Catatan Kuliah
MA4181 MODEL RISIKO “Enjoy the Risks”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011
Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal kuliah: • Selasa; 11.00-12.30; R.StudyHall • Kamis; 11.00-12.30; R.StudyHall B. Silabus: • Ukuran Risiko (3 minggu) • Teori Kebangkrutan (2 minggu) C. Buku teks: Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation. D. Penilaian: 1. Ujian, 17/18 November 2011 (30%). 2. Tugas dan Presentasi (20%) E. Matriks kegiatan perkuliahan: Table 1: Materi kuliah MA4181 Model Risiko. Minggu9-11 12-13 13 14-15
MA2082 BioStat.
Materi Ukuran Risiko Teori Kebangkrutan Ujian Presentasi
i
Keterangan Penjelasan kuliah 17/18 November 2011
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Ukuran Risiko 1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ukuran Risiko . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Aksioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Value-at-Risk (VaR) . . . . . . . . . . . 1.5 Conditional Tail Expectation (CTE) 1.6 Transformasi PH . . . . . . . . . . . . . 1.7 Transformasi Esscher . . . . . . . . . . . 1.8 Metode Distortion-Function . . . . . . 1.9 Transformasi Wang . . . . . . . . . . . .
ii
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
1 1 2 2 3 4 6 7 8 10
BAB 1 Ukuran Risiko Silabus: Ukuran risiko (premium-based, capital-based), Aksioma risiko, VaR dan ES, transformasi. Tujuan: 1. Mempelajari ukura-ukuran risiko (premium-based, capital-based) 2. Menghitung VaR dari distribusi kerugian kontinu dan diskrit 3. Mempelajari/menurunkan transformasi pada ukuran risiko
1.1
Pendahuluan
Jenis-jenis risiko: 1. Risiko pasar (kerugian akibatan perubahan pada harga dan kondisi pasar) 2. Risiko kredit (risiko dari nasabah) 3. Risiko operasional (risiko bisnis yang bukan risiko pasar atau risiko kredit) Kegunaan ukuran risiko: 1. Menentukan modal 2. Menentukan premi 3. Manajemen risiko internal 4. Melaporkan kebijakan eksternal 1
1.2
Ukuran Risiko
Definisi: Suatu ukuran risiko dari kerugian acak X, notasi ϱ(X), adalah fungsi bernilai riil ϱ : X → R, dimana R adalah himpunan bilangan riil. Peubah acak X tak negatif. 2 Misalkan mean dan variansi kerugian acak X adalah µX dan σX . Ukuran risiko “expected-value principle premium” didefinisikan sebagai
ϱ(X) = (1 + θ) µX = µX + θ µX , dimana θ ≥ 0 adalah “premium loading factor”. Ukuran risiko dikatakan “pure premium” saat θ = 0. Ukuran risiko “variance principle premium” didefinisikan sebagai: 2 ϱ(X) = µX + α σX ,
dimana α ≥ 0 adalah “loading factor”.
1.3
Aksioma
Beberapa aksioma dalam ukuran risiko, yang apabila dipenuhi maka ukuran risiko tersebut dikatakan “coherent” (koheren). Aksioma-aksioma tersebut adalah: 1. (T) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(X + a) = ϱ(X) + a 2. (S) Untuk setiap X dan Y , ϱ(X + Y ) ≤ ϱ(X) + ϱ(Y ) 3. (PH) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(a X) = a ϱ(X) 4. (M) Untuk setiap X dan Y sdh X ≤ Y , ϱ(X) ≤ ϱ(Y )
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
X VaR
Figure 1.1: Value-at-Risk pada Distribusi Normal. Contoh/Latihan: 1. Tunjukkan, dengan aksioma PH, bahwa ϱ(0) = 0. Dengan hasil itu, buktikan bahwa jika aksioma PH dan M dipenuhi maka ϱ(X) ≥ 0 untuk X ≥ 0. 2. “no unjustified loading”? 3. “no ripoff”? 4. Tunjukkan bahwa ukuran risiko “expected-value principle premium” memenuhi aksioma S, PH dan M namun tidak memenuhi aksioma T. Bagaiman dengan ukuran risiko “variance/standard deviation principle premium”?
1.4
Value-at-Risk (VaR)
Value at Risk (VaR) dari suatu peubah/variabel kerugian adalah nilai minimum suatu distribusi sdh peluang untuk mendapatkan kerugian lebih besar dari nilai tersebut tidak akan melebihi peluang yang diberikan. Definisi: Misalkan X adalah peubah acak kerugian dengan fungsi distribusi FX (.) dan δ adalah peluang, makab VaR pada tingkat peluang δ adalah δ-kuantil dari X: V aRδ (X) = FX−1 (δ) = xδ Jika FX (.) fungsi tangga (X tidak kontinu), didefiniskan V aRδ (X) = inf {x ∈ [0, ∞) : FX (x) ≥ δ} MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
Contoh/Latihan: 1. Hitung V aRδ untuk distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ 2 ), P(α, γ). 2. Hitung V aRδ untuk δ = 0.94, 0.97 dari distribusi kerugian berikut: 100, 90, 80, X= 50, 0,
dgn dgn dgn dgn dgn
peluang peluang peluang peluang peluang
0.03; 0.01; 0.04; 0.12; 0.8
3. Tunjukkan bahwa V aRδ memenuhi aksioma T, PH dan M, namun tidak memenuhi aksioma S.
1.5
Conditional Tail Expectation (CTE)
CTE memperhatikan informasi pada distribusi ekor diluar VaR. CTE pada level peluang δ, notasi CT Eδ (X), didefinisikan sebagai CT Eδ (X) = E(X|X > xδ ) atau [ ] CT Eδ (X) = E X|X > V aRδ (X) , untuk X kontinu. Ekspektasi diatas yang berpusat pada nilai V aRδ (X): [ ] E X − V aRδ (X)|X > V aRδ (X) , disebut “conditional VaR” dan dinotasikan CV aRδ (X). Perhatikan bahwa [ ] CV aRδ (X) = E X − V aRδ (X)|X > V aRδ (X) = CT Eδ (X) − V aRδ (X) Jika V aRδ digunakan sebagai modal, maka “shortfall” dari modal adalah (X − V aRδ )+ .
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
Ketika X kontinu, V aRδ = xδ dan “mean shortfall” nya adalah ] [ ] [ E (X − xδ )+ = E X − xδ |X > xδ P (X > xδ ) = (1 − δ) CV aRδ [ ] 1 E (X − xδ )+ = CV aRδ (1 − δ) = CT Eδ (X) − xδ Untuk mengevaluasi CT Eδ , perhatikan bahwa ∫ ∞ 1 x fX (x) dx CT Eδ = E(X|X > xδ ) = (1 − δ) xδ ∫ ∞ 1 = x dFX (x) (1 − δ) xδ ∫ 1 1 = xξ dξ, (1 − δ) δ untuk ξ = FX (x). CT Eδ dengan demikian dapat diinterpretasikan sebagai rata-rata kuantil yang melampaui xδ . Analog, ∫ 1 1 V aRξ dξ (1 − δ) δ yang disebut dengan “tail VaR” atau T V aRδ (X). Contoh/Latihan: 1. Tentukan CT Eδ dan CV ARδ pada distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ 2 ), P(α, γ). 2. Hitung CT Eδ untuk δ = 0.95 (juga TVaR yang berkorespondensi dengan nilai δ)dari distribusi kerugian berikut: 100, 90, 80, X= 50, 0,
dgn dgn dgn dgn dgn
peluang peluang peluang peluang peluang
0.03; 0.01; 0.04; 0.12; 0.8
3. Tunjukkan bahwa CTE memenuhi aksioma T, S, PH dan M.
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.
1.6
Transformasi PH
Misalkan X adalah kerugian acak kontinu tak negatif. Kerugian yang diharapkan (expected loss) dituliskan sebagai ∫ ∞ ∫ ∞ ( ) µX = 1 − FX (x) dx = SX (x) dx 0
0
˜ terdistribusi dengan Misalkan X ( )1/ρ , ρ ≥ 1, SX˜ (x) = SX (x) maka
∫ ˜ = µ˜ = E(X) X
∫
∞
SX˜ (x) dx = 0
∞
(
)1/ρ SX (x) dx,
0
˜ disebut dimana parameter ρ disebut “risk-aversion index”. Distribusi dari X “PH (proportional hazard) transform” atau transformasi PH dari distribusi X dengan parameter ρ. ˜ maka Misalkan hX (x) dan hX˜ (x) sebagai fungsi hazard (hf) dari X dan X, ( ) d SX˜ (x) 1 hX˜ (x) = − SX˜ (x) dx ( )(1/ρ)−1 ′ SX (x) 1 SX (x) =− ( )1/ρ ρ SX (x) ( ′ ) 1 SX (x) =− ρ SX (x) 1 = hX (x) ρ ˜ proporsional terhadap hf dari X. Jika Dapat disimpulkan bahwa hf dari X ˜ ˜ memiliki ekor ρ ≥ 1, maka hf dari X lebih kecil dari hf dari X, sehingga X yang lebih tebal dari X. Contoh/Latihan: 1. Misalkan X beridistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Maka sf dari transformasi PH dari X adalah ( )1/ρ SX˜ = e−λx , MA2082 BioStat.
6
K. Syuhada, PhD.
yang berakibat ˜ ∼ E(λ/ρ) X Jadi, ˜ = ρ/λ ≥ λ = E(X) E(X) 2. Apakah ukuran risiko µX˜ memenuhi aksioma T, S, PH, dan M?
1.7
Transformasi Esscher
Metode lain untuk memindahkan bobot ke kerugian yang lebih besar adalah dengan mentransformasi pdf. Jika X memiliki pdf fX (x), definisikan distribusi ˜ dengan pdf f ˜ (x), kerugian X X fX˜ (x) = w(x) fX (x), dengan syarat w′ (x) > 0 agar lebih banyak bobot di ekor bagian kanan dari distribusi kerugian. Pdf fX˜ (x) juga harus terdefinisi dengan baik. Fungsi bobot yang dapat digunakan adalah w(x) =
eρx eρx = ∫ ∞ ρx , ρ > 0, MX (ρ) e f (x) dx X 0
where MX (ρ) adalah fungsi pembangkit momen dari X. Dapat ditunjukkan bahwa w′ (x) > 0 dan
∫
∞
fX˜ (x) dx = 1 0
(pdf yang terdefinisi dengan baik) ˜ Distribusi dari X fX˜ (x) =
eρx fX (x) , ρ>0 MX (ρ)
disebut “Esscher transform” atau transformasi Esscher dari X dengan param-
MA2082 BioStat.
7
K. Syuhada, PhD.
˜ adalah eter ρ. Fungsi pembangkit momen dari X MX˜ (t) =
MX (ρ + t) MX (ρ)
Ukuran risiko dapat dikonstruksi sebagai nilai harapan dari transformasi Esscher dari X, ρX ˜ = E(X e ) , ϱ(X) = E(X) E(eρX )
dimana dϱ(X)/dρ ≥ 0 sehingga ρ dapat diinterpretasikan sebagai “risk-aversion index”. Contoh/Latihan: 1. X berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Hitung transformasi Esscher dari X dan “risk-adjusted premium” 2. Lakukan transformasi Esscher pada distribusi kerugian yang lain.
1.8
Metode Distortion-Function
Definisi: Fungsi distorsi adalah fungsi tidak turun g(.) yang memenuhi g(1) = 1 dan g(0) = 0. Misalkan X peubah acak kerugian dengan sf SX (x). Fungsi distorsi g(.) tidak turun dan SX (.) tidak naik, sehingga g(SX (x)) adalah fungsi tidak naik dari x atau dg(SX (x)) ≤0 dx ˜ dengan sf g(SX (x)) diinterpretasikan sebagai p.a. “risk-adjusted Peubah acak X loss” dan g(SX (x)) sebagai “risk-adjusted sf”. Diasumsikan g(.) terbuka ke ˜ adalah bawah, sehingga pdf dari X fX˜ (x) = −
dg(SX (x)) = g ′ (SX (x)) fX (x) dx
dimana dg ′ (SX (x)) ≥0 dx MA2082 BioStat.
8
K. Syuhada, PhD.
sehingga g ′ (SX (x)) fungsi tidak turun. Misalkan X peubah acak kerugian tak negatif. Ukuran risko distorsi berdasarkan fungsi distorsi g(.) didefinisikan ∫ ∞ ϱ(X) = g(SX (x)) dx, 0
˜ yang merupakan mean dari “risk-adjusted loss” X. Ukuran risiko distorsi antara lain • “Pure premium”: g(u) = u • “PH risk-adjusted premium”: g(u) = u1/ρ • VaR g(SX (x)) = 1, 1 − δ ≤ SX (x) ≤ 1 atau g(SX (x)) = 1, 0 ≤ x ≤ V aRδ • CTE g(SX (x)) =
SX (x) , x > xδ 1−δ
= 1, 0 ≤ x ≤ xδ TEOREMA: Misalkan g(.) adalah fungsi distorsi terbuka ke bawah. Ukuran risiko dari kerugian X, ∫ ∞ ϱ(X) = g(SX (x)) dx, 0
memenuhi aksioma T, S, PH dan M. Dengan kata lain, ukuran risiko diatas adalah koheren.
MA2082 BioStat.
9
K. Syuhada, PhD.
1.9
Transformasi Wang
Pandang fungsi distorsi ( ) −1 g(u) = Φ Φ (u) + ρ , dimana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar dan ρ parameter risiko, ρ > 0. Fungsi diatas dikenal dengan nama “Wang transform” atau transformasi Wang. ˜ peubah acak hasil transforMisalkan X adalah peubah acak kerugian dan X masi Wang dari X. Ukuran risiko hasil transformasi adalah ∫ ∞ ( ) ˜ = ϱ(X) = E(X) Φ Φ−1 (SX (x)) + ρ dx 0
Latihan: 1. Tentukan nilai g(0) dan g(1) 2. Tunjukkan bahwa transformasi Wang adalah fungsi naik dan terbuka ke bawah ˜ 3. Tunjukkan bahwa dE(X)/dρ >0 4. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 , tentukan distribusi kerugian berdasarkan transformasi Wang dan tentukan pula “risk-adjusted premium”
MA2082 BioStat.
10
K. Syuhada, PhD.
