´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´ ´ o´ Losonczi Laszl ¨ ´ es ´ Gazdasagtudom ´ ´ Debreceni Egyetem, Kozgazdas aganyi Kar
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
1 / 21
´ ´ EKSZ ´ ´ ´ITAS ´ 2. SZELSO ERT AM ´ o˝ ert ´ ek ´ fogalma, letez ´ ese ´ 2.1 A szels ´ Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D pontban ¨ ´ lokalis/helyi maximuma (minimuma) van, ha ∃ ε > 0, hogy f (x0 ) ≥ f (x)
´ (f (x0 ) ≤ f (x)) ∀ x ∈ K (x0 , ε) ∩ D eseten.
´ szigoru´ lokalis/helyi maximuma (minimuma) van, ha ∃ ε > 0, hogy f (x0 ) > f (x)
´ (f (x0 ) < f (x)) ∀ x ∈ K (x0 , ε) ∩ D, x 6= x0 eseten.
´ globalis/abszol ut ´ maximuma (minimuma) van, ha f (x0 ) ≥ f (x)
´ (f (x0 ) ≤ f (x)) ∀ x ∈ D eseten.
´ szigoru´ globalis/abszol ut ´ maximuma (minimuma) van, ha f (x0 ) > f (x) ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ (f (x0 ) < f (x)) ∀ x ∈ D, x 6= x0 eseten. ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
2 / 21
´ o˝ ert ´ ek ´ fogalma, letez ´ ese ´ 2.1 A szels
´ ´ (szigoru) ´ o˝ ert ´ ek ´ alatt lokalis/glob ´ ´ (szigoru) Lokalis/glob alis alis ´ szels ´ ´ ´ (szigoru) ´ unk. maximumot, vagy lokalis/glob alis ´ minimumot ert ¨ ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ ´ Globalis szels ese: ´ ´ zart ´ D halmazon, Ha f : D ⊂ Rk → R folytonos a korlatos es ´ maximuma es ´ minimuma D-n. akkor f -nek van globalis ´ ´ ´ vagy f nem Ha D nem korlatos, vagy korlatos de nem zart, ˝ ´ o˝ ert ´ eke ´ folytonos, akkor elofordulhat, hogy f -nek van szels D-n.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
3 / 21
´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.2 Egyvaltoz os enyek szels am´ ¨
´ szels ´ o˝ ert ´ ek ´ szuks ´ ´ Lokalis feltetele ¨ eges ´ ´ ´ Ha f : I → R differencialhat o´ az I intervallum x0 belso˝ pontjaban, es ´ szels ´ o˝ ert ´ eke ´ van, akkor f 0 (x0 ) = 0. ott lokalis
´ Stacionarius pont ´ Azokat az x0 pontokat, amelyekre f 0 (x0 ) = 0 teljesul, eny ¨ az f fuggv ¨ ´ stacionarius pontjainak nevezzuk. ¨ ´ ´ ´ ´ ott Stacionarius pontban az erint o˝ parhuzamos az x tengellyel, es ´ ´ o˝ ert ´ ek, ´ de nem biztos, hogy van! lehet lokalis szels ´ ´ Milyen x0 ∈ I pontokban lehet egy f : I → R fuggv enynek lokalis ¨ ´ o˝ ert ´ eke? ´ szels x0 ∈ I ◦ belso˝ pont, ahol f 0 (x0 ) = 0, ´ x0 az I intervallum valamely vegpontja (ha az I-hez tartozik), ´ ´ x0 az I-nek olyan pontja, ahol f nem differencialhat o. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
4 / 21
´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.2 Egyvaltoz os enyek szels am´ ¨
˝ ´ lokalis ´ szels ´ o˝ ert ´ ekre ´ Elsorend u˝ elegendo˝ feltetel ´ Tegyuk o´ az I intervallum x0 belso˝ ¨ fel, hogy f : I → R differencialhat ´ ¨ ´ ´ x0 stacionarius ´ pontjanak egy kornyezet eben, es pontja f -nek (azaz 0 f (x0 ) = 0). ´ Ha van olyan r > 0, hogy f 0 (x) ≥ 0 ha x ∈ ]x0 − r , x0 [ ∩I, es ´ maximuma f 0 (x) ≤ 0 ha x ∈ ]x0 , x0 + r [ ∩I, akkor f -nek lokalis van x0 -ban. ´ Ha van olyan r > 0, hogy f 0 (x) ≤ 0, ha x ∈ ]x0 − r , x0 [ ∩I, es ´ minimuma f 0 (x) ≥ 0 ha x ∈ ]x0 , x0 + r [ ∩I, akkor f -nek lokalis van x0 -ban. Ha van olyan r > 0, hogy f 0 (x) > 0 ha x ∈ ]x0 − r , x0 + r [ ∩I, x 6= x0 , vagy f 0 (x) < 0 ha x ∈ ]x0 − r , x0 + r [ ∩I, x 6= x0 , akkor ´ szels ´ o˝ ert ´ eke ´ ´ helye f -nek nincs lokalis x0 -ban, x0 inflexios f -nek. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
5 / 21
´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.2 Egyvaltoz os enyek szels am´ ¨
´ lokalis ´ szels ´ o˝ ert ´ ekre ´ n-edrendu˝ elegendo˝ feltetel ´ Tegyuk o´ az ¨ fel, hogy f : I → R n-szer folytonosan differencialhat ◦ (n) ˝ ¨ ´ x0 ∈ I belso pont egy kornyezeteben (azaz f folytonos e ¨ ´ kornyezetben), es f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0,
de
f (n) (x0 ) 6= 0.
´ ´ szels ´ o˝ ert ´ eke ´ van Ha n paros, akkor f -nek szigoru´ lokalis x0 -ban, maximum, ha f (n) (x0 ) < 0, minimum, ha f (n) (x0 ) > 0. ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ Ha n paratlan, akkor f -nek nincs szels x0 -ban.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
6 / 21
¨ ´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.3 Tobbv altoz os enyek szels am´ ¨
´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A szels szuks feltetele ¨ eges ´ ´ Ha az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D belso˝ pontban lokalis ¨ ´ o˝ ert ´ eke ´ van, es ´ leteznek ´ ´ derivaltjai ´ szels f elso˝ parcialis x0 -ban, akkor ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. ´ ´ stacionarius ´ (E feltetelnek eleget tevo˝ x0 pontokat az f fuggv eny ¨ pontjainak nevezzuk.) ¨
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
7 / 21
¨ ´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.3 Tobbv altoz os enyek szels am´ ¨
´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A szels masodrend u˝ elegendo˝ feltetele ¨ ´ ´ Tegyuk masodik parcialis ¨ fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R osszes ´ ¨ ´ ´ a´ derivaltja folytonos az x0 ∈ D belso˝ pont egy kornyezet eben, tovabb 1
∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. Ha a k X k X k Q : R → R, Q(h) = Q(h1 , . . . , hk ) := ∂j ∂i f (x0 )hi hj j=1 i=1
´ pozit´ıv definit, azaz Q(h) > 0 ha h ∈ Rk kvadratikus fuggv eny ¨ ´ h 6= 0, akkor f -nek szigoru´ lokalis ´ minimuma van x0 -ban. es 2
3
Ha Q negat´ıv definit, azaz Q(h) < 0 minden h ∈ Rk , h 6= 0 ´ akkor f -nek szigoru´ lokalis ´ maximuma van x0 -ban. eseten, ´ negat´ıv ert ´ eket ´ Ha Q indefinit, azaz Q(h) felvesz pozit´ıv es is, ´ o˝ ert ´ eke ´ akkor f -nek nincs szels x0 -ban.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
8 / 21
¨ ´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.3 Tobbv altoz os enyek szels am´ ¨
´ ´ ´ Masodrend u˝ elegendo˝ feltetel, determinansokkal ¨ ´ ´ Tegyuk masodik parcialis ¨ fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R osszes ´ ¨ ´ ´ a´ derivaltja folytonos az x0 ∈ D belso˝ pont egy kornyezet eben, tovabb ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. ´ x0 pontbeli masodik ´ Legyen A = ∂i ∂j f (x0 ) ∈ Rk×k az f fuggv eny ¨ ´ derivaltjaib ´ ´ all ´ o´ matrix, ´ ´ legyen ∆j (j = 1, . . . , k ) az A bal parcialis ol es ´ felso˝ j-edrenu˝ sarokdeterminansa, azaz ∂1 ∂1 f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) , . . . , ∆k := |A|. ∆1 := ∂1 ∂1 f (x0 ), ∆2 := ∂2 ∂1 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 ) 1
2
3
Ha ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, . . . , ∆k > 0, akkor f -nek szigoru´ ´ lokalis minimuma van x0 -ban, ha ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . . , (−1)k ∆k > 0, akkor f -nek ´ szigoru´ lokalis maximuma van x0 -ban, ´ az eloz ˝ o˝ ket ´ feltetel ´ egyike sem teljesul, ha ∆k 6= 0 es ¨ akkor akkor ´ o˝ ert ´ eke ´ f -nek nincs szels x0 -ban. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
9 / 21
´ altoz ´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtasa ´ 2.4 Ketv os enyek szels am´ ¨
´ altoz ´ ´ szels ´ o˝ ert ´ ek, ´ elegendo˝ feltetel, ´ ´ Ketv os determinansokkal ¨ ´ ´ Tegyuk masodik parcialis ¨ fel, hogy az f : D ⊂ R2 → R osszes ´ ¨ ´ ´ a´ derivaltja folytonos az x0 ∈ D belso˝ pont egy kornyezet eben, tovabb ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = 0. ∂1 ∂1 f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) > 0, 1 Ha ∆1 = ∂1 ∂1 f (x0 ) > 0, ∆2 = ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 ) ´ minimuma van x0 -ban, akkor f -nek szigoru´ lokalis ∂1 ∂1 f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) > 0, 2 ha ∆1 = ∂1 ∂1 f (x0 ) < 0, ∆2 = ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 ) ´ maximuma van x0 -ban, akkor f -nek szigoru´ lokalis ∂1 ∂1 f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) < 0, 3 ha ∆2 = ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 ) ´ o˝ ert ´ eke ´ x0 -ban. akkor f -nek nincs szels ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
10 / 21
´ szels ´ o˝ ert ´ ek ´ 2.5 Globalis ´ ´ halmazon folytonos fuggv ´ felveszi a Tanultuk, hogy korlatos, zart eny ¨ ´ ert ´ ekek ´ ´ es ´ szupremum ´ ´ fuggv ´ ert ´ ekk ´ ent, ´ ami fuggv eny infimumat at eny ¨ ¨ ´ ´ maximuma (az illeto˝ azt jelenti, hogy a fuggv enynek van minimuma es ¨ ´ ´ halmazon). korlatos, zart
´ szels ´ o˝ ert ´ ek ´ megkeresese. ´ Globalis ¨ ´ ´ Tegyuk masodrend u˝ parcialis ¨ fel, hogy f : D ⊂ Rk → R osszes ´ ´ ´ zart ´ D halmazon (ekkor f is derivaltjai folytonosak a korlatos as folytonos D-n), akkor ´ szels ´ o˝ ert ´ ekeit ´ megkeressuk D belso˝ pontjaiban; ¨ f lokalis ´ szels ´ o˝ ert ´ ekeit ´ ´ an; ´ megkeressuk D hatar ¨ f lokalis ´ szels ´ o˝ ert ´ ekek ´ ´ a hataron ´ ´ szels ´ o˝ ert ´ ekek ´ a lokalis es vett lokalis ¨ ul ´ maximum ert ´ ek ´ et, ´ a legkisebb koz ¨ a legnagyobb adja a globalis ´ minimum ert ´ ek ´ et. ´ pedig a globalis
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
11 / 21
´ ´ o˝ ert ´ ek ´ fogalma 2.6 Felteteles szels
¨ ´ ´ fuggv ´ ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ Tobbv altoz os enyek felteteles szels ¨ Legyenek f : D ⊂ Rk → R, gi : D ⊂ Rk → R i = 1, . . . , l, l < k adott ´ ´ fuggv enyek. Azt mondjuk, hogy az f fuggv enynek az x0 ∈ D pontban a ¨ ¨ ´ ´ g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , gl (x) = 0 feltetelek mellett lokalis/helyi ´ felteteles maximuma (minimuma) van, ha g1 (x0 ) = · · · = gl (x0 ) = 0, ´ van olyan ε > 0 hogy es f (x0 ) ≥ f (x)
(f (x0 ) ≤ f (x)) teljesul ¨ minden x ∈ D ∩ K (x0 , ε)
mellett, melyre g1 (x) = · · · = gl (x) = 0. Ha g1 (x0 ) = · · · = gl (x0 ) = 0, ´ f (x0 ) > f (x) (f (x0 ) < f (x)) teljesul es ¨ minden x0 6= x ∈ D ∩ K (x0 , ε) ´ mellett, melyre g1 (x) = · · · = gl (x) = 0, akkor szigoru´ lokalis ´ beszel ´ unk. ´ felteteles maximum (minimum)-rol ¨
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
12 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ 2.7 Felteteles szels am´
´ ´ o˝ ert ´ ek ´ szuks ´ ´ A felteteles szels feltetele ¨ eges Tegyuk ¨ fel, hogy az f , gi : D ⊂ Rk → R (i = 1, . . . , l, l < k ), az f ´ ´ derivaltjai ´ fuggv enynek az elso˝ parcialis folytonosak az x0 ∈ D ¨ ¨ ´ belso˝ egy kornyezet eben f -nek az x0 ∈ D pontban a g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , gl (x) = 0 ´ ´ felteteles ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ van, feltetelek mellett lokalis szels ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. .. ´ a rangja l. ∈ Rl×k matrix . . . ∂1 gl (x0 ) · · · ∂k gl (x0 ) Akkor van olyan λ0 = (λ01 , . . . , λ0l ) ∈ Rl pont, hogy az L(λ, x) := f (x) + λ1 g1 (x) + · · · + λl gl (x) ´ fuggv enyre ¨
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
(λ ∈ Rl , x ∈ D)
∂1 L(λ0 , x0 ) = · · · = ∂l+k L(λ0 , x0 ) = 0.
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
13 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ Lagrange modszer ´ 2.7 Felteteles szels am´
´ ´ multiplikatoroknak ´ A λ1 , . . . , λl szamokat Lagrange-fele nevezzuk, ¨ az ´ ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ problema ´ ´ L fuggv enyt pedig a felteteles szels Lagrange-fele ¨ ´ enek ´ fuggv ¨ eny nevezzuk. ¨ ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ problema ´ ´ ugy ¨ enik, ´ A felteteles szels megoldasa hogy a ´ tort ∂1 L(λ, x) = · · · = ∂l+k L(λ, x) = 0 ˝ all ´ o´ rendszert (melynek elso˝ l db. egyenlete l + k egyenletbol ´ eppen g1 (x) = · · · = gl (x) = 0) megoldjuk a λ1 , . . . , λl , x1 , . . . , xk , ismeretlenekre, a (λ0 , x0 ) = (λ01 , . . . , λ0l , x01 , . . . , x0k ) ∈ Rl × D ´ ´ stacionarius ´ megoldasok a Lagrange fuggv eny pontjai. Ennek az ¨ ´ ai ´ adjak ´ a felteteles ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ x0 = (x01 , . . . , x0k ) koordinat szels ´ lehetseges helyeit.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
14 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ Lagrange modszer ´ 2.7 Felteteles szels am´
´ ´ o˝ ert ´ ek ´ elegendo˝ feltetele ´ A felteteles szels Tegyuk ¨ fel, hogy az f , gi : D ⊂ Rk → R (i = 1, . . . , l, l < k ), ´ ´ derivaltjai ´ masodik parcialis folytonosak az x0 ∈ D belso˝ pont egy ¨ ´ kornyezet eben, ´ stacionarius ´ (λ0 , x0 ) ∈ R l × D a Lagrange fuggv eny pontja, azaz a ¨ ∂1 L(λ0 , x0 ) = · · · = ∂l+k L(λ0 , x0 ) = 0 ´ rendszer megoldasa, ∂k−l+1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. .. ´ es 6= 0. . . . ∂k−l+1 gl (x0 ) · · · ∂k gl (x0 ) Pk Pk Ha i=1 j=1 hi hj ∂i ∂j f (x0 ) > 0 (< 0) minden olyan Pk ´ melyre h = (h1 , . . . , hk ) ∈ Rk , h 6= 0 eseten, j=1 hj ∂j gi (x0 ) = 0 ´ ´ minden i = 1, . . . , l mellett, akkor f -nek szigoru´ lokalis felteteles minimuma (maximuma) van x0 -ban. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
15 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ elegendo˝ feltetelek ´ 2.7 Felteteles szels am´
´ ´ o˝ ert ´ ek ´ elegs ´ eges ´ ´ ´ A felteteles szels feltetele determinansokkal Legyen ∆j , 0 .. . 0 ∂1 g1 (x0 ) .. .
(j = 2l + 1, . . . , l + k ) a ··· 0 ∂1 g1 (x0 ) . .. .. .. . . ··· 0 ∂1 gl (x0 ) · · · ∂1 gl (x0 ) ∂l+1 ∂l+1 L(λ0 , x0 ) .. .. .. . . .
··· ∂k g1 (x0 ) .. .. . . ··· ∂k gl (x0 ) · · · ∂l+1 ∂l+k L(λ0 , x0 ) .. .. . .
∂k g1 (x0 ) · · · ∂k gl (x0 ) ∂l+k ∂l+1 L(λ0 , x0 ) · · · ∂l+k ∂l+k L(λ0 , x0 ) ´ anak ´ ´ szimmetrikus blokkmatrix bal felso˝ j × j-s sarokmatrix ´ determinansa. 1
2
´ akkor Ha (−1)l ∆j > 0 minden j = 2l + 1, . . . , l + k eseten, ´ felteteles ´ f -nek szigoru´ lokalis minimuma van x0 -ban. ´ akkor Ha (−1)l+j ∆j > 0 minden j = 2l + 1, . . . , l + k eseten, ´ felteteles ´ f -nek szigoru´ lokalis maximuma van x0 -ban. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
16 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ pelda ´ 2.7 Felteteles szels am´
´ ´ A blokkmatrix masik alakja ´ ´ ´ Vegyuk hogy blokkmatrixunk eppen az L(λ, x) Lagrange ¨ eszre, ´ osszes ¨ ´ ´ derivaltjaib ´ ´ all ´ o´ matrix ´ fuggv eny masodik parcialis ol a (λ0 , x0 ) ¨ ´ ´ ´ stacionarius pontban veve, azaz a (∂i ∂j L(λ0 , x0 )) ∈ R(l+k)×(l+k) matrix. ´ ´ Pelda. Hatarozzuk meg az f : R2 → R,
f (x, y) := x + 2y
´ ´ o˝ ert ´ ekeit ´ felteteles szels a g(x, y) = x 2 + y 2 − 1 = 0
¨ korvonal
´ mellett. feltetel
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
17 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ pelda ´ ´ 2.7 Felteteles szels am´ megoldasa ´ ´ ´ A problema Megoldas. Lagrange fuggv enye ¨ L(λ, x, y) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 1)
((λ, x, y ) ∈ R3 ).
´ ´ o˝ ert ´ ekhelyeket ´ A lehetseges szels a ∂λ L(λ, x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0, ∂y L(λ, x, y ) = 2 + 2λy = 0
∂x L(λ, x, y) = 1 + 2λx = 0,
´ ´ Konny ¨ ´ ´ megoldasai adjak. u˝ kiszamolni, hogy a megoldasok: √
√
λ1 =
5 2 ,
x1 = −
√
λ2 = −
5 2 ,
5 5 ,
√
y1 = − 2 5 5 ,
√
x2 =
5 5 ,
y2 =
√ 2 5 5 .
´ ´ o˝ ert ´ ek ´ lehetseges ´ a felteteles szels helyei.
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
18 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ pelda ´ ´ 2.7 Felteteles szels am´ megoldasa
´ Azt, hogy felteteles maximum vagy minimum van-e ezen pontokban a ´ alapjan ´ dontj ¨ uk ´ ´ derivaltjaib ´ ´ fenti tetel parcialis ol ¨ el. Az L masodik ´ ıtett a blokkmatix ´ (a (λ, x, y ) pontban) felep´ 0 2x 2y 2x 2λ 0 . 2y 0 2λ
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
19 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ pelda ´ ´ 2.7 Felteteles szels am´ megoldasa
´ Most k = 2, l = 1, mivel 2l + 1 = 3 = k + l ´ıgy csak az blokkmatrix ´ anak ´ ˝ et ´ kell meghatarozni. ´ ´ ıtas ´ determinans elojel Egyszeru˝ szam´ mutatja, hogy ez 0 −2 −4 −100 1 5 0 = √ <0 ∆3 (λ1 , x1 , y1 ) = √ −2 53 −4 53 0 5 ´ hasonloan ´ es ∆3 (λ2 , x2 , y2 ) = (−1)l ∆
100 √ 53
vagyis a
´ teljesul, ¨ (x1 , y1 )-ben k+l = (−1)∆3 (λ1 , x1 , y1 ) > 0 feltetel ´ ´ minimum van, m´ıg a szigoru´ felteteles lokalis ´ (x2 , y2 )-ben (−1)l+(l+k) ∆3 (λ2 , x2 , y2 ) = (−1)4 ∆3 (λ2 , x2 , y2 ) > 0 ezert ´ ´ maximum van. szigoru´ felteteles lokalis
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
20 / 21
´ ´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas, ´ pelda ´ ´ 2.7 Felteteles szels am´ megoldasa ´ ´ ´ Erdemes Megjegyzes. a feladatot geometriailag is szemleltetni: az 2 2 ´ az x + y = 1 altal ´ ´ f (x, y) = x + 2y s´ık es meghatarozott ´ ´ ´ hengerfelulet anak (mely egy az R3 terbeli ellipszis) ¨ metszesvonal ´ ”legalacsonyabban” (a melyik pontja van ”legmagasabban” es ´ ´ aban ´ ´ magassagot a z tengely irany merve).
3 –4 2 –2
1 0 1
–1
–1 –2
2
–3
´ o´ (DE) Losonczi Laszl
´ o˝ ert ´ eksz ´ ´ ıtas ´ Szels am´
4
21 / 21
