LONG MEMORY PADA DATA NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA SERIKAT (USD) 1
Harnum Annisa Prafitia, 2Irhamah, dan 3Kartika Fithriasari 1 Mahasiswa Jurusan Statistika (1306 100 002) FMIPA-ITS 2,3
Dosen Jurusan Statistika FMIPA-ITS Jl. Arief Rahman Hakim, Kampus Keputih-Sukolilo, Surabaya 60111-Jawa Timur Abstrak Penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa deret berkala nilai tukar Rupiah terhadap USD long memory atau ketergantungan jangka panjang. Dalam penelitian ini dilakukan penelitian menggunakan metode ARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) untuk memodelkan secara sekaligus ketergantungan jangka pendek dan jangka panjang pada data nilai tukar Rupiah terhadap USD. Metode pendugaan parameter yang digunakan adalah EML sedangkan kriteria pemilihan metode terbaik adalah AIC dan MSE untuk in sample serta MAPE untuk out of sample. Dari hasil analisis diperoleh model terbaik adalah ARFIMA ([1,6,11,29,31];0,499679;[1,6]). Karena asumsi kenormalan residual dan kehomogenan varians residual tidak terpenuhi, maka pemodelan dilanjutkan dengan menambahkan variabel dummy untuk outlier dan model GARCH. Kata kunci : long memory, ARFIMA, outlier, GARCH
1. PENDAHULUAN Pentingnya peranan dari pemodelan nilai tukar mata uang negara-negara Asia Tenggara menyebabkan meningkatnya kebutuhan peramalan jangka panjang dari nilai tukar mata uang asing untuk mengetahui model peramalan dan efek jangka panjangnya. Hosking (1981) memperkenalkan model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) yang dapat menjelaskan deret berkala jangka pendek (short memory) maupun deret berkala jangka panjang (long memory). Data yang plot ACF-nya tidak turun secara eksponensial melainkan secara hiperbolik dapat dikategorikan sebagai data deret long memory. Kelemahan dari ARIMA yang hanya dapat menjelaskan short memory dapat diatasi dengan model ARFIMA. Untuk mendeteksi adanya long memory pada data, dapat dilakukan estimasi parameter d dengan menggunakan Hurst Exponent yang dapat diperoleh dari aggregated variance, rescaled range statistics (R/S), dan modified rescaled range statistics (MR/S), uji KPSS, rescaled varians (V/S), gaussian semiparametric estimation (GSP), GPH (log periodgram estimation) dan lain sebagainya. Shittu dan Yaya (2009) melakukan perbandingan model ARFIMA dengan ARIMA untuk data nilai tukar mata uang UK Pound terhadap US Dollar dengan melakukan KPSS dan menghasilkan model ARFIMA ([3];0,495654;0). Olbermann, Lopes, dan Reisen (2006) menghasilkan model ARFIMA (1,d,1) pada nilai tukar mata uang Brazil. Berdasarkan penelitian Sugandi (2003) dan Rustiaty (2004) terlihat pada ACF nilai tukar Rupiah autokorelasinya turun lambat secara hiperbolik untuk periode yang cukup lama hal ini mengindikasikan adanya ketergantungan jangka panjang pada nilai tukar mata uang tersebut, sehingga dapat dianalisis dengan metode ARFIMA. Pada kasus ekonomi finansial seperti exchange rate cenderung mengandung unsur heterokedastisitas, ini disebabkan karena perubahan nilai tukar sangat fluktuatif. Fluktuatif pada kasus finansial dapat disebabkan karena adanya krisis moneter dan adanya perubahan nilai mata uang USD yang mempengaruhi perekonomian negara-negara lain. Pada nilai tukar Rupiah juga terdapat unsur heterokedastisitas. GARCH merupakan metode yang mampu mengatasi masalah heteroskedastisitas pada data pengamatan. Untuk itu, pada penelitian ini ditambahkan metode GARCH pada data nilai tukar Rupiah. Pada penelitian ini akan dilakukan pengujian long memory, yang selanjutnya dilakukan pemodelan dengan ARFIMA. Dari model ARFIMA akan dilakukan peramalan 22 periode.
1
2. TINJAUAN PUSTAKA Deret Memori Berkala Jangka Panjang Fungsi autokorelasi antara Zt dengan Zt+k pada proses ARMA {Zt } yang turun secara cepat atau eksponensial sering dinyatakan sebagai proses memori jangka pendek (short memory). Bila fungsi autokorelasi antara Zt dengan Zt+k turun lambat secara hiperbolik dan lag yang signifikan semakin besar maka dapat diidentifikasi adanya ketergantungan jangka panjang dalam data yang merupakan ciri dari memori jangka panjang (long memory). Proses stasioner dengan fungsi autokorelasi, k, dapat dikatakan sebagai proses memori jangka panjang bila tidak konvergen (Hosking, 1981). Menurut Zickus, Leipus, dan Kuietkus (1999) deret yang dikatakan sebagai proses yang memiliki memori jangka panjang yaitu bila fungsi autokorelasi turun menuju nol dengan sangat lambat sehingga menunjukkan bahwa pengamatan yang jauh terpisah masih saling berhubungan. Pengujian Long Memory Untuk mengetahui adanya ketergantungan jangka panjang pada data, dilakukan identifikasi terlebih dahulu. Identifikasi dilakukan dengan melihat nilai estimasi parameter d dari data pengamatan. Estimasi dapat dilakukan dengan metode Hurst Exponent yang dapat diperoleh dari aggregated variance, rescaled range statistics (R/S), dan modified rescaled range statistics (MR/S), uji KPSS, rescaled varians (V/S), gaussian semiparametric estimation (GSP), GPH (log periodgram estimation), exact maximum likelihood (EML), modified profile likelihood (MPL), non-linear least squares (NLS), dan lain sebagainya (Chi dan Ni, 2007). Pada penelitian ini digunakan EML dan MPL de-ngan hipotesis nol adalah d=0 dan daerah penilaian adalah -0,5
) diekspansikan sebagai deret binomial (Hosking, 1981) :
dimana merupakan fungsi Gamma, sehingga :
Deteksi Outlier Outlier adalah pengamatan yang terlalu menyimpang jauh dibandingkan pengamatan-pengamatan lainya. Sisaan yang merupakan outlier adalah yang nilai mutlaknya jauh lebih besar daripada sisaansisaan lainnya. Pada bidang ekonomi, adanya outlier pada data dapat dipengaruhi karena adanya krisis moneter, perubahan nilai mata uang negara-negara maju, adanya perang, perubahan kebijakan politik, dan lain-lain. Adanya outlier dapat menyebabkan data atau residual tidak berdistribusi normal. Salah satu cara untuk mengatasi adanya outlier pada data adalah salah satunya dengan menyertakan variabel dummy pada pemodelan.
2
Model GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) merupakan sebuah model yang diperoleh dengan memodelkan mean dan varian secara simultan (Engle, 1982). Model ARCH(q) dapat dituliskan sebagai berikut : Bila model ARCH mengikuti proses AR(p), maka model GARCH(p,q) yang mengikuti proses ARMA(p,q) dapat dituliskan sebagai berikut : Untuk mengetahui ada tidaknya efek GARCH, maka dilakukan pengujian apakah terdapat kasus heteroskedastisitas (varian residual tidak homogen) atau tidak. Terdapat dua cara untuk mengujinya yaitu dengan menggunakan uji Ljung Box dari kuadrat residual hasil pemodelan dan uji Lagrange Multiplier. Selain itu, heteroskedastisitas dapat dideteksi dengan melihat plot ACF dan PACF dari kuadrat residual (Tsay, 2002). 3. METODOLOGI PENELITIAN Data yang sudah terkumpul dibagi menjadi dua bagian yaitu untuk menentukan model (in sample) dan untuk validasi peramalan (out sample). Tahapan analisis data dilakukan sebagai berikut : a. Statistika Deskriptif Ini dilakukan untuk melihat pola dari data nilai tukar Rupiah terhadap USD. Pada tahap ini akan dilihat karakteristik dari data nilai tukar Rupiah terhadap USD. b. Pengujian Long Memory Pada penelitian ini untuk mendeteksi ada tidaknya ketergantungan jangka panjang pada data dengan menggunakan statistik EML dan MPL. Sebelum dilakukan pengujian long memory, dilakukan identifikasi berdasarkan plot ACF dan periodogram. c. Pembentukan Model ARFIMA Model ARFIMA diperoleh dengan cara yaitu: 1. membuat time series plot 2. melakukan transformasi yang sesuai apabila data tidak homogen dalam varians. 3. penetapan beberapa model ARFIMA berdasarkan plot ACF dan plot PACF. 4. mengestimasi parameter model yang sudah terbentuk 5. melakukan pemilihan model terbaik berdasarkan AIC, MSE, dan MAPE. 6. menguji syarat asumsi dari residual d. Pemeriksaan Outlier Langkah-langkah pemodelan dengan dummy bila terdapat outlier pada data : 1) memeriksa apakah terdapat outlier pada data 2) setelah mendapatkan banyaknya outlier, lalu membuat variabel dummy 3) menentukan dugaan model awal 4) melakukan pendugaan dan pengujian parameter e. Menentukan model ARFIMA-GARCH Setelah diperoleh model ARFIMA, jika terdapat penyimpangan terhadap asumsi homogenitas varians, maka dilanjutkan dengan analisis pada model ARFIMA-GARCH yaitu: 1. menguji apakah terdapat kasus heteroskedastisitas dalam residual model ARFIMA 2. menghitung kuadrat residual dari model ARFIMA 3. menentukan pendugaan model awal ARFIMA-GARCH 4. melakukan pendugaan dan pengujian parameter f. Peramalan Peramalan yang dilakukan dengan menggunakan data out sample untuk 22 periode mendatang. 4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Statistika Deskriptif Sebelum dilakukan analisis time series, terlebih dahulu melihat karakteristik data nilai tukar Rupiah dengan menggunakan statistika deskriptif. Hasil statistika deskriptif dapat dilihat pada Tabel 1. 3
Tabel 1 Statistika Deskriptif Data Nilai Tukar Rupiah
Variable aktual
Count 666
Mean StDev Variance Minimum Maximum 9815,0 922,8 851507,4 8715,0 12462,0
Berdasarkan hasil di atas dapat diketahui bahwa data in sample sebanyak 666 data yang merupakan data harian nilai tukar Rupiah terhadap USD mulai 2 Januari 2007 sampai 30 September 2009. Data memiliki rata-rata nilai tukar Rupiah sebesar Rp. 9.815, 00. Nilai standart deviasi dan varians sangat besar yaitu 922,8 dan 851.507,4. Ini menunjukkan bahwa data memiliki varian yang sangat tinggi, selain itu data memiliki range yang cukup jauh. Tingginya variansi data dan besarnya range data dapat disebabkan karena adanya perubahan pola yang terjadi pada nilai tukar Rupiah dan seperti sudah dijelaskan di awal bahwa data ekonomi biasanya memiliki kasus heteroskedastisitas. S u m m a r y f o r a k tu a l A n d e r s o n -D a r li n g N o r m a l i ty A -S q u a r e d P -V a lu e <
56,72 0,005
M ean S tD e v V a r ia n c e S k e w n e ss K urtos is N
9 8 1 5 ,0 9 2 2 ,8 8 5 1 5 0 7 ,4 1,306 83 0,50649 666
M in i m u m
9 00 0
9 6 00
10 2 00
1 08 0 0
1 1 40 0
1 s t Q u a rt i l e M e d ia n 3 r d Q u a rt i l e M a x im u m
12 0 00
95 %
95 %
C o n fid e n c e I n te r v a ls
9 8 8 5 ,2
C o n f id e n c e I n t e rv a l f o r M e d ia n 9 3 2 8 ,4
9 5 %
8 7 1 5 ,0 918 1,0 9 3 6 9 ,5 1 0 2 1 9 ,8 1 2 4 6 2 ,0
C o n f id e n c e I n t e r v a l f o r M e a n 9 7 4 4 ,8
9 5%
T e st
9 4 0 0 ,1
C o n f id e n c e I n t e r v a l f o r S t D e v 875,7
9 7 5 ,2
M ea n M e d ia n 93 0 0
9 40 0
9 50 0
9 6 00
9 7 00
9800
99 0 0
Gambar 1Grapic Summary Data Nilai Tukar Rupiah
Untuk mengetahui kenormalan pada data dapat dilihat pada histogram data pada Gambar 1. Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa nilai skewness adalah 1,307. Hal ini berarti bahwa bentuk histogram belum simetri. Ketidaknormalan data juga dapat dilihat dari nilai kurtosis yaitu 0,51 (berdistribusi normal bila nilai kurtosis adalah nol). Pada penelitian ini data nilai tukar Rupiah memiliki kurtosis positif, yang biasa disebut dengan leptokurtic. Identifikasi Long Memory Dalam pemodelan time series, pada umumnya tahap identifikasi diawali dengan melihat time series plot dari data nilai tukar Rupiah terhadap USD seperti Gambar 2. Berdasarkan gambar tersebut dapat dilihat bahwa data sebelum tanggal 15 September 2008 mempunyai pola yang cukup signifikan di sekitar Rp. 9.000,00. Dari Gambar 4.2 di atas dapat diketahui bahwa data belum stasioner terhadap varians sehingga perlu dilakukan transformasi Box-Cox. Diperoleh nilai =-5, dengan transformasi ini diperoleh time series plot yang menyerupai garis lurus, plot ACF dan PACF juga menyerupai dengan ACF dan PACF data awal. Data nilai tukar Rupiah terhadap USD ini memiliki varians yang sangat tinggi, ini dapat dilihat dari Gambar 2. Oleh karena itu, pada penelitian ini mengabaikan kestasioneran terhadap varians dan untuk analisis selanjutnya menggunakan data asli. Time Series Plot of IDR 15-09-2008
13000
IDR
12000
11000
10000
9000 1
67
134
201
268
335 Index
402
469
536
603
Gambar 2 Time Series Plot Data Nilai Tukar Rupiah
Sebelum melakukan pemodelan ARFIMA, dilakukan identifikasi long memory pada data untuk mengetahui ada tidaknya ketergantungan jangka panjang. Pada penelitian ini untuk mendeteksi adanya
4
long memory pada data dengan melihat plot ACF dan Periodogram data nilai tukar Rupiah terhadap USD. Long Memory pada data dapat dilihat dari plot ACF yang autokorelasinya turun lambat secra hiperbolik, seperti Gambar 3(a). Ini mengindikasikan dugaan adanya long memory pada data nilai tukar Rupiah terhadap USD. A u to c o r r e l a ti o n F u nc t io n f o r a k t ua l
T i m e S e r i e s P lo t o f p e r i o d o g r a m
(w ith 5% significa nce lim its fo r the a utoco rre lations)
2 ,0 0 0 0 E+1 0
1,0 0,8 1 ,5 0 0 0 E+1 0
0,4
periodogram
Autocorrelation
0,6
0,2 0,0 -0,2 -0,4
1 ,0 0 0 0 E+1 0
5000000000
-0,6 -0,8 -1,0
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40 45 La g
50
55
60
65
70
75
80
1
33
66
99
(a)
132
165 198 In d e x
231
264
297
330
(b)
Gambar 3 (a) Plot ACF dan (b) Periodogram Data Nilai Tukar Rupiah
Selain dilihat dari plot ACF, indikasi ketergantungan jangka panjang dapat dilihat dari plot periodogram pada Gambar 3(b). Bila bentuk plot periodogram untuk frekuensi yang semakin mendekati nol meningkat menuju nilai yang sangat besar tetapi berhingga maka data dapat dikatakan memiliki ketergantungan jangka panjang. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter d dengan Hurst Exponent, EML, dan MPL. Hasil estimasi parameter d pada in sample dan out sample data nilai tukar Rupiah terhadap USD dapat dilihat pada Tabel 2. Pada Hurst Exponent diperoleh nilai H adalah 0.697017, maka parameter d adalah 0.197017. Tabel 2 Estimasi Parameter d Data Nilai Tukar Rupiah
Metode EML MPL Hurst Exponent
Estimasi t-hit p-value 0,499689 1291 0,000 0,499689 1289 0,000 0,197017 29.78247 1.32e-32
Dari hasil di atas dapat diketahui bahwa estimasi parameter d sudah masuk didalam batas, sehingga dapat diketahui bahwa data nilai tukar Rupiah terhadap USD memiliki ketergantungan jangka panjang dan stasioner, maka data nilai tukar Rupiah dapat dimodelkan dengan model ARFIMA Pemodelan ARFIMA Pada Data Nilai Tukar Rupiah Setelah dilakukan statistika deskriptif dan identifikasi long memory pada data nilai tukar Rupiah, maka analisis dilanjutkan dengan pemodelan. Pemodelan data nilai tukar Rupiah dilakukan dengan menggunakan model ARFIMA. Bila asumsi kenormalan residual model tidak terpenuhi, maka analisis dilanjutkan dengan deteksi outlier. Hasil dari pemodelan ARFIMA dengan deteksi outlier dilanjutkan ke metode GARCH bila terdapat kasus heteroskedastisitas pada residual. Pada penelitian ini ditentukan terlebih dahulu nilai parameter differencing d pada data keseluruhan (data in sample), sehingga dalam estimasi parameter dari model-model awal ARFIMA menggunakan nilai d yang sama. Data nilai tukar Rupiah terhadap USD memiliki nilai d sebesar 0,499679. Ini dilihat dari nilai p-value = 0,000 yang lebih kecil dari nilai =0,05. Untuk memodelkan data dilihat terlebih dahulu plot PACF data yang menunjukkan bahwa lag 1, 6,8, 11, 29, 30, dan 31 signifikan (keluar dari batas ). Untuk itu dapat digunakan sebagai pendugaan model awal dengan lag yang keluar batas sebagai orde subset model. Pada pendugaan model awal ini diperoleh tiga model yang memiliki paramter sudah signifikan. Model-model tersebut adalah model A merupakan model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,0), model B merupakan model ARFIMA (1,d,1), dan model C merupakan model ARFIMA ([1,6,11,29,31], d,[1,6]). Maka hasil estimasi dan signifikansi parameter model dapat dilihat di Tabel 3 sebagai berikut :
5
Tabel 3 Signifikansi Parameter Model ARFIMA Data Nilai Tukar Rupiah
Estimasi t-hit p-value Estimasi t-hit p-value Estimasi t-hit p-value Estimasi t-hit p-value Estimasi t-hit p-value Estimasi t-hit p-value Estimasi t-hit p-value Keterangan: […] : p-value uji-t dengan =0.05
Model ARFIMA A B C 0,5889 0,9558 0,9505 18,1 70,6 31,5 [0,000] [0,000] [0,000] 0,1234 -0,0989 3,42 -2,76 [0,001] [0,006] 0,1651 0,1172 5,02 3,72 [0,000] [0,000] -0,1223 -0,1465 -3,67 -5,63 [0,000] [0,000] 0,0756 0,1173 2,27 4,49 [0,024] [0,000] -0,6129 -0,6198 -15,1 -12,2 [0,000] [0,000] 0,1489 2,57 [0,000]
Analisis dilanjutkan dengan uji asumsi residual white noise, berdistribusi normal, dan kehomogenan varians residual. Berdasarkan hasil Ljung Box dapat diketahui bahwa semua model tidak memenuhi asumsi residual yang white noise. Begitu juga dengan uji asumsi residual normal dan varians homogen yang tidak terpenuhi oleh semua model. Terlebih dahulu dilakukan pemilihan model terbaik dengan menggunakan kriteria AIC daan MSE untuk data in-sample dan kriteria MAPE untuk data out-sample. Maka hasil pemilihan model dilihat pada Tabel 4 berikut: Tabel 4 Pemilihan Model ARFIMA Terbaik
Model
AIC
In-Sample MSE
Out-Sample MAPE
A
8041,99
9913,51
1,5783
B C
8009,65 7979,68
9534,28 8958,59
1,9268 1,1539
Dari Tabel 4 di atas dapat diketahui model C yaitu model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,[1,6]) memiliki nilai AIC, MSE, dan MAPE yang paling kecil dengan model lainnya. Maka model ARFIMA dapat dituliskan sebagai berikut : (1) dengan = =
Pada uji kenormalan residual model (1), Kolmogorov Smirnov sebesar 0,170 dengan p-value sebesar <0,001 yang berarti H0 ditolak pada nilai =0,05. Untuk mengatasi residual yang tidak white noise dan berdistribusi normal, maka analisis dilanjutkan dengan deteksi outlier.
6
Pemodelan ARFIMA dengan Deteksi Outlier Adanya outlier pada data dapat menyebabkan ketidaknormalan. Outlier dapat dideteksi dengan menggunakan Boxplot seperti pada Gambar 4. Bila data bernilai lebih dari Q3+3IQR maka dianggap sebagai ekstrim outlier. Q3 merupakan nilai kuartil tiga residual model, sedangkan IQR merupakan jarak antara kuartil tiga dengan kuartil satu. Pada penelitian ini diambil dua buah outlier yang paling ekstrim yaitu data ke-442 dan ke-443. Boxplot of resi7 1500
resi7
1000
500 180 0
0 -112
-500
Gambar 4 Boxplot Residual Model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,[1,6])
Variabel dummy dimasukkan pada model ARFIMA ([1,6,11,29,31],d,[1,6]), hingga diperoleh hasil pada Tabel 5. Setelah dilakukan beberapa pemodelan didapatkan model ARFIMA (1,d,[1,3,17,51]) dengan variabel dummy outlier t=442 dan 443. Tabel 5 Signifikansi Parameter Model ARFIMA (1,d,[1,3,17,51]) Dengan Outlier t=442,443
Model ARFIMA
Estimasi
t-hit
P-value
0,9717 -0,4475 -0,0978 -0,1194 0,1024 1359,21 358,807
90,7 -11,9 -2,51 -3,68 2,82 24,9 6,57
0,000 0,000 0,012 0,000 0,005 0,006 0,000
Maka model ARFIMA di atas dapat dituliskan sebagai berikut : (2) dengan = = Model (2) di atas sudah memenuhi asumsi residual yang white noise. Ini dapat dilihat dari nilai uji portmanteau sebesar 25,1 dengan p-value sebesar 0,1976 yang berarti H0 gagal ditolak pada nilai =0,05. Nilai AIC dan MSE model (2) di atas juga lebih kecil dari AIC dan MSE model (1) yaitu sebesar 7594,399 dan 5020,09. Pada uji kenormalan Kolmogorov Smirnov sebesar 0,128 dengan p-value sebesar <0,001 sehingga H0 ditolak pada nilai =0,05. Ini berarti bahwa residual model (2) tidak berdistribusi normal. Diketahui pula bahwa nilai skewness yaitu -0,255. Ketidaknormalan data juga dapat dilihat dari nilai kurtosis yaitu 9,166 (berdistribusi normal bila nilai kurtosis adalah nol). Pada penelitian ini residual model ARFIMA (1,d,[1,3,17,51]) dengan outlier t=442,443 memiliki kurtosis positif, yang biasa disebut dengan leptokurtic.
7
Pemodelan ARFIMA dengan Metode GARCH Selanjutnya dilakukan uji untuk mengetahui adanya kasus heteroskedastisitas pada data. Untuk mendeteksi ada tidaknya heteroskedastisitas pada data dapat dilihat dengan plot ACF dan PACF kuadrat residual seperti pada Gambar 5 (a) dan (b) berikut : Autocorr elation F unction for r es i ^2
Par tial Autocorr elation Function for resi ^2
(w ith 5% significa nce limits for the partial a utocor relations)
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
Partial Autocorrelation
A utocorrelation
(w ith 5% significa nce limits for the autocor re lations )
0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
-1,0
-1,0 1
5
10
15
20
25
30
35
40 45 Lag
50
55
60
65
70
75
80
1
(a)
5
10
15
20
25
30
35
40 45 Lag
50
55
60
65
70
75
80
(b) Gambar 5 (a) Plot ACF dan (b) Plot PACF Kuadrat Residual
Dari Gambar 5 di atas dapat diketahui bahwa varian residual tidak homogen. Ini dapat dilihat dari lag-lag pada plot yang masih keluar batas. Ketidakhomogenitasnya varian residual juga dapat dilihat dari hasil uji Lagrange Multiplier. Untuk mengatasi kasus heteroskedastisitas, maka analisis dilanjutkan dengan pemodelan kuadrat residual dengan menggunakan metode GARCH. Berdasarkan plot ACF lag-lag yang signifikan adalah lag 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, sedangkan untuk plot PACF lag yang signifikan adalah lag 1, 4, 6, 8, 12, 17, 18, 23, dan 26. Menurut Novianti (2009), pembentukan model GARCH ini tidak dapat dilakukan dengan menggunakan perintah AUTOREG pada software SAS karena GARCH residual mempunyai orde subset. Maka analisis dilakukan seperti model ARMA. GARCH ([1,4,6,8,12,17,18,23,26],[1,2,3,4,5,6,7,8]) memi-liki parameter yang masih belum signifikan. Setelah dilakukan pemodelan kembali, maka model GARCH yang memiliki parameter yang sudah signifikan adalah GARCH dengan orde p=[4,6,12,18,23,36] dan q=[1,4,5,6,7,8]. Maka hasil estimasi model GARCH ([4,6,12,18,23,36],[1,4,5,6,7,8]) adalah
(3) Model (3) di atas belum memenuhi asumsi residual yang berdistribusi normal. Ini dilihat dari nilai uji Kolmogorov Smirnov sebesar 0,274 dengan nilai p-value=0,01 yang berarti H0 ditolak pada nilai =0,05. Ketidaknormalan residual disebabkan oleh nilai kurtosis sebesar 46,89. Bila kurtosis bernilai nol maka residual berdistribusi normal. Karena nilai kurtosis bernilai positif, maka disebut pula dengan leptokurtik. Leptokurtik berarti residual model (3) dapat menghasilkan nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan bila residual model berdistribusi normal. Ini disebabkan karena nilai residual disekitar mean sangat banyak dan bahwa nilai residual banyak yang mendekati nilai nol. Berdasarkan pengujian Lagrange Multiplier dapat diketahui bahwa asumsi kehomogenan varians residual model (3) sudah terpenuhi. Peramalan Pada Nilai Tukar Rupiah Setelah didapatkan model GARCH di atas lalu model digunakan untuk peramalan 22 periode kedepan. Pada Tabel 6 dapat dilihat hasil peramalan nilai tukar Rupiah dan selang kepercayaan yang didapat dari model GARCH. Dengan model GARCH diperoleh satu nilai ramalan yang negatif, hal ini dapat disebabkan karena model (3) memiliki koefisien yang negatif pula. Dengan terdapatnya koefisien yang bernilai negatif, maka syarat kecukupan model (3) tidak terpenuhi. Model GARCH yang tidak memenuhi syarat kecukupan model tersebut tetap digunakan, karena model GARCH dengan orde subset belum ada yang terbentuk dari software manapun (Novianti, 2009).
8
Batas bawah dan batas atas peramalan diperoleh dari pera-malan model GARCH, dengan perhitungan
, sedangkan forecast yang digunakan tetap menggunakan hasil peramalan
model (2). merupakan hasil forecast dari peramalan model (2) tersebut. Maka hasil peramalan dapat dilihat sebagai berikut : Tabel 6 Peramalan Nilai Tukar Rupiah 22 Periode No
Nilai Aktual
Forecast ARFIMA
1
9673
9722,2
2
9694
9714,2
3
9623
4
9510
5
9503
Batas Bawah
Batas Atas
10196,2
9524,29
9920,1
6466,2
9556,59
9871,8
9706,3
7715,2
9534,14
9878,5
9719,2
1001,3
9657,18
9781,2
9712,3
-67
*
*
6
9415
9718,3
3822,8
9597,12
9839,5
7
9468
9721,7
13094,4
9497,42
9946
8
9537
9715,3
3264,7
9603,31
9827,3
9
9492
9705,4
3819,4
9584,27
9826,5
10
9427
9699,9
5237,8
9558,05
9841,7
11
9339
9711,8
2510,1
9613,6
9810
12
9407
9745,7
7462,4
9576,38
9915
13
9524
9745,9
17454,7
9486,95
10004,8
14
9412
9735,1
6132,5
9581,61
9888,6
15
9522
9728,3
8733,5
9545,13
9911,5
16
9527
9730,4
916,1
9671,08
9789,7
17
9535
9734
1962,9
9647,16
9820,8
18
9470
9739,8
8114,8
9563,24
9916,4
19
9613
9743,4
1183,2
9675,98
9810,8
20
9733
9748,7
6689,6
9588,39
9909
21
9643
9754,2
7463,7
9584,87
9923,5
22
9593
9758,7
4995,1
9620,18
9897,2
Pada Gambar 6 dapat dilihat plot dari data in sample, out sample, forecast 22 periode mendatang, serta batas atas dan batas bawah forecast. Pola hasil fitted model sudah menyerupai data in sample, sedangkan pola hasil forecast memiliki perbedaan dengan data out sample. T i m e S e r i e s P l o t o f f i t t e d a r f ; i n s a m p l e ; o u t s a m p l e ; f o r e c a s ta r ; . . . 13000
V ar ia b le fitte d a r f in sa m p le o u tsa m p le fo r e c a sta r B B fo r e B A fo r e
Data
12000
11000
10000
9000 1
69
138
207
276
345 414 In d e x
483
552
621
Gambar 6 (a) Plot Plot Forecast Nilai Tukar Rupiah Terhadap USD
5. KESIMPULAN
9
Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil dan pembahasan pada bab IV adalah : a. Dari plot ACF, periodogram dan pengujian long memory, dapat diketahui bahwa data nilai tukar Rupiah terhadap USD memiliki ketergantungan jangka panjang dan sudah stasioner, sehingga dapat dilanjutkan dengan analisis model ARFIMA. b. Model ARFIMA-GARCH yang diperoleh untuk data nilai tukar Rupiah terhadap USD adalah
dengan = =
c. Dari model ARFIMA-GARCH diperoleh error ramalan out sample yang cukup besar. Hal ini disebabkan fluktuasi yang tinggi pada data dan terdapat banyak outlier. Hal ini juga menyebabkan asumsi kenormalan residual tidak terpenuhi. 6. SARAN
Karena selain terdapat ketergantungan jangka panjang pada data juga terdapat perubahan pola pada data dan asumsi kenormalan residual belum terpenuhi, maka untuk penelitian selanjutnya dapat dicoba pemodelan dengan structural change, non linear time series, atau intervensi yang digabungkan dengan model ARFIMA. 7. DAFTAR PUSTAKA
Assaf, A. (2006). Persistance and Long Memory Dependence In The Emerging Stock Market of Kuwait, The Middle East Business and Economic Review, Volume 18 No.1, Windsor. Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional heteoskedasticity with Estimates of The Variance of Uniited Kingdom Inflation, Journal of Econometica, Volume 50 No.4, halaman 987-1007. Hosking, J. R. M. (1981). Fractional Differencing, Biometrika, Volume 68, hal. 165-176. Novianti, P. W. (2009). Pemodelan IHK Umum Nasional dengan Metode Intervensi Multi Input dan Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity (GARCH). Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Olberman, B. P., Lopes, S. R. C., dan Reisen, V. A. (2006). Invariance of The First Difference in ARFIMA Models. Rustiaty, E. (2004). Pemodelan Nilai Tukar Mata Uang di Negara-Negara Asia Tenggara Terhadap Us Dollar Dengan Menggunakan Metode Vektor Autoregression (VAR). Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Shittu, O. I., dan Yaya, O. S. (2009). Measuring Forecast Performance of ARMA and ARFIMA Models : An Application to US Dollar/ UK Pound Foreign Exchange Rate, European Journal of Scientific Researc, Volume 32 No.2, hal. 167-176. Euro Journals Publishing, Inc. Sugandi, L. (2003). Pemodelan Nilai Tukar Mata Uang Negar-Negara Asia Tenggara Dengan Menggunakan Metode VARMAX. Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Tsay, R. S. (2002). Analysis of Financial Time Series. John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Wei, W. W. S. (1990). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Company Inc., New York. Zickus, M., Leipus, R. dan Kuietkus, K. (1999). Estimation of Long Range Dependence in Wind Speed. Time Series Data. Vilnius University, Lithuania. 10
