Catatan Kuliah
MA4181 MODEL RISIKO “Risk is managed, not avoided”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013
Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal kuliah: • Selasa; 13.00-13.50; R. Seminar I.2 • Kamis; 13.00-14.40; R. Aktuaria B. Silabus: • Distribusi frekuensi klaim • Distribusi severitas klaim • Model kerugian agregat • Ukuran risiko • Teori kebangkrutan C. Buku teks: 1. Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation 2. Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2004, Loss Models D. Penilaian: 1. Ujian: • Ujian 1, 26 September 2013 (25%) • Ujian 2, 31 Oktober 2013 (25%) • Ujian 3, 5 Desember 2013 (25%) 2. Kuis, Tugas dan Presentasi (25%)
MA4183 Model Risiko
i
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Distribusi Frekuensi Klaim
1
ii
BAB 1 Distribusi Frekuensi Klaim Silabus: Distribusi frekuensi klaim, kelas distribusi (a, b, 0), compound and mixture distributions Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity). Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya P (X = k) = Ckn θk (1 − θ)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu E(X m ) =
n ∑
xm P (X = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): MX (t) = · · · Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut.
1
Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp? Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ... • Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... b ... • Penaksir θ: • Turunan kedua terhadap parameter: ... Tugas: Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut.
Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang p(x) = (1 − α)x−1 α, x = 1, 2, . . . Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) =
1 1 , V ar(X) = 2 , α α
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
MA4183 Model Risiko
2
K. Syuhada, PhD.
Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(X) = V ar(X) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion) Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil? Teorema Jika X1 , . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi ) maka X = X1 + · · · + Xn ∼ P OI(λ1 + . . . + λn ).
MA4183 Model Risiko
3
K. Syuhada, PhD.
Kelas Distribusi (a, b, 0) Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif berikut ( ) b f (x) = a + f (x − 1), x = 1, 2, . . . , x dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi. Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f (x) adalah f M (x) = c f (x), x = 1, 2, . . . dengan c konstanta. Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh.
MA4183 Model Risiko
4
K. Syuhada, PhD.
