Catatan Kuliah
MA5181 PROSES STOKASTIK “We do love uncertainty”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013
Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: • Selasa; 11.30-12.20; R. Seminar I.2 • Rabu; 9.00-10.40; R. Seminar I.2 B. Materi kuliah: • Peluang, peubah acak dan distribusi • Peluang/Ekspektasi bersyarat • Distribusi eksponensial • Proses Poisson • Proses Renewal • Rantai Markov C. Buku teks: • Sheldon Ross, 1996, Stochastic Processes, 2nd ed., Wiley. • Taylor dan Karlin, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed., Academic Press. E. Penilaian: • Ujian 1,2,3 (90%): 25 September 2013 (30%) 30 Oktober 2013 (30%) 4 Desember 2013 (30%) • Kuis (10%)
MA5181 Pros.Stok.
i
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1.1 Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Peubah acak dan distribusi . . . . . . 1.4 “More on distribution function” . . .
. . . .
1 1 1 4 5
2 Ekspektasi Bersyarat 2.1 Distribusi Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ekspektasi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 3
3 Distribusi Eksponensial 3.1 Peubah Acak Eksponensial 3.2 Sifat Tanpa Memori . . . . 3.3 Sifat Momen . . . . . . . . 3.4 Sifat Distribusi . . . . . . 3.5 Statistik Terurut . . . . . 3.6 Aplikasi . . . . . . . . . .
1 1 1 3 3 5 6
. . . . . .
. . . . . .
ii
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . .
BAB 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1.1
Pengantar
Proses stokastik adalah salah satu cabang ilmu statistika. Secara teoritis, suatu proses stokastik {Yt } adalah koleksi peubah acak dengan t menyatakan indeks waktu. Oleh karenanya, pemahaman mengenai peubah acak dan peluang suatu peubah acak bernilai tertentu sangatlah penting. Perhatikan ilustrasi berikut: “Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang”. Dapatkah kita mendefinisikan/membangun suatu peubah acak? Bagaimana jika informasi yang kita miliki adalah “Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?”. Dapatkah kita mendefinisikan/membangun suatu peubah acak?
1.2
Peluang
Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wujudnya adalah angka diantara nol dan satu). Peluang berkaitan dengan menyatakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita untuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang memiliki peluang kecil). 1
Contoh-1: Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuk setiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkuliahan tersebut). Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuah perkuliahan benar-benar tidak terjadi? Contoh-2: Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah. Katanya “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”. Adakah sosok seperti Tiani? Contoh-3: Arya telah memesan sekaligus membayar tiket suatu penerbangan. Tentu saja Arya yakin bahwa dia akan mendapatkan kursi saat datang dan memasuki pesawat nanti. Mungkinkah Arya tidak mendapatkan kursi? Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitung peluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian atau (dan ini yang utama) peluang suatu peubah acak. Contoh-4: Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memiliki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki? Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran? Jawab: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi, P (LK) = · · · dan P (LK ∩ U ) P (U ) P ({{LL} ∩ {LL, LLc , Lc L}}) = P ({LL, LLc , Lc L}) P ({LL}) = P ({LL, LLc , Lc L}) = (1/4)/(3/4) = 1/3.
P (LK|U ) =
MA5181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
Seringkali dibutuhkan nilai (awal) peluang suatu kejadian, untuk kemudian dapat dihitung peluang kejadian berikutnya. Menentukan nilai awal peluang merupakan masalah yang menarik dan menantang (challenging). Contoh-5: Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan pi adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Jawab: Misalkan Ki , i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 ) = (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T |K1 )P (K1 ) P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 ) (1 − p1 )(1/3) = (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3
P (K1 |T ) =
Catatan: Dalam hal ini, pi adalah peluang awal suatu kejadian. Dengan peluang awal ini maka nilai peluang yang kita cari akan lebih bermakna. Contoh-6: Pada contoh “maskapai penerbangan”, berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Jawab: Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang, maka P (X ≤ 50) = · · · Pembahasan utama pada perkuliahan ini adalah peluang suatu peubah acak termasuk karakteristik utamanya yaitu distribusi peubah acak.
MA5181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
1.3
Peubah acak dan distribusi
Peubah acak (p.a.) adalah alat untuk “memudahkan” kita dalam “menyederhanakan” hitungan peluang; peubah acak membuat kita bekerja dalam bilangan riil. Secara teoritis, peubah acak adalah fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan riil. Catatan: Peubah acak berbeda dengan peubah! Contoh, misalkan suatu ruang sampel S = {00, 01, 10, 11}. Definisikan X sebagai peubah acak yang menyatakan banyaknya “1”, X : 00 ∈ S → 0, X : 01 ∈ S → 1, dst. Jadi, nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2} Pada contoh “maskapai penerbangan”, kita dapat membangun peubah acak secara lebih terarah setelah mengetahui tujuan yang ingin kita capai. Dalam hal ini, kita ingin menghitung “peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang”. Peubah acak yang dapat didefinisikan adalah “X yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang”. Dapat pula “peubah acak X yang menyatakan banyaknya pemesan tiket yang tidak datang”. Peubah acak berkaitan dengan distribusi atau, secara khusus, fungsi distribusi (kumulatif) atau f.d. Melalui f.d., peubah acak akan makin memiliki makna dan aplikatif. Contoh, suatu peubah acak menyatakan banyaknya pemesan tiket yang datang. Peubah acak tersebut mengikuti distribusi binomial dengan parameter tertentu. Kita dapat memahami perilaku peubah acak (secara probabilistik) tersebut melalui f.d. Misalkan X suatu peubah acak; F.d. untuk X adalah FX (x) = F (x) = P (X ≤ x) dengan sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan
MA5181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
Contoh-1: Suatu peubah acak diskrit X memiliki nilai yang mungkin {0, 1, 2} dengan peluang di titik-titik tersebut, P (X = x) = f (x), berturut-turut, adalah f (0) = 1/4; f (1) = 1/2; f (2) = 1/4. Tentukan fungsi distribusinya. Contoh-2: Diketahui fungsi peluang suatu peubah acak kontinu adalah f (x) = λ e−λx , x > 0. Fungsi distribusi yang bersesuaian adalah... Jawab: ∫ x ∫ x F (x) = f (t) dt = λ e−λt dt = · · · 0
0
Contoh-3: Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x<0 1 x 3 + 5, 0 ≤ x < 1 F (x) = 35 , 1≤x<2 9 , 2≤x<3 10 1, x≥3
1.4
“More on distribution function”
Pandang suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi distribusi F (x) dan fungsi peluang f (x). Salah satu “keunggulan” fungsi distribusi dibandingkan fungsi peluang adalah fakta bahwa 0 ≤ F (x) ≤ 1, sedangkan f (x) ≥ 0. Distribusi apapun yang melekat pada X akan memiliki fungsi distribusi yang selalu bernilai diantara nol dan satu. Akibatnya, kita dapat membentuk peubah acak baru (menurut konsep Transformasi Peluang) yaitu U = FX (X) = F (X)
MA5181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
dengan fungsi distribusi FU (u) = P (U ≤ u) = P (FX (X) ≤ u) = P (X ≤ FX−1 (u)) = FX (FX−1 (u)) = u, atau dengan kata lain, U = FX (X) = F (X) ∼ U (0, 1). Catatan: Kita tahu bahwa jika X berdistribusi Uniform pada selang [0, 1] atau U (0, 1) maka F (x) = x. Keunggulan diatas juga bermanfaat dalam simulasi stokastik. Contoh, misalkan kita ingin membangkitkan data dari suatu distribusi dengan F (x) = 1 − e−λx . Bagaimana kita dapat melakukannya? Jawab: - Bangkitkan data dari peubah acak U ∼ U (0, 1) - Tentukan invers dari fungsi distribusi atau F −1 (x) - Hitung F −1 (u) (metode ini dikenal dengan nama Invers Transformation Method). Fungsi Distribusi dan Copula Misalkan kita punyai peubah acak X dan Y dengan fungsi distribusi, berturutturut, adalah FX dan GY . Bagaimana kita dapat menentukan H(x, y) ? Salah satu teknik yang dapat dilakukan untuk mendapatkan fungsi distribusi bersama adalah menggunakan formula Keluarga Farlie-Morgenstern: { ( )( )} H(x, y) = F (x) G(y) 1 + α 1 − F (x) 1 − G(y) untuk |α| ≤ 1.
MA5181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
Contoh: Untuk X dan Y dengan marginal U (0, 1), kita peroleh, H(x, y) = x2 y + y 2 x − x2 y 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, jika α = −1, dan F (x, y) = 2 x y − x2 y − y 2 x + x2 y 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, jika α = 1. Bagaimana jika X dan Y memiliki distribusi marginal yang berbeda dan bukan U (0, 1)? Teorema Sklar (Tse, 2009, hal.367): Misalkan H fungsi distribusi bersama dengan fungsi distribusi marginal (margin) F dan G. Terdapat suatu Copula untuk semua (x, y) sedemikian hingga H(x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = C(P (X ≤ x), P (Y ≤ y)) = C(F (x), G(y)) = C(u, v), dengan U = F (X), V = G(Y ). Catatan: - Copula merupakan fungsi distribusi 1 - Contoh Copula: C(u, v) = (u−θ + v −θ − 1)− θ atau Clayton Copula - Keluarga F-M adalah salah satu bentuk Copula
MA5181 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
BAB 2 Ekspektasi Bersyarat Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat berperan penting dalam memahami atau menentukan aplikasi teori peluang (applied probability). Hal ini didasarkan pada fakta bahwa peluang suatu peubah acak (atau kejadian) sering bergantung nilai peubah acak (atau kejadian) yang lalu.
2.1
Distribusi Bersama
Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak dengan fungsi distribusi berturutturut FX dan FY . Kita dapat membangun fungsi distribusi dan fungsi peluang bersama dari kedua peubah acak tersebut dari informasi distribusi marginal dan sifat kebebasan. Distribusi bersama untuk dua atau lebih peubah acak sangat membantu dalam membangun model yang lebih rumit. Hubungan antara distribusi marginal dan distribusi bersama adalah sebagai berikut: distribusi marginal mungkin dapat membangun distribusi bersama; dengan distribusi bersama kita dapat menentukan distribusi marginal. Contoh-1: Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = p2 (1 − p)x+y−2 , x, y ∈ N , dengan 0 < p < 1. Tentukan fungsi peluang marginal dari X dan Y . Jawab: ∑ fX (x) = fX,Y (x, y) y
1
yang bernilai sama dengan ∞ ∑
p2 (1 − p)x+y−2
y=1
= p2 (1 − p)x−2
∞ ∑
(1 − p)y
y=1
= p (1 − p)
x−1
, x∈N
Contoh-2: Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y . Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = λ µ exp(−λx + µy), x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak Jawab: ∫ ∞∫ ∞ P (X > t, Y > t) = λ µ e−(λ x+µ y) dy dx t
t
= ··· = e−(λ+µ)t ∫
∞
∫
∞
P (X < Y ) = 0
λ µ e−(λ x+µ y) dy dx
x
= ··· λ = λ+µ Contoh-3: Misalkan X ∼ P OI(λ) dan Y ∼ P OI(θ), asumsikan kedua peubah acak saling bebas. Tentukan distribusi X + Y . Tentukan distribusi bersyarat X, diberikan X + Y = n. Jawab: X + Y ∼ P OI(λ + θ) X|X + Y = n ∼ · · ·
MA5181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
2.2
Ekspektasi Bersyarat
Ekspektasi Peubah Acak Misalkan dipunyai suatu peubah acak X. Apa yang dapat kita pahami tentang mean dari X atau E(X)? Misalkan kita mempunyai data berukuran n, dapatkah kita menghitung mean data? Perlukah kita mengetahui distribusi data? Secara teoritis, perhitungan E(X) akan melibatkan fungsi peluang. Dapatkah kita memanfaatkan fungsi distribusi untuk menentukan E(X)? Sifat-sifat ekspektasi: 1. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) ∫∞ 2. E(g(X)) = −∞ g(x) fX (x) dx 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. ∫∞ 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) ∫∞ 5. E((X − µX )r ) = −∞ (x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r) ∫∞ 6. E(etX ) = −∞ etx fX (x) dx = MX (t) (fungsi pembangkit momen) ∫∞ 7. E(sX ) = −∞ sx fX (x) dx = PX (s) (fungsi pembangkit peluang) Contoh-1: Rombongan mahasiswa sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jogja dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). Contoh-2: Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y 0 1 f(y) 0.1 0.2
2 0.3
3 0.2
4 0.1
5 0.05
6 0.05
Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan atau ekspektasi banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol?
MA5181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? Contoh-3: Jika X memiliki fungsi peluang f (x) =
1 , −∞ < x < ∞, π (1 + x2 )
tentukan E(X).
Contoh-4: Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi 0, x < −2 0.2, −2 ≤ x < 0 0 ≤ x < 2.2 0.5, 0.6, 2.2. ≤ x < 3 F (x) = 0.6 + q, 3 ≤x<4 0.6 + 2q, 4 ≤ x < 5.5 1, x ≥ 5.5 dan diketahui P (X > 3.3) = 0.25. Tentukan E(X) melalui fungsi pembangkit momen MX (t). Contoh-10: Misalkan X peubah acak dengan MX (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f (t) = ln MX (t). Tunjukkan bahwa f ′′ (0) = V ar(X)
Ekspektasi Bersyarat Ilustrasi - Seorang narapidana berada dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya keluar penjara dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke penjara dalam waktu masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat alias keluar dari penjara? MA5181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
Jawab: - Peubah acak: X yang menyatakan waktu yang dibutuhkan agar selamat - Distribusi apakah yang melekat pada X? - Dapatkah kita menghitung E(X)? Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ∫ ∞ ∫ ∞ fX,Y (x, y) E(Y |X = x) = y dy = y fY |X (y|x) dy. fX (x) −∞ −∞ Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka ∫ ∞ E(Y ) = E(Y |X = x) fX (x) dx −∞
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x)) Contoh-5: Pandang “narapidana di sel penjara”. Lama (waktu) untuk sang napi keluar dari penjara bergantung pada pintu keluar yang dipilih; peubah acak yang menyatakan pintu yang dipilih adalah I. E(X) = E(X|I = 1)P (I = 1) + E(X|I = 2)P (I = 2) + E(X|I = 3)P (I = 3) = E(X|I = 1)(0.5) + E(X|I = 2)(0.3) + E(X|I = 3)(0.2) = (2)(0.5) + (4 + E(X))(0.3) + (1 + E(X))(0.2) = ··· Contoh-6: Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f (x, y) = e−x(y+1) , 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e − 1 ( ) (a) Hitung P (X > 1|Y )= 12 (b) Hitung E X|Y = 12
MA5181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
Jawab: ( ) ∫ ∞ −x(y+1) ∫ ∞ 1 e 3 −3 x P X > 1|Y = = dx = e 2 dx = e−3/2 2 1/(y + 1) 2 1 1 ( ) 1 E X|Y = = ··· 2 Contoh-7: Febri meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah?
Contoh-8: Masih tentang “narapidana di sel penjara”. Jika napi memilih pintu-pintu yang belum digunakannya secara acak, berapa lama waktu yang dibutuhkannya untuk keluar dari penjara?
Contoh-9: Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P1 , P2 ), yang harus dijawab dengan urutan yang ditentukan oleh peserta kuis sendiri. Jika dia menjawab Pi , i = 1, 2, terlebih dahulu maka dia dibolehkan menjawab pertanyaan Pj , j ̸= i apabila dia menjawab Pi dengan BENAR. Tentu saja jika dia menjawab SALAH maka dia tidak dapat melanjutkan menjawab pertanyaan berikutnya. Peserta kuis akan mendapatkan uang tunai sebesar Rpi jika dia menjawab Pi dengan benar (dia mendapatkan uang sebesar Rp1 + Rp2 jika menjawab BENAR untuk kedua pertanyaan). Jika peluang dia tahu jawaban pertanyaan Pi adalah qi , pertanyaan mana yang harus dia jawab pertama kali agar dia dapat memaksimalkan uang tunai yang dapat diraih (expected winnings)?
MA5181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
BAB 3 Distribusi Eksponensial Salah satu distribusi kontinu yang menarik untuk dipelajari dalam model stokastik adalah distribusi eksponensial. Umumnya, distribusi ini cocok untuk digunakan dalam memahami fenomena antrean atau waktu tunggu. Tahukah anda bahwa distribusi eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Gamma? Pernahkah anda mendengar sifat tanpa memory atau memoryless property pada distribusi eksponensial?
3.1
Peubah Acak Eksponensial
Peubah acak eksponensial didefinisikan sebagai peubah acak dengan fungsi distribusi F (x) = 1 − exp(−θx), x ≥ 0, dengan parameter θ > 0. Dapat pula dikatakan bahwa peubah acak eksponensial adalah peubah acak yang berdistribusi eksponensial. Notasi: X ∼ exp(θ). Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel berikut).
3.2
Sifat Tanpa Memori
Sifat tanpa memori (memoryless property) pada suatu peubah acak X adalah sifat dimana “peluang X lebih dari s + t dengan syarat/diberikan X lebih dari 1
Table 3.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson.
Banyak “sukses” “Waktu” utk sukses I
Percobaan Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Geometrik
Proses Poisson Distribusi Poisson Distribusi Eksponensial
t sama dengan peluang X lebih dari s”, atau ( ) ( ) P X > s + t X > t = P X > s . Perhatikan bahwa
( ) ) P X > s + t, X > t ( ) P X > s + t X > t = P X>t ( ) P X >s+t ( ) = P X>t ( ) =P X>s , (
atau, ( ) ( ) ( ) P X >s+t =P X >s P X >t . Contoh-1: Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan “sesuatu”. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun, atau, P (X > 2 + 5|X > 5) = P (X > 2). [orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori] Sifat tanpa memori hanya dipenuhi oleh peubah acak eksponensial, ( ) ( ) P X >s+t =1−P X <s+t = 1 − FX (s + t) ( ) = 1 − 1 − exp(−θs − θt) = exp(−θs − θt) = exp(−θs) exp(−θt) ( ) ( ) =P X>s P X>t . MA5181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X ∼ U (0, 1), maka ( ) ( ) P X >s+t =1−P X <s+t = 1 − FX (s + t) = 1 − (s + t) ̸= (1 − s)(1 − t) = (1 − FX (s)) (1 − FX (t)) ( ) ( ) =P X>s P X>t . Contoh-2: Bagaimana dengan distribusi geometrik? Dapatkah anda menunjukkan bahwa distribusi ini juga memiliki sifat tanpa memori?
3.3
Sifat Momen
Seperti sebelumnya, sifat momen merupakan karakteristik penting peubah acak eksponensial. Misalkan X ∼ exp(θ). Dapat kita tunjukkan bahwa E(X) =
1 θ
dan E(X 2 ) = · · · Contoh-3: Tentukan E(X − u|X > u), untuk suatu u (gunakan sifat tanpa memori).
3.4
Sifat Distribusi
Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi eksponensial. Misalkan Y =
n ∑
Xi ,
i=n
MA5181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan teknik fungsi pembangkit momen, MY (t) = E(exp(tY )) = E(exp(t[X1 + · · · + Xn ])) = ··· Jadi, Y ∼ . . ., dengan mean dan variansi... Catatan: X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang fX (x) =
θα α−1 x exp(−θ x). Γ(α)
Notasi: X ∼ Gamma(α, θ). Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: ( )−α t MX (t) = 1 − . θ Distribusi X1 + X2 dan Peluang P (X1 < X2 ) Distribusi X1 + X2 dapat ditentukan dengan teknik fungsi distribusi. Misalkan Y = X1 + X2 , P (Y ≤ y) = P (X1 + X2 ≤ y) = P (X1 ≤ y − x2 ) ∫ y ∫ y−x2 = θ exp(−θx1 ) θ exp(−θ x2 ) dx1 dx2 ∫0 y 0 = FX1 (y − x2 ) fX2 (x2 ) dx2 0
Fungsi peluang dari X1 + X2 adalah ∫ y fX1 +X2 (y) = fX1 (y − x2 ) fX2 (x2 ) dx2 0 ∫ y = θ exp(−θ(y − x2 )) θ exp(−θx2 ) dx2 0
= θ2 y exp(−θ y) θ2 = y 2−1 exp(−θ y) (2 − 1)! MA5181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
Pandang dua buah peubah acak eksponensial X1 dan X2 yang saling bebas dengan parameter θ1 dan θ2 , maka ∫ ∫ P (X1 < X2 ) = fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 dx1 ∫ ∞∫ ∞ = θ1 exp(−θ1 x1 ) θ2 exp(−θ2 x2 ) dx2 dx1 0
= ··· =
3.5
x1
θ1 θ1 + θ2
Statistik Terurut
Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Misalkan X(k) statistik terurut ke-k. Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah: n fX(k) (x) = Ck−1,1,n−k (FX (x))k−1 fX (x) (1 − FX (x))n−k .
Sebagai contoh, misalkan diketahui sampel acak berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang untuk statistik terurut terkecil atau X(1) adalah 2 fX(1) (x) = C0,1,1 (1 − exp(−θx))1−1 θ exp(−θx) (exp(−θx))2−1
= 2 θ exp( −2θx) Contoh-4: Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak eksponensial yang saling bebas, tentukan distribusi (i) Y = min(X1 , X2 ) (ii) Z = max(X1 , X2 ). Contoh-5: Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling bebas, hitung P (X1 < X2 | min(X1 , X2 ) = t)
MA5181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
Jawab: P (X1 < X2 | min(X1 , X2 ) = t) P (X1 < X2 , min(X1 , X2 ) = t) = P (min(X1 , X2 ) = t) P (X1 = t, X2 > t) = P (X1 = t, X2 > t) + P (X2 = t, X1 > t) fX1 (t)(1 − FX2 (t)) = fX1 (t)(1 − FX2 (t)) + fX2 (t)(1 − FX1 (t)) Jika X1 dan X2 berdistribusi identik, katakan eksponensial dengan parameter θ, maka P (X1 < X2 | min(X1 , X2 ) = t) fX1 (t)(1 − FX2 (t)) = fX1 (t)(1 − FX2 (t)) + fX2 (t)(1 − FX1 (t)) = ··· Contoh-6: Ini tentang rekor [Baru-baru ini dalam Olimpiade London, Ye Shiwen, 16 tahun, memecahkan rekor dunia untuk renang 400m gaya ganti perseorangan dalam waktu 4 menit 28.43 detik dari sebelumnya 4 menit 29.45 detik yang dicetak oleh Stephanie Rice]. Misalkan X1 , X2 , . . . p.a. kontinu yang bersifat i.i.d. Suatu rekor Xn terjadi pada waktu n(n > 0) jika Xn > max(X1 , . . . , Xn−1 ) [perlukah syarat X0 = −∞ ?]. Jika Nn menyatakan total banyaknya rekor yang terjadi sampai waktu ke-n, hitung E(Nnk ) untuk k = 1, 2.
3.6
Aplikasi
Seperti telah disampaikan diawal, fenomena antrean atau waktu tunggu cukup tepat digambarkan oleh distribusi eksponensial. Misalkan pada suatu antrean toko dimana 2 penjaga toko masing-masing sedang melayani seorang pelanggan, sebut A dan B. Mungkinkah A keluar lebih dulu dari toko? Mungkinkah B? Bagaimana kita dapat memanfaatkan peubah acak eksponensial? Contoh-7: Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir dan Fur datang ke MA5181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antre). 1. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan untuk setiap petugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit? Jawab: Fer tidak mungkin masih berada di toko apabila Fir (dan Fur) sudah selesai dilayani. Jadi peluangnya adalah 0. 2. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3? Jawab: 1/27 P (SF er > SF ir + SF ur ) = P (SF ir = 1)P (SF ur = 1)P (SF er = 3) = (1/3)(1/3)(1/3) = 1/27 3. Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ? Jawab: 1/4 Apa saja yang akan terjadi pada Fer? (1) Fer adalah orang pertama yang keluar dari toko, dengan peluang 1/2 (2) Fer adalah orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4 (3) Fer BUKAN orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4 Contoh-8: Misalkan Itta memasuki sebuah Bank yang memiliki seorang teller. Itta melihat ada 5 nasabah di Bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antri. Itta pun antri. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Ita di Bank? Jawab: Misalkan T lama waktu Ita di Bank. E(TI ) = E(SI ) +
5 ∑
E(Si ) = 6/µ
i=1
MA5181 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
Contoh-9: Misalkan X p.a eksponensial dengan parameter λ. (i) Hitung E(X|X < c) (ii) Hitung (i) dengan identitas berikut E(X) = E(X|X < c)P (X < c) + E(X|X > c)P (X > c) Jawab:
∫
c
x fX (x|X < c) dx
E(X|X < c) = ∫
0 c
fX (x) dx P (X < c) 0 ∫c x fX (x) dx = ∫0 c fX (x) dx 0 1 c exp(−λ c) = − λ 1 − exp(−λ c) =
x
Contoh-10: Mesin 1 (M1) sedang bekerja. Mesin 2 (M2) akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin i berdistribusi eksponensial dengan mean λi , i = 1, 2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dapat dipakai lagi)?
MA5181 Pros.Stok.
8
K. Syuhada, PhD.
