MA3G – Stručný průběh přednášky * * * 22. 2. 2016 * * * Organizační Definice elementární oblasti Rozličné příklady Na co dát pozor, patologické příklady Změna pořadí souřadnic v popisu obrazce, přechod k inverzní funkci Poznámka: Jak se definuje oblast: otevřená souvislá (neprázdná) množina Obrazce jako úrovňové množiny funkcí dvou proměnných – ohraničeny vrstevnicemi Pato-příklad x2 + y 2 ≧ −4. Rovnice kružnice Přímka, poloprostor Příklad s parabolou Elipsa, kanonický tvar, inverzní funkce ke kvadratické, doplnění na čtv. Převod rovnice elipsy na rovnici jednotkové kružnice, deformace prostoru/roviny ================================================= 11. 10. 2016 Připomenutí: definice parametrizované křivky. Poznámka: Křivka zadána parametrizací, příklad kružnice Poznámka: Křivka zadána implicitně např jako vrstevnice, příklad kružnice Poznámka: Jak ověřit, že implicitní tvar určuje stejnou křivku jako parametrizace. O souřadnicích: nepravoúhlé osy, LK báze a LK duální báze. Polární souřadnice – motivace Převody [r,f] – [x,y] Metody výpočtu směrníku a jejich optimalizace [2atan(y/(r+x)): dk] Přirozené obory polárních souřadnic Příklad: Převod M – M* Souřadnicové křivky [odvoz.] Příklad: oblast dána podmínkami, převod na polární Příklad: Jak se počítá pomocí polárních souřadnic, jakobián, subst, du Bois-Reymondova věta Definice: Interval v Rn Definice: vol(I) Definice: diametr množiny Hausdorffův integrál, neceločíselná dimenze Definice: dělení intervalu v R, příklad Definice: dělení intervalu v Rn, příklad Definice: Norma dělení intervalu v Rn, normální posloupnost dělení Definice: Vnější a vnitřní míra Připomenutí: Každá zdola omezená množina má infimum. Definice: Jordanova míra ================================================= ================================ 18.10.2016 ================================ 1
Vnější míra je def. pro všechny množiny Jordanova míra je def. pro některé množiny Vlastnosti míry: nezápornost, subaditivita, aditivita na disj. množinách Testovací množiny, definice měřitelné množiny Míra hladké křivky, míra ”méněrozměrného objektu” Definice zjemnění dělení Průnik intervalu je prázdný, degene nebo zase interval Riemannovské integrální součty Věta: s(f, D) ≤ s(f, D′ ) ≤ S(f, D′ ) ≤ S(f, D), důkaz Význam předešlé věty pro existenci suprema Horní a dolní integrál Riemannův integrál Značení Začtverečkování Charakteristická funkce Integrál přes množinu Existenční věta Lebesgueova, diskontinuity Příklad: Oblast ohraničená Peanovou křivkou du-Bois Reymondova věta (Fubini) proč je formulace složitá: horní a dolní integrál mohou být různé funkce Poznámka: Podle Leb. věty se liší horní a dolní integrál na množině vnější míry nula, tedy f je integrovatelná pro s.v. x”. (pojem skoro všude jsme nezavedli) Aplikace du Bois Reymondovy věty na element. oblast Historická poznámka o du Bois-Reymondovi a Fubinim ========================= Příště Konzistence Newtonova a Riemannova integrálu v R. Nevlastní Riemannův integrál v R ================================ 25.10.2016 ================================ Přip.: Norma dělení Příklad: praktické určení normy dělení Def: Diametr množiny, Normální posloupnost dělení Věta: Limita integrálních součtů při normální posloupnosti dělení (Dk pomocí Leb. věty) Systém reprezentantů Věta: Riemannův integrál integrovatelné funkce v R1 se rovná Newtonovu (Dk) Změna souřadnic: dva pohledy na směr transformace Změna souřadnic: dvě interpretace – deformace prostoru a křivočaré souřadnice Věta o změně souřadnic, Jacobiho matice a jakobián, determinant, idea Dk – V důkazu: Význam Jacobiho matice při zobrazení vektoru do tečného prostoru Polární souřadnice, příklad výpočtu jakobiánu Cylindrické souřadnice, výpočet jakobiánu Zobecněné polární souřadnice, – Výpočet jakobiánu pro změnu měřítka na osách (x = ax′ , y = by ′ ) – příklad – natažená lemniskáta 2
Aplikace integrálu – obsah obrazce – hmotnost desky – těžiště (bez důkazu rovnosti momentů pro obecnou přímku a bez Steinerovy věty) – plošný obsah grafu funkce z = f (x, y) průmětem na rovinu z = xy (jen malé zdůvodnění) ——————————Na cvičení: – momenty setrvačnosti v rovině i prostoru – deviační momenty – zachování momentu hybnosti, nikoli rotační osy – vztah mezi momentem hybnosti a rotační osou – tenzor setrvačnosti, hlavní směry – precese a nutace Země, pohyb pólu – momenty náhodné veličiny ve statistice ================================ 1.11.2016 — páteční rozvrh – odpadá ================================ ================================ 8.11.2016 ================================ Aplikace integrálu – pravděpodobnost – diskrétní a spojité náhodné veličiny – hustota pravděpodobnosti – jak počítat P (X ∈ M ) – analogie: těžiště a střední hodnota – analogie: moment setrvačnosti a rozptyl – v R popis pomocí hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce – nespojitost distribuční funkce Steinerova věta – důkaz – pravděpodobnostní interpretace, V ar X = E(X 2 ) − (EX)2 – podpříklad na počítání oprav k průměru Cylindrické souřadnice – souřadnicové plochy Sférické souřadnice – odvození vztahů přes dvojí polární souřadnice – význam proměnných na glóbu – původ označení zeměpisná šířka a délka – výpočet jakobiánu Často užívané plochy: Koule, dvojkužel atd. . . ================================ 15.11.2016 ================================ Příklad: Určení mezí, skrytá podmínka . . . 4x2 + z 2 ≦ y ≦ 8 − 4x2 − z 2 p Příklad: Dva typy rozkladu – svislé úsečky nebo Hz řezy . . . 0 ≦ z ≦ 12 − 4 x2 + y 2 Gaussovo rozdělení a Laplaceův integrál, výpočet 3
Typy zobrazení: funkce, transformace, vektorové pole, plocha, bodová funkce, vektorové pole podél křivky Definice: Parametrizovaná křivka, parametrizace Definice: Křivka jako množina bodů Příklady křivek (kružnice, neregulární úsečka) Definice: Hladká křivka, tečný vektor, regulární křivka, smyčka Křivkový integrál (prvního druhu) Typické aplikace, rozdíl mezi integrálem I. a II. druhu ================================ 22.11.2016 ================================ Připomenutí: parametrizace křivky, křivkový integrál Značení: tečný vektor, dx, dy, ds, tečky jako derivace, Newtonův pohybový zákon Parametrizace grafu funkce Vzorec pro délku křivky z MA2G Příklad pro půlkružnici Definice reparametrizace Parametrizace obloukem Reparametrizace na parametrizaci obloukem Křivka parametrizovaná obloukem je ”deformovaná úsečka se stupnicí” (jako provázek) Délka křivky par. obloukem je délka intervalu parametrizace (Dk) Příklad – reparametrizace půlkružnice na parametrizaci obloukem Příklad křivk. integrálu s hustotou – po parabole Cavalieriho princip Příklad s šikmým kuželem Archimedův výpočet objemu koule Guldinovy věty – interpretace: přetvarování rotačního tělesa na válcovou plochu – Příklad pro anuloid Závislost křivkového integrálu 1. a 2. druhu na orientaci křivky Křivkový integrál 2. druhu – definice ================================ 6.12.2016 ================================ Sestavení parametrizace – pro úsečku přes směrový vektor – pro úsečku přes směrnici – pro graf funkce – pro implicitně zadanou křivku p – příklad pro (x2 + y 2 )3 = (x3 y − xy 3 ) x2 + y 2 Křivkový integrál v polárních souřadnicích – obecný tvar (odvoz.) Plošný integrál – příklad na povrch polosféry Připomenutí: Vzorec pro plošný obsah Plošný obsah válcových ploch pomocí křivk. integrálu Aplikace integrálu – délka křivky 4
– hmotnost – těžiště – moment setrvačnosti – el. odpor – práce – práce vektorově ================================ 13.12.2016 ================================ Vektorové pole, oblast a její hranice – Standardní předpoklady Def.: Oblast Def.: Jednoduše souvislá oblast Příklady a protipříklady Operátory div, rot a curl – curl pro dvojrozměrné pole vnořené do R3 Gaussova věta – příklady (teplo, HDP, gravitační pole) Greenova věta – cirkulace Stokesova věta otočení pole o pravý úhel – vztah rotace a divergence Aplikace Greenovy věty: – dvě křivky okolo singularity – hodnoty jsou soustředěny na ”ostrůvcích” Rozdíl integrálů přes různé křivky v rotačním a nerotačním poli Nezávislost integrálu na cestě Potenciál na cvičení: div F = ∇ · F , rot F = ∇ × F ===================== ================================ 20.12.2016 ================================ div F = ∇ · F , rot F = ∇ × F derivace bodových funkcí geometrický význam divergence gradient potenciálu divergence – hustota zdroje pole, tok přes hranici čtverce (D) rotace – geometrický význam vnitřní tření v tekutinách, víry, příklady z přírody potenciální a nepotenciální vír – grad arctg y/x ================================ Co nebylo: (možná najdete v loňských testech takovou otázku, ale v r. 2016 to na přednášce nebylo, nebude tedy ani v testu) rotace pro zpracování obrazu – dvojité zešikmení – rotace gradientu F (i když tohle by v testu mohlo být – dá se to upočítat.) 5
– – – – – – – – –
Laplaceův operátor rovnice matematické fyziky (vedení tepla, vlnová rovnice atd.) Navier–Stokesova rovnice magnetická levitace = aplikace Gauss. věty L’Huillierovy vzorce [ale bylo na cvič. – spojitá verze] křivost křivky Frenetův repér normála a binormála oskulační, normálová a rektifikační rovina
6
