Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení, ….) Lomené výrazy jsou výrazy ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli je proměnná, například: 3 ; x
y ; 2 2x − y + 5
x+ 1 ; x− 2
a 2 − ab + b 2 ; a+ b
−
1 ; 3r + 1
9 s 2 (1 − s ) 12 s( s − 1)
Počítání s lomenými výrazy má podobné vlastnosti jako počítání se zlomky. Proto si tuto souvislost budeme u jednotlivých operací připomínat . Určování podmínek, pro něž má lomený výraz smysl Zlomky
Lomené výrazy
Zlomek má smysl, když jeho jmenovatel je různý od nuly. ( Nulou nelze dělit !)
Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. (Nulou nelze dělit ! )
Například :
Určete, pro které hodnoty proměnných má lomený výraz smysl .
4− x 2x + 3
výraz má smysl, je-li výraz 2x + 3 ≠ 0
1 y − x2
výraz má smysl, je-li výraz y2 – x2 ≠ 0
2
2x ≠ - 3 3 x≠2
(y+x).(y–x)≠0 (y+x)≠0 a (y–x)≠0 x≠-y a x≠y
1− y2 1+ y2
výraz má smysl, je-li výraz 1 + y2 ≠ 0 tento výraz bude vždy kladný, protože druhá mocnina každého čísla je číslo kladné . Proto výraz má smysl pro všechna y .
Pro stručné vyjadřování je výraz různý od nuly nebo nenulový výraz ten, z kterého jsou vyloučeny hodnoty proměnných, po jejichž dosazení je číselná hodnota výrazu rovna nule. Například výraz 7 – x je nenulový pro x ≠ 7 , výraz 5y2 pro y ≠ 0 atd.
Krácení a rozšiřování lomených výrazů Zlomky
Lomený výraz
Zlomek se nezmění, když se jeho čitatel i jmenovatel vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým číslem :
a a:c = b b:c
a a.c = ; b ≠ 0, c ≠ 0 b b.c
Lomený výraz se nezmění, když se jeho čitatel i jmenovatel vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým výrazem :
A A.C = ; B ≠ 0, C ≠ 0 B B.C
A A:C = B B:C
Krácení lomených výrazů představuje zjednodušení ( úpravu ) těchto výrazů, aniž by se změnila hodnota lomeného výrazu. Jedná se o dělení výrazu v čitateli i ve jmenovateli nejvhodnějším společným dělitelem . Jednočleny v lomených výrazech můžeme krátit přímo , protože představují vlastně násobení. Například : ►
8x 3 4x 2
společným dělitelem je 4x2 protože
8x 3 2.4.x 2+ 1 2.4.x 2 .x = = 2x = 4x 2 4x 2 4x 2
pro x ≠ 0 8x 3 8.2 3 8.8 64 pro x = 2 je = = = 4 4x 2 4.2 2 4.4 16 po úpravě na 2x je, pro x = 2 , hodnota rovna 2.2 = 4
Hodnota výrazu
►
72 x 2 y 4 z 3 ,x≠0,y≠0,z≠0 84 x 3 y 4 z 72 x 2 y 4 z 3 12.6.x 2 . y 4 .z.z 2 6.z 2 = = = > společný dělitel je výraz 12.x2.y4.z 84 x 3 y 4 z 12.7.x 2 .x. y 4 .z 7.x 72 x 2 y 4 z 3 72 = 0,857142 Hodnota výrazu pro x ,y , z = 1 před úpravou = 84 x 3 y 4 z 84 po úpravě
6.z 2 = 0,857142 7.x
Je – li v čitateli i ve jmenovateli více členů ve tvaru sčítání nebo odčítání, nelze provádět krácení !!! Čitatele , popřípadě i jmenovatele nutno rozložit na součin buď vytýkáním, pomocí vzorců, atd. a potom teprve krátit . Například :
18a − 30 , a≠0;a≠ 12a 2 − 20a 6.( 3a − 5) 3.2.( 3a − 5) 18a − 30 = = = 2 4a.( 3a − 5) 2.2a.( 3a − 5) 12a − 20a
Zjednodušte výraz
5 potom platí 3 3 společný dělitel je výraz 2.( 3a – 5 ) 2a
Například :
3 x 2 − 3 xy Zjednodušte výraz , x ≠ y , x ≠ - y potom platí x2 − y2 3 x.( x − y ) 3x 3 x 2 − 3 xy = = ( x + y ).( x − y ) x + y x2 − y2
Příklad :
společný dělitel je výraz (x – y)
Upravte rozdělením na součet dvou zlomků s možností krácení : a + 2x 14a + 1 12b − 3 x2 − y a) b) c) d) a+ x 7 6 x 2 2 35 + x 2a − b x u −1 e) f) g) h) 2 5 a− b u x +1
Řešení:
a)
a + 2x a+ x+ x a+ x x x = + = 1+ = a+ x a+ x a+ x a+ x a+ x
b)
x2 − y x2 y y = − = x− x x x x
c)
14a + 1 14a 1 1 + = 2a + = 7 7 7 7
d)
12b − 3 12b 3 1 − = 2b − = 6 6 6 2
e)
35 + x 35 x x + = 7+ = 5 5 5 5
f)
0 2 x2 x + 1 − 1 x2 + 1 1 1 = 2 = 2 − 2 = 1− 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1
g)
u2 − 1 u2 1 1 = − = u− u u u u
h)
2a − b a+ a− b a a− b a = + = +1 = a− b a− b a− b a− b a− b
Rozšiřování lomených výrazů je násobení čitatele i jmenovatele nenulovým výrazem . Příklad :
Rozšiřte dané lomené výrazy tak, aby měly stejné jmenovatele : y y 3x 1 2 x ; ; ; a) b) c) 2 y − 1 y− 1 2 y xy x + 1 1− x
Řešení :
a)
3x rozšíříme x 2y
;
1 rozšíříme 2 xy
1.2 2 = xy.2 2 xy
3 x.x 3 x 2 = 2 y.x 2 xy
2 x rozšíříme výrazem 1 – x ; rozšíříme výrazem x + 1 x+ 1 1− x
b)
2.(1 − x ) 2 − 2x = ( x + 1).(1 − x ) ( x + 1)(1 − x )
x.( x + 1) x2 + x = (1 − x ).( x + 1) ( x + 1)(1 − x )
c) Protože y2 – 1 = ( y + 1 ).( y – 1 ) , stačí rozšířit pouze výraz
y , a to y− 1
dvojčlenem ( y + 1 ) y.( y + 1) y2 + y = ( y − 1).( y + 1) ( y + 1)( y − 1)
y y = 2 y − 1 ( y + 1)( y − 1)
Sčítání a odčítání lomených výrazů Zlomky
Lomené výrazy
Zlomky s různými jmenovateli sečteme (odečteme) tak, že je převedeme na společného jmenovatele : a c a.d c.b ad + bc + = + = b d b.d d .b bd a c a.d c.b ad − bc − = − = b d b.d d .b bd b≠0 ; c≠0 Příklady :
Vypočtěte : 5 2 − a) a a+ 1 3 r− 3 + d) 2 4r
Řešení :
Lomené výrazy s různými jmenovateli sečteme (odečteme) tak, že je převedeme na společného jmenovatele : A C A.D C.B AD + BC + = + = B D B.D D.B BD A C A.D C.B AD − BC − = − = B D B.D D.B BD B≠0 ; C≠0
5 2 − 2 a a + a x+ 1 x− 1 + e) 2 2x + 4 4− x b)
5 2 − a) = a a+ 1
c)
3 y + y− 7 7− y
5.( a + 1) − 2a 5a + 5 − 2a 3a + 5 = = 2 ( a+ ) ( ) a . 1 a . a + 1 a + a
pro a ≠ 0; a ≠ − 1
společ . jmenovatel
5 2 5.( a + 1) − 2 5a + 5 − 2 5a + 3 − = = = 2 5 2 − 2 b) = a a.( a + 1) ( a+ ) ( ) a . 1 a . a + 1 a + a a a + a společ . jmenovatel
pro
a ≠ 0; a ≠ − 1
c)
d)
e)
3 y 3 y − = + = y− 7 y− 7 y− 7 7− y
3− y y− 7
platí pro y ≠ 7
společ . jmenovatel
3 r − 3 3.2r + ( r − 3) 6r + r − 3 7 r − 3 + = = = 2 4r 4r 4r 4r
platí pro r ≠ 0
x+ 1 x− 1 ( x + 1).2 + ( x − 1).( 2 − x ) = x+ 1 x− 1 + = + = 2 2.( 2 + x ).( 2 − x ) 2 x + 4 ( 2 + x ).( 2 − x ) 2.( x + 2 ) 4− x 2 2 2x + 2 + 2x − x − 2 + x 5x − x = = platí pro x ≠ ± 2 2( 2 + x )( 2 − x ) 2. 4 − x 2
(
)
Při sčítání a odčítání lomených výrazů se uplatňuje společný násobek jmenovatelů jako při sčítání číselných zlomků. U výrazů je zvlášť důležité, aby to byl vhodný společný násobek, jinak snadno úlohu zkomplikujeme . Jednotlivé činitele násobku získáme rozkladem výrazů. Například :
Určete vhodný společný násobek výrazů : a) A = 3a – 6 , B = 5a – 10 b) A = u2 – v2 , B = u2 + 2uv + v2 c) A = 2x2 – 6x + 4 , B = 12x2 – 12 Řešení :
a) A = 3a – 6 = 3.( a – 2 ) B = 5a – 10 = 5.( a – 2 ) n ( A , B ) = 3.5.( a – 2 ) b) A = u2 – v2 = ( u + v ) . ( u – v ) B = u2 + 2uv + v2 = ( u + v ) 2 n (A, B ) =( u + v)2 . ( u – v) 0 2 32 + 2 ) = c) A = 2x – 6x + 4 = 2.( x – 3x + 2 ) = 2( x – 3x + 3 − 22 22 2 2 3 3 1 3 1 1 = 2 x − − = 2 x − + x − − = 2 2 2 2 2 2 = 2 ( x – 1 ). ( x – 2 ) 2
2
2
B = 12x2 – 12 = 12. ( x2 – 1 ) = 12. ( x + 1) . ( x – 1 ) = = 22 . 3 . ( x + 1 ) . ( x – 1 ) n ( A , B ) = 22 . 3 . ( x + 1 ) . ( x – 1 ) . ( x – 2 ) Příklad :
Určete vhodný společný násobek výrazů : A = x2y – xy2 = xy . ( x – y ) B = x2 – y2 = ( x + y ) . ( x – y ) n ( A , B ) = xy.(x + y).(x – y)
x2y – xy2
; x2 – y2
Násobení a dělení lomených výrazů Zlomky
Lomené výrazy
Zlomky násobíme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem : a c ac . = , b≠0 , d≠0 b d bd
Lomené výrazy násobíme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem : A C AC . = , B≠0 , D≠0 B D BD
Zlomky dělíme tak, že násobíme zlomkem převráceným :
Lomené výrazy dělíme tak, že násobíme výrazem převráceným :
a c a d : = . b d b c
A C A D : = . B D B C
, b≠0 ,c≠0 ,d≠0
, B ≠ 0 ,C ≠ 0 , D ≠ 0
Lomené výrazy před násobením nejprve krátíme, pokud je to možné . Krátit můžeme kteréhokoli čitatele proti kterémukoli jmenovateli . Při dělení výrazů provádíme krácení až po převodu na násobení. Proto se výrazy v čitatelích a ve jmenovatelích před krácením rozkládají . Při násobení lomeného výrazu mnohočlenem ( nelomeným výrazem ) postupujeme tak, že tímto mnohočlenem násobíme pouze čitatele lomeného výrazu. Příklady :
►
►
►
4u 2u 4u.2u 8u 2 . = = ( u + v ).v uv + v 2 u+ v v
pro
u≠ −v , v≠ 0
a− 4 a− 4 5 a− 4 1 a− 4 .5 = . = . = 10 10 1 2 1 2 10a 2 b 2 10a 2 b 2 .( 5 x + 5 y ) 10a 2 b 2 .5( x + y ) . ( 5x + 5y ) = = = x+ y x+ y x+ y 10a 2 b 2 .5 = = 50a 2 b 2 1 a− 3 a− 3 a.( a − 3) a 2 − 3a = a . = = 3b 3b 9b 2 3b
►
3ab .
pro b ≠ 0
►
3.5a.a 4.b.b 5a b 5ab 15a 2 9a 15a 2 4b 2 . . = = = : 2 = . 2.4.b 3.3.a 2 3 6 8b 4b 8b 9a
►
x 2 + x x + 1 x.( x + 1) xy x x x2 . : = = . = 2y x+ 1 2y xy 2 1 2
►
4ab 2 6b 3 4ab 2 6bc a 3 c 3 4.6.a.b 3 a 3 c 3 4.a.a 3 .c 3 . 3 = .6bc : 3 3 = . . 3 = = 4a 4 c 3 1 6b 1 1 6b c a c c
►
a2 a b 2 − a 2 b − a ( b + a ).( b − a ) b b+ a 1 − 2 : 1 − = : = . = 2 2 b b b− a b b b b
Složené lomené výrazy Složeným zlomkem rozumíme zlomek, jehož čitatel nebo jmenovatel je zlomek; složený zlomek je jiný zápis podílu dvou zlomků :
a b = c d
Složený zlomek :
A B = C D
Složený lomený výraz :
Ze zlomkových čar, které jsou v zápisu složeného zlomku nebo složeného lomeného výrazu, vyjadřuje hlavní zlomková čára , který z výrazů je čitatel a který jmenovatel. Hlavní zlomková čára se píše delší než ostatní zlomkové čáry a vždy ve stejné úrovni jako znaménko rovnosti. Jak složený lomený výraz zjednodušíme ?
a) Provedeme dělení naznačené hlavní zlomkovou čarou :
A B = A : C = A . D = AD C B D B C BC D
b) Součin vnějších členů lomíme součinem vnitřních členů :
A B = A.D C B.C D
Příklady :
Zjednodušte složené výrazy : 9a 9a.4b 2 3.4b 12b 5b a) = ; = = 2 3a 5.a 5a 5b.3a 2 4b 2
b)
5a 2b 3c
5a 5a.1 5a = = 2b = 3c 2b.3c 6bc 1
c)
5a 2b 3c
5a 5a.3c 15ac 1 = = = 2b 2b.1 2b 3c
d)
1+ x y 2 x −1 y2
=
(1 + x ) . y 2
(
)
y. x − 1 2
=
a≠0 , b≠0
;
b≠0 , c≠0
;
b≠0 , c≠0
(1 + x ) . y 2 = y.( x + 1).( x − 1)
y x− 1
;
x ≠ ±1 , y ≠ 0
x 2 − 9 ( x + 3).( x − 3) ( x + 3).( x − 3).1 = x − 3 x = x = = x+ 3 x+ 3 x.( x + 3) x 1 x ≠ − 3 pro x ≠ 0 ,
e)
9 x− x x+ 3
f)
1 − a 1 − a2
b− a 2 2 ab a.b = ( b − a ).( ab ) = ( b − a ).( ab ) = = 2 2 2 2 ab.( b + a ).( b − a ) b + a b − a ab. b − a a 2 .b 2
1 b 1 b2
(
)
pro a ≠ 0 , b ≠ 0 , a ≠ ± b Příklady k procvičení .
►
( s − t ) : 1 −
►
( x + y ) 2 .( x − y ) 2 2
s
1 = t
x − y
[ − st ] , s ≠ 0, t ≠ 0, s ≠ t [ x + y]
=
,x≠±y
►
2 3 x = + 1 . 2 x x −9
x x − 3 , x ≠ 0 , x ≠ ± 3
►
1 9x 2 − 1 = 3+ : x x2
1 x 3x − 1 , x ≠ 0, x ≠ ± 3
►
1− x 1 1+ : = x x
►
p2q− 3 s−1 . 2 ( pq ) 3 r
[1] , x≠0 :
r s
2
−1
=
[p
−1
q−6s−3
]
; p, q, r, s ≠ 0
