e x+1 +1 16 X y = √ 2 x+1 x 0 17 X y = p 2 (2 − x )(x2 − 1) 0

18 X y 0 = 4 · tg5 x 19 X y 0 =

1 sin x

0

20 X y = 2x · ln 21 X y 0 =

1+x 1−x

5(x + 1)4 · (x − 1) √ 2x3 · x

22 X y 0 = arctg x 1 cos x √ 16 − x2 0 24 X y = 4 10 − x 25 X y 0 = √ 16x − x2

23 X y 0 =

x2 + 1 x4 + x2 + 1 1 27 X y 0 = arcsin x 26 X y 0 =

28 X y 0 =

1 sin3 x

46

KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 3x x + 2 2 + 1) 2(x + 1) + 32 arctg x ! √ 1 − 1 − x2 arcsin x 30) y = ln − x x 1 x2 arctg x 31) y = · ln − 2 2 x +1 x 29) y =

(x2

29 X y 0 =

(x2

4 + 1)3

30 X y 0 =

arcsin x x2

31 X y 0 =

arctg x x2

Vypočtěte druhé derivace funkcí: 32) y = x · tg + ln(cos x) p 33) y = ln x + x2 + 1

√ 2x · x 2 · ln x − 3 3 x+3 35) y = ln √ x2 + 4 1 − x3 36) y = arctg 1 + x3 r 1−x 1−x 37) y = ln + arctg 1+x 1+x 34) y =

3 + e2x 4 − e2x r 1 + e2x 39) y = ln 1 − e2x 38) y =

Vypočtěte f 0 (4) pro funkci √ x √ 40) f (x) = 1+2· x Vypočtěte f 0 (0) a f 00 (0) pro funkci x p 9 x 41) f (x) = · 9 − x2 · · arcsin 2 2 3

2x · tg x + 1 x2 −x 33 X y 0 = p (x2 + 1)3 32 X

y0 =

34 X y 0 =

ln x + 2 √ 2· x

35 X y 0 =

6x3 − 3x2 − 24x − 52 ((x + 3) · (x2 + 4))2

36 X y 0 =

6x · (2x6 − 1) (1 + x6 )2

37 X y 0 =

−8x3 (x4 − 1)2

38 X y 0 =

28 e2x ·(4 + e2x ) (4 − e2x )3

39 X y 0 =

4 e2x ·(1 + e4x ) (1 − e4x )2

40 X f 0 (4) = 0, 01

41 X f 0 (0) = 3,

f 00 (0) = 0

Vypočtěte f 0 (5) a f 00 (5) pro funkci p p 42) f (x) = x2 − x · x2 − 9 + ln x + x2 − 9

42 X f 0 (5) = 0,

f 00 (5) =

43) y = tg2 x + 2 · ln(tg x)

π 43 X x ∈ 2k · , 2

1 8

Ve kterých intervalech je derivace zadané funkce kladná?

Pro které x je derivace zadané funkce rovna nule? 1

44) y = (4x − 1) · e x

(2k + 1) ·

44 X x =

1 2

45 X

x=

π + kπ, k ∈ Z 2

46 X x =

π + kπ, k ∈ Z 2

Pro která x je derivace zadané funkce rovna nule? 45) y = sin3 x − 3 · sin2 x + 3 · sin x Pro která x platí f 0 (x) = 4 u zadané funkce? 46) y =

4 · sin x 1 + cos x

π 2


5.5

47

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání

Výsledky

1)

f (x) = ln sin 3x +

2)

f (x) = ln

√

s

p

x 1 − x2

2 − cos2 3x

2 + sin2 5x 2 − sin2 5x √ p x 3 2 4) f (x) = x · 3 − x + 3 · arccos 3 ! √ 1 + x4 + 1 5) f (x) = ln x2 p x p 9 6) f (x) = · x2 − 9 − · ln x + x2 − 9 2 2 p x 1 7) f (x) = 9 − x2 + x · arcsin + arcsin 3 2 √ p x 8) f (x) = 16x − x2 + 4 · arcsin 4 s 2 − e4x 9) f (x) = ln 2 + e4x p 10) f (x) = ln ln2 x + 4 + ln4 x 3)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

f (x) = ln

p Nepočítáno: p 2 4 f (x) = ln x + 2 + x − ln x4 + 2 − x2 p f (x) = ln sin2 3x + 1 + sin4 3x p p f (x) = x2 − 1 − arctg x2 − 1 x2 f (x) = ln √ 1 − x4 ! √ 1 + e2x − 1 f (x) = ln √ 1 + e2x + 1 π √ x f (x) = e 2 1 − ex + arcsin e 2 √ √ x f (x) = 4 · arcsin + 4x − x2 2 √ √ √ f (x) = x · arcsin x + 1 − x

3 · cos 3x 2 − cos2 3x

1X

f (x)0 = √

2X

f (x)0 =

1 x − x3

3X

f (x)0 =

20 · sin 5x · cos 5x 4 − sin4 5x

4X

−2x2 f (x)0 = √ 3 − x2

5X 6X 7X 8X

9X 10X

−2 f (x)0 = √ x x4 + 1 p f (x)0 = x2 − 9 x f (x)0 = arcsin 3 10 − x f (x)0 = √ 16x − x2 f (x)0 =

8 · e4x e8x −4

2 · ln x f (x)0 = p x 4 + ln4 x

Kapitola 6

Limity – l´Hospitalovo pravidlo

6.1

Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla

Chceme-li počítat limity lim

f (x) l´Hospitalovým pravidlem, musí dané funkce splňovat následující předpog(x)

klady:

1. 2.

něco ∞ 0 0

3. limity z derivace lim

Potom lim

6.2

f 0 (x) existuje. g 0 (x)

f (x) f 0 (x) = lim 0 g(x) g (x)

Jednoduché příklady ze skript

Užitím l’Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity: Zadání x2 − 2x − 3 1) lim 3 x→3 x + x − 30

Výsledky 1 1X 7

Zadání e3x −2x − 1 2) lim x→0+ sin2 2x

2

3) 5) 7)

ex −1 lim x→0 cos x − 1

lim

x→0+

13) 15) 17)

lim (ex −1) · cotg x

x→0+

limπ

x→ 2

lim

x→1

x π − cotg x 2 cos x

−2

4)

5X

0

6)

7X

0

8)

9X

27

10)

11X

0

12)

13X

1

14)

15X

−1

16)

17X

49 198

18)

ln 2x lim √ x

x→∞

2X

x50 − 50x + 49 x100 − 100x + 99

e 2 −1 x→0 x2 + x sin 3x lim x→0 sin 5x lim

lim

x→π

cos 2x − 1 tg x

lim ln(1 − x) · ln x 1 lim cotg x − x x→0+ 2 limπ tg x + x→ 2 2x − π √ 3 tg x − 1 lim x→ π 2 sin2 x − 1 4 x→1−

∞

4X 0

x

ln x x→0 cotg x 1−x lim −x x→∞ e +1 lim+

sin3 3x x→0 x3 √ 11) lim 3 x · ln x 9)

3X

Výsledky

6X 8X

1 2 3 5

10X

0

12X

0

14X

0

16X

0

18X

1 3

Následující limity počítejte oběma způsoby, tj. úpravami bez použijí l’Hospitalova pravidla a s ním: Zadání Výsledky Zadání Výsledky √ √ √ x + 13 − 2 x + 1 1 1−x−3 √ 19) lim 19X − 20) lim 20X −2 x→3 x→−8 x2 − 9 16 2+ 3x √ √ √ √ 1 + tg x − 1 − tg x 2 − 1 + cos x 21) lim 21X 1 22) lim 22X 0 x→0 x→0 sin x sin x 48


23)

tg x − sin x x→0 sin3 x lim

23X

1 2

24)

49 (1 + x)5 − (1 + 5x) x→0 x2 + x5 lim

V dalších dvou příkladech vypočtěte limity dané funkce v hraničních bodech definičního oboru a nakreslete graf libovolné jiné funkce, která má ve stejných bodech stejné limity: Zadání Výsledky 2x2 + 5x − 3 lim f (x) = −∞ 25) y = 2 25X lim f (x) = ∞ 8x − 2x − 1 x→− 14 − x→− 14 + 1 x→±∞ 4 4 lim f (x) = − x→0 3 lim f (x) =

26)

x3 + 4x y= 2 x − 3x

26X

lim1 f (x) =

x→ 2

7 6

lim f (x) = lim− f (x) = −∞

x→−∞

x→3

lim f (x) = lim f (x) = ∞

x→3+

6.3

x→∞

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Nepočítáno: ln (1 − x) √ 1) lim √ x→0 2 + sin 3x − 2 − sin 5x 3

e1−x −1 x→1 5x2 − 1 − 2 √ 2 − 2 cos 3x 3) limπ x→ 2 1 − tg2 3x

2)

lim √

4)

limπ

x→ 8

1 − tg 2x cos 4x

1 − 10x x→∞ 1 + 10x−1 tg 3x √ 6) lim √ x→0 2 + sin 2x − 2 cotg 2x − 1 7) limπ x→ 8 1 − cos2 2x 5)

lim

x + sin 5x x · cos 3x √ 1 − 1 + sin 2x 9) lim x→0 tg 2x √ 3x + 4 − 2 10) lim x→0 3x − sin 2x

8)

lim

x→0

24X

10

Kapitola 7

Parciální derivace

7.1

7.2

Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě ∂f f (a + h, b) − (a, b) (a, b) = lim h→0 ∂x h

(7.1.1)

f (a, b + h) − (a, b) ∂f (a, b) = lim h→0 ∂y h

(7.1.2)

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let ∂f ∂x ∂2f ∂2f Výsledek = ∂x∂y ∂y∂x

Zadáná funkce Výsledek

Výsledek

∂f ∂y ?

1)

f (x, y) = xy · ln(2x + 3y) − ln 5

1)

x · ln(2x + 3y) +

1)

3xy 2x + 3y

1)

√ 2) f (x, y) = ln(x2 + 3x y) − y · sin(2) 3x · 2)

2)

√ (x2 + 3x y) 2

4

Nepočítáno: +1

e y 3 x2

6)

f (x, y) = sin(x − y ) + y π y f (x, y) = ln sin + ln x 6 p √ f (x, y) = arctg (y − x) + 3x2 y + π

7)

f (x, y) = arctg(x2 y) − arctg 1

8)

f (x, y) = sin(x3 y + y 2 ) − sin π

3) 4) 5)

2)

1 √ 2 y

f (x, y) = sin(x2 + y 3 ) + y · ex

2 3

y

+1

f (x, y) = arccotg(x − y) − arccotg(−3) π 10) f (x, y) = cos(2x − xy) + cos 4 9)

11)

√ xy−x3 y

f (x, y) = e

+x3 y + e

√

2

50

2xy 2x + 3y 4x2 + 6xy + 9y 2 ln(2x + 3y) + (2x + 3y)2 √ 2x + 3 y √ x2 + 3x y 3x 2y − x √ 2 (x + 3x y)2 y · ln(2x + 3y) +

Kapitola 8

Inverzní funkce

8.1

Návod

Co je naším úkolem při výpočtu inverzních funkcí? Co je to vlastně inverzní funkce? Laicky řečeno, inverzní funkce zobrazuje hodnoty „opačným směremÿ než původní funkce, jak je zřejmé z Tabulky 8.1. Z toho také vyplývá, že funkce f : y = x je inverzní sama k sobě. Právě ke každé prosté funkci lze nalézt inverzní funkci. To znamená, že ne ke každé funkci jsme schopni inverzní funkci sestrojit. Např. funkce f : y = x2 definovaná na celém R není prostá, a proto k ní nejsme schopni sestrojit na tomto definičním oboru inverzní funkci. Lze ji však nalézt k její vhodně zvolené části – viz Tabulka 8.2 třetí příklad. To samé se týká funkce f : y = sin x v posledních dvou příkladech zmíněné tabulky. Tabulka 8.1: Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce f : y = 2x f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)

= = = = =

2 4 6 8 10

⇒

⇒

f −1 : y = f −1 (2) f −1 (4) f −1 (6) f −1 (8) f −1 (10)

= = = = =

x 2

1 2 3 4 5

Příklad f :y

=

x+1 3x − 4

y · (3x − 4)

=

x+1

3xy − 4y

=

x+1

/roznásobení levé strany

3xy − x

=

1 + 4y

/−x /+4y

x(3y − 1)

=

4y + 1

/vytčení x

x

=

4y + 1 3y − 1

inverzní funkce (k y nalezneme x)

y

=

4x + 1 3x − 1

/přeznačení proměnné

/ · (3x − 4)

Tabulka 8.2 ukazuje celkem pět příkladů funkcí a jejich inverzních funkcí. V každém řádku je uveden jeden příklad, na obrázcích jsou celkem 3 křivky:

petrolejová = zadaná funkce • plná = část zadané funkce k níž JE sestrojena inverzní funkce • tečkovaná = část zadané funkce k níž NENÍ sestrojena inverzní funkce

51

52

KAPITOLA 8. INVERZNÍ FUNKCE

růžová (plná) = inverzní funkce fialová (tečkovaná) = osa, podle níž je původní funkce „překlopenaÿ

8.2

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání p 1) f : y = 4 − log(x + 1) √

2) f : y = 3 − 3

√

3) f : y = 2 − 4

x+1

x−3


53

Tabulka 8.2: Inverzní funkce Zadaná funkce

⇒

f : y = 2x

⇒

f : y = ex

⇒

f : y = x2

x ∈ h0; ∞)

⇒

Inverzní funkce f −1 : y =

x 2

f −1 : y = log x

f −1 : y =

√

x

f : y = sin xh− π2 ; π2 i

⇒

f −1 : y = arcsin x

f : y = sin xh− π2 ; π2 i

⇒

f −1 : y = arcsin x


Kapitola 9

Tečna a normála v bodě T

9.1

Vzorce tečny a normály

Tečna t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )

(9.1.1)

Normála n : y − yT =

−1 · (x − xT ) f 0 (xT )

když f 0 (xT ) 6= 0

(9.1.2)

Normála v extrémním případě, kdy se první derivace v bodě rovná v daném bodě nule

f 0 (xT ) = 0

(9.1.3)

n : x = xT

(9.1.4)

Všimněte si, že v případě, kdy se první derivace v bodě rovná nule v zadaném bodě, pak:

t : y − yT = 0

(9.1.5)

n : x = xT

(9.1.6)

a předpisy tečny a normály neobsahují proměnnou x nebo y. Jedná se tedy o přímky, kdy: t n

9.2

k k

osa x osa y

(tečna je rovnoběžná s osou x) (normála je rovnoběžná s osou y)

Návody k výpočtu Obecný předpis tečny a normály:

54

9.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD

55

t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )

n : y − yT =

−1 · (x − xT ) f 0 (xT )

1. Máme zadaný předpis konkrétní funkce a bod o souřadnicích T = [xT ; yT ]. Nemusíme se zabývat definičním oborem – máme zadaný konkrétní bod a ten určitě na křivce leží = v tom místě funkce existuje. Více řešit nemusíme. Zpravidla známe jen x-ovou souřadnici bodu. y-novou souřadnici dopočteme dosazením x-ové souřadnice do zadaného předpisu. 2. Vidíme, že pro dosazení do vzorce nepotřebujeme jen x-ovou a y-ovou souřadnici, ale i první derivaci. Vypočteme tedy 1. derivaci zadané funkce. 3. V případě, že se v 1. derivaci vyskytne proměnná x, dopočteme 1. derivaci v bodě. Vyjde-li např. y 0 = 2x a máme zadaný bod T = [3; 6], tak derivace v bodě je y 0 = 2 · 3, tedy y 0 = 6. (y-nová souřadnice se v derivaci v bodě nijak nepromítne). 4. Dosazení do vzorce: t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT ) n : y − yT = −

1 · (x − xT ) f 0 (xT )

• Toto jsou proměnné, části vzorce, za které se nic nedosazuje a pouze se „opisují.ÿ • Za tyto části vzorce se dosazují souřadnice zadaného bodu T. • Derivace v bodě (jedná se vždy o konkrétní číslo). Poznámka. Normála je kolmice na tečnu – tyto dvě přímky tedy nikdy nemohou mít stejný předpis. Podívejme se však, co se stane, když vyjde první derivace v daném bodě nula f 0 (x) = 0, a my bezmyšlenkovitě dosadíme do vzorců tečny a normály: t : y − yT = 0 · (x − xT ) n : y − yT = × × × · (x − xT ) × × × – pro normálu nám vychází dělení nulou, což je operace vyhrazená pouze Chucku Norrisovi. Pakliže vyjde pro tečnu předpis y = yT , jedná se o nějakou konstantní funkci rovnoběžnou s osou x. Má-li být normála kolmá na tečnu a procházet zadaným bodem, musíme vycházet ze seciálního vzorečku pro tento případ, který říká: n : x = xT

9.3

Ukázkový příklad

Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: • T = [1; ?]

56

KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T

1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce • y = ln 1 ⇒ y = 0 Plné souřadnice bodů jsou tedy: • T = [1; 0] 2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x

• y0 =

1 x

3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)

0 • yT =

1 =1 1

4) Dosazení do vzorce • t : y − 0 = 1 · (x − 1) 0=x−y−1 y =x−1 1 • n : y − 0 = − · (x − 1) 1 0=y+x−1 y =1−x

Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: • S = [e; ?] 1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce • y = ln e ⇒ y = 1 Plné souřadnice bodů jsou tedy: • S = [e; 1] 2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x

• y0 =

1 x

9.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD

57

3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)

• yS0 =

1 e

4) Dosazení do vzorce 1 • t : y − 1 = · (x − e) e 0 = x − ey

• n : y − 1 = − e ·(x − e) 0 = y + e x − e2 −1 Obrázek 9.1: Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S


58


Obrázek 9.2: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě T = [1; 0]


Obrázek 9.3: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě S = [e; 1]



9.4

Jednoduché příklady ze skript Zadání y = x2 tečný bod T = [3; ?] √ y =x+ 1−x tečný bod T = [0; ?]

t: n:

0 = 6x − y + 9 0 = x + 6y − 57

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = x − 2y + 2 0 = 2x + y − 1

2x − 1 3x − 5 tečný bod T = [2; ?]

Xtečna

t:

0 = 7x + y − 17

Xnormála

n:

0 = x − 7y + 19

4)

y = x · ln x tečný bod T = [1; ?]

Xtečna Xnormála

t: n:

0=x−y−1 0=x+y−1

5)

y = ln (x + 1) tečný bod T = [0; ?]

Xtečna Xnormála

t: n:

0=x−y 0=x+y

6)

y = 3 e2x +4x2 + 6 tečný bod T = [0; ?]

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = 6x − y + 9 0 = x + 6y − 54

7)

y = e−x · sin 3x tečný bod T = [0; ?] √ y = x2 · x3 − 4 tečný bod T = [2; ?]

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = 3x − y 0 = x + 3y

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = 20x − y − 32 0 = x + 20y − 162

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = 2x − y − 2 0 = x + 2y − 1

Xtečna

t:

0 = 4x − 13y − 6

Xnormála

n:

0 = 26x + 8y − 39

2)

3)

y=

8)

9)

10)

1)

2)

3)

4)

5)

Výsledky Xtečna Xnormála

1)

9.5

59

y = x2 · ln(2x − 1) tečný bod T = [1; ?] 2x − 3 y = arctg 3x + 2 tečný bod T = 23 ; ?

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání √ 3x2 + 4x + 2 y= x tečný bod T = [1; ?] x+1 (2x + 1)2 tečný bod T = [−1; ?] √ π y = + 3 arctg 2 − e2x 4 tečný bod T = [0; ?] r 3−x y = 3 − ln x+3 tečný bod T = [0; ?] r 2x − 3 y = 3 + ln 3x − 5 tečný bod T = [2; ?] y =3+

Výsledky Xtečna

t:

0 = 4x + 3y − 13

Xnormála

n:

0 = 3x − 4y + 9

Xtečna

t:

0=x−y+4

Xnormála

n:

0=x+y−2

Xtečna

t:

0 = 3x + 2y − 2π

Xnormála

n:

0 = 2x − 3y + 3π

Xtečna

t:

0 = x − 3y + 9

Xnormála

n:

0 = 3x + y − 3

Xtečna

t:

0 = x + 2y − 8

Xnormála

n:

0 = 2x − y − 1

60


6)

(4 − x)2 x+2 tečný bod T = [2; ?]

y=

x3 −8 3x−x2

7)

y=e tečný bod T = [2; ?]

8)

y=

1 + cos x 1 + sin x

tečný bod T =

hπ 4

i ;?

9)

y = 2 + x · e1−2x

10)

tečný bod T = [0; ?] q y = 3 − 2 · ln 4−x x+2

11)

tečný bod T = [1; ?] q 2 +1 y = 5 + ln xx+1 tečný bod T = [0; ?]

12)

13)

sin 2x y = ln 1 − cos 2x tečný bod T = π4 ; ? 3x − 1 y = 4 · arctg 2x + 1 tečný bod T = [2; ?]

Xtečna

t:

0 = 5x + 4y − 14

Xnormála

n:

0 = 4x − 5y − 3

Xtečna Xnormála

t: n:

Xtečna

t:

Xnormála

n:

Xtečna

t:

0 = 6x − y − 11 0 = x + 6y − 8 √ −2 2 − 2 π y−1= √ · x− 4 2 2+3 √ 2 2+3 π y−1= √ · x− 4 2 2+1

Xnormála

n:

Xtečna

t:

Xnormála

n:

Xtečna

t:

Xnormála

n:

Nepočítáno:

0 = ex − y + 2 −x 0= −y+2 e 2x 7 0= −y+ 3 3 −3x 9 0= −y+ 2 2 −x 0= −y+5 2 0 = 2x − y + 5

Kapitola 10

Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p

10.1

Návody k výpočtu

Při výpočtu tečen a normál rovnoběžných se zadanou přímkou p musíme nejdříve zjistit bod dotyku T, a dále budeme postupovat stejně, jako u úloh, pro nalezení rovnice tečny nebo normály, kde je zadán bod dotyku T. V zadání je předpis funkce, k níž tečnu hledáme, a předpis přímky, s níž je tečna rovnoběžná. 1. Máme zadanou funkci f (x) = 6x − 10 − x2 Obrázek 10.1: Průběh funkce f (x) = 6x − 10 − x2


a máme zadanou přímku p : y = −2x (ve směrnicovém tvaru), se kterou má být hledaná tečna rovnoběžná. Obrázek 10.2: Průběh funkce p : y = −2x


2. Očekáváme, že je-li tečna rovnoběžná s přímkou p, bude vypadat následovně – viz Obrázek 10.3, čerchovaná přímka. Zadaná přímka p a hledaná tečna musí mít stejný sklon (směrnici), který je v našem případě: kt = −2 (viz Obrázek 10.4) (pro normálu je směrnice převrácená hodnota s opačným znaménkem – víme, že normála je kolmá na 1 tečnu) kn = . 2

61

62

KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P

Obrázek 10.3: Očekávaný průběh hledané tečny


Obrázek 10.4: Derivace zadané přímky p


Obrázek 10.5: Derivace zadané funkce f (x)


3. Dále spočteme derivaci zadané funkce (což je směrnice tečny v bodě dotyku) f 0 (x) = 6 − 2x 4. Položíme do rovnosti směrnici zadané přímky p a derivaci zadané funkce f (x) 6 − 2x = −2 8 = 2x x=4 y = −16 + 6 · 4 − 10 = −2


63

T = [4; −2] Dosadíme do vzorců t : y + 2 = −2(x − 4) 1 n : y + 2 = (x − 4) 2 Poznámka 3. Směrnici přímky p : y = −2x lze získat jako derivaci této funkce. Poznámka 4. V zadání úlohy může být přímka zadaná v jiném než směrnicovém tvaru. Například přímka zadaná směrnicovou rovnicí: p : y = −2x může být zadaná různými obecnými rovnicemi: p:

4x + 2y = 0

p : −2x − y = 0

10.2

Jednoduché příklady ze skript Zadání 1)

2)

3)

T =

přímka p: 4x − y = 5

Xtečna

y = ln(x3 + x2 )

Xtečný bod

přímka p: y = 1 − 2x

Xtečna

t : 16x − 4y − 2 + π = 0 1 T = − ; − ln 8 2 t : 2x + y + ln 8 + 1 = 0 " √ # π 3 T = ; 6 2 √ t : 6x − 6y + 3 3 − π = 0

D πE na 0; 2

Xtečný bod

přímka p: y = x

Xtečna

y = 2x3 + 2x2 přímka p: y = x2 + 4x

Xtečný bod (1) Xtečna (1)

3x + 2 Spočtěte normálu 5x + 6 přímka p: 2x + y + 1 = 0

y=

1 π ; 8 4

Xnormála (1)

T = [−1; 0] t : 2x − y + 2 = 0 1 8 T = ; 3 27 t : 54x − 27y − 10 = 0 2 1 T = − ; 5 5 n : 10x + 5y + 3 = 0

Xtečný bod (2) Xnormála (2)

T = [−2; 1] n : 2x + y + 3 = 0

Xtečna (2)

10.3

Xtečný bod

Xtečný bod (2)

5)

√ y = arcsin 4x

y = sin 2x

4)

Výsledky

Xtečný bod (1)


1)

Zadání y = −x2 + 8x − 3

Výsledky Xtečna

t : 0 = 12x − y + 1

64

KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P

přímka p: −60x + 5y − 9 = 0

Xnormála

n : 0 = x + 12y + 278

2)

y = −x2 − x − 6 přímka p: 3x − 3y − 7 = 0

Xtečna Xnormála

t:0=x−y−5 n:0=x+y+7

3)

y = −4x2 + 11x + 2 přímka p: −9x + 3y + 2 = 0

Xtečna Xnormála

t : 0 = 3x − y + 6 n : 0 = x + 3y − 22

Kapitola 11

Tečná rovina a normála

11.1

Vzorce tečné roviny a normály

Tečná rovina τ:

∂z ∂z (x, y, z) + (y − yT ) · (x, y, z) − (z − zT ) ∂x ∂y

(11.1.1)

∂F ∂F ∂F (x, y, z) + (y − yT ) · (x, y, z) + (z − zT ) · (x, y, z) ∂x ∂y ∂z

(11.1.2)

0 = (x − xT ) ·

Normála n:

11.2

0 = (x − xT ) ·


Výsledky 2

1)

f (x, y) = (x − y) · ex +y tečný bod T = [1; 0; ?]

2)

3)

2

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = 3ex − ey − z − 2e x = 1 + 3et y = 0 − et z = e −t

f (x, y) = y + x · e x tečný bod T = [1; 0; ?]

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = x + 2y − z x=1+t y = 0 + 2t z =1−t

f (x, y) = y · ln (3x − y) tečný bod T = [1; 2; ?]

Xtečna Xnormála

t: n:

0 = 6x − 2y − z − 2 x = 1 + 6t y = 2 − 2t z =0−t

y

65

Kapitola 12

Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci.

12.1

Monotonie

1. Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x. 2. Když si funkci nakleslíme (nějakým programem, přes tabulku funkčních hodnot či si graf funkce pamatujeme), bez počítání vidíme, že na určitých intervalech tato funkce roste a na jiných klesá. Právě to, kde roste a kde klesá zjišťujeme při výpočtech monotonií. My si ale běžně funkce nekreslíme, navíc v testech dostáváme funkce tak složité, že pro nás není možné si funkci načrtnout. Musíme postupovat analyticky, matematickým aparátem, kterým jsou derivace. Obrázek 12.1: Průběh funkce y = sin x


3. Jaký je vztah mezi funkcí a její derivací? Podívejme se lépe na místo, kde funkce roste (na druhém obrázku je zvýrazněn jen jeden interval, kde funkce y = sin x roste). 4. Soustřeďme se na chování derivace zadané funkce, což je y 0 = cos x, v místech, které jsme si vyznačili. 5. Nutně dospějeme k závěru, že v místech, kde původní, testovaná funkce f roste, je její první derivace f 0 nad osou x. Všechny body ležící v intervalu, kde zadaná funkce f roste mají na křivce první derivace f 0 kladnou funkční hodnotu (y-novou souřadnici). 6. Analogicky pro intervaly, kde funkce f klesá, jsou funkční hodnoty první derivace f 0 záporné. 7. Co se týče extrémů, tak v místech, kde je na funkci y = sin x (plné křivce) extrém (ať už se jedná o maximum či minimum) je funkční hodnota derivace, tedy funkce y = cos x (tečkovaná křivka) rovna nule (tedy leží přímo na ose x).

66

12.2. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST

67

Obrázek 12.2: Rostoucí interval funkce y = sin x (vybrán jen jeden)


Obrázek 12.3: Průběh funkce y = sin x (plná) a funkce y 0 = cos x (tečkovaná)


12.2

Monotonie a zakřivenost (= konvexita a konkávita)

1. Dostaneme zadanou např. funkci y = ln(16 + 9x2 ). Při výpočtu zakřivenosti funkce potřebujeme spočítat druhou derivaci, abychom z ní vyčetli chování funkce na daných intervalech podobně jako u výpočtu monotonií, kde pracujeme s první derivací. Nyní pro zadanou funkci zjistíme jak monotonii, tak zakřivenost. Z obrázku krásně vidíme, kde funkce roste a kde klesá. Zároveň vidíme, kde je konvexní a konkávní. Místům, kde se růst mění v pokles a naopak se říká extrémy, kde se mění konvexita v konkávitu a obráceně pak inflexní (inflexe = ohyb) body (za předpokladu, že v tomto bodě má graf funkce tečnu, což je v našich příkladech splněno).

68

KAPITOLA 12. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ?

Obrázek 12.4: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 )


2. Přestože nás zajímá více konvexita a konkávita, prohlédneme si tuto funkci i z pohledu monotonie. Opět tu je zvýrazněná část rostoucí (klidně by to mohla být část klesající). Nyní čekáme, že derivace této funce, bude v místech růstu zadané funkce nad osou x. Je tomu skutečně tak? Obrázek 12.5: Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2 )


18x . Pokud si tuto funkci nakreslíme, zjistíme, že 16 + 9x2 její průběh je následující (viz Obrázek 12.6 – tečkovaná křivka):

3. Derivace funkce y = ln(16 + 9x2 ) je funkce y =

Skutečně je v místech růstu první funkce nad osou x a tu protíná právě v místě, kde má funkce y = ln(16 + 9x2 ) extrém. 4. Podíváme se na tu samou funkci z pohledu konvexity a konkávity. Na obrázku je zvýrazněna konvexní část


69

Obrázek 12.6: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) (plná) a funkce y 0 =

18x 16+9x2

(tečkovaná)


křivky. Body, kde se průběh mění jsou tzv. inflexní (zároveň v nich má daná funkce tečnu, tedy vlastní derivaci). Zatímco má křivka y = ln(16 + 9x2 ) jen jeden extrém, má dva inflexní body (extrém a inflexní bod nikdy nemohou být ve stejném místě). Obrázek 12.7: Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2 )


5. Nyní se podíváme, jak vypadá druhá derivace funkce y = ln(16 + 9x2 ). Je to y =

18(16 − 9x2 ) a po (16 + 9x2 )2

nakreslení je průběh druhé derivace takový (viz Obrázek 12.8 – čárkovaná křivka): 6. V místech, kde je funkce konkávní jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) druhé derivace záporné, intervaly konvexní mají druhou derivaci kladnou.

70


Obrázek 12.8: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) (plná) a funkce y 00 =

18(16−9x2 ) (16+9x2 )2

(čárkovaná)


Tabulka 12.1: Jak čteme z derivací Průběh funkce Konvexní Konkávní

Průběh druhé derivace rostoucí klesající

Znaménko druhé derivace + −

Tvar křivky S T

Tabulka 12.2 ukazuje rostoucí funkce, popř. jsou zvýrazněny intervaly, na kterých je průběh dané funkce rostoucí. Jak se na intervalech, kde je původní funkce rostoucí, chová první derivace? Funkční hodnoty jsou kladné – tj. nad osou x. U klesajících intervalů je tomu naopak, jak ukazuje Tabulka 12.3. V Tabulce 12.4 je znázorněno, kde se nachází druhá derivace na intervalu, na kterém je zadaná funkce konvexní – je kladná. A kde se nachází na intervalech, kde je původní funkce konkávní? Viz Tabulka 12.5 – funkční hodnoty jsou záporné. V Tabulce 12.6 lze spatřit nejen vztah mezi původní funkcí a její derivací, ale i vztah mezi derivacemi. Např. z třetí derivace můžeme vyčíst monotonii druhé derivace, zrovna tak, jako ze čtvrté derivace můžeme vyčíst konvexnost či konkávnost druhé derivace.


71

Tabulka 12.2: Rostoucí intervaly Zadaná funkce

⇒

První derivace

y=x

⇒

y0 = 1

y = ln x

⇒

y0 =

y = x2

⇒

y 0 = 2x

y = ex

⇒

y 0 = ex


1 x

72


Tabulka 12.3: Klesající intervaly Zadaná funkce

⇒

První derivace

y = x4

⇒

y 0 = 4x3

y = −x2 + 3

⇒

y 0 = −2x

y = sin x

⇒

y 0 = cos x

y = cos x

⇒

y 0 = − sin x



73

Tabulka 12.4: Intervaly konvexity

Zadaná funkce

⇒

První derivace

⇒

Druhá derivace

y = x2

⇒

y 0 = 2x

⇒

y 00 = 2

y = x3 + 3

⇒

y 0 = 3x2

⇒

y 00 = 6x

y = ex

⇒

y 0 = ex

⇒

y 00 = ex

y = sin x

⇒

y 0 = cos x

⇒

y 00 = − sin x


74


Tabulka 12.5: Intervaly konkávity

Zadaná funkce

⇒

y = ln x

⇒

y = −x2 + 2

⇒

y=

1 x

y = sin x

⇒

Druhá derivace

⇒

y 00 = − x12

y 0 = −2x

⇒

y 00 = −2

⇒

y 0 = − x12

⇒

y 00 =

⇒

y 0 = cos x

⇒

První derivace y0 =

1 x


2 x3

y 00 = − sin x


75

Tabulka 12.6: Různé funkce a řada jejich derivací

Zadaná funkce

První derivace

Druhá derivace

Třetí derivace

Čtvrtá derivace

y=2

y0 = 0

y 00 = 0

y 000 = 0

y 0000 = 0

y = 2x

y0 = 2

y 00 = 0

y 000 = 0

y 0000 = 0

y = 2x2

y 0 = 4x

y 00 = 4

y 000 = 0

y 0000 = 0

y = 2x3

y 0 = 6x2

y 00 = 12x

y 000 = 12

y 0000 = 0

y = 2x4

y 0 = 8x3

y 00 = 24x2

y 000 = 48x

y 0000 = 48


Kapitola 13

Monotonie

13.1

Návody k výpočtu

1. Nalezneme definiční obor – na každém intervalu definičního oboru funkce existuje a zde se tedy „nějak chováÿ (může být konstantní, rostoucí či klesající, konvexní či konkávní). Nutno podotknout, že však nemusí být ani rostoucí ani klesající a naopak může být chvíli rostoucí a chvíli klesající apod. Když nebude funkce ani růst ani klesat, pak se bude jednat o nějakou konstantní funkci (přímku rovnoběžnou s osou x). 2. Vypočteme 1. derivaci a upravíme ji. (Pozn.: V případě, že vyjde derivace rovna nule, pak se jedná o konstantní funkci, která není ani konvexní ani konkávní.) 3. Najdeme body, ve kterých je funkční hodnota derivace rovna nule či ve kterých derivace neexistuje (nulové body ze jmenovatele). 4. Z předchozího bodu nám vyjdou tzv. „podezřelé body.ÿ Klidně se může stát, že nevyjde žádný nulový bod (v takovém případě je funkce ryze rostoucí nebo ryze klesající), nebo se může objevit bod jeden či více (třeba 5). Tyto body (jedná se o konkrétní čísla) naneseme na osu. 5. Na osu nejprve zaneseme definiční obor, pak „podezřelé body.ÿ Nyní je potřeba zjistit znaménka funkčních hodnot první derivace. Vybereme z každého vzniklého intervalu číslo, to dosadíme do první derivace (za x). Vyjde-li + je funkce na daném intervalu rostoucí, vyjde-li znaménko − je klesající na daném intervalu.

13.2

Vzorový příklad Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet monotonií 3 způsoby na jedné funkci.

1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2 . Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, kde funkce roste a kde klesá. Obrázek 13.1: Průběh funkce y = x2


76

13.2. VZOROVÝ PŘÍKLAD

77

• funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i • funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞) 2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme monotonii přes derivace, nikoli z obrázku. (a) Definiční obor x ∈ R (b) Derivace zadané funkce je y 0 = 2x, což je nová funkce. My si ji nyní opět nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 13.2: Průběh funkce y 0 = 2x


Derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu monotonií využívat. Když je na daném intervalu funkce rostoucí, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce klesá, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. • funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i • funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞) 3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: (a) Definiční obor x ∈ R (b) Derivace zadané funkce je y 0 = 2x (c) Zjištění nulových bodů – položíme první derivaci do rovnosti s nulou 2x = 0 x=0 (d) Zjištění znamének na intervalech, které vzniknou rozdělením číselné osy nulovými body. Nulový bod v našem případě vyšel jen jeden, x = 0. Máme tedy dva intervaly, (∞; 0i a h0; ∞). Jde tedy jen o to, zjistit průběh zadané funkce. Dosadíme vždy libovolně zvolené číslo z intervalu. + znamená, že funkce roste a − značí, že je funkce na daném intervalu klesající. (∞; 0i např. číslo −3 dosadíme číslo za x do první derivace y 0 = 2 · (−3); y 0 = −6 h0; ∞) např. číslo 5 dosadíme číslo za x do první derivace y 0 = 2 · (5); y 0 = 10 • funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i • funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!

− +

78

13.3

KAPITOLA 13. MONOTONIE


Výsledky

1) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x

1X 1X

roste (−∞; −3i a h2; ∞) klesá h−3; 2i

2) f (x) = x4 − 2x2 + 5

2X 2X

roste h−1; 0i a h1; ∞) klesá (−∞; −1i a h0; 1i

3) f (x) = x2 · ex

3X 3X

roste (−∞; −2i a h0; ∞) klesá h−2; 0i

4) f (x) = x3 · e−x

4X 4X

6X

roste (−∞; 3i klesá h3; ∞) √ √ roste −∞; − 3 a 3; ∞ √

√ klesá − 3; −1 a (−1; 1) a 1; 3

6X

klesá h−1; 0) a (0; 1i

7X

roste (−∞; −6i a h6; ∞) √ √ √ √

klesá −6; −2 3 a −2 3; 2 3 a 2 3; 6 16 roste 0; 5 16 klesá (−∞; 0) a ;∞ 5 3 roste −∞; − 4 3 1 klesá − ; 4 4

5) f (x) = x +

x2

x −1

5X 5X

6) f (x) = 2x +

2 x

roste (−∞; −1i a h1; ∞)

3

7) f (x) =

x2

x − 12

7X 8) f (x) =

(x − 2) · (8 − x) x2

8X 8X

9) f (x) = x + ln (1 − 4x)

9X 9X

10)

f (x) = x2 − ln x2

11)

f (x) =

1 + ln x x √

3x − x2

12)

f (x) =

13)

f (x) = arctg x − x

14)

f (x) = (x − 3)4 · (3x + 1)5

15)

f (x) = x + arccotg 2x

16)

f (x) =

3x2 + 4x + 4 x2 + x + 1

10X 10X

roste h−1; 0) a h1; ∞) klesá (−∞; −1i a (0; 1i

11X roste (0; 1i 11X klesá h1; ∞) 3 12X roste 0; 2 3 ;3 12X klesá 2 13X klesá (−∞; ∞) 41 14X roste −∞; a h3; ∞) 27 41 14X klesá ;3 27 1 1 15X roste −∞; − a ;∞ 2 2 1 1 15X klesá − ; 2 2 16X roste h−2; 0i


17)

18)

f (x) = 2x −

√

f (x) = arcsin

19)

f (x) = 3x · ex

20)

f (x) =

21)

4x + 8

2

2x 1 + x2

−4x+3

1 · ln 24

f (x) = arccos

16X klesá (−∞; −2i a h0; ∞) 7 17X roste − ; ∞ 4 7 17X klesá −2; − 4 18X roste h−1; 1i 18X klesá (−∞; −1i a h1; ∞) ! √ + * √ 2 2 19X roste −∞; 1 − a 1+ ;∞ 2 2 * √ √ + 2 2 19X klesá 1 − ;1 + 2 2

x2 − 9 x2 − 1

20X roste h0; 1) a (3; ∞)

1−x 1 − 2x

21X roste

20X klesá (−∞; −3) a (−1; 0i

21X klesá 22)

f (x) =

x2 ln x

(−∞; 0i 2 ;∞ 3

√ 22X roste h e; ∞) 22X klesá (0; 1)a (1;

23)

24)

13.4

f (x) = ln

79

2x 16 − x4

f (x) = arctg(x − 1)2

√

ei

23X roste (−∞; −2) 23X

klesá (0; 2)

24X 24X

roste h1; ∞) klesá (−∞; 1i

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 2

−4x+3)

1)

f (x) = 3x · e(x

2)

f (x) =

3)

f (x) = (x − 2) ·

4)

f (x) =

2 − 9x2 1 − 9x2

√

√

5−x

x · e−3x

Výsledky – funkce na intervalu: ! √ √ + * 2 2 a 1+ ;∞ 1X roste −∞; 1 − 2 2 * + √ √ 2 2 ;1 + 1X klesá 1 − 2 2 1 1 a ;∞ 2X roste 0; 3 3 1 1 a − ;0 2X klesá −∞; − 3 3 3X 3X 4X 4X

5)

f (x) = 5 + 3 · ln

p 4 − x2

5X

roste (−∞; 4i klesá h4; 5i 1 roste 0; 6 1 ;∞ klesá 6 roste(−2; 0i

80

KAPITOLA 13. MONOTONIE

5X 6)

f (x) = 3 − ln (2 − x − x2 )

6X 6X

7)

f (x) =

x2 2x − 1

7X 7X

8)

f (x) = ln

9)

f (x) =

2x + 3 3x − 1

x3 3 − x2

8X 9X 9X

p

24 − 2x − x2

10)

f (x) =

11)

f (x) = 1 + ln (6 − x − x2 )

10X 10X 11X 11X

12)

f (x) =

2 − 4x2 1 − 4x2

12X 12X

13)

14)

f (x) =

f (x) =

x2

x − 10x + 9

(3x + 2)2 1−x

15X

roste (−∞; −8i a h4; ∞)

15X

klesá h−8; −2) a (−2; 4i

16X 16X

roste h−6; −2i klesá h−2; 2i 1 ;∞ roste 2 1 klesá −∞; − 2

16)

p f (x) = 4 + 12 − 4x − x2

17)

f (x) = 2 + 3 · ln(4x2 − 1)

17X 17X

p

19)

f (x) = 2 − 3 · ln

20)

f (x) = (x − 3) ·

21)

f (x) = 1 −

22)

f (x) = 3 + 2 · ln (9x2 − 1)

√

25 −

9x2

x

p 10x − x2 − 21

roste h−6; 1i klesá h−1; 4i 1 roste −3; − 2 1 klesá − ; 2 2 1 1 roste 0; ;∞ a 2 2 1 1 a − ;0 klesá −∞; − 2 2 klesá (−∞; −3i a h3; 9) a (9; ∞) 2 8 roste − ; 1 a 1; 3 3 2 8 klesá −∞; − ;∞ a 3 3

f (x) =

x x2 − 5x + 4

klesá(−∞; −3i a h3; ∞)

13X

15)

f (x) =

√ √ √ √

roste −3; − 3 a − 3; 3 a 3; 3

roste h−3; 1) a (1; 3)

14X

18)

roste (−∞; 0i a h1; ∞) 1 1 a ;1 klesá 0; 2 2 3 1 klesá −∞; − a ;∞ 2 3

13X

14X

(4 − x)2 2+x

klesá h0; 2) 1 roste − ; 1 2 1 klesá −2; − 2

18X

roste (−∞; 1) a (1; 2i

18X

klesá h2; 4) (4; ∞)

19X 19X

roste h0; ∞) klesá (−∞; 0i

20X 20X

roste h1; ∞) klesá h0; 1i

21X 21X

roste h5; 7i klesá h3; 5i 1 ;∞ roste 3

22X


23)

f (x) =

3x2 + 1 x2 − 1

−∞; −

81 1 3

22X

klesá

23X

roste (−∞; −1) a (−1; 0i

23X

klesá h0; 1) a (1; ∞)

Kapitola 14

Konvexita a konkávita

14.1

Návody k výpočtu

Tyto návody nemusí platit úplně obecně, jsou uzpůsobeny požadavkům technické fakulty a příkladům, které se objevují v testech. Předpokladem použití tohoto návodu je, že funkce f má (všechny funkce z písemek tuto vlastnost mají).    lineární Funkce na určitých intervalech mohou být konvexní   konkávní

spojitou druhou derivaci na vnitřku definičního oboru

druhá derivace je na daném intervalu rovna znaménko druhé derivace je na daném intervalu znaménko druhé derivace je na daném intervalu

0 + −

1. Zjistíme definiční obor – na tomto intervalu funkce existuje a zde se tedy může „nějak chovat,ÿ může být např. konvexní či konkávní. Nutno podotknout, že však nemusí být ani konvexní ani konkávní. Pak bude jejím grafem na tomto intervalu přímka. . 2. Vypočteme 1. derivace a upravíme ji tak, aby se nám dobře derivovala podruhé. 3. Vypočteme 2. derivace (tj. opětovně zderivujeme 1. derivaci) a upravíme ji pro potřeby následujících výpočtů. Budeme zjišťovat „nulové body z 2. derivaceÿ, upravíme tedy funkci tak, aby se nám s ní dobře počítalo. Vyjde-li 2. derivace nenulová konstanta (neobsahuje proměnnou, zpravidla značenou x), pak je funkce konvexní nebo konkávní na celém definičním oboru. Vyjde-li 2. derivace 0 , pak je funkce lineární (tedy není ani konvexní ani konkávní). 4. Budeme zjišťovat znaménko druhé derivace, pak mohou nastat 2 situace: z 2. derivace nevyjde žádný podezřelý bod V tomto případě je druhá derivace stále + nebo stále − , z čehož vyplývá, že je funkce buď ryze konvexní nebo ryze konkávní. z 2. derivace vyjde jeden či více podezřelých bodů např. ve chvíli, kdy je 2. derivace rovna nějaké nenulové konstantě. Funkce je buď konvexní nebo konkávní na celém R, záleží na znaménku. „Podezřelé bodyÿ se v případě, že se kolem nich mění konvexita v konkávitu nazývají „inflexní bodyÿ. 5. Získané údaje zakreslíme na číselnou osu, nejprve na osu zaneseme definiční obor a označíme, zda krajní body patří či nikoli do definičního oboru, tedy patří • a nepatří ◦. Pak zaneseme na číselnou osu nulové body z čitatele a ze jmenovatele. 6. Nyní je třeba zjistit „znaménka funkčních hodnot 2. derivace.ÿ Zjišťujeme znaménka tak, že vezmeme nějaké libovolné číslo z intervalu vymezeného nulovými body (v rámci definičního oboru!), který vznikl zanesením nulových bodů na číselnou osu, vybereme číslo z tohoto intervalu a dosazujeme jej do druhé derivace. Vyjde-li + je funkce konvexní, vyjde-li − je konkávní. Jak si snadno zapamatovat, jaké znaménko se vztahuje k jakému typu průběhu funkce je uvedeno na 3. záložce v souboru „Konvexita.ÿ

14.2

Vzorový příklad

Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet konvexity 3 způsoby na jedné funkci. 82


83

1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2 . Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, zda a kde je funkce konvexní či konkávní. Obrázek 14.1: Průběh funkce y = x2


• funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞) 2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme konvexitu přes derivace. Postup je: (a) Definiční obor x ∈ R (b) 1. derivace zadané funkce je y 0 = 2x, což je nová funkce. Z ní čteme a ji si kreslíme při výpočtu monotonií. (c) 2. derivace zadané funkce je y 00 = 2, je již 3. funkce. Tu si nyní nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 14.2: Průběh funkce y 00 = 2


I druhá derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu konvexit využívat. Když je na daném intervalu funkce konvexní, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce konkávní, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. (zároveň, když se nad celou věcí zamyslíme, lze z druhé derivace vyčíst monotonii první derivace ,). • funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞)

3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: (a) Definiční obor x ∈ R

84

KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA (b) 1. derivace zadané funkce je y 0 = 2x (c) 2. derivace zadané funkce je y 00 = 2 (d) Zjištění nulových bodů – v tomto případě se v druhé derivace nevyskytuje žádné x, odpadá dopočet nulových bodů (nemá smysl pokládat např. v našem případě dvojku rovnou nule, z toho nic nevzejde), v takovém případě, nevyskytuje-li se v druhé derivace proměnná, můžeme očekávat 3 situace: i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní V tomto případě se jedná o situaci (i), neboť funkční hodnota druhé derivace je rovna pro kterékoli libovolné x je kladná (rovna +2). Kdy nastává jaká situace? i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní (y 00 = kladná konstanta) ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní (y 00 = záporná konstanta) iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní (y 00 = nula), nule se rovná buď na celém definičním oboru nebo v místech nulových bodů (tzv. inflexních bodů) • funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!

14.3

Memo pomůcka

Jak si zapamatovat, jaké znaménko přísluší jakému typu průběhu funkce a jak taková funkce vypadá? Při vyšetřování, zda je funkce na daném intervalu konvexní či konkávní se opíráme o funkční hodnoty druhé derivace na daném intervalu. Co znamená, když jsou funkční hodnoty kladné a co když jsou záporné?

KONVEXITA

+

Jak si jednoduše zapamatovat, že zrovna znaménko plus (v druhé derivaci!) odpovídá konvexnímu průběhu dané funkce? Plus je v podstatě křížek a ve slově konvexita také jeden je ,. I průběh funkce je schovaný již v názvu konvexita. Všimněte si, že průběh se velice podobá písmenku U nebo V, což je opět obsaženo přímo ve slově konVexita.

KONKÁVITA

−

Jak je to u konkávity? Krom vylučovací metody tu jsou tyto pomůcky: Průběh se podobá písmenku A. KonkÁita. I zde lze tedy odvozovat od názvu typu průběhu. A znaménko mínus? Průběh fce by nám mohl připomenout převrácenou misku. Je otočená dnem vzhůru, co v ní bylo se vysypalo a proto smutné znaménko mínus /, či oblíbené „do konkávní kávu nenaliješÿ.

14.4. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ

85

Obrázek 14.3: Průběh ryze konvexní funkce


Obrázek 14.4: Průběh ryze konkávní funkce


14.4

Ukázkový příklad zkouškové úrovně

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 11. příklad. y = e−2x

2

1. Spočítáme definiční obor x ∈ R 2. Spočítáme první derivaci a upravíme 2

y 0 = e−2x (−4x) = −4x · e−2x

2

3. Spočítáme druhou derivaci a upravíme 2

2

2

y 00 = −4 · e−2x +(−4x) · e−2x (−4x) = (vytýkáme. . . )= −4 e−2x (−1 + 4x2 ) 4. Položíme druhou derivaci rovnu nule a spočítáme nulové body 2

− 4 e−2x (−1 + 4x2 )

=

0

−1 + 4x

2

=

0

4x

2

=

x2

1 1 = 4

x

= ±

1 (máme 2 „podezřeléÿ body) 2

86

KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA

5. Tyto nulové body zaneseme na osu a budeme zjišťovat znaménka funkčních hodnot druhé derivace.

Obrázek 14.5: Číselná osa y 00

+

−

+

− 12

+ 12

Zdroj: program LATEX

Funkce je konvexní na intervalech

−∞; −

Funkce je konkávní na intervalu

1 2

a

1 1 − ;+ 2 2

Obrázek 14.6: Průběh funkce y = e−2x

1 + ;∞ 2

2


růžová (plná) = zadání petrolejová (tečkovaná) = první derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení monotonie funkce zelená (čárkovaná) = druhá derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení zakřivenosti funkce

14.5


Zadání

Výsledky

1) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x

1X 1X

4

3

2) f (x) = 3x + 8x − 24x

2

2X

1 − ;∞ 2 1 konkávní −∞; − 2

konvexní

konvexní (−∞; −2i a

2 ;∞ 3

14.5. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT

3) f (x) = x +

√ 3

x5

4) f (x) = x · (1 − x)2

87 2 3

3X 3X

konvexní h0; ∞) konkávní h−∞; 0i 2 konvexní −∞; 3 2 konkávní ;∞ 3

4X

x−2

−2;

konkávní

4X √ 3

2X

5X 5X

konvexní (−∞; 2) konkávní h2; ∞)

6X 6X

konvexní (−∞; −1i a h1; ∞) konkávní h−1; 0) a (0; 1i

7) f (x) = e x

7X 7X

8) f (x) = (x − 1) · e3x

8X

konvexní (−∞; −6i a h6; ∞) √ √ √ √

konkávní −6; −2 3 a −2 3; 2 3 a 2 3; 6 16 konvexní 0; 5 16 konkávní (−∞; 0) a ;∞ 5 3 konvexní −∞; − 4 3 1 konkávní − ; 4 4

5) f (x) = 2 +

6)

f (x) = x ·

√

1+x

1

8X 2

9) f (x) = 2x + e−x

9X 9X

2

10)

f (x) = e2x−2x

10X 10X

konvexní h−1; 0) a h1; ∞) konkávní (−∞; −1i a (0; 1i

11)

f (x) = (x2 − 4x + 5) · e−x

11X 11X

konvexní (0; 1i konkávní h1; ∞)

12)

x f (x) = arcsin 1 − 2

12X

konvexní h0; 2i

12X

konkávní h2; 4i

13)

f (x) = x2 · ln x

13X

konvexní (−∞; ∞)

14)

f (x) = 1 − ln(x2 − 9)

14X 14X

konvexní (−∞; −3) konkávní (−3; 3)

15)

f (x) =

15X 15X

√ konvexní h e; ∞) √ konkávní (0; e)

16X

konvexní (−∞; −2)

16X

konkávní (1; ∞)

17X


18X

konvexní hπ + 2kπ; 2π + 2kπi

18X

konkávní h2kπ; π + 2kπi D πE konvexní 0; 4 π 3π ; konkávní 4 4

16)

1 + ln x x

f (x) = ln

x−1 x+2

17)

f (x) = 2x2 + sin x + 1

18)

f (x) =

19)

sin x 2 + cos x

f (x) = sin2 x

19X

x ∈ h0; πi 20)

f (x) = 4 sin x +

19X 3 sin 2x 8

20X

konvexní hπ; 2πi

88

KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA

x ∈ h0; 2πi

20X

konkávní h0; πi π π konvexní − ; 2 2

21)

f (x) = cos x − ln(cos x)

21X

22)

f (x) = arctg x − x

22X 22X

23)

f (x) = x arccotg x

23X

konkávní R

24)

f (x) = x + 2 arccotg x

24X 24X

konvexní h0; ∞) konkávní (−∞; 0i

25)

f (x) = arccos(1 − x)

25X 25X

26)

√ f (x) = arcsin 1 − 2x

konvexní h1; 2i konkávní h0; 1i 1 konvexní 0; 4 1 1 konkávní ; 4 2

26X 26X

27)

Pro jaké a > 0 je následující funkce 2 konkávní? y = ax2 · e2x

konvexní (−∞; 0i konkávní h0; ∞)

27X

pro žádné

28)

Napište rovnice tečen v inflexních bodech grafu funkcey = x4 − 4x3

28X 28X

t1 : y = 0 t2 : 16x + y = 16

29)

Pro která čísla a, b je bod [1, 1] inflexním bodem grafu funkce y = x3 + ax2 − 3x + b

29X 29X

a = −3 b=6

14.6

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) f (x) = x e−x

Výsledky 1X konvexní h2; ∞) 1X konkávní (−∞; 2i

2)

f (x) = ln (1 + x2 )

3)

f (x) = x + e1−x

2X 2X

2

3X 3X

4)

5)

f (x) = ln 16 + 9x2

f (x) =

ln x x

4X 4X 5X 5X

6)

1

f (x) = e x

6X 6X

7)

f (x) = x + arctg (2x + 3)

7X

konvexní h−1; 1i konkávní (−∞; −1i a h1; ∞) ! * r + *r 1 1 a ;∞ konvexní −∞; − 2 2 * r r + 1 1 ; konkávní − 2 2 4 4 konvexní − ; 3 3 4 4 a ;∞ konkávní −∞; − 3 3 3 konvexní e 2 ; ∞ D 3 konkávní 0; e 2 1 konvexní − ; 0 a (0; ∞) 2 1 konkávní −∞; − 2 3 konvexní −∞; − 2


8)

f (x) = x − 2 · arctg x

9)

7 f (x) = x4 · ln x − 12

10)

f (x) = 2x · arctg x

11)

f (x) = 2x + e

12)

f (x) = e−2x

13)

f (x) =

−x2 2

2

x x2 − 1

89

3 − ;∞ 2

7X

konkávní

8X 8X

konvexní h0; ∞) konkávní (−∞; 0i

9X

konvexní h1; ∞i

9X

konkávní (0; 1i

10X


11X konvexní (−∞; −1i a h1; ∞) 11X konkávní h−1; 1i 1 1 12X konvexní −∞; − a + ;∞ 2 2 1 1 12X konkávní − ; + 2 2 13X

konvexní (−1; 0i a (1; ∞)

13X

konkávní (−∞; −1) a h0; 1)

Kapitola 15

Souhrnný příklad Ukážeme si nyní výpočet všech základních charakteristik funkcí na dvou příkladech. Zároveň si je nakreslíme a tak z obrázku snadno poznáme, kde křivky rostou, kde klesají, zda a kde mají maxima či inflexní body. Uvidíme tak souvislost mezi obrázky a výpočty. Porovnávejte průběžně výsledky výpočtu s realitou na obrázku. Druhý příklad g : y = 2x3 − 7

První příklad f : −x2 + 8x − 12

Předpis:

Definiční obor:

2 3 4 0 3 4 D: x ∈ R

První derivace:

y 0 = −2x + 8

y 0 = 6x2

Nulové body z první derivace:

−2x + 8 = 0

6x2 = 0

x=4

x=0

Tabulka funkčních hodnot:

x y

1 −5

y0

6 0

−

+

x y

0 1 2 −7 −5 9 D: x ∈ R

y0

+

+4

Číselná osa: Monotonie:

5 3

1,5 0

+ 0

funkce roste na intervalu (−∞; 4i

funkce roste na intervalu (−∞; +∞)

funkce klesá na intervalu h4; +∞) Extrémy:

E1 =[4; 4] je maximum

žádný extrém

Druhá derivace:

y 00 = −2

y 00 = 12x

Nulové body z druhé derivace:

−2 = 0

12x = 0

−2 6= 0 ⇒ žádné nulové body

x=0

−

y 00 Číselná osa: Zakřivenost:

−∞

y 00 +∞

funkce je konkávní na intervalu (−∞; +∞)

−

+ 0

funkce je konkávní na intervalu (−∞; 0i funkce je konvexní na intervalu h0, +∞)

Inflexní body:

žádný inflexní bod

Obrázek:

90

I2 =[0;−7]

Kapitola 16

Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné

16.1

Návody k výpočtu

1. Zadání se sestává z předpisu funkce a uzavřeného intervalu. V případě, že není interval zadán, shoduje se s definičním oborem funkce a v tomto případě je třeba definiční obor vypočítat. Naším úkolem je nalézt globální maxima a minima, tj. největší a nejmenší hodnoty funkce na daném intervalu (nebo na definičním oboru), a dále lokální maxima a minima (extrémy) funkce. Jedná se o konkrétní body na grafu a my hledáme jejich souřadnice. Maxima jsou body na grafu s nejvyšší funkční hodnotou (y-novou souřadnicí) a minima s nejnižší funkční hodnotou. 2. Lokální extrémy • Zderivujeme zadanou funkci. • Najdeme tzv. „podezřelé bodyÿ – body, v nichž je derivace rovna nule nebo neexistuje. • Pro „podezřelé body,ÿ musíme zjistit, zda se jedná o lokální extrémy a když ano, tak jaké jsou kvality (zda se jedná o maximum či minimum, zda je ostré či neostré). Tabulka 16.1: Určení kvality extrémů Dle pozice y-nové souřadnice

Umístění v intervalu

Unikátnost souřadnice

maximum minimum

lokální (neboli relativní) globální (neboli absolutní)

ostré neostré

• Naneseme na číselnou osu zadaný interval, dále „podezřelé bodyÿ body z první derivace. Může se stát, že některé body vyjdou mimo zadaný interval, pak si jich vůbec nevšímáme. • Zjišťujeme znaménka v intervalech rozdělených těmito body – postupujeme nyní obdobně jako u výpočtu monotonií – vybereme si číslo z každého intervalu, dosadíme vždy do první derivace a zapíšeme k danému intervalu znaménko, které nám vyšlo. + znamená rostoucí, − klesající průběh funkce. Jestliže funkce nejprve roste a potom klesá, jedná se o lokální maximum (čteme zleva), jestliže je nejprve klesající a potom rostoucí, vyhodnotíme kvalitu extrému jako lokální minimum. Může se stát, že nám vyjdou stejná znaménka vedle sebe. V tom případě v daném bodě není lokální extrém (proto se bodům říká „podezřelé,ÿ nemáme jistotu, že v nich nějaký lokální extrém najdeme). 3. Globální extrémy • Spočteme funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu (v krajních bodech nemůže být lokální extrém, pouze globální) a v „podezřelých bodechÿ. • Porovnáme funkční hodnoty (tedy y-nové souřadnice) a jednoduše vidíme, kde je číslo nejvyšší a kde nejnižší (! záleží na souřadnici y nikoli x). V případě, že nejmenší nebo největší hodnota leží uvnitř intervalu, jedná se o globální a zároveň lokální extrém. Je-li největší/nejmenší hodnota v bodě na hranici intervalu, jedná se pouze o extrém globální.

16.2

Extrémy – možné intervaly

Při výpočtu globálních a lokálních extrémů mohou nastat různé situace, pojďme si je společně projít. 91

92

KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

U zápisu výsledků se musíme vyjádřit k tomu, o jaký typ extrému se jedná, zda jde o: lokální × globální maximum × minimum ostré × neostré Co tyto charakteristiky znamenají? Zda se jedná o maximum či minimum zjistíme z y-nové souřadnice. Je rozdíl, v tom, jestli se jedná o lokální nebo globální extrém. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze maximum. Bod X je bodem lokálního maxima jestliže funkce v něm nabývá maximální y-nové hodnoty na jeho bezprostředním okolí (oboustranném). Jestliže se největší hodnota nabývá pouze v tomto jediném bodě, jedná se o extrém ostrý. U globálního extrému funkce záleží na intervalu, na kterém danou funkci uvažujeme. Funkce může mít globální maximum v bodě, ve kterém má lokální maximum, nebo v krajním bodě (případně obou krajních bodech) příslušného intervalu. Globální maximum je ostré, pokud se na daném intervalu nabývá pouze v jednom bodě, jinak je neostré. Vše si ukážeme na konkrétním příkladě. Máme zadanou funkci y = 2 − x2 , která má jeden extrém a tím je ostré lokální maximum se souřadnicemi [0; 2]. Tento bod je neměnný, nicméně významnost a pojmenování se budou lišit. Nyní si ukážeme možné varianty zadaní intervalů na funkci: y = 2 − x2

Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.1) Zadaný interval h0; 2i

Tabulka 16.2: Extrémy – body z případu 16.1 Extrém, který vyjde z derivace: [0; 2]

ostré globální maximum

Body na hranicích intervalů: [0; 2] ostré globální maximum [2; −2] ostré globální minimum

Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.2) Zadaný interval h−3; −1i

Neostré globální extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.3) Zadaný interval h−2; 2i

16.2. EXTRÉMY – MOŽNÉ INTERVALY

93

Obrázek 16.1: Dva globální extrémy na hranicích intervalu


Obrázek 16.2: Dva globální extrémy na hranicích intervalu


Ostré lokální maximum uvnitř intervalu a ostré globální minimum na hranici (0brázek 16.4) Zadaný interval h−1; 5i

94


Tabulka 16.3: Extrémy – body z případu 16.2 Extrém, který vyjde z derivace: [0; 2] [ -3; −7 ] [ −1; 1]

bod je mimo interval, takže nás nezajímá Body na hranicích intervalů: ostré globální minimum ostré globální maximum

Obrázek 16.3: Globální neostré extrémy jsou na hranicích


16.3

Vzorový příklad

Např. máme zadaný předpis funkce y =

−x2 a interval x ∈ h−5; 3i 4

1. Tento předpis je tak jednoduchý, že není problém jej nakreslit okamžitě. Hodnoty grafu zjistíme nalezením funkčních hodnot – zjistíme konkrétní souřadnice bodů. Dosazujeme libovolná čísla z definičního oboru za x a dopočítáváme hodnoty y. Z obrázku že nejnižším bodem této funkce na zadaném intervalu x ∈ h−5; 3i je bod o souřad je zřejmé, 25 nicích −5; − a nejvyšší je v bodě [0; 0], tedy 4 25 • maximum je v bodě −5; − 4 • minimum je v bodě [0; 0] 2. Ve zkouškových testech ale jak známo nejsou funkce tak jednoduché, abychom si je mohli takto nakreslit a proto musíme použít matematický aparát. V tomto případě příkladů se počítá ve dvou krocích. Počítájí


95

Tabulka 16.4: Extrémy – body z případu 16.3 Extrém, který vyjde z derivace: [0; 2] [ −2;−2 ] [2 ;−2 ]

ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: neosté globální minimum neosté globální minimum

Obrázek 16.4: Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici


Obrázek 16.5: Průběh funkce y =


−x2 4

96


Tabulka 16.5: Extrémy – body z případu 16.4 Extrém, který vyjde z derivace: [0; 2]

ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: není na zadaném intervalu ani max ani min ostré globální minimum

[ −1; 1] [5 ; −23]

Tabulka 16.6: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x y

−5 − 25 4

−2 −1

0 0

1 − 41

2 1

−x2 4 3

5

− 94

− 25 4

se lokální a globální extrémy. Budeme hledat extrémy na zadaném intervalu a následně budeme zjišťovat jejich kvalitu – zda se jedná o maximum či minimum. Tuto informaci můžeme zjistit 2 způsoby: • průběhem funkce, když funkce kolem bodu – nejdříve klesá a potom roste, jedná se o MINIMUM – nejdříve roste a potom klesá, jedná se o MAXIMUM • znaménkem 2. derivace, je-li: – kladné v daném bodě, jedná se o MINIMUM – záporné v daném bodě, jedná se o MAXIMUM (a) Lokální extrémy 1 x Spočteme první derivaci y 0 = − · 2x = − 4 2 Z této derivace zjistíme nulové body x − = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0 Jedná se o jediný bod o souřadnicích [0;0] 2 Kvalitu nyní zjistíme oběma možnými způsoby: • Průběhem funkce. Spočteme monotonii funkce. Protože počítáme lokální extrémy, počítáme s ∞, nicméně v závěru se budeme soustředit pouze na zadaný interval. −x2 Na intervalu od (−∞; 0i funkce y = roste. 4 2 −x klesá. Na intervalu od h0; ∞) funkce y = 4 • Znaménko 2. derivace v daném bodě, spočteme tedy 2. derivaci 1 y 00 = − ani nemusíme nic dosazovat, vyšla hned záporná konstanta, záporné znaménko indikuje 2 MAXIMUM. (b) Hranice intervalu pro spodní hranici x = −5 ⇒ y = −

25 4

9 4 A opět při použití různých postupů docházíme ke stejnému závěru, tedy že: 25 • maximum je v bodě −5; − 4 • minimum je v bodě [0; 0] pro horní hranici x = 3 ⇒ y = −


Tabulka 16.7: Porovnání funkčních hodnot funkce y = −5 − 25 4

x y

16.4

0 0

3 − 94

Výsledky p

1) f (x) = 9 − x2 na intervalu h−3; 3i

1X ostré globální a zároveň lokální maximum f (0) = 3 1X neostré globální minimum v bodě f (−3) = 0 1X neostré globální minimum v bodě f (3) = 0 r 8 4 8 = 2X ostré lokální a zároveň globální maximum v bodě f 3 3 3 √ 2X ostré globální minimum v bodě f (−2) = −2 6

√

2) f (x) = x 4 − x na intervalu h−2; 4i 3) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5 na intervalu h−2; 3i 4) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x + 9 na 1. intervalu h−4; 4i

3X ostré lokální a zároveň globální maximum f (−1) = 12 3X ostré lokální a zároveň globální minimum f (2) = −15

4a X 4a X

ostré globální a zároveň lokální maximum v bodě f (−3) = 90 ostré globální a zároveň lokální minimum v bodě f (2) = −35

na 2. intervalu h−1; 1i

4b X 4b X

ostré globální maximum v bodě f (−1) = 46 ostré globální minimum f (1) = −22

na 3. intervalu h−5; 5i

4c X ostré globální maximum f (5) = 154 4cX ostré globální a zároveň lokální minimum f (2) = −35

16.5


Zadání

Výsledky 2

1) f (x) = −2 · 105−20x−2x + log 4 na intervalu h1; 3i

1X 1X

2) f (x) = −x · ln x + 2x

na intervalu 1; e2

2X 2X

3) f (x) = −4 · e3x −12x+5 + ln 4 na intervalu h0; 3i

3X 3X

4) f (x) = 10 · arctg (x2 − 2x + 2) + arctg 2 na intervalu h−1; 2i p 5) f (x) = 5 · 4x2 + 4x + 3 + 10

4X 4X

2

7)

−x2 4


Zadání

6)

97

5X

na intervalu h−1; 1i

5X

p f (x) = −12 · x2 + 6x + 11 − 5 na intervalu h−10; 0i

6X 6X

2

f (x) = 4 e−x +12 + log 10 na intervalu h0; 10i

7X 7X

ostré globální maximum v bodě 3; −2 · 10−73 + log 4 ostré globální minimum v bodě 1; −2 · 10−17 + log 4 ostré lokální maximum v bodě [e; e] ostré globální minimum v bodě e2 ; 0 ostré globální maximum v bodě 2; −4 · e−7 + ln 4 ostré globální minimum v bodě 0; −4 · e5 + ln 4

ostré globální maximum v bodě [−1; 10 · arctg 1 + arctg 2] ostré globální minimum v bodě [1; 11 · arctg 2] √ ostré globální maximum v bodě 1; 5 11 + 10 1 √ ostré globální minimum v bodě − ; 5 2 + 10 2 √ ostré globální a lokální maximum v bodě −3; −12 2 − 5 √ ostré lokální minimum v bodě −10; −12 51 − 5 ostré globální a lokální maximum v bodě 0; 4 e12 + log 10 ostré globální minimum v bodě 10; 4 e−88 + log 10

98


f (x) = −10 · log (4x2 − 20x + 27) + 5

8)

na intervalu h−3; 3i p 9) f (x) = 7 · 4x2 + 20x + 26 − 6 na intervalu h−3; 0i

10) f (x) = −6 arctg (2x2 + 20x + 5) + arctg 5 na intervalu h−6; 0i

10X 10X

ostré globální maximum v bodě [−5; −6 · arctg −45 + arctg 5] ostré globální minimum v bodě [0; −6 · arctg 5 + arctg 5]

Nepočítáno: 11)

1 f (x) = x3 − x2 + 2 3

na intervalu h−2; 1i 2x2 − 1 x4 1 na intervalu ;2 2

12) f (x) =

1 +2 4x2 + 4x + 3 na intervalu h−1; 1i

13)

f (x) =

1 3 1 2 x + x − 2x 3 2 na intervalu h−3; 3i

14)

f (x) =

15) f (x) = −2 · ln (x2 + 4x + 7) + 3 na intervalu h−3; 0i 16)

f (x) = −2 · arctg(x2 + 2x + 2) − tg

na intervalu h−2; 1i p 17) f (x) = 7 · 4x2 − 4x + 3 + 2 na intervalu h0; 2i 18) f (x) = 4 · log (4x2 − 12x + 12) + 5 na intervalu h−2; 2i

π 12

5 ; −10 · log 2 + 5 2 8X ostré globální minimum v bodě [−3; −10 · log 123 + 5] 5 9X ostré globální maximum v bodě − ; 1 2√ 9X ostré globální minimum v bodě 0; 7 26 − 6 8X ostré globální maximum v bodě

Kapitola 17

Lokální extrémy dvou proměnných

17.1

Návody k výpočtu

Potřebujeme sestavit matici:



 ∂ 2z ∂ 2z  ∂x2 ∂x∂y   2   ∂ z ∂ 2z  ∂x∂y ∂y 2

1. Definiční obor, u našich příkladů většinou R × R x⇒

∂z ∂x

3. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle x ⇒

∂2z ∂x2

2. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle

y⇒

∂z ∂y

5. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle y ⇒

∂2z ∂y 2

4. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle

6. Spočteme smíšenou parciální derivaci – derivace (2) dle y nebo derivaci (4) dle x ⇒

∂2z ∂x∂y

7. Spočteme souřadnice „podezřelého boduÿ – vyřešíme soustavu rovnic ∂z =0 ∂x ∂z =0 ∂y 8. Kontrola, že podezřelý bod leží uvnitř definičního oboru, tzn. spočteme z-ovou souřadnici 9. Spočteme determinant matice, která nám vznikla 10. Mohou nastat tři situace: (a) det = 0 ⇒ nelze zjistit kvalitu extrému touto metodou (b) det < 0 ⇒ sedlový bod (c) det > 0 ⇒ rozhodneme o kvalitě extrému na základě prvního prvku v matici 11. V případě (c) mohou nastat dvě situace: ∂2z > 0 ⇒ v nalezeném bodě je MINIMUM ∂x2 ∂2z (b) < 0 ⇒ v nalezeném bodě je MAXIMUM ∂x2 ∂2z (c) =0 nemůže nastat ∂x2 (a)

99

∂2z ∂x2

100

KAPITOLA 17. LOKÁLNÍ EXTRÉMY DVOU PROMĚNNÝCH

17.2

Vzorový příklad

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 1. příklad.

f (x, y) = 3 −

x2 y2 − − 2x y 2

Potřebujeme sestavit matici: 

∂2z  ∂x2   ∂2z ∂x∂y 1 2 3 4 5 6

7

∂z ∂x ∂2z ∂x2 ∂2z ∂x∂y ∂z ∂y ∂2z ∂y 2 ∂2z ∂y∂x

= −2 ·

 ∂2z ∂x∂y   ∂2z  ∂y 2

x 2x −2=− −2 y y

2 y 2x = 2 y =−

1 1 x2 = −x2 · − 2 − · 2y = 2 − y y 2 y 1 2x2 2 = x · −2 · 3 − 1 = − 3 − 1 y y 2x ∂2z = 2 (kontrolní výpočet, musí se rovnat – bod 3) y ∂x∂y Soustava rovnic – nalezení podezřelého bodu

2x − 2 = 0 ⇒ x = −y y x2 x2 (−z)2 −y = 0 ⇒ 2 −y = −y 2 y y y2

−2 ·

x = −1 7 Podezřelý bod má souřadnice −1; 1; , 2 7 Poslední z-ovou souřadnici jsme získali tak, že jsme konkrétní hodnoty x a y dosadili do zadání. 2  2  2x −  y  y2  2x  2x2 − − 1 y2 y3 8

y = 1;

Nyní dosadíme x = −1 a y = 1:

−2 −2

det

−2 −2

−2 −3

!

−2 −3

!

= −2 · −3 − (−2) · (−2) = 6 − 4 = 2 det > 0 ⇒ v bodě je extrém. O jeho kvalitě rozhodneme

na základě velikosti

∂2z , což je −2 tedy se jedná o maximum. ∂x2 7 v bodě −1; 1; je ostré lokální maximum 2


17.3


1) f (x, y) = 3 −

Výsledky 7 X1 −1; 1; ostré lokální MAX 2

x2 y2 − − 2x y 2

2) f (x, y) = 3 − 6x2 + 5xy − 2y 2 − 8x + 11y

2X

[1; 4; 21] ostré lokální MAX

3) f (x, y) = 3 − 2x2 − y 2 + xy − 9x + 4y

3X

[−2; 1; 14] ostré lokální MAX

4) f (x, y) = x2 + 3y 2 − 3xy − 9x + 15y + 5

4X

5) f (x, y) = 7 + x2 + xy − y 2 + 6x − 9y

5X

6) f (x, y) = −x2 − 6y 2 + xy + 8x − 19y + 1

6X

[3; −1; −14] ostré lokální MIN 3 24 − ; − ; −30 sedlový bod, det < 0 5 5 78 28 615 ; − ; ostré lokální MAX 23 23 23

Nepočítáno: 7) f (x, y) = x2 + 3y 2 − 2xy − 4x + 4y + 9

101

Kapitola 18

Vázané extrémy

18.1


Zadání 1)

Výsledky

f (x, y) = 2x − 3 e y + 3

M:

3y − 2 ln x + 3 = 0

1X

x+3 2) f (x, y) = √ y+3 3) f (x, y) = y + arctg(x + 2)

M:

y − x2 − 3 = 0

2X

M:

y · (x + 1) − 1 = 0

3X

4) f (x, y) = e x − y − 2

M:

y − ln x − 3 = 0

4X

M:

x−y+1=0

5X

M:

y − x2 − 4 = 0

M:

y − 2x = 0

y

e f (x, y) = x + y − +1 e x−3 6) f (x, y) = √ y+2 7) f (x, y) = 3y + e−3x −2 5)

102

1 ostré lokální vázané MIN e; − ; 3 e +3 3 5 ostré lokální vázané MAX 2; 7; √ 10 ostré lokální vázané MAX[−2; −1; −1] 1 ostré lokální vázané MIN ; 2; −3 e

ostré lokální vázané MIN [1; 2; 4 − e] 1 6X ostré lokální vázané MIN −2; 8; − √ 10 7X ostré lokální vázané MIN ln 0, 5 2 ln 0, 5 . ; ; = −2, 44 3 3

Kapitola 19

Asymptoty

19.1

Vzorce asymptot

Asymptoty grafů funkcí rozlišujeme na: • svislé asymptoty (asymptoty bez směrnice), • šikmé asymptoty (asymptoty se směrnicí).

Svislá asymptota Je-li funkce y = f (x) definovaná pro x 6= a, a ∈ R, potom přímka o rovnici x = a je svislou asyptotu grafu funkce f právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita funkce f v bodě a.

Šikmé asymptoty Přímky o rovnicích y = ki x + qi , i = 1, 2, jsou šikmými asymtotami grafu funkce y = f (x) právě tehdy, jestliže lim (f (x) − ki x − qi ) = 0,

(19.1.1)

x→±∞

tj. f (x) , x→±∞ x

ki : lim

(19.1.2)

qi : lim [f (x) − kx]

(19.1.3)

x→±∞

(poznamenejme, že graf funkce může mít dvě šikmé asymptoty, jednu v −∞ a jednu v +∞).

19.2


Najděte rovnice všech asymptot grafů následujících funkcí: Zadání 1) 2) 3) 4)

1 f (x) = 4 − x2 x3 + 3 f (x) = 2 x −9 1 x−2 2 x + 3x + 7 f (x) = x+1 f (x) = 2x −

Výsledky 1X

x=2

x = −2

y=0

2X

x=3

x = −3

y=x

3X

x=2

y = 2x

4X

x=3

x = −3

103

y=x

104

KAPITOLA 19. ASYMPTOTY

5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

2x2 −1 1 1 1 f (x) = + + x+2 x x−2 ln x f (x) = −x x cos x f (x) = 3x − x x f (x) = √ 3 x2 − 1

f (x) =

x2

f (x) = x2 · 2−x √ x · x2 − 1 f (x) = 2x2 − 1 x · ex f (x) = x e −1 2x f (x) = arccos 1 + x2 1

f (x) = x · e x2

5X

x=1

x = −1

y=2

6X

x = −2

x=0

x=2

7X

y = −x

x=0

8X

y = 3x

x=0

9X

x=1

x = −1

10X

y=0

11X

y=

1 2

y=−

12X

y=x

y=0

13X

y=

14X

x=0

15X

Nemá asymptoty

16X

x=1

17X

y =x+

y=0

1 2

π 2 y=x

√

15) 16) 17) 18) 19) 20) 21)

19.3

x2 + 5x x + 2 2x + 4 2 x + x · arctg x f (x) = x−1 1 f (x) = x + arccos x x f (x) = 2x + arctg 2 ln x f (x) = x + x ln x f (x) = √ x f (x) =

f (x) = 1 + e−x · sin 2x

18X

1 y =x+ π+1 2

π 2 π y = 2x + 2

y = 2x −

19X

x=0

y=x

20X

x=0

y=0

21X

y=1

1 y =x− π+1 2

π 2


Výsledky

5 − 2x − 11x2 1) y = 4+x

1X

rovná:

x = −4

1X

šikmá:

y = −11x + 42

2X

rovná:

x=2

2X

šikmá:

y =x+1

3X

rovná:

x = −3

3X

šikmá:

y = −x − 3

4X

rovná:

x=2

4X

šikmá:

y = −9x − 41

2) y =

3) y =

4) y =

x3 − 3x2 (2 − x)2 1 − 6x − x2 x+3 3 − 5x2 − 9x3 (2 − x)2


105

Nepočítáno: 1 5) y = 5x − 2x − 1

6) y =

4x2 + 8x + 1 2x − 1 3 2x + 3x2 − 1 y= x3 7 + 5x − x2 y= x−4 6 3x + 2x5 + 5 y= x5 2 x − 3x + 5 y= x+2

4x2 − 3x − 2 1−x 2 3x + 10x + 5 = x+2 2 2x + x − 4 = 2−x (x − 2)2 = 3−x 2x2 − x − 5 = x+2 4 − 5x + x2 = 2−x

7) y =

8) y =

9)

10)

y

12)

y

14)

y

16)

y

18)

y

11) 13) 15) 17)

y = x − arctg(x + 1) +

1 x

7x3 − 5x2 + 2 (x − 3)2

Kapitola 20

Taylorův polynom

20.1

Vzorce Taylorova polynomu

Tn (x) = f (xa ) +

f 00 (xa ) f 000 (xa ) f n (xa ) f 0 (xa ) (x − xa )1 + (x − xa )2 + (x − xa )3 + · · · + (x − xa )n 1! 2! 3! n! (20.1.1)

Kde: n x xa f (xa ) f n (xa )

20.2

– – – – –

stupeň polynomu proměnná, za kterou se nic nedosazuje x-ová souřadnice zadaného bodu y-ová souřadnice zadaného bodu (tzv. funkční hodnota) je n-tá derivace v bodě xa

Návody k výpočtu

• Dostaneme zadanou funkci f (x) • Dostaneme zadanou x-ovou souřadnici bodu A = [a, f (a)]. Jedná se o bod dotyku zadané funkce a hledaného Taylorova polynomu

1. Dopočítání y-nové souřadnice (f (a)) 2. Budeme potřebovat všechny derivace až do řádu jako je stupeň zadaného Taylorova polynomu 3. Spočítáme všechny derivace v bodě – vezmeme vždy x-ovou souřadnici zadaného bodu A a dosadíme ji do každé derivace. Vyjdou konstantní hodnoty (konkrétní čísla), které budeme dosazovat do vzorce. 4. Dosazení do vzorce

20.3

Vzorové příklady

20.3.1

Vzorový příklad 1

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 2. příklad. y = (x − 1) · ln x + 1,

bod x = 1

Pohybujeme se v prostoru s jednou proměnnou – máme proměnnou volitelnou a závislou a tedy každý bod má dvě souřadnice, x a y (někdy též značená f (x)). My známe pouze souřadnici x bodu a, nicméně počítáme Taylorův polynom a vzoreček pro něj, který je uveden dole, říká, že budeme na konci potřebovat obě. Nejprve tedy spočítáme druhou souřadnici zadaného bodu a. Tuto souřadnici zjistíme dosazením známé souřadnice do zadáné funkce.

106

20.3. VZOROVÉ PŘÍKLADY

107

Dopočítání druhé souřadnice y0 = (1 − 1) · ln 1 + 1 = 1 NÁHODOU! vyšly obě souřadnice stejné. Počítáme tedy Taylorův polynom 3. stupně pro bod [1; 1]. Do vzorečku dosazujeme obě hodnoty, [x0 ; y0 ]. 1. derivace y 0 = (1 − 0) · ln x + (x − 1) ·

1 x−1 + 0 = ln x + x x

1. derivace v bodě x 0 y(a) = ln 1 +

1−1 =0+0=0 1

2. derivace y 00 =

1 (1 − 0) · x − (x − 1) · 1 1 x−x+1 1 x+1 1 = + = + 2 = + x x2 x x2 x x x2

2. derivace v bodě x 00 y(a) =

2 1+1 = =2 2 1 1

3. derivace y 000 =

(1 + 0) · x2 − (x + 1) · 2x x2 − 2x2 − 2x −x2 − 2x x · (−x − 2) −x − 2 = = = = 4 4 4 4 x x x x x3

3. derivace v bodě x 000 y(a) =

−3 −1 − 2 = = −3 13 1 Tabulka 20.1: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 Stupeň derivace

Derivace v bodě

Koeficienty Taylorova polynomu

1.

0

0 1!

=0

2.

2

2 2!

=1

3.

−3

−3 3!

=

−3 6

= − 12

1 T3 = 1 + (x − 1)2 − (x − 1)3 2 Za samotné x se v tomto vzorečku NIC nedosazuje. Pouze se do výsledku opisuje (podobně jako u výpočtu tečen a normál). Kdybychom dosazovali jak za x tak za x0 , tak by bylo výsledkem jedno číslo. Taylorův polynom je ale nová funkce, ve které se samozřejmě musí objevit proměnná.

108

KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM

Obrázek 20.1: Průběh funkce y = (x − 1) · ln x + 1 (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)


20.3.2

Vzorový příklad 2

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 11. příklad. 5

y = x2 −

√

2 − x,

bod a = 1

1. Dopočítání druhé souřadnice √ 5 y0 = 1 2 − 2 − 1 = 1 − 1 = 0 [xa ; f (xa )] vyšly [1;

0]

1. derivace y0 =

1 1 5 3 5 3 x2 − √ · (−1) = x 2 + √ 2 2 2 2−x 2 2−x

1. derivace v bodě x = 1 0 y(x) =

5 3 1 5 1 6 12 + √ = + = =3 2 2 2 2 2 2−1

2. derivace 1 −2 2√2−x · (−1) 15 1 1 1 15 √ 1 1 5 3 1 2 √ = · √ = x+ √ · y = · x + x2 + √ = 2 2 2 2 4 4 4(2 − x) (2 2 − x) 2 − x (2 2 − x) 2−x 00

15 √ 1 x+ 3 4 4(2 − x) 2 2. derivace v bodě x = 1 00 y(x) =

15 √ 1 15 1 16 1+ + = =4 3 = 4 4 4 4 4(2 − 1) 2

3. derivace y 000 =

−4 · 32 (2 − x) · (−1) 1 15 15 15 2 · 3(2 − x) 6(2 − x) · √ + = √ + = √ + = 2 3 3 4 2 x 16(2 − x) 16(2 − x)3 8 x 8 x 4(2 − x) 2


109

15 3(2 − x) 15 3 = √ + = √ + 8 x 8(2 − x)3 8 x 8(2 − x)2 3. derivace v bodě x = 1 15 3 3 18 9 15 000 = y(a) + = = = √ + 2 8 8 8 4 8 1 8(2 − 1)

Tabulka 20.2: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2 Stupeň derivace

Derivace v bodě

Koeficienty Taylorova polynomu

1.

3

3 1!

=3

2.

4

4 2!

=2

=

6

9 4

9 4

3.

3!

T3 = 0 + 3 · (x − 1) + 2 · (x − 1)2 +

5

Obrázek 20.2: Průběh funkce y = x 2 −

√

9 4

=

3 8

3 · (x − 1)3 8

2 − x (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)


20.4


Počítejte Taylorův polynom 3. stupně v zadaném bodě a. Zadání

Výsledky √

x

1 1 1 · (x − 1) − · (x − 1)2 + · (x − 1)3 2 8 16

a=1

1X

T3 (x) = 1 +

2) f (x) = x3 + 3x2 − x − 3

a = −2

2X

T3 (x) = 3 − (x + 2) − 3 · (x + 2)2 + (x + 2)3

3) f (x) = x10 − x6 + x4

a=1

3X

T3 (x) = 1 + 8 · (x − 1) + 36 · (x − 1)2 + 104 · (x − 1)3

1) f (x) =

110

KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM

20.5


Zadání

Výsledky

1) f (x) = x2 + 2 −

√

1−x

a=0

f (x) = (x − 1) · ln x + 1

a=1

3) f (x) = (x − 2) · ln(x − 3) + 1

a=4

2)

4)

f (x) = x2 − ln(2x − 1)

3

7) f (x) = x2 −

5X T3 (x) = −1 + 6(x − 4) − 2 · (x − 4)2 +

3 − 2x

a=1

6X T3 (x) =

2−x

a=1

√ √

a=1 a=4

5) f (x) = (x + 2) · ln(x − 3) − 1 6) f (x) = x 2 −

1 9 1 1X T3 (x) = 1 + x + x2 + x3 2 8 16 1 2 2X T3 = 1 + (x − 1) − · (x − 1)3 2 1 3X T3 (x) = 1 + 2 · (x − 4) + · (x − 4)3 6 8 2 4X T3 (x) = 1 + 3 · (x − 1) − · (x − 1)3 3

1 2

5 7 7 · (x − 1) + · (x − 1)2 + · (x − 1)3 2 8 16 5 9 1 7X T3 (x) = · (x − 1) + · (x − 1)2 + · (x − 1)3 2 8 16 2 11 1 1 8X T3 (x) = +2· x+ +5· x+ + 4 2 2 3 1 8 + · x+ 3 2

8) f (x) = x2 − x + 2 e2x+1

a=−

9) f (x) = x2 − 2x + 1 + cos(3x)

a=0

7 9X T3 (x) = 2 − 2x − x2 2

10) f (x) = x · e−2x

a=0

10X

a=1

11X

11)

5

f (x) = x 2 −

√

2−x

12) f (x) = x2 + x + 3 − e2x+1

1 √ + 3 + 2x x

13)

f (x) =

14)

f (x) = x2 + 3 + e2x−1

√

x x · sin 2

15)

f (x) = cos 2x +

16)

f (x) =

17)

f (x) = sin x + 2 · cos 2x x √ 3 f (x) = 2 · x 2 − ln 2

18) 19) 20) 21)

1 · sin 2x + cos x 2

f (x) = 3 + 2 ln(9x2 − 1) π π f (x) = sin x + + cos 2x − 3 6 x 8 f (x) = + ln x 2

a=

1 2

a = −1 a=

1 2

π a= 2 π a= 4 π a= 4 a=2 a=0 a=0 a=2

3 · (x − 4)3 2

T3 (x) = x · (1 − 2x + 2x2 )

27 · (x − 1)3 2 1 1 2 2 12X T3 (x) = · (15 − 4 e ) + (2 − 2 e ) · x − + 4 2 2 3 1 4 2 1 2 +(1 − 2 e ) · x − − e · x− 2 3 2 T3 (x) = 3 · (x − 1) + 2 · (x − 1)2 +

3 1 T3 (x) = − · (x + 1)2 − · (x + 1)3 2 2 2 17 1 1 14X T3 (x) = +3· x− +3· x− + 4 2 2 3 4 + · x − 21 3 13X

Nepočítáno:

Kapitola 21

Neurčitý integrál

21.1

Vzorce pro integrování Z

1.

Funkce Z 3. Z 4. Z 5. Z 6.

k · f (x) dx = k · a exponenty 0

dx = C

1

dx = x + C

Z

f (x) dx

α+1

x + C, α+1 x a ax dx = +C ln a Logaritmy a exponenciála Z 1 7. dx = ln |x| + C Z x 8.

xα

dx =

ex

dx = ex +C

Pravidla pro integrováníZ Z Z 2. (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx

α 6= −1

Funkce Z 9. Z 10. Z 11. Z 12.

vedoucí na goniometrické funkce cos x

dx = sin x + C

sin x

dx = − cos x + C

dx = tg x + C cos2 x dx = − cotg x + C sin2 x Funkce Z vedoucí na cyklometrické funkce dx √ = arcsin x + C 13. 1 − x2 Z dx 14. = arctg x + C 1 + x2 Vzorce pro použití metod

Metoda per partes Neurčitý integrál Z Z 15. u0 · v = u · v − u · v 0

Určitý integrál Zb Zb 0 b 16. u · v = [u · v]a − u · v 0 a

Metoda substituce Neurčitý integrál Z g(x) = t 17. f (g(x)) · g 0 (x) dx = 0 g (x) dx = dt

Určitý integrál g(b) Z g(x) = t 0 f (g(x)) · g (x) dx = 0 18. g (x) dx = dt

a

Z = f (t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C a → g(a) b → g(b)

g(b) Z g(b) f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a)) = g(a)

g(a)

Speciální Z možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru:Z 0 g (x) 1 19. f (ax + b) dx = · F (ax + b) + C pro (F 0 (x) = f (x)) 20. dx = ln |g(x)| + C a g(x)

21.2

Ukázkové jednoduché příklady (substituční metoda)

x2 = 4t2 1 dx = 1) x = 2t 4 + x2 dx = 2 dt 1 x · arctg +C 2 2 x 1 substituce zpět: · arctg +C 2 2 Z

Z Z Z 1 1 1 1 1 ·2 dt = ·2 dt = · dt = ·arctg t+C = = 4 + 4t2 4 · (1 + t2 ) 2 1 + t2 2

111

112

2)

Z

KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL (sin x)2 = 4t2 cos x dx = sin x = 2t 2 4 + sin x cos dx = 2 dt

1 substituce zpět: · arctg 2

3)

Z

√

e2x dx = ex −1

Z

sin x 2

+C

Z Z Z 2 dt 1 2 dt 1 dt = = · arctg t + C = · = 4 + 4t2 4 · (1 + t2 ) 2 1 + t2 2

√ ex −1 = t ex −1 = t2 x x e ·e √ x dx = e −1 ex = t2 + 1 ex dx = 2t dt

Z 3 Z t2 + 1 t 2 · 2t dt = 2 · (t + 1) dt = 2 · +t +C = t 3

√ x ( e −1)3 √ x =2· + e −1 + C 3 x √ x √ x e −1 e −1 · (ex −1) √ x substituce zpět: 2 · + e −1 + C = 2 · e −1 · +1 +C 3 3

√ 1 + ln x = t Z 2 3 Z Z t −1 ln x t 2 2 1 + ln x = t √ 4) dx = · 2t dt = 2 · (t − 1) dt = 2 · −t +C = t 3 x · 1 + ln x 1 dx = 2t dt x √ √ 1 + ln x (1 + ln x) · 1 + ln x √ x − 1 + ln + C = 2 · 1 + ln x · −1 +C = substituce zpět: 2 · 3 3 √ ln x − 2 2 · 1 + ln x · +C 3

21.3

Ukázkový příklad zkouškové úrovně

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 13. příklad. Z

3x2 dx 49 + 25x2

řešíme metodou substituce, záleží nyní na volbě, co budeme substituovat 49 + 25x2 50x dx

= =

x dx

=

x2

=

→ volba substituce → derivace zvolené substituce – zvlášť levá a zvlášť pravá strana

t dt dt 50 t − 49 25

→ z druhého řádku si vyjádříme zvlášť x dx, protože jej potřebujeme pro dosazení do zadání → vyjádříme si x2 pro substituci (vyjádříme jej z výrazu PŘED derivací)

Po samotné subtituci se nesmí v příkladu vyskytovat původní proměnná!! =

Z

3 1250

3·

t−49 25

t Z

dt −

dt 3 · = 50 1250 3 · 49 1250

Z

Z

t − 49 3 dt = t 1250

Z

49 1− t

1 3t 3 · 49 dt = − ln |t| + C t 1250 1250

dt =


113

Substituce zpět 3 (49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C 1250 Obrázek 21.1: Průběh funkcí y 0 =

3x2 49+25x2

ay=

3 1250

(49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C


21.4


Zadání Z 1) x · (ln x + x) dx 2) 3) 4) 5) 6)

Z

ln(sin x) dx sin2 x Z sin4 x · cos x x · sin x + dx x Z 3x2 · ln x dx Z

Z

Výsledky x2 1 x3 1X · ln x − + +C 2 2 3 2X

− cotg x · [ln(sin x) + 1] − x + C

3X

sin x − x · cos x +

sin5 x +C 5

√ arcsin x √ dx x

5X

x3 +C 3 √ √ √ 2 x · arcsin x + 2 1 − x + C

ln(cos x) dx cos2 x

6X

tg x · ln (cos x) + tg x − x + C

4X

x3 · ln x −

114

KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL Z

dx sin2 x · (81 + 49 cotg2 x) Z cos x 3 dx 8) x · ln x + 3 √ 2x · 3 3 · sin x − 1 Z √ 9) arctg 8x − 1 dx Z √ 10) e− 4x−5 dx 7)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)

25) 27) 29) 31) 33) 35)

Z

Z

√

dx 3 − 5x2

cos2

Z

7 dx p x · 9 − 4 · tg2 x

3x2 dx 49 + 25x2 Z 2x dx 1 + x4 Z p x · arctg 2x2 − 1 dx Z

2 + ln x dx x Z √ cos 2 − x dx Z 2 2x3 · ex dx Z arcsin x dx Z

7 · sin x dx 36 + 25 · cos2 x Z (3x + 6) · cos x √ dx 4 + sin x · (x + 2) Z e2x dx 121 + 4 · e4x Z x √ dx x2 + 1 Z √ sin 2x − 1 dx Z

Z

Z Z

Z

Z

√

3x2 + 22x + 37 dx x2 + 7x + 12 cos x · (x +

√

1 + 4 · sin x) dx

1 7 · arctg · cotg x + C 63 9 4 x 1 1 p 8X · ln x − + · 3 (3 · sin(x) − 1) + C 4 4 3 √ 1 √ 9X x · arctg 8x − 1 − · 8x − 1 + C 8 √ √ 1 10X · (− 4x − 5 − 1) · e− 4x−5 +C 2 √ ! 1 5x 11X √ · arcsin √ +C 5 3 7 2 12X · arcsin · tg x + C 2 3 7X

−

3 · (49 + 25x2 ) − 49 · ln(49 + 25x2 ) + C 1250

13X 14X

arctg x2 + C

15X

p x2 · arctg 2x2 − 1 − 2

16X 17X

√

2x2 − 1 +C 4

ln2 x +C 2 √ √ √ −2 · 2 − x · sin 2 − x − 2 · cos 2 − x + C 2 · ln |x| +

2

18 X

ex · (x2 − 1) + C

19 X

x · arcsin x +

p 1 − x2 + C

7 5 − · arcsin · cos x + C 5 6 √ 6 · 4 + sin x + C

20 X 21 X

1 2 · e2x · arctg +C 44 11 p 23 X x2 + 1 + C 22 X

√ √ √ − 2x − 1 · cos 2x − 1 + sin 2x − 1 + C

24 X

Nepočítáno: Z 26) cos x · x + 28)

arcsin3 x − 3x √ dx 1 − x2

30)

x3 + 3x2 − 5x + 4 dx x2 + 3x − 10

32)

3 dx x · (25 + 64 · ln2 x)

34)

x2 + 8x + 6 dx x2 + 3x − 4

36)

Z

Z

1 sin3 x

x2 dx x2 − 3x + 2

dx

2x3 + 6x2 + 7x + 8 dx x2 + 3x + 2 √ Z 2 − cotg x sin x · 1 − 9x + dx sin3 x Z −x3 − x2 + 23x − 3 dx x2 + x − 20 Z 3x2 − 19x + 36 dx x2 − 7x + 12


37) 39) 41) 43) 45) 47) 49) 51) 53) 55) 57) 59) 61) 63) 65) 67) 69)

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

2x2 − 5x − 13 dx x2 − 4x − 5

38)

−x2 + 7x − 17 dx x2 + 5x + 6

40)

x2 dx 2 x − 5x + 6

42)

arccos 5x dx

44)

√

e

2−x

dx

cos x dx 9 + 49 · sin2 x

cos x p dx 16 − 36 · sin2 x Z √ 1 + x · ln x dx x· √ 1 − x2 Z 3 2x − 4x2 − 4x + 1 dx x2 − x + 2 Z 10x − 2 dx 2 x − 4x + 13 Z −x3 − 8x2 − 11x + 3 dx x2 + 5x + 14 Z 8x + 4 dx x2 − 2x + 5 Z √ arctg x dx Z

Z Z

Z

√

ex dx 64 − 49 · e2x

e−

√

2x

46) 48) 50) 52) 54) 56) 58) 60) 62) 64)

dx

66)

(2x + 3) · ln x dx

68)

√

4x − 1 dx

Z

115

arcsin 2x dx

Z

arctg 2x dx

Z

x3 − 2x2 − 23x − 14 dx x2 + 2x − 24

Z

2x2 + 8x − 2 dx x2 + 2x − 15

Z

3x3 + 15x2 + 14x + 11 dx x2 + 5x + 4

Z

x2 + 6x − 2 dx x2 + 3x − 4

Z Z Z Z

Z

Z

Z

Z

−x2 + 7x − 17 dx x2 − 5x + 6

√ sin 3x + 5 dx √

e

2x

dx

arcsin √

e

x

2+3x

2

dx

dx

1 (2x + 3) · 3 + √ 3 2 x + 3x x

dx

x3 · arctg x dx

x3 dx 1 − x4 √ Z 2 + cotg x sin x · 1 + 9x + dx sin3 3x Z arccos 4x dx √

Kapitola 22

Určitý integrál

22.1

Jednoduché příklady ze skript Zadání Z1 3x e +2 1) ex

Výsledky dx

1X

e3 +3 e −4 2e

0

π

2)

Z4

cos2 x

dx

2X

π 1 + 8 4

3)

Ze

x+2 2x

dx

3X

e +1 2

0

1

1

4)

Z2

arctg 2x

dx

4X

0

5)

Z2

3x · sin x

dx

5X

3

6)

Z2

x+1 x2 − 3x

dx

6X

5 − · ln 2 3

7)

Zx

arcsin

7X

3 π−3 2

8)

Z8

e

8X

3 e4 − e2

9)

Z0

dx 4x2 − 9

9X

−

− 12

π

0

1

0

√

x

2x

3

dx

dx

2

ln 5 12

−1

π

10)

Z2

sin4 x · cos x

dx

10X

1 5

11X

3 8

12X

4 15

13X

3π + 2 9

14X

3 · ln(9) −

0

2

11)

Ze

12)

Zπ

cos2 x · sin3 x

Z0

2x · cos 3x

Z2

x2 · ln(1 + x3 )

ln3 x x

dx

e

dx

0

13)

dx

−π 2

14)

dx

1

116

2 7 · ln(2) − 3 3


117

3π

15)

Z2

cos x 4 − sin2 x

π 2

16)

Zln 3 √

ln

dx

ex +9 e−x x

dx

15X

1 − · ln 3 2

16X

π 36

17X

15 4

18X

√ 4 √ 2 3− · 2 3

19X

32 3

20X

2π

21X

eπ −2 5

22X

√ √ 3 3π −2 3 4

3

π 2

17)

Z

cos x sin5 x

π 6

dx

π

18)

Z2

√

2 + cos x · sin x

dx

0 √

19)

Z8

√

20)

√

2x3 x2 + 1

dx

3

Zπ

(1 − x2 ) · x

dx

0

π

21)

Z2

e2x · cos x

dx

0 √

Z3

x4 3 + x2

23)

Z3

2x2 + 3x − 2 x

dx

23X

1 · ln 5

24)

Z0

(2x + 3) · e−x

dx

24X

3 e −5

Z2

√

25X

8 3

26)

Z1

x+3 √ 3 x

26X

51 10

27)

Z∞

3x2 − 2x x

27X

√ ln 3

Z0

4 + x2 x

dx

28X

π 4

Z∞

2x x2 + 1

dx

29X

Diverguje

Z2

x 3x − 2

dx

30X

Diverguje

22)

dx

0

2

4 3

−1

25)

x x−1

dx

1

dx

0

dx

1

28)

−∞

29)

−∞

30)

−∞

118

KAPITOLA 22. URČITÝ INTEGRÁL

31)

Z1

32)

Ze

33)

Z∞

arcsin x √ 1 − x2

0

x·

dx

31X

π2 8

dx

32X

2

33X

Diverguje

34X

π 4

35X

1

36X

π

37X

π 2

√

ln x x

1

sin 2x

dx

0

34)

3 Z2 √

35)

Z∞

9 − 4x2 x

dx

0

e−x

dx

0

36)

Z∞

x2 + 2x + 2 x

dx

−∞

37)

Z1

√ (2 − x) · 1 − x x

Z1

ln x

dx

38X

−1

tg x

dx

39X

Diverguje

40X

π 2

41X

3 2

42X

1 ln 2

dx

0

38)

0

π

39)

Z2 0

40)

Z∞

4x2 + 1 x

dx

−∞

41)

Z1

√ 3

42)

Z∞

2−x

43)

Z∞

x · ln2 x

dx

43X

Diverguje

44)

Z2

√

x 2−x

dx

44X

8 3

Z∞

ex 9 + ex

45X

Diverguje

46)

Z1

ln2 x

46X

2

47)

Z∞

x · e−2x

47X

3 −2 ·e 4

dx 1−x

0

dx

0

1

−2

45)

dx

0

dx

0

1

dx


48)

Z∞

x · cos x

dx

119

48X

Diverguje

49X

Diverguje

50X

π4 64

51X

Diverguje

0

49)

Z3

50)

Z∞

51)

Z∞

1

p

1 (x − 1)3

arctg3 x 1 + x2

dx

dx

0

x · arctg x

dx

1

22.2

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Z1 1 1) (2x + 3) · 3x + √ dx 3 x2 + 3x 0

2 3

2)

Nepočítáno:

√ 3−1

Z

−1

x2

10 dx + 2x + 5

Výsledky 1X

. = 11,38849207043

Kapitola 23

Aplikace určitého integrálu

23.1

Vzorce aplikovaného integrálu

Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami:

P =

Zb

pro f (x) ≥ 0 na ha, bi

f (x) dx,

(23.1.1)

a

P =

Zb

(f (x) − g(x)) dx,

pro f (x) ≥ g(x) na ha, bi

(23.1.2)

a

Povrch rotačního tělesa:

S = 2π ·

Zb

f (x) ·

a

p

1 + (f 0 (x))2 dx

(23.1.3)

Objem rotačního tělesa:

V =π·

Zb

f 2 (x) dx

(23.1.4)

a

Délka křivky:

l=

Zb p

1 + (f 0 (x))2 dx

a

120

(23.1.5)

23.2. CO SE POČÍTÁ – OBSAH PLOCHY

23.2

121

Co se počítá – obsah plochy Obrázek 23.1: Určitý intergrál – Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami f (x) A

spodní hranice x horní hranice

B Zdroj: LATEX

122

23.3

KAPITOLA 23. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU


1. Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami: Zadání 1) y1 = x2 − 3x

y2 = 2x − 4

2) y1 = 0

y2 = x + 2

3) y1 = 2 − x2

y23 = x2

4) y1 = 0

y2 = ln x

5) y1 = 4x − x2

y2 = 3x − 6

5X

6) y1 = x2 − 2

y2 = x + 4

6X

7) x = 2

y1 = ex √

2−x

8) y1 = 0

y2 =

9) y1 = e

y2 = e3x

10) y1 = 2x3

y2 = 4x2

11) y1 = x2 − 4x

y2 = 3 − 2x

1X y3 = 4 − x2

3X y3 = 1

x=1

13)

y1 = e

y2 = e3x

x1 =

y2 = x + 3

16)

y1 = −2x2 − 3x − 3

y2 = x2 − 3

17)

y1 = −x2 − x − 2

y2 = −x3 + 2

18)

y1 = 3 − x2

y2 = 1 − x

19)

y1 = −x2 − 2x

y2 = 2x − 12

20)

y1 = x2 + 4x + 4

y2 = 4

21)

y1 = x2 − 2x

y2 = 2x − 3

22)

y1 = x2 − 3x √ 23) y1 = x − 1 √ 24) y1 = 2x + 8

y2 = 2 − 2x √ y2 = 8 − 2x √ y2 = 2 − x

25) y1 = −x2 − 2x

y2 = 2x − 12

25) y1 = 4x − x2

y2 = 4 − x

26) y1 = 5x − x2

y2 = 2x − 4

27) y1 = 5x − x2

y2 = 2x − 4

4 3

4X

7X

x=1

y2 = e−x

15) y1 = −x2 − 3x

1 2

Nepočítáno: √ y3 = 2x + 8

y1 = ex

y2 = 2x − 12

x=

y2 = 1 − x

12)

14) y1 = x2 − 12

2X

x2 = 0

Výsledky 27 (= 4, 5) plošných jednotek 6 37 plošných jednotek 6 32 plošných jednotek 15 0,15 plošných jednotek 125 plošných jednotek 6 125 plošných jednotek 6 e2 −1 plošných jednotek


2. Délka křivky: Zadání √ 1) y1 = 9 − x2 x2 ln x − 4 2 √ y1 = 1 − x2

2) y1 = 3)

√ 4) y1 = 4 − x2 r x3 5) y = 1 − 3

D πE x ∈ 0; 2

1X

x ∈ h1; ei 1 x ∈ 0; 2

2X

x ∈ h0; 1i

4X

x ∈ h−10; −1i

5X

3X

Výsledky π 3 arcsin délkových jednotek 6 e2 +1 délkových jednotek 4 π délkových jednotek 6 π délkových jednotek 3 π délkových jednotek 3

3. Povrch / Plášť rotačního tělesa: Zadání √ 1) y = 3 + x

2) y = 3) y =

√ √

9−

x2

16 − x2

x ∈ h−1; 3i

1X

Výsledky 48π plošných jednotek 3

Nepočítáno: x ∈ h0; 2i x ∈ h0; 1i

4. Objem rotačního tělesa:

1) y1 = 2) y1 =

3) y1 =

r

r √

Zadání x−2 2x + 1 2−x 3 + 2x

x·e

x 3

4) y1 = 4 − x2 √ 5) y1 = 2x 2 √ x 6) y1 = x −1 3

x ∈ h2; 3i x ∈ h1; 2i

y2 = 0

Výsledky π 7 1X 1 − 3 ln objemových jednotek 2 5 π 7 2X 7 ln − 2 objemových jednotek 4 5

Nepočítáno: x ∈ h0; 1i

y2 = x + 2 y2 = 0

y3 = 3 −

y2 = 0

x ∈ h2; 3i

x 2

123

Kapitola 24

Diferenciální rovnice I. řádu

24.1


Výsledky √

√

1) y 0 = 3 · x − e−x y 2) y 0 = x y 3) y 0 = tg x

1X

y = 2x ·

2X

y =C ·x

3X

y = C · sin x

4) (x + 1) · y 0 = y − 2

4X

4y = 2 + C · (x + 1)4

5) x · y 0 − 3y = 0

5X

y = C · x3

6) x · y · y 0 = y 2 + 1

6X

y 2 = C · x2 − 1

7) y 0 = ex−y

7X

y = ln(ex +C)

y0 1 √ +√ =0 y x

8X

y = (C −

9) x · y 0 − y 0 = 2y

9X

y = C · (x − 1)

8)

x + e−x +C

√

2

x)

10)

xy 0 = (1 + y 2 ) · arctg y

10X y = tg(C · x)

11)

y 0 = y · ln2 y

11X y = e C−x

12)

1 + y2 y 0 ·y = x 1 + x2

12X y 2 = C · (1 + x2 )

13)

xy 0 = 4y,

13X y = 2x4

14)

xy 0 = 1 + y 2 ,

15)

(x + 1) · y 0 + xy = 0, y(0) = 1 x y0 = − , y(0) = 0 y+1

16)

1

y(1) = 2 y(1) = 0

17)

y 0 = y · cos x,

18)

(1 + ex ) · y · y 0 = ex ,

19)

y0 =

20)

x · y 0 = x + 2y

21)

x + x · y0 = y

22)

x2 y 0 = y 2 + x · y

23) 24) 25) 26)

y(π) = 1

2x + y x

y y y 0 = e− x + x y y y0 − = x x x y y0 = + y x y x · y 0 = y · ln x

y(0) = 1

14X y = tg(ln |x|) 15X y = (x + 1) e−x 16X (y + 1)2 = 1 − x2 17X

y = esin x

18X

y 2 = 1 − ln 4 + 2 · ln(1 + ex )

19X y = x · ln(C · x2 ) 20X y = x · (C · x − 1) C 21X y = x · ln x x 22X y = C − ln |x| 23X y = x · ln (ln |C · x|) 24X y = x · arcsin(C · x) 25X y = x2 · ln(C · x2 ) 26X y = x · e1+Cx

124


24.2

125

p 27X y = x · tg ln C(x2 + y 2 )

x+y x−y

27)

y0 =

28)

y 0 − y = ex

29)

x · y 0 − 3y = x2

29X

y = C · x3 − x2

30)

y 0 + 2y = e−2x · cos x

30X

y = (C + sin x) · e−2x

31)

y 0 + 2x · y = x3

32)

(2x + 1) · y 0 + y = x

33)

y0 −

34)

y 0 + y · cos x = sin 2x

34X

y = C e− sin x +2 · sin x − 2

35)

x · y 0 − 2y = x · ln x

35X

y = C · x2 − x · (ln x + 1)

36)

(x + 1) · y 0 − 2y = (x + 1)4

36X

y = C · (x + 1)2 +

37)

y 0 − y = 4x · e−x

37X y = C · ex −x · (ln x + 1)

38)

y 0 − y · tg x = 2 sin x

39)

x · y 0 + y = (2 − ln x) · x

40)

(1 − x2 ) · y 0 + x · y = 3x

C − cos x cos x C 5x x 39X y = + − · ln x x 4 2 √ 40X y = C · 1 − x2 + 3

41)

y 0 + y · cotg x =

42)

y0 +

43)

y 0 − y = e2x ,

y(0) = 4

44)

y 0 + 3y = x,

y

45)

y0 +

46)

y 0 + x2 · y = x2 ,

28X y = (x + C) · ex

x2 1 2 − + C · e−x 2 2 C x−1 +p 32X y = 3 |2x + 1| 31X

2 · y = x2 · sin x x

x·y = arcsin x 1 − x2

3y 2 = 3, x x

1 3

33X y = x2 · (C − cos x)

38X

1 sin x

=1

y(1) = 1 y(2) = 1

y=

1 · (x + 1)4 2

y=

C x + sin x sin x √ 1 √ 42X y = C · 1 − x2 + · 1 − x2 · arcsin2 x 2 41X y =

43X

y = e2x +3 ex

44X y = e1−3x + 45X y =

3x − 1 9

2 1 − 3 2 x x

46X y = 1


Výsledky

1) (1 + x2 ) · y 0 = −x · (1 + 2y)

1X

y=

2) y 0 = 3 · x2 y √ 3) 2y 0 · x = 1 + x2

2X 3X

y = K · ex √ y = tg ·( x + K)

4) xy 0 + y = y 2 − x2 y 0

4X

y=

5) y 0 − 3y = (4x + 3x2 ) · e3x

5X

y = K · e3x +x2 · (2 + x) · e3x

y 1 =√ 2 1−x 1 − x2

6X

y = K · e− arcsin x +1

6) y 0 + √

1 K − +1 2

x2

3

x+1 x + 1 − Kx

126

KAPITOLA 24. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDU

7) xy 0 + y = sin x 8) y 0 − y · tg x =

7X

x+3 cos x

8X

9) y 0 − 2xy = (sin x + 1) · ex 10) y 0 − y · sin x = 11) (x2 + 1) · y 0 =

√

2

K cos x − x x 2 K x 1 y= + + 3x · cos x 2 cos x y=

2

y = ex · (K + x − cos x) 2x √ − cos x 10X y = e · K+ · x 3 p 11X y = 4 arctg x + K 9X

x · e− cos x

2 y

12) y 0 + x = xy

x2 2

12X

y =K ·e

13) y 0 + 4y = (10x + 1) · e−x

13X

y = K · e−4x +

14) y 0 + 2y · tg x = sin x

14X

y = cos ·(K · cos x + 1)

Nepočítáno: 0

15) y + 2xy = 2x 16) y 0 · y · tg x = cos2 x 17) y 0 + 3y =

x2 + 5x + 1 e3x 1

18) xy 0 − 3y = x 2 √ 3 19) y 0 − 3x2 = x − 1 ex 20) y 0 · sin x − y · cos x = 1 21) xy 0 + y = x3 + 3x 22) y 0 + y · cos x = e− sin x 23) 2y 0 + 6y = −9 e8x 24) −7y 0 − 35y = 8 · e−6x 25) 5 + y 0 + 5y = 9x · ex 26) 5xy 0 − 10y = −8x4 · cos x 27) y 0 + 2y = 3x4 · e−2x 28) y 0 +

x2

y 1 = 2 +1 x +1

29) sin2 (7x + 4) · y 0 − y 2 = 0 30) y 0 · sin x + y · cos x =

1 sin2 x

31) −3y 0 + 15y = 7 e4x 32) y 0 + y · cotg x = cos2 x 33) y 0 + y · sin x =

4x2 − 1 cos x ·e x2

34) y 0 · cos x + y · sin x = 0 35) xy 0 + 2y =

4 2x2 + 1

36) xy 0 + y = 3 e3x

+1

e−x · (30x − 7) 9

Kapitola 25

Diferenciální rovnice II. řádu

25.1


Zadání

Výsledky

1)

y 00 + 3y 0 − 10y = 0

1X

y = C1 e2x +C2 e−5x

2)

y 00 − 4y 0 = 0

2X

y = C1 + C2 e4x

3)

3y 00 + 2y 0 − y = 0

3X y = C1 e 2 +C2 · x e 2

4)

y 00 − 4y 0 + 4y = 0

4X

y = C1 e2x +C2 x e2x

5)

4y 00 − 4y 0 + y = 0

5X

y = C1 e 2 +C2 · x e 2

6)

y 00 − 4y 0 + 13y = 0

6X

y = ex · (C1 cos 3x + C2 sin 3x)

7)

y 00 + y = 0

8)

y 00 − 4y 0 + y = 0

9)

9y 00 + y = 0

y = C1 e 2 +C2 x · e 2 √ √ 8X y = e−x ·(C1 cos 2x + C2 sin 2x) x x 9X y = C1 · cos + C2 · sin 3 3 1 10X y = C1 ex +C2 e2x + e−x 2

x

x

x

x

7X

x

x

10)

y 00 − 3y 0 + 2y = 3 · e−x

11)

y 00 − 3y 0 + 2y = ex

11X

y = C1 e2x +C2 ex −x ex

12)

y 00 − 2y 0 + 5y = (4x + 3) · ex

12X

y = (C1 cos 2x + C2 sin 2x) ex +

13)

y 00 + y 0 − 2y = (2x + 1) · 3x e

13X

14)

y 00 − 7y 0 + 10y = (6x + 7) · e2x

14X

15)

y 00 + 4y 0 − 5y = 1

15X

16)

y 00 − 5y 0 + 6y = x + 1

16X

17)

y 00 − y 0 − 6y = 3x2 + 2x

17X

18)

y 00 + y = x2

18X

y = C1 sin x + C2 cos x + x2 − 2

19)

y 00 + 3y 0 = 9x

19X

y = C1 e2x +C2 e−2x −2x3 − 3x

20)

y 00 − 2y 0 = x2 − x

20X

y = C1 + C2 e2x −

21)

y 00 − 4y = 8x3

21X

y = C1 e2x +C2 e−2x −2x3 − 3x

22)

y 00 − 3y 0 + 2y = 9 · sin x + 3 · cos x

22X

y = C1 ex +C2 e2x +3 cos x

23)

y 00 − 7y 0 + 6y = sin x x 9y 00 − 6y 0 + y = sin 3 17 y 00 + 2y 0 + 5y = − · cos 2x 2

23X 24X

y 00 + 2y 0 − 3y = x2 · ex

26X

24) 25) 26)

25X

3 + x ex 4 1 1 y = C1 ex +C2 e−2x + x− e3x 5 25 y = C1 e5x +C2 e2x −(x2 + 3x) e2x 1 5 x 11 y = C1 e2x +C2 e3x + + 6 36 x2 x 5 y = C1 e3x +C2 e−2x − − − 2 6 36 y = C1 ex +C2 e−5x −

x3 6

1 · (7 cos x + 5 sin x) 74 1 x x x y = C1 e 3 +C2 x e 3 + cos 2 3 1 y = C1 e−x cos 2x + C2 e−x sin 2x − cos 2x − 2 sin 2x 2 3 x x2 x y = C1 e−3x +C2 ex + − + 12 16 32 y = C1 ex +C2 e6x +

127

27)

y 00 − 2y 0 + 2y = ex · cos x

28)

y 00 − y =

29) 30) 31)

1 2 − x x3 1 + 2x y 00 − 2y 0 = x2 e2x y 00 − 4y 0 + 4y = 2 x 1 2y 00 + 8y = sin3 2x

y = C1 ex sin x + C2 ex cos x +

28X

y = C1 ex +C2 e−x −

29X

y = C1 + C2 e2x − ln |x|

30X

y = C1 e2x +C2 x e2x − e2x ln |x|

31X

y = C1 sin 2x + C2 cos 2x +

32)

y 00 − 3y 0 + 2y = e5x

32X

33)

y 00 − 4y 0 + 4y = x2

33X

34)

y 00 − 2y 0 + 2y = x · ex

34X

25.2

1 x e x sin x 2

27X

1 x

2 cos2 2x − 1 16 sin 2x

1 5x e 12 1 1 3 y = C1 e2x +C2 x e2x + x2 + x + 4 2 8 y = C1 ex +C2 e2x +

y = C1 ex sin x + C2 ex cos x + x ex

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) y 00 + 4y = 8 · cos 2x

Výsledky 1X y = C1 · cos 2x + C2 · sin 2x + 2x · sin 2x

2)

y 00 − 12y 0 + 36y = (6x − 4) · e6x

2X

y = C1 · e6x +C2 · x e6x +x2 (x − 2) · e6x

3)

y 00 − 2y 0 = (9x2 + 9x − 2) · e−x

3X

y = C1 + C2 · e2x +(3x2 + 11x + 12) e−x

4) y 00 − 5y 0 − 6y = 14 e6x

4X

y = C1 · e6x +C2 · e−x +2x · e6x

5) y 00 − 6y 0 + 9y = 5 e3x

5 5X y = C1 · e3x +C2 · x e3x + x2 · e3x 2

6)

y 00 + 2y 0 + y = 4 e−x

6X

y = C1 · e−x +C2 · x e−x +2x2 · e−x

7)

y 00 − 4y 0 + 3y = 3x2 − 8x + 5

7X

y = C1 · ex +C2 · e3x +x2 + 1

8)

2y 00 + y 0 − y = 6 e−x

8X

y = C1 · e 2 +C2 · e−x −2x · e−x

9)

y 00 − y = 4 e−x

9X

y = C1 · ex +C2 · e−x −2x e−x

10)

y 00 − 4y 0 + 4y = 4x2 + 2x + 2

00

0

x

10X y = C1 · x e2x +C2 · e2x +x2 +

5x +3 2

Nepočítáno: 12) y 00 + y = 2 cos x

11)

y − 6y + 9y = 2x

13)

y 00 + y = cos 2x

14)

y 00 + 4y 0 + 13y = 16 · cos 3x + sin 3x

15)

y 00 + 4y 0 + 3y = 7 · cos 3x + 4 · sin 3x

16)

y 00 + 3y 0 = 9 · x e3x

17) y 00 − 16y = 6 · x e−2x

18)

y 00 − 3y 0 + 2y = e−2x

19) y 00 + 16 = 8 · cos 4x + 2 · sin 4x

20)

y 00 + 3y 0 + 2y = 6 e−2x

21) y 00 + 2y 0 − 8y = 16x2 + 2

22)

y 00 + 9y = 15 · sin 2x + 65 · cos 2x

23) y 00 − 6y 0 + 18y = −9x2 − 15x − 15x − 9

24)

y 00 − 10y 0 + 25 = 9x − e−x

25) y 00 − 3y 0 + 2y = (6x + 5) · e2x

Část II

Lineární algebra

129

Kapitola 26

Základní pojmy z lineární algebry Uvažujeme pouze vektorové konečně generované podprostory.

Co je to vektor V aritmetických vektorových prostorech se jedná o objekt zadaný souřadnicemi, např. (2; 5). Z fyzikálního hlediska jej lze interpretovat jako orientovanou úsečku, vycházející z počátku soustavy souřadnic a končící v bodě zadaném příslušnými souřadnicemi.

Co je to aritmetický vektorový prostor Je to množina vektorů, které můžeme spolu sčítat a násobit reálnými čísly. Operace jsou definovány takto: dva vektory sečteme tak, že sečteme souřadnice na stejných pozicích, např. (2; 5) + (3; 6) = (2 + 3; 5 + 6) = (5; 11), vektor vynásobíme reálným číslem tak, že vynásobíme všechny jeho souřadnice tímto číslem, např. 4 · (2; 5) = (8; 20). Každý vektorový prostor má právě dva triviální podprosotry. Prvním je případ, kdy se podprostor rovná vektorovému prostoru. Druhým případem je podprostor obsahující pouze nulový vektor.

Co je to lineární kombinace Řekneme, že vektor je lineární kombinací jiných vektorů, lze-li jej vyjádřit jako součet násobků těchto vektorů. Např. 2 · (1; 0) + 4 · (0; 1) = (2; 4), což znamená, že vektor (2;4) je lineární kombinací vektorů (1; 0) a (0; 1).

Co je to lineární závislost a nezávislost vektorů Pokud pro danou skupinu vektorů platí, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Skupina vektorů, z nichž alespoň jeden je lineární kombinací ostatních je lineárně závislá, také říkáme, že vektory tvořící tuto skupinu jsou lineárně závislé.

Co je to vektorový podprostor Je taková podmnožina vektorového prostoru, která je uzavřená k operacím součet vektorů a násobení vektoru reálným číslem v daném vektorovém prostoru. Dimenze vektorového podprostoru může být stejně velká, jako dim daného vektorového prostoru, nebo menší. Vektorový podprostor může být stejně velký, jako vektorový prostor – viz dále v Tabulce 26.1. 130

131

Tabulka 26.1: Vektorové prostory a podprostory Vektorový podprostor (vpp) – jednotlivé případy

Vektorový prostor (vp) Dimenze

Obrázek

Dim vpp = Dim vp

•

•

Dim 0? −5

Dim 1

0

−5

6

y

0

Dim vpp < Dim vp

6

Dim vpp ≪ Dim vp

•

y

x

Dim 2 y

−5

x y

z x

z

0

6

•

y x x

Dim 3 ?

Dim vpp Dim vp

−5

0

6

•

Je to vektorový prostor, který je jednobodovou množinou obsahující pouze nulový vektor o. V případě, že má prostor více podprostorů, je v tabulce uveden jen jeden příklad.

Co je to báze (M) a dimenze podprostoru Báze je množina generátorů podprostoru, která neobsahuje „zbytečnéÿ vektory, tj. je lineárně nezávislá. Platí, že všechny báze daného podprostoru mají stejný počet prvků. Počet prvků báze podprostoru se nazývá dimenze podprostoru. Dim 4 se špatně kreslí, ještě si lze představit, že čtvrtý parametr je např. čas t, to by šlo znázornit na krátkém videu popř. na obrázku typu *.gif.

Co je to lineární obal L(A) množiny A Je vše, co je vygenerováno vektory z dané množiny. To znamená obsahuje vektory z dané množiny + všechny jejich lineární kombinace. Lineární obal je vždy podprostorem. Lineární obal obsahuje automaticky i vektory z původní množiny A.

Co jsou generátory podprostoru Jsou to vektory, pomocí kterých dokážeme „generovatÿ všechny vektory podprostoru, a to pomocí operací součtu vektorů a násobení vektorů reálným číslem. Toto znamená, že každý vektor podprostoru je lineární kombinací jeho generátorů.

132

KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Obrázek 26.1: Lineární obal

generátory, vektory báze

lineární kombinace generátorů

lineární obal

Co je to matice Tabulka čísel typu (m, n) má m řádků a n sloupců. Může sloužit např. jako jiný způsob zápisu soustavy rovnic. Máme řešit soustavu dvou rovnic o dvou nezámých x a y. I. II.

2x x

+ −

3y 2y

= =

40 −15

Při výpočtu soustav rovnic můžeme postupovat třemi způsoby: 1. dosazovací metoda 2. sčítací metoda 3. matice a její úpravy (Gaussova metoda řešení soustav) Mezi jednotlivými úpravami matic se používá znaménko shodnosti ∼ . Chceme-li z rovnice 3~v =(3,6,9) vypočítat vektor ~v , vynásobíme celou rovnici převrácenou hodnotou k 3, tj. 1 ~v = (3,6,9)=(1,2,3), což při řešení rovnice s čísly místo vektorů odpovídá dělení číslem 3. Dělení vektoru 3 číslem nezavádíme.

26.1

Skalární součin

Náhodně vybrané vektory 1. příklad ~u ~v

= =

(5, (3,

6) 2)

Skalární součin ~z = 5 · 3 + 6 · 2 = 15 + 12 = 27 2. příklad

26.1. SKALÁRNÍ SOUČIN

~u ~v w ~

= = =

(5, (4, (1,

3, 2, 12,

133

4) 6) 4)

Skalární součin 5 · 4 · 1 + 3 · 2 · 12 + 4 · 6 · 4 = 20 + 72 + 96 = 188

Kolmé vektory 3. příklad ~u ~v

= =

(1, (2,

1) −2)

Skalární součin 1 · 2 + 1 · (−2) = −2 + 2 = 0 4. příklad ~u ~v

= =

(3, (5,

−5) 3)

Skalární součin 3 · 5 + (−5) · 3 = −15 + 15 = 0 5. příklad ~u ~v

= =

(−9, ( 9,

3, 10,

17) 3)

Skalární součin (−9) · 9 + 3 · 10 + 17 · 3 = −81 + 30 + 51 = 0

Ta nula není náhoda ,!

Kapitola 27

Lineární rovnice

27.1

Ukázkové příklady −

−

x x 3x 2x

+ − + −

3y y 2y 2y

− + − +

2z 2z z z

− + − +

23t t 9t 7t

= = = =

−

x

−

+ − − −

3z 2z z 2z

− + + +

12t t 2t 3t

= = = =

− − − +

22t 7t 8t 6t

= = = =

− − + −

4t 13t 6t 5t

= = = =

1.

2.

3.

4.

5.

− − −

−

−

− 6.

− 7.

− 8.

3x 3x

+ +

y y y 2y

x 3x 2x x

+ − + −

2y y 2y y

+ +

3z z

+

2z

x 2x 2x 3x

+ − + −

y y 2y 2z

+ + +

z 3z z

x 2x x 2x

+ + +

x x

+ +

y 2y 3y

+ − + +

2z z 3z 4z

− − − −

t 23t t 5t

= = = =

+ − − −

z z 2z 2z

− + + +

12t t t t

= = = =

t 12t t 8t

= = = =

t 7t 17t t

= = = =

2x

+

y 2y y 4y

3x 2x x 4x

+ + + +

5y 3y 2y 5y

− + −

z z 5z

+ + − +

x 2x 3x 4x

− − − +

y 3y y 2y

+ + − −

2z z 2z z

− − − −

− −

−

− −

− − − −

−

−

− −

2 0 12 9 1 11 5 4 16 5 2 5 1 1 8 10 4 2 11 5 10 4 4 0 10 0 0 0 15 1 5 5

Nepočítáno:

134

~v = (2t − 3;

~v = (0;

−7;

t − 1;

0;

1 − t;

t)

t)

6)

~v = (2 − 3t;

t + 1;

2 − t;

~v = (3t − 2;

1 − t;

2 + 2t;

~v = (t − 2;

t + 1;

−1;

t)

t)

~v = (20 − 3z;

2z − 12;

z;

8)

~v = (5z − 7t;

4t − 3z;

z;

t)

3 − t;

t)

~v = (t + 1;

2 − 2t;

27.1. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY

x 9.

−

10. −

11.

−

14.

15.

3y

−

2z

+

18t

=

−

7

x

−

2y

+

z

−

8t

=

−

6

−

3y y

− −

4z z

+ +

18t 8t

= =

−

3x

2 10

x 3x

+ + +

− − − −

z 4z 2z z

+ + − −

t 4t 3t 14t

= = = =

−

4x

y 2y 3y 6y

4 13 7 4

x

−

y

−

2z

−

13t

=

−

+

2z

+

3t

=

3

3t t

= =

6 4

x + +

y 2y

+

3z

+ +

x 3x

+ +

4x

+

− − − −

z 4z 2z z

+ + − +

t 4t 13t 14t

= = = =

−

−

y 2y 3y 6y

4 13 7 4

+ +

1y y

+ − + +

z 2z 3z 7z

− +

t 3t

−

13t

= = = =

−

− − −

x 4x 3x x

13 4 1 3

x 2x 2x 3x

− − + +

2y 3y y 2y

+ + − −

z 2z z 2z

− − + −

12t 4t 3t t

= = = =

− −

7 11 6 2

x 2x 3x 7x

− +

y 3y

−

3y

−

3x 3x 3x

− + +

−

2x 4x x

− + +

−

−

16.

17.

− + − −

+ +

z z

y 2y y

+ −

1z 2z

= = =

y 2y 4y

+ + +

3z 3z 6z

= = =

t 2t t 13t

= = = =

−

0 5 5

−

9 0 0

− − − −

~v =

3 10 3 17

175 ; 19

274 ; 57

~v = (1 − 2t;

15

2x 2x

12.

13.

+

135

~v =

1 ; 35

135 − ; 19

t + 1;

2;

−

16 ; 35

−2;

46 35

142 − 57

t)

Kapitola 28

Inverzní matice

28.1

Jordanova metoda

Zadaná matice A 

 A=

 1  2  1

1 − − 4 − 1

1 1 1

Jordanova metoda:      

           

  

1 1 1

1 − 1 − 4 2 − 1 1

1 0 0

0 1 0

1 0 0

1 − 1 5 − 3 2 − 2

1 1 1

0 1 0

1 0 0

1 − 1 5 − 3 0 4

1 1 − 3

1 0 0

1 − 1 20 0 0 4

1 − 5 − 3

4 0 0

4 − 4 20 0 0 4

4 − 5 − 3

20 0 − 0 1 0 0

20 20 0

0 0 1

0 1 0

0 0 1

5 5 −

3 4

− −

1 2 1 4 3 4

−

− −

  0   0 ∼ 1

−

− −

− −

0 10 2

  0   0 ∼ 1

  0   15  ∼  5   0   15  ∼  5

  − 10 25   10 − 15  ∼  5 − 24 4 1 2 3 4 5 4

0 − −

1 2 1 2

1 4 1

1 0 0

1 6 10

1 2 − 5

1 0 0

1 − 1 20 − 12 0 12

1 4 − 9

1 0 0

1 20 0

4 0 0

−

−

1 − 10 − 10

4 20 0

0 0 4

1 5 − 3

−

0 1 0

0 0 1

10

 

 A−1 =  − −

− −

136

1 2 1 2

1 2 3 4 5 4

− −

0 4 6

0 − 10 − 2

20 0 0

0

−

0 2 0

1 − 5 − 3



1 2 1 4 3 4

−

−

0 1 0

1 0 4

Inverzní matice je tedy: 

− − −

1 2 1

1 0 0

  0   0 ∼ 5

0 1 2 0 10 2

1 − 1 − 1

  

− −

5 20 3 4

−

− −

 0  0 ∼ − 1

 0  0 ∼ 5

 0  0 ∼ 15

 0  15  ∼ 5

 2 5  10 − 15  ∼ 2 5 0

10

10 20 1 2

15 20 5 4



 ∼

28.2. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC

137

Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:

A−1 · A = A · A−1 = E



  − −

1 2 1 4 3 4

0 − −

1 2 1 2

1 2 3 4 5 4

  ·

1 1 1

1 − − 4 − 1 

 =

28.2

  1   2 = 1

1 1 1

1 0 0

 0  0  0

0 1 0

1 − − 4 − 1

 1  2 · − 1 −

1 2 1 4 3 4

0 − −

1 2 1 2

1 2 3 4 5 4

  

Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic

Zadaná matice A 

 A=

1 1 1

 1 −1  −4 2  −1 1

32. věta – inverzní matice pomocí determinantů Nechť A = (aij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat

A−1 =



 1   det A  

D11 D21 .. . D1n

D21 D22 .. . D2n

... ... .. . ...

Dn1 Dn2 .. . Dnn



   = 1 (Dij )T ,  det A 

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n. 1) Spočítáme determinant zadané matice A (tučně vyznačena) Sarrusovým pravidlem        

 1 1 −1  1 −4 2   1 −1 1   = −4 − 1 + 2 − 4 + 2 − 1 = −4  1 1 −1  1 −4 2

2) Potřebujeme algebraické doplňky submatic pro dosazení do vzorce zmíněného výše. Algebraické doplňky zjistíme na základě determinantů submatic: algebraický doplněk = (−1)i+j · determinant submatice kde i = sloupec, j = řádek

138

KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE

Vzhledem k tomu, že musíme používat matici algebraických doplňků transponovanou, budeme nyní chápat značení transponovaně: Dsloupec, řádek a dosadíme do matice

A−1



−2 1  =  1 −4 3

  1 0 −2 2   1 2 −3  =  − 4 2 −5 − 34

0 − 21 − 21

1 2 3 4 5 4

  

Výsledná matice je inverzní k zadané matici A. Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:     1 1 1 1 −1 0 2 2    3  · A−1 =  − 14 − 12 1 −4 2 = 4  5 1 −1 1 − 34 − 12 4

1 1 1

 1 1 −1 2  1 −4 2 · − 4 −1 1 − 43

0 − 12 − 12

1 2 3 4 5 4





  =

1 0 0

0 1 0

 0  0  1

28.2. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC

139

Tabulka 28.1: Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků

Zvýrazněný prvek  1 1  D11 =  1 −4 1 −1 D12

D13

D21

D22

D23

D31

D32

D33



 = 

 = 

 = 

 = 

 = 

 = 

 = 

 =

 −1  2  1

 −1  2  1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

 1 −1  −4 2  −1 1

1 1 1

1 −4 −1

 −1  2  1

 −1  2  1

 −1  2  1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

 1 −1  −4 2  −1 1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

 −1  2  1

 −1  2  1

Submatice ! −4 2 −1 1

Výpočet determinantu submatice −4 · 1 − 2 · (−1) = −4 + 2 = −2

algebraický doplněk (−1)1+1 · (−2) = −2

1 1

2 1

!

1 · 1 − 2 · 1 = −1

1 1

−4 −1

!

1 · (−1) − (−4) · 1 = −1 + 4 = 3

(−1)1+3 · 3 = 3

1 −1

−1 1

!

1 · 1 − (−1) · (−1) = 1 − 1 = 0

(−1)2+1 · 0 = 0

1 1

−1 1

!

1 · 1 − (−1) · 1 = 1 + 1 = 2

(−1)2+2 · 2 = 2

1 1

1 −1

!

1 · (−1) − 1 · 1 = −1 − 1 = −2

1 −4

−1 2

!

1 · 2 − (−1) · (−4) = 2 − 4 = −2

1 1

−1 2

!

1 · 2 − (−1) · 1 = 2 + 1 = 3

1 1

1 −4

!

1 · (−4) − 1 · 1 = −4 − 1 = −5

(−1)1+2 · (−1) = 1

(−1)2+3 · (−2) = 2

(−1)3+1 · (−2) = −2

(−1)3+2 · 3 = −3

(−1)3+3 · (−5) = −5

Kapitola 29

Matice

29.1

Sčítání matic

29.1.1

Obecný návod

Nechť A, B jsou matice typu (m, n), potom  a11 a12   a21 a22 A + B= ..  ..  . . am1 am2 

  =  

29.1.2

A + B je opět matice typu (m, n)   b11 b12 . . . . . . a1n   . . . a2n   b21 b22 . . .  .. ..  .. .. + . . . . .   .. bm1 bm2 . . . . . . amn

a11 + b11 a21 + b21 .. . am1 + bm1

a12 + b12 a22 + b22 .. . am2 + bm2

... ... .. . ...

a1n + b1n a2n + b2n .. . amn + bmn

taková, že  b1n  b2n  ..  = .  bmn

     

Příklady 1 3

A+B=

2 4

!

+

4 2

3 1

!

=

5 5

5 5

!

29.2

Násobení matic reálným číslem

29.2.1

Obecný návod

Platí, že pakliže násobíme matici A typu (m, n) nějakým číslem c, pak se výsledek rovná c · A. 

  A=  

a11 a21 .. . am1

29.2.2

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn

     



  c·A=  

c · a11 c · a21 .. . c · am1

c · a12 c · a22 .. . c · am2

... ... .. . ...

c · a1n c · a2n .. . c · amn

     

Příklad

Vynásobte matici K číslem 5:

K=

    

0 0 −1 3

0 −1 1 3 3 −5 5 0

3 5 0 0

    

5·K=

    

5·0 5·0 5 · (−1) 5·3 140

5 · 0 5 · (−1) 5 · 3 5·1 5·3 5·5 5 · 3 5 · (−5) 5 · 0 5·5 5·0 5·0





    =  

 0 0 −5 15 0 5 15 25    −5 15 −25 0  15 25 0 0

29.3. NÁSOBENÍ MATIC MATICEMI

141

29.3

Násobení matic maticemi

29.3.1

Obecný návod

Při výpočtu násobku dvou matic musíme v první řadě ověřit řešitelnost, v případě, že chceme k výpočtu použít Excel, musíme znát i velikost výsledné matice. Řešitelnost a velikost zjistíme následujícím způsobem: • Matice má rozměr A m × n (m = počet řádků, n = počet sloupců) • Matice má rozměr B n × o (n = počet řádků, o = počet sloupců) m × n·n × o • Matice lze vynásobit v pořadí A · B, pakliže má první matice tolik slouců, kolik má druhá matice řádků • Velikost výsledné matice bude m × o, tedy bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a bude mít tolik sloupců jako má druhá matice sloupků Násobení matic není komutativní, což znamená, že A · B 6= B · A, pakliže není jedna (nebo obě) z daných matic jednotková. Obecně se dá násobení matic znázornit následovně: 



a11  A · B =  a21 a31

 a12  a22  · a32

b11 b21

b12 b22

b13 b23

!

=

 (a11 · b11 ) + (a12 · b21 ) (a11 · b12 ) + (a12 · b22 ) (a11 · b13 ) + (a12 · b23 )    (a21 · b11 ) + (a22 · b21 ) (a21 · b12 ) + (a22 · b22 ) (a21 · b13 ) + (a22 · b23 )  (a31 · b11 ) + (a32 · b21 ) (a31 · b12 ) + (a32 · b22 ) (a31 · b13 ) + (a32 · b23 ) Obrázek 29.1 snad ještě lépe dokresluje způsob, jakým se dvě matice násobí mezi sebou.

142

KAPITOLA 29. MATICE

Obrázek 29.1: Násobení matic B   b11 b12 b13   b21 b22 b23 

a11 a12

  a  21 a22 A  a  31 a32  a41 a42

        

      

Zdroj: LATEX

       

Návod na výpočet v Excelu:

1. zapíšeme hodnoty první matice 2. zapíšeme hodnoty druhé matice 3. zjistíme rozměr výsledné matice (sama se zamyslím) 4. kurzorem označíme rozsah polí výsledné matice (kde všude se objeví výsledek) 5. s označeným polem se do F(x) napíše ”= soucin.matic(ozačení polí s hodnotami první matice; označení polí s hodnotami druhé matice)” 6. pro zobrazení stiskneme ctrl+shift+enter, samotný enter nestačí, neboť v takovém případě se vypíše pouze jedna hodnota (vyplní se jedna buňka)

29.3.2

Příklady

1. Zjistíme řešitelnost úlohy: matice A má rozměr 3 × 2 a matice B má rozměr 2 × 3. 3 × 2 · 2 × 3 Řešitelná tedy je. 2. Výsledná matice bude o rozměru 3 × 3. 3. Výpočet úlohy B · A není možný. 

1  A·B= 3 5 

1+4  = 3+8 5 + 12

 2  4 · 6

1 2

3 4

5 6

!



 1·1+2·2 1·3+2·4 1·5+2·6   = 3·1+4·2 3·3+4·4 3·5+4·6  5·1+6·2 5·3+6·4 5·5+6·6

  3+8 5 + 12 5   9 + 16 15 + 24  =  11 15 + 24 25 + 36 17

 11 17  25 39  39 61

Násobení matic jednotkovou maticí zleva a zprava ! ! ! 2 3 1 0 2·1+3·0 2·0+3·1 C · E= · = = 4 5 0 1 4·1+5·0 4·0+5·1

2+0 4+0

0+3 0+5

!

=

2 4

3 5

!

29.5. MATICE S PARAMETREM

1 0

E · C=

0 1

!

·

2 4

!

3 5

=

Násobení matic zleva a zprava ! ! 1 2 5 6 D · F= · = 3 4 7 8 5 7

F · D=

29.4

6 8

!

·

1 3

!

2 4

=

1·2+0·3 0·2+1·4

1·3+0·5 0·3+1·5

!

1·5+2·7 3·5+4·7

1·6+2·8 3·6+4·8

!

5·1+6·3 7·1+8·3

5·2+6·4 7·2+8·4

!

=

=

=

!

=

5 + 14 6 + 16 15 + 28 18 + 32

!

2+0 0+4

5 + 18 7 + 24

3X − 2A=B X −!A ⇒ X=(3E-B)−1 · A ! 5 4 4 −2 A= B= 7 9 1 0

2.

2X+3B=4B−AX !

4.

5.

−1 −3

−1 2

3X−B=B−X · A ! 1 9 A= 1 2 A·X=B  −2  A =  −3 1

 −1 −7  −1 −2  0 −4

2X+3B=4B−AX !

A=

−1 −3

−1 2

B=

−2 5

3 −4

!

B=

−1 −1

−2 0

!



 B=

B=

5 3 0

−2 5

 1  1  1 3 −4

Matice s parametrem

Vypočítejte hodnotu parametru k tak, aby byli řádky matice lineárně závislé. 1 2 3 2

−1 −3 1 3

1 0 1 2

1 2 1 k

2  2.  −4 0

1 5 7

2 0 k

0 1 1

  1.   

10 + 24 14 + 32

1.

3.



3+0 0+5

Rovnice s maticemi

A=

29.5

143

    

 −3  −k  −10

!

!

2 4

3 5

!

=

19 43

22 50

!

=

23 31

34 46

!

Kapitola 30

Determinanty

30.1

Návody k výpočtu

30.1.1

Determinant matice 1. řádu

Nechť A je čtvercová matice řádu n = 1. A = (a11 ). Pak z definice 28 uvedené v Přílohách III , v sekci Definice z lineární algebry C.1: X r (−1) a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn , det A = (π)

dostáváme:

det A = a11 Př: Matice A = (5) 1 Matice B = 2

30.1.2

det =

5

det =

1 2

Matice C = (−3)

det = −3

Matice D = (1)

det =

1

Determinant matice 2. řádu

Je-li A čtvercová matice n = 2 ! a11 a12 A= a21 a22 Z definice vychází následující: det A = a11 · a22 − a12 · a21 Př.: Matice A =

3 4

6 5

!

= det A = 3 · 5 − 6 · 4 = 15 − 24 = −9

Matice B =

7 8

9 4

!

= det B = 7 · 4 − 9 · 8 = 28 − 72 = −44

30.1.3

Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n = 3. 144

30.1. NÁVODY K VÝPOČTU

145



a11   a21 a31

a12 a22 a32

 a13  a23  a33

V tomto případě je det A součtem šesti členů, protože existuje 3! = 3 · 2 · 1 = 6 různých permutací. První tři jsou sudé a odpovídající členy determinantu budou mít znaménko + . Zbývající tři permutace jsou liché a příslušné členy budou mít znaménko – . Podle definice determinantu tedy dostáváme:

det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33 – a13 · a22 · a31

Při řešení se můžeme řídit tzv. Sarrusovým pravidlem Obrázek 30.1: Sarrusovo pravidlo

+a11 +a21 +a31 a11 a21 a31

a13− a23− a33− a13 a23 a31

a12 a22 a32 a12 a22 a31

Zdroj: LATEX

Sarrusovo pravidlo lze použít pouze pro matice 3. řádu. U matic vyššího řádu NELZE! Sarrusovo pravidlo použít.

30.1.3.1

Ukázkový příklad

Zadaná matice (tučně vyznačena) je matice řádu 3, použijeme tedy pro výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo.        

1 3 2 1 3

2 4 4 2 4

3 3 5 3 3

       

= 1 · 4 · 5 + 3 · 4 · 3 + 2 · 2 · 3 − 3 · 4 · 2 − 3 · 4 · 1 · −5 · 2 · 3 = 20 + 36 = 12 − 24 − 24 − 30 = 32 − 30 = 2

30.1.4

Determinant matice řádu > 3

Při hledání determinantů matic řádu vyššího než 3. se řídíme větou 29. uvedenou v Přílohách III, v sekci Věty z lineární algebry C.2, nelze použít Sarrusovo pravidlo. Lze postupovat tak, že z matice řádkovými a sloupcovými

146

KAPITOLA 30. DETERMINANTY

úpravami dostaneme horní či dolní trojúhelníkovou matici. Determinant této matice se pak rovná součinu prvků na hlavní diagonále.

30.2

Ukázkové příklady

30.2.1

Výpočet determinantů matic

Vypočítejte determinanty daných matic Zadání

0 0 −1 3 0 1 3 5 1) A = −1 3 −5 0 3 5 0 0 3 1 0 1 2 −1 1 2 2) B = −1 1 2 1 1 0 1 2 3 2 3 −1 1 0 −2 0 1 2 3) C = −3 1 0 2 −1 2 0 3 −2 0 3 1 0 −2 1 2 3 0 0 1 2 3 0 4) D = 0 1 2 3 0 0 1 2 1 5 0 0 3 1 5 0 5) E = 0 3 1 5 0 0 3 1 3 5 0 0 1 3 −5 0 6) F = 0 −1 3 5 0 0 1 3

30.2.2 2 0 1. −2 0

Rovnice s determinanty 1 −3 x 1 −1 3 2 −1

1 2 1 3

= 3x + 1

Výsledky

1X Determinant A =

241

2X Determinant B =

−10

3X Determinant C =

−144

4X Determinant D =

−11

5X Determinant E =

181

30.2. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 2 2. 4 x+2 7 3. 1 −2

4.

3 0 1

30.2.3 + 1.

2. −

3.

− −

−1 x 3

1 2 1

x 1 = −4 −x

−3 1 x −2 = 3x 5 −1 x 2 x

−2 3 1

=

x 5

2 x

+ 25

Cramerovo pravidlo 3x x

+

2y 5y

+ − −

4z z 3z

= = =

2x 4x x

− + +

y 2y 4y

+ + +

3z 3z 6z

= = =

2x x 4x

+ + −

y 3y y

+ + −

3z 2z z

= = =

+ −

y 2y y

− − +

3z z 3z

= = =

+ 4.

147

4x 3x

− −

10 7 4 9 10 0

−

10 0 12

−

10 3 3

Literatura Tištěné zdroje [1] Dvořáková, Š.: Řešené příklady k matematice I, Praha 2004, ISBN 80-213-1215-7 [2] Dvořáková, Š., Slavík, V.: Integrální počet, ISBN 978-80-213-1625-6 [3] Dvořáková, Š., Wohlmuthová M.: Řešené příklady k Matematice II, Praha 2006, ISBN 80-213-1469-9 (ČZU) [4] Nešetřilová, H., Šařecová, P.: Matematické metody pro statistiku a operační výzkum, Praha 2009, ISBN 978-80-213-0757-5 [5] Slavík, V., Hrubá, J.: Matematika: Diferenciální počet, Praha 1993, ISBN 80-213-0159-7 [6] Slavík, V., Wolhmuthová, M.: Matematika I, Praha 2004, ISBN 80-213-1214-9

Elektronické zdroje [7] Gurka, P.: Dostupné na World Wide Web: [8] Mašková, K.: Dostupné na World Wide Web: [9] Wikipedia: Dostupné na World Wide Web: [10] Greenpeace, kampaň Papír má dvě strany: Dostupné na World Wide Web:

Programy, za jejichž pomoci byl soubor vytvořen [11] Text a obrázky – LATEX 2ε [12] Obrázky – Graph (ke stažení ) [13] Obrázky – GeoGebra (ke stažení ) [14] Obrázky – Google

Online kalkulátory [15] Online kalkulátor (český) [16] Webová verze programu Mathematica [17] Sčítání a násobení matic (lineární algebra)

Zajímavé odkazy [18] Stránky katedry matematiky ČZU TF [19] Masarykova univerzita (Brno) [20] ČVUT

148

Část III

Přílohy

149

150

Příloha A

Vzorce povolené ke zkoušce

A.1

Derivace

Funkce a exponenty

Pravidla pro derivování Pravidla pro sčítání 19. Pravidla pro násobení

(konstanta)0 = 0 (x)0 = 1 (xa )0 = axa−1 0 1 1 =− 2 x x √ 1 ( x)0 = √ 2 x

1. 2. 3. 4. 5.

20.

20.a 1 x ln a 1 (log x)0 = x ln 10 1 ln x)0 = x (ex )0 = ex (loga x)0 =

7. 8. 9.

x 0

21. (u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v 0 · w + u · v · w0 0

nebo též ((u · v) · w) = (u · v)0 · w + (u · v) · w0 Pravidla pro podíl

x

22.

Goniometrické funkce


11.

(sin x)0 = cos x

12.

(cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 (x) 1 (cotg x)0 = − 2 sin (x)

13. 14.

22.a Pravidla pro složené funkce 23.

Cyklometrické funkce

u 0 v

=

f (x) k

u0 · v − u · v 0 v2

0

=

f 0 (x) k

0

[f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)

Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici 1 (arcsin x)0 = √ 1 − x2 1 0 (arccos x) = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 0 (arccotg x) = − 1 + x2

15. 16. 17. 18.

A.2

(k · f (x))0 = k · (f (x))0

Násobení více funkcí

(a ) = a · ln a

10.

(u · v)0 = u0 · v + u · v 0


Logaritmy a exponenciála 6.

(u ± v)0 = u0 ± v 0

obecné mocniny 24.

f (x)

g(x)

= eg(x)·ln f (x)

Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí Tabulka A.1: Důležité hodnoty goniometrických funkcí

x

− π2

− π3

− π4

√

sin x

−1 −

3 2

cos x

0

1 2

tg x

?

√ − 3

cotg x

0

−

√

2 2

− √

2 2

0

π 6

− 12

0

1 2

√

3 2

√

1

√

3 2

π 4

π 3

√

√

2 2

√

2 2

√

−1

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

√

3 3

− π6

3 3

√

1

π 2

2π 3

3π 4

√

√

3 2

1

3 2

1 2

0

− 12

√

√ 3 ? − 3

√

3

1

3 3

3 3

151

π

7π 6

1 2

0

− 12

2 2 √

−

2 2

√

−

3 2

5π 4

3 2

√

2 2

√

−

2 2

√

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

3 3

√

4π 3

√

−

√

−1 −

−1

√

0 −

5π 6

1

3π 2

5π 3

√

3 2

−

− 12

−1 −

1

√

2 2

− √

2 2

11π 6

− 12 √ 3 2

0

1 2

3

?

√ − 3

−1

−

3 3

0

−

√ 3 3

−1

√ − 3

√ √

3

√ 3 2

7π 4

√

3 3

152

PŘÍLOHA A. VZORCE POVOLENÉ KE ZKOUŠCE

A.3

1.

Neurčité integrály Z

Funkce Z 3. Z 4. Z 5. Z 6.

k · f (x) dx = k · a exponenty 0

dx = C

1

dx = x + C

Z

f (x) dx

Funkce Z 9. Z 10. Z 11. Z 12.

α+1

x + C, α+1 x a ax dx = +C ln a Logaritmy a exponenciála Z 1 7. dx = ln |x| + C Z x 8.

Pravidla pro integrováníZ Z Z 2. (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx

xα

dx =

ex

dx = ex +C

vedoucí na goniometrické funkce cos x

dx = sin x + C

sin x

dx = − cos x + C

dx = tg x + C cos2 x dx = − cotg x + C sin2 x Funkce Z vedoucí na cyklometrické funkce dx √ 13. = arcsin x + C 1 − x2 Z dx = arctg x + C 14. 1 + x2 Vzorce pro použití metod

α 6= −1

Metoda per partes Neurčitý integrál Z Z 15. u0 · v = u · v − u · v 0

Určitý integrál Zb Zb 16. u0 · v = [u · v]ba − u · v 0 a

Metoda substituce Neurčitý integrál Z g(x) = t 17. f (g(x)) · g 0 (x) dx = 0 g (x) dx = dt

Určitý integrál g(b) Z g(x) = t 0 f (g(x)) · g (x) dx = 0 18. g (x) dx = dt

a

Z = f (t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C a → g(a) b → g(b)

g(b) Z g(b) f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a)) = g(a)

g(a)

Speciální Z možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru:Z 0 1 g (x) 19. f (ax + b) dx = · F (ax + b) + C pro (F 0 (x) = f (x)) 20. dx = ln |g(x)| + C a g(x)

A.4 1.

Aplikace určitého integrálu Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami: Zb Zb P = f (x) dx pro f (x) ≥ 0 na ha, bi, P = (f (x) − g(x)) dx a

2.

Povrch rotačního tělesa:

S = 2π ·

Zb a

3.

Objem rotačního tělesa:

V =π·

Zb

a

f (x) ·

p

1 + (f 0 (x))2 dx

f 2 (x) dx

a

4.

Délka křivky:

l=

Zb p a

1 + (f 0 (x))2 dx

pro f (x) ≥ g(x) na ha, bi

Příloha B

Návod k programu Graph 4.3

B.1

Úvod

Tento jednoduchý ale šikovný open source program umožňuje nakreslit funkce, řady bodů, provádět základní výpočty apod. a tak nám může usnadnit orientaci při výpočtu příkladů a zároveň nám nabízí grafické řešení a ověření. Často se počítá definiční obor, monotonie, konvexita a konkávita. To jsou charakteristiky funkcí, které lze snadno vyčíst z obrázku (zkoušková zadání, která jsou na stránkách, jsou graficky zachycena v červené záložce „Grafické znázorněníÿ). Bohužel zkouškové předpisy jsou tak složité, že není možné si je v hlavě představit, proto musíme použít matematický aparát ke zjištění, kde funkce roste či kde je konkávní. V rámci domácí přípravy však použití tohoto programu může přinést lepší představu o počítaných příkladech. Aktuální verze 4.3 je dostupná od 26. srpna 2007 je již 28. verzí v pořadí, první byla vydána v březnu 2001. Do novějších verzí se mimo nových funkcí a případných oprav zapracovávají i nové jazyky, v tuto chvíli je Graph dostupný ve 23 jazycích včetně srbštiny a mongolštiny a k šesti z nich je dostupná nápověda. Autorem je Ivan Johansen, který na programu stále pracuje. Program byl napsán pro práci pod operačním systémem Windows, dle zpráv od ostatních uživatelů jej však možné spustit jej i pod Linuxem a Macintoshem. Nová verze 4.4 se připravuje, v tuto chvíli je možné zúčastnit se Beta testu na , také je možné zapsat se do mailing listu a nechat si zasílat informace o nově dostupných verzích. Výstupy z grafu lze uložit pod koncovkou *.grf, nebo je též možné vyexportovat je jako obrázcek (nabízí se běžné druhy obrázků: *.jpg, *.png, *.bmp, *.emf a *.pdf) pod Soubor ⇒ Uložit jako obrázek. V následujících kapitolkách si ukážeme nejdůležitější funkce, které Graph 4.3 nabízí.

B.2

Popis pracovní lišty a nápovědy

Obrázek B.1 ukazuje základní pracovní plochu programu s lištou nástrojů. Na následujících obrázcích jsou vysvětleny jednotlivé funkce a způsob ovládání.

153

154

PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4.3

Obrázek B.1: Základní pracovní plocha

Zdroj: program Malování – print screen programu Graph

B.2.1

Nastavení os

Pod růžově zvýrazněným symbolem os se skrývá tabulka, kde je možné zaškrtnout zda se má zobrazovat mřížka, legenda, jak budou pojmenovány jednotlivé osy a nakonec i změna nastavení barev na Obrázek B.2. Obrázek B.2: Základní nastavení os a barev


B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE

B.2.2

155

Nápověda

Samotný program nabízí ve své nápovědě kompletní „slovníkÿ pro překlad požadavků do jazyka Graphu. Je pod záložkou Nápověda ⇒ Seznam funkcí jak je ukázáno na Obrázku B.3. Obrázek B.3: Slovník – seznam funkcí


B.3

Jak zadávat funkce

Nejdůležitějším nástojem je samozřejmě samotné zadávání předpisů. Lze si buď vybrat z horní lišty Funkce ⇒ Vložit funkci, nebo použít ikonu znázorňující osy s červenou křivkou, jak je znázorněno na Obrázku B.4. V tabulce Vložit funkci na Obrázku B.4 lze také nastavit ohraničení zobrazení křivky, tloušťku, styl čáry a její barvu pro lepší orientaci.

B.3.1

Předpisy funkcí a jak je zadávat

Zde jsou vypsané zjednodušeně pokyny z této nápovědy:

156


Obrázek B.4: Vložení nové funkce


Tabulka B.1: Slovník typ funkce

jak se zapisuje

jak poprosit Graph

mocnina druhá odmocnina n-tá odmocnina logaritmus (přirozený) logaritmus (o základu n) logaritmus (dekadický) sinus cosinus tangens arcus sinus arcus cosinus arcus tangens Eulerovo číslo Ludolfovo číslo

x √ x √ n x ln x log2 10x log x sin x cos x tg x arcsin x arccos x arctg x e π

x∧ 2 sqrt (x) root(n, x) ln (x) logb(10x, 2) log (x) sin (x) cos (x) tan (x) asin (x) acos (x) atan (x) e pi

∧ sqrt

Ctrl + Alt + tlačítko 3š square root

stříška anglicky „odmocninaÿ

2

B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE

157

Tabulka B.2: Konkrétní funkce

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Funkce

Jak mluvit na Graph

f (x) = (x + 2) · ln(x − 3) − 1 r 4−x f (x) = 3 − 2 ln x+2 x2 + 2x − 15 2 f (x) = ln + ex −16 x−1 x3 − 16x √ f (x) = ln + 36 − x2 x−5 √ x3 + 4x2 − 21x f (x) = 25 − x2 + ln 4−x 2 √ x + 3x − 3 f (x) = 25x − x3 + ln 2 x + 2x − 8 √ 1−log (x+3) f (x) = e r 1 9x2 − 1 f (x) = + 2 log (8 − x) x − 10x + 21 r 4x 2−e f (x) = ln 2 + e4x √ 3 x2 − 3x − 10 f (x) = + log (8 − x) log (x + 4) − 1

(x + 2) ∗ ln(x − 3) − 1

! NEŠETŘETE ZÁVORKAMI ! Program pracuje s desetinnou tečkou.

3 − 2 ln(sqrt((4 − x)/(x + 2))) ln((x∧ 2 + 2x − 15)/(x − 1)) + e∧ (sqrt(x∧ 2 − 16)) ln((x∧ 3 − 16x)/(x − 5)) + sqrt(36 − x∧ 2) sqrt(25 − x∧ 2) + ln((x∧ 3 + 4x∧ 2 − 21x)/(4 − x)) sqrt(25x − x∧ 3) + ln((x∧ 2 + 3x − 3)/(x∧ 2 + 2x − 8)) e∧ (sqrt(1 − log(x + 4))) 1/(log(8 − x)) + sqrt((9x∧ 2 − 1)/(x∧ 2 − 10x + 21)) ln(sqrt((2 − e∧ (4x))/(2 + e∧ (4x)))) ((x∧ 2 − 3x − 10)∧ (1/3))/(log(x + 4) − 1) + log(8 − x)

158


Není-li výraz v argumentu (to, co je „logaritmovánoÿ, „sínusovánoÿ atd.) v závorce, může se stát, že program nakreslí jinou funkci; dále viz příklad rozdílné interpretace jedné funkce. Zadáme-li do Graphu funkci ne zcela jednoznačným způsobem, může dojít k následujícímu: log 8 − x

B.3.2

log (8) − x

log (8 − x)

Toto bude nakresleno.

Otázkou je, jakou funkci jsme měli na mysli.

Konkrétní příklad

Předpis křivky: f (x) = x + e(1−x

2

)

je tedy x+e∧ (1-x∧ 2)

Tento předpis je nutné vložit do „Vložit funkciÿ. Z Obrázku B.5 je vidět, kde funkce roste a kde klesá. Funkce roste na intervalech Funkce klesá na intervalu

h−∞; 0i a h1, 5; ∞) h0; 1, 5i

Lze tedy očekávat, že funkční hodnoty derivace budou v místech poklesu záporné a v místech růstu funkce kladné. Obrázek B.5: Konkrétní příklad – funkce f (x) = x + e(1−x

2


)

B.4. DALŠÍ FUNKCE

B.4 B.4.1

159

Další funkce Ohraničení funkce, šrafování

Šrafováním se dá znázornit např. interval pro výpočet lokálních extrémů, plocha při výpočtu určitého integrálu apod. Kliknutím na růžově zvýrazněný symbol vyšrafované křivky na Obrázku B.6 se nám otevře dialogové okno se třemi záložkami:

Šrafování zde zvolíme druh šrafování a směr od funkce a horizontální osy Možnosti nabízí se nám zobrazit šrafování od – do, typ šrafování (čtverečky, šikmé čáry. . . ) Druhá funkce pro případ, že chceme zvýraznit plochu mezi dvěma funkcemi, je tu třetí záložka, kde určíme jaké funkce se mají na požadované ploše podílet

Obrázek B.6: Šrafování


160

B.4.2


Tečna a normála

Jak nakreslit tečnu a normálu? Musí být označena funkce, ke které mají být požadované přímky sestrojeny. Symbol je označen v růžovém rámečku na liště na Obrázku B.7. Pak je nutné zadat x-ovou souřadnici do horního pole dialogového okna. V případě, že má být nakreslena normála, pak je třeba zaškrtnout příkaz „Kolmiceÿ (jiný název pro normálu, neboť normála je kolmá na tečnu). Obrázek B.7: Vložení tečny a normály k vybrané funkci


B.4.3

Řada bodů / souřadnic

Kromě funkcí je možno zadat i řadu bodů. To je vhodná jak pro znázornění konkrétních souřadnic, vývoj sledovaných veličin, tak ke zvýraznění určitých bodů – např. maxim a minim, inflexních bodů, hraničních bodů a podobně.

B.4.4

Text, popisky a legenda

Kromě funkcí je možné na plochu vložit i text a další symboly. Je možné pohrát si s barvami textu a pořadí či velikostí písma.

B.4.5

Výpočty

Mezi další funkce patří například výpočet určitého integrálu (délka, obsah). Všechny ikonky nástrojů mají bublinovou nápovědu, takže kdo si chce s funkcemi pohrát více – má šanci.

B.4. DALŠÍ FUNKCE

161

Obrázek B.8: Řada bodů


Obrázek B.9: Vložení textu


K zadané již nakreslené funkci Graph hravě dopočítá a ihned nakreslí derivaci přos Funkce ⇒ Vložit f 0 (x),nezobrazí však její maximální algebraickou úpravu.

162


B.4.6

Ostatní

Na nástrojové liště jsou další ikonky, např. ikonka černých os a červené křivky slouží k dopočítání a zvýraznění souřadnic na vybrané funkci, obrázky lupy či ručky, díky které lze s obrazem libovolně hýbat a posouvat osu, stačí prostě obrázek „čapnoutÿ a posunout kam je libo.

B.5

Užitečné odkazy

Program ke stažení:

<www.matematika-lucerna.cz/program-graph.exe>

Oficiální stránky a dokumentace k programu Graph:

Tento soubor je v aktuální verzi ke stažení na:

<www.matematika-lucerna.cz/obrazky/navod-graph.pdf>

Příloha C

Lineární algebra Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009).

C.1

Definice z lineární algebry

1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které jsou definovány dvě operace: sčítání prvků množiny V (každé dvojici prvků x, y ∈ V je jednoznačně přiřazen prvek x + y ∈ V) a násobení prvků množiny V reálným číslem (každému prvku x ∈ V a každému reálnému číslu r ∈ R je jednoznačně přiřazen prvek r · x ∈ V). Obě operace musí navíc (pro všechny prvky x, y, z ∈ V a všechna reálná čísla r, s ∈ R) splňovat následující axiomy:

A1 : x + y = y + x, A2 : x + (y + z) = (x + y) + z, A3 : existuje prvek o ∈ V takový, že x + o = x, A4 : r · (x + y) = r · x + r · y, A5 : (r + s) · x = r · x + s · x, A6 : r · (s · x) = (r · s) · x, A7 : 1 · x = x, 0 · x = o.

Prvky vektorového prostoru nazveme vektory. Prvek o nazveme nulovým vektorem vektorového prostoru V. 2. definice Neprázdná podmnožina Svektorového prostoru V se nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí 1. pro všechna x, y ∈ S je x + y ∈ S(S je uzavřená vzhledek ke sčítání), 2. pro každé x ∈ S a každé reálné číslo r ∈ R je r · x ∈ S (S je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem).

3. definice Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk , je-li

x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk kde c1 , c2 , . . . , ck jsou nějaká reálná čísla. Čísla c1 , c2 , . . . , ck se nazývají koeficienty lineární kombinace.

163

164

PŘÍLOHA C. LINEÁRNÍ ALGEBRA

4. definice Nechť M je libovolná množina vektorů vektorového prostoru V, lineárním obalem množiny M (ve V) nazveme množinu všech lineárních kombinací vektorů z M, označíme ji L(M). 5. definice Vektory x1 , x2 , . . . , xk ∈ V nazýváme lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1 , c2 , . . . , ck , z nichž alespoň jedno je nenulové, taková, že

x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk = o Nejsou-li vektory x1 , x2 , . . . , xk lineárně závislé, říkáme, že jsou lineárně nezávislé. 6. definice Nechť M ⊆ V je taková množina vektorů z V, že L(M) = V. Pak řekneme, že M generuje celý vektorový prostor V. Je-li množina M konečná, M = {x1 , x2 , . . . , xk }, pak říkáme, že vektorový prostor V je konečně generovaný a vektory x1 , x2 , . . . , xk nazýváme generátory tohoto prostoru. 7. definice Nechť M je lineárně nezávislá množina generátorů vektorového prostoru V. Pak říkáme, že množina M je bází vektorového prostoru V. 8. definice Počet vektorů v bázi vektorového prostoru V nazveme dimenzí tohoto prostoru a značíme dim V. Dále definujeme dim {o} = 0. 9. definice Nechť n ∈ N. Označme Rn množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Tedy Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ); kde x1 , x2 , . . . , xn ∈ R.} Řekneme, že dvě uspořádané n-tic (x1 , x2 , . . . , xn ) a (y1 , y2 , . . . , yn ) z Rn jsou si rovny právě když

x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn

10. definice Nechť x = (x1 , x2 , . . . , xn ) a y = (y1 , y2 , . . . , yn ) jsou dva vektory z Rn . Skalárním součinem x · y nazveme reálné číslo

x · y = x1 y1 + x2 y2 , . . . , xn yn , nebo stručněji

x·y =

n X i=1

11. definice Nechť x ∈ Rn . Reálné číslo

xi yi .

C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

165

|x| =

√

x·x

nazveme velikostí (normou) vektoru x. Vektor x se nazývá jednotkový (normovaný) vektor, jestliže |x| = 1.

12. definice Vektory x, y z vektorového prostoru Rn se nazývají vzájemně ortogolální (kolmé), jestliže x · y = 0. 13. definice Báze x1 , x2 , . . . , xm podprostoru S vektorového prostoru Rn , m ≤ n, se nazývá ortogonální, jestliže vektory x1 , x2 , . . . , xm tvoří ortogonální skupinu vektorů. Jsou-li navíc x1 , x2 , . . . , xm jednotkové vektory, nazýváme tuto bázi ortonormální bází S. 14. definice Nechť S je podmnožina Rn . Ortogonálním doplňkem množiny S v Rn nazveme množinu { v ∈ Rn ; v · x = 0 pro všechny vektory x ∈ S}, označíme ji S⊥ . 15. definice Matice A typu (m, n) ∈ N, je tabulka reálných čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců 

  A=  

a11 a21 .. . am1

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn

     

16. definice Řekneme, že matice A a B jsou si rovny (A = B), jsou-li to matice stejného typu (m, n), pro jejichž prvky platí aij = bij

i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n

17. definice Nechť A a B jsou matice stejného typu (m, n), 

  A=  

a11 a21 .. . am1

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn





    , B =     

b11 b21 .. . bm1

b12 b22 .. . bm2

... ... .. . ...

Součtem matic A + B nazveme matici  a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n  a + b a22 + b22 . . . a2n + b2n  21 21 A+B= . .. .. ..  .. .  . . am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

b1n b2n .. . bmn

     

     

18. definice Hodností matice A typu (m, n) rozumíme dimenzí podprostoru Rn generovaného řádkovými vektory matice A. Hodnost matice A označíme hA.

166


19. definice Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m ≤ n a pro prvky matice T platí tij = 0 pro j < i a tii 6= 0 pro i = 1, . . . , m.

20. definice Nechť A je matice typu (m, n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici AT typu (m, n) pro kterou platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT .



1  6  M =  11 16

N 2 3 7 8 12 13 17 18



 4 5 Transponace    9 10   T M =   14 15    19 20

1 2 3 4 5

NT 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

       

21. definice Řekneme, že matice A je Gaussova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádků je zároveň posledním nenulovým prvkem příslušného sloupce a matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek. 22. definice Řekneme, že matice A je Jordanova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádku je roven jedné a je to také jediný nenulový prvek v příslušném slupci. Matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek. 23. definice Nechť A je matice typu (m, p), B je typu (p, n). Součinem matic A a B nazveme matici C typu (m, n), pro jejíž prvky platí

cij =

p X

aik · bkj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

k=1

Součin matic A a B označíme A · B (resp. AB). 24. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže hA = n. Matici A, která není regulární, nazveme singulární maticí. 25. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Jestliže existuje čtvercová matice A−1 řádu n, pro kterou platí

A · A−1 = A−1 · A = E pak říkáme, že matice A−1 je inverzní maticí k matici A. 26. definice Dvojici (ki , kj ) nazýváme inverzní v permutaci π = (k1 , k2 , . . . , kn ), jestliže platí i < j a současně ki < kj .

C.2. VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

167

27. definice Permutace π se nazývá sudá, jestliže celkový počet inverzí r v této permutaci je sudé číslo. Permutace π se nazývá lichá, jestliže počet inverzí r je liché číslo. 28. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n,   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n   A= . .. ..  .. , .  .. . .  an1 an2 . . . ann Determinantem matice A nazveme reáln číslo

det A =

X

r

(−1) a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn ,

(π)

P kde (π) znamená součet přes všchny permutace π = (k1 , k2 , . . . , kn ) sloupcových indexů (1, 2,. . . , n) a r je celkový počet inverzní v permutaci π. 29. definice Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n, n > 1. Submaticí Aij matice A nazveme čtvercovou matici řádu n–1, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Algebraickým doplňkem Dij prvku aij matice A nazveme číslo Dij = (−1)i+j det Aij .

30. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže pro nenulový vektor x ∈ Rn a komplexni číslo λ platí

A(x)T = λ(x)T , pak číslo λ (lambda) nazveme vlastní číslo matice A a vektor x nazveme vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu λ.

C.2

Věty z lineární algebry

1. věta Nechť M = {x1 , x2 , . . . , xk } je množina vektorů z vektorového prostoru V a nechť ( k ) X L(M) = ci · xi ; ∀ixi ∈ M, ci ∈ R . i=1

Pak lineární obal L(M) množiny M je podprostor V. 2. věta Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V, k ≥ 2, k ∈ N. Vektory x1 , x2 , . . . , xk jsou lineárně závislé právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinací ostatních vektorů.

168


3. věta Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou lineárně nezávislé vektory z V a nechť vektor y ∈ V je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk ,

y = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk . Pak koeficienty, c1 , c2 , . . . , ck této lineární kombinace jsou určeny jednoznačně. 4. věta Podmnožina M vektorového prostoru V je množinou generátorů V právě tehdy, když každý vektor y ∈ V lze vyjádřit jako lineární kombinací vektorů z M. 5. věta Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou generátory vektorovéo prostoru V a nechť y1 , y2 , . . . , ym jsou vektory, které vznikly z vektorů x1 , x2 , . . . , xk některou z následujících ekvivalentních úprav: 1. změnou pořadí vektorů ve skupině; 2. násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem; 3. tak, že k libovolnému vektoru přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů; 4. vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů (specielně lze vynechat nulový vektor, není-li to jediný vektor, který skupinu obsahuje); 5. přidáním vektoru, který je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk . Pak vektory y1 , y2 , . . . , ym generují stejný vektorový prostor V jako vektory x1 , x2 , . . . , xk . 6. věta – Steinitzova věta Nechť x1 , x2 , . . . , xm jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V; nechť y1 , y2 , . . . , yn jsou další vektory z V takové, že každý vektor xi je lineární kombinací vektorů y1 , y2 , . . . , yn , tj. xi ∈ L({y1 , y2 , . . . , yn }), i = 1, 2, . . . , m. Potom platí m ≤ n.

7. věta Libovolné dvě báze (konečně generovaného) vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů. 8. věta Nechť V je vektorový prostor dimenze n a nechť x1 , x2 , . . . , xm jsou vektory z V. Je-li m > n, pak jsou vektory x1 , x2 , . . . , xm lineárně závislé. 9. věta Nechť V je vektorový prostor dimenze n, pak každá skupina n lineárně nezávislých vektorů x1 , x2 , . . . , xn z V tvoří bázi vektorového prostoru V. 10. věta Nechť V je vektorový prostor dimenze n, x1 , x2 , . . . , xm lineárně nezávislé vektory z V. Je-li m < n, pak


169

lze vektory x1 , x2 , . . . , xm doplnit na bázi V; to znamená, že existují vektory xm+1 , . . . , xn ∈ V takové, že x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn je báze vektorového prostoru V. 11. věta Nechť S je podprostor vektorového prostoru V. Potom platí

dim S ≤ dim V, přičemž rovnost m ≤ n ve Steinitzově větě platí právě když S = V. 12. věta Nechť x, y, z jsou libovolné vektory z Rn , r ∈ R libovolné reálné číslo. Pak platí: 1. x · y = y · x 2. (x + y) · z = x · z + y · z 3. r · (x · y) = (r · x) · y 4. x · x ≥ 0, přitom x · x = 0 právě tehdy, je-li x = 0.

13. věta Skupina nenulových vzájemně ortogonálních vektorů x1 , x2 , . . . , xk je vždy lineárně nezávislá. 14. věta Každý netriviální podprostor S vektorového prostoru Rn má ortogonální bázi. 15. věta Nechť S je podmnožina Rn . Pak platí

(§⊥ )⊥ = L(S). Je-li S podprostor Rn , lze s použitím Gramm-Schmidtovi ortogonalizující konstrukce dokázat následující důležitou větu, kterou použijeme při řešení soustav lineárních rovnic. 16. věta Nechť S je podprostor Rn . Potom platí dim S⊥ = dim Rn − dim S

17. věta Nechť A, B a C jsou matice typu (m, n), r, s ∈ R. Pak platí 1. A + B = B + A, 2. A + (B + C) = (A + B)+ C,

170


3. r · (A+ B)= r · A + r · B, 4. (r + s) · A = r · A + s · A, 5. r · (sA) = (r · s) · A.

18. věta Množina Rm·n všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor dimenze m · n. 19. věta Je-li matice T typu (m, n) trojúhelníková matice, pak

h(T) = m.

20. věta Nechť AT je transponovaná matice k matici A, pak platí h(A) = h(AT ).

21. věta Nechť je dána homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých a nechť A je matice této soustavy. Vektor x ∈ Rn je řešením této soustavy právě když x ∈ R (A)⊥ v Rn . 22. věta – Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě když hodnost matice soustavy A a hodnost rozšířené matice soustavy AR jsou stejné. 23. věta Každé řešení x nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze zapsat jako součet x=y+z kde y je libovolné (pevné) řešení nehomogenní soustavy a z je nějaké řešení homogenní soustavy se stejnou maticí A. Poznámka: z této věty vyplývá, že množinu M všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze symbolicky zapsat jako

M = y + R(A)⊥ = {y + z; z ∈ R(A)⊥ }.

24. věta Jsou-li A, B a C matice a r ∈ R libovolné reálné číslo, pak platí 1. A · (B · C) = (A · B) · C, (asociativní zákon)


171

2. A · (B + C) = A · B + A · C, (distributivní zákon) 3. (B + C) · A = B · A + C · A, (distributivní zákon) 4. r · (AB) = (rA) · B = A · (rB).

mají-li uvedené výrazy smysl. 25. věta Nechť A je čtvercová matice. Pak inverzní matice A−1 k matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární. 26. věta Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu. Potom matice nechť AB je také regulární a platí

(AB)

−1

= B−1 · A−1 .

Je-li r ∈ R nenulové reálné číslo, pak

(rA−1 ) =

1 · A−1 . r

27. věta Nechť A · x = b je soustava n lineárních rovnic o n neznámých. Je-li matice soustavy A regulární, pak má soustava jediné řešení x = A−1 · b.

28. věta Nechť A = (aij ) je trojúhelníková matice řádu n. Pak platí det A = a11 a22 . . . ann .

29. věta Nechť A je libovolná čtvercová matice řádu n. Pak platí:

1. det AT = det A, 2. jestliže matice B vznikla z matice A přehozením dvou řádků (resp. sloupců), pak det B = − det A, 3. jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (resp. sloupce) reálným číslem r ∈ R, pak det B = r · det A,

172


4. jestliže matice B vznikla z matice A tak, že k jednomu řádku matice A byla přičtena lineární kombinace ostatních řádků, pak det B = det A, 5. jestliže také matice B a C jsou čtvercové matice řádu n takové, že k-tý řádek matice C, k = 1, 2,. . . , n, je součtem k-tých řádků matic A a B a ostatní řádky mají všechny tři matice stejné, pak det C = det A + det B, 6. jestliže B je čtvercová matice řádu n, pak det (AB) = det A · det B, 7. jestliže A je regulární matice, pak det A−1 =

1 . det A

30. věta Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, je-li det A 6= 0. 31. věta Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n. Pak pro každé přirozené číslo i, 1 ≤ i ≤ n, platí det A =

n X

aij · Dij ,

j=1

a pro každé přirozené číslo j, 1 ≤ j ≤ n, platí det A =

n X

aij · Dij ,

i=1

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A. 32. věta – Inverzní matice pomocí determinantů Nechť A = (aij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat

A

−1



 1   = det A  

D11 D21 .. . D1n

D21 D22 .. . D2n

... ... .. . ...

Dn1 Dn2 .. . Dnn



   = 1 (Dij )T ,  det A 

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n. 33. věta – Cramerovo pravidlo Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 , . . . , xn

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ········· an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn .


173

Je-li matice soustavy A = (aij ) regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

xi =

det Ai , pro i = 1, 2, . . . , n, det A

kde Ai je matice, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy (b1 , b2 , . . . , bn )T .

Příloha D

Řecká abeceda

transliterace moderní velké znaky moderní malé znaky

název

výslovnost

a

A

α

alpha

[alfa]

b g d e

B Γ ∆ E

β γ δ , ε

beta gamma delta epsilon

[beta] [gama] [delta] [epsilon]

z ˆe, H th i

Z H Θ I

ζ η θ, ϑ ι

zeta eta theta iota

[zéta] [éta] [théta] [ióta]

k l m n x

K Λ M N Ξ

κ, κ λ µ ν ξ

kappa lambda mu nu xi

[kapa] [lambda] [mí] [ný] [ksí]

o p r s

O Π P Σ

o π, $ ρ, % σ, ς

omicron pi rho sigma

[omikrón] [pí] [ró] [sigma]

t u f, ph ch

T Υ Φ X

τ υ φ, ϕ χ

tau upsilon phi chi

[tau] [ypsilon] [fí] [chí]

ps ˆo, O

Ψ Ω

ψ ω

psi omega

[psí] [omega]

174

Hurá konec, všechno umím. . .

App lic a

lem ob

New

n tio

Pr

Obrázek D.1: Cyklus učení

p Ex

lo rat ion

ve nt

ion

Challenge

In

Zdroj: LATEX

. . . tak to asi ne, jen hezky pokračujte. . .

Název Verze Autorka Kontakt na autorku Určeno Počet stran

.

,

POMNĚNKA 14. října 2012 MSc. Catherine Morris [email protected] studenti ČZU, PaA, PaE a všem ostatním kdo mají pocit, že je pro ně soubor užitečný , 175

.

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

Recommend Documents