MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

R

ˇ POMNENKA

2

prase

Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku , MSc. Catherine Morris

POMNĚNKA Verze ze dne:

9. srpna 2015 Materiál je v aktuální verzi ke stažení na: <www.matematika-lucerna.cz/pomnenka.pdf>

3

Poděkování Na tomto místě děkuji panu doc. RNDr. Petru Gurkovi, CSc. za ochotu a veškerou poskytnutou pomoc nejen při psaní tohoto dokumentu, ale i při mnohých konzultacích. Děkuji panu Ing. Pavlu Střížovi, Ph.D. za technicko-uměleckou pomoc při zpracovávání tohoto materiálu, za trpělivost a ochotu, s jakou se Pomněnce i mně věnoval. Také děkuji Ivanu Johansenovi, tvůrci programu Graph. Tento šikovný program mi mockráte pomohl s grafickou představou příkladů a za jeho pomoci je nakresleno mnoho obrázků v této knize.

4

Citátky a postřehy od učitelů z České zemědělské univerzity: Informace je cokoli, co snižuje neurčitost našeho poznání o realitě. Mít štěstí znamená, že jsme neudělali chybu. Když si to vyzkoušíte, tak se s tím zkamarádíte a bude vše v pořádku. Dobrý student má právo být dobře zkoušen. Kdo chce dostřelit, musí přestřelit. Kdo společnosti přispívá ve vědách ale ne v mravech, ten společnosti spíše nepřispívá.

elektronický test informatika Petr Gurka matematická analýza Eva Kaňková makroekonomie Helena Nešetřilová lineární algebra Karel Hauzer filosofie Miroslav Svatoš agrární ekonomie

Hlavně vědět PROČ, JAK už se najde. účetnictví

Slovo úvodem Milí čtenáři, tento soubor je vytvořen převážně z materiálů zveřejněných na stránkách <www.matematika-lucerna.cz>. Jsou zde uvedeny příklady jednodušší i složitější pro přípravu na zkoušku z matematiky na úrovni České zemědělské univerzity (ČZU), ale také různé poznámky, rady a návody k výpočtům. Vzhledem k tomu, že je tento materiál šířený v elektronické podobě, může být v průběhu času měněn. Proto je na stránce 2 uvedeno vždy aktuální datum souboru. Tento materiál vzniká od roku 2009. Doporučuji soubor tisknout barevně, neboť je v něm spoustu barevných odkazů a oboustranně, nejlépe samozřejmě na recyklovaný papír. Oboustranný tisk je OPRAVDU velice důležitý, už proto, že pak budete mít vytištěný stoh o polovinu lehčí ,. Btw. věděli jste že . . . „na jednoho obyvatele v České republice připadlo v roce 2009 krásných 150 kg papíru?ÿ

Obrázek 1: Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany

Zdroj:

Přeji vám mnoho úspěchů ve studiu a doufám, že vám tato kniha v některých věcech usnadní cestu a pomůže k úspěšnému složení zkoušek.

Katka

5

V

Obsah

I

Matematická analýza

18

1 Než začneme počítat

19

1.1

Vymezení náročnosti ČZU příkladů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2

Vzorečky v knize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3

Značení v Pomněnce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4

Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5

Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6

Vzorečky pro algebraické úpravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.1

Mnohočleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.2

Kvadratická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.3

Mocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.4

Odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.5

Některé úpravy zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Logaritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.7.1

Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.7.2

Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.7.3

Odlogaritmování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.8.1

Vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.8.2

Hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.7

1.8

2 Definiční obor jedné proměnné

34

2.1

Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3

Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3 Definiční obor dvou proměnných 3.1

41

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

41

OBSAH

7

4 Limity

45

4.1

Vzorce a vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2

Klasické příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5 Derivace funkcí jedné proměnné

48

5.1

Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2

Úprava funkcí před derivováním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.3

Vzorce pro derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.4


49

5.5


52

6 Limity – l´Hospitalovo pravidlo

53

6.1

Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.2


53

6.3


54

7 Parciální derivace

55

7.1

Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

7.2


55

8 Inverzní funkce

56

8.1

Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

8.2


57

9 Tečna a normála v bodě T

59

9.1

Vzorce tečny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

9.2

Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

9.3

Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

9.4


64

9.5


64

10 Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p 10.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 66

8

OBSAH

10.2 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

10.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

11 Tečná rovina a normála

70

11.1 Vzorce tečné roviny a normály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70


70

12 Jak čteme z derivací průběh původních funkcí?

71

12.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

12.2 Monotonie a zakřivenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

13 Monotonie

81

13.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

13.2 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81


82


84

14 Konvexita a konkávita

86

14.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86


86

14.3 Memo pomůcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

14.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89


90


92

15 Souhrnný příklad

94

16 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné

95

16.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

16.2 Extrémy – možné intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96


99

16.4 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 16.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

OBSAH

9

17 Lokální extrémy dvou proměnných

104

17.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 17.2 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 17.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

18 Vázané extrémy

107

18.1 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

19 Asymptoty

108

19.1 Vzorce asymptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 19.2 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 19.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

20 Taylorův polynom

111

20.1 Vzorce Taylorova polynomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 20.2 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 20.3 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 20.3.1 Ukázkový příklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 20.3.2 Ukázkový příklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 20.4 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 20.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

21 Neurčitý integrál

116

21.1 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 21.2 Ukázkové jednoduché příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 21.3 Ukázkový příklad zkouškové úrovně . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 21.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

22 Určitý integrál

121

22.1 Návod na výpočet určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 22.2 Jednoduché příklady ze skript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 22.3 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10

OBSAH

23 Aplikace určitého integrálu

129

23.1 Vzorce aplikovaného integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 23.2 Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P

. . . . . . . . . . . . 130

23.3 Návod na výpočet délky křivky l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 23.4 Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 23.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

24 Diferenciální rovnice I. řádu

141


25 Diferenciální rovnice II. řádu

144


II

Lineární algebra

146

26 Základní pojmy z lineární algebry

147

26.1 Skalární součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

27 Lineární rovnice

151

27.1 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

28 Inverzní matice

153

28.1 Jordanova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 28.2 Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

29 Matice

157

29.1 Sčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 29.1.1 Obecný návod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

29.1.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 29.2 Násobení matic reálným číslem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 29.2.1 Obecný návod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

OBSAH

11

29.2.2 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 29.3 Násobení matic maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 29.3.1 Obecný návod

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

29.3.2 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 29.4 Rovnice s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 29.5 Matice s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

30 Determinanty

161

30.1 Návody k výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 30.1.1 Determinant matice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 30.1.2 Determinant matice 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 30.1.3 Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 30.1.3.1 Ukázkový příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 30.1.4 Determinant matice řádu > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 30.2 Ukázkové příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 30.2.1 Výpočet determinantů matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 30.2.2 Rovnice s determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 30.2.3 Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

III

Přílohy

A Vzorce povolené ke zkoušce

166 167

A.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.2 Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.3 Vzorce pro integrování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 A.4 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B Návod k programu Graph 4.3

170

B.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 B.2 Popis pracovní lišty a nápovědy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12

OBSAH

B.2.1 Nastavení os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 B.2.2 Nápověda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 B.3 Jak zadávat funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B.3.1 Předpisy funkcí a jak je zadávat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 B.3.2 Konkrétní příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 B.4 Další funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 B.4.2 Tečna a normála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B.4.3 Řada bodů / souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B.4.4 Text, popisky a legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B.4.5 Výpočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B.4.6 Ostatní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 B.5 Užitečné odkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

C Lineární algebra

180

C.1 Definice z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 C.2 Věty z lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

D Řecká abeceda

190

Seznam obrázků 1

Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1

Označení kvadrantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2

Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3

Průběh funkce y = log2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4

Průběh funkce y = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5

Průběh funkce y = log5 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.6

Průběh funkce y = log x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.7

Průběh funkcí y = log2 x, y = ln x, y = log5 x, y = log x, y = log100 x . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.8

Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.9

Jednotková kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.1

Průběh funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2

√ Průběh funkce y = 2 + 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

√

2 x

2.3

Průběh funkce y = 3 +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4

Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

9.1

Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

9.2

Tečna a normála v bodě T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

9.3

Tečna a normála v bodě S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

10.1 Průběh funkce f (x) = 6x − 10 − x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

10.2 Průběh funkce p : y = −2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

10.3 Očekávaný průběh hledané tečny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

10.4 Derivace zadané přímky p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

10.5 Derivace zadané funkce f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

12.1 Průběh funkce y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

12.2 Rostoucí interval funkce y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

12.3 Průběh funkce y = sin x a funkce y 0 = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

12.4 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

12.5 Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

13

14

SEZNAM OBRÁZKŮ

12.6 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) a funkce y 0 =

18x 16 + 9x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

12.7 Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

12.8 Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) a funkce y 00 =

18(16−9x2 ) (16+9x2 )2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

13.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

13.2 Průběh funkce y 0 = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

14.1 Průběh funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

14.2 Průběh funkce y 00 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

14.3 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

14.4 Průběh ryze konvexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

14.5 Číselná osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2

14.6 Průběh funkce y = e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

16.1 Dva globální extrémy na hranicích intervalu h0; 1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

16.2 Dva globální extrémy na hranicích intervalu h−3; −1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

16.3 Globální neostré extrémy jsou na hranicích h−2; 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

16.4 Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici h−1; 3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

16.5 Průběh funkce y =

−x2 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

20.1 Průběh funkce y = (x − 1) · ln x + 1 a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5

20.2 Průběh funkce y = x 2 − 21.1 Průběh funkcí y 0 =

√

3x2 49+25x2

2 − x a Taylorův polynom v bodě a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ay=

3 1250

(49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C . . . . . . . . . . . . . . . 118

22.1 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 22.2 Průběh funkce y = −5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 22.3 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 22.4 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−5, 0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 22.5 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−5, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 23.1 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 23.2 Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h−1, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

SEZNAM OBRÁZKŮ

15

23.3 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 23.4 Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−5, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 23.5 Průběh funkce y = 5 − x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 23.6 Průběh funkce y = x + 2 a vymezení plochy v hranicích h0, 5i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 23.7 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h0, 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 23.8 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 23.9 Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 23.10Průběh funkce y = 2 a vymezení plochy v hranicích h0, 3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 23.11Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−2, 2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 23.12Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 23.13Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

26.1 Lineární obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

29.1 Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

30.1 Sarrusovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B.1 Základní pracovní plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 B.2 Základní nastavení os a barev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 B.3 Slovník – seznam funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B.4 Vložení nové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 2

B.5 Konkrétní příklad – funkce f (x) = x + e(1−x

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.6 Šrafování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 B.7 Vložení tečny a normály k vybrané funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 B.8 Řada bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 B.9 Vložení textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

D.1 Cyklus učení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Seznam tabulek

1.1

Značení grafů funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2

Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3

Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4

Grafy elementarních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.5

Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.6

Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.7

Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí . . . . . . . . . . . .

32

2.1

Značení výsledků u definičních oborů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3 2.4

√ Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 2 Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

36 36

2.5

Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

8.1

Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

8.2

Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

12.1 Jak čteme z derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

12.2 Rostoucí intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

12.3 Klesající intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

12.4 Intervaly konvexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

12.5 Intervaly konvexity a konkávity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

12.6 Různé funkce a řada jejich derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

16.1 Určení kvality extrémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

16.2 Extrémy – body z případu 16.1 na intervalu h0; 1i

97

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16.3 Extrémy – body z případu 16.2 na intervalu h−3; −1i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

16.4 Extrémy – body z případu 16.3 na intervalu h−2; 2i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

16.5 Extrémy – body z případu 16.4 na intervalu h−1; 3i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

16.6 Vybrané funkční hodnoty funkce y =

−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4

16

16.7 Porovnání funkčních hodnot funkce y =

−x2 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

20.1 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 . . . . . . . . . . . . 112 20.2 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2 . . . . . . . . . . . . 114

26.1 Vektorové prostory a podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

28.1 Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.1 Důležité hodnoty goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.1 Slovník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 B.2 Konkrétní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Část I

Matematická analýza

18

Kapitola 1

Než začneme počítat

1.1

Vymezení náročnosti ČZU příkladů

Návody na řešení příkladů jsou určeny především pro zkouškové úlohy na úrovni ČZU, tj.:

funkce jsou spojité, jejich definiční obory jsou konečným sjednocením intervalů,

derivace se počítá dle vzorců a pravidel.

1.2

Vzorečky v knize

V knize jsou vzorce uvedeny na několika místech. V této kapitole jsou obecné vzorce pro algebraické úpravy apod. Vzorce pro výpočty jednotlivých typů příkladů jsou vždy uvedeny u patřičné kapitoly. V Příloze A jsou pak uvedené vzorečky, které jsou na ČZU povolené ke zkoušce. Ke zkoušce je však potřeba si i některé vzorečky pamatovat, a to konkrétně vzorce pro tyto typy příkladů:

Tečna a normála,

Asymptoty a

Taylorův polynom.

1.3

Značení v Pomněnce

Obrázek 1.1 zobrazuje používané označení kvadrantů. Obrázek 1.1: Označení kvadrantů II

I

III

IV

Tabulka 1.1 zobrazuje typy značení křivek na obrázcích v knize. Ve většině příkladů je zadáním nultá derivace. U integrálů je však zadání, tedy funkce která se má integrovat, první derivací a výsledkem je derivace nultá. 19

20

KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT

Tabulka 1.1: Značení grafů funkcí Nultá derivace První derivace ................... Druhá derivace −−−−−−−−−− Taylorův polynom −·−·−·−·−·−· Asymptota −··−··−··−··

1.4. ČÍSELNÉ OBORY

1.4

21

Číselné obory

Tabulka 1.2: Číselné obory Označení

Název skupiny

Příklad čísel

N

Přirozená čísla

{ 1, 2, 3, 4, . . . }

N0

Celá nezáporná čísla

{ 0, 1, 2, 3, . . . }

Z

Celá čísla

Q

Racionální čísla

{. . . −2, −1, 0, 1, 2, . . . } 17 332 , , ... 19 15

IQ

Iracionální čísla

R

Reálná čísla

C

Komplexní čísla

{π, e, . . .} 17 332 , π, e, ,... 19 15 x2 + 1 ⇒ výsledky jsou i a −i

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q a IQ ⊂ R ⊂ C

Obrázek 1.2: Číselné obory

IQ

Q Z N0 N

R C

(1.4.1)

22

1.5


Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí

Tabulka 1.3 představuje souhrn obecných předpisů vybraných elementárních funkcí. Tabulka 1.3: Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí Obrázek

Název

Obecný předpis

Přímka

y = ax + b

Hyperboly

Logaritmus

y=

Obrázek

c x

y = log x

Kde a, b, c jsou R.

Název

Obecný předpis

Parabola

y = ax2 + bx + c

Hyberboly

y2 x2 − =1 a2 b2

Odmocnina

√ y =a x+b

1.5. OBECNÉ PŘEDPISY A GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ

23

Tabulka 1.4: Grafy elementarních funkcí y

y

3

3

2

2

1

y 2 1 −2 −1 −1

1 x

−2 −1

1

2

y = x2

1 x

−2 −1

x 1 √ y= x

2

x 1

2

−2 y = x3

y = ax , a > 1

y = ax , 0 < a < 1

y = loga x, a > 1

y = loga x, 0 < a < 1

y = sin x

y = cos x

y = tg x

y = cotg x

y=

24


y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arctg x

1.6. VZOREČKY PRO ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY

1.6

25

Vzorečky pro algebraické úpravy

1.6.1

Mnohočleny

Pro a, b ∈ R platí:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , 2

2

2

(a − b) = a − 2ab + b , a2 − b2 = (a + b) · (a − b).

1.6.2

(1.6.1) (1.6.2) (1.6.3)

Kvadratická rovnice

Jedná se o rovnici ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c ∈ R, a 6= 0, s neznámou x. Kořeny (neznámé) x1 , x2 vypočítáme podle vzorce √ −b ± D , jestliže D = b2 − 4ac ≥ 0 (diskriminant). x1,2 = 2a Pokud D = 0, je x1 = x2 =

−b 2a

(1.6.4)

(1.6.5)

dvojnásobným kořenem.

Platí rovnost ax2 +bx+c = a(x−x1 )·(x−x2 ). Pokud a = 1, máme x2 +bx+c = (x−x1 )·(x−x2 ) = x2 −x(x1 +x2 )+x1 ·x2 , tedy b = −(x1 + x2 ), c = x1 · x2 . Poznámka 1. Pokud D < √ 0, kvadratická rovnice (1.6.4) nemá reálné kořeny. Má však dva komplexně sdružené √ −b+i |D| −b−i |D| komplexní kořeny x1 = , x2 = , kde i je imaginární jednotka, tj. i2 = −1. 2a 2a Zjednodušeně řečeno, je-li

diskriminant D > 0, pak řešením rovnice jsou dva různé reálné kořeny,

diskriminant D = 0, pak řešením rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen,

diskriminant D < 0, pak řešením rovnice dva komplexně sdružené kořeny.

26

1.6.3


Mocniny

Jsou-li r, s ∈ R, pak platí následující rovnosti pro všechna x, y ∈ R, pro která mají obě strany smysl: xr 1 = xr−s , x−r = r , x0 = 1, s x x 1 −1 −r r 0 speciálně: x = , x · x = x = 1, x x r 1 r 1 xr r r r = = , , x · y = (x · y) , yr y xr x

xr · xs = xr+s ,

xr : xs =

(xr )s = xr·s .

(1.6.6)

(1.6.7) (1.6.8)

Příklady 2. Pro x 6= 0 máme: 1 x

1.6.4

2 3

2

= x− 3 ,

x−1 1 1 = = −x −x · x −x2

(dle (1.6.6)).

Odmocniny

Pro m, n ∈ N, r ∈ R a x, y ∈ (0, ∞) platí: √ n

1

x = xn , √ r n √ √ x x √ n n n n = √ , x · y = x y, n y y q q √ √ r √ r n m m √ n n xr = n x = x n , x= x= √ n speciálně: xn = x.

1.6.5

x y w z

usměrňování zlomků – příklad: rozložení zlomků:

1.7.1

(1.6.10) √

n·m

x,

(1.6.11)

Některé úpravy zlomků

složený zlomek:

1.7

(1.6.9)

=

x z xz · = y w yw

(y, z, w 6= 0),

√ √ √ x 1 √x = 1 1 x x √ √ ·√ = = x x x x a a+b a b = + × . c c c b+c

Logaritmy Vzorce

Předpokládejme, že a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).

(1.6.12) (x > 0),

(1.6.13) (1.6.14)

1.7. LOGARITMY

27

Platí ay = x

⇔

y = loga x

speciálně: 10y = x y

⇔

speciálně: e = x

x = ln y loga b

a

=b

⇔

pro x > 0, y ∈ R,

(1.7.1)

(pro x > 0, y ∈ R),

x = log y

(pro x > 0, y ∈ R, e = 2, 71 . . . je Eulerovo číslo), (např. eln 3 = 3),

pro b > 0,

(1.7.2)

Pro u, v > 0, s ∈ R a n ∈ N platí: loga (u · v) = loga u + loga v,

loga

u v

= loga u − loga v,

(1.7.3)

1 √ 1 n u = loga (u) n = · loga u, n loga 1 = 0, loga a = 1, speciálně z (1.7.4), (1.7.5) plyne: s = loga as .

loga (us ) = s · loga u,

loga

loga b =

1.7.2

(1.7.4) (1.7.5) (1.7.6)

log10 b log10 a

(1.7.7)

Hodnoty

Tabulka 1.5: Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot

loga 1 = 0

loga a = 1

barva křivky

x

(−∞; 0i

0, 5

1

2

e

5

10

100

456

♥ ♥ ♥ ♥ ♥

log2 x ln x log5 x log x log100 x

? ? ? ? ?

−1 −0, 69315 −0, 43068 −0, 30103 −0, 15051

0 0 0 0 0

1 0, 69315 0, 43068 0, 30103 0, 15052

1, 43829 1 0, 61944 0, 43297 0, 21649

2, 32193 1, 60944 1 0, 69897 0, 34949

3, 32193 2, 30259 1, 43068 1 0, 5

6, 64386 4, 60517 2, 86135 2 1

8, 83289 6, 12249 3, 80412 2, 65896 1, 32948

Obrázek 1.3: Průběh funkce y = log2 x

Zdroj: program Graph

28


Obrázek 1.4: Průběh funkce y = ln x


Obrázek 1.5: Průběh funkce y = log5 x


Obrázek 1.6: Průběh funkce y = log x


1.7. LOGARITMY

29

Obrázek 1.7: Průběh funkcí y = log2 x, y = ln x, y = log5 x, y = log x, y = log100 x


30

1.7.3


Odlogaritmování

Např. při výpočtu definičních oborů se občas setkáváme s nutností odlogaritmovat určitý výraz, níže jsou příklady, jak takovou úpravu provést. Pro a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), A > 0 a y > 0 platí: x = loga y

y = ax

⇔

B

aB loga A = aloga A = AB

(1.7.9)

aloga A = A

(1.7.10)

loga aB = B

(1.7.11)

V následujících příkladech ukážeme několik možností s logaritmy o různých základech.

1) Dekadický logaritmus (základ 10)

1 − log(8 − x) log(8 − x) 8−x x

= 0 = 1 (podle vzorce (1.7.8)) = 101 = −2

2) Přirozený logaritmus (základ e)

2 − ln 6x ln 6x ln 6x 6x x

= = = = =

(1.7.8)

0 2 ln e2 e2

(podle vzorce (1.7.11)) (neboť logaritmus je prostá funkce)

e2 6

3) Logaritmus o základu 6

log6 (8x2 − 12) − 5 log6 (8x2 − 12) log6 (8x2 − 12) 2 6log6 (8x −12) 8x2 − 12 8x2 x2

= = = = = = =

x

=

x

= ±

x

= ±

2 7 log6 67 7 6log6 6 67 67 + 12 67 +12 8 q 7 ± 6 +12 q 8

q

279936+12 8 279948 8

(podle vzorce (1.7.11)) (podle vzorce (1.7.10))

1.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1.8 1.8.1

31

Goniometrické funkce Vzorce

1. sin (x ± 2kπ) = sin x

8.

sin (−x) = − sin x

15. sin2 x + cos2 x = 1

2. cos (x ± 2kπ) = cos x

9.

cos (−x) = − cos x

16. tg x =

3. tg (x ± kπ) = tg x

10. tg (−x) = − tg x

4. cotg (x ± kπ) = cotg x

11. cotg (−x) = − cotg x

5. sin(α ± β) = sin α · cos β ± sin β · cos α 6. cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β 7. cotg2 α =

cotg2 α − 1 2 · cotg α

tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β 1 − 2 cos 2α 13. sin 2α = 2

17. tg x · cotg x = 1 cos x 18. cotg x = sin x 2 · tg α 19. tg 2α = 1 − tg2 α 1 + 2 cos 2α 20. cos 2α = 2

14. cos 2α = cos2 α − sin2 α

21. sin 2α = sin α · cos α

12. tg(α ± β) =

22. cotg(α ± β) =

1.8.2

sin x cos x

cotg α · cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α

Hodnoty

Tabulka 1.6: Důležité hodnoty goniometrických funkcí

x

− π2

− π3

− π4

√

sin x

−1 −

3 2

cos x

0

1 2

tg x

?

√ − 3

cotg x

0

−

√

2 2

− √

2 2

0

π 6

− 12

0

1 2

1

√ 3 2 √ 3 3

√

3 2 √

−1

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

√

3 3

− π6

√

π 4

π 3

√

√

2 2

√

2 2

1

π 2

2π 3

3π 4

3 2

√ 3 2

√

1

1 2

0

− 21

√

√ 3 ? − 3

√

3

1

3 3

3 3

π

7π 6

1 2

0

− 12

2 2 √

−

2 2

√

−

3 2

5π 4

3 2

2 2

√

−

2 2

√

√

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

3 3

√

3

4π 3

√

−

√

−1 −

−1

√

0 −

5π 6

1 1

3π 2

5π 3

√

−

3 2

− 12

√

−1 −

3 2

0

1 2

3

?

√ − 3

√ 3 3

0

−

√

7π 4 √

2 2

− √

2 2

− 12 √

3 2 √

3 3

−1

−

−1

√ − 3

√

3 3

11π 6

32


Tabulka 1.7: Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí −π π x ∈ h−1; 1i sin = −1 ⇒ arcsin(−1) = − 2 2 arcsin x: D −π π E 7π −1 −1 π arcsin x ∈ ; sin ALE arcsin = = − 2 2 6 2 2 6 arccos x:

x ∈ h−1; 1i arccos x ∈ h0; πi x ∈ (−∞; ∞)

arctg x: arctg x ∈

arccotg x:

−π π ; 2 2

x ∈ (−∞; ∞) arccotg x ∈ (0; π)

cos(0) −π cos 3 −π tg 3 2π tg 3 5π tg 3 π cotg 4 5π cotg 4

=

1

⇒

=

1 2

ALE

=

√ − 3

=

√ − 3

=

√ − 3

=

1

⇒

=

1

ALE

⇒ ALE ALE

arccos(1) 1 arccos 2 √ arctg − 3

√ arctg − 3

= = = =

0 π 3

=

arccotg(1)

=

π 4

arccotg(1)

=

π 4

√ arctg − 3

−π 3 −π 3 −π 3

1.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

33

Obrázek 1.8: Jednotková kružnice – hodnoty úhlů ve stupních y

(0, 1)

3 1 2 , 2

− 12 ,

√

3 2

√ 2 2 , 2 2

√

−

√

−

√ 3 1 2, 2

π 2 π 3

2π 3 3π 4

90

√

3 1 2 , 2

60◦

150◦

30◦

180◦

π

−

3 1 2 , −2

11π 6

240◦

300◦

5π 4

√ 2 2 2 ,− 2

270

− 12 , −

5π 3 3π 2

√

3 2

√

7π 4

◦

4π 3

√

−

x

2π

330◦

7π 6 √

(1, 0)

360 0◦ ◦

210◦

(0, −1)

3 1 2 , −2

√

√ 3 1 , − 2 2

√ 2 2 2 ,− 2

Obrázek 1.9: Jednotková kružnice y

sin α

0

π 6

5π 6

(−1, 0)

√ 2 2 , 2 2

π 4

◦

120◦

√

α x

tg α

y 1

x

sec α

= y y = x 1 = x

cos α cotg α csc α

= x x = y 1 = y

Kapitola 2

Definiční obor jedné proměnné

2.1

Návody k výpočtu

Činitelé, kteří kladou podmínky jsou: 1. JMENOVATEL. Musí být nenulový. 1 ; x

x 6= 0

√ 2. ODMOCNINA. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Může se rovnat nule ( 0 = 0). Nula je nejmenší číslo, které může být „podÿ sudou odmocninou. √

x;

x≥0

3. LOGARITMUS. Logaritmovaný výraz (argument) musí být větší než nula, ať je základem logaritmu jakékoli číslo. ln x; x>0

log x;

x>0

4. DVĚ CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. Argument, ze kterého se počítá arcsin a arccos (nikoli arctg a arccotg) musí být na intervalu h−1; 1i ArcSin ArcCos

arcsin x; arccos x;

−1 ≤ x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1

Tabulka 2.1: Značení výsledků u definičních oborů

2.2 (1)

Značení na číselné ose

otevírací závorka

uzavírací závorka

◦ •

( h

) i

znaménka podmínky >

6= < ≥ ≤

Ukázkové příklady y = log(x)

Z Obrázku 2.1 je vidět, že x může být jakkoli veliké v kvadrantu I a IV, tedy kladné. Nikdy se však nerovná nule ani není záporné (x roste od nuly, nezačíná na ní), x > 0. Definiční obor je tedy x ∈ (0; ∞)

(2)

√ y =2+2 x 34

2.2. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY

35

Obrázek 2.1: Průběh funkce y = log(x)


Tabulka 2.2: Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) x y

−4 ×

−0.5 ×

0 ×

1 0

5 0.698

10 1

√ Obrázek 2.2: Průběh funkce y = 2 + 2 x


Je evidentní, že nejmenší možná hodnota x je 0. Podmínky ze sudé odmocniny jsou x ≥ 0. Tabulka 2.3 ukazuje vybrané hodnoty, které tvoří zadanou funkci. Definiční obor je tedy x ∈ (0; ∞)

100 2

36

KAPITOLA 2. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ

√ Tabulka 2.3: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 2 + 2 x −4 ×

x y

−0.5 ×

0 0

1 1

5 6.472

10 8.325

100 22

√ (3)

y =3+

2 x √

Obrázek 2.3: Průběh funkce y = 3 +

2 x


√ Tabulka 2.4: Vybrané funkční hodnoty funkce y = 3 + −4 2.646

x y

−0.5 0.172

0 ×

1 4.414

5 3.283

2 x

10 3.141

100 3.014

Definiční obor je tedy x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞) nebo lze tuto skutečnost zapsat jako x ∈ R\{0}.

(4)

y = x2

Z této funkce žádné podmínky neplynou. Definiční obor je tedy x ∈ R.

2.3

Jednoduché příklady ze skript Zadání 1) f (x) = 2) f (x) =

r

√

Výsledky 1−x 1+x

2 + x − x2 +

1X D(f ) = (−1; 1i √ 4

6x − 8 − x2

3) f (x) = log (x3 − 5x2 + 6x) √ √ √ 4) f (x) = x2 − 4 + 3 2 − x + 3x2 + 4

2X D(f ) = {2} 3X

D(f ) = (0; 2) ∪ (3; ∞)

4X D(f ) = (−∞; −2i ∪ {2}

2.3. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT

37

Zadání

Výsledky √

3x − 9 √ 6) f (x) = e 1−log (x+3) 5) f (x) =

5X D(f ) = h2; ∞) 6X D(f ) = (−3; 7i

x

2 +1 5 +√ 2x − 1 8 − 2x √ 8) f (x) = 4x − 3 · 2x − 4 1 − 2x 9) f (x) = arccos 3

7X D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; 3)

7) f (x) =

8X D(f ) = h2; ∞) 9X D(f ) = h−1; 2i

5 arctg x + arcsin (x − 2) 4 − x2 r 2x + 1 11) f (x) = arccos 2

10)

10X

f (x) =

D(f ) = h1; 2) ∪ (2; 3i

1 1 − ; 2 2

11X

D(f ) =

12) f (x) = sin(arcsin x)

12X

D(f ) = h−1; 1i

13) f (x) = arcsin(sin x)

13X

f (x) = log (4x2 − 1)

14X

D(f ) = (−∞; ∞) 1 1 D(f ) = −∞; − ∪ ;∞ 2 2

14)

ln(x − 1) x2 − x − 2 √ f (x) = 16 − x2 + log (6x + x2 ) r 2−x 3 f (x) = log (x + x) + 4 2+x 2 log 12 + 4x − x √ f (x) = x2 − x − 2 p f (x) = log(log x + 8)

15) f (x) =

15X

D(f ) = (1; 2) ∪ (2; ∞)

16)

16X

D(f ) = (0; 4i

17X

D(f ) = (0; 2i

18X

D(f ) = (−2; −1) ∪ (2; 6)

19X

D(f ) = h2; ∞)

20X

D(f ) = (2; 3)

17) 18) 19)

20) f (x) = log 1 − log(x2 − 5x + 16)

38


Obrázek 2.4: Průběh funkce y = x2 y 3 2 1 x

−2 −1

1

2

Tabulka 2.5: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x2 x y

2.4

−4 16

−0.5 0.25

0 0

1 1

5 25

10 100

100 10 000

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání

Výsledky

1)

1 1X D : x ∈ (−∞; −2) ∪ −2; − 3

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

r 1 9x2 − 1 f (x) = + 1 − log (8 − x) x2 − 10x + 21 3 √ x − 16x f (x) = ln + 36 − x2 x−5 r 2 2x2 + 9x − 5 f (x) = + x4 − 3x5 x−5 2 √ x + 2x − 15 f (x) = ln + e 2x−16 x−1 r 5 − 3x + 1 + ln(x2 − 1) f (x) = x+3 1 2x − 5 + arcsin + ln(x2 − 1) f (x) = x−2 5 √ 4x − 16 2 + e 25−4x f (x) = log 2 x + 2x − 3 √ x2 − 3x − 10 f (x) = + log(8 − x) log(x + 4) − 1 r p x2 + 2x − 3 f (x) = ln(5 − x) + 2x − 4 r 2x − 8 + log(100 − x2 ) f (x) = x3 − 3x2 − 10x √ x3 + 4x2 − 21x f (x) = 25 − x2 + ln 4−x 2 x − 3x + 2 2x − 1 f (x) = ln + arcsin x+4 7 r 2 x −9 f (x) = log(x2 − 4) + 2 x − x − 20 2 √ x + 2x − 3 f (x) = 25 − x2 + ln x2 + 2x − 8

2X

∪

1 ; 3 ∪ (7; 8) 3

D : x ∈ h−6; −4) ∪ (0; 4) ∪ (5; 6i

3X D : x ∈ (−∞, −5i ∪ 4X

1 1 , 3 2

D : x ∈ h8; ∞)

5X D : x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 4i 6X

D : x ∈ (1; 2) ∪ (2; 5i

7X

D:x∈

8X

D : x ∈ (−4; −2i ∪ h5; 6) ∪ (6; 8)

9X

D : x ∈ h−3; 1i ∪ (2; 4i

5 5 − ; 1 ∪ 2; 2 2

10X

D : x ∈ (−10; −2) ∪ (0; 3i ∪ (5; 10)

11X

D : x ∈ h−5; 0) ∪ (3; 4)

12X

D : x ∈ h−3; 1) ∪ (2; 4i

13X

D : x ∈ (−∞; −4) ∪ h−3; −2) ∪ (2; 3i ∪ (5; ∞)

14X

D : x ∈ h−5; 4) ∪ (−3; 1) ∪ (2; 5i

2.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET

Zadání

Výsledky

15)

f (x) = ln

16)

r

17) 18) 19) 20)

f (x) = f (x) =

r

r

r

2 − e4x 2 + e4x

ln 2 −∞; 4

15X

D:x∈

2x − 8 + ln(x2 + 3x) x2 + 4x − 5

16X

D : x ∈ (−5; −3) ∪ (0; 1) ∪ h3; ∞)

x2 − 9x + 20 + log (log(10 − x)) x−3

17X

D : x ∈ (3; 4i ∪ h5; 9)

18X

D : x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 2i ∪ (4; ∞)

19X

D : x ∈ h−∞; 1i ∪ h3; 4i

20X

D : x ∈ h2; ∞)

21X

D : x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 3)

22X

D : x ∈ (−3; 7i

23X

D : x ∈ (−1; 3) ∪ (5; 8i

24X

D : x ∈ (5; ∞)

25X

D : x ∈ (−4; −2i ∪ h2; 6) ∪ (6; ∞)

26X

D : x ∈ h−6; −3) ∪ (4; ∞)

27X

D : x ∈ (−7; −4i ∪ (−3; 1i ∪ (3; ∞)

28X

D : x ∈ (−∞; −5) ∪ (−4; −3i ∪ h3; 4) ∪ (7; ∞)

29X

D : x ∈ h−7; −2) ∪ (6; 7i

30X

D : x ∈ (−4; 2) ∪ h3; 4)

31X

(−∞; −1i ∪ h2; 5)

32X

(−3; −2) ∪ (3; ∞)

33X

h−4; 1) ∪ (3; 4i

34X

(−∞; −1i ∪ h1; ∞)

35X

(−8; −6) ∪ (6; ∞)

36X

(−6; −3) ∪ h1; 3)

37X

(−∞; −6i ∪ (−4; −2) ∪ h4; ∞)

38X

h−3; −2i ∪ h1; 3i

39X

h−5; 1) ∪ h2; 5i

5x − 25 + log(x2 − 1) x2 − x − 12 p √ f (x) = x2 − 4x + 3 + ln(5 − x) p f (x) = log (log(x + 8)) f (x) =

39

x

21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39)

2 +1 5 +√ x 2 −1 8 − 2x √ f (x) = e 1−log(x+3) √ x−3 2 f (x) = 64 − x − ln x2 − 4x − 5 2 √ x − 2x − 15 2 + e x −16 f (x) = ln x−1 √ x2 − 4 f (x) = log(x + 4) − 1 r x+6 f (x) = + log(x2 − 9) 2 x − 6x + 8 r x2 + 3x − 4 + log (log(2x + 15)) f (x) = x2 − 9 2 √ x − 2x − 35 2 f (x) = x − 9 + log x2 − 16 √ x2 − 4x − 12 2 f (x) = e 49−x + ln x + 10 r x2 + 2x − 15 f (x) = + ln(16 − x2 ) 4x − 16 √ f (x) = x2 − x − 2 − ln (5 − x) r x+3 x−3 − + ln (x2 − 4) f (x) = x−3 x+3 √ 3x − 3 f (x) = ln + 16 − x2 2 x + 2x − 15 √ √ f (x) = x2 − 1 − arctg x2 − 1 r x2 − 6x + 8 + ln (x2 − 36) f (x) = x+8 r x2 + 7x − 8 f (x) = + log (log(x + 7)) 9 − x2 r x2 + 2x − 24 f (x) = ln(x2 − 4) + x2 + 4x r x2 + x − 2 f (x) = + log (9 − x2 ) 16 − x2 √ x3 − 8 2 f (x) = ln + e 25−x 2 x + 5x − 6 f (x) =

40


Zadání 40)

41) 42) 43) 44)

f (x) =

Výsledky √

x2 − 1 + log

s

x3 − 25x x−3

x3 − 9x + ln(12 − x) log(x + 5) − 1 2 √ x − 4x − 5 f (x) = ln + 16 − x2 x 8−2 √ 2x − 16 f (x) = ln + x2 − 1 x2 + 2x − 15 r x2 − 3x − 10 f (x) = + log(log(x + 5)) x2 − 7x + 12 f (x) =

40X

(−∞; −5i ∪ h1; 3i ∪ h5; ∞)

41X

h−5; −3i ∪ h0; 3i ∪ (5; 12i

42X

h−4; −1) ∪ (3; 4i

43X

(−5; −1i ∪ h1; 3) ∪ (4; ∞)

44X

(−4; −2i ∪ (3; 4) ∪ (5; ∞)

Kapitola 3

Definiční obor dvou proměnných

3.1


Výsledek

! p x2 + y 2 − 9 2x + y + 3

1)

f (x, y) = ln

2)

f (x, y) = ln

3)

f (x, y) =

p

16 −

4)

f (x, y) =

s

x2 − 1 + ln(9 − y 2 ) x2 + y 2 − 4

5)

f (x, y) = p

x2 + y 2 − 9 3

y2

+ ln

x2 + y 2 − 4 2x + y + 2

arccos y y − ln(x + 1)

41

42

KAPITOLA 3. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH

6)

f (x, y) =

s

ln x − y y2 − 1

4x2 + 9y 2 − 36 ln x − y

7)

f (x, y) = ln

8)

f (x, y) =

p

1 − y2 +

f (x, y) =

r

1+x−y ln x − y

9)

10)

11)

f (x, y) = ln

s

ln x + y ln x − y

2−x−y y − log x

f (x, y) = arcsin

2x + 3y x−1


36 − 4x2 − 9y 2 x2 + y − 4

12)

f (x, y) = log

13)

f (x, y) =

14)

f (x, y) = ln

15)

f (x, y) = arcsin(y − x2 ) + arcsin(y − x − 1)

p

4x − y 2 ln(1 − x2 − y 2 )

16)

f (x, y) = log

17)

f (x, y) = ln

x2 + y + 1 1 − x2

4x2 + y 2 − 4 y2 − 1

4 − x2 2 x + 4y 2 − 16

43

44

KAPITOLA 3. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH

18)

f (x, y) = ln

4x2 + 9y 2 − 24x − 36y + 36 4x2 − y 2 − 24x + 4y + 28

Kapitola 4

Limity

4.1

Vzorce a vztahy

Níže jsou uvedeny vzorce pro oboustranné limity ve vlastním bodě. Analogické vzorce platí i pro limity v ±∞ a také pro limity jednostranné, není-li řečeno jinak může být A také ±∞. 1)

Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, tj. je-li lim f (x) = A a lim f (x) = B, pak je A = B;

2)

je-li lim f (x) = A ∈ R a lim g(x) = B ∈ R, potom je:

x→a

x→a

x→a

x→a

lim (f (x) + g(x)) = A + B;

x→a

lim (f (x) − g(x)) = A − B;

x→a

lim (f (x) · g(x)) = A · B;

x→a

lim

x→a

3)

f (x) g(x)

=

A , samozřejmě za předpokladu, že B 6= 0; B

je-li f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) v nějakém okolí bodu a (s vyjímkou tohoto bodu a) a lim f (x) = lim g(x) = A, potom x→a

x→a

je také lim h(x) = A; x→a

4)

lim g(x) = b, lim h(x) = A a je-li pro každé x ∈ D(g),

x→a

x→b

x 6= a splněna nerovnost g(x) 6= b, pak je lim h(g(x)) = A. x→a

Poznámka. Důsledkem právě uvedených vlastností limit jsou i následující dvě vlastnosti: 5)

je-li lim f (x) = A ∈ R, potom je lim (k · f (x)) = k · A pro libovolné k ∈ R;

6)

je-li lim f (x) = 0 a je-li funkce g(x) omezená v nějakém okolí bodu a (tj. | g(x) |≤ K, pro nějaké K ∈ R, potom

x→a

x→a

x→a

je lim (f (x) · g(x)) = 0. x→a

45

46

KAPITOLA 4. LIMITY

4.2

Klasické příklady

Určete limity funkcí: Zadání x2 + 5 1) lim 3 x→1 x + 1

Výsledky 1X

3

Zadání 2)

2X

−3

4)

lim

x3 + 1 x→1 x2 − 1

4X

Neexistuje

6)

x2 − 5x + 6 x→3 x2 − 9

6X

3)

x3 + 1 x→−1 x2 − 1

3X −

5)

x2 − 5x + 6 x→2 x2 − 9

5X

0

7X

1

9X

−2

11X

3

12)

13X

0

14)

lim

lim

x2 − 5x + 6 x→∞ x2 − 9 6 2 − 9) lim x→1 1 − x 1 − x3

7)

11) 13)

lim

3x + 1 x→∞ x + 4 x4 lim −x x→∞ x3 + 1 lim

3 2

5 + x2 − x3 x→∞ 7 − x + 2x3

15X

−

17)

3x3 − 2x + 1 x→∞ x2 + x − 1

17X

∞

19) 21) 23) 25) 27) 29) 31) 33) 35) 37)

lim

x4 + x + 5 lim x→−∞ 2x2 + 3x + 4 √ (x − 1) · 2 − x lim x→1 x2 − 1 √ 3x − 3 lim x→3 x2 − 9 √ √ 3+x− 3 lim x→0 x √ 3 x−6+2 lim x→−2 x+2 √ x+2−2 lim ln x→2 x−2 √ x4 + 3 − 2x lim x→∞ x2 + 5x p √ x+ x−1 √ √ lim 3 x→∞ x− x √ √ √ lim x · x−3− x x→∞

lim tg x +

1 2

16)

limπ

x→ 2

2 cos2 x + 5 cos x 2 cos2 −9 cos x

41)

sin x x→0 sin 2x

43)

limπ

lim

x→ 4

sin 2x − cos 2x − 1 cos x − sin x

−

x4 + 1 x→∞ (x2 + 2)2

12X

1

x2 + 3x − 1 x→∞ 3x3 + 2x + 4

14X

0

16X

2

lim lim

lim

2x2 + 1 −x+3

x→−∞ x2

1 2

−∞

(2x + 1)10 · (3x − 2)20 lim x→∞ (2x − 3)30

20X

20 3 2

22X

−4

24X

1 16

26X

1 4

28X

1 4

30X

1 144

32X

0

34X

0

lim

ex x→∞ 2 + sin x

36X

∞

lim cos x · x−6

38X

∞

40X

1

42X

5

44X

1 2

21X

1 2

22)

23X

1 12

24) 26)

27X

1 12

28)

29X

− ln 4

30)

31X

1

32)

33X

−1

34)

35X

−

3 2

36)

37X

−∞

38)

39X

− 59

40)

41X

1 2

42)

43X

√ − 2

44)

x→ π2

39)

10X

18X

20)

2 3

8X

3x3 − 2x + 1 x→−∞ x2 − 3x + 4

∞

1 √

lim

1 6 10 3 2

18)

19X

25X

lim

(x2 − x − 2)20 x→2 (x3 − 12x + 16)10 8 2 10) lim − x→2 x2 − 4 x−2 8)

15)

lim

Výsledky

2x − 3 lim x→0 log(x + 10)

lim

x−4 √ 2− x √ x − 3x − 2 lim x→2 x2 − 4 √ x+4−1 lim x→−3 2(x + 3) √ 4 x−2 lim √ x→16 x−4 √ 3 x−6+2 lim x→−2 x3 + 8 p (1 − x)3 √ lim 3 x→−∞ x x2 √ √ lim ( x − 3 − x) lim

x→4

x→∞

x→0

lim log

x→1

x2 + 8x − 9 x2 − x

2 tg2 x + tg x − 3 x→ 4 2 tg2 x − 3 tg x + 1 2 1 lim − x→0 sin 2x · sin x sin2 x limπ

4.2. KLASICKÉ PŘÍKLADY

45) 47) 49) 51) 53)

lim

x→π

sin 2x tg x

sin x − cos x lim x→ π cos 2x 4 x + sin x x − cos x arctg x lim x→−∞ x lim

x→∞

47

45X

2

46) √

2 2

47X

−

49X

1

50)

51X

0

52)

48)

1 + cos x sin x

46X

0

lim (x5 + sin 2x)

48X

∞

lim (2 arccotg x + 3)

50X

3

52X

1 2

x→π

x→∞

x→∞

lim

x→∞

1 1+e

1 x

Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru f (x) =

D(f ) = (−∞; 2) ∪ (2; ∞)

lim f (x) = 0

x→−∞

1 x−2 lim− f (x) = −∞ x→2

lim f (x) = ∞

lim f (x) = 0

x→∞

54)

lim+

x→2+

Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru f (x) =

D(f ) = R\{−3; 1}

lim f (x) = 0

x→−∞

lim f (x) = 0

x→∞

x2

1−x + 2x − 3 1 lim f (x) = − − 4 x→1 1 lim f (x) = − 4 x→1+

lim f (x) = ∞

x→−3−

lim f (x) = −∞

x→3+

Kapitola 5

Derivace funkcí jedné proměnné

5.1

Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě f 0 (a) = lim

h→0

5.2

f (a + h) − f (a) v bodě a h

(5.1.1)

Úprava funkcí před derivováním

Pakliže je naším úkolem zderivovat nějakou funkci, je často vhodnější si tuto funkci nejprve nějak příhodně upravit – viz příklad (modře je vyznačena samotná derivace) a teprve po úpravě ji zderivovat. Výsledky však musí být stejné ať už zadání upravíme, nebo ne. Naším úkolem je zderivovat funkci: y=√

1 3 + 2x

Mohu ji derivovat: a) Neupravenou y=√

1 3 + 2x

0· y0 =

√

1 1 √ 3 + 2x − 1 · √ ·2 1 1 1 2 3 + 2x 3 + 2x · =− = −√ = −p 3 + 2x 3 + 2x 3 + 2x 3 + 2x (3 + 2x)3 1

b) Upravenou 1

y = (3 + 2x)− 2 √ √ 1 3 3 y 0 = − 12 · ( 3 + 2x)− 2 · 2 = −( 3 + 2x)− 2 = − p (3 + 2x)3

48

5.3. VZORCE PRO DERIVOVÁNÍ

5.3

49

Vzorce pro derivování

Pokud aplikujeme vzorec Equation 5.1.1 v každém bodě a, dostaneme následující vzorce. Níže jsou uvedeny všechny vzorce z tabulky z technické fakulty. Ani na zmíněné tabulce nejsou všechny vzorce Diferenciálního počtu. Některé vzorce jsou zde (i v tabulce) odvozené od ostatních, například: vzorce č. 2, 4, 5 jsou odvozeny od vzorce č. 3; vzorec č. 7 odvozen od vzorce č. 6; vzorec č. 9 odvozen od vzorce č. 10. Funkce a exponenty 1. 2. 3. 4. 5.

(konstanta)0 = 0 (x)0 = 1 (xa )0 = axa−1 0 1 1 =− 2 x x √ 1 ( x)0 = √ 2 x

Pravidla pro derivování Pravidla pro sčítání 19. Pravidla pro násobení 20.

20.a

9.

1 x ln a 1 (log x)0 = x ln 10 1 (ln x)0 = x (ex )0 = ex

10.

(ax )0 = ax · ln a

7. 8.

(loga x)0 =

Goniometrické funkce

12.

(cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 (x) 1 (cotg x)0 = − 2 sin (x)

13. 14.

21. (u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v 0 · w + u · v · w0 0

nebo též ((u · v) · w) = (u · v)0 · w + (u · v) · w0 Pravidla pro podíl 22.

0

(sin x) = cos x

22.a Pravidla pro složené funkce 23.

Cyklometrické funkce 1 1 − x2 1 16. (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 0 17. (arctg x) = 1 + x2 1 18. (arccotg x)0 = − 1 + x2 Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici obecné mocniny f (x)g(x) = eg(x)·ln f (x) 15.

5.4

(arcsin x)0 = √

Jednoduché příklady ze skript Zadání

√ √ 1) y = 7 x + 5 2 p √ 12 x3 x √ 2) y = 3 5 x4

(k · f (x))0 = k · (f (x))0

Násobení více funkcí

Speciální případ s konstantou

11.

(u · v)0 = u0 · v + u · v 0


Logaritmy a exponenciála 6.

(u ± v)0 = u0 ± v 0

Výsledky 1X

7 y0 = √ 2 x

2X

1 √ y 0 = 12 x7

u 0 v

=

f (x) k

u0 · v − u · v 0 v2

0

= 0

f 0 (x) k

[f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)

50

KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ

Zadání √ ( x − 1)2 3) y = x x 4) y = 2x − 1

Výsledky √ x−1 3X y 0 = x2 1 4X y 0 = − (2x − 1)2

5) y = x2 · 3x

5X

y 0 = x · 3x · (2 + x · ln 3)

6) y = x · ln x − x

6X

y 0 = ln x

7) y = (2 − x2 ) · cos x + 2x · sin x

7X

y 0 = x2 · sin x

8) y = (x − 1) · log3 x tg x ex 4x + 6 = 9 − 4x2 cos x = 1 − sin x 1 + ln x = x x+3 = ln x−3 1 = arctg x x+1 = arccotg x−1

9) y = 10) y 11) y 12) y 13) y 14) y 15) y

√ x+1

√

16) y = e

+ x+1

17) y = arcsin

p

x2 − 1

18) y = tg4 x − 2 · tg2 x − 4 · ln(cos(x)) x 19) y = ln tg 2 1+x 20) y = 2x − (1 − x2 ) · ln 1−x 5 √ 1 21) y = x+ √ x

1 22) y = x · arctg x − · ln(1 + x2 ) 2 π x 23) y = ln tg + 4 2 p x x 24) y = · 16 − x2 + 2 · arcsin 8 4 √ p x 25) y = 16x − x2 + 4 · arcsin 4 √ ! 1 x· 3 26) y = √ · arctg 1 − x2 3 p 1 27) y = x · arcsin + ln x + x2 − 1 x 1 x cos x 28) y = · ln tg − 2 2 2 sin2 x

8X

1 1 y = log3 x + · 1− ln 3 x 0

1 − sin x · cos x ex · cos2 x 4 10 X y 0 = (3 − 2x)2 1 11X y 0 = 1 − sin x ln x 12X y 0 = − 2 x 6 13 X y 0 = 9 − x2 9X

y0 =

14X

y0 = −

15X

y0 =

1 1 + x2

1 1 + x2 √

e x+1 +1 16 X y = √ 2 x+1 x 17 X y 0 = p 2 (2 − x )(x2 − 1) 0

18 X y 0 = 4 · tg5 x 19 X y 0 =

1 sin x

20 X y 0 = 2x · ln 21 X y 0 =

1+x 1−x

5(x + 1)4 · (x − 1) √ 2x3 · x

22 X y 0 = arctg x 1 cos x √ 16 − x2 0 24 X y = 4 10 −x 25 X y 0 = √ 16x − x2

23 X y 0 =

x2 + 1 x4 + x2 + 1 1 27 X y 0 = arcsin x 26 X y 0 =

28 X y 0 =

1 sin3 x


Zadání

Výsledky

x 3x + 2 2 + 1) 2(x + 1) + 32 arctg x ! √ 1 − 1 − x2 arcsin x 30) y = ln − x x 1 x2 arctg x 31) y = · ln − 2 2 x +1 x 29) y =

51

(x2

29 X y 0 =

(x2

4 + 1)3

30 X y 0 =

arcsin x x2

31 X y 0 =

arctg x x2

Vypočtěte druhé derivace funkcí: 32) y = x · tg + ln(cos x) p 33) y = ln x + x2 + 1

√ 2x · x 2 · ln x − 3 3 x+3 35) y = ln √ x2 + 4 1 − x3 36) y = arctg 1 + x3 r 1−x 1−x 37) y = ln + arctg 1+x 1+x 34) y =

3 + e2x 4 − e2x r 1 + e2x 39) y = ln 1 − e2x 38) y =

Vypočtěte f 0 (4) pro funkci √ x √ 40) f (x) = 1+2· x Vypočtěte f 0 (0) a f 00 (0) pro funkci x 9 x p 41) f (x) = · 9 − x2 · · arcsin 2 2 3

2x · tg x + 1 x2 −x 33 X y 0 = p (x2 + 1)3 32 X

y0 =

34 X y 0 =

ln x + 2 √ 2· x

35 X y 0 =

6x3 − 3x2 − 24x − 52 ((x + 3) · (x2 + 4))2

36 X y 0 =

6x · (2x6 − 1) (1 + x6 )2

37 X y 0 =

−8x3 (x4 − 1)2

38 X y 0 =

28 e2x ·(4 + e2x ) (4 − e2x )3

39 X y 0 =

4 e2x ·(1 + e4x ) (1 − e4x )2

40 X f 0 (4) = 0, 01

41 X f 0 (0) = 3,

f 00 (0) = 0

Vypočtěte f 0 (5) a f 00 (5) pro funkci p p 42) f (x) = x2 − x · x2 − 9 + ln x + x2 − 9

42 X f 0 (5) = 0,

f 00 (5) =

43) y = tg2 x + 2 · ln(tg x)

π 43 X x ∈ 2k · , 2

1 8

Ve kterých intervalech je derivace zadané funkce kladná?

Pro které x je derivace zadané funkce rovna nule? 1

44) y = (4x − 1) · e x

(2k + 1) ·

44 X x =

1 2

45 X

x=

π + kπ, k ∈ Z 2

46 X x =

π + kπ, k ∈ Z 2

Pro která x je derivace zadané funkce rovna nule? 45) y = sin3 x − 3 · sin2 x + 3 · sin x Pro která x platí f 0 (x) = 4 u zadané funkce? 46) y =

4 · sin x 1 + cos x

π 2

52

5.5

KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ


Výsledky

1)

f (x) = ln sin 3x +

2)

f (x) = ln

√

s

p

x 1 − x2

2 − cos2 3x

2 + sin2 5x 2 − sin2 5x √ p x 3 2 4) f (x) = x · 3 − x + 3 · arccos 3 ! √ 1 + x4 + 1 5) f (x) = ln x2 p x p 9 6) f (x) = · x2 − 9 − · ln x + x2 − 9 2 2 p x 1 7) f (x) = 9 − x2 + x · arcsin + arcsin 3 2 √ p x 8) f (x) = 16x − x2 + 4 · arcsin 4 s 2 − e4x 9) f (x) = ln 2 + e4x p 10) f (x) = ln ln2 x + 4 + ln4 x 3)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

f (x) = ln

p Nepočítáno: p 2 4 f (x) = ln x + 2 + x − ln x4 + 2 − x2 p f (x) = ln sin2 3x + 1 + sin4 3x p p f (x) = x2 − 1 − arctg x2 − 1 x2 f (x) = ln √ 1 − x4 ! √ 1 + e2x − 1 f (x) = ln √ 1 + e2x + 1 π √ x f (x) = e 2 1 − ex + arcsin e 2 √ √ x f (x) = 4 · arcsin + 4x − x2 2 √ √ √ f (x) = x · arcsin x + 1 − x

3 · cos 3x 2 − cos2 3x

1X

f (x)0 = √

2X

f (x)0 =

1 x − x3

3X

f (x)0 =

20 · sin 5x · cos 5x 4 − sin4 5x

4X

−2x2 f (x)0 = √ 3 − x2

5X 6X 7X 8X

9X 10X

−2 f (x)0 = √ x x4 + 1 p f (x)0 = x2 − 9 x f (x)0 = arcsin 3 10 − x f (x)0 = √ 16x − x2 f (x)0 =

8 · e4x e8x −4

2 · ln x f (x)0 = p x 4 + ln4 x

Kapitola 6

Limity – l´Hospitalovo pravidlo

6.1

Předpoklady užití l´Hospitalova pravidla

Chceme-li počítat limity lim

1. 2.

f (x) l´Hospitalovým pravidlem, musí dané funkce splňovat následující předpoklady: g(x)

něco ∞ 0 0

3. limity z derivace lim

Potom lim

6.2

f 0 (x) existuje. g 0 (x)

f (x) f 0 (x) = lim 0 g(x) g (x)

Jednoduché příklady ze skript

Užitím l’Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity: Zadání x2 − 2x − 3 1) lim 3 x→3 x + x − 30

Výsledky 1 1X 7

Zadání e3x −2x − 1 2) lim x→0+ sin2 2x

2

3) 5) 7)

ex −1 x→0 cos x − 1 lim

3X

lim

x→0+

13) 15) 17)

lim (ex −1) · cotg x

x→0+

lim

x→ π 2

lim

x→1

x π − cotg x 2 cos x

4)

ln 2x lim √ x→∞ x

2X

x50 − 50x + 49 x100 − 100x + 99

5X

0

6)

7X

0

8)

9X

27

10)

11X

0

12)

13X

1

14)

15X

−1

16)

17X

49 198

18)

e 2 −1 lim x→0 x2 + x sin 3x lim x→0 sin 5x lim

x→π

cos 2x − 1 tg x

lim ln(1 − x) · ln x 1 lim+ cotg x − x x→0 2 lim tg x + x→ π 2x − π 2 √ 3 tg x − 1 limπ x→ 4 2 sin2 x − 1 x→1−

∞

4X 0

x

ln x lim x→0+ cotg x 1−x lim x→∞ e−x +1

sin3 3x x→0 x3 √ 11) lim 3 x · ln x 9)

−2

Výsledky

6X 8X

1 2 3 5

10X

0

12X

0

14X

0

16X

0

18X

1 3

Následující limity počítejte oběma způsoby, tj. úpravami bez použijí l’Hospitalova pravidla a s ním: Zadání Výsledky Zadání Výsledky √ √ √ x + 13 − 2 x + 1 1 1−x−3 √ 19) lim 19X − 20) lim 20X −2 2 x→3 x→−8 x −9 16 2+ 3x √ √ √ √ 1 + tg x − 1 − tg x 2 − 1 + cos x 21) lim 21X 1 22) lim 22X 0 x→0 x→0 sin x sin x 53

54

KAPITOLA 6. LIMITY – L´HOSPITALOVO PRAVIDLO

23)

tg x − sin x x→0 sin3 x lim

23X

1 2

24)

(1 + x)5 − (1 + 5x) x→0 x2 + x5 lim

V dalších dvou příkladech vypočtěte limity dané funkce v hraničních bodech definičního oboru a nakreslete graf libovolné jiné funkce, která má ve stejných bodech stejné limity: Zadání Výsledky 2x2 + 5x − 3 lim f (x) = −∞ 25) y = 2 25X lim f (x) = ∞ 8x − 2x − 1 x→− 14 − x→− 14 + 1 x→±∞ 4 4 lim f (x) = − x→0 3 lim f (x) =

26)

x3 + 4x y= 2 x − 3x

26X

lim1 f (x) =

x→ 2

7 6

lim f (x) = lim− f (x) = −∞

x→−∞

x→3

lim f (x) = lim f (x) = ∞

x→3+

6.3

x→∞

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Nepočítáno: ln (1 − x) √ 1) lim √ x→0 2 + sin 3x − 2 − sin 5x 3

e1−x −1 x→1 5x2 − 1 − 2 √ 2 − 2 cos 3x 3) limπ x→ 2 1 − tg2 3x

2)

lim √

4)

limπ

x→ 8

1 − tg 2x cos 4x

1 − 10x x→∞ 1 + 10x−1 tg 3x √ 6) lim √ x→0 2 + sin 2x − 2 cotg 2x − 1 7) limπ x→ 8 1 − cos2 2x 5)

lim

x + sin 5x x · cos 3x √ 1 − 1 + sin 2x 9) lim x→0 tg 2x √ 3x + 4 − 2 10) lim x→0 3x − sin 2x

8)

lim

x→0

24X

10

Kapitola 7

Parciální derivace

7.1

7.2

Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě ∂f f (a + h, b) − (a, b) (a, b) = lim h→0 ∂x h

(7.1.1)

f (a, b + h) − (a, b) ∂f (a, b) = lim h→0 ∂y h

(7.1.2)

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let ∂f ∂x ∂2f ∂2f Výsledek = ∂x∂y ∂y∂x

Zadáná funkce Výsledek

Výsledek

∂f ∂y

1)

f (x, y) = xy · ln(2x + 3y) − ln 5

1)

x · ln(2x + 3y) +

1)

3xy 2x + 3y

1)

√ 2) f (x, y) = ln(x2 + 3x y) − y · sin(2) 3x · 2)

2)

1 √ 2 y

2)

√ (x2 + 3x y)

6)

Nepočítáno: 3 2 f (x, y) = sin(x2 − y 4 ) + y e y x + 1 π y f (x, y) = ln sin + ln x 6 p √ f (x, y) = arctg (y − x) + 3x2 y + π

7)

f (x, y) = arctg(x2 y) − arctg 1

8)

f (x, y) = sin(x3 y + y 2 ) − sin π

3) 4) 5)

f (x, y) = sin(x2 + y 3 ) + y · ex

2 3

y

+1

f (x, y) = arccotg(x − y) − arccotg(−3) π 10) f (x, y) = cos(2x − xy) + cos 4 9)

11)

√ xy−x3 y

f (x, y) = e

+x3 y + e

√

2

55

2xy 2x + 3y 4x2 + 6xy + 9y 2 ln(2x + 3y) + (2x + 3y)2 √ 2x + 3 y √ x2 + 3x y 3x 2y − x √ 2 (x + 3x y)2 y · ln(2x + 3y) +

Kapitola 8

Inverzní funkce

8.1

Návody k výpočtu

Co je naším úkolem při výpočtu inverzních funkcí? Co je to vlastně inverzní funkce? Laicky řečeno, inverzní funkce zobrazuje hodnoty „opačným směremÿ než původní funkce, jak je zřejmé z Tabulky 8.1. Z toho také vyplývá, že funkce f : y = x je inverzní sama k sobě. Právě ke každé prosté funkci lze nalézt inverzní funkci. To znamená, že ne ke každé funkci jsme schopni inverzní funkci sestrojit. Např. funkce f : y = x2 definovaná na celém R není prostá, a proto k ní nejsme schopni sestrojit na tomto definičním oboru inverzní funkci. Lze ji však nalézt k její vhodně zvolené části – viz Tabulka 8.2 třetí příklad. To samé se týká funkce f : y = sin x v posledních dvou příkladech zmíněné tabulky. Tabulka 8.1: Funkční hodnoty funkce f : y = 2x a její inverzní funkce f : y = 2x f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)

= = = = =

2 4 6 8 10

⇒

⇒

f −1 : y = f −1 (2) f −1 (4) f −1 (6) f −1 (8) f −1 (10)

x 2

= = = = =

1 2 3 4 5

Příklad f :y

=

x+1 3x − 4

y · (3x − 4)

=

x+1

3xy − 4y

=

x+1

/roznásobení levé strany

3xy − x

=

1 + 4y

/−x /+4y

x(3y − 1)

=

4y + 1

/vytčení x

x

=

4y + 1 3y − 1

inverzní funkce (k y nalezneme x)

y

=

4x + 1 3x − 1

/přeznačení proměnné

/ · (3x − 4)

Tabulka 8.2 ukazuje celkem pět příkladů funkcí a jejich inverzních funkcí. V každém řádku je uveden jeden příklad, na obrázcích jsou celkem 3 křivky:

petrolejová = zadaná funkce • plná = část zadané funkce k níž JE sestrojena inverzní funkce • tečkovaná = část zadané funkce k níž NENÍ sestrojena inverzní funkce

56


růžová (plná) = inverzní funkce fialová (tečkovaná) = osa, podle níž je původní funkce „překlopenaÿ

8.2

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání p 1) f : y = 4 − log(x + 1) √

2) f : y = 3 − 3

√

3) f : y = 2 − 4

x+1

x−3

57

58

KAPITOLA 8. INVERZNÍ FUNKCE

Tabulka 8.2: Inverzní funkce Zadaná funkce

⇒

f : y = 2x

⇒

f : y = ex

⇒

f : y = x2

x ∈ h0; ∞)

Inverzní funkce f −1 : y =

x 2

f −1 : y = log x

f −1 : y =

⇒

√

x

f : y = sin xh− π2 ; π2 i

⇒

f −1 : y = arcsin x

f : y = sin xh− π2 ; π2 i

⇒

f −1 : y = arcsin x


Kapitola 9

Tečna a normála v bodě T

9.1

Vzorce tečny a normály

Tečna t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )

(9.1.1)

Normála n : y − yT =

−1 · (x − xT ) f 0 (xT )

když f 0 (xT ) 6= 0

(9.1.2)

Normála v extrémním případě, kdy se první derivace v bodě rovná v daném bodě nule

f 0 (xT ) = 0

(9.1.3)

n : x = xT

(9.1.4)

Všimněte si, že v případě, kdy se první derivace v bodě rovná nule v zadaném bodě, pak:

t : y − yT = 0

(9.1.5)

n : x = xT

(9.1.6)

a předpisy tečny a normály neobsahují proměnnou x nebo y. Jedná se tedy o přímky, kdy: t n

9.2

k k

osa x osa y

(tečna je rovnoběžná s osou x) (normála je rovnoběžná s osou y)

Návody k výpočtu Obecný předpis tečny a normály:

59

60

KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T

t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT )

n : y − yT =

−1 · (x − xT ) f 0 (xT )

1. Máme zadaný předpis konkrétní funkce a bod o souřadnicích T = [xT ; yT ]. Nemusíme se zabývat definičním oborem – máme zadaný konkrétní bod a ten určitě na křivce leží = v tom místě funkce existuje. Více řešit nemusíme. Zpravidla známe jen x-ovou souřadnici bodu. y-novou souřadnici dopočteme dosazením x-ové souřadnice do zadaného předpisu. 2. Vidíme, že pro dosazení do vzorce nepotřebujeme jen x-ovou a y-ovou souřadnici, ale i první derivaci. Vypočteme tedy 1. derivaci zadané funkce. 3. V případě, že se v 1. derivaci vyskytne proměnná x, dopočteme 1. derivaci v bodě. Vyjde-li např. y 0 = 2x a máme zadaný bod T = [3; 6], tak derivace v bodě je y 0 = 2 · 3, tedy y 0 = 6. (y-nová souřadnice se v derivaci v bodě nijak nepromítne). 4. Dosazení do vzorce: t : y − yT = f 0 (xT ) · (x − xT ) n : y − yT = −

1 f 0 (x

T)

· (x − xT )

• Toto jsou proměnné, části vzorce, za které se nic nedosazuje a pouze se „opisují.ÿ • Za tyto části vzorce se dosazují souřadnice zadaného bodu T. • Derivace v bodě (jedná se vždy o konkrétní číslo). Poznámka. Normála je kolmice na tečnu – tyto dvě přímky tedy nikdy nemohou mít stejný předpis. Podívejme se však, co se stane, když vyjde první derivace v daném bodě nula f 0 (x) = 0, a my bezmyšlenkovitě dosadíme do vzorců tečny a normály: t : y − yT = 0 · (x − xT ) n : y − yT = × × × · (x − xT ) × × × – pro normálu nám vychází dělení nulou, což je operace vyhrazená pouze Chucku Norrisovi. Pakliže vyjde pro tečnu předpis y = yT , jedná se o nějakou konstantní funkci rovnoběžnou s osou x. Má-li být normála kolmá na tečnu a procházet zadaným bodem, musíme vycházet ze seciálního vzorečku pro tento případ, který říká: n : x = xT

9.3

Ukázkový příklad

Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: • T = [1; ?]

9.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD

1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce • y = ln 1 ⇒ y = 0 Plné souřadnice bodů jsou tedy: • T = [1; 0] 2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x

• y0 =

1 x

3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)

0 • yT =

1 =1 1

4) Dosazení do vzorce • t : y − 0 = 1 · (x − 1) 0=x−y−1 y =x−1 1 • n : y − 0 = − · (x − 1) 1 0=y+x−1 y =1−x

Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: • S = [e; ?] 1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce • y = ln e ⇒ y = 1 Plné souřadnice bodů jsou tedy: • S = [e; 1] 2) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x

• y0 =

1 x

61

62


3) Vypočítáme 1. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body – tedy pro každý zvlášť)

• yS0 =

1 e

4) Dosazení do vzorce 1 • t : y − 1 = · (x − e) e 0 = x − ey

• n : y − 1 = − e ·(x − e) 0 = y + e x − e2 −1 Obrázek 9.1: Grafické znázornění: Tečna – zadaná funkce a tečné body T a S



63

Obrázek 9.2: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě T = [1; 0]


Obrázek 9.3: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě S = [e; 1]


64


9.4

Jednoduché příklady ze skript Zadání y = x2 tečný bod T = [3; ?] √ y =x+ 1−x tečný bod T = [0; ?]

1)

2)

2x − 1 3x − 5 tečný bod T = [2; ?]

3)

y=

1X 1X

tečna normála

t: n:

0 = 6x − y + 9 0 = x + 6y − 57

2X 2X

tečna normála

t: n:

0 = x − 2y + 2 0 = 2x + y − 1

3X

tečna

t:

0 = 7x + y − 17

3X

normála

n:

0 = x − 7y + 19

4)

y = x · ln x tečný bod T = [1; ?]

4X 4X

tečna normála

t: n:

0=x−y−1 0=x+y−1

5)

y = ln (x + 1) tečný bod T = [0; ?]

5X 5X

tečna normála

t: n:

0=x−y 0=x+y

6)

y = 3 e2x +4x2 + 6 tečný bod T = [0; ?]

6X 6X

tečna normála

t: n:

0 = 6x − y + 9 0 = x + 6y − 54

7)

y = e−x · sin 3x tečný bod T = [0; ?] √ y = x2 · x3 − 4 tečný bod T = [2; ?]

7X 7X

tečna normála

t: n:

0 = 3x − y 0 = x + 3y

8X 8X

tečna normála

t: n:

0 = 20x − y − 32 0 = x + 20y − 162

9X 9X

tečna normála

t: n:

0 = 2x − y − 2 0 = x + 2y − 1

10X tečna

t:

0 = 4x − 13y − 6

10X normála

n:

0 = 26x + 8y − 39

8)

9)

10)

9.5

Výsledky

y = x2 · ln(2x − 1) tečný bod T = [1; ?] 2x − 3 y = arctg 3x + 2 tečný bod T = 23 ; ?

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

1)

2)

3)

4)

5)

Zadání √ 3x2 + 4x + 2 y= x tečný bod T = [1; ?] x+1 (2x + 1)2 tečný bod T = [−1; ?] √ π y = + 3 arctg 2 − e2x 4 tečný bod T = [0; ?] r 3−x y = 3 − ln x+3 tečný bod T = [0; ?] r 2x − 3 y = 3 + ln 3x − 5 tečný bod T = [2; ?] y =3+

Výsledky 1X

tečna

t:

0 = 4x + 3y − 13

1X

normála

n:

0 = 3x − 4y + 9

2X

tečna

t:

0=x−y+4

2X

normála

n:

0=x+y−2

3X

tečna

t:

0 = 3x + 2y − 2π

3X

normála

n:

0 = 2x − 3y + 3π

4X

tečna

t:

0 = x − 3y + 9

4X

normála

n:

0 = 3x + y − 3

5X

tečna

t:

0 = x + 2y − 8

5X

normála

n:

0 = 2x − y − 1


6)

(4 − x)2 x+2 tečný bod T = [2; ?] y=

x3 −8 3x−x2

7)

y=e tečný bod T = [2; ?]

8)

y=

1 + cos x 1 + sin x

tečný bod T =

hπ 4

i ;?

9)

y = 2 + x · e1−2x

10)

tečný bod T = [0; ?] q y = 3 − 2 · ln 4−x x+2

11)

tečný bod T = [1; ?] q 2 +1 y = 5 + ln xx+1

tečný bod T = [0; ?]

12)

13)

sin 2x y = ln 1 − cos 2x tečný bod T = π4 ; ? 3x − 1 y = 4 · arctg 2x + 1 tečný bod T = [2; ?]

65

6X

tečna

t:

0 = 5x + 4y − 14

6X

normála

n:

0 = 4x − 5y − 3

7X 7X

tečna normála

t: n:

8X

tečna

t:

8X

normála

n:

9X

tečna

t:

0 = 6x − y − 11 0 = x + 6y − 8 √ −2 2 − 2 π y−1= √ · x− 4 2 2+3 √ 2 2+3 π y−1= √ · x− 4 2 2+1

9X

normála

n:

10X

tečna

t:

10X

normála

n:

11X

tečna

t:

11X

normála

n:

Nepočítáno:

0 = ex − y + 2 −x 0= −y+2 e 2x 7 0= −y+ 3 3 −3x 9 0= −y+ 2 2 −x 0= −y+5 2 0 = 2x − y + 5

Kapitola 10

Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p

10.1

Návody k výpočtu

Při výpočtu tečen a normál rovnoběžných se zadanou přímkou p musíme nejdříve zjistit bod dotyku T, a dále budeme postupovat stejně, jako u úloh, pro nalezení rovnice tečny nebo normály, kde je zadán bod dotyku T. V zadání je předpis funkce, k níž tečnu hledáme, a předpis přímky, s níž je tečna rovnoběžná. 1. Máme zadanou funkci f (x) = 6x − 10 − x2 Obrázek 10.1: Průběh funkce f (x) = 6x − 10 − x2


a máme zadanou přímku p : y = −2x (ve směrnicovém tvaru), se kterou má být hledaná tečna rovnoběžná. Obrázek 10.2: Průběh funkce p : y = −2x


2. Očekáváme, že je-li tečna rovnoběžná s přímkou p, bude vypadat následovně – viz Obrázek 10.3, čerchovaná přímka. Zadaná přímka p a hledaná tečna musí mít stejný sklon (směrnici), který je v našem případě: kt = −2 (viz Obrázek 10.4) (pro normálu je směrnice převrácená hodnota s opačným znaménkem – víme, že normála je kolmá na tečnu) 1 kn = . 2 3. Dále spočteme derivaci zadané funkce (což je směrnice tečny v bodě dotyku) f 0 (x) = 6 − 2x 66

10.1. NÁVODY K VÝPOČTU

67

Obrázek 10.3: Očekávaný průběh hledané tečny


Obrázek 10.4: Derivace zadané přímky p


Obrázek 10.5: Derivace zadané funkce f (x)


4. Položíme do rovnosti směrnici zadané přímky p a derivaci zadané funkce f (x) 6 − 2x = −2 8 = 2x x=4 y = −16 + 6 · 4 − 10 = −2 T = [4; −2] Dosadíme do vzorců t : y + 2 = −2(x − 4)

68

KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P

n:y+2=

1 (x − 4) 2

Poznámka 3. Směrnici přímky p : y = −2x lze získat jako derivaci této funkce. Poznámka 4. V zadání úlohy může být přímka zadaná v jiném než směrnicovém tvaru. Například přímka zadaná směrnicovou rovnicí: p : y = −2x může být zadaná různými obecnými rovnicemi: p:

4x + 2y = 0

p : −2x − y = 0

10.2

Jednoduché příklady ze skript Zadání 1)

2)

3)

1 π ; 8 4

1X

tečný bod

T =

přímka p: 4x − y = 5

1X

tečna

y = ln(x3 + x2 )

2X

tečný bod

přímka p: y = 1 − 2x

2X

tečna

3X

tečný bod

přímka p: y = x

3X

tečna

t : 16x − 4y − 2 + π = 0 1 T = − ; − ln 8 2 t : 2x + y + ln 8 + 1 = 0 " √ # 3 π ; T = 6 2 √ t : 6x − 6y + 3 3 − π = 0

y = 2x3 + 2x2 přímka p: y = x2 + 4x

4X 4X

tečný bod (1) tečna (1)

4X

tečný bod (2)

4X

tečna (2)

5X

tečný bod (1)

5X

normála (1)

T = [−1; 0] t : 2x − y + 2 = 0 1 8 ; T = 3 27 t : 54x − 27y − 10 = 0 2 1 T = − ; 5 5 n : 10x + 5y + 3 = 0

5X 5X

tečný bod (2) normála (2)

T = [−2; 1] n : 2x + y + 3 = 0

na

D πE 0; 2

3x + 2 Spočtěte normálu 5x + 6 přímka p: 2x + y + 1 = 0

5)

y = arcsin 4x

y = sin 2x

4)

10.3

Výsledky √

y=

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání y = −x2 + 8x − 3 přímka p: −60x + 5y − 9 = 0

Výsledky 1X tečna 1X normála

t : 0 = 12x − y + 1 n : 0 = x + 12y + 278

2)

y = −x2 − x − 6 přímka p: 3x − 3y − 7 = 0

2X 2X

tečna normála

t:0=x−y−5 n:0=x+y+7

3)

y = −4x2 + 11x + 2

3X

tečna

t : 0 = 3x − y + 6

1)


přímka p: −9x + 3y + 2 = 0

3X

69

normála

n : 0 = x + 3y − 22

Kapitola 11

Tečná rovina a normála

11.1

Vzorce tečné roviny a normály

Tečná rovina τ:

∂z ∂z (x, y, z) + (y − yT ) · (x, y, z) − (z − zT ) ∂x ∂y

(11.1.1)

∂F ∂F ∂F (x, y, z) + (y − yT ) · (x, y, z) + (z − zT ) · (x, y, z) ∂x ∂y ∂z

(11.1.2)

0 = (x − xT ) ·

Normála n:

11.2

0 = (x − xT ) ·


Výsledky 2

1)

f (x, y) = (x − y) · ex +y tečný bod T = [1; 0; ?]

2)

3)

2

1X 1X

tečna normála

t: n:

0 = 3ex − ey − z − 2e x = 1 + 3et y = 0 − et z = e −t

f (x, y) = y + x · e x tečný bod T = [1; 0; ?]

2X 2X

tečna normála

t: n:

0 = x + 2y − z x=1+t y = 0 + 2t z =1−t

f (x, y) = y · ln (3x − y) tečný bod T = [1; 2; ?]

3X 3X

tečna normála

t: n:

0 = 6x − 2y − z − 2 x = 1 + 6t y = 2 − 2t z =0−t

y

70

Kapitola 12

Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci.

12.1

Monotonie

1. Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x. 2. Když si funkci nakleslíme (nějakým programem, přes tabulku funkčních hodnot či si graf funkce pamatujeme), bez počítání vidíme, že na určitých intervalech tato funkce roste a na jiných klesá. Právě to, kde roste a kde klesá zjišťujeme při výpočtech monotonií. My si ale běžně funkce nekreslíme, navíc v testech dostáváme funkce tak složité, že pro nás není možné si funkci načrtnout. Musíme postupovat analyticky, matematickým aparátem, kterým jsou derivace. Obrázek 12.1: Průběh funkce y = sin x


3. Jaký je vztah mezi funkcí a její derivací? Podívejme se lépe na místo, kde funkce roste (na druhém obrázku je zvýrazněn jen jeden interval, kde funkce y = sin x roste). 4. Soustřeďme se na chování derivace zadané funkce, což je y 0 = cos x, v místech, které jsme si vyznačili. 5. Nutně dospějeme k závěru, že v místech, kde původní, testovaná funkce f roste, je její první derivace f 0 nad osou x. Všechny body ležící v intervalu, kde zadaná funkce f roste mají na křivce první derivace f 0 kladnou funkční hodnotu (y-novou souřadnici). 6. Analogicky pro intervaly, kde funkce f klesá, jsou funkční hodnoty první derivace f 0 záporné. 7. Co se týče extrémů, tak v místech, kde je na funkci y = sin x (plné křivce) extrém (ať už se jedná o maximum či minimum) je funkční hodnota derivace, tedy funkce y = cos x (tečkovaná křivka) rovna nule (tedy leží přímo na ose x).

71

72

KAPITOLA 12. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ?

Obrázek 12.2: Rostoucí interval funkce y = sin x (vybrán jen jeden)


Obrázek 12.3: Průběh funkce y = sin x (plná) a funkce y 0 = cos x (tečkovaná)


12.2

Monotonie a zakřivenost (= konvexita a konkávita)

1. Dostaneme zadanou např. funkci y = ln(16 + 9x2 ). Při výpočtu zakřivenosti funkce potřebujeme spočítat druhou derivaci, abychom z ní vyčetli chování funkce na daných intervalech podobně jako u výpočtu monotonií, kde pracujeme s první derivací. Nyní pro zadanou funkci zjistíme jak monotonii, tak zakřivenost. Z obrázku krásně vidíme, kde funkce roste a kde klesá. Zároveň vidíme, kde je konvexní a konkávní. Místům, kde se růst mění v pokles a naopak se říká extrémy, kde se mění konvexita v konkávitu a obráceně pak inflexní (inflexe = ohyb) body (za předpokladu, že v tomto bodě má graf funkce tečnu, což je v našich příkladech splněno). 2. Přestože nás zajímá více konvexita a konkávita, prohlédneme si tuto funkci i z pohledu monotonie. Opět tu je

12.2. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST

73

Obrázek 12.4: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 )


zvýrazněná část rostoucí (klidně by to mohla být část klesající). Nyní čekáme, že derivace této funce, bude v místech růstu zadané funkce nad osou x. Je tomu skutečně tak? Obrázek 12.5: Rostoucí interval funkce y = ln(16 + 9x2 )


18x . Pokud si tuto funkci nakreslíme, zjistíme, že její průběh 16 + 9x2 je následující (viz Obrázek 12.6 – tečkovaná křivka):

3. Derivace funkce y = ln(16+9x2 ) je funkce y =

Skutečně je v místech růstu první funkce nad osou x a tu protíná právě v místě, kde má funkce y = ln(16 + 9x2 ) extrém. 4. Podíváme se na tu samou funkci z pohledu konvexity a konkávity. Na obrázku je zvýrazněna konvexní část křivky. Body, kde se průběh mění jsou tzv. inflexní (zároveň v nich má daná funkce tečnu, tedy vlastní derivaci).

74


Obrázek 12.6: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) (plná) a funkce y 0 =

18x 16+9x2

(tečkovaná)


Zatímco má křivka y = ln(16 + 9x2 ) jen jeden extrém, má dva inflexní body (extrém a inflexní bod nikdy nemohou být ve stejném místě). Obrázek 12.7: Konvexní průběh funkce y = ln(16 + 9x2 )


5. Nyní se podíváme, jak vypadá druhá derivace funkce y = ln(16 + 9x2 ). Je to y =

18(16 − 9x2 ) a po nakreslení (16 + 9x2 )2

je průběh druhé derivace takový (viz Obrázek 12.8 – čárkovaná křivka): 6. V místech, kde je funkce konkávní jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) druhé derivace záporné, intervaly konvexní mají druhou derivaci kladnou.


75

Obrázek 12.8: Průběh funkce y = ln(16 + 9x2 ) (plná) a funkce y 00 =

18(16−9x2 ) (16+9x2 )2

(čárkovaná)


Tabulka 12.1: Jak čteme z derivací Průběh funkce Konvexní Konkávní

Průběh druhé derivace rostoucí klesající

Znaménko druhé derivace + −

Tvar křivky S T

Tabulka 12.2 ukazuje rostoucí funkce, popř. jsou zvýrazněny intervaly, na kterých je průběh dané funkce rostoucí. Jak se na intervalech, kde je původní funkce rostoucí, chová první derivace? Funkční hodnoty jsou kladné – tj. nad osou x. U klesajících intervalů je tomu naopak, jak ukazuje Tabulka 12.3. V Tabulce 12.4 je znázorněno, kde se nachází druhá derivace na intervalu, na kterém je zadaná funkce konvexní – je kladná. A kde se nachází na intervalech, kde je původní funkce konkávní? Viz Tabulka 12.5 – funkční hodnoty jsou záporné. V Tabulce 12.6 lze spatřit nejen vztah mezi původní funkcí a její derivací, ale i vztah mezi derivacemi. Např. z třetí derivace můžeme vyčíst monotonii druhé derivace, zrovna tak, jako ze čtvrté derivace můžeme vyčíst konvexnost či konkávnost druhé derivace.

76


Tabulka 12.2: Rostoucí intervaly Zadaná funkce

⇒

První derivace

y=x

⇒

y0 = 1

y = ln x

⇒

y0 =

y = x2

⇒

y 0 = 2x

y = ex

⇒

y 0 = ex


1 x


77

Tabulka 12.3: Klesající intervaly Zadaná funkce

⇒

První derivace

y = x4

⇒

y 0 = 4x3

y = −x2 + 3

⇒

y 0 = −2x

y = sin x

⇒

y 0 = cos x

y = cos x

⇒

y 0 = − sin x


78


Tabulka 12.4: Intervaly konvexity Zadaná funkce

⇒

První derivace

⇒

Druhá derivace

y = x2

⇒

y 0 = 2x

⇒

y 00 = 2

y = x3 + 3

⇒

y 0 = 3x2

⇒

y 00 = 6x

y = ex

⇒

y 0 = ex

⇒

y 00 = ex

y = sin x

⇒

y 0 = cos x

⇒

y 00 = − sin x



79

Tabulka 12.5: Intervaly konvexity a konkávity Zadaná funkce

⇒

y = ln x

⇒

y = −x2 + 2

⇒

y=

1 x

y = sin x

⇒

Druhá derivace

⇒

y 00 = − x12

y 0 = −2x

⇒

y 00 = −2

⇒

y 0 = − x12

⇒

y 00 =

⇒

y 0 = cos x

⇒

První derivace y0 =

1 x


2 x3

y 00 = − sin x

80


Tabulka 12.6: Různé funkce a řada jejich derivací Zadaná funkce

První derivace

Druhá derivace

Třetí derivace

Čtvrtá derivace

y=2

y0 = 0

y 00 = 0

y 000 = 0

y 0000 = 0

y = 2x

y0 = 2

y 00 = 0

y 000 = 0

y 0000 = 0

y = 2x2

y 0 = 4x

y 00 = 4

y 000 = 0

y 0000 = 0

y = 2x3

y 0 = 6x2

y 00 = 12x

y 000 = 12

y 0000 = 0

y = 2x4

y 0 = 8x3

y 00 = 24x2

y 000 = 48x

y 0000 = 48


Kapitola 13

Monotonie

13.1

Návody k výpočtu

1. Nalezneme definiční obor – na každém intervalu definičního oboru funkce existuje a zde se tedy „nějak chováÿ (může být konstantní, rostoucí či klesající, konvexní či konkávní). Nutno podotknout, že však nemusí být ani rostoucí ani klesající a naopak může být chvíli rostoucí a chvíli klesající apod. Když nebude funkce ani růst ani klesat, pak se bude jednat o nějakou konstantní funkci (přímku rovnoběžnou s osou x). 2. Vypočteme 1. derivaci a upravíme ji. (Pozn.: V případě, že vyjde derivace rovna nule, pak se jedná o konstantní funkci, která není ani konvexní ani konkávní.) 3. Najdeme body, ve kterých je funkční hodnota derivace rovna nule či ve kterých derivace neexistuje (nulové body ze jmenovatele). 4. Z předchozího bodu nám vyjdou tzv. „podezřelé body.ÿ Klidně se může stát, že nevyjde žádný nulový bod (v takovém případě je funkce ryze rostoucí nebo ryze klesající), nebo se může objevit bod jeden či více (třeba 5). Tyto body (jedná se o konkrétní čísla) naneseme na osu. 5. Na osu nejprve zaneseme definiční obor, pak „podezřelé body.ÿ Nyní je potřeba zjistit znaménka funkčních hodnot první derivace. Vybereme z každého vzniklého intervalu číslo, to dosadíme do první derivace (za x). Vyjde-li + je funkce na daném intervalu rostoucí, vyjde-li znaménko − je klesající na daném intervalu.

13.2

Ukázkový příklad Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet monotonií 3 způsoby na jedné funkci.

1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2 . Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, kde funkce roste a kde klesá. Obrázek 13.1: Průběh funkce y = x2 y 3 2 1 x

−2 −1

1

2

• funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i • funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞) 2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme monotonii přes derivace, nikoli z obrázku. 81

82

KAPITOLA 13. MONOTONIE

(a) Definiční obor x ∈ R (b) Derivace zadané funkce je y 0 = 2x, což je nová funkce. My si ji nyní opět nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 13.2: Průběh funkce y 0 = 2x y 2 1 x

−2 −1 −1

1

2

−2

Derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu monotonií využívat. Když je na daném intervalu funkce rostoucí, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce klesá, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. • funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i • funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞) 3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: (a) Definiční obor x ∈ R (b) Derivace zadané funkce je y 0 = 2x (c) Zjištění nulových bodů – položíme první derivaci do rovnosti s nulou 2x = 0 x=0 (d) Zjištění znamének na intervalech, které vzniknou rozdělením číselné osy nulovými body. Nulový bod v našem případě vyšel jen jeden, x = 0. Máme tedy dva intervaly, (∞; 0i a h0; ∞). Jde tedy jen o to, zjistit průběh zadané funkce. Dosadíme vždy libovolně zvolené číslo z intervalu. + znamená, že funkce roste a − značí, že je funkce na daném intervalu klesající. (∞; 0i např. číslo −3 dosadíme číslo za x do první derivace y 0 = 2 · (−3); y 0 = −6 − 0 0 h0; ∞) např. číslo 5 dosadíme číslo za x do první derivace y = 2 · (5); y = 10 + • funkce y = x2 klesá na intervalu (∞; 0i • funkce y = x2 roste na intervalu h0; ∞) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!

13.3

Jednoduché příklady ze skript Zadání 1) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x

Výsledky 1X roste (−∞; −3i a h2; ∞)


Zadání

83

Výsledky 1X

klesá h−3; 2i

2) f (x) = x4 − 2x2 + 5

2X 2X

roste h−1; 0i a h1; ∞) klesá (−∞; −1i a h0; 1i

3) f (x) = x2 · ex

3X 3X

roste (−∞; −2i a h0; ∞) klesá h−2; 0i

4) f (x) = x3 · e−x

4X 4X

6X

roste (−∞; 3i klesá h3; ∞) √ √ roste −∞; − 3 a 3; ∞ √

√ klesá − 3; −1 a (−1; 1) a 1; 3

6X

klesá h−1; 0) a (0; 1i

7X

roste (−∞; −6i a h6; ∞) √ √ √ √

klesá −6; −2 3 a −2 3; 2 3 a 2 3; 6 16 roste 0; 5 16 ;∞ klesá (−∞; 0) a 5 3 roste −∞; − 4 3 1 klesá − ; 4 4

5) f (x) = x +

x x2 − 1

5X 5X

6) f (x) = 2x +

7) f (x) =

x2

2 x

x3 − 12

7X 8) f (x) =

(x − 2) · (8 − x) x2

8X 8X

9) f (x) = x + ln (1 − 4x)

9X 9X

10)

f (x) = x2 − ln x2

11)

f (x) =

1 + ln x x √

3x − x2

12)

f (x) =

13)

f (x) = arctg x − x

14)

f (x) = (x − 3)4 · (3x + 1)5

15)

f (x) = x + arccotg 2x

16)

f (x) =

17)

3x2 + 4x + 4 x2 + x + 1

f (x) = 2x −

√

4x + 8

10X 10X

roste (−∞; −1i a h1; ∞)

roste h−1; 0) a h1; ∞) klesá (−∞; −1i a (0; 1i

11X roste (0; 1i 11X klesá h1; ∞) 3 12X roste 0; 2 3 12X klesá ;3 2 13X klesá (−∞; ∞) 41 14X roste −∞; a h3; ∞) 27 41 14X klesá ;3 27 1 1 15X roste −∞; − a ;∞ 2 2 1 1 15X klesá − ; 2 2 16X roste h−2; 0i 16X klesá (−∞; −2i a h0; ∞) 7 17X roste − ; ∞ 4 7 17X klesá −2; − 4

84

KAPITOLA 13. MONOTONIE

Zadání 18)

Výsledky

f (x) = arcsin

2

18X roste h−1; 1i

x2 − 9 x2 − 1

20X roste h0; 1) a (3; ∞)

1−x 1 − 2x

21X roste

2x 1 + x2

−4x+3

19)

f (x) = 3x · ex

20)

1 f (x) = · ln 24

f (x) = arccos

21)

18X klesá (−∞; −1i a h1; ∞) ! √ + * √ 2 2 19X roste −∞; 1 − a 1+ ;∞ 2 2 * + √ √ 2 2 19X klesá 1 − ;1 + 2 2

20X klesá (−∞; −3) a (−1; 0i

21X klesá 22)

f (x) =

x2 ln x

(−∞; 0i 2 ;∞ 3

√ 22X roste h e; ∞) 22X klesá (0; 1)a (1;

23)

24)

13.4

f (x) = ln

2x 16 − x4

f (x) = arctg(x − 1)2

√

ei

23X roste (−∞; −2) 23X

klesá (0; 2)

24X 24X

roste h1; ∞) klesá (−∞; 1i

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 2

−4x+3)

1)

f (x) = 3x · e(x

2)

f (x) =

3)

f (x) = (x − 2) ·

4)

f (x) =

2 − 9x2 1 − 9x2

√

√

5−x

x · e−3x

Výsledky – funkce na intervalu: ! √ √ + * 2 2 1X roste −∞; 1 − a 1+ ;∞ 2 2 * + √ √ 2 2 1X klesá 1 − ;1 + 2 2 1 1 ;∞ 2X roste 0; a 3 3 1 1 2X klesá −∞; − a − ;0 3 3 3X 3X 4X 4X

p 4 − x2

5)

f (x) = 5 + 3 · ln

6)

f (x) = 3 − ln (2 − x − x2 )

5X 5X 6X

roste (−∞; 4i klesá h4; 5i 1 roste 0; 6 1 klesá ;∞ 6 roste(−2; 0i klesá h0; 2) 1 roste − ; 1 2


6X 7)

f (x) =

x2 2x − 1

7X 7X

8)

f (x) = ln

9)

f (x) =

2x + 3 3x − 1

x3 3 − x2

8X 9X 9X

p

24 − 2x − x2

10)

f (x) =

11)

f (x) = 1 + ln (6 − x − x2 )

10X 10X 11X 11X

12)

f (x) =

2 − 4x2 1 − 4x2

12X 12X

13)

14)

f (x) =

f (x) =

x2

x − 10x + 9

(3x + 2)2 1−x

15X

roste (−∞; −8i a h4; ∞)

15X

klesá h−8; −2) a (−2; 4i

16X 16X

roste h−6; −2i klesá h−2; 2i 1 roste ;∞ 2 1 klesá −∞; − 2

16)

p f (x) = 4 + 12 − 4x − x2

17)

f (x) = 2 + 3 · ln(4x2 − 1)

17X 17X

p

19)

f (x) = 2 − 3 · ln

20)

f (x) = (x − 3) ·

21)

f (x) = 1 −

22)

f (x) = 3 + 2 · ln (9x2 − 1)

√

25 −

9x2

x

p 10x − x2 − 21

18X

roste (−∞; 1) a (1; 2i

18X

klesá h2; 4) (4; ∞)

19X 19X

roste h0; ∞) klesá (−∞; 0i

20X 20X

roste h1; ∞) klesá h0; 1i

21X 21X

roste h5; 7i klesá h3; 5i 1 roste ;∞ 3 1 klesá −∞; − 3

22X 22X

23)

f (x) =

3x2 + 1 x2 − 1

roste h−6; 1i klesá h−1; 4i 1 roste −3; − 2 1 klesá − ; 2 2 1 1 roste 0; a ;∞ 2 2 1 1 klesá −∞; − a − ;0 2 2 klesá (−∞; −3i a h3; 9) a (9; ∞) 2 8 roste − ; 1 a 1; 3 3 8 2 a ;∞ klesá −∞; − 3 3

f (x) =

x x2 − 5x + 4

klesá(−∞; −3i a h3; ∞)

13X

15)

f (x) =

√ √ √ √

roste −3; − 3 a − 3; 3 a 3; 3

roste h−3; 1) a (1; 3)

14X

18)

roste (−∞; 0i a h1; ∞) 1 1 klesá 0; a ;1 2 2 3 1 klesá −∞; − a ;∞ 2 3

13X

14X

(4 − x)2 2+x

1 klesá −2; − 2

23X

roste (−∞; −1) a (−1; 0i

23X

klesá h0; 1) a (1; ∞)

85

Kapitola 14

Konvexita a konkávita

14.1

Návody k výpočtu

Tyto návody nemusí platit úplně obecně, jsou uzpůsobeny požadavkům technické fakulty a příkladům, které se objevují v testech. Předpokladem použití tohoto návodu je, že funkce f má spojitou druhou derivaci na vnitřku definičního oboru (všechny funkce z písemek tuto vlastnost mají).   druhá derivace je na daném intervalu rovna 0  lineární Funkce na určitých intervalech mohou být konvexní znaménko druhé derivace je na daném intervalu +   konkávní znaménko druhé derivace je na daném intervalu − 1. Zjistíme definiční obor – na tomto intervalu funkce existuje a zde se tedy může „nějak chovat,ÿ může být např. konvexní či konkávní. Nutno podotknout, že však nemusí být ani konvexní ani konkávní. Pak bude jejím grafem na tomto intervalu přímka. . 2. Vypočteme 1. derivace a upravíme ji tak, aby se nám dobře derivovala podruhé. 3. Vypočteme 2. derivace (tj. opětovně zderivujeme 1. derivaci) a upravíme ji pro potřeby následujících výpočtů. Budeme zjišťovat „nulové body z 2. derivaceÿ, upravíme tedy funkci tak, aby se nám s ní dobře počítalo. Vyjdeli 2. derivace nenulová konstanta (neobsahuje proměnnou, zpravidla značenou x), pak je funkce konvexní nebo konkávní na celém definičním oboru. Vyjde-li 2. derivace 0 , pak je funkce lineární (tedy není ani konvexní ani konkávní). 4. Budeme zjišťovat znaménko druhé derivace, pak mohou nastat 2 situace: z 2. derivace nevyjde žádný podezřelý bod V tomto případě je druhá derivace stále + nebo stále − , z čehož vyplývá, že je funkce buď ryze konvexní nebo ryze konkávní. z 2. derivace vyjde jeden či více podezřelých bodů např. ve chvíli, kdy je 2. derivace rovna nějaké nenulové konstantě. Funkce je buď konvexní nebo konkávní na celém R, záleží na znaménku. „Podezřelé bodyÿ se v případě, že se kolem nich mění konvexita v konkávitu nazývají „inflexní bodyÿ. 5. Získané údaje zakreslíme na číselnou osu, nejprve na osu zaneseme definiční obor a označíme, zda krajní body patří či nikoli do definičního oboru, tedy patří • a nepatří ◦. Pak zaneseme na číselnou osu nulové body z čitatele a ze jmenovatele. 6. Nyní je třeba zjistit „znaménka funkčních hodnot 2. derivace.ÿ Zjišťujeme znaménka tak, že vezmeme nějaké libovolné číslo z intervalu vymezeného nulovými body (v rámci definičního oboru!), který vznikl zanesením nulových bodů na číselnou osu, vybereme číslo z tohoto intervalu a dosazujeme jej do druhé derivace. Vyjde-li + je funkce konvexní, vyjde-li − je konkávní. Jak si snadno zapamatovat, jaké znaménko se vztahuje k jakému typu průběhu funkce je uvedeno na 3. záložce v souboru „Konvexita.ÿ

14.2


Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet konvexity 3 způsoby na jedné funkci. 86


87

1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x2 . Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, zda a kde je funkce konvexní či konkávní. Obrázek 14.1: Průběh funkce y = x2 y 3 2 1 x

−2 −1

1

2

• funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞) 2. Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme konvexitu přes derivace. Postup je: (a) Definiční obor x ∈ R (b) 1. derivace zadané funkce je y 0 = 2x, což je nová funkce. Z ní čteme a ji si kreslíme při výpočtu monotonií. (c) 2. derivace zadané funkce je y 00 = 2, je již 3. funkce. Tu si nyní nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 14.2: Průběh funkce y 00 = 2 y 3

1 −2 −1

x 1

2

I druhá derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu konvexit využívat. Když je na daném intervalu funkce konvexní, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce konkávní, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. (zároveň, když se nad celou věcí zamyslíme, lze z druhé derivace vyčíst monotonii první derivace ,). • funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞)

3. Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: (a) Definiční obor x ∈ R (b) 1. derivace zadané funkce je y 0 = 2x (c) 2. derivace zadané funkce je y 00 = 2 (d) Zjištění nulových bodů – v tomto případě se v druhé derivace nevyskytuje žádné x, odpadá dopočet nulových bodů (nemá smysl pokládat např. v našem případě dvojku rovnou nule, z toho nic nevzejde), v takovém případě, nevyskytuje-li se v druhé derivace proměnná, můžeme očekávat 3 situace:

88

KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA

i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní V tomto případě se jedná o situaci (i), neboť funkční hodnota druhé derivace je rovna pro kterékoli libovolné x je kladná (rovna +2). Kdy nastává jaká situace? i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní (y 00 = kladná konstanta) ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní (y 00 = záporná konstanta) iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní (y 00 = nula), nule se rovná buď na celém definičním oboru nebo v místech nulových bodů (tzv. inflexních bodů) • funkce y = x2 je konvexní na celém intervalu (−∞; ∞) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!

14.3

Memo pomůcka

Jak si zapamatovat, jaké znaménko přísluší jakému typu průběhu funkce a jak taková funkce vypadá? Při vyšetřování, zda je funkce na daném intervalu konvexní či konkávní se opíráme o funkční hodnoty druhé derivace na daném intervalu. Co znamená, když jsou funkční hodnoty kladné a co když jsou záporné?

KONVEXITA

+

Jak si jednoduše zapamatovat, že zrovna znaménko plus (v druhé derivaci!) odpovídá konvexnímu průběhu dané funkce? Plus je v podstatě křížek a ve slově konveXita také jeden je ,. I průběh funkce je schovaný již v názvu konvexita. Všimněte si, že průběh se velice podobá písmenku U nebo V, což je opět obsaženo přímo ve slově konVexita. Obrázek 14.3: Průběh ryze konvexní funkce y 3 2 1 −2 −1

x 1

2

14.4. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ

KONKÁVITA

89

—

Jak je to u konkávity? Krom vylučovací metody, že to musí být „ta druháÿ, tu jsou následující pomůcky. Průběh se podobá písmenku A. KonkÁita. I zde lze tedy odvozovat od názvu typu průběhu. A znaménko mínus? Průběh fce by nám mohl připomenout převrácenou misku. Je otočená dnem vzhůru, co v ní bylo se vysypalo a proto smutné znaménko mínus /, či oblíbené „do konkávní kávu nenaliješÿ. Obrázek 14.4: Průběh ryze konvexní funkce y −2 −1

1

2

x

−1 −2 −3

14.4

Ukázkový příklad zkouškové úrovně

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 11. příklad. y = e−2x

2

1. Spočítáme definiční obor x ∈ R 2. Spočítáme první derivaci a upravíme 2

y 0 = e−2x (−4x) = −4x · e−2x

2

3. Spočítáme druhou derivaci a upravíme 2

2

2

y 00 = −4 · e−2x +(−4x) · e−2x (−4x) = (vytýkáme. . . )= −4 e−2x (−1 + 4x2 ) 4. Položíme druhou derivaci rovnu nule a spočítáme nulové body 2

−4 e−2x (−1 + 4x2 ) = 0 −1 + 4x2 = 0 4x2 = 1 1 x2 = 4 x = ±

1 (máme 2 „podezřeléÿ body) 2

5. Tyto nulové body zaneseme na osu a budeme zjišťovat znaménka funkčních hodnot druhé derivace.

90


Obrázek 14.5: Číselná osa y 00

−

+ −

1 2

+ +

1 2

1 1 a + ;∞ Funkce je konvexní na intervalech −∞; − 2 2 1 1 Funkce je konkávní na intervalu − ; + 2 2

Obrázek 14.6: Průběh funkce y = e−2x

2


růžová (plná) = zadání petrolejová (tečkovaná) = první derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení monotonie funkce zelená (čárkovaná) = druhá derivace – z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení zakřivenosti funkce

14.5


Výsledky

3

2

4

3

1 1X konvexní − ; ∞ 2 1 1X konkávní −∞; − 2

1) f (x) = 2x + 3x − 36x

2) f (x) = 3x + 8x − 24x

2

2X konvexní (−∞; −2i a

2 ;∞ 3


Zadání

91

Výsledky 2X konkávní

3) f (x) = x +

√ 3

x5

4) f (x) = x · (1 − x)2

5) f (x) = 2 + 6) f (x) = x ·

√ 3

√

x−2

1+x

1

7) f (x) = e x

8) f (x) = (x − 1) · e3x 9) f (x) = 2x + e−x 10) f (x) = e2x−2x

2

2

11) f (x) = (x2 − 4x + 5) · e−x x 12) f (x) = arcsin 1 − 2 2 13) f (x) = x · ln x 14) f (x) = 1 − ln(x2 − 9) 1 + ln x x x−1 16) f (x) = ln x+2

15) f (x) =

17) f (x) = 2x2 + sin x + 1 18) f (x) =

sin x 2 + cos x

19) f (x) = sin2 x 3 sin 2x 8 21) f (x) = cos x − ln(cos x)

20) f (x) = 4 sin x +

22) f (x) = arctg x − x 23) f (x) = x arccotg x 24) f (x) = x + 2 arccotg x 25) f (x) = arccos(1 − x)

2 −2; 3

3X konvexní h0; ∞) 3X konkávní h−∞; 0i 2 4X konvexní −∞; 3 2 4X konkávní ;∞ 3 5X konvexní (−∞; 2) 5X konkávní h2; ∞) 6X konvexní h−1; ∞) D 1 E 7X konvexní − , 0 a (0; ∞) 2 1E 7X konkávní − ∞; − 2 Nepočítáno:

92


Zadání

Výsledky

26) f (x) = arcsin

14.6

√

1 − 2x


Zadání 1) f (x) = x e−x

Výsledky 1X konvexní h2; ∞) 1X konkávní (−∞; 2i

2) f (x) = ln (1 + x2 )

2X konvexní h−1; 1i 2X konkávní (−∞; −1i a h1; ∞) ! * r + *r 1 1 a ;∞ 3X konvexní −∞; − 2 2 * r r + 1 1 3X konkávní − ; 2 2 4 4 4X konvexní − ; 3 3 4 4 4X konkávní −∞; − ;∞ a 3 3 3 5X konvexní e 2 ; ∞ D 3 5X konkávní 0; e 2 1 6X konvexní − ; 0 a (0; ∞) 2 1 6X konkávní −∞; − 2 3 7X konvexní −∞; − 2 3 7X konkávní − ; ∞ 2

3) f (x) = x + e1−x

2

4) f (x) = ln 16 + 9x2

5) f (x) =

ln x x

1

6) f (x) = e x

7) f (x) = x + arctg (2x + 3)

8) f (x) = x − 2 · arctg x

7 9) f (x) = x · ln x − 12 4

10) f (x) = 2x · arctg x 11) f (x) = 2x + e

−x2 2

8X konvexní h0; ∞) 8X konkávní (−∞; 0i 9X konvexní h1; ∞i 9X konkávní (0; 1i 10X konvexní (−∞; ∞) 11X konvexní (−∞; −1i a h1; ∞) 11X konkávní h−1; 1i


12)

f (x) = e

13)

f (x) =

−2x2

x2

x −1

93

1 1 12X konvexní −∞; − a + ;∞ 2 2 1 1 12X konkávní − ; + 2 2 13X konvexní (−1; 0i a (1; ∞) 13X konkávní (−∞; −1) a h0; 1)

Kapitola 15 Souhrnný příklad Ukážeme si nyní výpočet všech základních charakteristik funkcí na dvou příkladech. Zároveň si je nakreslíme a tak z obrázku snadno poznáme, kde křivky rostou, kde klesají, zda a kde mají maxima či inflexní body. Uvidíme tak souvislost mezi obrázky a výpočty. Porovnávejte průběžně výsledky výpočtu s realitou na obrázku.

Předpis: Tabulka funkčních hodnot: Definiční obor:

První příklad f : y = −x2 + 8x − 12 x y

1 −5

2 0

3 3

4 4

5 3

Druhý příklad g : y = 2x3 − 7 6 0

x y

0 −7

1 −5

2 9

D: x ∈ R

D: x ∈ R

První derivace:

y 0 = −2x + 8

y 0 = 6x2

Nulové body z první derivace:

−2x + 8 = 0

6x2 = 0

x=4

x=0

y0

+

y0

+4

Číselná osa: Monotonie:

−

+

1,5 0

+ 0

funkce roste na intervalu (−∞; 4i

funkce roste na intervalu (−∞; +∞)

funkce klesá na intervalu h4; +∞) Extrémy:

E1 =[4; 4] je maximum

žádný extrém

Druhá derivace:

y 00 = −2

y 00 = 12x

Nulové body z druhé derivace:

−2 = 0

12x = 0

−2 6= 0 ⇒ žádné nulové body

x=0

y 00 Číselná osa: Zakřivenost:

− −∞

y 00 +∞

funkce je konkávní na intervalu (−∞; +∞)

−

+ 0

funkce je konkávní na intervalu (−∞; 0i funkce je konvexní na intervalu h0, +∞)

Inflexní body:

žádný inflexní bod

Obrázek:

94

I2 =[0;−7]

Kapitola 16 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné

16.1

Návody k výpočtu

1. Zadání se sestává z předpisu funkce a uzavřeného intervalu. V případě, že není interval zadán, shoduje se s definičním oborem funkce a v tomto případě je třeba definiční obor vypočítat. Naším úkolem je nalézt globální maxima a minima, tj. největší a nejmenší hodnoty funkce na daném intervalu (nebo na definičním oboru), a dále lokální maxima a minima (extrémy) funkce. Jedná se o konkrétní body na grafu a my hledáme jejich souřadnice. Maxima jsou body na grafu s nejvyšší funkční hodnotou (y-novou souřadnicí) a minima s nejnižší funkční hodnotou. 2. Lokální extrémy • Zderivujeme zadanou funkci. • Najdeme tzv. „podezřelé bodyÿ – body, v nichž je derivace rovna nule nebo neexistuje. • Pro „podezřelé body,ÿ musíme zjistit, zda se jedná o lokální extrémy a když ano, tak jaké jsou kvality (zda se jedná o maximum či minimum, zda je ostré či neostré). Tabulka 16.1: Určení kvality extrémů Dle pozice y-nové souřadnice

Umístění v intervalu

Unikátnost souřadnice

maximum minimum

lokální (neboli relativní) globální (neboli absolutní)

ostré neostré

• Naneseme na číselnou osu zadaný interval, dále „podezřelé bodyÿ body z první derivace. Může se stát, že některé body vyjdou mimo zadaný interval, pak si jich vůbec nevšímáme. • Zjišťujeme znaménka v intervalech rozdělených těmito body – postupujeme nyní obdobně jako u výpočtu monotonií – vybereme si číslo z každého intervalu, dosadíme vždy do první derivace a zapíšeme k danému intervalu znaménko, které nám vyšlo. + znamená rostoucí, − klesající průběh funkce. Jestliže funkce nejprve roste a potom klesá, jedná se o lokální maximum (čteme zleva), jestliže je nejprve klesající a potom rostoucí, vyhodnotíme kvalitu extrému jako lokální minimum. Může se stát, že nám vyjdou stejná znaménka vedle sebe. V tom případě v daném bodě není lokální extrém (proto se bodům říká „podezřelé,ÿ nemáme jistotu, že v nich nějaký lokální extrém najdeme). 3. Globální extrémy • Spočteme funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu (v krajních bodech nemůže být lokální extrém, pouze globální) a v „podezřelých bodechÿ. • Porovnáme funkční hodnoty (tedy y-nové souřadnice) a jednoduše vidíme, kde je číslo nejvyšší a kde nejnižší (! záleží na souřadnici y nikoli x). V případě, že nejmenší nebo největší hodnota leží uvnitř intervalu, jedná se o globální a zároveň lokální extrém. Je-li největší/nejmenší hodnota v bodě na hranici intervalu, jedná se pouze o extrém globální. 95

96

16.2

KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

Extrémy – možné intervaly

Při výpočtu extrémů mohou nastat různé situace. U zápisu výsledků se musíme vyjádřit k tomu, o jaký typ extrému se jedná, zda jde o: lokální × globální, maximum × minimum, ostré × neostré. Zda se jedná o maximum či minimum zjistíme z y-nové souřadnice. Je rozdíl, v tom, jestli se jedná o lokální nebo globální extrém. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze maximum. Extrém je lokálním maximem jestliže funkce v něm nabývá maximální y-nové hodnoty na jeho bezprostředním okolí (oboustranném). Jestliže se největší hodnota nabývá pouze v tomto jediném bodě, jedná se o extrém ostrý. U globálního extrému funkce záleží na intervalu, na kterém danou funkci uvažujeme. Funkce může mít globální maximum v bodě, ve kterém má lokální maximum, nebo v krajním bodě (případně obou krajních bodech) příslušného intervalu. Globální maximum je ostré, pokud se na daném intervalu nabývá pouze v jednom bodě, jinak je neostré. Vše si ukážeme na konkrétním příkladě. Máme zadanou funkci y = 2 − x2 , která má na celém svém definičním oboru jen jeden extrém a tím je ostré lokální maximum se souřadnicemi [0; 2]. Tento bod je neměnný, nicméně významnost a pojmenování se budou lišit s každou změnou intervalů. Nyní si ukážeme příklad na čtyřech vybraných intervalech: h0; 1i

h−3; −1i

h−2; 2i

Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.1) Zadaný interval h0; 1i

Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.2) Zadaný interval h−3; −1i

h−1; 3i

16.2. EXTRÉMY – MOŽNÉ INTERVALY

97

Obrázek 16.1: Dva globální extrémy na hranicích intervalu h0; 1i


Tabulka 16.2: Extrémy – body z případu 16.1 na intervalu h0; 1i

[0; 2]

Extrém, který vyjde z derivace: ostré globální maximum

[0; 2] [1; 1]

Body na hranicích intervalů: ostré globální maximum ostré globální minimum

Obrázek 16.2: Dva globální extrémy na hranicích intervalu h−3; −1i


Neostré globální extrémy jsou na hranicích (Obrázek 16.3) Zadaný interval h−2; 2i

98


Tabulka 16.3: Extrémy – body z případu 16.2 na intervalu h−3; −1i

[0; 2] [−3; −7] [−1; 1]

Extrém, který vyjde z derivace: bod je mimo interval, takže nás nezajímá Body na hranicích intervalů: ostré globální minimum ostré globální maximum

Obrázek 16.3: Globální neostré extrémy jsou na hranicích h−2; 2i


Ostré lokální maximum uvnitř intervalu a ostré globální minimum na hranici (0brázek 16.4) Zadaný interval h−1; 3i

Obrázek 16.4: Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici h−1; 3i



99

Tabulka 16.4: Extrémy – body z případu 16.3 na intervalu h−2; 2i

[0; 2] [−2; −2] [2; −2]

Extrém, který vyjde z derivace: ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: neosté globální minimum neosté globální minimum

Tabulka 16.5: Extrémy – body z případu 16.4 na intervalu h−1; 3i

[0; 2] [−1; 1] [3; −7]

16.3

Extrém, který vyjde z derivace: ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: není na zadaném intervalu ani max ani min ostré globální minimum


Např. máme zadaný předpis funkce y =

−x2 a interval x ∈ h−5; 3i 4

1. Tento předpis je tak jednoduchý, že není problém jej nakreslit okamžitě. Obrázek 16.5: Průběh funkce y = y −2 −1

1

2

−x2 4

x

−1 −2

Hodnoty grafu zjistíme nalezením funkčních hodnot – zjistíme konkrétní souřadnice bodů. Dosazujeme libovolná čísla z definičního oboru za x a dopočítáváme hodnoty y. Z obrázku je zřejmé, že nejnižším bodem této funkce na zadaném intervalu x ∈ h−5; 3i je bod 25 o souřadnicích −5; − a nejvyšší je v bodě [0; 0], tedy 4 25 • maximum je v bodě −5; − 4 • minimum je v bodě [0; 0] 2. Ve zkouškových testech ale jak známo nejsou funkce tak jednoduché, abychom si je mohli takto nakreslit a proto musíme použít matematický aparát. V tomto případě příkladů se počítá ve dvou krocích. Počítájí se lokální a globální extrémy. Budeme hledat extrémy na zadaném intervalu

100


Tabulka 16.6: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x y

−5 − 25 4

−2 −1

0 0

1

−x2 4

2 1

− 14

3

5

− 94

− 25 4

a následně budeme zjišťovat jejich kvalitu – zda se jedná o maximum či minimum. Tuto informaci můžeme zjistit 2 způsoby: • průběhem funkce, když funkce kolem bodu – nejdříve klesá a potom roste, jedná se o MINIMUM – nejdříve roste a potom klesá, jedná se o MAXIMUM • znaménkem 2. derivace, je-li: – kladné v daném bodě, jedná se o MINIMUM – záporné v daném bodě, jedná se o MAXIMUM (a) Lokální extrémy 1 x Spočteme první derivaci y 0 = − · 2x = − 4 2 Z této derivace zjistíme nulové body x − = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0 Jedná se o jediný bod o souřadnicích [0;0] 2 Kvalitu nyní zjistíme oběma možnými způsoby: • Průběhem funkce. Spočteme monotonii funkce. Protože počítáme lokální extrémy, počítáme s ∞, nicméně v závěru se budeme soustředit pouze na zadaný interval. −x2 Na intervalu od (−∞; 0i funkce y = roste. 4 −x2 Na intervalu od h0; ∞) funkce y = klesá. 4 • Znaménko 2. derivace v daném bodě, spočteme tedy 2. derivaci 1 y 00 = − ani nemusíme nic dosazovat, vyšla hned záporná konstanta, záporné znaménko 2 indikuje MAXIMUM. (b) Hranice intervalu pro spodní hranici x = −5 ⇒ y = − pro horní hranici x = 3 ⇒ y = −

25 4

9 4

Tabulka 16.7: Porovnání funkčních hodnot funkce y = x y

−5 − 25 4

−x2 4

0 0

A opět při použití různých postupů docházíme ke stejnému závěru, tedy že:

3 − 94


101

25 • maximum je v bodě −5; − 4 • minimum je v bodě [0; 0]

102


16.4


Zadání 1) f (x) =

Výsledky √

9 − x2

1X ostré globální a zároveň lokální maximum f (0) = 3

na intervalu h−3; 3i

1X neostré globální minimum v bodě f (−3) = 0 1X neostré globální minimum v bodě f (3) = 0 r 8 8 4 2X ostré lokální a zároveň globální maximum v bodě f = 3 3 3 √ 2X ostré globální minimum v bodě f (−2) = −2 6

√

2) f (x) = x 4 − x na intervalu h−2; 4i 3) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5 na intervalu h−2; 3i 4) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x + 9 na 1. intervalu h−4; 4i

3X ostré lokální a zároveň globální maximum f (−1) = 12 3X ostré lokální a zároveň globální minimum f (2) = −15 4aX ostré globální a zároveň lokální maximum v bodě f (−3) = 90 4aX ostré globální a zároveň lokální minimum v bodě f (2) = −35

na 2. intervalu h−1; 1i

4bX ostré globální maximum v bodě f (−1) = 46 4bX ostré globální minimum f (1) = −22

na 3. intervalu h−5; 5i

4cX ostré globální maximum f (5) = 154 4cX ostré globální a zároveň lokální minimum f (2) = −35

16.5


Zadání

Výsledky 5−20x−2x2

1) f (x) = −2 · 10 na intervalu h1; 3i

+ log 4

2) f (x) = −x · ln x + 2x na intervalu h1; e2 i 2

1X ostré globální maximum v bodě [3; −2 · 10−73 + log 4 1X ostré globální minimum v bodě [1; −2 · 10−17 + log 4] 2X ostré lokální maximum v bodě [e; e] 2X ostré globální minimum v bodě [e2 ; 0]

3) f (x) = −4 · e3x −12x+5 + ln 4 na intervalu h0; 3i

3X ostré globální maximum v bodě [2; −4 · e−7 + ln 4] 3X ostré globální minimum v bodě [0; −4 · e5 + ln 4]

4) f (x) = 10 · arctg (x2 − 2x + 2) + arctg 2 na intervalu h−1; 2i √ 5) f (x) = 5 · 4x2 + 4x + 3 + 10

4X ostré globální maximum v bodě [−1; 10 · arctg 1 + ar 4X ostré globální minimum v bodě [1; 11 · arctg 2] √ 5X ostré globální maximum v bodě 1; 5 11 + 10 1 √ 5X ostré globální minimum v bodě − ; 5 2 + 10 2 √ 6X ostré globální a lokální maximum v bodě −3; −12 √ 6X ostré lokální minimum v bodě −10; −12 51 − 5

na intervalu h−1; 1i √ 6) f (x) = −12 · x2 + 6x + 11 − 5 na intervalu h−10; 0i

16.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 2

7) f (x) = 4 e−x +12 + log 10 na intervalu h0; 10i 8) f (x) = −10 · log (4x2 − 20x + 27) + 5 na intervalu h−3; 3i √ 9) f (x) = 7 · 4x2 + 20x + 26 − 6 na intervalu h−3; 0i 10) f (x) = −6 arctg (2x2 + 20x + 5) + arctg 5 na intervalu h−6; 0i

7X ostré globální a lokální maximum v bodě [0; 4 e12 + lo 7X ostré globální minimum v bodě [10; 4 e−88 + log 10] 5 8X ostré globální maximum v bodě ; −10 · log 2 + 5 2 8X ostré globální minimum v bodě [−3; −10 · log 123 + 5 5 9X ostré globální maximum v bodě − ; 1 2√ 9X ostré globální minimum v bodě 0; 7 26 − 6

10X ostré globální maximum v bodě [−5; −6 · arctg −45 10X ostré globální minimum v bodě [0; −6 · arctg 5 + arc Nepočítáno:

1 11) f (x) = x3 − x2 + 2 3 na intervalu h−2; 1i 2x2 − 1 x4 1 ;2 na intervalu 2 1 13) f (x) = 2 +2 4x + 4x + 3 na intervalu h−1; 1i

12) f (x) =

1 1 14) f (x) = x3 + x2 − 2x 3 2 na intervalu h−3; 3i 15) f (x) = −2 · ln (x2 + 4x + 7) + 3 na intervalu h−3; 0i 16) f (x) = −2 · arctg(x2 + 2x + 2) − tg na intervalu h−2; 1i √ 17) f (x) = 7 · 4x2 − 4x + 3 + 2 na intervalu h0; 2i 18) f (x) = 4 · log (4x2 − 12x + 12) + 5 na intervalu h−2; 2i

π 12

103

Kapitola 17 Lokální extrémy dvou proměnných

17.1

Návody k výpočtu

Potřebujeme sestavit matici:



2

2



∂ z ∂ z  ∂x2 ∂x∂y    2  ∂ z ∂ 2z  ∂x∂y ∂y 2 1. Definiční obor, u našich příkladů většinou R × R x⇒

∂z ∂x

3. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle x ⇒

∂2z ∂x2

2. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle

y⇒

∂z ∂y

5. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle y ⇒

∂2z ∂y 2

4. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle

6. Spočteme smíšenou parciální derivaci – derivace (2) dle y nebo derivaci (4) dle x ⇒

∂2z ∂x∂y

7. Spočteme souřadnice „podezřelého boduÿ – vyřešíme soustavu rovnic ∂z =0 ∂x ∂z =0 ∂y 8. Kontrola, že podezřelý bod leží uvnitř definičního oboru, tzn. spočteme z-ovou souřadnici 9. Spočteme determinant matice, která nám vznikla 10. Mohou nastat tři situace: (a) det = 0 ⇒ nelze zjistit kvalitu extrému touto metodou (b) det < 0 ⇒ sedlový bod (c) det > 0 ⇒ rozhodneme o kvalitě extrému na základě prvního prvku v matici 11. V případě (c) mohou nastat dvě situace: ∂2z > 0 ⇒ v nalezeném bodě je MINIMUM ∂x2 ∂2z (b) < 0 ⇒ v nalezeném bodě je MAXIMUM ∂x2 ∂2z (c) =0 nemůže nastat ∂x2 (a)

104

∂2z ∂x2


17.2

105


Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 1. příklad.

f (x, y) = 3 −

x2 y2 − − 2x y 2

Potřebujeme sestavit matici: 

∂2z  ∂x2   ∂2z ∂x∂y 1 2 3 4 5 6

7

∂z ∂x ∂2z ∂x2 ∂2z ∂x∂y ∂z ∂y ∂2z ∂y 2 ∂2z ∂y∂x

= −2 ·

 ∂2z ∂x∂y   ∂2z  ∂y 2

x 2x −2=− −2 y y

2 y 2x = 2 y =−

1 1 x2 = −x2 · − 2 − · 2y = 2 − y y 2 y 1 2x2 2 = x · −2 · 3 − 1 = − 3 − 1 y y 2x ∂2z = 2 (kontrolní výpočet, musí se rovnat – bod 3) y ∂x∂y Soustava rovnic – nalezení podezřelého bodu

2x − 2 = 0 ⇒ x = −y y x2 x2 (−z)2 −y = 0 ⇒ 2 −y = −y 2 y y y2

−2 ·

x = −1 7 Podezřelý bod má souřadnice −1; 1; , 2 7 Poslední z-ovou souřadnici jsme získali tak, že jsme konkrétní hodnoty x a y dosadili do zadání. 2  2  2x −  y  y2  2x  2x2 − − 1 y2 y3 8

y = 1;

Nyní dosadíme x = −1 a y = 1:

−2 −2

det

−2 −2

−2 −3

!

základě velikosti

−2 −3

!

= −2 · −3 − (−2) · (−2) = 6 − 4 = 2 det > 0 ⇒ v bodě je extrém. O jeho kvalitě rozhodneme na

∂2z , což je −2 tedy se jedná o maximum. ∂x2 7 v bodě −1; 1; je ostré lokální maximum 2

106

17.3

KAPITOLA 17. LOKÁLNÍ EXTRÉMY DVOU PROMĚNNÝCH

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) f (x, y) = 3 −

Výsledky 7 1X −1; 1; ostré lokální MAX 2

x2 y2 − − 2x y 2

2) f (x, y) = 3 − 6x2 + 5xy − 2y 2 − 8x + 11y

2X

[1; 4; 21] ostré lokální MAX

3) f (x, y) = 3 − 2x2 − y 2 + xy − 9x + 4y

3X

[−2; 1; 14] ostré lokální MAX

4) f (x, y) = x2 + 3y 2 − 3xy − 9x + 15y + 5

4X

5) f (x, y) = 7 + x2 + xy − y 2 + 6x − 9y

5X

6) f (x, y) = −x2 − 6y 2 + xy + 8x − 19y + 1

6X

[3; −1; −14] ostré lokální MIN 3 24 − ; − ; −30 sedlový bod, det < 0 5 5 78 28 615 ; − ; ostré lokální MAX 23 23 23

Nepočítáno: 7) f (x, y) = x2 + 3y 2 − 2xy − 4x + 4y + 9

Kapitola 18

Vázané extrémy

18.1


Výsledky

1) f (x, y) = 2x − 3 e y + 3

M:

3y − 2 ln x + 3 = 0

x+3 f (x, y) = √ y+3 3) f (x, y) = y + arctg(x + 2)

M:

y − x2 − 3 = 0

M:

y · (x + 1) − 1 = 0

4) f (x, y) = e x − y − 2

M:

y − ln x − 3 = 0

M:

x−y+1=0

M:

y − x2 − 4 = 0

M:

y − 2x = 0

2)

y

5) 6) 7)

e f (x, y) = x + y − +1 e x−3 f (x, y) = √ y+2 f (x, y) = 3y + e−3x −2

107

1 1X ostré lokální vázané MIN e; − ; 3 e +3 3 5 2X ostré lokální vázané MAX 2; 7; √ 10 3X ostré lokální vázané MAX[−2; −1; −1] 1 4X ostré lokální vázané MIN ; 2; −3 e

5X ostré lokální vázané MIN [1; 2; 4 − e] 1 6X ostré lokální vázané MIN −2; 8; − √ 10 7X ostré lokální vázané MIN ln 0, 5 2 ln 0, 5 . ; ; = −2, 44 3 3

Kapitola 19

Asymptoty

19.1

Vzorce asymptot

Asymptoty grafů funkcí rozlišujeme na: • svislé asymptoty (asymptoty bez směrnice), • šikmé asymptoty (asymptoty se směrnicí).

Svislá asymptota Je-li funkce y = f (x) definovaná pro x 6= a, a ∈ R, potom přímka o rovnici x = a je svislou asyptotu grafu funkce f právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita funkce f v bodě a.

Šikmé asymptoty Přímky o rovnicích y = ki x + qi , i = 1, 2, jsou šikmými asymtotami grafu funkce y = f (x) právě tehdy, jestliže lim (f (x) − ki x − qi ) = 0,

(19.1.1)

x→±∞

tj. f (x) , x→±∞ x

ki : lim

(19.1.2)

qi : lim [f (x) − kx]

(19.1.3)

x→±∞

(poznamenejme, že graf funkce může mít dvě šikmé asymptoty, jednu v −∞ a jednu v +∞).

19.2


Najděte rovnice všech asymptot grafů následujících funkcí: Zadání 1) 2) 3) 4)

1 f (x) = 4 − x2 x3 + 3 f (x) = 2 x −9 1 x−2 2 x + 3x + 7 f (x) = x+1 f (x) = 2x −

Výsledky 1X

x=2

x = −2

y=0

2X

x=3

x = −3

y=x

3X

x=2

y = 2x

4X

x=3

x = −3

108

y=x


Zadání 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

Výsledky

2x2 −1 1 1 1 f (x) = + + x+2 x x−2 ln x f (x) = −x x cos x f (x) = 3x − x x f (x) = √ 3 x2 − 1 f (x) =

109

x2

f (x) = x2 · 2−x √ x · x2 − 1 f (x) = 2x2 − 1 x · ex f (x) = x e −1 2x f (x) = arccos 1 + x2 1

f (x) = x · e x2

5X

x=1

x = −1

y=2

6X

x = −2

x=0

x=2

7X

y = −x

x=0

8X

y = 3x

x=0

9X

x=1

x = −1

10X

y=0

11X

y=

1 2

y=−

12X

y=x

y=0

13X

y=

14X

x=0

15X

Nemá asymptoty

16X

x=1

17X

y =x+

y=0

1 2

π 2 y=x

√

15) 16) 17) 18) 19) 20) 21)

19.3

x2 + 5x x + 2 2x + 4 2 x + x · arctg x f (x) = x−1 1 f (x) = x + arccos x x f (x) = 2x + arctg 2 ln x f (x) = x + x ln x f (x) = √ x f (x) =

18X

f (x) = 1 + e−x · sin 2x

1 y =x+ π+1 2

π 2 π y = 2x + 2

y = 2x −

19X

x=0

y=x

20X

x=0

y=0

21X

y=1

1 y =x− π+1 2

π 2

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) y =

Výsledky 5 − 2x − 11x 4+x 3

2) y =

3) y =

4) y =

2

1X

rovná:

x = −4

1X

šikmá:

y = −11x + 42

2X

rovná:

x=2

2X

šikmá:

y =x+1

3X

rovná:

x = −3

3X

šikmá:

y = −x − 3

4X

rovná:

x=2

4X

šikmá:

y = −9x − 41

2

x − 3x (2 − x)2

1 − 6x − x x+3

2

3 − 5x2 − 9x3 (2 − x)2

110

KAPITOLA 19. ASYMPTOTY

Nepočítáno: 1 5) y = 5x − 2x − 1

6) y =

4x2 + 8x + 1 2x − 1 3 2x + 3x2 − 1 y= x3 7 + 5x − x2 y= x−4 6 3x + 2x5 + 5 y= x5 2 x − 3x + 5 y= x+2

4x2 − 3x − 2 1−x 2 3x + 10x + 5 = x+2 2 2x + x − 4 = 2−x (x − 2)2 = 3−x 2x2 − x − 5 = x+2 4 − 5x + x2 = 2−x

7) y =

8) y =

9)

10)

y

12)

y

14)

y

16)

y

18)

y

11) 13) 15) 17)

y = x − arctg(x + 1) +

1 x

7x3 − 5x2 + 2 (x − 3)2

Kapitola 20

Taylorův polynom

20.1

Vzorce Taylorova polynomu

Tn (x) = f (xa ) +

f 00 (xa ) f 000 (xa ) f n (xa ) f 0 (xa ) (x − xa )1 + (x − xa )2 + (x − xa )3 + · · · + (x − xa )n 1! 2! 3! n! (20.1.1)

Kde: n x xa f (xa ) f n (xa )

20.2

– – – – –

stupeň polynomu proměnná, za kterou se nic nedosazuje x-ová souřadnice zadaného bodu y-ová souřadnice zadaného bodu (tzv. funkční hodnota) je n-tá derivace v bodě xa

Návody k výpočtu

• Dostaneme zadanou funkci f (x) • Dostaneme zadanou x-ovou souřadnici bodu A = [a, f (a)]. Jedná se o bod dotyku zadané funkce a hledaného Taylorova polynomu

1. Dopočítání y-nové souřadnice (f (a)) 2. Budeme potřebovat všechny derivace až do řádu jako je stupeň zadaného Taylorova polynomu 3. Spočítáme všechny derivace v bodě – vezmeme vždy x-ovou souřadnici zadaného bodu A a dosadíme ji do každé derivace. Vyjdou konstantní hodnoty (konkrétní čísla), které budeme dosazovat do vzorce. 4. Dosazení do vzorce

20.3

Ukázkové příklady

20.3.1

Ukázkový příklad 1

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 2. příklad. y = (x − 1) · ln x + 1,

bod x = 1

Pohybujeme se v prostoru s jednou proměnnou – máme proměnnou volitelnou a závislou a tedy každý bod má dvě souřadnice, x a y (někdy též značená f (x)). My známe pouze souřadnici x bodu a, nicméně počítáme Taylorův polynom a vzoreček pro něj, který je uveden dole, říká, že budeme na konci potřebovat obě. Nejprve tedy spočítáme druhou souřadnici zadaného bodu a. Tuto souřadnici zjistíme dosazením známé souřadnice do zadáné funkce. Dopočítání druhé souřadnice 111

112

KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM

y0 = (1 − 1) · ln 1 + 1 = 1 NÁHODOU! vyšly obě souřadnice stejné. Počítáme tedy Taylorův polynom 3. stupně pro bod [1; 1]. Do vzorečku dosazujeme obě hodnoty, [x0 ; y0 ]. 1. derivace y 0 = (1 − 0) · ln x + (x − 1) ·

1 x−1 + 0 = ln x + x x

1. derivace v bodě x 0 y(a) = ln 1 +

1−1 =0+0=0 1

2. derivace y 00 =

1 (1 − 0) · x − (x − 1) · 1 1 x−x+1 1 x+1 1 = + = + 2 = + x x2 x x2 x x x2

2. derivace v bodě x 00 y(a) =

2 1+1 = =2 12 1

3. derivace y 000 =

(1 + 0) · x2 − (x + 1) · 2x x2 − 2x2 − 2x −x2 − 2x x · (−x − 2) −x − 2 = = = = 4 4 4 4 x x x x x3

3. derivace v bodě x 000 y(a) =

−3 −1 − 2 = = −3 13 1 Tabulka 20.1: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 Stupeň derivace

Derivace v bodě

Koeficienty Taylorova polynomu

1.

0

0 1!

=0

2.

2

2 2!

=1

3.

−3

−3 3!

=

−3 6

= − 12

1 T3 = 1 + (x − 1)2 − (x − 1)3 2

Za samotné x se v tomto vzorečku NIC nedosazuje. Pouze se do výsledku opisuje (podobně jako u výpočtu tečen a normál). Kdybychom dosazovali jak za x tak za x0 , tak by bylo výsledkem jedno číslo. Taylorův polynom je ale nová funkce, ve které se samozřejmě musí objevit proměnná.

20.3.2

Ukázkový příklad 2

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 11. příklad.


113

Obrázek 20.1: Průběh funkce y = (x − 1) · ln x + 1 (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)


5

y = x2 −

1.

√

2 − x,

bod a = 1

Dopočítání druhé souřadnice 5

y0 = 1 2 −

√

2−1=1−1=0

[xa ; f (xa )] vyšly [1;

0]

1. derivace y0 =

1 5 3 1 5 3 x2 − √ · (−1) = x 2 + √ 2 2 2 2−x 2 2−x

1. derivace v bodě x = 1 0 y(x) =

1 5 1 6 5 3 12 + √ = + = =3 2 2 2 2 2 2−1

2. derivace 1 −2 2√2−x · (−1) 5 3 1 15 1 1 1 15 √ 1 1 2 √ y = · x + = x2 + √ · √ = x+ √ · = 2 2 2 2 4 4 4(2 − x) (2 2 − x) 2 − x (2 2 − x) 2−x 00

15 √ 1 x+ 3 4 4(2 − x) 2 2. derivace v bodě x = 1 00 y(x) =

1 15 1 16 15 √ 1+ + = =4 3 = 4 4 4 4 2 4(2 − 1)

3. derivace y 000 =

−4 · 32 (2 − x) · (−1) 2 · 3(2 − x) 6(2 − x) 15 1 15 15 · √ + = √ + = √ + = 2 3 3 4 2 x 16(2 − x) 16(2 − x)3 8 x 8 x 4(2 − x) 2

15 3(2 − x) 15 3 = √ + = √ + 8 x 8(2 − x)3 8 x 8(2 − x)2 3. derivace v bodě x = 1

15 3 15 3 18 9 000 y(a) = √ + = + = = 8 8 8 4 8 1 8(2 − 1)2

114

KAPITOLA 20. TAYLORŮV POLYNOM

Tabulka 20.2: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 2 Stupeň derivace

Derivace v bodě

Koeficienty Taylorova polynomu

1.

3

3 1!

=3

2.

4

4 2!

=2

3.

9 4

=

6

9 4

3!

T3 = 0 + 3 · (x − 1) + 2 · (x − 1)2 +

5

Obrázek 20.2: Průběh funkce y = x 2 −

√

9 4

=

3 8

3 · (x − 1)3 8

2 − x (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná)


20.4


Počítejte Taylorův polynom 3. stupně v zadaném bodě a. Zadání

Výsledky

1) f (x) =

20.5

√

x

1 1 1 · (x − 1) − · (x − 1)2 + · (x − 1)3 2 8 16

a=1

1X

T3 (x) = 1 +

2) f (x) = x3 + 3x2 − x − 3

a = −2

2X

T3 (x) = 3 − (x + 2) − 3 · (x + 2)2 + (x + 2)3

3) f (x) = x10 − x6 + x4

a=1

3X

T3 (x) = 1 + 8 · (x − 1) + 36 · (x − 1)2 + 104 · (x − 1)3


Zadání

Výsledky √

1 9 1 T3 (x) = 1 + x + x2 + x3 2 8 16 1 T3 = 1 + (x − 1)2 − · (x − 1)3 2 1 T3 (x) = 1 + 2 · (x − 4) + · (x − 4)3 6 8 T3 (x) = 1 + 3 · (x − 1)2 − · (x − 1)3 3

1)

f (x) = x2 + 2 −

1−x

a=0

1X

2)

f (x) = (x − 1) · ln x + 1

a=1

2X

3)

f (x) = (x − 2) · ln(x − 3) + 1

a=4

3X

4)

f (x) = x2 − ln(2x − 1)

a=1

4X

5)

f (x) = (x + 2) · ln(x − 3) − 1

a=4

5X

T3 (x) = −1 + 6(x − 4) − 2 · (x − 4)2 +

6)

f (x) = x 2 −

a=1

6X

T3 (x) =

3

√

3 − 2x

5

· (x − 1) +

7

· (x − 1)2 +

7

3 · (x − 4)3 2 · (x − 1)3


9)

f (x) = x2 − 2x + 1 + cos(3x)

10)

f (x) = x · e−2x

11)

f (x) = x 2 −

12)

f (x) = x2 + x + 3 − e2x+1

13)

f (x) =

14)

f (x) = x2 + 3 + e2x−1

5

√

2−x

1 √ + 3 + 2x x

√

x x · sin 2

15)

f (x) = cos 2x +

16)

f (x) =

17)

f (x) = sin x + 2 · cos 2x x √ 3 f (x) = 2 · x 2 − ln 2

18) 19) 20) 21)

1 · sin 2x + cos x 2

f (x) = 3 + 2 ln(9x2 − 1) π π + cos 2x − f (x) = sin x + 3 6 x 8 f (x) = + ln x 2

a=0

9X

a=0

10X

a=1

11X

a=

1 2

a = −1 a=

1 2

π a= 2 π a= 4 π a= 4 a=2 a=0 a=0 a=2

115

7 T3 (x) = 2 − 2x − x2 2 T3 (x) = x · (1 − 2x + 2x2 )

27 · (x − 1)3 2 1 1 12X T3 (x) = · (15 − 4 e2 ) + (2 − 2 e2 ) · x − + 4 2 2 3 1 4 1 +(1 − 2 e2 ) · x − − e2 · x − 2 3 2 T3 (x) = 3 · (x − 1) + 2 · (x − 1)2 +

1 3 T3 (x) = − · (x + 1)2 − · (x + 1)3 2 2 2 17 1 1 14X T3 (x) = +3· x− +3· x− + 4 2 2 3 4 + · x − 12 3 13X

Nepočítáno:

Kapitola 21

Neurčitý integrál

21.1

Vzorce pro integrování Z

1.

Funkce Z 3. Z 4. Z 5. Z 6.

k · f (x) dx = k · a exponenty

Z

f (x) dx

Funkce Z 9. Z 10. Z 11. Z 12.

0 dx = C 1 dx = x + C α+1

x + C, α 6= −1 α+1 x a ax dx = +C ln a Logaritmy a exponenciála Z 1 7. dx = ln |x| + C Z x xα dx =

ex dx = ex +C

8.

Pravidla pro integrováníZ Z Z 2. (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx vedoucí na goniometrické funkce cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C

dx = tg x + C cos2 x dx = − cotg x + C sin2 x Funkce Z vedoucí na cyklometrické funkce dx √ = arcsin x + C 13. 1 − x2 Z dx 14. = arctg x + C 1 + x2 Vzorce pro použití metod

Metoda per partes Neurčitý integrál Z Z 15. u0 · v = u · v − u · v 0

Určitý integrál Zb Zb 0 b 16. u · v = [u · v]a − u · v 0 a

Metoda substituce Neurčitý integrál Z g(x) = t 17. f (g(x)) · g 0 (x) dx = 0 g (x) dx = dt

Určitý integrál g(b) Z g(x) = t 0 f (g(x)) · g (x) dx = 0 18. g (x) dx = dt

a

Z = f (t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C a → g(a) b → g(b)

g(b) Z g(b) f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a)) = g(a)

g(a)

Speciální Z možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: Z 0 g (x) 1 19. f (ax + b) dx = · F (ax + b) + C pro (F 0 (x) = f (x)) 20. dx = ln |g(x)| + C a g(x)

21.2

Ukázkové jednoduché příklady (substituční metoda)

x2 = 4t2 1 dx = 1) x = 2t 4 + x2 dx = 2 dt 1 x · arctg +C 2 2 x 1 substituce zpět: · arctg +C 2 2 Z

Z Z Z 1 1 1 1 1 · 2 dt = · 2 dt = · dt = · arctg t + C = = 4 + 4t2 4 · (1 + t2 ) 2 1 + t2 2

116

21.3. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ

2)

Z

(sin x)2 cos x dx = sin x 2 4 + sin x cos dx

1 substituce zpět: · arctg 2

3)

Z

√

e2x dx = ex −1

Z

sin x 2

= 4t2 = 2t = 2 dt

+C

117

Z Z Z 2 dt 1 2 dt 1 dt = = · arctg t + C = · = 4 + 4t2 4 · (1 + t2 ) 2 1 + t2 2

√ ex −1 = t ex −1 = t2 x x e ·e √ x dx = e −1 ex = t2 + 1 ex dx = 2t dt

Z 3 Z t2 + 1 t 2 · 2t dt = 2 · (t + 1) dt = 2 · +t +C = t 3

√ x ( e −1)3 √ x =2· + e −1 + C 3 x √ x √ x e −1 e −1 · (ex −1) √ x substituce zpět: 2 · + e −1 + C = 2 · e −1 · +1 +C 3 3

√ 1 + ln x = t Z 2 3 Z Z t −1 ln x t 2 2 1 + ln x = t √ 4) dx = · 2t dt = 2 · (t − 1) dt = 2 · −t +C = t 3 x · 1 + ln x 1 dx = 2t dt x √ √ 1 + ln x (1 + ln x) · 1 + ln x √ x − 1 + ln + C = 2 · 1 + ln x · −1 +C = substituce zpět: 2 · 3 3 √ ln x − 2 2 · 1 + ln x · +C 3

21.3

Ukázkový příklad zkouškové úrovně

Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako 13. příklad. Z

3x2 dx 49 + 25x2

řešíme metodou substituce, záleží nyní na volbě, co budeme substituovat 49 + 25x2 50x dx

= =

x dx

=

x2

=

→ volba substituce → derivace zvolené substituce – zvlášť levá a zvlášť pravá strana

t dt dt 50 t − 49 25

→ z druhého řádku si vyjádříme zvlášť x dx, protože jej potřebujeme pro dosazení do zadání → vyjádříme si x2 pro substituci (vyjádříme jej z výrazu PŘED derivací)

Po samotné subtituci se nesmí v příkladu vyskytovat původní proměnná!! =

Z

3 1250

3·

t−49 25

t Z

dt −

dt 3 · = 50 1250 3 · 49 1250

Z

Z

t − 49 3 dt = t 1250

Z

49 1− t

1 3t 3 · 49 dt = − ln |t| + C t 1250 1250

dt =

118

KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL

Substituce zpět 3 (49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C 1250 Obrázek 21.1: Průběh funkcí y 0 =

3 3x2 ay= (49 + 25x2 ) − 49 ln(49 + 25x2 ) + C 2 49 + 25x 1250


21.4

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Z 1) x · (ln x + x) dx 2) 3) 4) 5) 6)

Z

ln(sin x) dx sin2 x Z sin4 x · cos x x · sin x + dx x Z 3x2 · ln x dx Z

Z

Výsledky 1 x3 x2 · ln x − + +C 1X 2 2 3 2X

− cotg x · [ln(sin x) + 1] − x + C

3X

sin x − x · cos x +

sin5 x +C 5

√ arcsin x √ dx x

5X

x3 +C 3 √ √ √ 2 x · arcsin x + 2 1 − x + C

ln(cos x) dx cos2 x

6X

tg x · ln (cos x) + tg x − x + C

4X

x3 · ln x −

21.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET Z

dx sin2 x · (81 + 49 cotg2 x) Z cos x 3 dx 8) x · ln x + 3 √ 2x · 3 3 · sin x − 1 Z √ 9) arctg 8x − 1 dx Z √ 10) e− 4x−5 dx 7)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)

25) 27) 29) 31) 33) 35)

Z

Z

√

dx 3 − 5x2

cos2

Z

7 dx p x · 9 − 4 · tg2 x

3x2 dx 49 + 25x2 Z 2x dx 1 + x4 Z p x · arctg 2x2 − 1 dx Z

2 + ln x dx x Z √ cos 2 − x dx Z 2 2x3 · ex dx Z arcsin x dx Z

7 · sin x dx 36 + 25 · cos2 x Z (3x + 6) · cos x √ dx 4 + sin x · (x + 2) Z e2x dx 121 + 4 · e4x Z x √ dx x2 + 1 Z √ sin 2x − 1 dx Z

Z

Z Z

Z

Z

√

3x2 + 22x + 37 dx x2 + 7x + 12 cos x · (x +

√

1 + 4 · sin x) dx

119

1 7 · arctg · cotg x + C 63 9 4 x 1 1 p 8X · ln x − + · 3 (3 · sin(x) − 1) + C 4 4 3 √ 1 √ 9X x · arctg 8x − 1 − · 8x − 1 + C 8 √ √ 1 10X · (− 4x − 5 − 1) · e− 4x−5 +C 2 √ ! 1 5x 11X √ · arcsin √ +C 5 3 7 2 12X · arcsin · tg x + C 2 3 7X

−

3 · (49 + 25x2 ) − 49 · ln(49 + 25x2 ) + C 1250

13X 14X

arctg x2 + C

15X

p x2 · arctg 2x2 − 1 − 2

16X 17X

√

2x2 − 1 +C 4

ln2 x +C 2 √ √ √ −2 · 2 − x · sin 2 − x − 2 · cos 2 − x + C 2 · ln |x| +

2

18 X

ex · (x2 − 1) + C

19 X

x · arcsin x +

p 1 − x2 + C

7 5 − · arcsin · cos x + C 5 6 √ 6 · 4 + sin x + C

20 X 21 X

1 2 · e2x · arctg +C 44 11 p 23 X x2 + 1 + C 22 X

√ √ √ − 2x − 1 · cos 2x − 1 + sin 2x − 1 + C

24 X

Nepočítáno: Z 26) cos x · x + 28)

arcsin3 x − 3x √ dx 1 − x2

30)

x3 + 3x2 − 5x + 4 dx x2 + 3x − 10

32)

3 dx x · (25 + 64 · ln2 x)

34)

x2 + 8x + 6 dx x2 + 3x − 4

36)

Z

Z

1 sin3 x

x2 dx x2 − 3x + 2

dx

2x3 + 6x2 + 7x + 8 dx x2 + 3x + 2 √ Z 2 − cotg x sin x · 1 − 9x + dx sin3 x Z −x3 − x2 + 23x − 3 dx x2 + x − 20 Z 3x2 − 19x + 36 dx x2 − 7x + 12

120

KAPITOLA 21. NEURČITÝ INTEGRÁL

37) 39) 41) 43) 45) 47) 49) 51) 53) 55) 57) 59) 61) 63) 65) 67) 69)

Z

Z Z

Z

Z

Z

Z

2x2 − 5x − 13 dx x2 − 4x − 5

38)

−x2 + 7x − 17 dx x2 + 5x + 6

40)

x2 dx 2 x − 5x + 6

42)

arccos 5x dx

44)

√

e

2−x

dx

cos x dx 9 + 49 · sin2 x

cos x p dx 16 − 36 · sin2 x Z √ 1 + x · ln x dx x· √ 1 − x2 Z 3 2x − 4x2 − 4x + 1 dx x2 − x + 2 Z 10x − 2 dx 2 x − 4x + 13 Z −x3 − 8x2 − 11x + 3 dx x2 + 5x + 14 Z 8x + 4 dx x2 − 2x + 5 Z √ arctg x dx Z

Z Z

Z

√

ex dx 64 − 49 · e2x

e−

√

2x

46) 48) 50) 52) 54) 56) 58) 60) 62) 64)

dx

66)

(2x + 3) · ln x dx

68)

√

4x − 1 dx

Z

arcsin 2x dx

Z

arctg 2x dx

Z

x3 − 2x2 − 23x − 14 dx x2 + 2x − 24

Z

2x2 + 8x − 2 dx x2 + 2x − 15

Z

3x3 + 15x2 + 14x + 11 dx x2 + 5x + 4

Z

x2 + 6x − 2 dx x2 + 3x − 4

Z Z Z Z

Z

Z

Z

Z

−x2 + 7x − 17 dx x2 − 5x + 6

√ sin 3x + 5 dx √

e

2x

dx

arcsin √

e

x

2+3x

2

dx

dx

1 (2x + 3) · 3 + √ 3 2 x + 3x x

dx

x3 · arctg x dx

x3 dx 1 − x4 √ Z 2 + cotg x sin x · 1 + 9x + dx sin3 3x Z arccos 4x dx √

Kapitola 22

Určitý integrál

22.1

Návod na výpočet určitého integrálu

Určitý integrál má narozdíl od neurčitého vymezené hranice. Vychází konkrétní čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje „ +C ÿ. Určitý integrál vyjadřuje hodnotu mezi osou x a zadanou přímkou.

Příklady s konstantou Zadání: y = 5

Hranice: h0, 6i

Výpočet z Obrázku 22.1: Jedná se v podstatě o obdélník, výsledek dostaneme výpočtem strana krát strana. 5 · 6 = 30. Nebo můžeme jednoduše spočítat počet dílčích čtverečků. Z 6 Výpočet integrálem: 5 dx = [5x]60 = [5 · 6 − 5 · 0] = 30 − 0 = 30 0

Zadání: y = −5 Hranice: h0, 6i

Výpočet z Obrázku 22.2: Jde o stejný obrazec, ovšem pod osou x. Výsledek je tedy stejný, jen s opačným znaménkem. Z 6 Výpočet integrálem: −5 dx = [5x]60 = [(−5) · 6 − (−5) · 0] = −30 − 0 = −30 0

Obrázek 22.1: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i


Příklady s přímkou Zadání: y = x

Výpočet z Obrázku 22.3: Zaprvé lze spočítat jednotlivé čtverečky. Obrázek obsahuje 10 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních čtverců). Očekávaný výsledek je tedy 12,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhelník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorce strana krát strana 5·5 25 = = = 12,5 p. j. 2 2 2 121

122

KAPITOLA 22. URČITÝ INTEGRÁL

Hranice: h0, 5i

Výpočet integrálem:

Z5 0

Zadání: y = x

Hranice: h−5, 0i

x dx =

h x2 i 5 2

0

=

h 52 2

−

02 i 25 = − 0 = 12, 5 2 2

Výpočet z Obrázku 22.4: Plochy po obou stranách osy y jsou stejné a tedy se navzájem odečtou. Z5 h x2 i 5 h 52 (−5)2 i 25 25 Výpočet integrálem: x dx = = = − − =0 2 −5 2 2 2 2 −5

Zadání: y = x

Hranice: h−5, 5i

Výpočet z Obrázku 22.5: Jde o stejný trojúhelník jako na Obrázku 22.3, výsledek má ovšem opět opačné znaménko. Z0 h x2 i 0 h 02 25 (−5)2 i Výpočet integrálem: x dx = = =0− − = −12, 5 2 −5 2 2 2 −5

22.1. NÁVOD NA VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU

Obrázek 22.2: Průběh funkce y = −5 a vymezení plochy v hranicích h0, 6i


Obrázek 22.3: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i


123

124


Obrázek 22.4: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h−5, 0i





22.2

125

Jednoduché příklady ze skript Zadání Z1 3x e +2 1) ex

Výsledky dx

1X

e3 +3 e −4 2e

0

π

2)

Z4

cos2 x

dx

2X

π 1 + 8 4

3)

Ze

x+2 2x

dx

3X

e +1 2

0

1

1

4)

Z2

arctg 2x

dx

4X

0

Z2

3x · sin x

dx

5X

3

6)

Z2

x+1 x2 − 3x

dx

6X

5 − · ln 2 3

7)

Zx

arcsin

7X

3 π−3 2

8)

Z8

e

8X

3 e4 − e2

9)

Z0

dx 4x2 − 9

9X

−

− 12

π

5)

0

1

0

√

x

2x

3

dx

dx

2

ln 5 12

−1

π

10)

Z2

sin4 x · cos x

dx

10X

1 5

11X

3 8

12X

4 15

13X

3π + 2 9

14X

3 · ln(9) −

15X

1 − · ln 3 2

0

2

11)

Ze

12)

Zπ

cos2 x · sin3 x

Z0

2x · cos 3x

Z2

x2 · ln(1 + x3 )

ln3 x x

dx

e

dx

0

13)

dx

−π 2

14)

dx

1

3π

15)

Z2 π 2

cos x 4 − sin2 x

dx

2 7 · ln(2) − 3 3

126


16)

Zln 3 √

ln

ex +9 e−x x

dx

16X

π 36

17X

15 4

18X

√ 4 √ 2 3− · 2 3

19X

32 3

20X

2π

21X

eπ −2 5

22X

√ √ 3 3π −2 3 4

3

π 2

17)

Z

cos x sin5 x

π 6

dx

π

18)

Z2

√

2 + cos x · sin x

dx

0 √

19)

Z8

√

20)

√

2x3 x2 + 1

dx

3

Zπ

(1 − x2 ) · x

dx

0

π

21)

Z2

e2x · cos x

dx

0 √

Z3

x4 3 + x2

23)

Z3

2x2 + 3x − 2 x

dx

23X

1 · ln 5

24)

Z0

(2x + 3) · e−x

dx

24X

3 e −5

Z2

√

25X

8 3

26)

Z1

x+3 √ 3 x

26X

51 10

27)

Z∞

3x2 − 2x x

27X

√ ln 3

Z0

4 + x2 x

dx

28X

π 4

Z∞

2x x2 + 1

dx

29X

Diverguje

Z2

x 3x − 2

dx

30X

Diverguje

31)

Z1

arcsin x √ 1 − x2

dx

31X

π2 8

32)

Ze

dx

32X

2

22)

dx

0

2

4 3

−1

25)

x x−1

dx

1

dx

0

dx

1

28)

−∞

29)

−∞

30)

−∞

0

1

x·

√

ln x x


33)

Z∞

sin 2x

127

dx

33X

Diverguje

34X

π 4

35X

1

36X

π

37X

π 2

0

34)

3 Z2 √

35)

Z∞

9 − 4x2 x

dx

0

e−x

dx

0

36)

Z∞

x2 + 2x + 2 x

dx

−∞

37)

Z1

√ (2 − x) · 1 − x x

Z1

ln x

dx

38X

−1

tg x

dx

39X

Diverguje

40X

π 2

41X

3 2

42X

1 ln 2

dx

0

38)

0

π

39)

Z2 0

40)

Z∞

4x2 + 1 x

dx

−∞

41)

Z1

√ 3

42)

Z∞

2−x

43)

Z∞

x · ln2 x

dx

43X

Diverguje

44)

Z2

√

x 2−x

dx

44X

8 3

Z∞

ex 9 + ex

45X

Diverguje

46)

Z1

ln2 x

46X

2

47)

Z∞

x · e−2x

dx

47X

3 −2 ·e 4

48)

Z∞

x · cos x

dx

48X

Diverguje

49X

Diverguje

dx 1−x

0

dx

0

1

−2

45)

dx

0

dx

0

1

0

49)

Z3 1

p

1 (x − 1)3

dx

128


50)

Z∞

arctg3 x 1 + x2

51)

Z∞

x · arctg x

dx

50X

π4 64

51X

Diverguje

0

dx

1

22.3

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Z1 1 1) (2x + 3) · 3x + √ dx 3 x2 + 3x 0

2 3

2)

Nepočítáno:

√ 3−1

Z

−1

x2

10 dx + 2x + 5

Výsledky 1X

. = 11,38849207043

Kapitola 23

Aplikace určitého integrálu

23.1

Vzorce aplikovaného integrálu

Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami

P =

Zb

pro f (x) ≥ 0 na ha, bi

f (x) dx,

(23.1.1)

a

P =

Zb

(f (x) − g(x)) dx,

pro f (x) ≥ g(x) na ha, bi

(23.1.2)

a

Délka křivky l=

Zb p

1 + (f 0 (x))2 dx

(23.1.3)

a

Plášť rotačního tělesa

S = 2π ·

Zb

f (x) ·

a

p

1 + (f 0 (x))2 dx

(23.1.4)

Objem rotačního tělesa V =π·

Zb

f 2 (x) dx

a

129

(23.1.5)

130

23.2

KAPITOLA 23. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P

Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání – obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami který je samozřejmě možno graficky znázornit. Výsledná čísla vychází v plošných jednotkách (p. j.). U aplikace vychází konkrétní nezáporná čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje „ +C ÿ. V tomto souboru jsou ukázány příklady vždy pouze s jednou křivkou. Počítáme tedy obrazec mezi křivku a osou x.

Příklady s konstantou Zadání: y = 5

Hranice: h0, 5i

Výpočet z Obrázku 23.1: Jedná se v podstatě o čtverec takže klasické strana krát strana. 5 · 5 = 25 p. j. Z5 Výpočet integrálem: 5 dx = [5x]50 = [5 · 5 − 5 · 0] = 25 − 0 = 25 p. j., což 0

Zadání: y = 5

Hranice: h−1, 5i

mimochodem odpovídá počtu jednotlivých čtverečků ve vymezené ploše (aditivita integrálů). Výpočet z Obrázku 23.2: Jde o obdélník o stranách 5 a 6, výsledek je tedy 30 p. j. Z5 Výpočet integrálem: 5 dx = [5x]5−1 = [5 · 5 − 5 · (−1)] = 25 + 5 = 30 p. j. −1



Příklady s přímkou

23.2. NÁVOD NA VÝPOČET PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI P131

Obrázek 23.2: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích h−1, 5i


Zadání: y = x

Hranice: h0, 5i

Výpočet z Obrázku 23.3: Zaprvé lze prostě spočítat jednotlivé čtverečky. Obrázek obsahuje 10 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních čtverců). Očekávaný výsledek je tedy 12,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhelník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorce strana krát strana 5·5 25 = = = 12,5 p. j. 2 2 2 Z5 h x2 i 5 h 5 2 02 i 25 Výpočet integrálem: x dx = − − 0= 12,5 p. j. = = 2 0 2 2 2 0

Zadání: y = x

Hranice: h−5, 5i

Výpočet z Obrázku 23.4: Vidíme že se v podstatě jedná o dva totožné trojúhelníky kdy už jsme v předešlém příkladě spočítali obsah jednoho z nich, takže můžeme jen předchozí výsledek vynásobit dvěma. Nebo si v hlavě spojíme trojúhelníky do čtverce. Výpočet integrálem: Tento příklad je trochu odlišný od ostatních, neb se část křivky na zadaném intervalu dostává pod osu x. Musíme tedy výpočet rozdělit a spočítat dané plochy zvlášť, neboť se VŽDY musí odečítat spodní křivka od horní. Výpočet první části obsahu. Obsah plochy nemůže být záporný. Z0 h x2 i 0 h 02 (−5)2 i 25 25 x dx = = − =0− ⇒ 2 −5 2 2 2 2

−5

Výpočet druhé části obsahu. Z5 h x2 i5 h 52 (0)2 i 25 x dx = = − = 2 0 2 2 2 0

Zadání: y = 5 − x

Sečteme obě plochy. 25 25 + = 25 p. j. 2 2 Ve zkouškových příkladech se nestane, že bychom museli příklad takto rozdělovat. Máme vždy zadané alespoň dvě funkce a vždy je jasné která je horní a která spodní. 5·5 25 Výpočet z Obrázku 23.5: A náš oblíbený = trojúhelník potřetí 2 2 a naposledy.

132


Hranice: h0, 5i

Výpočet integrálem: [5 · 5 − 5 · 0] −

Z5

(5 − x) dx =

0

Z5 0

5 dx −

Z5

x dx = [5x]50 −

0

2

25 02 i = (25 − 0) − − − 0 = 25 − 12, 5 = 12,5 p. j. 2 2 2

h 52

Obrázek 23.3: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i




Příklady s posunutou přímkou

h x2 i5 0

=


Obrázek 23.5: Průběh funkce y = 5 − x a vymezení plochy v hranicích h0, 5i


Zadání: y = x + 2

Hranice: h0, 5i

Výpočet z Obrázku 23.6: Obrazec si rozdělíme na spodní obdelník a vrchní trojúhelník. Opět můžeme jednoduše spočítat malé čtverce, obdelník se skládá z 10 čtverců a trojúheník jich obsahuje 12,5. Výsledná plocha obrazce je 22,5 p. j. Nebo lze spočítat obsah obdelníku 2 · 5 = 10 a trojúhelníku, který je 12,5 a opět dílčí obsahy sečíst. Z5 Z5 Z5 h x2 i5 Výpočet integrálem: (x + 2) dx = x dx + 2 dx = + [2x]50 = 2 0 0 0 0 h 52 25 02 i − + [2 · 5 − 2 · 0] = − 0 + (10 − 0) = 12, 5 + 10 = 22,5 p. j. 2 2 2

Obrázek 23.6: Průběh funkce y = x + 2 a vymezení plochy v hranicích h0, 5i


134


Příklady s parabolou Zadání: y = x2

Hranice: h0, 2i

Výpočet z Obrázku 23.7: Nyní začneme mít problémy s přesným určováním výsledků z obrázku. Každopádně stále dokážeme výsledek alespoň přibližně odhadnout. V tomto případě máme jeden celý čtverec a pak čtyři částečné. Výsledek je necelých 3 p. j. Z2 h x3 i2 h 23 03 i 8 = = − 0 = 2,67 p. j. Výpočet integrálem: x2 dx = − 3 0 3 3 3 0

Zadání: y = x2

Hranice: h−2, 0i

Výpočet z Obrázku 23.8: Zadaná funkce je osově souměrná, vyznačená plocha je identická s předchozí. Z0 h 03 h x3 i 0 (−2)3 i 0 (−8) 8 Výpočet integrálem: x2 dx = = = − − = = 3 −2 3 3 3 3 3 −2

2,67 p. j. Zadání: y = x2 Hranice: h−2, 2i

Výpočet z Obrázku 23.9: 3 2 Z2 x 23 (−2)3 8 −8 8 8 Výpočet integrálem: x2 dx = = − = − = + = 3 −2 3 3 3 3 3 3 −2

16 = 5, 34 3

Obrázek 23.7: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h0, 2i



Obrázek 23.8: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 0i


Obrázek 23.9: Průběh funkce y = x2 a vymezení plochy v hranicích h−2, 2i


136

23.3


Návod na výpočet délky křivky l

Kýženým výsledkem je délka křivky na vymezeném intervalu, která samozřejmě vychází v délkových jednotkách (d. j.).

Příklady s konstantou Zadání: y = 2 Hranice: h0, 3i

Výpočet z Obrázku 23.10: Zde snad ani není co dodávat. Z3 p Z3 p Z3 √ 0 2 2 Výpočet integrálem: 1 + ((2) ) dx = 1 + (0) dx = 1 dx = Z3

0

0

0

1 dx = [x]30 = 3 − 0 = 3 d. j.

0



Příklady s přímkou Zadání: y = x

Hranice: h−2, 2i

Výpočet z Obrázku 23.11: Úhlopříčka čtverce o stranách rovných jedné je √ √ rovna 2. Čtverce jsou čtyři a tedy čtyřikrát 2. Z2 p Z2 p Z2 √ √ Výpočet integrálem: 1 + ((x)0 )2 dx = 1 + (1)2 dx = 2 dx = [x 2]2−2 = √ √ √ −2 √ √ [2 2 − 2(−2)] = 2 2 + 2 2 = 4 2 d. j.

−2

−2

23.3. NÁVOD NA VÝPOČET DÉLKY KŘIVKY L



137

138


23.4

Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles

Obrázek 23.12: Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S)

Obrázek 23.13: Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V)

23.5


1. Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami: Zadání 2

1) y1 = x − 3x

y2 = 2x − 4

2) y1 = 0

y2 = x + 2

3) y1 = 2 − x2

y23 = x2

4) y1 = 0

y2 = ln x

5) y1 = 4x − x2

y2 = 3x − 6

5X

6) y1 = x2 − 2

y2 = x + 4

6X

7) x = 2

y1 = ex √

2−x

8) y1 = 0

y2 =

9) y1 = e

y2 = e3x

1X y3 = 4 − x2

2X 3X

y3 = 1

y2 = 1 − x Nepočítáno: √ y3 = 2x + 8 x=1

x=

1 2

4X

7X

Výsledky 27 (= 4, 5) plošných jednotek 6 37 plošných jednotek 6 32 plošných jednotek 15 0,15 plošných jednotek 125 plošných jednotek 6 125 plošných jednotek 6 e2 −1 plošných jednotek

23.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 10) y1 = 2x3

y2 = 4x2

11) y1 = x2 − 4x

y2 = 3 − 2x

12)

y1 = ex

y2 = e−x

x=1

13)

y1 = e

y2 = e3x

x1 =

14) y1 = x2 − 12

y2 = 2x − 12

15) y1 = −x2 − 3x

y2 = x + 3

16)

y1 = −2x2 − 3x − 3

y2 = x2 − 3

17)

y1 = −x2 − x − 2

y2 = −x3 + 2

18)

y1 = 3 − x2

y2 = 1 − x

19)

y1 = −x2 − 2x

y2 = 2x − 12

20)

y1 = x2 + 4x + 4

y2 = 4

21)

y1 = x2 − 2x

y2 = 2x − 3

22)

y1 = x2 − 3x √ 23) y1 = x − 1 √ 24) y1 = 2x + 8

y2 = 2 − 2x √ y2 = 8 − 2x √ y2 = 2 − x

25) y1 = −x2 − 2x

y2 = 2x − 12

25) y1 = 4x − x2

y2 = 4 − x

26) y1 = 5x − x2

y2 = 2x − 4

27) y1 = 5x − x2

y2 = 2x − 4

4 3

139

x2 = 0

2. Délka křivky:

1) y1 =

Zadání √ 9 − x2

x2 ln x − 4 2 √ y1 = 1 − x2

2) y1 = 3)

√ 4) y1 = 4 − x2 r x3 5) y = 1 − 3

D πE x ∈ 0; 2

1X

x ∈ h1; ei 1 x ∈ 0; 2

2X

x ∈ h0; 1i

4X

x ∈ h−10; −1i

5X

3 arcsin

3X

Výsledky π délkových jednotek 6

e2 +1 délkových jednotek 4 π délkových jednotek 6 π délkových jednotek 3 π délkových jednotek 3

3. Povrch / Plášť rotačního tělesa: Zadání √ 1) y = 3 + x

x ∈ h−1; 3i

1X

Výsledky 48π plošných jednotek 3

140


2) y = 3) y =

√ √

9−

x2

16 − x2

Nepočítáno: x ∈ h0; 2i x ∈ h0; 1i

4. Objem rotačního tělesa:

1) y1 = 2) y1 =

3) y1 =

r

r √

Zadání x−2 2x + 1 2−x 3 + 2x

x·e

x 3

4) y1 = 4 − x2 √ 5) y1 = 2x 2 √ x 6) y1 = x −1 3

x ∈ h2; 3i x ∈ h1; 2i

y2 = 0

Výsledky π 7 1X 1 − 3 ln objemových jednotek 2 5 π 7 2X 7 ln − 2 objemových jednotek 4 5

Nepočítáno: x ∈ h0; 1i

y2 = x + 2 y2 = 0

y3 = 3 −

y2 = 0

x ∈ h2; 3i

x 2

Kapitola 24

Diferenciální rovnice I. řádu

24.1

Jednoduché příklady ze skript Zadání √ 1) y 0 = 3 · x − e−x y 2) y 0 = x y 0 3) y = tg x

Výsledky √ 1X y = 2x · x + e−x +C 2X

y =C ·x

3X

y = C · sin x

4) (x + 1) · y 0 = y − 2

4X

4y = 2 + C · (x + 1)4

5) x · y 0 − 3y = 0

5X

y = C · x3

6) x · y · y 0 = y 2 + 1

6X

y 2 = C · x2 − 1

7) y 0 = ex−y

7X

y = ln(ex +C)

y0 1 √ +√ =0 y x

8X

y = (C −

9) x · y 0 − y 0 = 2y

9X

y = C · (x − 1)

8)

√

2

x)

10)

xy 0 = (1 + y 2 ) · arctg y

10X y = tg(C · x)

11)

y 0 = y · ln2 y

11X y = e C−x

12)

1 + y2 y 0 ·y = x 1 + x2

12X y 2 = C · (1 + x2 )

13)

xy 0 = 4y,

13X y = 2x4

14)

xy 0 = 1 + y 2 ,

15)

(x + 1) · y 0 + xy = 0, y(0) = 1 x , y(0) = 0 y0 = − y+1

16)

1

y(1) = 2 y(1) = 0

17)

y 0 = y · cos x,

18)

(1 + ex ) · y · y 0 = ex ,

19)

y0 =

20)

x · y 0 = x + 2y

21)

x + x · y0 = y

22)

x2 y 0 = y 2 + x · y

23) 24) 25) 26) 27)

y(π) = 1

2x + y x

y y y 0 = e− x + x y y 0 y − = x x x y 0 y = + y x y x · y 0 = y · ln x x + y y0 = x−y

y(0) = 1

14X y = tg(ln |x|) 15X y = (x + 1) e−x 16X (y + 1)2 = 1 − x2 17X

y = esin x

18X

y 2 = 1 − ln 4 + 2 · ln(1 + ex )

19X y = x · ln(C · x2 ) 20X y = x · (C · x − 1) C 21X y = x · ln x x 22X y = C − ln |x| 23X y = x · ln (ln |C · x|) 24X y = x · arcsin(C · x) 25X y = x2 · ln(C · x2 ) 26X y = x · e1+Cx p 27X y = x · tg ln C(x2 + y 2 ) 141

142

KAPITOLA 24. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDU

Zadání

24.2

Výsledky

28)

y 0 − y = ex

28X y = (x + C) · ex

29)

x · y 0 − 3y = x2

29X

y = C · x3 − x2

30)

y 0 + 2y = e−2x · cos x

30X

y = (C + sin x) · e−2x

31)

y 0 + 2x · y = x3

32)

(2x + 1) · y 0 + y = x

33)

y0 −

34)

y 0 + y · cos x = sin 2x

34X

y = C e− sin x +2 · sin x − 2

35)

x · y 0 − 2y = x · ln x

35X

y = C · x2 − x · (ln x + 1)

36)

(x + 1) · y 0 − 2y = (x + 1)4

36X

y = C · (x + 1)2 +

37)

y 0 − y = 4x · e−x

37X y = C · ex −x · (ln x + 1)

38)

y 0 − y · tg x = 2 sin x

39)

x · y 0 + y = (2 − ln x) · x

40)

(1 − x2 ) · y 0 + x · y = 3x

C − cos x cos x 5x x C + − · ln x 39X y = x 4 2 √ 2 40X y = C · 1 − x + 3

41)

y 0 + y · cotg x =

42)

y0 +

43)

y 0 − y = e2x ,

y(0) = 4

44)

y 0 + 3y = x,

y

45)

y0 +

46)

y 0 + x2 · y = x2 ,

x2 1 2 − + C · e−x 2 2 x−1 C 32X y = +p 3 |2x + 1| 31X

2 · y = x2 · sin x x

x·y = arcsin x 1 − x2

3y 2 = 3, x x

1 3

33X y = x2 · (C − cos x)

38X

1 sin x

=1

y(1) = 1 y(2) = 1

y=

1 · (x + 1)4 2

y=

C x + sin x sin x √ 1 √ 42X y = C · 1 − x2 + · 1 − x2 · arcsin2 x 2 41X y =

43X

y = e2x +3 ex

44X y = e1−3x + 45X y =

3x − 1 9

2 1 − 3 x2 x

46X y = 1

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1)

Výsledky

(1 + x2 ) · y 0 = −x · (1 + 2y)

y 0 = 3 · x2 y √ 3) 2y 0 · x = 1 + x2

2)

1X

y=

x2

C 1 − +1 2 3

y = C · ex √ 3X y = tg ·( x + C) 2X

x+1 x + 1 − Cx

4)

xy 0 + y = y 2 − x2 y 0

4X y =

5)

y 0 − 3y = (4x + 3x2 ) · e3x

5X y = C · e3x +x2 · (2 + x) · e3x

6)

y0 + √

1 y =√ 2 1−x 1 − x2

6X

y = C · e− arcsin x +1


7)

xy 0 + y = sin x

8)

y 0 − y · tg x =

9)

y 0 − 2xy = (sin x + 1) · ex

C cos x − x x 2 C x 1 8X y = + + 3x · cos x 2 cos x 7X

x+3 cos x 2

10) y 0 − y · sin x = 11)

(x2 + 1) · y 0 =

12)

y 0 + x = xy

13) 14)

√

143

y=

2

y = ex · (C + x − cos x) 2x √ − cos x 10X y = e · C+ · x 3 p 11X y = 4 arctg x + C 9X

x · e− cos x

2 y

x2 2

12X

y =C ·e

y 0 + 4y = (10x + 1) · e−x

13X

y = C · e−4x +

y 0 + 2y · tg x = sin x

14X

y = cos ·(C · cos x + 1)

Nepočítáno: 0

15)

y + 2xy = 2x

16)

y 0 · y · tg x = cos2 x

17)

y 0 + 3y =

18) 19)

xy 0 − 3y = x 2 √ 3 y 0 − 3x2 = x − 1 ex

20)

y 0 · sin x − y · cos x = 1

21)

xy 0 + y = x3 + 3x

22)

y 0 + y · cos x = e− sin x

23)

2y 0 + 6y = −9 e8x

24)

−7y 0 − 35y = 8 · e−6x

25)

5 + y 0 + 5y = 9x · ex

26)

5xy 0 − 10y = −8x4 · cos x

27)

y 0 + 2y = 3x4 · e−2x

x2 + 5x + 1 e3x 1

28) y 0 +

x2

y 1 = 2 +1 x +1

29)

sin2 (7x + 4) · y 0 − y 2 = 0

30)

y 0 · sin x + y · cos x =

31)

−3y 0 + 15y = 7 e4x

32)

y 0 + y · cotg x = cos2 x

33)

y 0 + y · sin x =

34)

y 0 · cos x + y · sin x = 0

35)

xy 0 + 2y =

36)

xy 0 + y = 3 e3x

1 sin2 x

4x2 − 1 cos x ·e x2

4 2x2 + 1

+1

e−x · (30x − 7) 9

Kapitola 25

Diferenciální rovnice II. řádu

25.1


Výsledky

1)

y 00 + 3y 0 − 10y = 0

1X

y = C1 e2x +C2 e−5x

2)

y 00 − 4y 0 = 0

2X

y = C1 + C2 e4x

3)

3y 00 + 2y 0 − y = 0

3X y = C1 e 2 +C2 · x e 2

4)

y 00 − 4y 0 + 4y = 0

4X

y = C1 e2x +C2 x e2x

5)

4y 00 − 4y 0 + y = 0

5X

y = C1 e 2 +C2 · x e 2

6)

y 00 − 4y 0 + 13y = 0

6X

y = ex · (C1 cos 3x + C2 sin 3x)

7)

y 00 + y = 0

8)

y 00 − 4y 0 + y = 0

9)

9y 00 + y = 0

y = C1 e 2 +C2 x · e 2 √ √ 8X y = e−x ·(C1 cos 2x + C2 sin 2x) x x 9X y = C1 · cos + C2 · sin 3 3 1 10X y = C1 ex +C2 e2x + e−x 2

x

x

x

x

7X

x

x

10)

y 00 − 3y 0 + 2y = 3 · e−x

11)

y 00 − 3y 0 + 2y = ex

11X

y = C1 e2x +C2 ex −x ex

12)

y 00 − 2y 0 + 5y = (4x + 3) · ex

12X

y = (C1 cos 2x + C2 sin 2x) ex +

13)

y 00 + y 0 − 2y = (2x + 1) · 3x e

13X

14)

y 00 − 7y 0 + 10y = (6x + 7) · e2x

14X

15)

y 00 + 4y 0 − 5y = 1

15X

16)

y 00 − 5y 0 + 6y = x + 1

16X

17)

y 00 − y 0 − 6y = 3x2 + 2x

17X

18)

y 00 + y = x2

18X

y = C1 sin x + C2 cos x + x2 − 2

19)

y 00 + 3y 0 = 9x

19X

y = C1 e2x +C2 e−2x −2x3 − 3x

20)

y 00 − 2y 0 = x2 − x

20X

y = C1 + C2 e2x −

21)

y 00 − 4y = 8x3

21X

y = C1 e2x +C2 e−2x −2x3 − 3x

22)

y 00 − 3y 0 + 2y = 9 · sin x + 3 · cos x

22X

y = C1 ex +C2 e2x +3 cos x

23)

y 00 − 7y 0 + 6y = sin x x 9y 00 − 6y 0 + y = sin 3 17 y 00 + 2y 0 + 5y = − · cos 2x 2

23X 24X

y 00 + 2y 0 − 3y = x2 · ex

26X

24) 25) 26)

25X

3 + x ex 4 1 1 y = C1 ex +C2 e−2x + x− e3x 5 25 y = C1 e5x +C2 e2x −(x2 + 3x) e2x 1 5 x 11 y = C1 e2x +C2 e3x + + 6 36 x2 x 5 y = C1 e3x +C2 e−2x − − − 2 6 36 y = C1 ex +C2 e−5x −

x3 6

1 · (7 cos x + 5 sin x) 74 1 x x x y = C1 e 3 +C2 x e 3 + cos 2 3 1 y = C1 e−x cos 2x + C2 e−x sin 2x − cos 2x − 2 sin 2x 2 3 x x2 x y = C1 e−3x +C2 ex + − + 12 16 32 y = C1 ex +C2 e6x +

144

27)

y 00 − 2y 0 + 2y = ex · cos x

28)

y 00 − y =

29) 30) 31)

25.2

1 2 − x x3 1 + 2x y 00 − 2y 0 = x2 e2x y 00 − 4y 0 + 4y = 2 x 1 2y 00 + 8y = sin3 2x

1 x e x sin x 2

27X

y = C1 ex sin x + C2 ex cos x +

28X

y = C1 ex +C2 e−x −

29X

y = C1 + C2 e2x − ln |x|

30X

y = C1 e2x +C2 x e2x − e2x ln |x|

31X

y = C1 sin 2x + C2 cos 2x +

32)

y 00 − 3y 0 + 2y = e5x

32X

33)

y 00 − 4y 0 + 4y = x2

33X

34)

y 00 − 2y 0 + 2y = x · ex

34X

1 x

2 cos2 2x − 1 16 sin 2x

1 5x e 12 1 1 3 y = C1 e2x +C2 x e2x + x2 + x + 4 2 8 y = C1 ex +C2 e2x +

y = C1 ex sin x + C2 ex cos x + x ex

Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) y 00 + 4y = 8 · cos 2x

Výsledky 1X y = C1 · cos 2x + C2 · sin 2x + 2x · sin 2x

2) y 00 − 12y 0 + 36y = (6x − 4) · e6x

2X

y = C1 · e6x +C2 · x e6x +x2 (x − 2) · e6x

y 00 − 2y 0 = (9x2 + 9x − 2) · e−x

3X

y = C1 + C2 · e2x +(3x2 + 11x + 12) e−x

4) y 00 − 5y 0 − 6y = 14 e6x

4X

y = C1 · e6x +C2 · e−x +2x · e6x

5) y 00 − 6y 0 + 9y = 5 e3x

5 5X y = C1 · e3x +C2 · x e3x + x2 · e3x 2

3)

6)

y 00 + 2y 0 + y = 4 e−x

6X

y = C1 · e−x +C2 · x e−x +2x2 · e−x

7)

y 00 − 4y 0 + 3y = 3x2 − 8x + 5

7X

y = C1 · ex +C2 · e3x +x2 + 1

8)

2y 00 + y 0 − y = 6 e−x

8X

y = C1 · e 2 +C2 · e−x −2x · e−x

9)

y 00 − y = 4 e−x

9X

y = C1 · ex +C2 · e−x −2x e−x

10)

y 00 − 4y 0 + 4y = 4x2 + 2x + 2

00

0

x

10X y = C1 · x e2x +C2 · e2x +x2 +

5x +3 2

Nepočítáno: 12) y 00 + y = 2 cos x

11)

y − 6y + 9y = 2x

13)

y 00 + y = cos 2x

14)

y 00 + 4y 0 + 13y = 16 · cos 3x + sin 3x

15)

y 00 + 4y 0 + 3y = 7 · cos 3x + 4 · sin 3x

16)

y 00 + 3y 0 = 9 · x e3x

17) y 00 − 16y = 6 · x e−2x

18)

y 00 − 3y 0 + 2y = e−2x

19) y 00 + 16 = 8 · cos 4x + 2 · sin 4x

20)

y 00 + 3y 0 + 2y = 6 e−2x

21) y 00 + 2y 0 − 8y = 16x2 + 2

22)

y 00 + 9y = 15 · sin 2x + 65 · cos 2x

23) y 00 − 6y 0 + 18y = −9x2 − 15x − 15x − 9

24)

y 00 − 10y 0 + 25 = 9x − e−x

25) y 00 − 3y 0 + 2y = (6x + 5) · e2x

Část II

Lineární algebra

146

Kapitola 26

Základní pojmy z lineární algebry Uvažujeme pouze vektorové konečně generované podprostory.

Co je to vektor V aritmetických vektorových prostorech se jedná o objekt zadaný souřadnicemi, např. (2; 5). Z fyzikálního hlediska jej lze interpretovat jako orientovanou úsečku, vycházející z počátku soustavy souřadnic a končící v bodě zadaném příslušnými souřadnicemi.

Co je to aritmetický vektorový prostor Je to množina vektorů, které můžeme spolu sčítat a násobit reálnými čísly. Operace jsou definovány takto: dva vektory sečteme tak, že sečteme souřadnice na stejných pozicích, např. (2; 5) + (3; 6) = (2 + 3; 5 + 6) = (5; 11), vektor vynásobíme reálným číslem tak, že vynásobíme všechny jeho souřadnice tímto číslem, např. 4 · (2; 5) = (8; 20). Každý vektorový prostor má právě dva triviální podprosotry. Prvním je případ, kdy se podprostor rovná vektorovému prostoru. Druhým případem je podprostor obsahující pouze nulový vektor.

Co je to lineární kombinace Řekneme, že vektor je lineární kombinací jiných vektorů, lze-li jej vyjádřit jako součet násobků těchto vektorů. Např. 2 · (1; 0) + 4 · (0; 1) = (2; 4), což znamená, že vektor (2;4) je lineární kombinací vektorů (1; 0) a (0; 1).

Co je to lineární závislost a nezávislost vektorů Pokud pro danou skupinu vektorů platí, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Skupina vektorů, z nichž alespoň jeden je lineární kombinací ostatních je lineárně závislá, také říkáme, že vektory tvořící tuto skupinu jsou lineárně závislé.

Co je to vektorový podprostor Je taková podmnožina vektorového prostoru, která je uzavřená k operacím součet vektorů a násobení vektoru reálným číslem v daném vektorovém prostoru. Dimenze vektorového podprostoru může být stejně velká, jako dim daného vektorového prostoru, nebo menší. Vektorový podprostor může být stejně velký, jako vektorový prostor – viz dále v Tabulce 26.1. 147

148

KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Tabulka 26.1: Vektorové prostory a podprostory Vektorový podprostor (vpp) – jednotlivé případy

Vektorový prostor (vp) Dimenze

Obrázek

Dim vpp = Dim vp

•

•

Dim 0? −5

Dim 1

0

−5

6

y

0

Dim vpp < Dim vp

6

Dim vpp ≪ Dim vp

•

y

x

Dim 2 y

−5

x y

z x

z

0

6

•

y x x

Dim 3 ?

Dim vpp Dim vp

−5

0

6

•

Je to vektorový prostor, který je jednobodovou množinou obsahující pouze nulový vektor o. V případě, že má prostor více podprostorů, je v tabulce uveden jen jeden příklad.

Co je to báze (M) a dimenze podprostoru Báze je množina generátorů podprostoru, která neobsahuje „zbytečnéÿ vektory, tj. je lineárně nezávislá. Platí, že všechny báze daného podprostoru mají stejný počet prvků. Počet prvků báze podprostoru se nazývá dimenze podprostoru. Dim 4 se špatně kreslí, ještě si lze představit, že čtvrtý parametr je např. čas t, to by šlo znázornit na krátkém videu popř. na obrázku typu *.gif.

Co je to lineární obal L(A) množiny A Je vše, co je vygenerováno vektory z dané množiny. To znamená obsahuje vektory z dané množiny + všechny jejich lineární kombinace. Lineární obal je vždy podprostorem. Lineární obal obsahuje automaticky i vektory z původní množiny A.

Co jsou generátory podprostoru Jsou to vektory, pomocí kterých dokážeme „generovatÿ všechny vektory podprostoru, a to pomocí operací součtu vektorů a násobení vektorů reálným číslem. Toto znamená, že každý vektor podprostoru je lineární kombinací jeho generátorů.

26.1. SKALÁRNÍ SOUČIN

149

Obrázek 26.1: Lineární obal

generátory, vektory báze

lineární kombinace generátorů

lineární obal

Co je to matice Tabulka čísel typu (m, n) má m řádků a n sloupců. Může sloužit např. jako jiný způsob zápisu soustavy rovnic. Máme řešit soustavu dvou rovnic o dvou nezámých x a y. I. II.

2x x

+ −

3y 2y

= =

40 −15

Při výpočtu soustav rovnic můžeme postupovat třemi způsoby: 1. dosazovací metoda 2. sčítací metoda 3. matice a její úpravy (Gaussova metoda řešení soustav) Mezi jednotlivými úpravami matic se používá znaménko shodnosti ∼ . 1 Chceme-li z rovnice 3~v =(3,6,9) vypočítat vektor ~v , vynásobíme celou rovnici převrácenou hodnotou k 3, tj. ~v = 3 (3,6,9)=(1,2,3), což při řešení rovnice s čísly místo vektorů odpovídá dělení číslem 3. Dělení vektoru číslem nezavádíme.

26.1

Skalární součin

Náhodně vybrané vektory 1. příklad ~u ~v

= =

(5, (3,

6) 2)

Skalární součin ~z = 5 · 3 + 6 · 2 = 15 + 12 = 27 2. příklad ~u ~v w ~

= = =

(5, (4, (1,

3, 2, 12,

4) 6) 4)

150

KAPITOLA 26. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Skalární součin 5 · 4 · 1 + 3 · 2 · 12 + 4 · 6 · 4 = 20 + 72 + 96 = 188

Kolmé vektory 3. příklad ~u ~v

= =

(1, (2,

1) −2)

Skalární součin 1 · 2 + 1 · (−2) = −2 + 2 = 0 4. příklad ~u ~v

= =

(3, (5,

−5) 3)

Skalární součin 3 · 5 + (−5) · 3 = −15 + 15 = 0 5. příklad ~u ~v

= =

(−9, ( 9,

3, 10,

17) 3)

Skalární součin (−9) · 9 + 3 · 10 + 17 · 3 = −81 + 30 + 51 = 0

Ta nula není náhoda ,!

Kapitola 27

Lineární rovnice

27.1

Ukázkové příklady −

−

x x 3x 2x

+ − + −

3y y 2y 2y

− + − +

2z 2z z z

− + − +

23t t 9t 7t

= = = =

−

x

−

+ − − −

3z 2z z 2z

− + + +

12t t 2t 3t

= = = =

− − − +

22t 7t 8t 6t

= = = =

− − + −

4t 13t 6t 5t

= = = =

1.

2.

3.

4.

5.

− − −

−

−

− 6.

− 7.

− 8.

3x 3x

+ +

y y y 2y

x 3x 2x x

+ − + −

2y y 2y y

+ +

3z z

+

2z

x 2x 2x 3x

+ − + −

y y 2y 2z

+ + +

z 3z z

x 2x x 2x

+ + +

x x

+ +

y 2y 3y

+ − + +

2z z 3z 4z

− − − −

t 23t t 5t

= = = =

+ − − −

z z 2z 2z

− + + +

12t t t t

= = = =

t 12t t 8t

= = = =

t 7t 17t t

= = = =

2x

+

y 2y y 4y

3x 2x x 4x

+ + + +

5y 3y 2y 5y

− + −

z z 5z

+ + − +

x 2x 3x 4x

− − − +

y 3y y 2y

+ + − −

2z z 2z z

− − − −

− −

−

− −

− − − −

−

−

− −

2 0 12 9 1 11 5 4 16 5 2 5 1 1 8 10 4 2 11 5 10 4 4 0 10 0 0 0 15 1 5 5

~v = (2t − 3;

~v = (0;

0;

1 − t;

t)

t)

6)

~v = (2 − 3t;

t + 1;

2 − t;

~v = (3t − 2;

1 − t;

2 + 2t;

~v = (t − 2;

t + 1;

−1;

t)

t)

~v = (20 − 3z;

2z − 12;

z;

8)

~v = (5z − 7t;

4t − 3z;

z;

t)

3 − t;

t)

~v = (t + 1;

Nepočítáno:

151

−7;

t − 1;

2 − 2t;

152

KAPITOLA 27. LINEÁRNÍ ROVNICE

x 9.

−

10. −

11.

−

14.

15.

3y

−

2z

+

18t

=

−

7

x

−

2y

+

z

−

8t

=

−

6

−

3y y

− −

4z z

+ +

18t 8t

= =

−

3x

2 10

x 3x

+ + +

− − − −

z 4z 2z z

+ + − −

t 4t 3t 14t

= = = =

−

4x

y 2y 3y 6y

4 13 7 4

x

−

y

−

2z

−

13t

=

−

+

2z

+

3t

=

3

3t t

= =

6 4

x + +

y 2y

+

3z

+ +

x 3x

+ +

4x

+

− − − −

z 4z 2z z

+ + − +

t 4t 13t 14t

= = = =

−

−

y 2y 3y 6y

4 13 7 4

+ +

1y y

+ − + +

z 2z 3z 7z

− +

t 3t

−

13t

= = = =

−

− − −

x 4x 3x x

13 4 1 3

x 2x 2x 3x

− − + +

2y 3y y 2y

+ + − −

z 2z z 2z

− − + −

12t 4t 3t t

= = = =

− −

7 11 6 2

x 2x 3x 7x

− +

y 3y

−

3y

−

3x 3x 3x

− + +

−

2x 4x x

− + +

−

−

16.

17.

− + − −

+ +

z z

y 2y y

+ −

1z 2z

= = =

y 2y 4y

+ + +

3z 3z 6z

= = =

t 2t t 13t

= = = =

−

0 5 5

−

9 0 0

− − − −

~v =

3 10 3 17

175 ; 19

274 ; 57

~v = (1 − 2t;

15

2x 2x

12.

13.

+

~v =

1 ; 35

135 − ; 19

t + 1;

2;

−

16 ; 35

−2;

46 35

142 − 57

t)

Kapitola 28

Inverzní matice

28.1

Jordanova metoda

Zadaná matice A 

1 − − 4 − 1

1 1 1

 A=

 1  2  1

Jordanova metoda:                  

  

1 − 1 4 2 1 1

1 0 0

0 1 0

1 0 0

1 − 1 5 − 3 2 − 2

1 1 1

0 1 0

1 0 0

1 − 1 5 − 3 0 4

1 1 − 3

1 0 0

1 − 1 20 0 0 4

1 − 5 − 3

0 − 10 − 2

4 0 0

4 − 4 20 0 0 4

4 − 5 − 3

0 − 10 − 2

1 1 1

− −

20 20 0 − 20 0 0 1 0 0

0 1 0

0 0 1 0 0 1

5 5 −

3 4

− −

1 2 1 4 3 4

−

− −

0 1 2

  0   0 ∼ 1

1 − 1 − 1

  0   0 ∼ − 1

1 0 0

  0   0 ∼ 5

0 − −

1 2 1 2

1 − 10 − − 10

1 0 0

1 20 0

4 0 0

4 − 20 0

0 0 4

20 0 0

0 1 0

0 0 1

  

Inverzní matice je tedy: 

 A−1 =  − −

1 2 1 4 3 4

0 − −

153

1 6 10

1 − 1 20 − 12 0 12

  0   15  ∼  5

1 2 3 4 5 4

− 1 − 2 − 1

1 0 0

  0   15  ∼  5

  − 10 25   10 − 15  ∼  5 − 42 4

1 4 1

1 2 1 2

1 2 3 4 5 4

  

−

1 0 4

1 0 0

0 − 1 0

−

1 2 5

0 − 2 0

−

1 4 9

0 − 4 − 6

− −

1 5 3

0 − 10 − 2 −

−

1 5 3

−

10 − −

5 20 3 4

− −

 0  0 ∼ − 1

2 10 − 2

 0  0 ∼ 5

 0  0 ∼ 15  0  15  ∼ 5

 5  15  ∼ 5

0

10

10 20 1 2

15 20 5 4



 ∼

154

KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE

Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:

A−1 · A = A · A−1 = E



  − −

1 2 1 4 3 4

0 − −

1 2 1 2

1 2 3 4 5 4

 

1 1 1

  ·

− −

  1 − 1   4 2 = 1 1 

1 0 0

 =

28.2

1 1 1

  1 − 1   − 4 2 · − − 1 1 −

1 2 1 4 3 4

0 − −

1 2 1 2

1 2 3 4 5 4

  

 0  0  0

0 1 0

Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic

Zadaná matice A 

 A=

1 1 1

 1 −1  −4 2  −1 1

32. věta – inverzní matice pomocí determinantů Nechť A = (aij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat

A

−1



 1   = det A  

D11 D21 .. . D1n

D21 D22 .. . D2n

... ... .. . ...

Dn1 Dn2 .. . Dnn



   = 1 (Dij )T ,  det A 

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n. 1) Spočítáme determinant zadané matice A (tučně vyznačena) Sarrusovým pravidlem        

 1 1 −1  1 −4 2   1 −1 1   = −4 − 1 + 2 − 4 + 2 − 1 = −4  1 1 −1  1 −4 2

2) Potřebujeme algebraické doplňky submatic1 pro dosazení do vzorce zmíněného výše. Algebraické doplňky zjistíme na základě determinantů submatic: algebraický doplněk = (−1)i+j · determinant submatice kde i = sloupec, j = řádek 1 Matice

vytvořená z dané matice vynecháním některých sloupců a řádků.

28.2. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC

155

Tabulka 28.1: Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků

Zvýrazněný prvek (v rámečku)   1 1 −1   D11 =  1 −4 2  1 −1 1 D12

D13

D21

D22

D23

D31

D32

D33



 = 

 = 

 = 

 = 

 = 

 = 

 = 

 =

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

1 1 1

1 −4 −1

 −1  2  1

 −1  2  1  −1  2  1  −1  2  1

 −1  2  1

 −1  2  1  −1  2  1

 −1  2  1

Submatice Výpočet determinantu submatice algebraický doplněk ! −4 2 −4 · 1 − 2 · (−1) = −4 + 2 = −2 (−1)1+1 · (−2) = −2 −1 1

1 1

2 1

!

1 · 1 − 2 · 1 = −1

1 1

−4 −1

!

1 · (−1) − (−4) · 1 = −1 + 4 = 3

(−1)1+3 · 3 = 3

1 −1

−1 1

!

1 · 1 − (−1) · (−1) = 1 − 1 = 0

(−1)2+1 · 0 = 0

1 1

−1 1

!

1 · 1 − (−1) · 1 = 1 + 1 = 2

(−1)2+2 · 2 = 2

1 1

1 −1

!

1 · (−1) − 1 · 1 = −1 − 1 = −2

1 −4

−1 2

!

1 · 2 − (−1) · (−4) = 2 − 4 = −2

1 1

−1 2

!

1 · 2 − (−1) · 1 = 2 + 1 = 3

1 1

1 −4

!

1 · (−4) − 1 · 1 = −4 − 1 = −5

(−1)1+2 · (−1) = 1

(−1)2+3 · (−2) = 2

(−1)3+1 · (−2) = −2

(−1)3+2 · 3 = −3

(−1)3+3 · (−5) = −5

156

KAPITOLA 28. INVERZNÍ MATICE

Vzhledem k tomu, že musíme používat matici algebraických doplňků transponovanou, budeme nyní chápat značení transponovaně: Dsloupec, řádek a dosadíme do matice

A−1



−2 1  =  1 −4 3

  1 0 −2 2   1 2 −3  =  − 4 2 −5 − 34

0 − 21 − 21

1 2 3 4 5 4

  

Výsledná matice je inverzní k zadané matici A. Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou:      1 1 1 1 −1 0 2 2    3   · A−1 =  − 14 − 12 1 −4 2 = 4   5 1 −1 1 − 34 − 12 4

1 1 1

  1 1 −1 2   1 −4 2  ·  −4 −1 1 − 34

0 − 12 − 12

1 2 3 4 5 4





  =

1 0 0

0 1 0

 0  0  1

Kapitola 29

Matice

29.1

Sčítání matic

29.1.1

Obecný návod

Nechť A, B jsou matice typu (m, n), potom A + B je opět matice typu (m, n) taková, že     b11 b12 . . . b1n a11 a12 . . . a1n      a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2n     A + B= . .. ..  .. ..  +  .. .. .. = . .  .. . .  . .   . bm1 bm2 . . . bmn am1 am2 . . . amn 

  =  

29.1.2

a11 + b11 a21 + b21 .. . am1 + bm1

a12 + b12 a22 + b22 .. . am2 + bm2

... ... .. . ...



a1n + b1n a2n + b2n .. . amn + bmn

    

Příklady 1 3

A+B=

2 4

!

+

4 2

3 1

!

1+4 3+2

2+3 4+1

!

5 5

=

29.2

Násobení matic reálným číslem

29.2.1

Obecný návod

5 5

!

Platí, že pakliže násobíme matici A typu (m, n) nějakým číslem c, pak se výsledek rovná c · A. 

  A=  

a11 a21 .. . am1

29.2.2

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn

     



  c·A=  

c · a11 c · a21 .. . c · am1

c · a12 c · a22 .. . c · am2

... ... .. . ...

c · a1n c · a2n .. . c · amn

     

Příklad

Vynásobte matici K číslem 5:

K=

    

0 0 −1 3

0 −1 1 3 3 −5 5 0

3 5 0 0

    

5·K=

    

5·0 5·0 5 · (−1) 5·3

5 · 0 5 · (−1) 5 · 3 5·1 5·3 5·5 5 · 3 5 · (−5) 5 · 0 5·5 5·0 5·0

157





    =  

 0 0 −5 15 0 5 15 25    −5 15 −25 0  15 25 0 0

158

KAPITOLA 29. MATICE

29.3

Násobení matic maticemi

29.3.1

Obecný návod

Při výpočtu násobku dvou matic musíme v první řadě ověřit řešitelnost, v případě, že chceme k výpočtu použít Excel, musíme znát i velikost výsledné matice. Řešitelnost a velikost zjistíme následujícím způsobem: • Matice má rozměr A m × n (m = počet řádků, n = počet sloupců) • Matice má rozměr B n × o (n = počet řádků, o = počet sloupců) m × n·n × o • Matice lze vynásobit v pořadí A · B, pakliže má první matice tolik slouců, kolik má druhá matice řádků • Velikost výsledné matice bude m × o, tedy bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a bude mít tolik sloupců jako má druhá matice sloupků Násobení matic není komutativní, což znamená, že A · B 6= B · A, pakliže není jedna (nebo obě) z daných matic jednotková. Obecně se dá násobení matic znázornit následovně: 



a11  A · B =  a21 a31

 a12  a22  · a32

b11 b21

b12 b22

b13 b23

!

=

 (a11 · b11 ) + (a12 · b21 ) (a11 · b12 ) + (a12 · b22 ) (a11 · b13 ) + (a12 · b23 )    (a21 · b11 ) + (a22 · b21 ) (a21 · b12 ) + (a22 · b22 ) (a21 · b13 ) + (a22 · b23 )  (a31 · b11 ) + (a32 · b21 ) (a31 · b12 ) + (a32 · b22 ) (a31 · b13 ) + (a32 · b23 ) Obrázek 29.1 snad ještě lépe dokresluje způsob, jakým se dvě matice násobí mezi sebou. Obrázek 29.1: Násobení matic B   b11 b12 b13   b21 b22 b23 

a11 a12

  a  21 a22 A  a  31 a32  a41 a42

        

      

       

29.4. ROVNICE S MATICEMI

159

Návod na výpočet v Excelu: 1. zapíšeme hodnoty první matice 2. zapíšeme hodnoty druhé matice 3. zjistíme rozměr výsledné matice (sama se zamyslím) 4. kurzorem označíme rozsah polí výsledné matice (kde všude se objeví výsledek) 5. s označeným polem se do F(x) napíše ”= soucin.matic(ozačení polí s hodnotami první matice; označení polí s hodnotami druhé matice)” 6. pro zobrazení stiskneme ctrl+shift+enter, samotný enter nestačí, neboť v takovém případě se vypíše pouze jedna hodnota (vyplní se jedna buňka)

29.3.2

Příklady

1. Zjistíme řešitelnost úlohy: matice A má rozměr 3 × 2 a matice B má rozměr 2 × 3. 3 × 2 · 2 × 3 Řešitelná tedy je. 2. Výsledná matice bude o rozměru 3 × 3. 3. Výpočet úlohy B · A není možný. 

 2  4 · 6

1  A·B= 3 5 

1+4  = 3+8 5 + 12

1 2

3+8 9 + 16 15 + 24

3 4

5 6

!



1·1+2·2  = 3·1+4·2 5·1+6·2

1·3+2·4 3·3+4·4 5·3+6·4

   5 + 12 5 11 17    15 + 24  =  11 25 39  25 + 36 17 39 61

 1·5+2·6  3·5+4·6  5·5+6·6

Násobení matic jednotkovou maticí zleva a zprava ! ! ! 2 3 1 0 2·1+3·0 2·0+3·1 C · E= · = = 4 5 0 1 4·1+5·0 4·0+5·1

E · C=

1 0

0 1

!

·

2 4

3 5

!

=

Násobení matic zleva a zprava ! ! 1 2 5 6 D · F= · = 3 4 7 8

F · D=

29.4

5 7

6 8

!

·

1 3

2 4

!

=

1·2+0·3 1·3+0·5 0·2+1·4 0·3+1·5

!

1·5+2·7 3·5+4·7

1·6+2·8 3·6+4·8

!

5·1+6·3 7·1+8·3

5·2+6·4 7·2+8·4

!

Rovnice s maticemi

2+0 4+0

0+3 0+5

!

=

2 4

3 5

!

=

2+0 0+4

3+0 0+5

!

=

2 4

3 5

!

=

5 + 14 15 + 28

6 + 16 18 + 32

!

=

5 + 18 7 + 24

10 + 24 14 + 32

!

=

19 43

22 50

!

=

23 31

34 46

!

160

KAPITOLA 29. MATICE

1.

3X − 2A=B X −!A ⇒ X=(3E-B)−1 · A ! 5 4 4 −2 A= B= 7 9 1 0

2.

2X+3B=4B−AX !

A= 3.

4.

5.

−1 2

3X−B=B−X · A ! 1 9 A= 1 2 A·X=B  −2  A =  −3 1

 −1 −7  −1 −2  0 −4

2X+3B=4B−AX !

A=

29.5

−1 −3

−1 −3

−1 2

B=

−2 5

3 −4

!

B=

−1 −1

−2 0

!



 B=

B=

5 3 0

−2 5

Matice s parametrem

Vypočítejte hodnotu parametru k tak, aby byli řádky matice lineárně závislé. 

1 2 3 2

−1 −3 1 3

1 0 1 2

1 2 1 k

2  2.  −4 0

1 5 7

2 0 k

0 1 1

  1.  



    

 −3  −k  −10

 1  1  1 3 −4

!

Kapitola 30

Determinanty

30.1

Návody k výpočtu

30.1.1

Determinant matice 1. řádu

Nechť A je čtvercová matice řádu n = 1. A = (a11 ). Pak z definice 28 uvedené v Přílohách III , v sekci Definice z lineární algebry C.1: X r (−1) a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn , det A = (π)

dostáváme:

det A = a11 Př: Matice A = (5) 1 Matice B = 2

30.1.2

det =

5

det =

1 2

Matice C = (−3)

det = −3

Matice D = (1)

det =

1

Determinant matice 2. řádu

Je-li A čtvercová matice n = 2 ! a11 a12 A= a21 a22 Z definice vychází následující: det A = a11 · a22 − a12 · a21 Př.: Matice A =

3 4

6 5

!

= det A = 3 · 5 − 6 · 4 = 15 − 24 = −9

Matice B =

7 8

9 4

!

= det B = 7 · 4 − 9 · 8 = 28 − 72 = −44

30.1.3

Determinant matice 3. řádu – Sarrusovo pravidlo Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n = 3. 161

162

KAPITOLA 30. DETERMINANTY



a11   a21 a31

a12 a22 a32

 a13  a23  a33

V tomto případě je det A součtem šesti členů, protože existuje 3! = 3 · 2 · 1 = 6 různých permutací. První tři jsou sudé a odpovídající členy determinantu budou mít znaménko + . Zbývající tři permutace jsou liché a příslušné členy budou mít znaménko – . Podle definice determinantu tedy dostáváme:

det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33 – a13 · a22 · a31

Při řešení se můžeme řídit tzv. Sarrusovým pravidlem Obrázek 30.1: Sarrusovo pravidlo

+a11 +a21 +a31 a11 a21 a31

a13− a23− a33− a13 a23 a31

a12 a22 a32 a12 a22 a31

Sarrusovo pravidlo lze použít pouze pro matice 3. řádu. U matic vyššího řádu NELZE! Sarrusovo pravidlo použít.

30.1.3.1


Zadaná matice (tučně vyznačena) je matice řádu 3, použijeme tedy pro výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo.        

1 3 2 1 3

2 4 4 2 4

3 3 5 3 3

       

= 1 · 4 · 5 + 3 · 4 · 3 + 2 · 2 · 3 − 3 · 4 · 2 − 3 · 4 · 1 · −5 · 2 · 3 = 20 + 36 = 12 − 24 − 24 − 30 = 32 − 30 = 2

30.1.4

Determinant matice řádu > 3

Při hledání determinantů matic řádu vyššího než 3. se řídíme větou 29. uvedenou v Přílohách III, v sekci Věty z lineární algebry C.2, nelze použít Sarrusovo pravidlo. Lze postupovat tak, že z matice řádkovými a sloupcovými úpravami dostaneme horní či dolní trojúhelníkovou matici. Determinant této matice se pak rovná součinu prvků na hlavní diagonále.


163

30.2

Ukázkové příklady

30.2.1

Výpočet determinantů matic

Vypočítejte determinanty daných matic Zadání

0 0 −1 3 0 1 3 5 1) A = −1 3 −5 0 3 5 0 0 3 1 0 1 2 −1 1 2 2) B = −1 1 2 1 1 0 1 2 3 2 3 −1 1 0 −2 0 1 2 3) C = −3 1 0 2 −1 2 0 3 −2 0 3 1 0 −2 1 2 3 0 0 1 2 3 0 4) D = 0 1 2 3 0 0 1 2 1 5 0 0 3 1 5 0 5) E = 0 3 1 5 0 0 3 1 3 5 0 0 1 3 −5 0 6) F = 0 −1 3 5 0 0 1 3

30.2.2 2 0 1. −2 0

Rovnice s determinanty 1 −3 x 1 −1 3 2 −1

2 2. 4 x+2

−1 x 3

1 2 1 3 1 2 1

= 3x + 1

x 1 = −4 −x

Výsledky

1X Determinant A =

241

2X Determinant B =

−10

3X Determinant C =

−144

4X Determinant D =

−11

5X Determinant E =

181

164

KAPITOLA 30. DETERMINANTY

7 3. 1 −2

4.

3 0 1

30.2.3 + 1.

2. −

3.

− −

−3 1 x −2 = 3x 5 −1 x −2 2 3 = x 1

2 x

+ 25

Cramerovo pravidlo 3x x

+

2y 5y

+ − −

4z z 3z

= = =

2x 4x x

− + +

y 2y 4y

+ + +

3z 3z 6z

= = =

2x x 4x

+ + −

y 3y y

+ + −

3z 2z z

= = =

4x 3x

+ −

y 2y y

− − +

3z z 3z

= = =

+ 4.

x 5

− −

10 7 4 9 10 0

−

10 0 12

−

10 3 3

Literatura Tištěné zdroje [1] Dvořáková, Š.: Řešené příklady k matematice I, Praha 2004, ISBN 80-213-1215-7 [2] Dvořáková, Š., Slavík, V.: Integrální počet, ISBN 978-80-213-1625-6 [3] Dvořáková, Š., Wohlmuthová M.: Řešené příklady k Matematice II, Praha 2006, ISBN 80-213-1469-9 (ČZU) [4] Nešetřilová, H., Šařecová, P.: Matematické metody pro statistiku a operační výzkum, Praha 2009, ISBN 978-80213-0757-5 [5] Slavík, V., Hrubá, J.: Matematika: Diferenciální počet, Praha 1993, ISBN 80-213-0159-7 [6] Slavík, V., Wolhmuthová, M.: Matematika I, Praha 2004, ISBN 80-213-1214-9

Elektronické zdroje [7] Gurka, P.: Dostupné na World Wide Web: [8] Mašková, K.: Dostupné na World Wide Web: [9] Wikipedia: Dostupné na World Wide Web: [10] Greenpeace, kampaň Papír má dvě strany: Dostupné na World Wide Web:

Programy, za jejichž pomoci byl soubor vytvořen [11] Text a obrázky – LATEX 2ε [12] Obrázky – Graph (ke stažení ) [13] Obrázky – GeoGebra (ke stažení ) [14] Obrázky – Google

Online kalkulátory [15] Online kalkulátor (český) [16] Webová verze programu Mathematica [17] Sčítání a násobení matic (lineární algebra)

Zajímavé odkazy [18] Stránky katedry matematiky ČZU TF [19] Masarykova univerzita (Brno) [20] ČVUT

165

Část III

Přílohy

166

Příloha A

Vzorce povolené ke zkoušce

A.1

Derivace

Funkce a exponenty 1. 2. 3. 4. 5.

(konstanta)0 = 0 (x)0 = 1 (xa )0 = axa−1 0 1 1 =− 2 x x √ 1 ( x)0 = √ 2 x

Pravidla pro derivování Pravidla pro sčítání 19. Pravidla pro násobení 20.

20.a

9.

1 x ln a 1 (log x)0 = x ln 10 1 (ln x)0 = x (ex )0 = ex

10.

(ax )0 = ax · ln a

7. 8.

(loga x)0 =

Goniometrické funkce

12.

(cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 (x) 1 (cotg x)0 = − 2 sin (x)

13. 14.

21. (u · v · w)0 = u0 · v · w + u · v 0 · w + u · v · w0 0

nebo též ((u · v) · w) = (u · v)0 · w + (u · v) · w0 Pravidla pro podíl 22.

0

(sin x) = cos x

22.a Pravidla pro složené funkce 23.

Cyklometrické funkce 15. 16. 17. 18.

A.2

(k · f (x))0 = k · (f (x))0

Násobení více funkcí


11.

(u · v)0 = u0 · v + u · v 0


Logaritmy a exponenciála 6.

(u ± v)0 = u0 ± v 0

u 0 v

=

f (x) k

u0 · v − u · v 0 v2

0

=

f 0 (x) k

0

[f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)

Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici 1 (arcsin x) = √ 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 0 (arctg x) = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 0

obecné mocniny 24.

f (x)g(x) = eg(x)·ln f (x)

Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí

167

168

PŘÍLOHA A. VZORCE POVOLENÉ KE ZKOUŠCE

Tabulka A.1: Důležité hodnoty goniometrických funkcí − π2

x

− π3

− π4

√

−1 −

sin x

3 2

cos x

0

1 2

tg x

?

√ − 3

cotg x

0

−

√

2 2

−

A.3

1.

0

π 6

− 12

0

1 2

1

√ 3 2 √ 3 3

√

√

2 2

3 2 √

−1

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

√

3 3

− π6

√

π 4

π 3

√

√

2 2

√

2 2

1

π 2

2π 3

3π 4

3 2

√ 3 2

√

1

1 2

0

− 21

√

√ 3 ? − 3

1

3 3

3 3

7π 6

1 2

0

− 12

√

−

2 2

√

−

3 2

5π 4 √

−

√

3 2

−1 −

√

2 2

√

−

2 2

√

−1

−

3 3

0

−1

√ − 3

?

3 3

√

3

4π 3

1 1

3π 2

5π 3

√

−

3 2

− 12

√

−1 −

3 2

0

1 2

3

?

√ − 3

√ 3 3

0

−

√

7π 4 √

2 2

− √

2 2

− 12 √

3 2 √

3 3

−1

−

−1

√ − 3

√

3 3

11π 6

Vzorce pro integrování Z

Funkce Z 3. Z 4. Z 5. Z 6.

k · f (x) dx = k · a exponenty

Z

f (x) dx

Pravidla pro integrováníZ Z Z 2. (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx Funkce Z 9. Z 10. Z 11. Z 12.

0 dx = C 1 dx = x + C α+1

x + C, α 6= −1 α+1 x a ax dx = +C ln a Logaritmy a exponenciála Z 1 7. dx = ln |x| + C Z x 8.

0 −

π

2 2

√

√

3

5π 6

xα dx =

ex dx = ex +C

Určitý integrál g(b) Z g(x) = t 0 18. f (g(x)) · g (x) dx = 0 g (x) dx = dt g(a)

cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C

dx = tg x + C cos2 x dx = − cotg x + C sin2 x Funkce Z vedoucí na cyklometrické funkce dx √ 13. = arcsin x + C 1 − x2 Z dx 14. = arctg x + C 1 + x2 Vzorce pro použití metod

Metoda per partes Neurčitý integrál Z Z 0 15. u · v = u · v − u · v0 Metoda substituce Neurčitý integrál Z g(x) = t 0 17. f (g(x)) · g (x) dx = 0 g (x) dx = dt

vedoucí na goniometrické funkce

Určitý integrál Zb Zb 0 b 16. u · v = [u · v]a − u · v 0 a

a

Z = f (t) dt = · · · = F (t) = F (g(x)) + C a → g(a) b → g(b)

g(b) Z g(b) f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a)) = g(a)

Speciální Z možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: Z 0 g (x) 1 19. f (ax + b) dx = · F (ax + b) + C pro (F 0 (x) = f (x)) 20. dx = ln |g(x)| + C a g(x)

A.4. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

A.4 1.

Aplikace určitého integrálu Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami: Zb Zb P = f (x) dx pro f (x) ≥ 0 na ha, bi, P = (f (x) − g(x)) dx a

2.

Délka křivky:

Zb p 1 + (f 0 (x))2 dx l= a

3.

Plášť rotačního tělesa:

S = 2π ·

Zb a

4.

169

Objem rotačního tělesa:

V =π·

Zb a

f (x) ·

p

f 2 (x) dx

a

1 + (f 0 (x))2 dx

pro f (x) ≥ g(x) na ha, bi

Příloha B

Návod k programu Graph 4.3

B.1

Úvod

Tento jednoduchý ale šikovný open source program umožňuje nakreslit funkce, řady bodů, provádět základní výpočty apod. a tak nám může usnadnit orientaci při výpočtu příkladů a zároveň nám nabízí grafické řešení a ověření výsledků. Často se počítá definiční obor, monotonie, konvexita a konkávita. To jsou charakteristiky funkcí, které lze snadno vyčíst z obrázku. Bohužel zkouškové předpisy jsou tak složité, že není možné si je v hlavě představit, proto musíme použít matematický aparát ke zjištění, kde funkce roste a klesá či kde je konkávní a konkávní. V rámci domácí přípravy však použití tohoto programu může přinést lepší představu o počítaných příkladech. Verze 4.3, která je dostupná od 26. srpna 2007, je již 28. verzí v pořadí. První verze byla uvedena v březnu 2001. Do novějších verzí se mimo nových funkcí a případných oprav zapracovávají i nové jazyky, verze 4.3 je dostupná ve 23 jazycích včetně srbštiny a mongolštiny a k šesti z nich je dostupná nápověda. Autorem je Ivan Johansen, který na programu stále pracuje. Program byl napsán pro práci pod operačním systémem Windows, dle zpráv od ostatních uživatelů jej však možné spustit jej i pod Linuxem a Macintoshem. Výstupy z grafu lze uložit pod koncovkou *.grf, nebo je též možné vyexportovat je jako obrázcek (nabízí se běžné druhy obrázků: *.jpg, *.png, *.bmp, *.emf a *.pdf) pod Soubor ⇒ Uložit jako obrázek. V následujících kapitolkách si ukážeme nejdůležitější funkce, které Graph 4.3 nabízí.

B.2

Popis pracovní lišty a nápovědy

Obrázek B.1 ukazuje základní pracovní plochu programu s lištou nástrojů. Na následujících obrázcích jsou vysvětleny jednotlivé funkce a způsob ovládání.

B.2.1

Nastavení os

Pod růžově zvýrazněným symbolem os se skrývá tabulka, kde je možné zaškrtnout zda se má zobrazovat mřížka, legenda, jak budou pojmenovány jednotlivé osy a nakonec i změna nastavení barev na Obrázek B.2.

170

B.2. POPIS PRACOVNÍ LIŠTY A NÁPOVĚDY

171

Obrázek B.1: Základní pracovní plocha

Zdroj: program Malování – print screen programu Graph

Obrázek B.2: Základní nastavení os a barev


B.2.2

Nápověda

Samotný program nabízí ve své nápovědě kompletní „slovníkÿ pro překlad požadavků do jazyka Graphu. Je pod záložkou Nápověda ⇒ Seznam funkcí jak je ukázáno na Obrázku B.3.

172

PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4.3

Obrázek B.3: Slovník – seznam funkcí


B.3

Jak zadávat funkce

Nejdůležitějším nástojem je samozřejmě samotné zadávání předpisů. Lze si buď vybrat z horní lišty Funkce ⇒ Vložit funkci, nebo použít ikonu znázorňující osy s červenou křivkou, jak je znázorněno na Obrázku B.4. V tabulce Vložit funkci na Obrázku B.4 lze také nastavit ohraničení zobrazení křivky, tloušťku, styl čáry a její barvu pro lepší orientaci. Obrázek B.4: Vložení nové funkce


B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE

B.3.1

173

Předpisy funkcí a jak je zadávat

Zde jsou vypsané zjednodušeně pokyny z této nápovědy: Tabulka B.1: Slovník typ funkce

jak se zapisuje

jak poprosit Graph

mocnina druhá odmocnina n-tá odmocnina logaritmus (přirozený) logaritmus (o základu n) logaritmus (dekadický) sinus cosinus tangens arcus sinus arcus cosinus arcus tangens Eulerovo číslo Ludolfovo číslo

x2 √ x √ n x ln x log2 10x log x sin x cos x tg x arcsin x arccos x arctg x e π

x∧ 2 sqrt (x) root(n, x) ln (x) logb(10x, 2) log (x) sin (x) cos (x) tan (x) asin (x) acos (x) atan (x) e pi

∧ sqrt

Ctrl + Alt + tlačítko 3š square root

stříška anglicky „odmocninaÿ

174


Tabulka B.2: Konkrétní funkce

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Funkce

Jak mluvit na Graph

f (x) = (x + 2) · ln(x − 3) − 1 r 4−x f (x) = 3 − 2 ln x+2 x2 + 2x − 15 2 f (x) = ln + ex −16 x−1 x3 − 16x √ f (x) = ln + 36 − x2 x−5 √ x3 + 4x2 − 21x f (x) = 25 − x2 + ln 4−x 2 √ x + 3x − 3 f (x) = 25x − x3 + ln 2 x + 2x − 8 √ 1−log (x+3) f (x) = e r 1 9x2 − 1 f (x) = + 2 log (8 − x) x − 10x + 21 r 4x 2−e f (x) = ln 2 + e4x √ 3 x2 − 3x − 10 f (x) = + log (8 − x) log (x + 4) − 1

(x + 2) ∗ ln(x − 3) − 1

! NEŠETŘETE ZÁVORKAMI ! Program pracuje s desetinnou tečkou.

3 − 2 ln(sqrt((4 − x)/(x + 2))) ln((x∧ 2 + 2x − 15)/(x − 1)) + e∧ (sqrt(x∧ 2 − 16)) ln((x∧ 3 − 16x)/(x − 5)) + sqrt(36 − x∧ 2) sqrt(25 − x∧ 2) + ln((x∧ 3 + 4x∧ 2 − 21x)/(4 − x)) sqrt(25x − x∧ 3) + ln((x∧ 2 + 3x − 3)/(x∧ 2 + 2x − 8)) e∧ (sqrt(1 − log(x + 4))) 1/(log(8 − x)) + sqrt((9x∧ 2 − 1)/(x∧ 2 − 10x + 21)) ln(sqrt((2 − e∧ (4x))/(2 + e∧ (4x)))) ((x∧ 2 − 3x − 10)∧ (1/3))/(log(x + 4) − 1) + log(8 − x)

B.3. JAK ZADÁVAT FUNKCE

175

Není-li výraz v argumentu (to, co je „logaritmovánoÿ, „sínusovánoÿ atd.) v závorce, může se stát, že program nakreslí jinou funkci; dále viz příklad rozdílné interpretace jedné funkce. Zadáme-li do Graphu funkci ne zcela jednoznačným způsobem, může dojít k následujícímu: log 8 − x log (8) − x y 2

log (8 − x)

1 x

−2 −1 −1

1

2

Toto bude nakresleno.

B.3.2

Otázkou je, jakou funkci jsme měli na mysli.

Konkrétní příklad

Předpis křivky: f (x) = x + e(1−x

2

)

je tedy x+e∧ (1-x∧ 2)

Tento předpis je nutné vložit do „Vložit funkciÿ. Z Obrázku B.5 je vidět, kde funkce roste a kde klesá. Funkce roste na intervalech Funkce klesá na intervalu

h−∞; 0i a h1, 5; ∞) h0; 1, 5i

Lze tedy očekávat, že funkční hodnoty derivace budou v místech poklesu záporné a v místech růstu funkce kladné. Obrázek B.5: Konkrétní příklad – funkce f (x) = x + e(1−x


2

)

176

B.4 B.4.1


Další funkce Ohraničení funkce, šrafování

Šrafováním se dá znázornit např. interval pro výpočet lokálních extrémů, plocha při výpočtu určitého integrálu apod. Kliknutím na růžově zvýrazněný symbol vyšrafované křivky na Obrázku B.6 se nám otevře dialogové okno se třemi záložkami:

Šrafování zde zvolíme druh šrafování a směr od funkce a horizontální osy Možnosti nabízí se nám zobrazit šrafování od – do, typ šrafování (čtverečky, šikmé čáry. . . ) Druhá funkce pro případ, že chceme zvýraznit plochu mezi dvěma funkcemi, je tu třetí záložka, kde určíme jaké funkce se mají na požadované ploše podílet

Obrázek B.6: Šrafování


B.4. DALŠÍ FUNKCE

B.4.2

177

Tečna a normála

Jak nakreslit tečnu a normálu? Musí být označena funkce, ke které mají být požadované přímky sestrojeny. Symbol je označen v růžovém rámečku na liště na Obrázku B.7. Pak je nutné zadat x-ovou souřadnici do horního pole dialogového okna. V případě, že má být nakreslena normála, pak je třeba zaškrtnout příkaz „Kolmiceÿ (jiný název pro normálu, neboť normála je kolmá na tečnu). Obrázek B.7: Vložení tečny a normály k vybrané funkci


B.4.3

Řada bodů / souřadnic

Kromě funkcí je možno zadat i řadu bodů. To je vhodná jak pro znázornění konkrétních souřadnic, vývoj sledovaných veličin, tak ke zvýraznění určitých bodů – např. maxim a minim, inflexních bodů, hraničních bodů a podobně.

B.4.4

Text, popisky a legenda

Kromě funkcí je možné na plochu vložit i text a další symboly. Je možné pohrát si s barvami textu a pořadí či velikostí písma.

B.4.5

Výpočty

Mezi další funkce patří například výpočet určitého integrálu (délka, obsah). Všechny ikonky nástrojů mají bublinovou nápovědu, takže kdo si chce s funkcemi pohrát více – má šanci. K zadané již nakreslené funkci Graph hravě dopočítá a ihned nakreslí derivaci přos Funkce ⇒ Vložit f 0 (x),nezobrazí však její maximální algebraickou úpravu.

178


Obrázek B.8: Řada bodů


Obrázek B.9: Vložení textu


B.4.6

Ostatní

Na nástrojové liště jsou další ikonky, např. ikonka černých os a červené křivky slouží k dopočítání a zvýraznění souřadnic na vybrané funkci, obrázky lupy či ručky, díky které lze s obrazem libovolně hýbat a posouvat osu, stačí

B.5. UŽITEČNÉ ODKAZY

prostě obrázek „čapnoutÿ a posunout kam je libo.

B.5

Užitečné odkazy

Program ke stažení (aktuální verze k datu 9. srpna 2015 je 4.4.2): • Oficiální stránky a dokumentace k programu Graph: • Tento soubor je v aktuální verzi ke stažení na: • <www.matematika-lucerna.cz/obrazky/navod-graph.pdf>

179

Příloha C

Lineární algebra Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009).

C.1

Definice z lineární algebry

1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které jsou definovány dvě operace: sčítání prvků množiny V (každé dvojici prvků x, y ∈ V je jednoznačně přiřazen prvek x + y ∈ V) a násobení prvků množiny V reálným číslem (každému prvku x ∈ V a každému reálnému číslu r ∈ R je jednoznačně přiřazen prvek r · x ∈ V). Obě operace musí navíc (pro všechny prvky x, y, z ∈ V a všechna reálná čísla r, s ∈ R) splňovat následující axiomy:

A1 : x + y = y + x, A2 : x + (y + z) = (x + y) + z, A3 : existuje prvek o ∈ Vtakový, že x + o = x, A4 : r · (x + y) = r · x + r · y, A5 : (r + s) · x = r · x + s · x, A6 : r · (s · x) = (r · s) · x, A7 : 1 · x = x, 0 · x = o.

Prvky vektorového prostoru nazveme vektory. Prvek o nazveme nulovým vektorem vektorového prostoru V. 2. definice Neprázdná podmnožina Svektorového prostoru V se nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí 1. pro všechna x, y ∈ S je x + y ∈ S(S je uzavřená vzhledek ke sčítání), 2. pro každé x ∈ S a každé reálné číslo r ∈ R je r · x ∈ S (S je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem).

3. definice Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk , je-li

x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk kde c1 , c2 , . . . , ck jsou nějaká reálná čísla. Čísla c1 , c2 , . . . , ck se nazývají koeficienty lineární kombinace. 4. definice Nechť M je libovolná množina vektorů vektorového prostoru V, lineárním obalem množiny M (ve V) nazveme množinu všech lineárních kombinací vektorů z M, označíme ji L(M).

180

C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

181

5. definice Vektory x1 , x2 , . . . , xk ∈ V nazýváme lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla c1 , c2 , . . . , ck , z nichž alespoň jedno je nenulové, taková, že

x = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk = o Nejsou-li vektory x1 , x2 , . . . , xk lineárně závislé, říkáme, že jsou lineárně nezávislé. 6. definice Nechť M ⊆ V je taková množina vektorů z V, že L(M) = V. Pak řekneme, že M generuje celý vektorový prostor V. Je-li množina M konečná, M = {x1 , x2 , . . . , xk }, pak říkáme, že vektorový prostor V je konečně generovaný a vektory x1 , x2 , . . . , xk nazýváme generátory tohoto prostoru. 7. definice Nechť M je lineárně nezávislá množina generátorů vektorového prostoru V. Pak říkáme, že množina M je bází vektorového prostoru V. 8. definice Počet vektorů v bázi vektorového prostoru V nazveme dimenzí tohoto prostoru a značíme dim V. Dále definujeme dim {o} = 0. 9. definice Nechť n ∈ N. Označme Rn množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Tedy Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ); kde x1 , x2 , . . . , xn ∈ R.} Řekneme, že dvě uspořádané n-tic (x1 , x2 , . . . , xn ) a (y1 , y2 , . . . , yn ) z Rn jsou si rovny právě když

x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn

10. definice Nechť x = (x1 , x2 , . . . , xn ) a y = (y1 , y2 , . . . , yn ) jsou dva vektory z Rn . Skalárním součinem x · y nazveme reálné číslo

x · y = x1 y1 + x2 y2 , . . . , xn yn , nebo stručněji

x·y =

n X

xi yi .

i=1

11. definice Nechť x ∈ Rn . Reálné číslo

|x| =

√

x·x

182

PŘÍLOHA C. LINEÁRNÍ ALGEBRA

nazveme velikostí (normou) vektoru x. Vektor x se nazývá jednotkový (normovaný) vektor, jestliže |x| = 1. 12. definice Vektory x, y z vektorového prostoru Rn se nazývají vzájemně ortogolální (kolmé), jestliže x · y = 0. 13. definice Báze x1 , x2 , . . . , xm podprostoru S vektorového prostoru Rn , m ≤ n, se nazývá ortogonální, jestliže vektory x1 , x2 , . . . , xm tvoří ortogonální skupinu vektorů. Jsou-li navíc x1 , x2 , . . . , xm jednotkové vektory, nazýváme tuto bázi ortonormální bází S. 14. definice Nechť S je podmnožina Rn . Ortogonálním doplňkem množiny S v Rn nazveme množinu { v ∈ Rn ; v · x = 0 pro všechny vektory x ∈ S}, označíme ji S⊥ . 15. definice Matice A typu (m, n) ∈ N, je tabulka reálných čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců 

  A=  

a11 a21 .. . am1

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn

     

16. definice Řekneme, že matice A a B jsou si rovny (A = B), jsou-li to matice stejného typu (m, n), pro jejichž prvky platí aij = bij

i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n

17. definice Nechť A a B jsou matice stejného typu (m, n), 

  A=  

a11 a21 .. . am1

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn





    , B =     

b11 b21 .. . bm1

b12 b22 .. . bm2

... ... .. . ...

Součtem matic A + B nazveme matici  a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n  a22 + b22 . . . a2n + b2n  a21 + b21 A+B= .. .. .. ..  .  . . . am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

b1n b2n .. . bmn

     

     

18. definice Hodností matice A typu (m, n) rozumíme dimenzí podprostoru Rn generovaného řádkovými vektory matice A. Hodnost matice A označíme hA. 19. definice Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m ≤ n a pro prvky matice T platí tij = 0 pro j < i a tii 6= 0 pro i = 1, . . . , m.

C.1. DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

183

20. definice Nechť A je matice typu (m, n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici AT typu (m, n) pro kterou platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT .



1  6  M =  11 16

N 2 3 7 8 12 13 17 18



 4 5 Transponace    9 10   T M =   14 15    19 20

1 2 3 4 5

NT 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

       

21. definice Řekneme, že matice A je Gaussova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádků je zároveň posledním nenulovým prvkem příslušného sloupce a matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek. 22. definice Řekneme, že matice A je Jordanova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádku je roven jedné a je to také jediný nenulový prvek v příslušném slupci. Matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek. 23. definice Nechť A je matice typu (m, p), B je typu (p, n). Součinem matic A a B nazveme matici C typu (m, n), pro jejíž prvky platí

cij =

p X

aik · bkj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

k=1

Součin matic A a B označíme A · B (resp. AB). 24. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže hA = n. Matici A, která není regulární, nazveme singulární maticí. 25. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n, n ∈ N. Jestliže existuje čtvercová matice A−1 řádu n, pro kterou platí

A · A−1 = A−1 · A = E pak říkáme, že matice A−1 je inverzní maticí k matici A. 26. definice Dvojici (ki , kj ) nazýváme inverzní v permutaci π = (k1 , k2 , . . . , kn ), jestliže platí i < j a současně ki < kj . 27. definice Permutace π se nazývá sudá, jestliže celkový počet inverzí r v této permutaci je sudé číslo. Permutace π se nazývá lichá, jestliže počet inverzí r je liché číslo.

184


28. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n,   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n  A= .. ..  ..  .. , .  . . .  an1 an2 . . . ann Determinantem matice A nazveme reáln číslo

det A =

X

r

(−1) a1k1 · a2k2 , . . . , a2nkn ,

(π)

P kde (π) znamená součet přes všchny permutace π = (k1 , k2 , . . . , kn ) sloupcových indexů (1, 2,. . . , n) a r je celkový počet inverzní v permutaci π. 29. definice Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n, n > 1. Submaticí Aij matice A nazveme čtvercovou matici řádu n–1, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Algebraickým doplňkem Dij prvku aij matice A nazveme číslo Dij = (−1)i+j det Aij .

30. definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže pro nenulový vektor x ∈ Rn a komplexni číslo λ platí

A(x)T = λ(x)T , pak číslo λ (lambda) nazveme vlastní číslo matice A a vektor x nazveme vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu λ.

C.2

Věty z lineární algebry

1. věta Nechť M = {x1 , x2 , . . . , xk } je množina vektorů z vektorového prostoru V a nechť ( k ) X L(M) = ci · xi ; ∀ixi ∈ M, ci ∈ R . i=1

Pak lineární obal L(M) množiny M je podprostor V. 2. věta Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou vektory z vektorového prostoru V, k ≥ 2, k ∈ N. Vektory x1 , x2 , . . . , xk jsou lineárně závislé právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinací ostatních vektorů. 3. věta Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou lineárně nezávislé vektory z V a nechť vektor y ∈ V je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk ,

C.2. VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

185

y = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + ck · xk . Pak koeficienty, c1 , c2 , . . . , ck této lineární kombinace jsou určeny jednoznačně. 4. věta Podmnožina M vektorového prostoru V je množinou generátorů V právě tehdy, když každý vektor y ∈ V lze vyjádřit jako lineární kombinací vektorů z M. 5. věta Nechť x1 , x2 , . . . , xk jsou generátory vektorovéo prostoru V a nechť y1 , y2 , . . . , ym jsou vektory, které vznikly z vektorů x1 , x2 , . . . , xk některou z následujících ekvivalentních úprav: 1. změnou pořadí vektorů ve skupině; 2. násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem; 3. tak, že k libovolnému vektoru přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů; 4. vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů (specielně lze vynechat nulový vektor, není-li to jediný vektor, který skupinu obsahuje); 5. přidáním vektoru, který je lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xk . Pak vektory y1 , y2 , . . . , ym generují stejný vektorový prostor V jako vektory x1 , x2 , . . . , xk . 6. věta – Steinitzova věta Nechť x1 , x2 , . . . , xm jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V; nechť y1 , y2 , . . . , yn jsou další vektory z V takové, že každý vektor xi je lineární kombinací vektorů y1 , y2 , . . . , yn , tj. xi ∈ L({y1 , y2 , . . . , yn }), i = 1, 2, . . . , m. Potom platí m ≤ n.

7. věta Libovolné dvě báze (konečně generovaného) vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů. 8. věta Nechť V je vektorový prostor dimenze n a nechť x1 , x2 , . . . , xm jsou vektory z V. Je-li m > n, pak jsou vektory x1 , x2 , . . . , xm lineárně závislé. 9. věta Nechť V je vektorový prostor dimenze n, pak každá skupina n lineárně nezávislých vektorů x1 , x2 , . . . , xn z V tvoří bázi vektorového prostoru V. 10. věta Nechť V je vektorový prostor dimenze n, x1 , x2 , . . . , xm lineárně nezávislé vektory z V. Je-li m < n, pak lze vektory x1 , x2 , . . . , xm doplnit na bázi V; to znamená, že existují vektory xm+1 , . . . , xn ∈ V takové, že x1 , x2 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn je báze vektorového prostoru V. 11. věta Nechť S je podprostor vektorového prostoru V. Potom platí

186


dim S ≤ dim V, přičemž rovnost m ≤ n ve Steinitzově větě platí právě když S = V. 12. věta Nechť x, y, z jsou libovolné vektory z Rn , r ∈ R libovolné reálné číslo. Pak platí: 1. x · y = y · x 2. (x + y) · z = x · z + y · z 3. r · (x · y) = (r · x) · y 4. x · x ≥ 0, přitom x · x = 0 právě tehdy, je-li x = 0.

13. věta Skupina nenulových vzájemně ortogonálních vektorů x1 , x2 , . . . , xk je vždy lineárně nezávislá. 14. věta Každý netriviální podprostor S vektorového prostoru Rn má ortogonální bázi. 15. věta Nechť S je podmnožina Rn . Pak platí

(§⊥ )⊥ = L(S). Je-li S podprostor Rn , lze s použitím Gramm-Schmidtovi ortogonalizující konstrukce dokázat následující důležitou větu, kterou použijeme při řešení soustav lineárních rovnic. 16. věta Nechť S je podprostor Rn . Potom platí dim S⊥ = dim Rn − dim S

17. věta Nechť A, B a C jsou matice typu (m, n), r, s ∈ R. Pak platí 1. A + B = B + A, 2. A + (B + C) = (A + B)+ C, 3. r · (A+ B)= r · A + r · B, 4. (r + s) · A = r · A + s · A, 5. r · (sA) = (r · s) · A.


187

18. věta Množina Rm·n všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor dimenze m · n. 19. věta Je-li matice T typu (m, n) trojúhelníková matice, pak

h(T) = m.

20. věta Nechť AT je transponovaná matice k matici A, pak platí h(A) = h(AT ).

21. věta Nechť je dána homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých a nechť A je matice této soustavy. Vektor x ∈ Rn je řešením této soustavy právě když x ∈ R (A)⊥ v Rn . 22. věta – Frobeniova věta Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě když hodnost matice soustavy A a hodnost rozšířené matice soustavy AR jsou stejné. 23. věta Každé řešení x nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze zapsat jako součet x=y+z kde y je libovolné (pevné) řešení nehomogenní soustavy a z je nějaké řešení homogenní soustavy se stejnou maticí A. Poznámka: z této věty vyplývá, že množinu M všech řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze symbolicky zapsat jako

M = y + R(A)⊥ = {y + z; z ∈ R(A)⊥ }.

24. věta Jsou-li A, B a C matice a r ∈ R libovolné reálné číslo, pak platí 1. A · (B · C) = (A · B) · C, (asociativní zákon) 2. A · (B + C) = A · B + A · C, (distributivní zákon) 3. (B + C) · A = B · A + C · A, (distributivní zákon) 4. r · (AB) = (rA) · B = A · (rB).

188


mají-li uvedené výrazy smysl. 25. věta Nechť A je čtvercová matice. Pak inverzní matice A−1 k matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární. 26. věta Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu. Potom matice nechť AB je také regulární a platí

(AB)

−1

= B−1 · A−1 .

Je-li r ∈ R nenulové reálné číslo, pak

(rA−1 ) =

1 · A−1 . r

27. věta Nechť A · x = b je soustava n lineárních rovnic o n neznámých. Je-li matice soustavy A regulární, pak má soustava jediné řešení x = A−1 · b.

28. věta Nechť A = (aij ) je trojúhelníková matice řádu n. Pak platí det A = a11 a22 . . . ann .

29. věta Nechť A je libovolná čtvercová matice řádu n. Pak platí: 1. det AT = det A, 2. jestliže matice B vznikla z matice A přehozením dvou řádků (resp. sloupců), pak det B = − det A, 3. jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (resp. sloupce) reálným číslem r ∈ R, pak det B = r · det A, 4. jestliže matice B vznikla z matice A tak, že k jednomu řádku matice A byla přičtena lineární kombinace ostatních řádků, pak det B = det A, 5. jestliže také matice B a C jsou čtvercové matice řádu n takové, že k-tý řádek matice C, k = 1, 2,. . . , n, je součtem k-tých řádků matic A a B a ostatní řádky mají všechny tři matice stejné, pak det C = det A + det B,


189

6. jestliže B je čtvercová matice řádu n, pak det (AB) = det A · det B, 7. jestliže A je regulární matice, pak det A−1 =

1 . det A

30. věta Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, je-li det A 6= 0. 31. věta Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n. Pak pro každé přirozené číslo i, 1 ≤ i ≤ n, platí det A =

n X

aij · Dij ,

j=1

a pro každé přirozené číslo j, 1 ≤ j ≤ n, platí det A =

n X

aij · Dij ,

i=1

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A. 32. věta – Inverzní matice pomocí determinantů Nechť A = (aij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat

A

−1



 1   = det A  

D11 D21 .. . D1n

D21 D22 .. . D2n

... ... .. . ...

Dn1 Dn2 .. . Dnn



   = 1 (Dij )T ,  det A 

kde Dij je algebraický doplněk prvku aij matice A pro všechna i, j = 1, 2, . . . , n. 33. věta – Cramerovo pravidlo Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 , . . . , xn

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ········· an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn . Je-li matice soustavy A = (aij ) regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

xi =

det Ai , pro i = 1, 2, . . . , n, det A

kde Ai je matice, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy (b1 , b2 , . . . , bn )T .

Příloha D

Řecká abeceda

transliterace moderní velké znaky moderní malé znaky

název

výslovnost

a

A

α

alpha

[alfa]

b g d e

B Γ ∆ E

β γ δ , ε

beta gamma delta epsilon

[beta] [gama] [delta] [epsilon]

z ˆe, H th i k

Z H Θ I K

ζ η θ, ϑ ι κ, κ

zeta eta theta iota kappa

[zéta] [éta] [théta] [ióta] [kapa]

l m n x

Λ M N Ξ

λ µ ν ξ

lambda mu nu xi

[lambda] [mí] [ný] [ksí]

o p r s

O Π P Σ

o π, $ ρ, % σ, ς

omicron pi rho sigma

[omikrón] [pí] [ró] [sigma]

t u f, ph ch

T Υ Φ X

τ υ φ, ϕ χ

tau upsilon phi chi

[tau] [ypsilon] [fí] [chí]

ps ˆo, O

Ψ Ω

ψ ω

psi omega

[psí] [omega]

190

Hurá konec, všechno umím. . .

lém ob

Ap lik a

ce

Nov ýp r

Obrázek D.1: Cyklus učení

Zk

ou má ní

Ře šen í

Challenge

. . . tak to asi ne, jen hezky pokračujte. . .

Název Verze Autorka Kontakt na autorku Určeno Počet stran

.

,

POMNĚNKA 9. srpna 2015 MSc. Catherine Morris [email protected] studenti ČZU, PaA, PaE a všem ostatním kdo mají pocit, že je pro ně soubor užitečný , 191

.

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

Recommend Documents