MA3G – přednáška ========= 6. 10. 2015 ========== Míra a Riemannův integrál v Rn . – notace, zápis Interval v Rn . Míra intervalu v Rn , volume Pojem míry (náznak), aditivita disjunktních množin Diametr množiny Př.: Diametr intervalu, diametr koule Dělení intervalu v Rn . Zjemnění (bez def., intuitivně) Norma dělení, příklad Normální posloupnost dělení Vnitřní a vnější součet Omezenost vnějšího součtu, existence inf, sup Vnitřní a vnější míra množiny Jordanova míra, měřitelné množiny Camille Jordan, věta o uzavřené křivce, v rovině, na kouli a na toroidu Ekvivalence míry s limitou vnějšího součtu pro normální posloupnost dělení Jordanova míra intervalu I je vol(I) – idea DK Jordanova míra je aditivní pro disjunktní měřitelné množiny Měřitelnost disjunktního sjednocení Míra hladké křivky je nulová Míra části nadroviny je nulová Charakteristická funkce množiny ========= 13. 10. 2015 ========== Charakteristická funkce množiny a převod integrálu z obecné množiny M na interval Doplnění def. oboru funkce na interval – ”začtverečkovaná funkce” f Definice Riemannova integrálu – systém reprezentantů – integrální součet – definice pomocí reprezentantů – horní a dolní riemannovský součet, horní a dolní integrál – alternativní definice pomocí sup, inf – příklad, že některé limity integrálních součtů při speciálním dělení mohou konvergovat, přesto integrál neexistuje Definice integrovatelné funkce, integrálu přes množinu M, značení Základní vlastnosti – linearita – měřitelnost disj. sjednocení – aditivita vzhl. k integračnímu oboru – srovnávací princip – důsledek: srovnání s nulou – důsledek: integrál z absolutní hodnoty Integrovatelnost. – diskontinuity, množina disc(f ) – Lebesgueova věta o riemannovské integrovatelnosti – aplikace na obvyklé typy oblasti – příklad: oblast ohraničená Peanovou křivkou – k teorii chyb: Jedním měřením lze popsat polohu ve 2D Jednorozměrný R-integrál je konzistentní s R-integrálem funkce jedné proměnné. Věty fubiniovského typu. – Fubiniho věta pro Lebesgueův integrál 1
– du Bois–Reymondova věta Příklad na element. oblast Řez množinou Mx , ”projekce množiny” na osu x Zjednodušené formulace pro R2 . Příklad: integrace na trojúhelníku Změna pořadí při integraci: geometrická a analytická cesta ============ cvič. Změna pořadí integrace Jordanova míra integrovatelnost integrál – čtyřstěn, klín nad parabolou Polární souřadnice – zobrazení do pravoúhlých ================================= cvič.: násobné integrály transformace obrazců do polárních souřadnic ========= 20. 10. 2015 ========== Polární souřadnice – cesta tam a zpátky varianty při výpočtu směru transformace souřadnic souřadnicové křivky (plochy) tečné vektory souřadnicových křivek zobrazení vektoru z tečného prostoru do tečného prostoru Jacobiho matice připomenutí: objem rovnoběžnostěnu je determinant jakobián patologický případ – lin. závislé tečné vektory regulární zobrazení test regularity – nenulový jakobián Věta o substituci, idea důkazu příklad s výpočtem jakobiánu polárních souřadnic Aplikace integrálu – těžiště vzorce pro těžiště Těžiště elementárního obrazce – konzistence vzorců s MA2G vzorce pro moment setrvačnosti ========= 27. 10. 2015 ========== Poznámka k nehomogenním tělesům – v integrálech je hustota Cylindrické souřadnice – souřadnicové plochy – jakobián Sférické souřadnice – souřadnicové plochy – odvození z dvojnásobných polárních souřadnic – jakobián Příklad – těžiště kuželu počítáno ve dvou pořadích integrace – připomenutí: Těžiště je na ose symetrie Tenzor setrvačnosti – elipsoid – moment hybnosti nemusí být ve směru rotační osy, B = JΩ – kinetická energie setrvačníku – hlavní osy elipsoidu, vlastní čísla a vektory matice (v náznaku), rotace okolo vlastního směru – Eulerovy rovnice (odkaz) 2
– platónský rok, precese – posun jarního bodu, důsledky pro zodiak ========= 3. 11. 2015 ========== Moment setrvačnosti vzhledem k obecné přímce Pohyb pólu, sekulární pohyb, Chandlerova perioda Steinerova věta (dk) Poznámka: Moment setrvačnosti vůči těžišti je minimální Příklad: Moment setrvačnosti obdélníku pomocí Steinerovy věty Helmertova transformace – invariance momentů Poznámka: klasifikace obrazových dat pomocí momentů Objem tělesa spojnic podstava–bod Příklad: šikmé kužely Cavallieriho princip Archimedův výpočet objemu koule Pickova věta (idea dk) ========= 10. 11. 2015 ========== 1. písemka Pojem plochy, parametrizace plochy Tečné směry, normálový směr Aplikace integrálu – výpočet plochy projekcí do půdorysu Analogie s výpočtem délky křivky ========= 17. 11. 2015 ========== státní svátek ========= 24. 11. 2015 ========== Guldinovy věty Příklad – objem toroidu Laplaceův integrál Gaussovo rozdělení je pevný bod Fourierovy transformace konvoluce, ”rozmazání”, souvislost s centrální limitní větou ——————— Křivka, parametrizovaná křivka Tečný vektor Regulární křivka Hladká křivka (?) Parametrizace obloukem Příklady regulárních a neregulárních parametrizací Křivkový integrál Přehled různých způsobů značení tečného vektoru, derivací dle Newtona, Leibnize atd. Příklad: délka kružnice Příklad: těžiště křivky ========= 1. 12. 2015 ========== 2. zápočtová písemka ========= 3. 12. 2015 ========== na cvičení: rozbor 2. písemky analytická metoda pro sestavování mezí Viviani, Vivianiho okénko parametrizace Vivianiho křivky 3
========= 8. 12. 2015 ========== (test z vyrovnáváku . . .zač. +15 min) Steinerova věta a E((X − EX)2 ) = EX 2 − (EX)2 Připomenutí: křivka Vektorová funkce, bodová funkce Křivka je bodová funkce Co je to oblast Vektorové pole Deformace prostoru příklady – Helmertova transf., směr větru, gradient teploty, grav. síla reparametrizace křivky, rovnost křivek Vě: Křivkový integrál I. druhu nezávisí na orientaci (dk) Projekce vektoru do směru je skalární součin Křivkový integrál II. druhu Různá značení, integrál přes uzavřenou křivku. Vě: Křivkový integrál II. druhu závisí na orientaci (dk) Cirkulace Tok přes hranici Jednotková vnější normála Gaussova věta def.: Divergence Divergence popisuje zdroje vektorového pole Gaussova věta na obrázku ========= 15. 12. 2015 ========== Křivka v polárních souřadnicích Příklady: – Archimedova spirála – logaritmická spirála – vlastnosti logaritmické spirály: úhel paprsků – loxodroma – Fibonacciho čísla, králíci – zlatý řez, slunečnice a ananas Aplikace křivkového integrálu – výpočet obsahu válcové plochy – na cvičení Křivkový integrál v polárních souřadnicích Příklad pro Arch. spirálu Derivace součinů vektorových funkcí Připomenutí: Parametrizace obloukem Věta: Každou (hladkou) křivku lze parametrizovat obloukem Příklad: změna parametru u kružnice Tečný vektor, jeho derivace je normála (dk) Oskulační rovina, oskulační kružnice Binormála Normálová a rektifikační rovina První a druhá křivost – flexe a torze Inflexní bod – není hlavní normála Vztah mezi 1. křivostí a poloměrem oskulační kružnice Frenetův repér ========= 22. 12. 2015 ========== Připomenutí: – parametrizace obloukem – křivost, geometrický význam Příklad: oskulační kružnice pro šroubovici Frenetovy formule [nezk.] – zádrhel byl v b = t × n, nikoli n × t Křivost křivky pro lib. parametrizaci, dk 4
Gaussova, Greenova a Stokesova věta Divergence a rotace, zápis pomocí nabla Laplaceův operátor Nezávislost integrálu na cestě Potenciál Příklad na hledání potenciálu a výpočet křiv. integrálu ========= 5. 1. 2016 ========== Připomenutí: Divergence, gradient, rotace, curl Nabla, zápisy operátorů pomocí nably Divergence gradientu, Laplaceův operátor Divergence z rotace Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace . . . Dirichletovy a Neumannovy okrajové podmínky Pojem klasického řešení diferenciální rovnice Fourierův princip, vedení tepla v nehomogenním (anizotropním) materiálu Odvození rovnice stacionárního vedení tepla Geometrický význam divergence Divergence na obrázku Tok přes hranici infinitezimálně malého čtverce, souvislost s rotací Význam rotace Spádnice/proudnice, klouzání vrstev, vnitřní tření Rozhraní při míchání tekutin, příklady míchání dvou hmot v našem světě. Rotace v počítačové grafice – otočení obrazce pomocí dvou zkosení Invariace divergence a rotace vůči otočení souřadnicového systému. L’Huillierovy vzorce – spojitá verze ========== Další inspirace k samostudiu: Potenciální a nepotenciální vír Navier-Stokesovy rovnice
5
