logicismus a moderní logika

logicismus a moderní l o g i k a Vojtěch K O L M A N

Reviewing the beginnings and the further development of logicistic idea I am mainly focusing on the tradition of Frege and Russell, 1. e. the tradition which was in the closest relationship with the enterprise of modern logic. I am trying to assess its connections to other „logistic" programs such as Dedekmd's structuralism or Peano's axiomatism, to underline its specific features and the share in the success of modern logical semantics, including both its substantial contribution and limitations. 1

S t e wa r t S h a p i r o v e s v é knize o logikách vyšších řádů přehledně schematizoval dějiny vzniku moderní l ogi ky, k d y ž v ní rozlišil čtyři tradice, z nichž vzešla, a to (1) algebraickou, založenou Boolem, rozvinutou D e Morganem a Jevonsem, v e s v é m zenitu p a k spjatou s e j m é n y Peirce a Schrôdera, (2) axiomatickou, která - s kořeny sahajícími až k Euklidovi - b y l a znovuoživena Dedekindem a Peanem, a b y s e posléze v Hilbertových rukou stala samostat­ n ý m programem, dále (3) tradici logicistickou, redukující matematiku na logiku, tradici Frega a Russella, k níž možná patří i ranný Wittgenstein, 2 a konečně (4) teorii množin, o d počátku usilující o to stát s e ontologickou b á z í ce lé matematiky. K tomuto rozlišení j e o v š e m třeba připojit rozličná addenda, která zatím j e n letmo načrtnuté hranice zjemní. Začněme p r vn í z tradic, t j . algebraickou školou. T a j a k o j e d i n á a nejstarší nebyla reakcí na krizi matematických základů, ale vznikla j a k o rozvinutí Leibnizem anticipované analogie „zákonů m y š l e n í " a „zákonů počítání", 3 ústící v konstrukci kalkulů, počtů, které apli­ k o v á n y na určité f o r m u l e matematického či nematematického diskurzu dovolí tyto p o vzoru aritmetických algoritmů transformovat na v ě t y j i n é a slouží tedy j a k o nástroj mechanického v y v o z o v á n í úsudků. Důraz na symbolic ké metody, tedy vě d o mí v ý z n a m u f u n k č n í notace, sdílí algebraici s ostatními tradicemi, s v ý j i m k o u teorie množin, j e j í ž zakladatel choval vůči „znakové řeči logic­ kého k a l k u l u " značný despekt. 4 1

V i z Shapiro (1991), s 175.

2

V i z třeba §6.2, Wittgenstein (1921)

3

Srv. Boole (1854), kap. I, §10.

4

V i z Grattan-Guinness (2000), s 175

ORGANON F 11 (2004), No 3, 243-271 Copyright © Filozofický ústav SAV, Bratislava

244

Vojtěch KOLMAN

Rozlišit j e z d e o v š e m nutno d v ě části s y m b o l i c k é h o projektu, (i) expre­ sivní, u s i l u j í c í o sémanticky p l o d n é zachycení o b s a h u u va žo va n ý ch vět, pri­ márně v ě t matematiky, a (ii) deduktivně-algoritmickou, soustředící s e na „ e f e k t i v n í " ' ř e š e n í úloh j i s t é h o typu. O b ě z nich b y l y n a z ý v á n y l o g i c k ý m i , a j a k tradice b o o l o v s k á , r o z v í j e j í c í druhou, t a k peanovská, r o z v í j e j í c í první, tíhly o b č a s k plánům, n a j e j i c h ž konci s e m ě l a matematika ukázat j a k o pouhá část l o g i k y . 5 J a k a l e F r e g e při srovnání vlastního logicistického plánu s v ý š e u ve d e ­ nými poukázal, o l o g i c e - přinejmenším v moderním s m y s l u s l o v a - l z e ho­ vořit a ž tam, k d e j s o u v součinnosti o b ě s l o ž k y , 6 a nepřítomnost explicitních ínferenčních p r a v i d e l v příspěvcích Peana a Dedekinda na straně j e d n é , a mělk o s t sémantické a n a l ý z y algebraiků, tradičně nerozlišujících např. mezi subs u m p c í ( 2j e prvočíslo ) a podřazením (prvočísla j s o u lichá), n a straně druhé, p ro blematiz uje j e j i c h „ l o g i c k é " p r o g r a m y , aniž b y tím s a m o z ř e j m ě d o š l o k e znehodnocení nesporných - a leckdy ekvivalentních - l o g i c k ý c h v ý s l e d k ů napříč tradicemi, např. souběžného o b j e v u k v a n t i f i k a c e F r e g e m ( 18 7 9 ) , Peircem ( 1 8 8 3 ) a P e a n e m (1888). V následujících odstavcích b y c h s e chtěl stručně z a m y s l e t nad tím, (i) j a k á b y l a v ý c h o d i s k a a s p e c i f i k a logicistické tradice ražené F r e g e m a R u s s e l l e m , tedy proudu, k t e r ý b y l v n e j u ž š í m vztahu s o b j e v e m moderní v ý r o k o v é a pre­ d i k á t o v é l o g i k y , (ii) v č e m s o u v i s e l s „ l o g i c k ý m i " p l á n y ostatních tradic a (iii) j a k v e l k ý b y l j e h o podíl na utváření moderní l o g i c k é sémantiky, t j . v č e m k n í z á s a d n ě přispěl a v č e m s e u k á z a l y b ý t j e h o limity.

Leibniz L e i b n i z o v a p o v ě s t p r v n í h o představitele l o g i c i s m u j e stejně j a k o u j e h o al­ g e b r a i c k ý c h n á s l e d o v n í k ů z v ě t š í části založena na důvěře, kterou v k l á d a l d o s y m b o l i c k ý c h metod, j e ž j a k o j e d e n z p r v n í c h p ř e s v ě d č i v ě h á j i l v ů č i karteziánské tradici „jasného a zřetelného" c o b y subjektivního, psychologic­ k é h o kritéria p r a v d y a správnosti úsudku. K e k a ž d é p r a v d ě m u s í p o d l e L e i b nize e x i s t o v a t o b j e k t i v n í d ů v o d , p ro č j e p r a v d i v á , a tímto d ů v o d e m , tvrdí, 5

V i z Dedekindův úvod k eseji Dedekind (1888) a mutatis mutandis Schroderův článek Schroder (1898), s. 149, ovlivněný nejspíš právě Dedekmdem. Pro podrobnosti srv. Grattan-Guinness (2000), s. 249. V i z také Jevonsovo: „Tvrdím, že algebra j e jen vysoce rozvinutá logika a číslo j e n logické rozlišení." In Jevons (1879), s. 156 6

„Leibnizovskými výrazy můžeme říci: Boolova logika j e calculus ratiocinator, ale žádná lingua characterica, peanovská matematická logika j e především lingua characterica, a mimoto také calculus ratiocinator, zatímco mé pojmové písmo by mělo být rovnocenným spojením obou V i z Frege (1897), s. 371.

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

245

b u d e nakonec - p o řadě syntaktických transformací - l o g i c k ý princip identity, t j . identity predikátu s j e d n í m z e z n a k ů s u b j e k t u (grošák, t j . strakatý k ů ň j e kůň). Hlásí-li s e F r e g e v Begriffsschrift1 a p o s l é z e v Grundlagen k Leibniz o v i p r á v e m j a k o k e s v é m u předchůdci, k t e r ý „rozpoznal přednosti vhodného z p ů s o b u n o t a c e " 9 a který a n a l o g i c k y tvrdil, ž e u p r a v d matematikyj e m o ž n é j e j i c h p ř e v e d e n í na l o g i c k é p r a v d y , 1 0 činil tak v ž d y s v ý h r a d o u toho, ž e L e i b n i z ů v p l á n b y l příliš fantastický a nepodložený ž á d n ý m z d a ř i l ý m n á vr ­ h e m f u n k č n í h o kalkulu, a b y m o h l b ý t p o v a ž o v á n z a něco v í c nežli j e n inspiraci, č e h o ž názorným d o k l a d e m j e p r á v ě L e i b n i z ů v o b č a s n ý s k l o n p o v a ž o v a t v š e c h n y - nejen nutné - p r a v d y z a dokazatelné z identit. 1 1 F r e g o v a p o d o b a logicismu j e v y j á d ř e n a tvrzením, ž e (základní) v ě t y arit­ m e t i k y j s o u analytické. 1 2 V š e t e d y z á v i s í na v y m e z e n í analytického. Kant, o d něhož rozdělení v ě t na analytické a syntetické pochází, d e f i n o v a l a n a l y t i c k ý s o u d j a k o ten, j e h o ž predikát j e o b s a ž e n v subjektu, t e d y j a k o L e i b n i z o v u l o g i c k o u identitu (resp. zákon sporu). Narozdíl o d Leibnize, p r o n ě j ž nutné p r a v d y , p r a v d y z rozumu, p r a v d y předzkušenostní - apriori - s p r a v d a m i analytickými s p l ý v a j í , a platí t e d y r o v n i c e analytické = apriori, v š a k K a n t odmítl v y č e r p a t v š e c h n y nutné p r a v d y p r a v d a m i l o g i k y a v e d l e analytického apriori rozlišil i apriori syntetické, z a j e h o ž t y p i c k ý a nezpo­ chybnitelný příklad p o v a ž o v a l p r á v ě v ě t y matematiky. J a k o j e d e n z c í l ů s v é h o logicko-matematického d í l a si F r e g e z v o l i l v y v r á c e n í této K a n t o v y klasifikace. J e otázka, z d a takto f o r m u l o v á n j e tento p r o b l é m dnes j e š t ě hoden n ě j a k é v á ž n ě j š í námahy, tj. zda z n ě ho p l y n e n ě j a k ý o b e c n ě - f i l o s o f i c k ý užitek, a v š e s e nez vrhá s p í š e j e n v e hru s o b s a h e m termínů „ l o g i c k ý " , „analytický", „apriori" apod. - Jedinou a n e j s o f i s t i k o v a n ě j š í l o g i k o u K a n t o v y d o b y b y l a syl ogistika, k mat e m a t i c k ý m d ů k a z ů m zcela nevhodná, a připočteme-li k t o m u historický fakt, ž e ani n e j v ě t š í l o g i k p o Aristotelovi - L e i b n i z - nedo­ k á zal p ř e s četné ve rb á ln í p r o k l a m a c e r e f o r m o v a t s t á v a j í c í f o r m a l i s m u s tak, a b y b y l na matematiku aplikovatelný, l z e předpoklad syntetičnosti matema­ 7

Frege (1879).

8

Frege (1884).

9

Frege (1879), s. V

10

Resp že j e možné převést všechny nutné pravdy na identity. V i z Frege (1884), §15

11

Leibniz (1960), s. 204 Dále viz citát in Frege (1884).

12

Frege (1884), §4.

246

Vojtěch KOLMAN

t i k y p o v a ž o v a t z a dostatečně ospravedlněný. S F r e g o v ý m o b j e v e m nového, neskonale silnějšího aparátu, s e situace pochopitelně změnila, a v š e b y mohlo končit š ť a s t n ý m porozuměním v e stylu závěrečných s l o v Grundlagen: „Kant z j e v n ě podcenil hodnotu analytických soudů - b e z p o c h y b y v d ů s l e d k u příliš ú z k é h o určení tohoto p o j m u , ačkoli s e zdá, ž e m u tanul n a m y s l i z d e použí­ vaný širší pojem."13 K pochopení toho, ž e s e z a F r e g o v o u l o g i c k o u r e d u k c í s k r ý v á v í c nežli p o u h á redefinice analytického - totiž d é l e n e ž sto let t r v a j í c í z á p a s o nepsychologickou sémantiku - n á m p o s l o u ž í p r á v ě j e h o zařazení d o kontextu c í l ů a v ý k o n ů ostatních tradic, j a k to v e s v é k n i z e o sémantické tradici důvtipně načrtl A l b e r t o C o f f a . 1 4

Čistý názor Podstatné p r o pochopení K a n t o v y f i l o s o f i e j e , ž e v j e j í m z á k l a d ě n e s t o j í ani t a k n o v o v ě k é (Leibnizovo) rozlišení nutných p r a v d r o z u m u oproti kontin­ gentním p r a v d á m e m p i r i c k ý m , 1 5 n ý b r ž mnohem starší rozdíl (1) názorného, konstruktivního oproti (2) čistě p o j m o v é m u , diskurzivnímu. V antice tento rozdíl přibližně z a c h y c o v a l y d v a d ů k a z o v é t y p y , totiž ( ľ ) epagoge, terminologický předchůdce dnešní indukce ( d o s l o va předvedení), s p o č í v a j í c í v názorné demonstraci, j a k j i z n á m e z T h á l é t o v y metody d ů k a z u p ř e k r ý v á n í m obrazců či v ý u k y otroka v Platónově Menónovi, a (2') apagoge, dnešní dedukce, d ř í v e u ž í v a n á v e v ý z n a m u nepřímého - a tedy nenázorného důkazu. N e b y l o t o m u v š a k tak, ž e b y p r v n í b y l v ý h r a d n í d o m é n o u matema­ tiky, zatímco d r u h ý l o g i k y - o b j e v nesouměřitelnosti b y l např. znám j a k v e s v é p o d o b ě e p a g o g i c k é (na pentagramu), t a k v a p a g o g i c k é variantě (nechť l z e úhlopříčku j e d n o t k o v é h o č t v e r c e v y j á d ř i t p o m ě r e m d v o u nesoudělných celých čísel), 1 6 z čehož l z e p ř e d e v š í m seznat, ž e d á v n o p ř e d Aristotelem e x i s ­ tovala na l o g i c e n e z á v i s l á p r a x e matematického - neschematického - důkazu. Schematické u s u z o v á n í n e b y l o t a k é p ů v o d n ě nástrojem matematiků, a l e s o fis tů, kteří l o g i c k ý c h p r a v i d e l v y u ž í v a l i k v y v o z o v á n í z á v ě r ů ne s m y s l -

13

Frege (1884), §88

14

V i z Coffa (1991)

15 U Leibmze jsou to véntés de raiwnnement a matters of fact

contra vérités de fait, u Huma relations oj ideas

16 K rozboru antického užití termínu „apagoge" a „epagoge" a je ho porovnání s moderními metodami indukce, dedukce a přímého či nepřímého důkazu srv Fritz (1971).

-i

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

247

n ý c h 1 7 či n ě j a k odporujících b ě ž n é zkušenosti (typickými b y l y argumenty eleatské š k o l y , např. X e n o f a n ů v „ d ů k a z " věčnosti boha, Parmenidem zobec­ něný v proslulý arg um e n t p r o neexistenci změn.) Již tehdy b y l tedy anticipo­ ván B r o u w e r e m e x p o n o v a n ý k o n f l i k t mezi matematikou j a k o ž t o činností per se, ž i j í c í p ř e d e v š í m z konstrukcí, a logikou, o p e r u j í c í v ý h r a d n ě na úrovni p o j m ů , b e z j a k é h o k o l i v z t a hu k e zkušenosti. V s í l e důrazu, který na tento rozdíl kladl, j e B r o u w e r K a n t o v ý m dědicem. Kant, j a k známo, rozdělil o b j e k t i v n í reprezentace n a pojem a názor, s ro­ zumem resp. smysly j a k o ž t o j e j i c h zdroji. J a k j s m e j i ž řekli, narozdíl o d L e i b nize v š a k nenechal p r a v d y ro z um u, p r a v d y nutné vyčerpat těmi, které s e za­ kládaly na logice, konkrétně n a principu identity (pojmů), j e n ž nazval princi­ pem analytických soudů, o d nichž p a k odlišil n a l o g i k u neredukovatelné v ě t y matematiky, k t e r é s e tak v e d l e toho, ž e j s o u nutné (apriori), automaticky staly syntetickými. K z á s a d n í m u obratu, u p o z o r ň u j e C o f f a , 1 8 a l e d o š l o a ž v d a l š í f á z i , totiž v hledání a k o n e č n é m nalezení jednotícího principu syntetických

soudů.

U empirických soudů, o n ě ž resp. o p o d m í n k y j e j i c h ž možnosti š l o Kan­ tovi p ř e d e v š í m , n e j p r v e o s v í c e n ě usoudil, ž e m o h o u vzniknout a ž s p o j e n í m o b o u typů reprezentací - t e d y p o j m u a n á z o ru. 1 9 T í m překonal j a k radikální empirismus, j e n ž c h c e v š e p o j m o v é o d v o d i t z konkrétní zkušenosti, tak racio­ nalismus, p o s t u p u j í c í o p a č n ý m směrem. P o t é v š a k přikročil k následujícímu zobecnění: jsou-li analytické s o u d y založeny na p o u h é m srovnání - a n a l ý z e p o j m ů v s o u l a d u s principem identity (princip analytických soudů), m u s í u s o u d ů syntetických přistoupit k p o j m u (subjektu) j e š t ě něco j i n é h o (X), n a č e m s e ukáže, ž e predikát, a č v s u b j e k t u neobsažen, p ř e c e m u náleží. 2 0 T u t o tezi prohlásil K a n t z a onen k ý ž e n ý „ n e j v y š š í princip syntetických s o u d ů " s tím, ž e úlohu n e z n á m é X b u d e hrát názor. U s o u d ů empirických, t j . syntetic­ k ý c h aposteriori, n e v z n i k l problém, b y l y tu v š a k p r á v ě „ o b j e v e n é " s o u d y syntetické apriori, u nichž j e vyloučeno, a b y o n o bezpodmínečné X b y l o empirické p o v a h y . - J a k o ře še n í této p o d i v n é r o v n i c e Kant postuloval tzv.

čistý názor (reine Anschauung, pure intuition).

17

Třeba: Tento pes j e můj. Tento pes j e otec. Ergo. Tento pes j e můj otec ; Cos neztratil, máš. Neztratils rohy. Ergo: Máš rohy. 18

Coffa (1991), s 17-19

19

Kant (1992), A50/B74

20

Kant (1992), A8.

248

Vojtěch KOLMAN

Formální a materiální pojmové pravdy V y v r á c e n í toho, ž e něco j a k o čistý názor, intuice h r a j e a hrála k d y v e v ě d ě v ů b e c n ě j a k o u roli, b y l o p o d l e C o f f y o d počátku v í c e či m é n ě zřetelným c í l e m tzv. sémantické tradice a tím i v š e c h j m e n o v a n ý c h proudů, které s e po­ dílely na v z n i k u moderní l o g i k y . C h y b a , které s e v j e j í c h očích Kant dopustil, s p o č í v a l a v tom, ž e z a p o j m o v é (analytické) pravdy, p r a v d y z e znalosti (analýzy) p o j m ů , p o v a ž o v a l j e n v ě t y s t a v ě j í c í na znalosti několika m á l o p o j m ů logických, j a k o j e např. s p o j k a „ a " v e v ě t ě je-li něco strakaté a je-li t o kůň, p a k j e to strakaté, a z b y t e k založil na intuici. Je-li a l e j e d n o u stránkou log i cký c h p r a v d to, ž e s e o p í r a j í o l o g i c k é p o j m y , ptá s e v ý m l u v n ě C o f f a , není druhou, komplementární a v o t á z c e čistě p o j m o v ý c h p r a v d tou relevantnější, ž e obsah p o j m ů dalších a vlastně j e j i c h většiny (kůň, strakatý, ...) - i g n o r u j í ? Nevyloučil Kant mož­ nost, ž e b y i ostatní nutné p r a v d y m o h l y b ý t p r a v d y p o j m o v é , b y ť n e za l o že né na l o g i c k ý c h pravidlech a definicích, n ý b r ž na o n o m v e l k é m zůstatku p o j m o ­ v ý c h z d r o j ů , a ž příliš r y c h l e ? U v a ž m e m o t i v a č n í příklad: P r a v d i v o s t věty všichni g r o š á c i j s o u strakatí j e založena p o u z e na definici xj e g r o š á k i f f x j e strakatý a xj e kůň, tj. není d ů v o d j i empiricky v e r i f i k o v a t , vlastně ani znát obsah užitých v ý r a z ů (strakatý, kůň) - j e p o u h ý m d ů s l e d k e m j a z y k o v é konvence, notační zkratky. Oproti tomu věta lvi neštěkají, ale řvou není d ů s l e d k e m z cela l i b o v o l n é j a z y k o v é konvence, zkušeností j i v š a k j e d n o ­ d u š e také f a l s i f i k o v a t nelze - ř e v určitého l v a s e v mnoha případech m ů ž e štěkotu určitého p s a p o d o b a t více, nežli ř v u j i n ý c h lvů, přesto tvrzení v ě t y : tento l e v neřve, a l e štěká n e d á v á s p í š e d o b r ý s m y s l , n e ž a b y b y l o hned nepravdivé. D ů v o d e m pravdi­ vosti t a k o v ý c h t o větj e totiž norma, p ra v i dlo užití j i s t ý c h (empiricky z a v e d e ­ ných) p o j m ů , k t e r é s e - narozdíl o d p ro st é d e f i n i c e - n e j p r v e n ě j a k o s v ě d č i l o v (napasovalo na) praxi j a z y k o v é h o z v l á d á n í světa, kterou lze s a m o z ř e j m ě p o d l e potřeb změnit.

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

249

V y b í z í s e n y n í o b a t y p y p o j m o v ý c h v ě t terminologicky odlišit; následu­ j í c e Lorenzena n a z ý v e j m e p r v n í z nich analytickou formálně, druhou ana­ lytickou materiálně,21 Z a l e p š í příklad druhé z nich n á m m o h l y posloužit např. v ě t y je-li Praha západně o d Pardubic, j s o u Pardubice v ý c h o d n ě o d Prahy, či

je-li tento m í č č e r v e n ý , n e m ů ž e b ý t zelený.

R o v n ě ž z d e b y působil a b s u r d n ě ten, k d o b y j e l tyto „skutečnosti" o v ě ř o v a t na trať Praha-Pardubice či n á v š t ě v o u obchodu s m a l í ř s k ý m i potřebami. K uchopení j e j i c h p ra v di v o st i v š a k nestačí p o u z e znalost p o j m ů l o g i c k ý c h či definic, vztahujících s e k j a z y k u , a l e pravidla užití (gramatika) těch p o j m ů , k t e r é slouží k společné orientaci v prostoru a k popisu toho, j a k v y p a d á . T o t o v š e s a m o z ř e j m ě n e s l o u ž í j a k o argument proti Kantovi, který b y m o h l snadno oponovat, ž e v e v š e c h v ý š e u v e d e n ý c h materiálních soudechj e n ě j a k á intuice skryta: podstatné b u d e ukázat, ž e tam, k d e K a n t v i d ě l intuici j a k o nezbytnou a nepochybnou, j i b y l o m o ž n é nahradit v h o d n ý m p o j m o v ý m rám­ c e m , z v l á š t ě k d y ž s a m a n e do k á z a la b ý t s p o l e h l i v ý m a j e d n o z n a č n ý m arbit­ r e m p r a v d y . Místem, k d e „čistý n á z o r " selhal z v l á š t ě markantně a k d e b y l a p o j m o v á strategie p o p r v é ú s p ě š n ě aplikována, b y l a matematická analýza.

Konceptualismus Kalkulus, j e d n a z n e j ú s p ě š n ě j š í c h matematických disciplín n o v é h o v ě k u , b y l p roduktem d v o u tradic - ostrovní, z a lo ž e n é Newtonem a protkané kinematic­ k ý m i p r v k y , a kontinentální, L e i b n i z o v y , v y u ž í v a j í c í p o j m u nekonečně ma­ lého a geometrických p ř í m ě r ů . 2 2 V d o b ě , k d y Kant o b j e v i l čistý názor č a s u a prostoru, na nichž j a k o na s k á l e m ě l a b ý t založena k o n t r a k c e aritmetických a geometrických předmětů, s e j i ž a l e z a č a l y o b j e v o v a t p r v n í p ř í z n a k y k r i z e totiž rozličné p a r a d o x y 2 3 - a t a k é p r v n í p o k u s y o reformu. T a k j a k o Ř e k o v é při p r v n í matematické krizi, totiž o b j e v u iracionalit, utekli o d aritmetiky 21

Lorenzen (1984), s. 61.: dále Stegmiiller (1968), s 292

~ Např. diferenciál, tedy to co dnes chápeme j a k o odhad přírůstku, definoval Newton j a k o samotný přírůstek proměnné veličiny v čase tak malém, j a k j e to jen možné; Leibnizův zápis integrálu íydx byl míněn doslovně j a k o suma (! = s) nekonečně malých obdélníků pod křivkou apod 23

Např v součtech nekonečných řad j a k o (1-1)+(1-1)+(1-1)-.. = 0 = l+(-l+l)+(-l + l)+

a s nekonečnem vůbec.

=1

250

Vojtěch KOLMAN

k e g e o m e t r i i , v y h l á s i l k o n c e m století L a g r a n g e p o s t u p z c e l a o p a č n ý - a l g e b r a i z a c i a n a l ý z y . V ú v o d u k j e h o Méclianique analitique také nacházíme 24 s l a v n o u v ě t u : „ V této k n i z e n e n a j d e t e ž á d n é o b r a z c e . " S k u t e č n ý k r o k v p ř e d na cestě k rigoróznímu kalkulu přineslo s sebou a ž dílo Bernarda Bolzana. T e n s e o d p o č á t k u n e t a j i l p o c h y b n o s t m i , z d a j e p o j e m „čistého n á z o r u " v ů b e c konzistentní, a b r z y z a s a d i l j e h o z a s t á n c ů m v a n a l ý z e t ě ž k o u ránu, k d y ž p o ­ psal spojitou funkci nederivovatelnou v žádném bodě. T í m nej podstatnějším a l e b y l o , ž e d ů k l a d n ý m i d e f i n i c e m i (limity, k o n v e r g e n c e , ...) d o k á z a l v y t v o ř i t dostatečně bohatý p o j m o v ý rámec p r o bezpečné o d v o z o v á n í teorémů, a to i 25 takovýchj a k oj e věta o mezihodnotě, kteréb y Kant považoval z a nedokaza­ telné - protože bezprostředně evidentní. V y t ě s n ě n í g e o m e t r i e p r o s t ř e d k y v y s o c e r o z v i n u t é a r i t m e t i k y , na n ě m ž s e

*

p o s t u p n ě p o d í l e l i C a u c h y , W e i e r s t r a s s , D e d e k i n d a Cantor, m ě l o z h l e d i s k a proti-intuicionistické k o n c e p c e a n a l ý z y j e d e n n e d o s t a t e k - a t í m b y l a a r i t m e ­ t i k a s a m a . Z b ý v a l o u k á z a t , ž e ani o n a n e p o t ř e b u j e j i n o u nežli p o j m o v o u o p o r u . V této C o f f o u n a v r ž e n é p e r s p e k t i v ě s e n y n í p o s t a v a Gottloba F r e g a , a s n í i c e l á l o g i c i s t i c k á tradice, u k a z u j e b ý t p ř e d e v š í m d a l š í m , i k d y ž z d a l e k a n e p o s l e d n í m k r o k e m na c e s t ě k e konceptualizaci

m a t e m a t i k y , či j e š t ě

obecněji - na cestě k nepsychologistické sémantice.26

Pojmové písmo A č k o l i K a n t o v a p ř e d s t a v a o ú l o z e p r o s t o r o v é intuice v d ů k a z u g e o m e t r i c k ý c h v ě t (Euklidovské geometrie) b ý v á tu a tam akceptována j e š t ě v dnešní době, n e l z e t o t é ž říci o j e h o n á z o r e c h na p o s t a v e n í č a s u v aritmetice. V m a t e m a t i c e b y l o d á v n o před Kantem z v y k e m hovořit o algebraických metodách j a k o analytických (Descartova analytická geometrie), zatímco metody geometrické b y l y označovány j a k o syntetické. B y l tu v š a k stále v l i v britské (kinematické) tradice, o d n í ž s e K a n t k a l k u l u naučil, a m y š l e n k a p o s l o u p n o s t i p ř i r o z e n ý c h

^

čísel j a k o ž t o konstrukce v čase. J e tedy z v l á š t ě v ý m l u v n é - a potvrzující námi sledovaný v ý k l a d - , nalézáme-li h n e d v ú v o d u F r e g o v y Begriffsschrift problém logické charakterizace p o j m u (obecné) posloupnosti v řadě j a k o ž t o prubířský kámen a vlastní d ů v o d konstrukce n o v é logiky, zahrnující plně kalkulizovaný systém predikátové 24

Viz Grattan-Guinness (2000), s. 16.

25

Ta říká, že je-li funkce / spojitá na intervalu [a, b], a f(a) a f(b) mají opačná znaménka, pak existuje c z [a, b] takové, žefic) = 0. V i z Bolzano (1817)

26

Coffovo líčení vývoje moderní sémantiky má ovšem také svoje limity, jimž se však budeme věnovat až v nějakém dalším příspěvku

•4

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

251

logiky prvního řádu a fragment logiky řádů vyšších. (Proti)kantovský p ů v o d F r e g o v y motivacej e zřejmý: „Když j s e m si tedy položil otázku, k e kterému z těchto [tj. analytických či syntetických] d v o u druhů aritmetické soudy patří, musel j s e m n e j p r v e zkusit, j a k daleko s e v aritmetice l z e dostat pomocí úsud­ k ů samých, p o u z e s oporou v zákonech myšlení, j e ž j s o u nadřazeny v š e m u ojedinělému. Postupoval j s e m tak, ž e j s e m s e n e j p r v e pokusil odvodit p o j e m uspořádání v řadě logickou cestou, abych odtud mohl pokračovat k p o j m u čísla. A b y s e při tom nemohlo nepozorovaně vetřít nic z názoru, záleželo v š e 27 nutně na spojitosti úsudkového řetězce." Konkrétní problém, který z d e Frege líčí, v y p a d á takto: Máme-li nějakou dvojmístnou relaci R, d e j m e tomu relaci genetického rodiče, lze na předměty, které pořádá, nahlížet j a k o na objekty resp. v ý s l e d k y aplikace ( A n w e n d u n g ) dané relace, tj. věta ,JV j e rodičem M" p o p i s u j e N j a k o v ý s l e d e k aplikace relace „rodič" na M. U v a ž m e nyní relaci R*, v níž s t o j í d v a předměty x, y tehdy a j e n tehdy, k d y ž l z e o d y dospět k x konečnou iterací relace R na postupně „generované" m ezi výsl edky. T é s e někdy říká ancestral relace R, totiž podle j e d n é z instancí, v níž o d relace (genetického) „rodiče" dospíváme k obecné relaci „předka" (ancestor), n e b o ť člověk N s e n a z ý v á předkem člověka M, existuje-li konečná posloupnost lidí Xi, ..., xn (n > 2 ) taková, ž e k a ž d í d v a j e j í sousedící členové x „ x 1 + 1 j s o u spojeni aktem početí v e s m y s l u xxRxi+i, a platí, ž e xx = N, xn = M. Formulí to l z e zapsat j a k o :

3xu

Xn(XiRx2

A ... A X N - L R

Xn

A

X\ = N

A

Xn = M),

o v š e m s poznámkou, ž e tím N nebyl zachycen j a k o libovolný předek M, nýbrž j e n j a k o konkrétní pra m předek, t j . předek s konkrétním m (= n-2) počtem „pra". To, ž e j e „TV předkem M", nelze zachytit j e d n o u takovouto formulí, a l e v š e m i pro libovolné n, n e b o ť N j e očividně předkem M p r á v ě tehdy k d y ž (Nj e rodičem M) nebo (/Vj e rodičem rodiče M) nebo (Nj e rodičem rodiče rodiče M) nebo . . . . Fregova otázka - a tím i popisovaný problém - nyní zní: L z e pro danou relaci R definovat R* j e d i n o u logickou formulí? Prostředky moderní logiky, konkrétně Tarského teorie modelů (která j e m j . p r v n í m kvalitativním krokem, j e n ž l ogi ka učinila o d doby, k d y j i Frege založil), l z e dokázat, ž e to možné není, tedy omezíme-li s e na j e j í prvořádový 27

Frege (1879), s. IV

252

Vojtěch KOLMAN

fragment. T o o v š e m Fr ege neučinil, a definici podal s využitím logiky dru­ hého řádu, způsobem, kterým s e v ekvivalentní množinové terminologii defi­ n u j e tzv. minimální uzávěr. Neobyčejná síla Fregova aparátu s e tedy z j e v i l a zároveň s j e h o zrozením.

Ancestral Racionale druhořádové definice ancestrální relace není obtížné nahlédnout: Předek osoby M j e v souladu s v ý š e uvedeným rozpisem libovolný v ý s l e d e k aplikace relace „rodiče" na o s o b u M a o s o b y (předky) takto získané, j i n ý m i s l o v y : j e to p r v e k množiny, která (1) obsahuje všechny rodiče M, (2)j e uzav­ řena na relaci „rodiče", t j . s k a ž d ý m prvkem, který j í náleží, o b s a h u j e i j e h o rodiče a (3) j e nejmenší taková, t j . neobsahuje žádné p r v k y , které b y nebyly získány opakovanou aplikací relace „rodiče" na M. Pr ávě této množině s e říká minimální uzávěr - v tomto konkrétním případě minimální uzávěr množiny rodičů o s o b y M na relaci „rodiče". Obecně definujeme:

(a)

aR*b iff \/X((Vx(xRb —> Xx) A \/x,y{Xy A xRy —» Xx)) —> Xa).

Ačkolij e konečný v ý s l e d e k tentýž, Frege příslušnou legendu p o d á v á „intenzionálně" - t j . nehovoří o množinách, ale vlastnostech, které tyto množiny teprve indukují, a také místo termínu předchůdce (předek) používá inverzního termínu následníka (potomka). V ý s l e d n o u definici p a k f o r m u l u j e v e stylu: bj e následník a v 7?-řadě tehdy a j e n tehdy, k d y ž m á všechny dědičné vlastnosti X v R-íadě, které m a j í děti osoby a (přímí následníci a , t j . x taková, ž e aRx), přičemž vlastnost X j e dědičná v /?-řadě jestliže platí Vx,y(Xx A xRy

—» Xy). S d e f i n i c í ancestralu j a k o ž t o základním p o j m e m teorie ř a d j e Frege nyní schopen dokázat řadu rozličných „nedokazatelných", protože základních principů, j a k o j e např. matematická indukce. S á m na závěr Grundlagen u v á d í při rekapitulaci v ý s l e d k ů s v é h o analytického programu j a k o příklad takové „logicky neodvoditelné" věty, u níž s e zdál b ý t odkaz k intuici nezbytný, formuli 133 z Begriffsschrift: je-li R jednoznačná relace (tj. Vx,y,z(xRy A xRz —» y = z) a m, n následují v řadě R zdi a (tj. aR*m A aR*n), p a k platí mR*n nebo nR*m nebo m = n. V konkrétní aplikaci na přirozená čísla, která j e F r e g o v ý m cílem, stačí v y j í t (z j i n d e definovaných) relace bezprostředního číselného následníka S a nuly 0, přejít k relaci S* (obecného) číselného následníka, kterou lze zapiso­

253

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

vat také důvěrným

či

(x < y i f f xS*y v x — y), a odtud p a k p ř í m o

k definici přirozených čísel N : Nx iff 0 < x c o b y tzv. nevlastních následníků 0 v S-řadě (tj. následníků, kteří za h r n u jí 0 samotnou). Princip indukce, totiž

X(0) A Mx,y(Xx A xSy —> Xy) —> Vz(Nz —> Xz), j e p a k , j a k j i ž b y l o řečeno, s n a d n ý m d ů s l e d k e m d e f i n i c e ancestralu; a přísluš­ ná instance f o r m u l e 133 tvrdí, ž e j e řada přirozených čísel relací „ < " lineárně uspořádána, n e b o ť S p ř i ř a z u j e k a ž d é m u z čísel n e j v ý š e j e d n o . T y t o a m n o h é d a l š í d e f i n i c e (ancestral) a v ě t y (indukce) j s o u o b s a ž e n y ta ké v d í l e představitele d r u h é z tradic, Richarda Dedekinda, o v š e m b e z ono­ h o řádného - spojitého a tím i názoru prostého - p o j m o p i s n é h o rozvedení, j a k j e j F r e g e p r e z e n t u j e v e s v ý c h Grundgesetze der Arithmetik.~s T e p r v e tam s e z nich s t á v á aritmetický pendant B o l z a n o v y v ě t y o mezihodnotě, t j . eliminace č a s o v é h o názoru na m í s t o eliminace prostorového.

Pojmový obsah K interpretaci F r e g a j a k o ž t o představitele konceptualismu, tj. širšího hnutí oponujícího K a n t o v u „ n e j v y š š í m u principu syntetických s o u d ů " , nahrává j i ž samotný n á z e v j e h o p i o n ý r s k é h o spisu - Begrijfsschrift, pojmové písmo. O n ě m s e hned v j e h o ú v o d u d o z v í d á m e , ž e b y „mělo předně sloužit k tomu, a b y mohla b ý t platnost ú s u d k o v é h o řetězce přezkoumána tím n e j j i s t ě j š í m z p ů s o b e m a a b y k a ž d ý předpoklad, j e n ž s e c h c e nepozorovaně vetřít, m o h l b ý t předveden, a tím i p r o z k o u m á n c o d o s v é h o p ů v o d u . Proto j s e m t a k é rez ignoval n a v y j á d ř e n í v š e h o , c o nemá p r o s l e d ú s u d k ů ž á d n ý v ý z n a m . T o , na č e m mi j e d i n é záleží, j s e m v § 3 nazval p o j m o v ý m o b s a h e m . " J i ž p o d l e d ř í v e u v e d e n é h o m ě l o b ý t u m ě l é p í s m o prostředkem v y j á d ř e n í obsahu; ten j e v n ě m opatřen p ř í v l a s t k e m p o j m o v ý a v ě c n ě charakterizován j a k o to, c o h r a j e n ě j a k o u roli při usuzování, t j . j a k o inferenčně relevantní. Z obecně-logického hlediska t o m ů ž e m e chápat d v ě m a z p ů s o b y , totiž (i) ž e j e to (správná) inference, č e h o ž prostřednictvím j e p o j m o v ý obsah uchopen, identifikován a (ii) ž e j e to p o j m o v ý o b s a h , n a č e m s e zakládá (správná) inference. 28

Frege (1893).

~9 Frege (1879), s IV.

254

Vojtěch KOLMAN

V § 3 m á Frege, z d á se, na m y s l i p r v n í z možností, k d y ž totiž odmítá tradiční rozlišení s u b j e k t u a predikátu p r á v ě j a k o cosi inferenčně irelevantního: v ě t y R e k o v é zvítězili u P l a t a j í nad Peršany, P e r š a n é b y l i poraženi u P l a t a j í Ř e k y j s o u - předpokládá F r e g e - v rámci p r e m i s či z á v ě r u libovolného ú s u d k u zaměnitelné při z a c h o v á n í j e h o správnosti, p ře st o ž e s e j e j i c h s u b j e k t y resp. predikáty liší; z e stejných d ů v o d ů a l e m a j í tytéž p o j m o v é o bs a h y , j i n ý m i s l o v y : takto popsaná inferenční substituovatelnost v ě t j e kritériem identity p o j m o v ý c h obsahů, které v y j a d ř u j í . K a ž d ý , k d o četl Begriffsschrift j e n trochu pozorně, n e b o z n á n a n í založe­ n o u l o g i k u , o v š e m v í , ž e F r e g e m y š l e n k u inferenční artikulovatelnosti v ý z ­ n a m u v této radikální p o d o b ě nesledoval ani o k r o k z a u v e d e n ý citát r e s p . ž e v j e h o l o g i c e j s o u v ě t y (resp. v ý r a z y ) r o z l i š o v á n y j e n potud, liší-li s e v prav­ d i v o s t n í hodnotě (resp. extenzi), a j e m n ě j š í rozlišení (Fregův s m y s l ) s e uplat­ n í n a n e j v ý š v l o g i c k o - f i l o s o f i c k é propedeutice. V úsudcích, p r o n ě ž j e přenos p rav divosti n e j e n nutným, a l e i p o s t a č u j í c í m kritériem správnosti, j s o u v ě t y s t e j n é p r a v d i v o s t n í hodnoty s a m o z ř e j m ě intersubstituovatelné, nutno v š a k upozornit, ž e to p o k a ž d é n e j s o u ú s u d k y , o které b y F r e g o v i šlo, totiž ú s u d k y s p r á v n é l o g i c k y . Z e tří přechodů (1) Hannibal překročil A l p y / Brutus zabil C a e s a r a (2) Ř e k o v é zvítězili u P l a t a j í nad P e r š a n y / P e r š a n é b y l i poraženi u P l a t a j í Řeky (3) j e s t l i ž e K r o i s o s překročil řeku Halys, zničil v e l i k o u říši; K r o i s o s pře­ kročil ř e k u H a l y s / K r o i s o s zničil v e l i k o u říši j e v e v š e c h přenášena p ra v da , j e n p o s l e d n í d v a si z a s l o u ž í n á z e v ú s u d k u a p o u z e ten poslední n á z e v ú s u d k u logického. Z b ý v á v y j a s n i t na z á k l a d ě čeho, r e s p . j a k a z d a v ů b e c j e h o platnost s o u v i s í s p o j m o v ý m o bs a h e m . T í m s e d o s t á v á m e k d r u h é m u z p ů s o b u chápání vztahu inference a p o j m u .

Substituce J a k j i ž b y l o zmíněno, b y l to Bernard Bolzano, k d o j a k o p r v n í poukázal na to, ž e prominentní případ y čistě p o j m o v ý c h v ě t a úsudků, t e d y v ě t a ú s u d k ů l o gických, j s o u p r a v d i v é resp. platné na z á k l a d ě toho, ž e většinu p o j m ů igno­ r u j í . K l í č e m k t o m u m u b y l a r o v n ě ž substituovatelnost.

t

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

255

To, ž e j s o u vě ty p r a v d i v é či nepravdivé, u v a ž u j e v e s v é Wissenschaf30 tslehre, j e v logice předpokládáno a z hlediska j e j i c h logické platnosti či logických vztahů nezajímavé. (§147, s. 7 7 ) Totéž s e o v š e m nedá říci o tom, c o dělá s pravdivostí věty změna některých j e j í c h částí. Nenecháme-li j e j i c h v ý b ě r libovůli (s. 81), zjistíme v mnoha případech, ž e j e takováto věta obecně platná relativně k nahrazení částí i, j, ..., rozuměj: stejně j a k o ona j s o u p r a v d i v é i všechny věty v z n i k l é nahrazením částí i,j, ... libovolnými v ý r a z y téhož gramatického typu (s. 82). Podobně definoval Bolzano p o j e m odvoditelnosti (Ableitbarkeit) (§155, s. 114) a slučitelnosti ( V e r t r ä g l í c h k e i t ) vět (§154, s. 100) relativně k částem i,j, ..., tak, j a k to odpovídá moderní (Tarského) sémantice, založené na teorii modelů, s odpovídajícími p o j m y séman­ tického důsledku (vyplývání) a splnitelnosti. V ě t a (B) Kroisos zničil velikou říši j e tedy odvoditelná z v ě t (A—>B)

j e s t l i ž e Kroisos překročil řeku Halys, zničil velikou říši,

( A ) Kroisos překročil Hal ys n e j e n proto, ž e b y l ignorován p o j m o v ý obsah v ě t A a B , a l e proto, ž e b y l y tyto věty ignorovány úplně, t j . včetně j e j i c h skutečných pravdivostních hodnot. T o ostatně odpovídá tomu, co j e vtloukáno d o h l a v y v š e m adeptům studia l o g i k y v základních kurzech, totiž ž e j e to formální věda, která o d obsahu zcela odhlíží. J a k j e to tedy s F r e g o v ý m p o j m o v ý m p í s m e m a j e h o snahou o artikulaci obsahu - nejedná s e n ě j a k ý o m y l ? Nikoli, a d ů v o d y na­ hlédneme p r á v ě v tom, proč Bolzano přes s v o j i geniální anticipaci Tarského nemůže b ý t považován z a zakladatele moderní logiky. K tomu, ž e j e p o j e m obecné platnosti třeba relativizovat k určité f i x n í sadě výrazů, vedl Bolzana postřeh, ž e j i n a k b y něco j a k o obecná platnost věty v ů b e c nemohlo vzniknout, n e b o ť variací různých částí b y c h o m v ž d y mohli z libovolné věty p r a v d i v é získat nepravdivou a vice versa. T o má o v š e m s v o u druhou stranu, totiž otázku sp eci f i kace těch částí, j e j i c h ž gramatické t y p y b ý t nahrazeny ma j í, resp. těch, které ne. Bolzano si b y l vědom, ž e logické ú s u d k y j a k oj e náš v ý š e uvedený, j s o u platné nejen proto, ž e j i s t é obsahy n e c h á v a j í proměnnými, a l e i proto, ž e j i n é f i x u j í - totiž obsahy p o j m ů logických (§148, s. 8 4 ) j a k o j e např. výrokově-logická s p o j k a „jestliže-pak" v e v ý š e uvedeném úsudku. V l a s t n í v y m e z e n í l ogi ckých p o j m ů o v š e m nakonec vzdal, protože rozdíl mezi nimi a p o j m y j i n ý m i „není tak ostře ohraničen, a b y s e o tom j i ž 30

Používám Kambartelův výběr s odkazy na původní paginaci, tj knihu Bolzano (1963).

256

Vojtěch KOLMAN

nedal vésti s p o r . " (s. 8 4 ) N o v á l o g i k a - zahrnující stanovení p e v n é s a d y l o gických konstant a kategorizaci syntaxe, tedy t y p ů výrazů, které mohou b ý t variovány, t j . k j e j i c h ž o b s a h u s e nebude přihlížet - m u s e l a proto s e s v ý m zrodem počkat a ž na F r e g o v u Begriffsschrift.

Formální vs. pojmové B o l z a n o — p o d o b n ě j a k o Leibniz v e d e n s p í š e v ě d o s l o v n ý m i nežli reformními z á j m y - navrhl o v š e m o b e j í t relativizující p r v e k obecné platnosti s v o j í v e r z í d e f i n i c e analytické v ě t y j a k o takové, v níž „ e x i s t u j e alespoň jedna jediná p ředstava [část, obsah], kterou l z e libovolně variovat, aniž b y tím b y l a poru­ šena j e j í p r a v d i v o s t či n e p r a v d i v o s t . " T o na j e d n u stranu v y h o v u j e námi j i ž zmíněnému širšímu p o j e t í (materiální) analytičnosti, takto o b s á h n u v š í i v ě t y (a ú s u d k y ) j a k o

^

j e s t l i ž e Ř e k o v é zvítězili u P l a t a j í nad Peršany, p a k b y l i P e r š a n é u P l a t a j í poraženi Ř e k y je-li Praha z á p a d n ě o d Pardubic, j s o u Pardubice v ý c h o d n ě o d Prahy, p r o variabilní „ Ř e k o v é " , , p e r š a n é " resp. „Praha", „Pardubice"; na druhou stranu s e z d á b ý t a ž příliš široké, n e b o ť m u dostanou i „kontingentně" (empiricky) p r a v d i v é o b e c n é v ý r o k y j a k o má-li K v a k ž á b r y , n e u m í mluvit, zůstane-li p r o m ě n l i v ý j e n „ K v a k " . Možná, ž e z j i s t é h o úhlu pohledu l z e i ta­ k o v é t o v ě t y p o v a ž o v a t z a nutné ( v e vztahu k b i o l o g i c k ý m zákonistostem), s o t v a v š a k z a platné z p o u h é znalosti p o j m ů „ ž á b r y " a „mluvit". S v o j í d e f i n i c í s e tedy v k a ž d é m p ř í p a d ě „ č e s k ý L e i b n i z " nebezpečně přiblížil s v é m u němec­ k é m u vzoru, v ě d o m ě či n e v ě d o m ě stírajícímu rozdílu mezi p r a v d o u p o j m o v o u a p r a v d o u prostou. S t e j n ě j a k o Bolzano, v y u ž i l i F r e g e k z a v e d e n í s v ý c h nej plodnějších rozlišení a p o j m ů techniku substituce, a to hned několika z p ů s o b y . (1) P r v n í z nich j s m e j i ž krátce nahlédli, totiž j a k o ž t o d e f i n u j í c í p o j m o v ý o b s a h v ý r a z u via j e h o substituovatelnost při z a c h o v á n í (salva) určité p o d m í n k y , j m e n o v i t ě p o d m í n k y d o b r é h o úsudku. T u , j a k j s m e zmínili, v této konkrétní p o d o b ě F r e g e nakonec nezužitkoval, j e j í varianta salva veritate s e v š a k ( v explicitní p o d o b ě tzv. L e i b n i z o v a prinicipu) stala r e g u l a t i v e m j e h o obecně-holistického p r o jektu sémantické konstituce, j a k j s e m j e j j i ž podrobně popsal j i n d e . 3 1 31

Viz má kniha Koiraan (2002a), příp. článek Kolman (2002b).

^

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

257

(2) Druhý z p ů s o b o d p o v í d á B o l z a n o v ě koncepci „obecné platnosti" j a k o variovatelnosti některých částí v ě t y . F r e g e si r o v n ě ž uvědomil, ž e tzv. f o r m á l n í v ě d y netěží v e z d ů v o d n ě n í pravdivosti s v ý c h v ě t z p o u h é abstrakce, zamě­ nitelnosti obsahu, a l e i z toho, ž e určitý o b s a h p o n e c h á v a j í zachován, a v j i s t é m s m y s l u j e t e d y j e j i c h „formálnost" relativní: „Stejně j a k o m á geomet­ rie p o j e m b o d u , m á i l o g i k a s v é vlastní p o j m y a r e l a c e a ty t a ké tvoří j e j í obsah. V ů č i těmto s e n e c h o v á formálně. Žádná v ě d a není zce l a formální; a l e d o j i s t é m í r y j e i gravitační mechanika formální, p o k u d j s o u j í v š e c h n y optické a c h e m i c k é vlastnosti lhostejné. T ě l e s a r ů z n é hmotnosti p r o ni zamě­ nitelná n e j s o u ; a l e nic n e s t o j í v cestě zaměnitelnosti těles odlišných vlastností chemických."32 V ě d o m í této relativity m u v š a k nezabránilo v tom, a b y zužitkované lo­ g i c k é p o j m y p o p s a l , a to radikálně n o v ý m z p ů s o b e m , v n ě m ž substituce hrála také - tentokráte j i ž třetí - stěžejní roli, totiž při ( 3 ) v y n á l e z u kvantifikace.

Kvantifikátor a obecnost O b j e v k v a n t i f i k a c e , j a k j s e m argumentoval j i n d e , v z e š e l p r á v ě z konfrontace s větami j a k o b y l a v ý š e uvedená, tj. v rámci hypotetického soudu s konkrét­ ním ohniskem. F r e g e s e n a v ý r a z ( K v a k ) j i s t é k a t e g o r i e (jméno) d í v á j a k o n a p r o m ě n l i v ý , 3 3 implicitní obecnost v ě t y p a k v y j a d ř u j e j e h o nahrazením pro­ měnnou x a p r o b l é m y s o b o r e m obecnosti nakonec ř e š í předepsáním indexo­ vané cezury - kvantifikátoru j a k o (1) VA"(X m á ž á b r y —» x n e u m í mluvit). T a k t o v y j á d ř e n á o b e c n á p r a v d i v o s t v ě t y o v š e m není něčím, c o b y charakte­ riz ovalo analytičnost v ě t y , j a k s e domníval Bolzano, j i n ý m i s l o v y : n e j e d n á s e o větnou ob ecnost externí, a l e interní, v tomto případě v ý z n a m formotvorného s l o v a , k t e r é j e p r o n o v o u l o g i k u určující. N a o p a k tautologická v ě t a j a k o (2) K v a k m á ž á b r y n e b o K v a k nemá ž á b r y není o b e c n á v druhém, a l e p r v n í m s m y s l u tohoto s l o v a , a j e v e l k o u c h y b o u dívat s e na n í j a k o n a l o g i c k y p r a v d i v o u d í k y tomu, ž e platí o všech předmě­ tech bez rozdílu, t j . j a k o na instanci v ě t y (3) V x ( x m á ž á b r y v x n e m á žábry),

32

Frege (1906), s. 428.

33

Frege (1879), §9.

258

Vojtěch KOLMAN

n e b o ť p a k b y m u s e l a b ý t l o g i c k y p r a v d i v á i věta (1). Tohoto stírání zásadního rozdílu interní a externí obecnosti s e o v š e m stej­ n ě j a k o B o l z a n o dopouští i Frege, k d y ž totiž p ř e s četné p r o k l a m a c e o odlišné, normativní p o v a z e l o g i k y i d e n t i f i k u j e nakonec rozdíl m e z i n í a ostatními v ě d a m i p o u z e v odlišném stupni obecnosti, j e n ž m á b ý t u p r a v d l o g i k y přiro­ z e n ě tím n e j v y š š í m ( j s o u to „ n e j o b e c n ě j š í z á k o n y pravdivosti")- T a k o v á t o obecnost, zdá s e , o v š e m u ž á d n é z vět (1), (2), (3) nenastala, a proto si označení l o g i c k é p r a v d y z a s l o u ž í a ž j e j i c h finální „zobecnění":

(4) Vx,F(Fx v -,Fx) či d o k o n c e

(5) \/p(p v -p). A skutečně, v š e c h n y základní z á k o n y p o j m o v é h o p í s m a j s o u v Begrijfsschrift a Grundgesetze u v á d ě n y v této p l n ě k v a n t i f i k o v a n é f o r m ě (resp. v ekvivalent­ ním t v a r u b e z generalizovaných proměnných), přičemž v e v ě t ě (5) s e pro­ měnná p s t e j n ě j a k o proměnná x z v ě t y (4) v z t a h u j e na v š e c h n y předměty, mezi nimiž j s o u i hodnoty „ P r a v d a " a „Nepravda". Příslušná l o g i k a j i ž z těchto „ i d e o v ý c h " d ů v o d ů m u s í pracovat s k v a n t i f i k a c í v y š š í c h ř á d ů a j e d i ­ n ý m , v š e o b j í m a j í c í m u n i v e r z e m diskurzu. Odklon, k t e r ý o d obou, a z v l á š t ě p a k druhého z těchto r y s ů F r e g o v a p o j m o p i s u moderní l o g i k a v e s v é m d a l š í m v ý v o j i učinila, l z e v y s v ě t l i t p r á v ě pochopením toho, ž e rozdíl m e z i větami l o g i k y a větami ostatních v ě d j e m n o h e m zásadnější, kategoriální p o v a h y , nežli s e Leibniz, Bolzano, F r e g e a R u s s e l l domnívali. První, k d o n a to v ý r a z n ě upozornil, b y l L u d w i g W i t t g e n ­ stein v e s v é m Tractatu.34 O d n ě j p a k v e d e trnitá cesta a ž k T a r s k é h o a Carnap o v ě syntakticko-sémantickému vzestupu, s určujícími p o d ně t y z e strany tradice algebraické, která ostatně p o j e m „univerza d i s k u r z u " s a m a k d y s i u v e d l a v život, a Hilbertovy metamatematiky, z a b ý v a j í c í s e možnostmi r ů z n é interpretovatelnosti téhož (tj. téže „teorie").

34

Wittgenstein (1921). K tématu vztahu kvantifikace a logické obecnosti tam mj. čteme: „Znakem logické věty není obecnost. V ž d y ť obecný znamená pouze: platící náhodou o všech věcech. Nezobecněná věta může být přece zrovna tak tautologická j a k o zobecněná" §6.1231 V denících j e výmluvná poznámka. „Vzpomeňme si ale, že j e to proměnná, a ne symbol obecnosti, co charakterizuje logiku" Wittgenstein (1979), 1 l e .

-4

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

259

Napříč diskurzy V ě t y z a p s a n é v p o j m o v é m p í s m u , j a k o třeba věta (1) z předchozího oddílu, j s o u s a m o z ř e j m ě stejnými součástmi j a z y k a j a k o j e j i c h n e f o r m a l i z o v a n é e k v i ­ valenty - s p o m o c í u m ě l é s y m b o l i k y j s m e s e j e n pokusili dát explicitně n a j e v o náš z á v a z e k k j i s t é sémantice, s těmito s y m b o l y spjaté, a takto normo­ v a t b ě ž n ý a často víceznačný úzus. P o d m í n k y , předcházející tomu, a b y mohla b ý t věta j a k o (1) chápána z p o j m o p i s n é h o pohledu j a k o smysluplná, j s o u a l e v š e c h n o j e n n e triviální: (i) o d elementárních v ě t t y p u „ K v a k m á ž á b r y " a „Zbluňk u m í m l u v i t " o č e k á v á m e j e d n o z n a č n o u d v o j hodnoto vost, a to i (ii) p r o všechna nahrazení substituovatelných v ý r a z ů „ K v a k " či „ Z b l u ň k " v ý ­ r a z e m stejného typu. Jen t a k l z e totiž p o ž a d a v e k d v o j hodnoto vo s t i vztáhnout i na samotnou v ě t u (1). O t á z k o u n y n í zůstává, j a k j e s p e c i f i k o v á n a ona třída v ý r a z ů stejného typu, t j . třída substituovatelných v ý r a z ů . F r e g e si b y l s a m o z ř e j m ě v ě d o m toho, ž e ačkoli s e s n a d z l o g i cké h o hle­ d i s k a c h o v a j í v ý r a z y j a k o „ Ž b l u ň k " a č í s l o v k a „ 3 9 9 " v r á m c i v ě t příslušných d i s k u r z ů stejně, n e v z n i k á j e j i c h v z á j e m n ý m nahrazením z e s m y s l u p l n é v ě t y opět s m y s l u p l n á - a to ani v j e h o ú z k é m , idiosynkratickém p o j e t í s m y s l u p l n é věty coby výrazu, pro nějž b y l y formulovány pravdivostní podmínky, j i m i žj e m u j e d n o z n a č n ě přidělena j e d n a z e dvou pravdivostních hodnot. Rozhodl s e ale, ž e toj e z pohledu k o n s t r u k c e lo g i c k é ho s y s t é m u v ě c marginální, n e b o ť dodatečně ošetřitelná tak, ž e s e v ě t á m j a k o Z b l u ň kj e p r v o č í s l o p řiřad í pravdivostní hodnota j e d n o r á z o v o u konvencí, p o d l e n í ž připiš predi­ kátů a relací předmětům m i m o přirozený o b o r aplikace v y j d e j a k o neprav­ d i v ý . T o t o opatření, tj. prohlášení všeho, c o není p r a v d i v é , automaticky z a nepravdivé,j e o v š e m v e vnitřním rozporu j i ž s j e h o dalšími, komplementár­ n í m i předpoklady, např. totální definovatelností f u n k c í : věta K v a k + Žbluňk = 7 m u s í b ý t totiž n e p r a v d i v á p r o libovolnou substituci z a „ 7 " , c o ž znamená, ž e f u n k c e + není d e f i n o v á n a na c e l é m diskurzu, n e b o ť d v o j i c i K v a k a Z b l u ň k n e p ř i ř a z u j e nic. D ů s l e d k y této z d á n l i v ě n e š k o d n é k o n v e n c e l z e o v š e m sledo­ v a t a ž k R u s s e l l o v u paradoxu, c o ž s i o v š e m momentálně ušetříme. O s p r a v e d l n ě n í o b e c n é platnosti v ě t j a k o „ V x ( x = x ) " či „\/p(p v ->p)" tím, ž e platí p r o v š e c h n y p ř e d m ě t y , t j . p r o předměty v š e c h diskurzů, s e n a v í c z v r h á s p í š e v argument proti nežli p r o j e j i c h sloučení v j e d i n ý , n e b o ť s e p ř í m o n a b í z í v z í t tuto charakteristiku j a k o s a m u definici: v ě t a j e obecně platná,

260

Vojtěch KOLMAN

4

jestliže platí v e všech diskurzech. Tato okolnostj e dána u ž tím, ž e s e zde, t j . v případě obecné platnosti věty, nejedná o žádný přirozený fenomén, t j . v ý ­ sledek prostého pozorování (deskriptivní, „náhodnou" nutnost), ale až důsle­ dek sémantických konvencí („normativní" nutnost), z a nichž j s m e věty jisté­ ho diskurzu označili j a k o logicky přípustné, konkrétně konvence větné bivalence (dvohodnotovosti) v případě v ~>p)" a definice rovnosti j a k o re­ lace, v níž s e předmět nachází pouze s á m k sobě, u „Vx(x = x)". Platnost těchto vět, podobně j a k o třeba věty „ 2 + 2 = 4 " , n e n e c h á m e jednoduše pad­ nout, najde-li s e (jako ž e s e najde) v indefinitní s f é ř e užití a aplikace j a z y k a věrohodný protipříklad („přišla obutá neobutá", „ 2 k a p k y r o s y a 2 k a p k y r o s y = 1 k a p k a r o s y " , , „ x ' j e j i n ý znak ( £ ) n e ž , x " ' atd.). V tomto pozorování má také kořeny Wittgensteinovo vyloučení tautologií z e smysluplných - n ě j a k ý rozdíl artikulujících - vět, identifikující j e správně j a k o ž t o „pouhé" odrazy j a z y k o v ý c h norem. I toto rozlišení v š a k stále zůstává - snad v l i v e m R us s e l l ova logického empirismu - j e d n o u nohou v univerzalis­ tické tradici tím, ž e uznává j e d i n ý „pravý", totiž empirický diskurz, v němž j s o u nad pe vno u b á z í .jednoduchých předmětů" distribuovány vlastnosti a relace, a to j a k v možnosti, tak aktuálně, s e s t a v y v ěc í resp. f a k t y j a k o ž t o v ý s l e d k y . Zdá-li s e znalcům Wittgensteina toto vysvětlení příliš zjednodušu­ j í c í , budiž, v této podobě j e j o v š e m (mnohem, mnohem později) vstřebal a zužitkoval Carnap v e s v é L-sémantice.

*

Věta a j e j í forma Jádro re fo rmy toho, j a k nová logika Fregova a Russellova chápala logickou platnost, spočívá vlastně v tom, ž e s e tato „nevysvětlí" platností pro v š e c h n y předměty, ale pro všechny diskurzy, disponujícími v ž d y specifickou sadou j i m vlastních objektů, na něž j e omezena tzv. o b j e k t o v á proměnná příslušných vět, a tím i j e j í (interní) kvantifikace. Takto s e vyhneme problému, c o zname­ ná věta „ K v a k j e prvočíslo", n e b o ť K v a k j i ž nebude v oboru ú v a h y proměnné x v e větách j a k o „ 3 x ( x j e prvočíslo)" apod. Zůstává o v š e m otázka, c o zname­ ná, ž e j e tato či věta j a k o (1) \/x(x j e prvočíslo v x není prvočíslo) platná či neplatná v e všech diskurzech (kontextech). Tato otázka není ale o nic smysluplnější, nežli zkoumání, zda vlastnost prvočíselnosti náleží j i n ý m předmětům než číslům, neboť tato vlastnost s e v diskurzech j i n ý c h než arit­ metických prostě neaplikuje, t j . ne ž e s e j i m tam upírá, ona tam v ů b e c není. Nahrazení výrazu „je p r v o č í s l o " ä la Frege kvantifikovanou proměnnou

V

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

261

(druhého řádu) např. d o p o d o b y „VxVF(F.x v -iFx)" v ě c o v š e m neřeší, n e b o ť o b ě proměnné - nechceme-li s e vrátit z n o v u na začátek - s e nutně v z t a h u j í k nějakému, k d y ž u ž n e k témuž diskurzu j a k o v ě t a (1). Podstatné j e , ž e věta j a k o (1) není o b e c n ě platná via s v ů j ( ve š ke r ý ) o b s a h a l e via s v o j i f o r m u , t j . (pouze) obsah tuto f o r m u určujících slov, c o ž zna­ mená, ž e v j e d n o t l i v ý c h diskurzech není p r a v d i v á ona, a l e v ě t y téže formy. A ani to vlastně není přesné, protože řeč o totožnosti f o r m y j e víceznačná. V ě t a (1) např. sdílí s v o j i f o r m u j a k s v ě t o u (2) \/x(x m á ž á b r y v x n e m á žábry), t a k s větou (3) V x ( x u m í mluvit), která o v š e m tautologická není. T u t o víceznačnost n y n í odstraníme tím. ž e f o r m u v ě t y z a č n e m e repre­ zentovat v ý r a z y k tomuto ú č e l u v y t v o ř e n ý m i , t z v . f o r m u l e m i , v nichž nahra­ d í m e v š e c h n y m i m o l o g i c k é o b s a h u p l n é v ý r a z y zástupnými konstantami, a to (i) v ý r a z y j m e n n é konstantami c\, c 2 , ... j m e n n ý m i , (ii) j e d n o - a vícemístné predikáty (relace)P V P n 2 , ... konstantami p r e d i k á t o v ý m i ( k d e n > 1j e arita predikátu), a konečně (iii) v ý r a z y f u n k č n í konstantami f \ , f 2 , funktorov ý m i (opět s n > 1). V řeči o formulích b u d e m e d á l e v y u ž í v a t m e t a j a z y k o v ý c h proměnných X\, X2, • •-, p ř i č e m ž f o r m u l i X s v o l n o u proměnnou x , tzv. f o r m u l i otevřenou, b u d e m e značit t a k é j a k o X(a); v řeči o termech p o u ž i j e m e metaproměnné s i , 52, p r o otevřené termy p a k značení s(x). T o t o v š e z u ž i t k u j e m e j i ž při induktivní definici f o r m u l e r e s p . termu, k d y z a (i) elementární term v e z m e m e o b j e k t o v é proměnné xu x2, ... a v š e c h n y j m e n n é konstanty a (ii) term s l o ž e n ý d e f i n u j e m e j a k o v ý r a z , j e n ž v z n i k n e zřetězením termů su ..., s„ a f u n k t o r o v é konstanty f j d o řiCso, •••> s n)- P o d o b n ý m z p ů s o b e m b u d e m e p o s t u p o v a t i při definici f o r m u l e , t j . (i) elemetární f o r m u l í n a z v e m e v ý r a z P n ,(íi, ..., sn) v z n i k l ý zřetězením termů su ..., sn a p r e d i k á t o v é konstanty P n , a (ii) z a s l o ž e n é f o r m u l e b u d e m e p o v a ž o v a t v ý r a z y v z n i k l é zřetězením f o r m u l í X,. X} s e z n a k y v ý r o k o v ě l o g i c k ý c h s p o j e k a k v a n t i f i k á ­ toru, přičemž stačí u v a ž o v a t s p o j e n í X, A X,, ~^X a \/xX(x). V p o s l e d n í m z nich s e v o l n á proměnná x stala v á z a n o u ; f o r m u l e , v nichž n e j s o u ž á d n é v o l n é proměnné, n a z v e m e f o r m u l e m i uzavřenými, n e b o t a ké sentencemi. O v ě t ě j a k o j e (2) n y n í m ů ž e m e říci, ž e j e p ř í p a d e m (instancí) v ě t n é f o r m y V x ( P \ ( x ) v - i P ' . W ) , a j a k o t a k o v á j e i tautologická. V tomto užití s e l z e na v ě t n é f o r m y d í v a t j a k o n a j i s t é třídy vět, k d y j e d n a v ě t a m ů ž e náležet v í c e třídám (nejedná s e tedy o třídy ekvivalenční). T ř í d a určená f o r m u l í V x ( P i(x)

262

Vojtěch KOLMAN

v

"""P .(*)) z a h r n u j e např. v š e c h n y věty v z n i k l é dosazením elementárního jednomístného predikátu „ Q " (např. p r á v ě predikátu „prvočíslo") na m í s t o predikátové konstanty P 1 ,. V ě t a (2) j e o v š e m p r v k e m i m n o h e m o b e c n ě j š í třídy tautologií, totiž třídy určené li b o v o ln o u f o r m u l í Vx(X(x) v jíž náleží k a ž d á věta získaná uniformním nahrazením všech formálních konstant (tj. j m e n n ý c h , predikátových, funktorových), skládajících příslušnou f o r m u l i X(x)> v ý r a z y o d p o v í d a j í c í h o typu (tj. j m é n y , elementárními j e d n o - a vícemístnými predikáty, elementárními f un k č n í m i v ý r a z y ) . Podíváme-li s e t e d y n y n í obratem na formuli j a k o na v ý r a z per se, t j . samostatný předmět studia, r ý s u j e s e n á m tu onen z n á m ý proces l o g i c k é interpretace, symbolu obsahem.

naplnění bezobsažného

Tarského definice pravdy T a r s k é h o d e f i n i c e p r a v d y , t e d y to, c o s e d n e s všichni adepti studia f o r m á l n í l o g i k y a teorie m o d e l ů učí hned v prvních lekcích úvodních kurzů, b y l a o v š e m v e s l a v n é práci Der Wahrheitsbegrijf in den formalisierten Sprachen 5 prezentována p o n ě k u d j i n a k , n e ž m o ž n á i n d u k u j e m ů j d o s a v a d n í v ý k l a d . T a r s k i j i , j a k známo, začal konfrontací s e sémantickými p a r a d o x y , n a č e ž s e pozastavil u v ě t y v ě t a „sníhj e b í l ý " j e p r a v d i v á tehdy a j e n tehdy, k d y ž j e sníh b í l ý c o b y případu tzv. kritéra adekvátnosti, j e m u ž b y k a ž d á d e f i n i c e p r a v d y m ě l a dostát. Nepoučený čtenář z d e m ů ž e b ý t a n e j s p í š i b u d e zmaten z toho, p r o č j e takováto e k v i v a l e n c e v ů b e c s p o j o v á n a s e s l o v e m „definice", k d y ž , z d á s e , k a ž d á z j e j í c h stran předpokládá k e s v é m u p o ro z um ě n í tu druhou. V ě c j e a l e složitější: U v a ž m e n e j p r v e , ž e u v ě t k o m p l e x n í f o r m y , j a k o „jestliže m á K v a k ž á b r y , n e u m í m l u v i t " , l z e na f r á z i v ě t a ,j e s t l i ž e m á K v a k ž á b r y , p a k n e u m í ( K v a k ) m l u v i t "j e p r a v d i v á t e h d y a j e n tehdy, k d y ž j e p r a v d i v á věta „ K v a k u m í m l u v i t " n e b o k d y ž j e nepravdivá věta „Kvak m á ž á b r y " pohlížet j a k o na skut e č n é v y m e z e n í (definici) j e j i c h pravdivostních p o d m í ­ nek, t j . v tomto případě uchopení s p o j k y „jestliže-pak" c o b y tzv. materiálního kondicionálu, n e v y ž a d u j í c í h o např. ž á dn o u v ě c n o u souvislost s p o j o v a n ý c h v ě t apod.

35

Tarski (1935), angl. verze otištěna m Tarski (1983).

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

263

U elementárních v ě tj e situace odlišná v tom, ž e t v o ř í p r a v o u b á z i poten­ ciálně nekonečného počtu disciplín a oblastí l i d s k é činnosti, a stanovení glo­ bálních kritérií p r a v d y v této rozmanitostij e prostě nemožné. Formulace j a k o věta „ K v a k u m í m l u v i t " j e p ra v di v á , k d y ž K v a k u m í m l u v i t či v ě t a „ K v a k u m í m l u v i t "j e p r a v d i v á , k d y ž předmětu K v a k náleží vlastnost (pojem) u m ě t m l u v i t tuto situaci s a m o z ř e j m ě neřeší, druhá v š a k alespoň d á v á n a j e v o , ž e s e na příslušnou elementární v ě t u d í v á m e j a k o na sémanticky členěnou, a ž e p r v k y této f o r m á l n í sémantiky, t j . m e t a j a z y k a , v n ě m ž c h c e m e hovořit o p r a vd i vo s t i v ě t l e v é strany ( v u v o z o v k á c h ) , j s o u „předmět" a „ p o j e m " . Paradoxněj e to a l e p r á v ě tato „trivialita", c o - p ř e s j e j i c h zdánlivou s h o d u - o d l i š u j e T a r s k é h o koncepci o d F r e g o v a monolingvistického pojetí, které p o v a ž u j e explicitní definici p r a v d y z a nemožnou a k l o n í s e k redundanční příp. performativní teorii p r a v d y . T a r s k i z ů s t á v á v této otázce zcela neutrální, narozdíl o d Frega ale, k t e r ý kritérium adekvátnosti c h á p e n a n e j v ý š j a k o opis­ né, v y s v ě t l u j í c í v y j á d ř e n í , k t e r é n e n í součástí (teorémem) s y s t é m u p o j m o v é h o p í s m a (odtud W i t t g e n s t e i n o v a „ n e v y j ádřitelnost s é m a n t i k y " ) , činí z f o r m u l í v ý š e u v e d e n é h o t y p u v la st n í náplň l o g i k y moderního střihu - v ě d y explicitně z k o u m a j í c í a s t a n o v u j í c í o b e c n é vztahy v ý r a z u a j e h o v ý z n a m u , r o v i n y j a z y k a a metajazyka. Definuje-li n y n í T a r s k i p o j e m modelu v ě t y j a k o posloupnost objektů, k t e r é tuto v ě t u p o nahrazení v š e c h m i m o l o g i c k ý c h v ý r a z ů o d p o ví d a jí cí m i t y p y proměnných učiní p r a v d i v o u , a na z á k l a d ě toho p a k i p o j e m tautologičnosti resp. v y p l ý v á n í („logického d ů s l e d k u " ) j a k o ž t o platnost p r o l i b o v o l n ý m odel r e s p . l i b o v o l n ý m o d e l s p l ň u j í c í ú s u d k o v é p r e m i s y , 3 6j e v j i s t é m s m y s l u p r a v d a , ž e s e o d B o l z a n a o d l i š u j e p o u z e p r o k l a m o v a n ý m překonáním z á v i s ­ losti na j a z y c e , o b s a ž e n é v předpokladu, ž e „se v š e c h n y m o ž n é předměty v y ­ s k y t u j í v u v a ž o v a n é m j a z y c e " . 3 7 V e skutečnosti j e toto p o u z e odlišnost zdánlivá: T a r s k i j e n n a h r a z u j e f r á z i „jméno N " f r á z í „předmět N " v obratech jako předmět K v a k s p l ň u j e v ý r o k o v u f u n k c i

36 37

má žábry"

V i z j e h o článek Tarski (1936). s 58-68. Anglický překlad otištěn in Tarski (1983). Tarski (1983). s . 4 1 2 .

264

Vojtěch KOLMAN

apod. T a r s k i t a k é zdůrazňuje, ž e s v o j i definici p r a v d y nechtěl p o d á v a t p r o j a z y k y formální, a l e j e n formalizované, tj. p r a j a z y k y s explicitně v y j á d ř e n o u (rekurzivně definovan o u) formou, v nichž a l e — j a k o např. v u v a ž o v a n é m kal­ k u l u tříd - z ů s t á v a j í m i m o l o g i c k é (interpretované!) v ý r a z y , j i m ž j e v metaj a z y k u přiřazován n a n e j v ý š j a k ý s i j e j i c h překlad, p o d o b n ě j a k o v e v ě t ě věta „der Schnee ist weiss" j e pravdivá, když j e sníh bílý, n e b o j s o u d o tohoto m e t a j a z y k a p ř e v z a t y přímo. S a m o zř e jm ě , ž e místo tohoto „absolutního" p o j m u p r a v d yj e m o ž n é u v a ž o v a t t a k é „relativní", v z t a ž e n ý k e konkrétní předmětné doméně, c o ž t a k é Tarski n a z n a č u j e , 3 8 aniž b y dal o v š e m dostatečně n a j e v o , ž e to při v ý š e popsaných problémech s e s m y s l e m v ě t j a k o posloupnost předmětů K v a k , Ž b l u ň k s p l ň u j e větu „Klaus a Gross j s o u kamarádi" p ř e d s t a v u j e s p í š e nutné nežli j e n možné, f a k u l t a t i v n í rozšíření předložených ú v a h . Evidentní potřeba částečně či j e n úplně dematerializovaných v ě t (výro­ k o v ý c h f u n k c í ) j a k o ,o: m á ž á b r y " , či ,jc j e Q " celou záležitost definitivně p ř e s o u v á s m ě r e m k teorii modelů c o b y nauce o r ů z n é interpretaci j i s t ý c h posloupností z n a k ů - f o r m u l í - n e v y j a d ř u j í c í c h o b sa h , a l e f o r m u v ě t y .

Sémantika teorie modelů Předpokládáme-li j a k o Tarski, ž e j e n á m n ě j a k dán o b o r předmětů, třídy a f u n k c e na nich a ta k é j e j i c h posloupnosti ( f u n k c e z přirozených čísel d o daného oboru), l z e z v l á š t ě elegantně „ d e f i n o v a t " (relativní) p o j e m „ p r a v d y " ( v d a n é m modelu) s v y u ž i t í m j i ž zmíněného p o j m u „splňování". V ý c h o d i s ­ k e m n á m o v š e m n e b u d e věta ani v ý r o k o v á f u n k c e , a l e formule, a to otevřená i uzavřená, p r o d a n ý f o r m á l n í j a z y k L, j í m ž r o z u m í m e n ě j a k o u p o d m n o ži nu v ý š e u v e d e n ý c h j m e n n ý c h , f u n k t o r o v ý c h a predikátorových konstant, obsahu­ j í c í alespoň j e d n u konstantu posledního typu. N e j p r v e d e f i n u j e m e p o j e m „interpretace" j a z y k a L j a k o ž t o předmětný o b o r G a ohodnocení I přiřazující v ý r a z u c, z L předmět z G, v ý r a z u (totální) f u n k c i z kartézského součinu G x G x . . . (n-krát) d o G a v ý r a z u P " podmnožinu z téhož součinu. (Pro n= 1 j e v ý s l e d k e m součinu s a m o z ř e j m ě opět v ý c h o z í množina; p r v k y «-tých součinů j s o u uspořádané rc-tice < g i , ..., g n > předmětů z G, přičemž p r o n = 1 p o l o ž m e = g,.)

38

Tarski (1983), s 199.

265

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

Formule j a z y k a L, v nichž s e n e v y s k y t u j e ani proměnná, ani v ý r o k o v á n s p o j k a či kvantifikátor, t j . elementární sentence tvaru P ,(Ji, sn), j s o u nyní příslušnou interpretací definitivně „interpretovány", n e b o ť platí: (i) K a ž d é m u termu Sjj e přiřazen n ě j a k ý předmět /(.í,) z G, a to termu tvaru c k předmět 7(c k ), termu tvaru f " ( í i tm) předmět /(f^X/Oi), ..., / ( ř j ) . s a m o z ř e j m ě z a induk­ tivního předpokladu, ž e termyt u ..., tm j i ž n ě j a k ý přiřazen m a j í . (ii) Reknemeli nyní, ž e u z a v ř e n é f o r m u l i P n ,Oi, s n ) j e v interpretaci (G, I) přiřazena hodnota p r a v d a tehdy a j e n tehdy, k d y ž uspořádaná /z-tice předmětů < / 0 0 , • I(sn)> n á l e ž í d o množiny /(P^), p a k z předpokladu, ž e nastává p r á v ě j e d n a z e d v o u možností náleží/nenáleží, v y p l ý v á , ž e j s o u tak v š e c h n y elementární sentence L ohodnoceny v interpre­ taci (G, 7) j e d n o u z pravdivostních hodnot. - Rozšíření ohodnocení n a sen­ tence k o m p l e x n í f o r m y nedosáhneme nyní přímo, a l e tak, ž e j e j d e f i n u j e m e p r o libovolnou, tedy i otevřenou formuli, a to p r á v ě pomocí p o j m u „splňování f o r m u l e posloupností předmětů". V a l u a c í nekonečné a p r o v š e c h n y j a z y k y konstantní množiny proměnných X], x2, v G n a z v e m e posloupnost e předmětů takovou, ž e p r o k a ž d é n přirozené platí e(n) = g n , p r o n ě j a k ý předmět g n z G. P r o interpretaci (G, 7) n y n í d e f i n u j m e p o j e m „denotace" dc termu t při valuaci e tak, ž e p r o t = x, platí deO,) = e ( 0 , p r o t = c, p o l o ž í m e d^c,) = I(ct) a nakonec p r o t = f \ ( í i , ..., ta), k d e termyt u ..., r„ j i ž denotát m a j í , ^ ( f . O i , ..., /„)) = / ( f . X ^ e O i ) , —> < 4 ( 0 ) O e l e m e n t á r n í formuli P ^ O i , s„) nyní řekneme, ž e j e při interpretaci (G, 7) splněna valuací e, s y m b o l i c k y (G,7)f=Pn,(si,le], j e s t l i ž e ra-tice předmětů
dt(sri)>

náleží množině /(P n i). D á l e j i ž

p o s t u p u j e m e induktivně (G, 7) = \ (-X)[e]

i f f (G, 7) \iX [e],

(G, 7) = 1 (X, A X2)[e]

i f f (G, /) f=X,[e] a (G, 7) (=X2[«],

(G, /) = [ (X[ v X2)[e]

i f f (G, /) = [ X,[e] nebo (G, 7) = f X2[e],

(G, 7) = [ (X, - > X 2 ) M

i f f (G, 7) YXxie] nebo (G, 7) = | X2[e].

V a l u a c i h n a z v e m e ŕ-alternativní valuací k valuaci e, značíme e \ j e s t l i ž e s e o d n í o d l i š u j e n a n e j v ý š v hodnotě pro k, t j . pro k a ž d é n takové, ž e n * k, platí e(n) = h(n). Nyní konečně d e f i n u j e m e

266

Vojtěch KOLMAN

(G, l) = | (Vx,X(jc,))[e] i f f p r o k a ž d o u e1: (G, 7) ^X(x$[e], (G, I) = | (3xiX(x,))[e] i f f e x i s t u j e e: (G, í) f^XOOle 1 ]. J e z ř e j m é , ž e i neelementární sentence — přestože b y l p o j e m „ v a l u a c e " v y u ž i t k j e j i c h ohodnocení - v e s v é „interpretaci" n e z á v i s í na ž á d n é konkrétní valuaci e, j e d n o d u š e proto, ž e n e m a j í žádné v o l n é proměnné. Proto s e nabízí n á s l e d u j í c í definice: o sentenci X ( v j a z y c e L) řekneme, ž e j e interpretace (G, 1) (pro j a z y k L) j e j í m modelem tehdy a j e n tehdy, j e s t l i ž e j e v této interpretaci splněna nějakou valua c i e\ j e s t l i ž e to nastane,j e totiž zároveň splněna v š e m i , j e j i c h s y m b o l j e proto m o ž n o vynechat a psát j e n o m (G,7) \=X. Rozdíl f o r m u l e o t e v ř e n é a sentence, j a k s e m ů ž e m e n ě k d y dočíst, s a m o z ř e j m ě nespočívá v tom, ž e b y p r v n í narozdíl o d druhé n e b y l a p r a v d i v o u : c o b y f o r m u l e není p r a v d i v á ani j e d n a z nich, n e b o ť narozdíl o d v ě t y nenese ž á d n ý „ v ý z n a m " . Druhá z nich j e a l e p r a v d i v á j i ž via interpretaci m i m o l o g i c k ý c h konstant, zatímco p r v n í a ž via valuaci proměnných. T e p r v e p a k totiž platí k ý ž e n é tertium non datur (G, I) (=X[e] n e b o (GJ)

\fX\e\

které, vyložíme-li (G, /) = | A"j a k o (G, 1) = | X

i f f p r o k a ž d é e: (G, I) = | X[e],

obecně, t j . b e z připsaného e, s a m o z ř e j m ě nenastává (tj. otevřená f o r m u l e X m ů ž e b ý t v dané interpretaci některými valuacemi splňována, j i n ý m i z a s e ne).

Elementární věty D e f i n i c e tautologie a sémantického d ů s l e d k u j s o u n y n í záležitostí d v o u řádek: |= X Z \= X

i f f p r o k a ž d é (G, /) a k a ž d é e: (G,í )

X [e]

i f f p r o k a ž d é (G, ľ) a k a ž d é e: j e s t l i ž e (G, /) Z[e], p a k (G, ľ) = f X[e],

P r v n í z nich d e f i n u j e f o r m u l i X j a k o tautologickou (logicky pravdivou), je - l i splněna k a ž d o u v a l u a c i v e v š e c h interpretacích. V druhém p a k z a c h y c u j e m e formuli X j a k o ž t o s é m a n t i c k y v y p l ý v a j í c í z množiny f o r m u l í Z, j e - l i splněna v a lu a c i e v k a ž d é interpretaci, v nížj e touto v a lua c i splněna k a ž d á f o r m u l e z e Z.

4

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

267

Námitka, ž e z d e z a c h y c u j e m e v y p l ý v á n í mezi formulemi, zatímco n a š í m p ů v o d n í m a přiroze n ý m c í l e m b y l o j e h o uchopení větné, j e s a m o z ř e j m ě povrchní, a n e j s p í š i pramenící z f a k t u , ž e j s m e předmětnou ř e č í o modelech a valuacích ztratily z c e la z e zřetele, c o j s o u zač. Řeknu-li, ž e j e f o r m u l e ,jcí <x2" splněná v a lua c í e tehdy a j e n tehdy, j e s t l i ž e j e o b j e k t e(\) m e n š í n e b o r o v e n o b j e k t u e(2), z b ý v á vysvětlit, z a j a k ý c h p o d m í ne k něco t a k o v é h o nastává, t e d y p r á v ě p r a v d i v o s t n í p o d m í n k y této p r a v é , zd á n l i vě v y s v ě t l u j í c í strany. T a r s k é h o d e f i n i c e n á m o nich j i ž nic dalšího neříká, n a n e j v ý š n á s donutíj e z n o v u zopakovat, b y ť v n ě j a k é t ra n sf o rmo va né p o d o b ě - s k u t e č n ý m v ý s l e d k e m j e a l e z a s a z a s n a n e j v ý š s m y s l u p l n á věta, j e j í ž p o d m í n k y impli­ citně o v l á d á m e , a proto m ů ž e m e říci, ž e j e f o r m u l e „*i < x 2 " splněna v a l u a c í e, v n í ž e ( l ) = 5 a e(2) = 2 3 , protože j e o b j e k t 5 m e n š í n e ž o b j e k t 2 3 . V p r a x i n e j s o u tedy v š e c h n y interpretace a m o d e l y nic j i n é h o , nežli s m y s l u p l n é (ele­ mentární) v ě t y r e s p . j e j i c h o b o r y (diskurzy), v nichž j e otázka p r a v d y a ne­ p r a v d y b r á n a j a k o v y ř e š e n á a v ý r a z y j a k o „předmět e ( 0 " j e n z a s t u p u j í či v y b í r a j í některé j m é n o z oboru. O t á z k a netriviálních, t j . konstituujících p r a v ­ divostních p o d m í n e k toho kterého o b o r u z ů s t á v á proto stále otevřena, a j e j a s n é , ž e j i , přinejm e n ší m p r o v ě t y elementární, n e z o d p o v í žádná „definice typu věta „ A " j e p r a v d i v á , k d y ž A , ale nanejvýš věta „ A "j e pravdivá, k d y ž B , k d e B představuje pravdivostní podmínky, opírající s e o věty z nějaké jiné, momentálně neproblematické, t j . relativně stabilní praxe. T o u p r o případ ele­ mentárních v ě t aritmetiky m ů ž e b ý t např. L o r e n z e n o v a operativní matema­ tika, t j . p r a x e o d v o z o v á n í v určitých j e d n o d u c h ý c h kalkulech. Svůdná, a l e s p o ň v rámci matematiky, m ů ž e b ý t a l e i n á s l e d u jí cí m y š l e n k a : a ť j i ž j e t o s matematickou p r a v d o u a p ř e d m ě t e m matematiky j a k k o l i , p o h y bujeme-li s e v d ů s l e d k u při aritmetických ú v a h á c h t a k j a k o t a k na j a z y k o v é úrovni s y m b o l i c k é t r a n s f o r m a c e s y m b o l ů a celých vět, není mezi f o r m u l í a v ě t o u třeba rozlišovat. Postačí, k d y ž v ý b ě r e m několika vhodných, dostateč­ n ě o b e c n ý c h a s p o l e h l i v ý c h f o r m u l í — a x i o m ů —, a pravidel j e j i c h transforma­ c e — ú s u d k o v ý c h pravidel l o g i k y —, definujeme pravdivost v ě t y resp. f o r m u l e ( A ) j a k o j e j í syntaktickou odvoditelnost v d a n é m s y s t é m u (S), s y m b o l i c k y S |A , a sémantickou ř e č o modelech p o n e c h á m e p r o j e j í obskurnost stranou. T o t o j e s t a n o v i s k o tzv. f o r m a l i s m u , p ro sla v e n é ho D a v i d e m Hilbertem.

268

Vojtěch KOLMAN

Kritérium konzistence B y l o b y c h y b o u , j a k s e to tu a t a m d ě j e , identifikovat Hilbertův f o r m a l i s t i c k ý p r o g r a m s ideou, ž e l z e matematiku re duk o v a t na „pouhou v ě d o u o prázdných s y m b o l e c h " . P r a v ý o p a k j e p r a v d o u : matematika j e p o d l e Hilberta v ě d o u o struktuře, kterou j e d i n o u l z e t a k é j e j í m i větami zachytit - f o r m a v ě t y t a k s j e j í m o b s a h e m s p l ý v á . Z k o u m a t v ý z n a m s l o v ,,bod" či „přímka", j a k v y s v ě t ­ loval Fregovi, j e proto z b y t e č n é ; 3 9 j e di n é , c o l z e tak j a k o tak zachytit, j s o u j e j i c h v z á j e m n é vztahy, a p r á v ě to učiníme v o l b o u vhodných a x i o m ů , 4 0 z nichž s e ostatní formule-věty ( F r e g o v ý m i s l o v y ) rozvinou j a k o květina z e semene. T o , j a k é a x i o m y b u d o u z v o l e n y , j e z formalistova hlediska lhostejné; důležité j s o u p r á v ě j e n j e j i c h v z t a h y n a v z á j e m a t a k é k c e l k u odvoditelných vět. M i n i m u m v tomto ohledu t v o ř í tzv. konzistence s y s t é m u , t j . současná neodvoditelnost f o r m u l e a j e j í negace. V nekonzistentním s y s t é m u l z e totiž p o m o c í elementární l o g i k y o d v o d i t libovolnou formuli. L á k a v o s t Hilbertova f o r m a l i s m u , která z n í ostatně dodnes činí převláda­ j í c í , b y t neoficiální f i l o s o f i i pracujících matematiků, s p o č í v á p r á v ě v k o m b i ­ naci „ v e r b á l n í " skromnosti a „praktického" e f e k t u tohoto základního poža­ d a v k u : syntaktická konzistence b y l a n e p o c hy b n ě cosi, c o m n o z í kapitáni moderní matematiky a matematické l o g i k y nepovažovali v ů b e c z a hodna kon­ troly, n e b o ť s e v e s v ý c h úvahách domnívali dotýkat něčeho tak základního a evidentního, ž e s e u ž pouhá p ř e d s t a v a sp o ru z d á l a p o d r ý v a t ten s a m ý rozum, k t e r ý tyto ú v a h y v y p r o d u k o v a l - v ý s l e d k e m b y l R u s s e l l ů v paradox. A x i o matizace teorie množin znamenala v této situaci nesporné z p e v n ě n í metody. Cteme-li n y n í Hilbertovo z n á m é „ v y z n á n í " F r e g o v i ohledně konzistence c o b y p r v n í m a posledním kritériu matematické existence a p r a v d y j a k o pou­ k a z na ošidnost sebeevidentních sémantických metod p r a v d i v ý c h , a proto bezesporných vět, j e to dojista z á sa h d o černého, n e b o ť to b y l a p r á v ě nejistota ohledně p o v a h y j e h o „základních z á k o n ů aritmetiky", c o stálo z a F r e g o v o u bezradností tváří v tvář R u s s e l l o v ě p a r a d o x u a c h y b ě v důkazu, který m ě l s y s t é m u bezespornost zaručit. N a druhou stranu s á m fakt, ž e s e F r e g e o tako­ v ý d ů k a z v ů b e c pokusil, j e j o k a m ž i t ě z b a v u j e podezření, ž e b y syntaktické m e t o d y podceňoval - to b y b y l o ostatně absurdní s ohledem na j e h o autorství „ p o j m o v é h o p í s m a " , k t e r é t a k é s v o u f o r m o u sloužilo Hilbertovu p o z d ě j š í m u zakládání matematiky „axiomatickou m e t o d o u " j a k o v e l e ú s p ě š n é paradigma. 3

2000 F r e g O V a

4 0

a H i l b e r t o v a

korespondence in Frege (1976) Existuje také český překlad Frege

Vzhledem k Fregově známé odmítavé reakci j e pozoruhodné, že ve svých Grundlagen jakousi verzi „štrukturalistické" teorie sám zastával V i z Frege (1884), §26

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

269

V e skutečnosti t o b y l p r á v ě Frege, k d o si p o v š i m l , ž e s kr o m no s t f o r m a listových p ř e d p o k l a d ůj e z v e l k é části f i n g o v a n á , j e d n a k k d y ž si v d ů k a z e c h bezespornosti či nezávislosti a x i o m ů v y p o m á h á existencí m o d e l ů z j i n ý c h o b o r ů (např. aritmetického v geometrii), j e d n a k k d y ž k á ž e bezespornost, a l e reálně j i s t u d u j e j e n n a o s v ě d č e n ý c h teoriích j a k o j e a l g e b r a či analýza, které j s o u c o d o existence o s p r a v e d l n ě n é j i ž s v ý m p o dí le m na l i d s k é praxi měření a počítání, t a k ž e s e n á m o k a m ž i t ě v y b a v í Wittgensteinovo: „ M á m pocit: k d y b y s e v axiomech n ě j a k é h o s y s t é m u o b j e v i l spor, n e b y l o b y to z a s t a k v e l k é neštěstí. Nic snazšího, n e ž h o ostranit." 4 1 A p l i k a c e aparátu v ý r o k o v é l o g i k y n a v í c o d f o r m a l i s t o v y k o n c e p c e pravdi­ vosti v ě t y j a k o j e j í odvoditelnosti v deduktivním s y s t é m u v y ž a d u j e , a b y b y l tento s y s t é m v e d l e konzistence t a k é úplný, t j . a b y p r o k a ž d o u u z a v ř e n o u f o r m u l i b y l o l z e o d v o d i t b u ď t o j i n e b o j e j í negaci. Jedině tak l z e totiž užít základní ú s u d k o v ý princip přechodu z nepravdivosti v ě t y na p r a v d i v o s t j e j í negace, z a c h y c e n ý m j . v tzv. z á k o n u vyloučeného třetího, t e d y alespoň d e f i nujeme-li n e p r a v d i v o s t v ě t y j a k o j e j í neodvoditelnost. Definujeme-li j i j a k o pouhou odvoditelnost negace, v y h n e m e s e sice u neúplného s y s t é m u tomu, a b y b y l a věta a z á r o v e ň j e j í n e g a c e s o u č a s n ě prohlášeny z a n e p r a v d i v é , o v š e m z a cenu, ž e n e b udo u mít p r a v d i v o s t n í hodnotu v ů b e c . V ý r a z „ A v - i A " b u d e p a k v obecnosti p rá z dn ý , čten v m e t a j a z y c e n e p r a v d i v ý . Odtud t a k é B r o u w e r o v a kritika Hilberta. Z hlediska strukturalismu m á o v š e m úplnost p r o formálně-deduktivní s y s t é m ten z c e l a z á s a d n í v ý z n a m , ž e j e nutnou (nikoli v š a k postačující) pod­ m í n k o u j e h o kategoričnosti, t j . interpretovatelnosti i z o m o r f n í m i - strukturálně identickými - m o d e l y . N e ú p l n ý s y s t é m S l z e totiž z existence f o r m u l e A takové, ž e S [/A a S |-/->A, konzistentně rozšířit j a k n a s y s t é m S u { A } , t a k S U { - ' A } . Jeden i d r u h ý m á p o t o m z v ě t y o úplnosti model, j e n ž j e i mode­ l e m s y s t é m u S; tyto d v a m o d e l y a l e n e m o h o u b ý t izomorfní, n e b o ť p a k b y v j e d n o m z nich nemohla platit f o r m u l e , a v d r u h é m j e j í negace. V této situaci t e d y není p ř e k v a p i v é , ž e to b y l y p r á v ě G o d e l o v y v ě t y o neúpl­ nosti, d o k a z u j í c í existenci p r a v d i v é , a v š a k syntakticky nedokazatelné, a t e d y n e z á v i s l é aritmetické v ě t y (resp. f o r m u l e p r a v d i v é v e standardním m o d e l u aritmetiky, a v š a k neodvoditelné v ž á d n é m konzistentním e f e k t i v n ě p o p s a n é m deduktivním s y s t é m u f o r m u l í p r a v d i v ý c h tamtéž), c o o d k r y l o marnost Hilbert o v a finitistického p r o g r a m u , c o Carnapa odradilo o d j e h o plánu l o g i c k é s y n ­ t a x e j a z y k a a c o t e p r v e z T a r s k é h o díla učinilo definitivní triumf s é m a n t i k y

41

Wittgenstein (1984a), s 303. Srv. „Je-li spor tak dobře skryt, že si ho nikdo nevšiml, proč bychom nemohli to, co nyní děláme, nazývat vlastním počítáním 9 " Wittgenstein (1984b), s 375

270

Vojtěch KOLMAN

c o b y samostatné l o g i c k é disciplíny. D a l š í o s u d logicismu n e j e n tváří v t v á ř G ô d e l o v ý m větám, a l e p ř e d e v š í m R u s s e l l o v u paradoxu, b y c h chtěl podro­ b n ě j i sledovat v samostatné stati. Katedra logiky FF UK Celetná 20, 11000, Praha 1 kolmann2post.cz LITERATURA BOLZANO, B. (1817): R e i n analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass z w i s c h e n j e z w e y W e r t h e n , d i e e i n entgegengesetztes Resultat g e w ä h r e n , wenigstens eine reelle W u r z e l d e r G l e i c h u ng liege. Praha. BOLZANO, B. (1963): G r u n d l e g u n g d e r Logik. Kambartel, F. (ed.). Hamburg. BOOLE, G. (1854): A n Investigation o f t h e L a w s o f T hou ght, o n w h i c h a r e f o u n d e d t h e m a t h e m a t i c a l theories o f Logic a n d Probabilities. London. COFFA, A . (1991): T h e Semantic T r a d i t i o n f r o m K a n t to Carnap. Cambridge. DEDEKIND, R. (1888)' W a s s i n d u n d w a s sollen d i e Zahlen. Braunschweig. FREGE, G. (1879): Begriffsschrift, e i n e d e r arithmetischen nachgebildete F o r m e l s p r a c h e des r e i n e n Denkens. L. Nebert, Halle. FREGE, G. (1884): Die G r u n d l a g e n d e r A r i t h m e t i k . E i n e logisch mathemati sche U n t e r s u c h u n g tiber d e n B e g r i f f d e r Zahl. Breslau. FREGE, G. (1893): Grundgesetze d e r A r i t h m e t i k . Begriffsschriftlich abgeleitet. I. B a n d . Jena FREGE, G. (1897): Ueber die Begriffsschrift des Herrn Peano und meine eigene In: Berichte tiber d i e V e r h a n d l u n g e n d e r K o n i g l i c h Sächsischen Gesellschaft d e r Wi ssenschaf ten z u L e i p z i g XLVIII FREGE, G. (1906)' Uber die Grundlagen der Geometrie. I-III In: Jahresbericht d e r Deutschen Mathematiker-Vereinigung X V . FREGE, G (1976): Wissenschaftlicher Briefwechsel Gabriel, G., Hermes, H., Kambartel, F., Thiel, C., Veraart, A. (eds ). Hamburg. FREGE, G. (2000): Fregova korespondence s Hilbertem. V. Kolman (překl.). In: Filosofický časopis 48/4. GRATTAN-GUINNESS, I. (2000). T h e Search f o r Mathematical Roots 1870-1940. Oxford. FRITZ, K. von (1971): G r u n d p r o b l e m e d e r Geschichte d e r antiken Wissenschaft. de Gruyter, Berlin. JEVONS, S. (1879): T h e Principles o f Science. London. KANT, I. (1992): K r i t i k d e r r e i n e n V e r n u n f t . Frankfurt am Main. KOLMAN, V (2002a). L o g i k a Gottloba Frega. Praha. KOLMAN, V . (2002b). K Fregově údajnému holismu. In: Filosofický časopis 50/5. LEIBNIZ, G. W. (1960): F r a g m e n t e z u r Logik. Schmidt, F. (ed., pfekl.) Berlin. LORENZEN, P. (1984): N o r m a t i v e L o g i c a n d Ethics. Bibliographisches Institut AG, Zurich. SHAPIRO, S. (1991): Foundations w i t h o u t Foundationalism. A Case f o r Second-order Logic. Oxford. SCHRODER, E. (1898): Uber Pasigraphie In: R u d i o . STEGMULLER, W. (1968): W a h r h e i t s p r o b l e m u n d d i e Idee d e r Sémantik. 2. Auflage. Wien, New York.

LOGICISMUS A MODERNÍ LOGIKA

271

TARSKI, A (1935): Der Wahrheitsbegnff in den formalisierten Sprachen. In: Studia Philosophica I TARSKI, A. (1936): O poj^ciu wynikania logicznego. In- Przeglsjd Filozoficzny 39. TARSKI, A. (1983)- Logic, Semantics, Metamathematics 2nd edition J. H. Woodger (transl.), Corcoran, J (ed.), Indianopolis 1983. WITTGENSTEIN, L (1921)- Tractatus logico-philosophicus. In: A n n a l e n d e r Naturphilos o p h i e 14. WITTGENSTEIN, L. (1979): Notebooks 1914-1916 2nd edition. Basil Blackwell, Oxford WITTGENSTEIN, L. (1984a): Philosophische G r a m m a t i k . R. Rhees (ed.), Frankfurt a. Main. WITTGENSTEIN, L (1984b): B e m e r k u n g e n i i b e r d i e G r u n d l a g e n d e r Mathematik. Anscombe, G E. M., Rhees, R „ Wright, G. H. von (eds.). Frankfurt a Main.