Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina reálných čísel. Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou y . Pokud a=0 je rovnicí y = b a tuto funkci nazýváme konstantní funkce.
Vlastnosti lineární funkce 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝑎=0
𝑎>0
y
𝑎<0
y x
𝐻 = {𝑏} Není prostá ani rostoucí
y x
𝐻=𝑅 Je prostá a rostoucí
x
𝐻=𝑅 Je prostá a klesající
ani klesající
Další vlastnosti funkcí Funkce 𝑓 se nazývá zdola omezená, právě když existuje číslo d takové, že pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓(𝑥) ≥ 𝑑. Pokud platí 𝑓(𝑎) = 𝑑, má f v bodě a minimum. Funkce 𝑓 se nazývá shora omezená, právě když existuje číslo h takové, že pro všechna 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 je 𝑓(𝑥) ≤ ℎ. Pokud platí 𝑓(𝑏) = ℎ, má f v bodě b maximum. Funkce se nazývá omezená, pokud je omezení zdola i shora.
11. Narýsujte grafy lineárních funkcí zadaných předpisem: a) 𝑓: 𝑦 = 2
b) 𝑓: 𝑦 = −1
c) 𝑓: 𝑦 = −𝑥
d) 𝑓: 𝑦 = −𝑥
e) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 − 2
f) 𝑓: 𝑦 = −𝑥 + 1
g) 𝑓: 𝑦 = 2𝑥
h) 𝑓: 𝑦 = − 2 𝑥 + 3
i) 𝑓: 𝑦 =
1
𝑥+4 2
12. Narýsujte grafy lineárních funkcí do téže soustavy souřadnic. Z nabízených možností vytvořte pravdivé tvrzení, nehodící se škrtněte. a) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 + 1
b) 𝑓1 : 𝑦 = 0,5𝑥 − 2
𝑓2 : 𝑦 = −𝑥 + 1
𝑓2 : 𝑦 = 2𝑥 − 2
𝑓3 : 𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑓3 : 𝑦 = −3𝑥 − 2
13. Narýsujte grafy lineárních funkcí do téže soustavy souřadnic. Z nabízených možností vytvořte pravdivé tvrzení, nehodící se škrtněte. a) 𝑓1 : 𝑦 = −𝑥
b) 𝑓1 : 𝑦 = 2𝑥
𝑓2 : 𝑦 = −𝑥 − 3
𝑓2 : 𝑦 = 2𝑥 + 2
𝑓3 : 𝑦 = −𝑥 + 4
𝑓3 : 𝑦 = 2𝑥 − 1
14. Určete koeficienty a tak, aby graf funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑎𝑥 − 2 procházel daným bodem A a) 𝐴[−7; 12]
b) 𝐴[0; −3]
15. Přiřaďte k sobě funkce, jejichž grafy jsou rovnoběžné přímky. A) 𝑓1 : 𝑦 = 0,5𝑥 + 1
1) 𝑓5 : 𝑦 = 𝑥 − 6
B) 𝑓2 : 𝑦 = −𝑥 + 1
2) 𝑓6 : 𝑦 = −3𝑥 + 1
C) 𝑓3 : 𝑦 = 𝑥 + 4
3) 𝑓7 : 𝑦 = 2 𝑥 − 4
D) 𝑓4 : 𝑦 = −3𝑥 − 3
4) 𝑓8 : 𝑦 = −𝑥 − 5
1
16. Přiřaďte k sobě funkce, jejichž grafy jsou rovnoběžné přímky. A) 𝑓1 : 𝑦 = 0,5𝑥 + 1
1) 𝑓5 : 𝑦 = 𝑥 − 6
B) 𝑓2 : 𝑦 = −𝑥 − 4
2) 𝑓6 : 𝑦 = −3𝑥 + 1
C) 𝑓3 : 𝑦 = 𝑥 − 3
3) 𝑓7 : 𝑦 = 2 𝑥 − 4
D) 𝑓4 : 𝑦 = 2𝑥 − 6
4) 𝑓8 : 𝑦 = −3𝑥 − 3
1
17. Pomocí dvou bodů, jimiž graf funkce prochází, stanovte předpisy lineárních funkcí zadaných grafy: a)
c)
b)
d)
e)
f)
19. Určete, zda body 𝐴[1; 3] a 𝐵[−2; −3], kterými prochází graf lineární funkce f. a) Narýsujte graf funkce f.
b) Stanovte předpis lineární funkce f.
c) Početně ověřte, zda body 𝑃[0,5; 2] a 𝑄[−0,5; −2] leží na grafu funkce f.
d) Početně určete souřadnice průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami x a y.
21. Narýsujte grafy lineárních funkcí s omezenými definičními obory. Určete vlastnosti funkcí. a) 𝑓: 𝑦 = −3; 𝑥 ∈ (−3; 4)
c) 𝑓: 𝑦 = 4; 𝑥 ∈ (−∞; 2)
b) 𝑓: 𝑦 = −4𝑥 ; 𝑥 ∈ ⟨0; 1⟩
d) 𝑓: 𝑦 = 𝑥 + 3; 𝑥 ∈(-∞;3⟩
e) 𝑓: 𝑦 = 2𝑥 + 1 ; 𝑥 ∈ ⟨−2; 2⟩
f) 𝑓: 𝑦 = −0,5𝑥 − 3 ; 𝑥 ∈ ⟨−2; ∞)
Užití funkcí k řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav PS 30 – 40 1. Zakroužkujte počet řešení jedné lineární rovnice o jedné neznámé. a) žádné
b) jedno
c) dvě
6. Vyřešte graficky lineární rovnice o jedné neznámé a správnost ověřte výpočtem. a) 2𝑥 − 1 = 0
b)
c)
𝑥 2
𝑥 2
+1=𝑥+2
+ 2 = 0,5 ∙ (𝑥 − 3)
d) 3 ∙ (𝑥 − 2) − 2 ∙ (𝑥 − 3) = 𝑥
d) nekonečně mnoho
7. V kartézské soustavě souřadnic jsou znázorněny grafy dvou lineárních funkcí. Zapište jejich rovnice a ověřte, že souřadnice průsečíku odpovídají řešení soustavy těchto rovnic.
8. Vyřešte graficky a početně soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a) 3𝑥 − 𝑦 = 1 𝑥−𝑦 =5
b)
2𝑥+4 2
+
8𝑦 8
=
12𝑦−8
𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0
c)
𝑥+10 2
=𝑥−𝑦
𝑥 − 2𝑦 = 2
4
9. Do připravených soustav dokreslete druhý graf lineární funkce tak, aby zakreslená situace představovala grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s požadovaným počtem řešení. Zapište rovnice a řešení těchto soustav.
10. Přiřaďte ke každému grafickému řešení odpovídající nerovnici. 1)
𝑥−𝑦+2>0
2)
𝑥 ≥𝑦−2
3)
4𝑥 − 𝑦 < 2
4)
2≥𝑦
5)
1
6)
𝑦 ≤ −3𝑥 − 3
7)
𝑦> 𝑥−
1
8
5
5
8)
𝑦 > 3𝑥 − 3
1
4
4
5
𝑥−4≤𝑦 2
1
11. Řešte graficky lineární nerovnice o dvou neznámých.
Funkce s absolutní hodnotou PS 41-45 1. Jsou dány předpisy funkcí. Přiřaďte každému předpisu správný nul. bod abs. hodnoty: a) 𝑓: 𝑦 = |𝑥| + 1
b) 𝑓: 𝑦 = |𝑥 − 3|
c) 𝑓: 𝑦 = |5 + 2𝑥|
d) 𝑓: 𝑦2 ∙ |5 − 𝑥|
2. Jsou dány grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou. Přiřaďte ke každému grafu předpis funkce: 𝑓: 𝑦 = |𝑥| 𝑓: 𝑦 = −|𝑥| 𝑓: 𝑦 = |𝑥 + 1| 𝑓: 𝑦 = |𝑥| + 1 𝑓: 𝑦 = |𝑥 − 1| 𝑓: 𝑦 = |𝑥| − 1
3. Jsou dány grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou. Přiřaďte grafu předpis funkce, nulový bod absolutní hodnoty a vlastnosti funkcí. 4. 𝑓: 𝑦 = |2𝑥| − 1 𝑓: 𝑦 = |𝑥 + 1| 𝑓: 𝑦 = −|𝑥 − 1| 𝑓: 𝑦 = |𝑥 − 2| 𝑓: 𝑦 = |2𝑥 − 1| 𝑓: 𝑦 = −|2𝑥| + 1
4. Sestrojte grafy funkcí s absolutní hodnotou. a) 𝑓: 𝑦 = |𝑥 + 3|
b) 𝑓: 𝑦 = |𝑥| − 2
c) 𝑓: 𝑦 = |2𝑥|
d) 𝑓: 𝑦 = −|2𝑥 + 1|
e) 𝑓: 𝑦 = −|2 − 𝑥|
f) 𝑓: 𝑦 = |𝑥 + 1| + 1
Příklady k domácí přípravě 1. Je dána lineární funkce 𝑦 = 2𝑥 − 3 a) doplňte tabulku b) zapište průsečíky s osami 3 x -2
y
-5
c) vypište vlastnosti funkce
7
2. Je dána lineární funkce 𝑦 = −𝑥 + 2 a) sestrojte graf funkce
b) zapište průsečíky s osami
c) vypište vlastnosti funkce
3. Řešte graficky soustavu rovnic, zapište řešení a proveďte zkoušku
3𝑥 + 𝑦 = 1 2𝑥 − 𝑦 = 4
