Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Daniel Schwarz

© Institute of Biostatistics and Analyses

Osnova • Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti • Fourierovy řady • Frekvenční charakteristika systémů • Ideální filtry – propusti • Fourierova transformace s diskrétním časem

• Příklady: výpočty frekvenčních charakteristik ručně a v Matlabu

Bi0440


Opakování: systémy •

Definice systému

•

Struktura systému

•

Vlastnosti systémů

•

Princip superpozice

•

LTI systémy

•

Reprezentace signálů pomocí lineární kombinace jednotkových impulsů

•

Impulsní charakteristika

•

Konvoluce

Bi0440


LTI systémy lineární systém

Hledáme „základní“, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled

Bi0440


LTI systémy lineární systém

Hledáme „základní“, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled

MINULE: DNES:

Bi0440

jednotkové impulsy sinusové signály ‐ komplexní exponenciály


Eulerovy vztahy − jx

e +e cos x = 2 jx − jx e −e sin x = 2j jx

Bi0440


Fourierovy řady

?

Bi0440


Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.

Bi0440


Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.

Fourierovy řady slouží jako teoretický základ pro analýzu signálů a systémů ve frekvenční oblasti.

Bi0440


Fourierovy řady

x(t) ak

Bi0440

……………. spojitý periodický signál se základní periodou T ……………. diskrétní posloupnost komplexních čísel


Fourierovy řady

průměr

Bi0440


Fourierovy řady

průměr

Bi0440


Fourierovy řady

průměr

Bi0440


Fourierovy řady periodický sled Diracových impulsů (vzorkovací funkce)

pro všechna k

Bi0440


Fourierovy řady periodický sled Diracových impulsů (vzorkovací funkce)

pro všechna k

Všechny komponenty mají stejnou amplitudu a stejnou fázi. Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ:

Bi0440

je reálná je sudá, pak

je ………….

je sudá, pak

je ………….



Bi0440


je lichá.

je sudá, pak

je lichá.




je lichá.

je sudá, pak

je lichá.

POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t0

Bi0440




je lichá.

je sudá, pak

je lichá.


Příklad: posun o půl periody. …………………………………. Bi0440




je lichá.

je sudá, pak

je lichá.


Příklad: posun o půl periody. Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮV TEORÉM: …………

Bi0440

…………


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮV TEORÉM: Průměrný výkon signálu

Bi0440

Výkon k‐té harmonické složky




Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná.

Bi0440




Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná.

NÁSOBENÍ:

x(t) i y(t) jsou periodické signály s periodou T.

důkaz:

Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T. ………... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje.

Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T. ………... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje.

Násobení ve frekvenční oblasti !!! Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: ……………………………………………….

… aneb k čemu mi je analýza periodických signálů , když většina signálů, které znám, jsou neperiodické? (EKG, epidemiologické trendy, apod.) Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: • periodické signály ……………… Fourierova řada • aperiodické signály……………. Fourierova transformace diskrétní posloupnost koeficientů pro ω0, 2ω0, 3ω0, … 8

periodické s ω0 = 0 a T = .

Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: • periodické signály ……………… Fourierova řada • aperiodické signály……………. Fourierova transformace diskrétní posloupnost koeficientů pro ω0, 2ω0, 3ω0, … 8

periodické s ω0 = 0 a T = .

Integrace přes nekonečno a výsledkem bude spojitý obraz spojité funkce x(t):

Bi0440


Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů

x[n] – periodický signál se základní periodou N.

Bi0440




……………… řada

Bi0440




konečná řada

Bi0440




konečná řada

…… suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k. Bi0440




konečná řada

ak = ? …… suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k. Bi0440


Fourierovy řady

ak = ?

N rovnic o N neznámých… Bi0440


Fourierovy řady

ak = ? Konečné geometrické řady:

Bi0440


Fourierovy řady

ak = ? Konečné geometrické řady:

………………………………………………….

……. spec. vlastnost u diskrétních signálů Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě diskrétního signálu a DTFT (discrete‐time Fourier transform): ……………………………………………….

Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě diskrétního signálu a DTFT (discrete‐time Fourier transform): DTFT nějaké posloupnosti se počítá úplně stejně jako se počítají koeficienty Fourierovy řady této posloupnosti

Bi0440


Periodické signály a LTI systémy

Bi0440



„zesílení“

amplituda fáze

Bi0440



„zesílení“

amplituda fáze LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesiluje nebo potlačuje frekvenční komponenty existující ve vstupním signálu. Bi0440



Frekvenční charakteristika: G(ω) =

Bi0440



Frekvenční charakteristika: G(ω) =

…… je periodická funkce, jejíž výpočet odpovídá výpočtu koeficientů Fourierovy řady impulsní charakteristiky h. Bi0440


Periodické signály a LTI systémy FILTROVÁNÍ Volbou tvaru G(ω)=H(ejω) můžeme ovlivnit frekvenční kompozici na výstupu systému. • preferenční zesílení, • selektivní výběr určitých frekvenčních složek

Bi0440



U diskrétního času platí, že:

Bi0440



odpovídá …………………………………………. odpovídá …………………………………………. |

Bi0440

|



odpovídá vzorkovací frekvenci diskrétního signálu. odpovídá nejvyšší frekvenci původního signálu. |

Bi0440

|


Idealizované filtry

……………………………..

……………………………..

……………………………..

…… hraniční (cutoff) frekvence Bi0440


Idealizované filtry

Dolní propust

Horní propust

Pásmová propust

…… hraniční (cutoff) frekvence Bi0440


Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

……………………………………………

Bi0440



……………………………..

Bi0440



……………………………..

Bi0440



Bi0440


3. cvičení 1. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systému, který aproximuje derivaci signálu:

2. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systém, který provádí dvouvzorkové vyhlazování:

3. Aplikujte vyhlazovací a derivovací systém na učitelem dodané 1‐D a 2‐D signály a sledujte jak frekvenční charakteristika systémů ovlivňuje povahu výstupních signálů.

Bi0440


3. cvičení Dotaz z minulé hodiny: „Jak souvisí vzorky impulsní charakteristiky s diferenční rovnicí, co do pořadí koeficientů (dotaz je relevantní u systémů s nesymetrickými impulsními odezvami)?“ y[n] = 3x[n]+2x[n‐1]+1x[n‐2] …pořadí odpovídá postupnému „zapomínáním starších vzorků na vstupu“. h[n] = 3δ[n]+2δ[n‐1]+1δ[n‐2]

Bi0440


3. cvičení

Bi0440


3. cvičení

Bi0440


3. cvičení

Bi0440


;

ffgf

Otázky ? [email protected]

60 Bi0440


Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Recommend Documents