144
Mládež a fyzika
Magnety a magnetické vlastnosti látek v experimentálních úlohách Mezinárodní fyzikální olympiády Jan Kříž, Bohumil Vybíral, Ivo Volf Ústřední komise Fyzikální olympiády, Přírodovědecká fakulta Univerzity Hradec Králové, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové
N
a sérii různých úloh z několika fyzikálních soutěží v Československém časopise pro fyziku, viz [1–5], bychom rádi navázali představením experimentálních úloh Mezinárodní fyzikální olympiády (MFO) týkajících se magnetů a magnetických vlastností látek. Uvedeme úlohy z let 2010 a 2012 v kompletním znění včetně řešení. Uvedené téma je v experimentálních problémech poměrně časté. Tak např. v rámci experimentálního problému č. 2 na 24. MFO v roce 1993 v USA soutěžící měřili jednak velikost magnetického momentu malého válcového permanentního magnetu. Ve druhé části této úlohy pak studovali magnetické pole v blízkosti předloženého hliníkového válečku, uvnitř něhož byly osově souměrně uloženy magnety. V roce 1998 byla zadána na 29. MFO na Islandu experimentální úloha, ve které studenti zkoumali magnetické stínění vířivými proudy a měřili také magnetický tok v uzavřeném feritovém jádře se dvěma cívkami. Plné texty úloh, v některých případech i s řea)
b)
Obr. 2 Tyčový a prstencový magnet v uspořádání, kdy jejich osy symetrie splývají. Síla mezi nimi se mění, když se tyčový magnet pohybuje ve směru osy z.
šeními, jsou přehledně k dispozici v angličtině na internetové stránce MFO [6].
EXPERIMENTÁLNÍ PROBLÉM ZE 41. MFO V CHORVATSKU: SÍLY MEZI MAGNETY, POJETÍ STABILITY A SYMETRIE Úvod Elektrický proud I procházející smyčkou o obsahu S vytváří magnetický moment o velikosti m = IS, viz obr. 1(a). Permanentní magnet můžeme považovat za soubor malých magnetických momentů železa (Fe), kde každý z nich je analogický magnetickému momentu proudové smyčky. Tento (Ampérův) model magnetu je vyobrazen na obr. 1(b). Celkový magnetický moment je součtem malých magnetických momentů a směřuje od jižního k severnímu pólu.
Síly mezi magnety
Obr. 1 a) Ilustrace proudové smyčky a vytvořeného magnetického pole. b) Ampérův model magnetu jako souboru malých proudových smyček.
http://ccf.fzu.cz
Výpočet síly působící mezi dvěma magnety je netriviální teoretická úloha. Je známo, že se stejné póly dvou magnetů odpuzují a opačné póly přitahují. Síla působící mezi dvěma proudovými smyčkami záleží na velikosti proudu ve smyčkách, jejich tvaru a jejich vzájemné vzdálenosti. Změníme-li směr proudu v jedné ze smyček, síla mezi nimi bude mít stejnou velikost, ale opačný směr. V této úloze budete experimentálně vyšetřovat síly mezi dvěma magnety – prstencovým a tyčovým. Zajímá nás geometrické uspořádání, ve kterém jsou osy symetrie obou magnetů totožné (viz obr. 2). Tyčovým
č. 2
Čs. čas. fyz. 63 (2013)
4. Jeden tyčový magnet 5. Jedna dřevěná špejle (k vytažení magnetu z válce). Experimentální uspořádání k měření sil mezi magnety je na obr. 4. Úzká hliníková tyčka slouží k tlačení tyčového magnetu otvorem ve válci. Váhy měří sílu (na základě měření hmotnosti). Horní deskou lisu je možné pohybovat nahoru a dolů pomocí křídlové matice. Důležité: Při otočení křídlové matice o 360° se matice posune o 2 mm.
Úlohy
Obr. 3 Snímek dvou magnetů a průhledného válce s otvorem; tyčový magnet se pohybuje otvorem válce.
magnetem lze pohybovat podél osy z zleva skrz prstencový magnet a dále doprava (viz obr. 2). Kromě jiného budete mít za úkol změřit sílu mezi magnety a vyjádřit ji jako funkci z. Počátek z = 0 odpovídá případu, kdy jsou středy obou magnetů totožné, tedy umístěny ve stejném bodě. Aby byl zajištěn pohyb tyčového magnetu podél osy symetrie (osa z), prstencový magnet je pevně upevněn uvnitř průhledného válce, který má vyvrtaný úzký otvor podél osy z. Tyčový magnet se tak může pohybovat pouze tímto otvorem (viz obr. 3). Magnety jsou zmagnetizovány podél osy z. Dutý válec zjišťuje radiální stabilitu magnetů.
Experimentální uspořádání V této úloze použijte následující pomůcky ležící na vašem stole: 1. Zařízení připomínající lis, (společně s kamenným těžítkem, viz obr. 4) 2. Elektronické váhy (měřící hmotnost do 5 000 g, mající funkci TARA) 3. Průhledný válec s vyvrtaným otvorem, uvnitř válce je upevněn prstencový magnet
1. Kvalitativně (bez přesného měření) určete všechny rovnovážné polohy mezi dvěma magnety. Uvažujte, že osa z je orientována vodorovně jako na obr. 2, a schematicky je načrtněte. Označte, zda jde o rovnovážné stavy stabilní (S), nebo nestabilní (N), a vybarvěte souhlasné póly magnetu. Tuto úlohu můžete vyřešit buď teoreticky, nebo si pohrajte s magnety použitím svých šikovných rukou a špejle. 2. Pomocí experimentální aparatury změřte sílu mezi dvěma magnety jako funkci souřadnice z. Nechť kladný směr osy z směřuje dovnitř průhledného válce (síla je kladná, když má směr souhlasný s kladným směrem osy). V konfiguraci, ve které jsou magnetické momenty souhlasné, označte sílu F(z), a pokud jsou opačné, označte magnetickou sílu F(z). Důležité upozornění: Zanedbejte hmotnost tyčového magnetu (tj. neuvažujte vliv gravitace) a využijte symetrií sil mezi magnety při měření různých částí závislosti. Pokud naleznete nějakou symetrii sil, zapište ji. 3. Z měření z Úlohy 2 narýsujte detailně na milimetrový papír závislost F(z) pro z > 0. Nakreslete schematicky tvary křivek F(z) a F(z) (pro kladnou i zápornou poloosu z). V každém schematickém grafu označte polohy bodů rovnováhy a načrtněte příslušnou konfiguraci magnetů (jako v úloze 1). 4. Pokud nezanedbáme hmotnost tyčového magnetu, objeví se kvalitativně nějaká nová stabilní rovnovážná poloha při svislé orientaci osy z? Pokud ano, nakreslete ji jako v úloze 1.
Řešení 1. Náčrty rovnovážných poloh jsou na obr. 5. 2. Symetrie, které by měly být využity v měření: F(z) = −F(−z) F(z) = −F(z) F(z) = − F(−z) S N
S N
Obr. 4 Fotografie experimentálního uspořádaní a způsobu, který máte použít k měření sály mezi magnety.
S N
S N
S N
S N
Obr. 5 Náčrty rovnovážných poloh dvojice magnetů.
http://ccf.fzu.cz
145
» Vodní hladina
nad magnetem zcela ponořeným ve vodě změní svůj tvar. Pozorujte, jaký je tvar vodní hladiny nad magnetem.
«
146
Mládež a fyzika
a)
c)
b)
Obr. 6 Počáteční polohy pro první měření.
Celou křivku je možné proměřit tak, že začneme ze tří z výše uvedených stabilních rovnovážných poloh. Měření provedená z počátečních poloh na obr. 6 jsou zapsána v tab. 1. a) z0 = 0 mm m/g 0 31 55 75 97 119 140 158 171 170 118 85 50 10
Δz/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,25 10,5 10,75
b) z0 = 10,8 mm
c) z0 = 18,6 mm
m/g 0 233 538 927 996 1 124 1 154 1 213 1 212 1 120 873 284 36
m/g 0 116 170 186 169 150 116 89 67 53 36 27 23 14 9 5
Δz/mm 0 1 2 3 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
3
28
Δz/mm 0 1 2 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5
Obr. 8 Náčrt závislosti síly mezi souhlasně orientovanými magnety na vzájemném posunutí magnetů.
Obr. 9 Náčrt závislosti síly mezi nesouhlasně orientovanými magnety na vzájemném posunutí magnetů.
g
Tab. 1 Naměřené hodnoty.
3. Díky výše uvedeným symetriím postačí detailně nakreslit jen jednu část grafu, příklad je uveden na obr. 7. Celou závislost sil v obou případech (souhlasně i nesouhlasně orientované magnety) pak vyjadřuje obr. 8 a obr. 9. Na těchto obrázcích jsou vyznačeny i jednotlivké rovnovážné polohy. 4. Nová rovnovážná poloha se objeví, její náčrt je na obr. 10. 14 12 10
F(z)[N]
8 6 4 2 0 -2 -4
z [mm]
Obr. 7 Graf závislosti síly mezi magnety na vzájemném posunutí magnetů.
http://ccf.fzu.cz
Obr. 10 Kvalitativně nová rovnovážná poloha.
EXPERIMENTÁLNÍ PROBLÉM ZE 43. MFO V ESTONSKU: MAGNETICKÁ PERMEABILITA VODY Vliv magnetického pole na většinu látek s výjimkou feromagnetických je poměrně slabý. Je to způsobeno tím, že hustota energie magnetického pole v látkách s relativní permeabilitou μ (v české literatuře běžně označovaná μr) 1 B 2 a μ je typicky velmi blízké je dána vztahem w = 2 μμ 0 jedné. Nicméně s vhodnou experimentální technikou jsou i takovéto vlivy dobře pozorovatelné. V této úloze budete studovat vliv magnetického pole permanentních neodymových magnetů na vodu. Z naměřených hodnot poté vypočítáte magnetickou permeabilitu vody. V této úloze nemusíte určovat žádné odchylky výpočtem! Neuvažujte efekty spojené s povrchovým napětím. Experimentální soustava, viz obr. 11, se skládá ze stojanu (1), digitálního posuvného měřidla (3), laserového ukazovátka (4), nádoby s vodou (5) a válcového permanentního magnetu (7) v nádobě (magnet je magnetizován ve směru osy symetrie). Nádoba je uchycena na spodní části stojanu přitažlivou magnetickou silou. Laserové ukazovátko je připevněno k posuvnému měřidlu, jehož jedno rameno je připevněno ke stojanu; manipulací s posuvným měřidlem lze tedy lase-
č. 2
Čs. čas. fyz. 63 (2013)
Obr. 11 Experimentální soustava pro měření magnetické susceptibility vody. Detailní popis soustavy je v textu úlohy.
rem vodorovně pohybovat. Spínací tlačítko laseru lze udržet v sepnuté poloze pomocí bílé válcové trubičky (13). Hladina vody by měla být co možná nejblíže vzdálenosti 1 mm nad magnetem (pokud by to bylo méně, vodní hladina se bude zakřivovat tak, že bude velmi obtížné odečítat hodnoty ze stínítka). Kelímek s vodou (15) a injekční stříkačku (16) můžete použít k nastavení výšky vodní hladiny. Přilejete-li 13 ml vody, hladina stoupne o 1 mm. List milimetrového papíru („stínítko“ 2) upevněte ke svislé destičce na stojanu malými magnety (14). Pokud bude laserová stopa na stínítku narušená, zkontrolujte vodní hladinu, zda na ní není prach, a případně ho odfoukněte. Další čísly označené objekty na obr. 11 jsou: bod, ve kterém dopadá laserový paprsek na stínítko (6), LCD displej posuvného měřidla (11), tlačítka na přepínání jednotek měřidla z milimetrů na palce (10), spínač (8), tlačítko k nastavení nulové polohy posuvného měřidla (9). Pro výpočty použijte tyto číselné hodnoty: vodorovná vzdálenost mezi středem magnetu a stínítkem je L0 = 490 mm. Zkontrolujte (a případně nastavte) polohu středu magnetu ve dvou na sebe kolmých směrech. Svislá osa magnetu musí ležet v rovině paprsku laseru a musí zároveň protínat černou úsečku na destičce (12), na níž nádoba leží. Magnetická indukce na ose magnetu ve vzdálenosti 1,0 mm od jeho základny je B0 = 0,38 T; hustota vody ρw = 1 000 kg/m3; tíhové zrychlení g = 9,8 m/s2; permeabilita vakua μ0 = 4π 10-7 H/m.
Část A. Tvar vodní hladiny kvalitativně Vodní hladina nad magnetem zcela ponořeným ve vodě změní svůj tvar. Pozorujte, jaký je tvar vodní hladiny nad magnetem. Podle svého pozorování rozhodněte, zda je voda diamagnetická (μ < 1), nebo paramagnetická (μ > 1). Určete kvalitativní tvar hladiny, vyberte jednu z možností na obr. 12.
Češi na 41. IPhO.
Část B. Přesný tvar vodní hladiny Zakřivení vodní hladiny lze s velkou přesností studovat pomocí odrazu laserových paprsků od hladiny. Pomocí tohoto jevu vypočítáte závislost hloubky vody nad magnetem na vodorovné poloze laserového zdroje. i) Proměřte podrobně závislost výšky y laserové stopy na stínítku na posunutí posuvného měřidla x, viz obr. 11. Hodnoty posunutí na posuvném měřítku volte tak, abyste bezpečně proměřili celou, pro měření zajímavou oblast. ii) Narýsujte graf naměřené závislosti. iii) Pomocí vašeho grafu určete úhel α 0, který svírá paprsek odražený od vodorovné části vodního povrchu s tímto vodorovným vodním povrchem. Pro sklon vodní hladiny od vodorovné roviny (tg β) platí následující rovnost tg β ≈ β ≈
cos 2 α 0 y − y0 − (x − x0) tg α 0 ⋅ , L0 + x − x0 2
kde y0 je výška laserové stopy na stínítku pro takový laserový paprsek, který se odráží od vodní hladiny v místě průsečíku vodní hladiny s osou magnetu, a x0 je odpovídající poloha posuvného měřidla. iv) Vypočtěte hodnoty sklonu vodní hladiny. Všimněte si, že je možné zjednodušit vaše výpočty, pokud vhodnou kombinaci členů z výrazu pro sklon nahradíte veličinou, kterou lze odečítat přímo z grafu. v) Vypočtěte výšku vodní hladiny jako funkci x. Nulová hodnota výšky hladiny odpovídá hladině vody daleko od magnetu. vi) Narýsujte graf závislosti z úlohy v). Vyznačte na něm oblast, kde paprsek dopadá na vodní hladinu přesně nad magnetem.
A
B
C
D
Část C. Magnetická permeabilita
E
F
Užijte výsledky Části B a vypočtěte hodnotu μ – 1 (tzv. magnetickou susceptibilitu), kde μ je relativní magnetická permeabilita vody.
G
H
Řešení Obr. 12 Tvar vodní hladiny nad magnetem – kvalitativně. Vyberte správnou možnost.
Část A. Pozorováním odrazů od vodní hladiny lze zjistit, že hladina má nad magnetem jedno relativně ploché minimum. Správná je tedy varianta D na obr. 12.
http://ccf.fzu.cz
147
148
Mládež a fyzika
x/mm
10
y/mm
12
x/mm y/mm
15
20
16
20
54
56
58
45
46
45
25 24
30
32
34
36
38
40 41
42
30
33
37
41
42
40
60
62
64
66
68
70
72
74
44
44
46
50
54
57
60
62
44
46
48
50
20
52
41
42
43
44
h/μm −10
76
78
80
85
90
−20
64
65
67
71
75
40
30
40
50
60
70
80 x/mm
−30
Tab. 2 Naměřené hodnoty. −40
Část B. i) Naměřené hodnoty výšky stopy na stínítku y v závislosti na vodorovné poloze x posuvného měřidla jsou v tabulce 2. ii) Viz obr. 13.
−50 −60 −70
Obr. 14 Graf závislosti výšky vodní hladiny na poloze posuvného měřidla.
vi) Viz obr. 14. Polohu magnetu lze určit pomocí posuvného měřidla. Nalezneme polohy, kdy paprsek dopadá nad hrany magnetu, a z těchto poloh vypočítáme průměr magnetu asi 24 mm. Díky symetrii bude střed magnetu nad minimem výšky vodní hladiny. Část C. Vodní povrch zaujímá tvar ekvipotenciální plochy. Potenciální energie spojená s magnetickou interakcí vztažená na jednotku objemu je 1− μ B2 . μ −1 − 1 ≈ B 2 2μ 0 2μ 0
(
Obr. 13 Závislost výšky stopy na stínítku y v závislosti na vodorovné poloze x posuvného měřidla.
iii) Pokud by byl vodní povrch plochý, byla by závislost y na x lineární a tan α 0 by byla směrnicí této lineární závislosti. V extrémních polohách ukazovátka dopadá laserový paprsek na plochou hladinu daleko od magnetu. Spojíme-li tedy tyto extrémní polohy úsečkou (červená úsečka v obr. 13), dostaneme závislost odpovídající plochému vodnímu povrchu. Úhel α 0 lze tedy snadno určit z extrémních bodů α 0 = arctg ((75–12)/90–10) = 38°. iv) Pro rychlejší výpočty je výhodné z grafu odečíst svislé vzdálenosti modré křivky od červené úsečky, které odpovídají výrazu y – y0 – (x – x0) tg α 0. V tab. 3 jsou uvedeny vypočtené hodnoty tg β. v) Výšku hladiny dostaneme jako integrál h = ∫ tg β dx. Provedeme tedy numerickou integraci, jejíž výsledky jsou uvedeny v tabulce 4. Poznamenejme, že výška hladiny na konci tabulky by také měla být 0 (magnetem neporušená oblast). Nenulovou výšku lze vysvětlit nepřesnostmi měření. x/mm
10
15
20
25
46
48
50
52
tg β/105
0
10
27
66 204 303 473 591 597 428 239 128 53
26
0
–26
x/mm
54
56
58
60
–tg β/10
5
30
62
32
64
34
66
36
68
38
70
40
42
44
72
74
76
78
80
85
90
72 145 278 449 606 536 388 254 154 74
40
20
6
2
2
0
)
Potenciální energie tíhového pole (vztažená na jednotku objemu) je ρgh. Na vodní hladině musí být součet těchto energií konstantní. Položme nulovou potenciální hladinu do místa, kde je hladina vodorovná, neporušená magnetem. Potom nad magnetem platí B2
1− μ = − ρgh , a tedy μ –1= 2 μ0 ρgh/B2. 2μ 0
Numericky vyjde μ –1 = – 1,2 ∙ 10-5.
Literatura [1] J. Kříž, B. Vybíral, I. Volf: Čs. čas. fyz. 61, 387 (2011). [2] J. Kříž, I. Volf, B. Vybíral: Čs. čas. fyz. 62, 131 (2012). [3] J. Kříž, B. Vybíral, I. Volf: Čs. čas. fyz. 62, 203 (2012). [4] J. Kříž, B. Vybíral, I. Volf: Čs. čas. fyz. 62, 265 (2012). [5] J. Kříž, I. Volf, B. Vybíral: Čs. čas. fyz. 63, 68 (2013). [6] http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions_5.html
Tab. 3 Vypočtené hodnoty tg β. x/mm
10
15
20
25
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
–h/μm
0
0
1
4
10
15
23
34
46
56
63
66
68
69
69
69
x/mm
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
85
90
–h/μm
68
66
61
54
44
32
23
17
12
10
9
8
8
8
8
8
Tab. 4 Vypočtená výška hladiny.
http://ccf.fzu.cz
Zlatý J. Sýkora na 41. IPhO.
