Penggunaan Program linier dalam Pemecahan Masalah Produksi dengan Menggunakan Grafik pada Pengajaran Matematika Oleh : Sri Hartini ABSTRAK Salah satu cara dalam memecahkan masalah produksi dengan menggunakan gambar grafik yaitu dengan menggambar garis-garis kendala dari suatu masalah,
kemudian menentukan ruang lingkup daerah penyelesaian atau polygon yang
Pendahr.lluan Masalah produksi dalam ekonomi banyak kaitannga dengan sumber-sumber yang tertatas, misalnya terbatasnya biaya, waktu, material dan sebagainya. Di sisi lain dari masalah produksi, keuntungan harus dimaksimumkan dan ongkos harus diminimumkan. Menurut Bambang Sugiarto (1 986: 1 5) pada dasarnya ilmu ekonomi ialah ilmu yang mem-
pelajari cara bagairnana mempergunakan benda-benda ekonomi yang serba terbatas sehingga bisa dicapai suatu kemakmuran
.
Dari sebuah perusahaan yang mempunyai beberapa jenis bahan mentah ingin menentukan besarnya produksi dari beberapa jenis barang , maka akan berupaya untuk memperoleh suatu hasil penjualan yang maksimum atau berupaya
untuk biaya pengeluaran yang minimum. Dengan mengalokasikan sumber-sumber yang dimiliki secara terbatas, tetapi dapat mencapai
tujuan yang diinginkan, merupakan tehnik matematika yang dinamakan programasi matematika.
Universitas Wiralodra lndramayu
dibentuk oleh garis-garis kendata tersebut. Setelah polygon diperoleh maka titik-titik ujung polygon merupakan titik ekstrem yaitu bagian dari titik penyelesaian masalah yang menunjukkan titik maksimum atau titik minimum sesuai dengan permasalahan yang dicari.
Dalam hal khusus, apabila pengukuran dari tujuan yang diinginkan merupakan suatu fungsi linier, demikian juga kendala atau sumber yang terbatas merupakan fungsi linier, maka programasi itu disebut programasi linier. Adapun masalah programasi linier menutut Wan Usman (1985:5.1) adalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi linier dari beberapa vari-
able utama yang,lelanjutnya disebut fungsi obyektif , dengan kendala-kendala atau batasan-
batasan yang ada merupakan suatu sistim pertidaksamaan linier. Dengan demikian persoalan program linier yaitu suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau fungsi obyektif yang linier menjadi optimum dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada. Pembatasan-pembatasan ini dinyatakan dalam pertidakamaan linier. Jadi yang dimaksud programasi linier adalah
suatu metode untuk mencapai tujuan sebesar-
besarnya atau sekecil-kecilnya dengan pembatasan-pembatasan yang ada.
a7
Persoalannya adalah bagaimana didalam keadaan yang serba terbatal itu masih bisa mencapai sesuatu yang sebaik_baiknya. Dariuraian tersebut diatas, jelaslah bahwa programasi linier merupakan alat yang ampuh untuk memecahkan persoalar,-p"irou1u., nko_ nomi secara kwantitatif.
Pembahasan Jika persoalan programasi linier terdiri dari dua variable, bagaimanapun banyaknya pembatasah-pembatasan yang ada, rnaka penyele-
diberikan kepada a ij adalah banyaknya input ke i yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit barang ke j. Sedangkan h i adalah banyaknya input ke i yang tersedia dari batasan tersebut. Artinya pembatasan input itu tidak boleh melebihi h i.
- Fungsi tujuan Z dapat dianggap sebagai fungsi yang hendak dimaksimalkan. Dengan demikian, untuk menghasilkan atau memperdagangkan 2 macam barang dengan memakai n macam input yang masing-masing berjurnlah terbatas, adalah dengan mencari nilai-nilai X yang maksimum.
saian yang paling mudah adalah dengan
Misalnya:
membuat garnbar grafik.
Seorang penjahit mempunyai persediaan bahan, 160 m katun, 110 m sutera dan 150 m batik untuk dibuat Seprai dan Gorden. Setiap Seprai memerlukan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m batik. Sedangkan setiap Gorden memerlukan bahan 1 m katun, 2 mzutera dan 3 m batik. Jika harga setiap Seprai $ SO aan harga setiap Gorden $ 50, maka berapa buah Seprai dan berapa buah Crcrden harus dibuat oleh penjahit agar penerimaan hasil penimlan Seprai dan Gorden tersebut sebesar mungkin ?
Berikut beberapa pemecahan persoalan program linier dalam masalah produksi dengan menggunakan gambar grafik.
1) . Maksimisasi Keuntungan dan
Penerimaan dalam pembatasan.
Salah satu interpretasi yang dapat diberikan pada persoalan progfamasi linier adalah persoalan maksimisasi keuntungan didalam batasan. Ini berutiftrngsitujuan itu adalah fungsi keuntungan yang secam umum ditulis : Z = Cl Xl + C2 X2 dimana X1 dan X2 masingmasing menunjukkan banyaknya barang yang dihasilkan dari 2 jenis barang. Sedangkan C1 dan C2 adalah keuntungan yang diperoleh dari penghasilan per unit barang. Batasan input 5nng tersedia ditulis dalam bentuk pertidaksamaan :
a 11 x1
+al2X2
a21 x1 +a22X2
anlX1 +an2X2
Penyelesaian
:
Tahap awal, buat iabel keperluan bahan setiap Seprai dan setiap Gorden. Bahan
Seprai
Katun Sutera
2
Gorden
Persediaan
1
160 110 150
Batik
1
2 3
Harga
$so
$so
1
Berikutnya buat tabel keperluan bahan , misall,.an banyaknya Seprai yang dibuat X1 dan banyaknya Gorden yang dibuatY2.
dihasilkan, maka interpretasi yang dapat
2A
Fakultas Keguruan dan
llms.,
Fendidikan
Bahan
Seprai
Gorden
Persediaan
Katun
2Xt
Yr2
Sutera Batik
X1 X1
160 110 150
Harga
$so
2X2 3
y,,2
$so
Tabel tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: Fungsi tujuan : Maksimumkan : Z = 30
X1 + 50)(2
Dengan pembatasan:
2Xl+ X2<
60
X1 + 2X2sL10 X1 + 3X2< 50
x1 >0
Grafik tersebut menunjukkan bahwa ruang lingkup daerah penyelesaian adalah yang tidak diarsir yaitu daerah yang memuat titik-titik dari (X1,X2)yang akan dicari maksimumnya. Pada ruang lingkup daerah penyelesaian terlihat bahwa ada 4 titik ekstrem (X1,X2) yang satu diantaranya merupakan titik maksimum yang dicari yaitu titik (80,0), (70,20), (30,40) dan (0,50). Dengan demikian dapat dibuat tabel nilai fungsi tujuan pada titik-titik ekstrem sebagai berikut : x2
x1
x2
30x'l
50
80 70 30 0
0 20 40 50
2400 2100 900
0 1000 2000
0
2s00
Z=30 X1 + 50 X2 2400 3100 2900 2500
x2>0
Tiga pertidaksamaan pertama merupakan konstren-konstren teknis yang ditetapkan oleh tersedianya input, sedangkan pertidaksamaan
yang berikutnya merupakan konstren ketidaknegatifan untuk nrcnghindarkan harga negatif. Grafik dari persamaan-persamaan dari pertidaksamaan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut : Gambar I
Dari tabel tersebut terlihat bahwa nilai fungsi tujuan yang paling besar adalah Z: 3100. Jadi penjahit tersebut memperoleh pendapatan hasil penjualan sebanyak-banyaknya 70 Seprai dan 20 Goidendenganiumlah pendapatan $ gf OO.
1) Minimisasi Biaya Persoalan minimisasi biaya didalam batasan dalam programasi linier, misalnya pembatasan
bahwa suplai sama dengan banyaknya :
permintaan. Disamping banyaknya barang yang diangkut tidak boleh melebihi suplai yang ada, sedangkan permintaan harus dipenuhi sesuai pesanan. Salah satu interpretasi yang dapat diberikan pada persoalan programasi linieryang lain adalah persoalan minimisasi biaya didalam batasan' Ini berarti fungsi tujuan itu adalah fungsi biaya yang akan diminimumkan. Secara umum ditulis:
Minimumt
Universitas Wi ralodra lndramayu
e9
Batasan output yang dikeluarkan bagi masing-masing produksi ditulis dalam bentuk pertidaksamaan
:
.
all Xl + a12 X2 > h1 a21 X1 + a22X2>h2 a31 X1 + a32 X2 > h3 an1 X1 + an2 X2 > hn
dioperasikan, dan X2 adalah jurnlah hari pabrik B dioperasikan, maka penxnusan persoalan dari program linier tersebut dapat ditulis sebagai
berikut : Fungsi tujuan : Minimuml
20 x2 Dengan pembatasan
Karena x1 dan X2 merupakan banyaknya output yang dikeluarkan, maka interpretasi yang dapat diberikan kepada aij adalah banyaknya output ke i diperlukan untuk menghasilkan satu unit barang ke j, dalam hal ini j:.2. Sedangkan hi adalah banyaknya output ke i yang dikeluarkan sesuai batasan, Batasan tersebut diartikan sebagai output yang tidak boleh kurang dari hi.
Misalnya
Jika X1 adalah jumlah hari pabrik'A
:
Sebuah perusahaan mempunyai 2 buah pabrik, pabrik A dan pabrik B. Pabrik A setiap hari memproduksi 1 ton Sagu, 3 ton Terigu
dan 5 ton Beras. Pabrik B setiap hari memproduksi 2 ton Sdgu, 2 ton Terigu dan 2
X1
:
+ 2X2 >8
3X1 + 2X2>- 6 5X1 + 2X2>20 x1.>0
x2>0 Tanda pertidaksamaan dari system kendala adalah "2" karena permintaan barang harus dipenGi dengan jumlah yangtidakboleh kurang dari jumlah pesanan.
Grafik dari persamaan-persamaan dari pertidaksamaan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
:
Gambar
ll
:
ton Beras. Perusahaan tersebut mendapat pesanan 8 ton Sagu, 16 ton Terigu dan 20 ton Beras. Jika biaya operasi setiap hari untuk masingmasing pabrik adalah 20 juta rupiah, maka berapa hari masing-masing pabrik tersebut harus dioperasikan agar biaya produksi sekecilkecilnya. Penyelesaian
:
Tahap awal penyelesaian, buat tabel hasil produksi pabrik A dan pabrik B dan jumlah permintaan. Barang
Pabrik A
Pabrik B
Permintaan
Sagu Terigu
1 ton
2 ton 2 ton 2 ton
I ton
B'eras
30
3 ton 5 ton
16 ton
20 ton
Gambar grafik tersebut menunjukkan bahwa daerah yang tidak diarsir adalah daerah penyelesaian yang merupakan ruang lingkup yanE memuat titik-titik (X1,X2). Untuk menenFakultas Keguruan dan llmu Pendidikan
tukan titik (X1,X2) dengan nilai fungsi tujuan (Z) minimum atau sekecil-kecilnyra dari Z = 20 X1 + 20Y\2, dapat dicari salah satu dari 4 titik ekstrem yaitu titik (8,0), (4,2]l, (2,5)dan (0,10) Tabeldari nilai fungsi tujuan minimum dari titik-titik ekstrem sebagai berikut:
xl
I 4 2 0
)<2
0 2 5 10
20
xl
160
80 40 0
20)<2
Z=20X1+20)(2
0 40 100 200
160 120 140
200
Penyelesaian
:
Perumusan persoalan program linier
'
Dari tabeltersebut terlihat bahwa nilai fungsi tujuan (Z) minimum/ sekecil-kecilnya adalah Z 120. Jadi perusahaan tersebut beroperasi dengan biaya produksi sekecil-kecilnya adalah 120 juta rupiah, dan memerlukan waktu untuk produksi selama 4 hari ur-rtuk pabrik A dan 2 hari untuk pabrik B.
:
3)
Model Kontemporer memerlukan 1 jam unfuk m€ngamplas dan 5 jam untuk mengecat, keunfungan marginnya adalah $ 20 per unit. Model Modern memerlukan 3 jam unfuk mengamplas dan 2jam untuk mengecat, keuntungan marginnya adalah $ 24 per unit. Bagaimanakah mengalokasikan waktu produksi, sehingga mendapatkan keuntungan yang maksimum, jika tersedia 120 jam untuk mengamplas dan 60jam untuk mengecat ?
Maksimisasi Penerimaan/Hinimisasi Biaya dengan menggunakan Grafik melalui DuaI dari pfogram linier.
Jika persoalan programasi linierterdiri dari 3 variabel atau lebih, maka pemecahan masalah
dengan menggunakan grafik tidak dapat dilakukan. Salah satu cara untuk memecahkan persoalan tersebut yaitu dengan metode algoritma simplex. Akan tetapi apabila persoalan program linier yang terdiri dari 3 variabel tersebut di dual kan, kemudian dual nya merupakan persoalan program linier dengan 2 variabel, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan grafik. Misalnya
:
Suatu pabrik mebel membuat tiga macam meja : Kedaerahan (X1), Kontemporer (X2) dan Modern (X3). Model Kedaerahan memerlukan 3 jam untuk mengamplas dan 1 jam untuk mengecat, keuntungan marginnya adalah $ 15 per unit.
Universitas Wiralodra lndramayu
tersebut adalah
:
Fungsi tujuan : Maksimumkan : Z
+ 20 X2 + 24X3 Dengan pembatasan
= 15 X1
:
<
3X1 + X2 + 3X3
tZA 60
X1+5X2+2X3< x1,x2,x3 > 0
Dual nya adalah sebagai berikut : Minimumkan : C = 120Y1 + 60Y2 Dengan pembatasan
3Y1
+Y2>ts
:
5Y2> 20 3Y1 +2Y2>-24 Y1,Y2 > 0
Y1 +
:
Grafik dari persamaan-persamaan dari pertidaksamaan Dual tersebut dapat digambarkan sebagaimana terlihat pada Gambar III.
Gambar grafik tersebut menuniukkan bahwa daerah yang tidak diarsir adalah daerah penyelesaian unfuk pemecahan masalah dalam Dual. Untuk menentukan nilai fungsi tujuan Z dan nilai variable keputusan X1,X2 dan X3, maka di selesaikan dahulu persoalan dalam Dual nya.
Dari gambar grafik tersebut terlihat bahwa nilai fungsi tujuan (C )minimum dari C = !2O Yl + 6AYZ dapat dicari yaitu salah satu dari 4 titik ekstrem ( Y1,Y2) yaitu (20,0), (6,3), (2,9) dan (0,15)
3l
Penutup Secara umum dapat disimputkan bahwa penggunaan program linier dalam pemecahan masalah produksi dengan menggunakan grafik, diperlukan beberapa langkah yang perlu dibuat, yaitu :
Jika persoalan program linier tersebut hanya ada 2 variabel kepufusan, maka langkahJangkah penyelesaiannya sebagai berikut : - Membuat rumusan persoalan kedalam rumusan matematika, yaitu rumusan fungsi tujuan (maksimum,/minimum) dan rumusan dari batasan dalam bentuk pertidaksamaan.
-
Membuat grafik dari persamaan-persamaan dari pertidaksamaan tersebut. Membuat tabel nilai fungsi tujuan dari titik-
titik ekstrem.
-
Menentukannilaifungsitujuan{maksimum/ minimum)dari salah satu titik-titik ekstrem, sehingga dapat menentukan nilai variable kepufusan
Jika dalam persoalan program linier ada 3 variabel keputusan atau lebih, maka penyelesaiannya tidak dapat dilakukan dengan menggunakan grafik. Akan tetapi dapat dilakukan dengan menggunakan metode Algoritma Simplex.
Jika dalam persoalan program linier ada 3 variabel keputusan atau lebih, tetapi Dual dari persoalan program liniertersebut ada 2 variabel keputusan dual, maka persoalan program linier dengan 3 variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan grafik melalui Dualnya.
Menurut Edi Soewardi (1983:28) yang dimaksud program linier adalah Teknik matematis untuk menemukan penggunaan terbaik sumber-sumber organisasi. Fungsi tujuan : fungsi obyektif yaitu pernyataan yang menunjukkan hubungan antara variable-variabel dalam masalah dan tujuan perusahaan. Pembatasan adalah suatu batas dari sumber-sumber yang tersedia. Pertidaksamaan adalah pernyataan rnatematis yang menunjukkan harus ditemukannya kebutuhan secara minimum atau maksimum. Titik ekstrem adalah suatu sudut dari daerah pemecahan layak/da erah penyelesaian.
Daftar Pustaka Bambang Sugiarto. Tg}l.Linear Programing. Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Edi Soewardi,K. 1983. Linear Programing. Sinar Baru Bandung.
Wan Usman,MA. 1985. Programasi Linier. Universitas Terbuka. Karunika Jakarta.
Cara untuk menjadi di depan adalah memulai sekarang. Jika mewiulai sekarang, tahun depan Anda akan tahu banyak hal yang sekarang tidak diketahui, dan Anda tak akan mengetahui masa depan j ika Anda menung gu-nung gu.
- William
Universitas Wiralod ra lndramayu
Feather
-
33
