M - Příprava na 3. čtvrtletku třídy 1P, 1VK

M - Příprava na 3. čtvrtletku třídy 1P, 1VK

Souhrnný studijní materiál určený k přípravě na 3. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo ledna až března.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK

1

± Kvadratické rovnice s parametrem

Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení , pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: 2

(m - 3)x - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení: 1. Pro m = 3 ...

lineární rovnice

2. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: 2

2

2

2

D = b - 4ac = [-(3m + 9)] - 4.(m - 3).9m = 9m + 54m + 81 - 36m + 108m = 2 = -27m + 162m + 81 a) D > 0 ... 2 reálné různé kořeny ... nastane tehdy, jestliže: 2 -27m + 162m + 81 > 0 |:(-9) 2 3m - 18m - 9 < 0 |: 3 2 m - 6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici 2 m - 6m - 3 = 0

m1, 2

6 ± 6 2 - 4.1.( -3) 6 ± 48 6 ± 4 3 3 ± 2 3 = = = = = 3± 2 3 2.1 2 2 1

m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + 2Ö3)] > 0 [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + 2Ö3 m < 3 - 2Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + 2Ö3)] < 0 [m - (3 - 2Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + 2Ö3 m > 3 - 2Ö3 Závěr: m Î (3-2Ö3; 3) È (3; 3+2Ö3) b) D = 0 ... Jeden dvojnásobný kořen ... 2 -27m + 162m + 81 = 0 |:(-9) 2 3m - 18m - 9 = 0 |: 3 2 m - 6m - 3 = 0 [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] = 0 m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3

nastane tehdy, jestliže:

c) D < 0 ... V reálném oboru nemá řešení ... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (-¥; 3-2Ö3) È (3+2Ö3; +¥)

29.3.2008 19:03:50

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 91


1

± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 1.

1156

Výsledek:

2.

1151 Výsledek:

3.

1157

Výsledek:

4.

1147

Výsledek:

5.

1150 Výsledek:

6.

1158

Výsledek:

7.

1152 Výsledek:

8.

1155

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


2 z 91


1

9.

1149

Výsledek:

10.

1153 Výsledek:

11.

1154 Výsledek:

12.

1146

Výsledek:

... ...

m = -0,4 nebo m = 6

dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R

13.

1148

Výsledek:

± Soustava kvadratické a lineární rovnice

Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady:

29.3.2008 19:03:50


3 z 91


1

Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1 Řešení: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1

x=

1+ 2 y 3

(1)

2

æ1+ 2 y ö 2 ç ÷ + y = 74 è 3 ø

(1 + 2 y )2 9

+ y 2 = 74

1+ 4 y + 4 y2 + y 2 = 74 9 2

2

1 + 4y + 4y + 9y = 666 2 13y + 4y - 665 = 0 2

y1, 2

4 æ4ö - ± ç ÷ - 13.(- 665) 2 - 2 ± 8649 - 2 ± 93 è2ø = = = 13 13 13

y1 = 7 y2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x:

x1 =

1 + 2.7 =5 3

æ 95 ö 1 + 2.ç - ÷ è 13 ø = - 59 x2 = 3 13 Závěr:

ì é 59 95 ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë 13 13 û þ î Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x - y = 640 x:y=7:3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2

æ 7y ö 2 ç ÷ - y = 640 è 3 ø 49 y 2 - y 2 = 640 9 29.3.2008 19:03:50


4 z 91

M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK 2

1

2

49y - 9y = 5760 2 40y = 5760 2 4y = 576 2 y = 144 y1 = 12 y2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x1 = 7 . 12 : 3 = 28 x2 = 7 . (-12) : 3 = -28 Závěr:

K = {[28;12]; [- 28;-12]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady 1.

1172

Výsledek:

2.

1169

Výsledek:

3.

1170

Výsledek:

K = {[3; 0]}

4.

1175

Výsledek:

K = {[0; 0], [2; 4]}

5.

1176

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

K = {[0; -1]}


5 z 91


1

6.

1171

Výsledek:

7.

1173

Výsledek:

8.

Řešte soustavu rovnic:

1174

Výsledek:

± Kvadratické nerovnice

Kvadratické nerovnice S kvadratickými nerovnicemi už jsme se vlastně setkali, aniž jsme si to uvědomili, v kapitole Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Přesněji tedy řečeno v její druhé části, tedy v kapitole nerovnice v součinovém tvaru. Řešit už tedy umíme nerovnice typu (x+3) . (x - 5) < 0 Tento typ nerovnic tedy už nebude předmětem výkladu. Problém však může někdy nastat, budeme-li mít 2 zadánu nerovnici formou trojčlenu - např. x -2x - 15 < 0 V tomto případě si musíme nejprve zadaný trojčlen rozložit na součin. K tomu využijeme znalost řešení kvadratické rovnice. 2 Napíšeme si tedy pomocnou kvadratickou rovnici x - 2x - 15 = 0 a tu normálně podle vzorce vyřešíme. Zjistíme, její kořeny jsou -3 a 5. Proto hledaný rozklad bude mít podobu (x + 3) . (x - 5) Někdy se nám ale stane, že při řešení kvadratické rovnice vyjde diskriminant (tj. číslo pod odmocninou) záporný. V tom případě rozklad na součin v oboru reálných čísel neexistuje. Pak nastanou dvě možnosti: nerovnice nemá žádné řešení nerovnice má nekonečně mnoho řešení Která z uvedených možností nastane, o tom se přesvědčíme tak, že do zadané nerovnice dosadíme libovolné číslo. Vyjde-li nepravdivá nerovnost, řešení neexistuje; vyjde-li pravdivá nerovnost, řešení je nekonečně mnoho. I v tomto případě ale pozor na podmínky řešitelnosti!

• •

Trochu zjednodušit práci si můžeme i tehdy, vyjde-li diskriminant pomocné kvadratické rovnice roven nule. Není to však nezbytně nutné.

29.3.2008 19:03:50


6 z 91


1

Kvadratické nerovnice můžeme výhodně řešit i graficky. Např. kvadratickou nerovnici 2 x - 2x - 15 < 0 bychom mohli graficky vyřešit takto: 2

1. Zápis si upravíme na x - 15 < 2x 2 2. Vytvoříme dvě funkce - z každé strany vzniklé nerovnice jednu - tedy f1: y = x - 15 f2: y = 2x 3. Narýsujeme grafy obou funkcí do jednoho souřadného systému

4.

Na ose x nyní vyznačíme interval, v němž platí, že hodnoty kvadratické funkce jsou menší než hodnoty funkce lineární. Vidíme, že se jedná o otevřený interval (-3; 5)

± Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 2

1.

Řeš kvadratickou nerovnici 2x - 8x + 8 > 0 Výsledek: R \ {2}

2.

Řeš kvadratickou nerovnici -x + 3x - 3 £ 0 Výsledek: K = R

3.

Řeš kvadratickou nerovnici x - 5x + 6 > 0 Výsledek: K = (-¥; 2) È (3; +¥)

4.

Řeš kvadratickou nerovnici x + x - 12 £ 0 Výsledek: K = <-4; 3>

5.

Řeš kvadratickou nerovnici x + 2x £ 3 Výsledek: K = <-3; 1>

2

29.3.2008 19:03:50

1159

1162

2

1164

2

1166

2

1167


7 z 91

M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK 6.

1 2

Řeš kvadratickou nerovnici -x - 6x - 8 > 0 K = (-4; -2)

1165

Výsledek:

2

7.

Řeš kvadratickou nerovnici -2x + x - 2 > 0 Výsledek: K = { }

8.

Řeš kvadratickou nerovnici 3x - 2x + 1 > 0 Výsledek: K = R

9.

Řeš kvadratickou nerovnici x - x - 6 £ 0 Výsledek: K = <-2; 3>

10.

Řeš kvadratickou nerovnici x - 6x + 10 < 0 Výsledek: K = { }

2

1160

1168

2

1163

2

1161

± Planimetrie

Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:

29.3.2008 19:03:50


8 z 91


1

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cm Pozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme: Úhel může být: nulový (velikost 0°)

=a

•

•

kosý (velikost 0° < a < 180°)

29.3.2008 19:03:50


9 z 91


•

pravý (velikost 90°)

•

přímý (velikost 180°)

•

plný (velikost 360°)

1

Jiné dělění: úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°)

•

29.3.2008 19:03:50


10 z 91


•

1

úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)

Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost)

29.3.2008 19:03:50


11 z 91


1

4. Dvojice úhlů výplňkových

5. Dvojice úhlů doplňkových

6. Dvojice úhlů styčných

Rovinné útvary

29.3.2008 19:03:50


12 z 91


1

I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí).

• • • •

• •

•

Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum.

Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.

29.3.2008 19:03:50


13 z 91


•

• • • • • •

1

Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.

Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

S = s.( s - a ).( s - b).( s - c) s=

a+b+c 2

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené

•

29.3.2008 19:03:50


14 z 91


1

B. Ostroúhlý trojúhelník

•

trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník

• • • • •

trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S =

29.3.2008 19:03:50


15 z 91


• •

1

(1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami 2 2 2 v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c = a + b (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:

protilehlá a přilehlá b = cos a = = přepona c přepona c přilehlá b protilehlá a cotga = = tga = = protilehlá a přilehlá b

sin a =

D. Tupoúhlý trojúhelník

• •

má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník

• • • • • • • • •

má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník

29.3.2008 19:03:50


16 z 91


• • • • • • • •

1

má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60° má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120° je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2

II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník

• • •

má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360° Pozn.: Různoběžník

B. Rovnoběžník

29.3.2008 19:03:50


17 z 91


• • • • • • •

1

čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec

• • • • • • • •

má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90° úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a 2 2 obsah se vypočte podle vzorce S = a nebo také S = u /2 úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2 b) obdélník

• • • • • • • • •

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec

29.3.2008 19:03:50


18 z 91


1

• • • • • • • • •

má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.vanebo také S = u1.u2/2 lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník

• • • • •

má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník

• • • S=

čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

(a + c ).v 2

29.3.2008 19:03:50


19 z 91


1

a) rovnoramenný lichoběžník

• • • •

má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen b) pravoúhlý lichoběžník

• •

má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám

Jiné dělení a) Čtyřúhelník konvexní

b) Čtyřúhelník nekonvexní

29.3.2008 19:03:50


20 z 91


1

III. Pravidelný pětiúhelník

• • •

má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka

• • • • •

IV. Pravidelný šestiúhelník

• • • • • • •

má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný- má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120° lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka

• • •

V. Pravidelný osmiúhelník

• • • •

má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici

VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy:

29.3.2008 19:03:50


21 z 91


1

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.

Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.

Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou).

2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.

29.3.2008 19:03:50


22 z 91


1

Tečna je vždy kolmá na poloměr. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.

Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: 2 2 S = p.r nebo S = p.d /4 Kruhový oblouk

29.3.2008 19:03:50


23 z 91


1

Pro délku kruhového oblouku a platí:

a=

p .r .a 180

a= nebo

p .d .a 360

Soustředné kružnice Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr.

Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

S=

p .r 2 .a 360

nebo

S=

p .d 2 .a 1440

Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar.

29.3.2008 19:03:50


24 z 91


1

Mezikruží Rovinný útvar.

Obsah mezikruží: S = p . (r22 - r12)

± Planimetrie - procvičovací příklady 1.

Kosočtverec má výšku v = 48 cm a kratší úhlopříčku u = 60 cm. Určete jeho obsah. Výsledek: 2 400 cm2

1201

2.

Jeden z vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníka je dvakrát větší než druhý. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka. Výsledek: 1. řešení: a = b = 45°, g = 90° 2. řešení: a = b = 72°, g = 36°

1218

3.

Obvod obdélníka je 12,4 cm , délka obdélníka je 37 mm . Vypočítejte jeho šířku. Výsledek: 25 mm

1228

4.

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 6 cm a 8 cm. Vypočítejte velikost nejmenší výšky v trojúhelníku. Výsledek: 4,8 cm

1209

5.

Určete obvod zahrady obdélníkového tvaru, jejíž úhlopříčka má délku 50 m a jedna strana délku 30 m. Výsledek: 140 m

1225

29.3.2008 19:03:50


25 z 91


1

6.

Jestliže délku strany zvětšíme o jednu třetinu, zvětší se obvod Vypočtěte délku strany čtverce. Výsledek: 13,5 cm

čtverce o 18 cm.

1226

7.

Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1:2 . Vypočtěte délky stran obdélníka a určete obsah obdélníka 2 a) v m 2 b) v cm Výsledek: 0,2 m; 0,4 m; 0,08 m2; 800 cm2

1202

8.

Úhlopříčky kosočtverce měří 8 cm a 6 cm. Vypočítejte stranu kosočtverce. Výsledek: 5 cm

1198

9.

Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, úhel BAD = úhel ADC = R, |AB|=13 cm, |CD|=5 cm, |AD|=6 cm. Vypočítejte délku strany BC a obsah lichoběžníka ABCD. Výsledek: |BC| = 10 cm, S = 54 cm2

1220

10.

Je dán obdélník ABCD, v němž je |BC| = 12 cm a úhlopříčka měří 15 cm. Na straně AB vyznačte bod R tak, že |RC| = 13 cm. Určete, o kolik procent je obsah trojúhelníka ARC menší, než obsah obdélníka ABCD. Výsledek: 77,78 %

1222

11.

Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníka, jehož základna má délku 10 cm a rameno je o 3 cm delší než základna. Výsledek: 60 cm2

1213

Čtvercové hřiště má obvod 125 m. Jaký má obsah? 2 977 m

1217

13.

Určete výpočtem zda trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo tupoúhlý, je-li úhel a = 42°37', ß = 35°28'. Výsledek: g = 101°55´, proto trojúhelník je tupoúhlý.

1219

14.

Drát délky 1,2 m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru 1:2 . Vypočtěte délku delší strany obdélníka v metrech. Výsledek: 0,4 m

1203

15.

Pozemek kolem domu má tvar obdélníka. Jeho délka je čtyřikrát větší než jeho šířka, šířka měří 8,5 m. Kolik Kč stála barva na plot kolem celého pozemku, vystačí-li 1 kg barvy po 56 Kč na natření 17 m plotu? Výsledek: 280 Kč

1199

16.

Určete velikost úhlu ASD v kosočtverci ABCD, jehož obvod je 21,6 cm a výška je 4,5 cm. S je průsečík úhlopříček kosočtverce. Výsledek: 90°

1208

12.

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


26 z 91


1

17.

Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, úhel BAD = úhel ADC = R, |AB|=13 cm, |CD|=5 cm, |AD|=6 cm. Vypočítejte obsah lichoběžníka ABCD. Výsledek: S = 54 cm2

1221

18.

Obvod obdélníka je 28 cm, délka je o 2 cm větší než jeho šířka. Určete délku úhlopříčky tohoto obdélníku. Výsledek: 10 cm

1224

19.

Obvod čtvercové parcely v zahrádkářské kolonii je 112,8 m. Vypočítejte její obsah. Výsledek: 795 m2

1229

20.

Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 72 cm. Výsledek: 249 cm2

1230

21.

Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm , f = 40 cm. Určete velikost strany kosočtverce. Výsledek: 52 cm

1215

22.

Vypočítejte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže platí: ß : a : g = 6 : 11 : 3 Výsledek: a = 99°; b =54°; g = 27°

1210

23.

Záhonek tvaru obdélníka má rozměry 6 m a 10 m. Kolik kusů dlaždic o straně 50 cm je třeba na chodník šířky 1 m, který vede těsně kolem okraje celého záhonu? Výsledek: 112 dlaždic

1205

Narýsujte čtverec, který má obvod 30 cm. Vypočtěte jeho obsah. 2 S = 56,25 cm

1223

25.

Který útvar má větší obvod - čtverec o straně 2 m nebo obdélník o stranách 3 m a 1 m ? Zdůvodněte. Mají oba útvary stejný obsah? Výsledek: Obvod čtverce i obdélníka je 8 m, obsah čtverce je 4 m2, obsah obdélníka je 3 m2.

1216

26.

Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 30 m je kruhový květinový záhon o průměru 200 dm, na zbytku pozemku je trávník. Vypočítejte, kolik procent z celkové plochy zabírá květinový záhon. Výsledek: 34,9 %

1204

27.

Obvod trojúhelníka je 90 cm. Strana b je o 3 cm delší než strana a a strana c je o 24 cm kratší než strana b. Určete délky stran trojúhelníka. Výsledek: a = 36 cm, b = 39 cm, c = 15 cm

1227

Určete obsah kosočtverce, je-li jeho obvod 21,6 cm a jeho výška je 4,5 cm. 2 24,3 cm

1207

V trojúhelníku je a:ß = 1:2 , ß:g = 10:3 . Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka. Výpočet ověřte zkouškou. Výsledek: a = 50°; b = 100°; g = 30°

1200

24.

Výsledek:

28.

Výsledek:

29.

29.3.2008 19:03:50


27 z 91


1

Určete obsah kruhu vepsaného čtverci o straně 2 cm. 2 3,14 cm

1211

Rovnostranný trojúhelník KLM má výšku 10 cm. Vypočítejte jeho obsah. 2 57,74 cm

1214

32.

Kolo automobilu má průměr 62 cm. Kolikrát se kolo otočí na dráze 8 km? Výsledek: 4 100 krát

1212

33.

Obvod obdélníka je 56 m. Určete délky jeho stran, jsou-li v poměru 3:7 Proveďte zkoušku. Výsledek: 19,6 m; 8,4 m

1206

Výsledek:

31.

Výsledek:

± Shodnost trojúhelníků, důkazy

Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí.

Shodnost rozlišujeme: 1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí) 2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení.

Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss.

29.3.2008 19:03:50


28 z 91


1

Pro každé dva trojúhelníky ABC, A´BĆ´platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus:

Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. Věta usu:

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Věta Ssu:

29.3.2008 19:03:50


29 z 91


1

Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich. Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů: 1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty. 2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme.

Důkazové úlohy: Příklad 1: Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC. Řešení:

29.3.2008 19:03:50


30 z 91


|AC| = |CD| |BC| = |CE| |AC| = |BC|

.. .. ..

1

vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka ... (1)

Z uvedených tří vlastností vyplývá, že |CD| = |CE| úhel g = 60°

..

...

(2)

vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka

|úhel DCB| = g + 60° |úhel ACE| = g + 60° Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že |úhel DCB| = |úhel ACE|

...

Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus.

(3) CBD

Příklad 2: Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí |PQ| = |UV| Řešení:

D BCE je shodný s D ABF (Ssu)

29.3.2008 19:03:50


31 z 91


1

Odtud vyplývá, že: |EC| = |FB| = |UV| = |PQ| Závěr: |PQ| = |UV|

CBD

± Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1.

Je dána kružnice k(S; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t1, t2 a označte jejich dotykové body T1 a T2. Dokažte, že |PT1| = |PT2| a |úhel SPT1| = |úhel SPT2|.

1256

Výsledek:

2.

Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30°. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly.

1258

Výsledek:

3.

Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že |CQ| = |BT|.

1255

Výsledek:

4.

Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(S; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí |MN| = |PQ|, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k.

1257

Výsledek:

5.

Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC.

1259

Výsledek:

± Podobnost trojúhelníků

Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: a´= k . a b´= k . b c´= k . c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.

Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné.

29.3.2008 19:03:50


32 z 91


1

Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné

Důkazové úlohy: Příklad 1: Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A´, B´, C´ mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A´, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B´. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad 2: Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz:

Vnitřní úhly při vrcholech A, A´mají velikost 90° a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) |AB| = |AC| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka |A´B´| = |AĆ´| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka

A´B´ AB

=

AĆ´ AC

=k

Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD

Výpočtové úlohy: Příklad 3: 29.3.2008 19:03:50


33 z 91


1

Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A´BĆ´ o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka. Řešení: |A´B´| = 3,2 cm |BĆ´| = 4,8 cm |AĆ´| = 5,4 cm k = 1 : 50 000 |AB| = ? [cm] |BC| = ? [cm] |AC| = ? [cm] -----------------------------|AB| = (1/k) . |A´B´| |AB| = 3,2 . 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km |BC| = 4,8 . 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km |AC| = 5,4 . 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km.

± Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1.

Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký. Výsledek: 350 m

1263

2.

Jsou dány trojúhelníky ABC a A´BĆá platí: a = 6 b = 8 c = 9 a´= 5 b´= 6 2/3 c´= 7 1/2 Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné. Výsledek: Jsou podobné.

1273

3.

Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: |EF| = 5 cm |MN| = 7 cm |EG|= 6 cm |NK| = 4 cm Vypočtěte délku strany |FG|. Výsledek: 2,86 cm

1271

4.

Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62° a 42°. Určete vzdálenost obou tyčí. Výsledek: 46,3 m

1267

5.

Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. Výsledek: k

1268

29.3.2008 19:03:50


34 z 91


1

6.

Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy. Výsledek: 12,12 m

1261

7.

Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A´BĆ, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné.

1270

Výsledek:

8.

Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů? Výsledek: 62,1 m

1262

9.

Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: |EF| = 5 cm |MN| = 7 cm |EG|= 6 cm |NK| = 4 cm Vypočtěte délku strany |MK|. Výsledek: 8,4 cm

1272

10.

Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy. Výsledek: 1 : 25 000

1260

11.

Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno: a = 2,5 b=7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90° a´= 5 b´= 13,9 vnitřní úhel při vrcholu C´je 90° Výsledek: Nejsou podobné

1265

12.

Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. Výsledek: k2

1269

13.

Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = 11/6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70° a´= 5/2 b´= 11/4 vnitřní úhel při vrcholu C´je 70° Výsledek: Jsou podobné

1264

14.

Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c´ a výšky v, v´. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c´: v´

1266

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


35 z 91


1

± Pythagorova věta

Pythagorova věta

Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: 2 a = c . ca 2 b = c . cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: 2 2 2 a + b = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta:

2

2

2

Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b , pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´BĆ´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a´ = a b´ = b Pro přeponu trojúhelníka A´BĆ´platí Pythagorova věta: 2 2 2 2 2 2 c´ = a´ + b´ = a + b = c Z toho vyplývá, že c´ = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´BĆ´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.

Ukázkové příklady:

29.3.2008 19:03:50


36 z 91


1

Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c´= ? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

c´= a 2 + b 2 = 4 2 + 52 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.

± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1.

1346 Výsledek:

12

2.

1342

Výsledek:

110 m

3.

1345

Výsledek:

4.

1339 Výsledek:

1,4 m

5.

1349 Výsledek:

1,78 cm

6.

1344 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

12 cm


37 z 91


1

7.

1340 Výsledek:

0,6 cm

8.

1347

Výsledek:

9.

1350 Výsledek:

4,9 cm

10.

1348 Výsledek:

11.

1343 Výsledek:

2

1 092 cm

12.

1341

Výsledek:

6,06 cm

± Eukleidovy věty

Eukleidovy věty 1. Věta o výšce

Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné.

29.3.2008 19:03:50


38 z 91


1

Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

v ca = Þ v 2 = ca .cb cb v Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:

v cb = Þ v 2 = ca .cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.

2. Věta o odvěsně

Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

cb b = Þ b 2 = cb .c b c Rovněž by se dalo vyjádřit:

ca a = Þ a 2 = ca .c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.

Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10

29.3.2008 19:03:50


39 z 91


1

Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2 2 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x = 10, resp. x = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2 2 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x = 10, resp. x = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10

± Eukleidovy věty - procvičovací příklady 1.

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. Výsledek: 4,24

1367

2.

Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. Výsledek: 2,83

1357

3.


1368

4.


1369

29.3.2008 19:03:50


40 z 91


1

5.


1361

6.


1354

7.


1363

8.


1352

9.


1364

10.


1355

11.


1365

12.


1356

13.


1370

14.


1362

15.


1366

16.


1358

29.3.2008 19:03:50


41 z 91


1

17.


1359

18.


1351

19.


1360

20.


1353

± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná

Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: 2

v = ca . cb neboli

v = ca .cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit:

r2 r1 = 2 r r1 = .r 2 2

Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou

29.3.2008 19:03:50


42 z 91


1

Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah

a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah:

3 2 2 = 5 x

Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:

a2 x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru

x a = a b neboli

b a = a x 29.3.2008 19:03:50


43 z 91


1

± Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1.

Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Výsledek: Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.

1421

2.

2 1422 Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d , kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Výsledek: Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d.

± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady

Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.

± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1.

1519 Výsledek:

2.

1592 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

2

56,25 cm


44 z 91


1

3.

1542

Výsledek:

4.

1583

Výsledek:

,

,

5.

1575

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

1/2


45 z 91


1

6.

1572

Výsledek:

2

6,6 dm

7.

1546

Výsledek:

94°

8.

1627 Výsledek:

2

249 cm

9.

1570

Výsledek:

40,2 m

2

10.

1517

Výsledek:

,

11.

1530 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

0,35 m


46 z 91


1

12.

1561

Výsledek:

27 obdélníků

13.

1623

Výsledek:

14.

1536 Výsledek:

30 cm

15.

1587

Výsledek:

77,8 %

16.

1539 Výsledek:

2

24,3 cm

17.

1584 Výsledek:

10

18.

1610 Výsledek:

17,32 cm

19.

1562

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


47 z 91


1

20.

1590 Výsledek:

58°

21.

1533

Výsledek:

34,9 %

22.

1566

Výsledek:

Nemohou

23.

1621

Výsledek:

24.

1559

Výsledek:

25.

1604

Výsledek:

26.

1548 Výsledek:

5,7 m

27.

1625

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

193 m


48 z 91


1

28.

1588

Výsledek:

13,9 cm

29.

1549 Výsledek:

30.

1595

Výsledek:

b)

31.

1529

Výsledek:

2

50 cm

32.

1551

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


49 z 91


1

33.

1597

Výsledek:

75°

34.

1531

Výsledek:

2

2

0,08 m , 800 cm

35.

1577 Výsledek:

Tupoúhlý

36.

1521 Výsledek:

30 m

37.

1528

Výsledek:

88 cm

38.

1534

Výsledek:

112 dlaždic

39.

1510

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

120°


50 z 91


1

40.

1563 Výsledek:

41.

1622 Výsledek:

25 mm

42.

1508

Výsledek:

0,8 m

43.

1544

Výsledek:

,

,

44.

1509

Výsledek:

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 120°, h = 110°

45.

1614 Výsledek:

2

204 cm

46.

1613

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


51 z 91


1

47.

1547 Výsledek:

4 100 krát

48.

1540 Výsledek:

2

6,075 cm

49.

1594 Výsledek:

75°

50.

1537

Výsledek:

2

Není zavlažováno 61,81 m , třetí strana pole je 33,94 m.

51.

1581 Výsledek:

11

52.

1543 Výsledek:

4,8 cm

53.

1568

Výsledek:

5 cm

54.

1507 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

5 cm


52 z 91


1

55.

1522

Výsledek:

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cm

56.

1585 Výsledek:

4 krát

57.

1554 Výsledek:

2

57,74 cm

58.

1532 Výsledek:

0,4 m

59.

1596

Výsledek:

2

3350 m

60.

1541 Výsledek:

90°

61.

1553 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

2

60 cm


53 z 91


1

62.

1599 Výsledek:

63.

1552

Výsledek:

v = 5,00 cm 64.

1620

Výsledek:

65.

1601

Výsledek: 2

480 cm 26 cm 66.

1511

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

50°


54 z 91


1

A, B, C, D jsou vrcholy čtverce o straně a = 4 cm, k(A; 2 cm), l(B; 2 cm), m(C; 2 cm), n(D; 2 cm). Vypočítejte obvod a obsah tučně vytaženého útvaru.

Výsledek:

1518

2

53,7 cm

68.

1555

Výsledek:

2

3 200 m

69.

1535 Výsledek:

70.

1628

Výsledek:

5 cm

71.

1557

Výsledek:

ABD

72.

1579

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

2

|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm


55 z 91


1

73.

1606

Výsledek:

65,1 %

74.

1582

Výsledek:

6

75.

1618

Výsledek:

16 trojúhelníků

76.

1545 Výsledek:

2

3,14 cm

77.

1574

Výsledek:

2 řešení:

78.

1609

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

9,18 cm


56 z 91


1

79.

1556

Výsledek:

v = 6,06 cm ABD

80.

1565 Výsledek:

Čtverec má větší obsah než obdélník.

81.

1515

Výsledek:

82.

1558 Výsledek:

83.

1550 Výsledek:

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm

84.

1578 Výsledek:

85.

1591

Výsledek:

86.

1605

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50


57 z 91


1

87.

1616

Výsledek:

46 cm

88.

1586

Výsledek:

2

54 cm

89.

1602

Výsledek:

2

o = 24 cm; S = 41,6 cm

90.

1593

Výsledek:

2

700 m ; 160 m

91.

1538

Výsledek:

Ne

92.

1576

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 %


58 z 91


1

93.

1598

Výsledek:

15

94.

1611 Výsledek:

140 m

95.

1520

Výsledek:

7,5 ha

96.

1513

Výsledek:

280 Kč

97.

1580

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku. Oba obsahy jsou shodné

Výsledek:

98.

1603 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

10 cm


59 z 91


1

99.

1524

Výsledek:

40 m

100.

1516

Výsledek:

101.

1564

Výsledek:

4/5

102.

1569 Výsledek:

2

977 m

103.

1525 Výsledek:

2

2 400 cm

104.

1624 Výsledek:

2

795, 2 m

105.

1567

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

2

414 m


60 z 91


1

106.

1607

Výsledek:

Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 %

107.

1523

Výsledek:

108.

1612 Výsledek:

13,5 cm

109.

1617

Výsledek:

2

4 cm

110.

1615 Výsledek:

155°, resp. 205°

111.

1514 Výsledek:

112.

1600 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

4 cm


61 z 91


1

113.

1626

Výsledek:

114.

1527

Výsledek:

115.

1560 Výsledek:

52 cm

116.

1512

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

70°


62 z 91


1

117.

1608

Výsledek:

2

19 cm

118.

1589

Výsledek:

20°

119.

1526

Výsledek:

,

,

± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka.

± Orientovaný úhel

Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu 29.3.2008 19:03:50


V

je jejich společný

63 z 91


1

V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček.

Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360°) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti 2p rad). Stupňová míra:

29.3.2008 19:03:50


64 z 91


1

Oblouková míra:

29.3.2008 19:03:50


65 z 91


1

p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,14. Plný úhel má tedy hodnotu 2p rad, což je tedy přibližně 6,28 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad 1: Úhel o velikosti 15° převeďte do obloukové míry. Řešení: 180° ... p rad 15° ... x rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

x=

p .15 p = rad 180 12

Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,26 rad (přibližně) Příklad 2: Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 180°

...

29.3.2008 19:03:50

p rad


66 z 91


1

x° ... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

3p x = 180. 4 = 135o p Úhel má tedy velikost 135°. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem: 1. Převod ze stupňů na míru obloukovou

p .a o x= rad 180 2. Převod z radiánů na míru stupňovou

x=

180.arad p

± Orientovaný úhel - procvičovací příklady 1.

1246 Výsledek:

15°

2.

1254 Výsledek:

40°

3.

1245 Výsledek:

2°

4.

1237 Výsledek:

5.

1253 Výsledek:

172°

6.

1247 Výsledek:

210°

7.

1252 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

70,02°


67 z 91


1

8.

1238 Výsledek:

9.

1239 Výsledek:

10.

1231 Výsledek:

11.

1250 Výsledek:

270°

12.

1233 Výsledek:

13.

1243 Výsledek:

180°

14.

1235 Výsledek:

15.

1251 Výsledek:

9,97°

16.

1242 Výsledek:

17.

1234 Výsledek:

18.

1241 Výsledek:

19.

1240 Výsledek:

20.

1249 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

23°


68 z 91


1

21.

1248 Výsledek:

195°

22.

1236 Výsledek:

23.

1244 Výsledek:

36°

24.

1232 Výsledek:

± Jednotková kružnice

Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je 1. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník.

± Funkce sinus

Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice:

29.3.2008 19:03:50


69 z 91


1

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony.

Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina

Poznámky: Funkce shora omezená:

29.3.2008 19:03:50


70 z 91


1

Funkce zdola omezená:

29.3.2008 19:03:50


71 z 91


1

Funkce periodická:

29.3.2008 19:03:50


72 z 91


1

Funkce lichá:

Funkce

se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a

29.3.2008 19:03:50


73 z 91


1

± Funkce kosinus

Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony.

Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a .

Poznámky: Funkce sudá:

29.3.2008 19:03:50


74 z 91


1

Funkce

se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a

± Funkce tangens

Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:

29.3.2008 19:03:50


75 z 91


1

Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny.

Poznámky: Funkce rostoucí:

29.3.2008 19:03:50


76 z 91


1

± Funkce kotangens

Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice:

Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny.

29.3.2008 19:03:50


77 z 91


1

Poznámky: Funkce klesající:

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka

Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:

29.3.2008 19:03:50


78 z 91


1

Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je |AB| = c = 8 cm, |BC| = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: |AB| = c = 8 cm |BC| = a = 5 cm a = ? [° ´] b = ? [° ´] ----------------------------

a c 5 sin a = 8

sin a =

29.3.2008 19:03:50


79 z 91


1

sin a = 0,625 a = 38°41´

a c 5 cos b = 8

cos b =

cos b = 0,625 b = 51°19´ Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38°41á vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 51°19´. Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je |OQ| = p = 5 cm, |úhel QOP| = 35°10´. Vypočti délku odvěsny |PQ| = o. Řešení: |OQ| = p = 5 cm |úhel QOP| = 35°10´ |PQ| = o = ? [cm] -----------------------------

tg úhelQOP =

PQ OQ

|PQ| = |OQ| . tg|úhel QOP| |PQ| = 5 . tg 35°10´= 5 . 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) |PQ| = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1 : 18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: |BC| = 1 díl |AB| = 18 dílů a = ? [°´] ------------------------------

tga =

BC

AB 1 tga = 18 tg a = 0,0556 a = 3°11´ Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3°11´.

29.3.2008 19:03:50


80 z 91


1

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady 1.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 24 cm, c = 30 cm. Výsledek: b = 18 cm, a = 53°08´, b = 36°52´, g = 90°

1464

2.

Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 42° (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?

1479

Výsledek:

3.

22,8 cm

Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent?

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

1478

21 m


81 z 91


Na obrázku jsou narýsovány tečny t1 a t2 z bodu P ke kružnici k(S; 3 cm). Platí: |PS| = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy T1T2.

Výsledek:

5.

1

5,7 cm

Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí |AT1| = |BT1|; T1 je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST2 je rovna 90°; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury.

Výsledek:

1476

1481

140,8 cm

6.

Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? Výsledek: S delší stranou 32°, s kratší stranou 58°.

1469

7.

Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.

1472

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

56,7 cm


82 z 91


1

8.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony |AB| = c = 6,9 cm a |úhel CAB|= a 34°. Vypočti délky odvěsen AC a BC. Výsledek: a = 3,9 cm, b = 5,7 cm

1467

9.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67°. Vypočti délku odvěsny a. Výsledek: 12,7 cm

1460

10.

Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem w = 20°. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.)

1462

Výsledek:

3,4 m

11.

V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen |FG| = e = 10,4 m a |EG| = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Výsledek: Úhel při vrcholu E má velikost 56°49á úhel při vrcholu F má velikost 33°11´

1468

12.

Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30°. Vypočti povrch válce.

1473

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

2

9083 cm


83 z 91


1

Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 18 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.

Výsledek:

1477

1040 ks

14.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48°30´, c = 3,2 m Výsledek: a = 2,40 m, b = 2,12 m, b = 41°30´, g = 90°

1465

15.

Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 10 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60°. Vypočti obsah půdorysu chaty. Výsledek: 43,3 m2

1470

16.

V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny |XY| = z = 9 cm a velikost úhlu |úhel XYZ|= 50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. Výsledek: 24,3 cm2

1474

17.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63°10´, a = 6,7 m Výsledek: b = 3,39 m, c = 7,51 m, b = 26°50´, g = 90°

1466

18.

V kosočtverci ABCD je úhlopříčka |AC| = e = 24 cm a |úhel SAB| = e = 28°; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. Výsledek: 54 cm

1475

19.

Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 18 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B?

1480

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

36,1°


84 z 91


1

Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a |AC| = 4 cm. 2 2,1 cm

1471

21.

Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. Výsledek: 0,83°

1461

22.

Tělesová úhlopříčka u1kvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u2 svírá úhel a = 42°. Vypočti výšku kvádru v.

1463

Výsledek:

Výsledek:

6,5 dm

± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí

Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí

± Goniometrické funkce úhlů větších než 90°

Goniometrické funkce úhlů větších než 90° Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90°.

29.3.2008 19:03:50


85 z 91


1

Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90° + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90° + a) = cos a cos (90° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90° + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců:

sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a

tg (90 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 -a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.

29.3.2008 19:03:50


86 z 91


1

sin (180° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (180° - a) = sin a cos (180° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (180° - a) = - cos a

sin (180 - a ) sin a = = - tg a cos(180 - a ) - cos a cos(180 - a ) - cos a cotg (180 - a ) = = = -cotg a sin (180 - a ) sin a

tg (180 - a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (180° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (180° + a) = - sin a cos (180° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (180° + a) = - cos a

sin (180 + a ) - sin a = = tg a cos(180 + a ) - cos a cos(180 + a ) - cos a cotg (180 + a ) = = = cotg a sin (180 + a ) - sin a

tg (180 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (270° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (270° - a) = - cos a cos (270° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (270° - a) = - sin a

sin (270 - a ) - cos a = = cotg a cos(270 - a ) - sin a cos (270 - a ) - sin a cotg (270 - a ) = = = tg a sin (270 - a ) - cos a

tg (270 - a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (270° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné

29.3.2008 19:03:50


87 z 91


1

poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (270° + a) = - cos a cos (270° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (270° + a) = sin a

sin (270 + a ) - cos a = = -cotg a cos(270 + a ) sin a cos(270 + a ) sin a cotg (270 + a ) = = = - tg a sin (270 + a ) - cos a

tg (270 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360° - a) = - sin a cos (360° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360° - a) = cos a

sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a

tg (360 - a ) =

Ukázkové příklady: Příklad 1: Vypočtěte: sin 330° - cos 210° + tg 150° - 0,5 tg 45° Řešení: sin (360°- 30°) - cos (180° + 30°) + tg (180° - 30°) - 0,5 . 1 = = - sin 30° - (- cos 30°) + (- tg 30°) - 0,5 =

1 3 3 1 -3+3 3 - 2 3 -3 =- + - = = 2 2 3 2 6 =

-3+ 3 -3 3 = -1 + 6 6

Příklad 2: Vypočtěte: sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495° Řešení:

29.3.2008 19:03:50


88 z 91


1

Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360°, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 180°. sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495° = sin 300° - cos 225° + 0,5 . tg 60° + tg 135° = = sin (360° - 60°) - cos (180° + 45°) + 0,5 . tg 60° + tg (90° + 45°) = = - sin 60° - (- cos 45°) + 0,5 . tg 60° + (- cotg 45°) =

3 2 1 + + . 3 -1 = 2 2 2 - 3+ 2 + 3-2 = = 2

=-

=

2 -1 2

± Goniom. funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady 1.

1722 Výsledek:

-0,707

2.

1742 Výsledek:

0,134

3.

1736 Výsledek:

-1

4.

1714 Výsledek:

0

5.

1734 Výsledek:

-1,732

6.

1720 Výsledek:

-0,866

7.

1735 Výsledek:

-0,577

8.

1726 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

0,577


89 z 91


1

9.

1741 Výsledek:

0

10.

1716 Výsledek:

0,707

11.

1713

Výsledek:

0,25

12.

1723 Výsledek:

-0,707

13.

1731 Výsledek:

-1

14.

1739 Výsledek:

-1,155

15.

1717 Výsledek:

-0,5

16.

1725 Výsledek:

0

17.

1728 Výsledek:

-0,577

18.

1718 Výsledek:

0,866

19.

1730 Výsledek:

-1

20.

1727 Výsledek:

1,732

21.

1712

Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

1


90 z 91


1

22.

1744 Výsledek:

4

23.

1733 Výsledek:

1,732

24.

1721 Výsledek:

-0,707

25.

1715 Výsledek:

0

26.

1724 Výsledek:

0,125

27.

1740 Výsledek:

0

28.

1743 Výsledek:

-2

29.

1737 Výsledek:

-1

30.

1719 Výsledek:

1

31.

1729 Výsledek:

-1,732

32.

1732 Výsledek:

0,577

33.

1738 Výsledek:

29.3.2008 19:03:50

1,155


91 z 91


1

Obsah Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady Planimetrie Planimetrie - procvičovací příklady Shodnost trojúhelníků, důkazy Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady Pythagorova věta Pythagorova věta - procvičovací příklady Eukleidovy věty Eukleidovy věty - procvičovací příklady Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Goniometrie a trigonometrie Orientovaný úhel Orientovaný úhel - procvičovací příklady Jednotková kružnice Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Goniometrické funkce úhlů větších než 90° Goniom. funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady

29.3.2008 19:03:50


1 2 3 5 6 7 8 25 28 32 32 34 36 37 38 40 42 44 44 44 63 63 67 69 69 74 75 77 78 81 85 85 89

M - Příprava na 3. čtvrtletku třídy 1P, 1VK

Recommend Documents