M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB

M - Příprava na pololetku č. 2 1KŘA, 1KŘB

Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

M - Příprava na pololetku č. 2 - 1KŘA, 1KŘB

1

± Pythagorova věta

Pythagorova věta

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Platí i obráceně: 2

2

2

Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b , pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c´= ? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

c´= a 2 + b 2 = 4 2 + 52 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. Příklad 2: V kosočtverci mají úhlopříčky délky 8 cm a 6 cm. Určete délku strany kosočtverce.

8.6.2009 7:51:22

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 40


1

Řešení:

u1 = 8 cm u2 = 6 cm a = ? [cm] ---------------------Vzhledem k tomu, že úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé a navzájem se půlí, platí, že u1´ = u1/2 = 8/2 cm = 4 cm u2´ = u2/2 = 6/2 cm = 3 cm Podle Pythahorovy věty pak /2

a = u1 + u2

/2

= 4 2 + 32 = 25 = 5

a = 5 cm Strana kosočtverce má délku 5 cm.

± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1.

698 Výsledek:

2.

691

Výsledek:

6,06 cm

3.

694 Výsledek:

12 cm

4.

697

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


2 z 40


1

5.

692

Výsledek:

110 m

6.

690 Výsledek:

0,6 cm

7.

689 Výsledek:

1,4 m

8.

700 Výsledek:

4,9 cm

9.

695

Výsledek:

10.

699 Výsledek:

1,78 cm

11.

696 Výsledek:

12

12.

693 Výsledek:

2

1 092 cm

± Algebraické výrazy

Algebraické výrazy Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Výraz s proměnnou obsahuje zpravidla čísla, znaky početních operací, proměnné a pomocné znaky (např. závorky). Přehled důležitých vzorců: 2 2 2 (A + B) = A + 2AB + B 2 2 2 (A - B) = A - 2AB + B 2 2 (A - B).(A + B) = A - B 3 3 2 2 3 (A + B) = A + 3A B + 3AB + B 3 3 2 2 3 (A - B) = A - 3A B + 3AB - B 3 3 2 2 A - B = (A - B).(A + AB + B )

8.6.2009 7:51:22


3 z 40

M - Příprava na pololetku č. 2 - 1KŘA, 1KŘB 3

3

2

1

2

A + B = (A + B).(A - AB + B ) Zjednodušování algebraických výrazů budeme říkat, že výrazy upravujeme.

Přehled základních operací s celistvými algebraickými výrazy: 1. Sčítání a odečítání výrazů Sčítat nebo odečítat můžeme výrazy, které mají stejný základ a stejný exponent. Příklady: 2 2 2x + 7x ... lze sečíst 2 2x + 3x ... nelze sečíst 2 2 2x + 3y ... nelze sečíst 2. Násobení výrazů a) jednočlen jednočlenem Pozn.: členy výrazu nám oddělují pouze znaménka + nebo 2 5 4 3x y z ... jednočlen 2 4 2 3 3x y - 7x y dvojčlen Při násobení jednočlenu jednočlenem postupujeme tak, že nejprve učíme znaménko výsledku, pak vynásobíme koeficienty a dále vynásobíme proměnné postupně podle abecedy. Využíváme při tom pravidla, že při součinu mocnin o stejném základu opíšeme základ a exponenty sečteme. Příklad: 2 6 5 2 7 8 3x y . (-6x y ) = -18x y Pozn.: Můžeme využívat i pravidla, že součin mocnin se stejným exponentem se rovná mocnině součinu. 3 3 3 Příklad: x . y = (xy) Platí to samozřejmě i obráceně. b) dvojčlen jednočlenem Roznásobíme jednočlenem každý člen v závorce. Příklad: 4 5 5 5 (2x - 3y ).(-2x) = -4x + 6xy Při tomto výpočtu je úplně jedno, jestli je v zadání nejprve jednočlen a pak závorka nebo obráceně. c) dvojčlen dvojčlenem Roznásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé závorky. Na pořadí provedených operací nezáleží. Vzniklý výraz zjednoduššíme. Příklad: 2 3 2 3 2 (2x - 5) . (3x - 1) = 6x - 2x - 15x + 5 = 6x - 15x - 2x + 5 Stejným způsobem postupujeme, pokud násobíme obecně mnohočlen mnohočlenem. 3. Dělení výrazů V tomto případě se nám dostane do dělitele (jmenovatele) výraz s proměnnou. Těmito výpočty se zabývá kapitola Úpravy lomených výrazů. 4. Umocňování výrazů

8.6.2009 7:51:22


4 z 40


1

Využíváme následující pravidla: - mocnina mocniny se vypočte tak, že základ opíšeme a exponenty mezi sebou vynásobíme 35 15 Příklad: (x ) = x - pokud umocňujeme dvojčlen, postupujeme podle vzorců - viz začátek kapitoly 5. Rozklady výrazů na součin Využíváme následujících operací (v uvedeném pořadí) a) snažíme se ze všech členů vytknout co největší výraz b) použijeme některý ze známých vzorců c) použijeme postupné vytýkání V tomto případě musí být výslednou početní operací součin.

± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1.

Rozlož na součin: 4 6 a -b Výsledek: (a2 - b3) . (a2 + b3)

1159

2.

Výraz (3k - 2) - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k=3 Výsledek: k2 - 2

3.

Doplňte: (? - 3) = 16x - ? + ? Výsledek: První ? = 4x; druhý ? = 24x; třetí ? = 9

4.

Upravte: (1,2x - 0,3y) Výsledek: 1,44x4 - 0,72x2y + 0,09y2

1128

5.

Rozlož na součin: 4 2 2 1/9u + 2u v + 9v 2 Výsledek: (1/3u + 3v)2

1166

6.

Rozlož na součin: 2 4 1/4x - 1/36y Výsledek: (1/2x - 1/6y2) . (1/2x + 1/6y2)

1165

7.

Zjednoduš: 2 (2x - 3) Výsledek: 4x2 - 12x + 9

1151

8.

Zjednoduš: 3 2 2 3 (0,1a - 5a ) . (5a + 0,1a ) Výsledek: 0,01a6 - 25a4

1149

9.

Zjednoduš: 2 3 2 3 (4x + 3y ) . (4x - 3y ) 4 6 Výsledek: 16x - 9y

1148

2

2

2

8.6.2009 7:51:22

2

2


1131

1134

5 z 40


1

10.

Zjednoduš: 2 2 (0,1rs - 10r ) Výsledek: 0,01r2s2 - 2r3s + 100r4

11.

Upravte: a 3b ab.2b a 4b Výsledek: 24a6b9

12.

Výraz K = 16a – a x rozložte na součin aspoň tří činitelů Výsledek: K = a2.(4 - ax).(4+ax)

13.

Rozložte na součin: a + 2ab + b – c Výsledek: (a + b + c) . (a + b - c)

14.

Zjednoduš: (0,8 - y) . (0,8 + y) Výsledek: 0,64 - y2

1145

15.

Zjednoduš: 2 2 (u + 10) Výsledek: u4 + 20u2 + 100

1152

16.

Rozlož na součin: 2 2 4 9x + 6xy + y Výsledek: (3x + y2)2

1161

17.

Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3 Výsledek: -4(x + 3)

1114

18.

Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1) Výsledek: (2m - 1) . (5x - 8)

1124

19.

Výraz 4k - (2k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3 Výsledek: -8k + 7

20.

Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r . Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0 Výsledek: (v - u) . (v + u) . (3s - 2r) . (3s + 2r)

21.

Výraz

- (-2x + 1) se po úpravě rovná čemu? Výsledek: -4x2 + 4x - 1

1139

22.

Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost 2 2 (... + 3y) = 4x + ... + ... Výsledek: 12xy

1118

2.

2.

2 3.

2

1156

4

1130

4 2

2

2

2

1142

2

2 2

8.6.2009 7:51:22

2

2 2

1141

2 2

2 2

2


1119

1132

6 z 40

M - Příprava na pololetku č. 2 - 1KŘA, 1KŘB 23.

1

2

2

Rozložte na součin: x - 2xy + y - x + y (x - y) . (x - y - 1)

1133

Výsledek:

2

24.

Rozložte na součin: 4 – x Výsledek: (2 - x) . (2 + x)

1123

25.

Zjednoduš: 3 3 (c - 1/3) . (c + 1/3) 6 Výsledek: c - 1/9

1146

26.

Upravte: (2x - 5) - (2x - 3).(5x + 2) Výsledek: -6x2 - 9x + 31

1135

27.

Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y) Výsledek: 4x2 - 0,04 y2

1129

28.

Zjednoduš: 2 (2/3 - z) Výsledek: 4/9 - 4/3z + z2

1157

29.

Rozlož na součin: 4 49 - c Výsledek: (7 - c2) . (7 + c2)

1160

30.

Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-2x) Výsledek: 2.(x2 - 3x + 9)

1137

31.

Zjednoduš: 3 2 2 3 (3/7u - 3u ) . (3u + 3/7u ) 6 4 Výsledek: 9/49u - 9u

1150

32.

Zjednoduš: (2m - n) . (2m + n) Výsledek: 4m2 - n2

1144

33.

Rozlož na součin: 2 3 4 0,04a - 1,2a + 9a Výsledek: (0,2a - 3a2)2

1164

Vypočtěte součin výrazů x + 2 a x - 1 2 x +x-2

1126

Rozlož na součin: 2 2 2 2 16r s - 16rs + 4s Výsledek: (4rs - 2s)2 = 4s2 . (2r - 1)2

1162

34.

2

2

2

2

Výsledek:

35.

8.6.2009 7:51:22


7 z 40


1

36.

Rozlož na součin: 8 6 0,25a - b Výsledek: (0,5a4 - b3) . (0,5a4 + b3)

37.

Upravte: [(a b ) ] Výsledek: a12b18

1127

38.

Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 2 2 8x - [2x – 6.(x - 1) + 2] - (3x - 5x).2 Výsledek: 4.(x + 1)

1140

39.

Rozložte na součin výrazy: a) 2x - 4xy + 2y Výsledek: a) 2 . (x - y)2 b) (t + 5) . (5 - 2m)

40.

Rozložte na součin výraz: 18xy - 21x y Výsledek: 3xy.(6y - 7x)

1117

Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 2 Rozdíl 3, součin x + x - 2

1120

42.

Zjednoduš: 2 2 (x - 3) . (x + 3) Výsledek: x4 - 9

1143

43.

Zjednoduš: 2 3 2 (x - x ) Výsledek: x4 - 2x5 + x6

1155

44.

Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) Výsledek: -10s.(5s + 2h)

1121

45.

Vypočtěte rozdíl výrazů x + 2 a x - 1 Výsledek: 3

1125

46.

Rozložte na součin: 4x (y – z ) + 25v (z – y ) Výsledek: (y - z) . (y + z) . (2x - 5v) . (2x + 5v)

1116

47.

Zjednoduš: 2 2 (3a + 2b ) Výsledek: 9a2 + 12ab2 + 4b4

1154

48.

Upravte daný výraz 3x y - {xyz - (2yz - x z) - 4x z + [3x y - (4xyz - 5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 Výsledek: 3xyz - 2x2z + 2yz

41.

1163

2 3 3 2

2

2

2

b) 5t - 2tm - 10m + 25

2

1138

Výsledek:

2

2

8.6.2009 7:51:22

2

2

2

2

2

2

2

2

2


2

1136

8 z 40


1

49.

Zjednoduš: 2 2 (a b - 10) . (a b + 10) Výsledek: a4b2 - 100

1147

50.

Zjednoduš: 2 (c + 1,2) Výsledek: c2 + 2,4c + 1,44

1153

51.

Umocněte: (10 - 2a) Výsledek: 100 - 40a + 4a2

52.

Vypočtěte: (4a b + 5a b ) = Výsledek: 16a4b2 + 40a5b3 + 25a6b4

53.

(5v + 2/5uv) Výsledek: 25v8 + 4uv5 + 4/25u2v2

2

2

4

1122

3 2 2

1115

2

1158

± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl).

Př.:

ax + b cx + d

Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek 8.6.2009 7:51:22


9 z 40


1

uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů.

± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 1.

1178

Výsledek:

2.

Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl:

æ xy - y 2 ö çç 3 - 2 ÷÷. - xy2 xy ø è y x

(

Výsledek:

1197

)

3 - x; x ¹ 0, y ¹ 0

3.

1168

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


10 z 40


1


p-q . 4 p 2 - 4 pq 2 4 p - 8 pq + 4q

(

2

Výsledek:

1191

)

p; p ¹ q

5.

1170

Výsledek:

6.

1181

Výsledek:

7.

1167

Výsledek:

8.

Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 2

1194

2

x -y .(- 1) x+ y Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

y - x; x ¹ -y


11 z 40


1

9.

1175

Výsledek:

10.

1180

Výsledek:

11.

Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl:

1185

6x -1 .(12 x + 2 ) 6x +1 Výsledek:

12.

2.(6x - 1); x ¹ -1/6


1202

m - 5n .(2n - 3m ) 3m - 2n Výsledek:

5n - m; n ¹ (3/2)m

13.

1173

Výsledek:

14.


1203

3s + r ö æ 1 - 2 2 ÷.(3s - r ) ç è r - 3s 9 s - r ø Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

-2; r ¹ ± 3s


12 z 40


1


1199

æ 2 x + 3y ö çç ÷.( x - 3 y ) - 2 2 ÷ 3 y x x 9 y è ø Výsledek:

-3; x ¹ ± 3y

16.

1176

Výsledek:

17.

1172

Výsledek:

18.


2 . y2 - z2 y+z

(

Výsledek:

19.

1201

)

2 . (y - z); y ¹ -z


1196

æ 1 1 ö 2 ç1 + + 2 ÷.x è x x ø Výsledek:

2

x + x + 1; x ¹ 0

20.

1179

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


13 z 40


1


1195

æ 1 1+ x ö ç ÷.(- 2 x ) x ø èx Výsledek:

22.

2x; x ¹ 0


1182

3 + 5x .21x 2 7x Výsledek:

23.

2

9x + 15x ; x ¹ 0


1192

a - 2b + 1 .(a - 2b - 1) (a - 2b )2 - 1 Výsledek:

24.

1; a ¹ 2b - 1, a ¹ 2b + 1


1- 2x . - 6x2 3x

(

Výsledek:

)

2

4x - 2x; x ¹ 0

25.

1174

Výsledek: 26.

1200

-1,7


1193

3a + 2 - b .(2 + b - 3a ) 2 4 - (3a - b ) Výsledek:

27.

1; b ¹ 3a - 2; b ¹ 3a + 2


1 . - 6x2 y2 2 3x y

(

Výsledek:

1183

)

-2y; x ¹ 0, y ¹ 0

28.

1169

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


14 z 40


1

29.

1171

Výsledek:

30.


1187

x- y .( x - 2 y ) x - 4 y2 2

Výsledek:

31.

x- y ; x ¹ ±2 y x + 2y


1189

18v .(5v + 7 ) 30v + 42 Výsledek:

32.

3v; v ¹ -7/5


1198

æ x x - 2y ö çç ÷.(2 y + x ) + 2 2 ÷ è x + 2y x - 4y ø Výsledek:

33.


Výsledek:

34.

x + 1; x ¹ ± 2y

3x; x ¹ 0, x ¹ 1


1184

1190

2

4r + 28rs + 49s .(2r - 7 s ) 2r + 7 s Výsledek:

35.

7 4r 2 - 49 s 2 ; r ¹ - s 2


1186

8x + 7 .(14 - 16 x ) 8x - 7 Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

-2.(8x + 7); x ¹ 7/8


15 z 40


1


1188

2

u +u .(u - 1) u 2 -1 Výsledek:

2

u;u ¹ ± 1

37.

1177

Výsledek:

± Lineární rovnice

Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.:

2x + 5 = 7x - 3

Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice. Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně.

Ekvivalentní úpravy rovnic 1. ekvivalentní úprava K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo (stejný výraz). př.: 2x + 3 = 7 - 3x /+3x 5x + 3 = 7 Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko. 2. ekvivalentní úprava Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem (stejným výrazem) různým od nuly. př.: 8x = 24 /:8 x=3 Pozn.: Pokud se u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti.

8.6.2009 7:51:22


16 z 40


1

Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině. Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Řešení jednoduchých rovnic - ukázkové příklady Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

8.6.2009 7:51:22


17 z 40


1

Příklad 4: Řešení:

x = 9/7 Příklad 5:

Řešení:

± Lineární rovnice - procvičovací příklady 1.

1514

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

Všechna reálná čísla


18 z 40


1

2.

1501

Výsledek:

11

3.

1480

Výsledek:

0,5

4.

1486

Výsledek:

3

5.

1481

Výsledek:

1

6.

1504

Výsledek:

-1

7.

1507

Výsledek:

0,5

8.

1471

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

-1


19 z 40


1

9.

1491

Výsledek:

5

10.

1483 Výsledek:

6

11.

1477

Výsledek:

-10

12.

1487

Výsledek:

10

13.

1496

Výsledek:

-4

14.

1505

Výsledek:

-

1 3

15.

1500 Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

4


20 z 40


1

16.

1488

Výsledek:

-1,2

17.

1473

Výsledek:

5

18.

1472

Výsledek:

-

1 6

19.

1485

Výsledek:

3

20.

1506

Výsledek:

0,5

21.

1489

Výsledek:

2

22.

1503

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

87


21 z 40


1

23.

1478

Výsledek:

-1

24.

1509

Výsledek:

-1

25.

1497

Výsledek:

-5

26.

1513

Výsledek:

0,1

27.

1484

Výsledek:

-2

28.

1470

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

2 3


22 z 40


1

29.

1474

Výsledek:

0,5

30.

1502

Výsledek:

12

31.

1511

Výsledek:

-5

32.

1510

Výsledek:

-

1 3

33.

1482

Výsledek:

10

34.

1494

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

13


23 z 40


1

35.

1479

Výsledek:

2

36.

1490

Výsledek:

1 3

37.

1475

Výsledek:

5

38.

1515

Výsledek:

0

39.

1512

Výsledek:

-9

40.

1492

Výsledek:

-0,5

41.

1508

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22

0


24 z 40


1

42.

1498

Výsledek:

-0,5

43.

1499

Výsledek:

-2,5

44.

1476

Výsledek:

-0,5

45.

1495

Výsledek:

13

46.

1493

Výsledek:

4 3

± Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a£x£b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î

8.6.2009 7:51:22


25 z 40


1

Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body. 2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b)

Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x Î (-¥; +¥) nebo jinak x Î R

3.

Polootevřený (polouzavřený) interval a < x £ b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b>

Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4.

Další typy intervalů x
x Î (-¥; a)

Analogicky by byl interval pro x > a x£a

x Î (-¥; a>

Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a

8.6.2009 7:51:22


26 z 40


1

± Nerovnice

Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. > < £ ³

... ... ... ...

čteme čteme čteme čteme

větší menší menší nebo rovno větší nebo rovno

Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1:

Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. 2x - 1 - 2 . (x + 3) > 4 2x - 1 - 2x - 6 > 4 -7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad 2:

Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti: 2 . (7 - 2x) > 3x - 7 14 - 4x > 3x - 7

8.6.2009 7:51:22


27 z 40


1

-7x > -21 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x<3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ¥; 3) Graficky znázorníme:

Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0:

7 - 2.0 7 = 6 6

L= L>P

Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti.

± Nerovnice - procvičovací příklady 1.

1751

Výsledek:

2.

1753

Výsledek:

3.

1745

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


28 z 40


1

4.

1752

Výsledek:

Řešením je libovolné přirozené číslo.

5.

1748

Výsledek:

6.

1750

Výsledek:

7.

1749

Výsledek:

8.

1746

Výsledek:

9.

1754

Výsledek:

Každé reálné číslo

10.

1747

Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


29 z 40


1

± Slovní úlohy řešené rovnicí

Slovní úlohy řešené rovnicí Do této skupisy slovních úloh patří jednak klasické slovní úlohy (např. typu "Ve skladu je ve třech policích ... výrobků, v první polici jich je o 10 více než ve druhé a ve třetí o pět méně než v druhé. Kolik výrobků je v každé polici?"). Patří sem ale i slovní úlohy o pohybu ("Z místa A vyjelo auto rychlostí..., z místa B vyjelo auto v opačném směru rychlostí... atd.) nebo úlohy o společné práci ("První zedník by sám postavil zeď za 12 hodin, druhý zedník by ji sám postavil za 8 hodin. Jak dlouho budou stavět zeď oba současně?), ale i úlohy o směsích ("Kolika procentní vznikne roztok, smícháme-li 1 litr 8%-ního octa s 0,5 litrem vody?") Většinu úloh je vhodné řešit pomocí tabulky. Obecný postup řešení (platí pro většínu slovních úloh řešených rovnicí): 1. 2. 3. 4.

Do tabulky provedeme zápis. Sestavíme rovnici. Vyřešíme rovnici a provedeme zkoušku (můžeme též provést zkoušku příkladu). Zapíšemé závěr - odpověď.

± Slovní úlohy - procvičovací příklady 1.

Písemná práce z matematiky dopadla takto: Polovina žáků vyřešila jen část úloh, všechny úlohy vyřešilo 8 žáků, čtvrtina žáků nevyřešila nic. Kolik žáků psalo písemnou práci? Výsledek: 32 žáků

1991

2.

Jana a Eva četly stejnou knihu. Jana přečetla denně 14 stránek a dočetla knihu o den dříve než Eva, která přečetla denně 12 stránek. Kolik stran měla kniha? Výsledek: 84

1988

3.

Slavného řeckého matematika Pythagora se ptali, kolik žáků navštěvuje jeho školu. Odpověděl: "Polovina žáků studuje matematiku, čtvrtina hudbu, semina mlčí a kromě toho jsou tam ještě tři ženy." Kolik žáků navštěvuje jeho školu? Výsledek: 28

1985

4.

Dvě dílny jednoho závodu vyrobí denně 26 součástek. Aby společně vyrobily 350 součástek, pracovala první dílna 14 dní a druhá o den méně. Kolik součástek vyrobí každá dílna denně? Výsledek: První dílna 12 součástek, druhá dílna 14 součástek.

1993

5.

Denní produkce mléka 620 litrů byla slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? Výsledek: 15 konví po 25 litrech, 7 konví po 35 litrech

2005

8.6.2009 7:51:22


30 z 40


1

6.

Viktor ušetřil dvakrát víc korun než Hanka, Tomáš o sedm korun méně než Viktor, Dáša o 13 Kč více než Tomáš. Dohromady ušetřili 293 Kč. Kolik ušetřil každý? Výsledek: Hanka 42 Kč, Tomáš 77 Kč, Viktor 84 Kč, Dáša 90 Kč.

1984

7.

Petr šel se svou sestrou Ivou na houby. Petr našel o 23 hub více než Iva. Cestou z lesa Iva poprosila Petra: "Dej mi tolik hub, abych jich měla alespoň o 5 více než ty." Petr jí vyhověl. Kolik hub jí nejméně musel dát? Výsledek: 14 hub

2010

8.

Denní produkce mléka 630 litrů byla slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? Výsledek: 14 konví po 25 litrech, 8 konví po 35 litrech

2007

9.

Přátelé jeli na výlet. Nejprve 15 % celkové trasy jeli vlakem, pak jednu dvacetinu cesty šli pěšky, dalších 6 km jeli lanovkou, poté dvě pětiny cesty urazili pěšky a nakonec 14 km jeli vlakem. Kolik kilometrů ujeli vlakem a kolik kilometrů ušli pěšky? Výsledek: Vlakem 21,5 km, pěšky 22,5 km

1998

10.

Otec chtěl původně rozdělit majetek svým dvěma synům v poměru 7:6. Pak ho však rozdělil v poměru 6:5 (ve stejném pořadí). Jeden ze dvou synů se rozzlobil, že měl původně dostat o 120 Kč víc. Kolik korun dostal každý syn? Výsledek: První syn dostal 9 360 Kč, druhý syn dostal 7 800 Kč.

2009

11.

Žák má ve stavebnici 15 volantů a 53 koleček. Ze všech volantů a koleček sestavuje tříkolky (1 volant a tři kolečka) a autíčka (1 volant a 4 kolečka). Kolik sestavil tříkolek a kolik autíček? Výsledek: 8 autíček, 7 tříkolek.

2003

12.

Ivana si hrála s dvoumiskovými rovnoramennými vahami. Když položila na levou misku autíčko a na pravou míč a dvě kostky, nastala rovnováha. Další rovnováhu docílila, když na levou misku položila autíčko a jednu kostku a na pravou dva míče. Kolik kostek má právě takovou hmotnost jako autíčko? Výsledek: 5

1995

13.

Žáci 8. ročníku byli na třídenním výletu a ušli celkem 42 km. První den ušli dvakrát více než třetí den a druhý den o 4 km více než třetí den. Kolik kilometrů ušli každý den? Výsledek: První den 19 km, druhý den 13,5 km, třetí den 9,5 km.

1999

14.

Na rekreační zájezd jelo 35 účastníků. Bylo zaplaceno celkem 8 530 Kč. Zaměstnanci platili 165 Kč, rodinní příslušníci 310 Kč. Vypočítejte, kolik bylo zaměstnanců a kolik bylo rodinných příslušníků. Výsledek: 16 zaměstnanců, 19 rodinných příslušníků.

1994

15.

Mezi tři soutěžící děti byly rozděleny body tak, že poslední získalo jednu šestinu všech bodů, předposlední získalo jednu třetinu všech bodů a první získalo 60 bodů. Kolik bodů se celkem rozdělilo a kolik dostalo druhé dítě? Výsledek: Celkem 120 bodů, druhé dítě 40 bodů.

1990

8.6.2009 7:51:22


31 z 40


1

16.

Jedna čtvrtina délky pilíře je zaražena v zemi, dvě třetiny jeho délky jsou ve vodě a nad hladinu vyčnívá část dlouhá 1,20 m. Jak dlouhý je pilíř? Výsledek: 14,4 m

1992

17.

Ve městě jsou dvě školy, ve kterých je celkem 1 157 žáků. V první škole je o 9 dívek více než chlapců, ve druhé škole je o 2 chlapce více než dívek. Kolik je v obou školách dohromady chlapců a kolik dívek? Výsledek: 575 chlapců, 582 dívek

2008

18.

Zahradník koupil 80 květináčů za 2 832 Kč. Menší byly po 32 Kč, větší po 40 Kč. Kolik bylo kterých? Výsledek: 46 květináčů po 32 Kč, 34 květináčů po 40 Kč.

1996

19.

Do třídy chodí 27 žáků. V určitý den chybělo 6 chlapců a 1 dívka a počet chlapců a dívek byl v tento den stejný. Kolik chlapců a kolik dívek má třída celkem, jsou-li všichni žáci přítomni? Výsledek: 11 dívek, 16 chlapců

1997

20.

Anička jela na jarní prázdniny k babičce. Za cestu zaplatila 38 Kč, což byly dvě třetiny jejích úspor. Babičce koupila dárek za 35,50 Kč a sestřence koupila knížku za 16,70 Kč. Kolik Kč jí zbylo na útratu, jestliže si ještě odložila peníze na zpáteční cestu? Výsledek: 42,80 Kč

1987

21.

Turista utratil každý den polovinu částky, kterou vlastní, a ještě 10 Kč. Za tři dny utratil všechny své peníze. Kolik peněz měl turista původně? Výsledek: 140 Kč

2011

22.

Prodavač prodal za tři dny celkem 1 280 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal 1,5krát více losů než druhý den. Kolik losů prodal první den? Výsledek: 430 losů

1983

23.

Když byl cestující ve vlaku v polovině cesty, usnul. Po probuzení zjistil, že má jet ještě pětinu té cesty, kterou projel ve spánku. Jakou část cesty zaspal? Výsledek: Pět dvanáctin celé cesty

2013

24.

Číslo 138 napište jako součet čtyř po sobě jdoucích celých čísel. Výsledek: 33, 34, 35, 36

1989

25.

Orba skončí v plánovaném termínu, jestliže traktoristé zorají denně 150 ha pole. Díky dobré péči mechaniků pracovaly traktory bez poruchy a traktoristé zorali denně 200 hektarů pole a skončily orbu o dva dny dříve, než se plánovalo. Kolik hektarů pole zorali a za kolik dní? Výsledek: Za 6 dní 1 200 ha pole.

2001

26.

Během dne navštívilo výstavu 130 návštěvníků, kteří zaplatili vstupné v celkové částce 630 Kč. Kolik z nich bylo dospělých a kolik bylo dětí, jestliže vstupné pro dospělé bylo 6 Kč a vstupné pro děti bylo 3 Kč. Výsledek: Dospělých 80, dětí 50

2002

8.6.2009 7:51:22


32 z 40


1

27.

Limonáda s kelímkem stála 5,80 Kč. Limonáda byla o 5 Kč dražší než kelímek. Kolik stál kelímek? Výsledek: 40 haléřů

1986

28.

V teplárně spotřebovali první den pětinu zásoby uhlí, druhý den spotřebovali třetinu zbytku. Třetí a čtvrtý den spotřebovali zbývajících 6 400 tun uhlí. Jakou zásobu uhlí měla teplárna původně? Výsledek: 12 000 tun

2006

29.

Dvě stě krabic pracích prášků bylo v obchodě narovnáno ve třech policích. V první bylo o 13 krabic více než ve druhé, ve druhé o jednu pětinu více než ve třetí polici. Kolik krabic bylo ve které polici? Výsledek: První police 79 krabic, druhá police 66 krabic, třetí police 55 krabic.

2004

30.

Dvěma sourozencům je dohromady šest let. Jeden je o pět roků mladší než druhý. Určete věk obou sourozenců. Výsledek: Staršímu je 5,5 roku, mladšímu je 0,5 roku.

1982

31.

Z kovové tyče byly zhotoveny tři součástky. Na první byla spotřebována polovina tyče, na druhou dvě třetiny zbytku a třetí měla hmotnost 3 kg. Jakou hmotnost měla celá tyč? Výsledek: 18 kg

2000

32.

Podnikatel měl dodat v lednu a v únoru stejné množství výrobků, v březnu pak dvojnásobné množství než v lednu. Kvůli provozním potížím však dodal v lednu o třetinu méně než měl, v únoru ještě o 60 kusů méně než v lednu a teprve v březnu dodal o 280 kusů víc než původně měl dodat za březen. Přesto chybělo ještě 12 kusů ke splnění celé dodávky. Jaké množství měl dodávat v jednotlivých měsících? Výsledek: Leden a únor po 360 kusech, březen 720 kusů.

2012

± Kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat:

2

ax + bx + c = 0, kde a ¹ 0

Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: 2 ax ... kvadratický člen bx ... lineární člen c ... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x1, x2, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru

8.6.2009 7:51:22


33 z 40


1

2

ax + bx + c = 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních.

1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně:

2

ax = 0

Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. 2 Dostaneme tak: x =0 A odtud tedy: x1,2= Ö0 x1,2= 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: 2

Řešte kvadratickou rovnici 3x = 0 Řešení: 2

3x = 0 2 x =0 x1,2= 0

|:3

Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.

2. Kvadratická rovnice bez lineárního členu 2

Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax + c = 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: 2 Dostaneme: ax = - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: 2 Dostaneme: x = -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: x1,2= ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že x1 = +Ö(-c/a) x2 = -Ö(-c/a) Příklad 2: 2

Řešte kvadratickou rovnici -3x + 27 = 0 v oboru reálných čísel. Řešení: 2

-3x + 27 = 0 |:(-1) 2 3x - 27 = 0 2 3x = 27 |:3 2 x =9 x1,2= ±Ö9 x1 = 3 x2 = -3 Příklad 3: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x + 6 = 0

8.6.2009 7:51:22


34 z 40


1

Řešení: 2

3x = -6 2 x = -2 V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 6 = 0 Řešení: 2

3x = 6 2 x =2 x1,2= ±Ö2 x1 = +Ö2

x2 = -Ö2

3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu 2

Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax + bx = 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x: Dostaneme: x.(ax + b) = 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že x1 = 0 nebo (ax + b) = 0 a odtud: x2 = -b/a Příklad 5: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 2x + 6x = 0 Řešení: 2

x + 3x = 0 x.(x + 3) = 0 x1 = 0

x2 = -3

Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule.

4. Obecná kvadratická rovnice 2

Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax + bx + c = 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce:

x1, 2

- b ± b 2 - 4ac = 2a

Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty:

8.6.2009 7:51:22


35 z 40


1

2

x1, 2

b æbö - ± ç ÷ - ac 2 è2ø = a

Příklad 6: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x + 4x - 60 = 0 Řešení: a=1

b=4

c = -60

Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: 2

x1, 2

b æbö - ± ç ÷ - ac 2 è2ø = a 2

4 æ4ö - ± ç ÷ - 1.(- 60 ) 2 - 2 ± 4 + 60 è2ø x1, 2 = = = -2 ± 64 1 1 x1,2= -2 ± 8 x1 = 6

x2 = -10

Příklad 7: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x + 8 = 0 Řešení: a=3

x1, 2

b = -5

c=8

- b ± b 2 - 4ac = 2a

x1, 2 =

- (- 5) ±

(- 5)2 - 4.3.8 2.3

=

5 ± 25 - 96 5 ± - 71 = 6 6

V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. 2

Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0 ... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0 ... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0 ... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x - 8 = 0 Řešení:

8.6.2009 7:51:22


36 z 40


a=3

x1, 2 = x1, 2 =

x1, 2 =

b = -5

1

c = -8

- b ± b 2 - 4ac 2a - (- 5) ±

(- 5)2 - 4.3.( -8) 2.3

=

5 ± 25 + 96 5 ± 121 = 6 6

5 ± 11 6

x1 = 8/3 x2 = -1

± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1.

1555 Výsledek:

2.

1574 Výsledek:

3.

1581 Výsledek:

4.

1561

Výsledek:

5.

1577 Výsledek:

6.

1578 Výsledek:

7.

1576 Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


37 z 40


1

8.

1566

Výsledek:

9.

1568

Výsledek:

10.

1565

Výsledek:

11.

1557 Výsledek:

12.

1567

Výsledek:

13.

1552 Výsledek:

14.

1580 Výsledek:

15.

1558 Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


38 z 40


1

16.

1553

Výsledek:

17.

1563

Výsledek:

18.

1573 Výsledek:

19.

1556 Výsledek:

20.

1571 Výsledek:

21.

1570 Výsledek:

22.

1583 Výsledek:

23.

1579 Výsledek:

24.

1554 Výsledek:

25.

1569 Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


39 z 40


1

26.

1559 Výsledek:

27.

1564

Výsledek:

28.

1582 Výsledek:

29.

1575 Výsledek:

30.

1562

Výsledek:

31.

1572 Výsledek:

32.

1560 Výsledek:

8.6.2009 7:51:22


40 z 40


1

Obsah Pythagorova věta Pythagorova věta - procvičovací příklady Algebraické výrazy Algebraické výrazy - procvičovací příklady Lomené algebraické výrazy Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady Lineární rovnice Lineární rovnice - procvičovací příklady Intervaly Nerovnice Nerovnice - procvičovací příklady Slovní úlohy řešené rovnicí Slovní úlohy - procvičovací příklady Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice - procvičovací příklady

8.6.2009 7:51:22


1 2 3 5 9 10 16 18 25 27 28 30 30 33 37

M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB

Recommend Documents