Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Daniel Schwarz

Investice do rozvoje vzdělávání

Osnova •

Opakování: signály a systémy

•

Vlastnosti systémů

•

Systémy a jejich popis v časové doméně:

•

•

•

Konvoluce

•

Impulsní charakteristika

Systémy a jejich popis ve frekvenční doméně: •

Fourierovy řady

•

Odezva systému na harmonický signál, frekvenční charakteristika

Příklady: •

systém pro hledání bodů zlomu v signálu

•

výpočet frekvenční charakteristiky systému z jeho diferenční rovnice

Bi0440

© Institute of Biostatistics and Analyses

Opakování: signály •

Definice signálu a jeho matematické vyjádření

•

Klasifikace signálů – podle čeho dělíme a na co je dělíme

•

A/D převod – z čeho se skládá

•

Vzorkovací věta a aliasing

•

Kvantování a kvantizační šum

•

Systém – definice, struktura systému

•

Systém – tři základní vlastnosti

Bi0440


Vlastnosti systémů lineární x nelineární systémy časově invariantní x časově proměnné systémy kauzální x nekauzální systémy :

Bi0440

y[n] = x2[n]

…………?

y[n] = x[2n]

…………?


Vlastnosti systémů lineární x nelineární systémy časově invariantní x časově proměnné systémy kauzální x nekauzální systémy :

Bi0440

y[n] = x2[n]

Nelinární, časově invariantní, kauzální

y[n] = n.x[2n]

Lineární, časově proměnný, nekauzální


LTI systémy Lineární časově invariantní systémy (LTI): • disponují elegantní matematické vztahy mezi jeho vstupy a výstupy. • lze určit výstupní odezvu systému na jakýkoli vstup • lze také určit vstup systému při pozorování jeho výstupu

Selský rozum: „Znám-li odezvu LTI systému na velmi krátký vstupní signál, mohu pomocí těchto velmi krátkých signálů seskládat libovolný vstupní signál a odezvu LTI systému na něj pak seskládat ze známé odezvy na velmi krátký signál.“

Bi0440


LTI systémy lineární systém

Hledáme „základní“, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled

Bi0440


Jednotkový diskrétní impulz

?

Bi0440


Jednotkový diskrétní impulz

Jednotkový diskrétní impulz je elementární posloupnost ve tvaru osamělého vzorku jednotkové velikosti

Pozn.: Neplést s Diracovým impulsem !

Bi0440


Reprezentace DT signálů jednotkovými impulsy

Bi0440


Reprezentace DT signálů jednotkovými impulsy

Pozn.: Filtrační vlastnost Diracovy distribuce:

Bi0440


Odezva systému na jednotkový impuls x[n]

LTI systém

y[n]

Lineární systém: … je odezvou systému na:

Bi0440



LTI systém

y[n]

Lineární a časově invariantní systém s odezvou h[n] na jednotkový impuls:

Bi0440



LTI systém

y[n]

Lineární a časově invariantní systém s odezvou h[n] na jednotkový impuls:

konvoluční suma Bi0440


LTI systémy: konvoluce x[n]

Bi0440

LTI systém

y[n]



LTI systém

y[n]

IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU

Bi0440



LTI systém

y[n]

Sečti odezvy přes všechny k Bi0440



LTI systém

y[n]

http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html

Bi0440


LTI systémy: konvoluce

Bi0440



Bi0440



Bi0440



Bi0440



Bi0440



Stabilní systém – kritérium v časové oblasti

Bi0440



Komutativní vlastnost konvoluce

Bi0440



Asociativní vlastnost konvoluce

Bi0440



Distributivní vlastnost konvoluce

Bi0440



Distributivní vlastnost konvoluce

Každý netriviální LTI systém může být rozložen na paralelní spojení jednodušších dílčích LTI systémů. Bi0440



Průměrovací vlastnost konvoluce

Bi0440


2. cvičení 1. Realizujte vlastní funkci pro výpočet konvoluce pomocí cyklu, násobení a sčítání. Porovnejte výsledky z Vaší implementace s výsledky z matlabovské funkce conv(). Otestujte, zda je operátor konvoluce komutativní. 2. Realizujte systém představující hranový detektor pro detekce bodů zlomu v signálu. Hranový detektor představuje druhou diferenci. 3. Realizujte systém popsaný touto diferenční rovnicí: y[n] = (-0.2426x[n]+0.73152x[n-1]+6.0635x[n-2]+16.912x[n-3]+ +26.536x[n-4]+26.536x[n-5]+16.912x[n-6]+6.0635x[n-7]+ +0.73152x[n-8]+-0.2426x[n-9]) / 100. a prozkoumejte jeho odezvu na předložený signál.

Bi0440


2. Cvičení - konvoluce

Bi0440


2. Cvičení – hranový detektor

Bi0440


2. cvičení – vyhlazování

10 zaruseny originalni vyhlazeny

9

8

7

6

5

4

3 150

Bi0440

200

250

300

350

400




ffgf

SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

34 Bi0440




Bi0440




MINULE: NYNÍ:

Bi0440

jednotkové impulsy sinusové signály - komplexní exponenciály (harmonické časové řady) © Institute of Biostatistics and Analyses

Eulerovy vztahy jx

− jx

e +e cos x = 2 jx − jx e −e sin x = 2j

Bi0440


Harmonická časová řada

f (n ) = A ⋅ sin (ω f n + ϕ ), f (n ) = A ⋅ e

Bi0440

(

j ω f n +ϕ

)

.


Harmonická časová řada f (n ) = A ⋅ sin (ω f n + ϕ ), f (n ) = A ⋅ e

Bi0440

(

j ω f n +ϕ

)

.


Fourierovy řady

?

Bi0440


Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím harmonických složek vyjádřených goniometrickými funkcemi nebo komplexními exponenciálami.

Bi0440


Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím harmonických složek vyjádřených goniometrickými funkcemi nebo komplexními exponenciálami.

Fourierovy řady slouží jako teoretický základ pro analýzu signálů a systémů ve frekvenční oblasti.

Bi0440


Fourierovy řady

x(n ) =

jkω 0 n a e  k

k= N

FŘ diskrétní posloupnosti x(n)

Bi0440

ω0 … základní úhlová frekvence 2π/N N … počet vzorků v jedné periodě ak … koeficienty FŘ


Fourierovy řady x[n]

x(n ) =

jkω 0 n a e  k

k= N

FŘ diskrétní posloupnosti x(n)

Bi0440

LTI systém

→

y (n ) =

y[n]

(

)

jkω 0 jkω 0 n H e a e  k

k= N

ω0 … základní úhlová frekvence 2π/N N … počet vzorků v jedné periodě ak … koeficienty FŘ


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ:

Bi0440

je reálná je sudá, pak

je ………….

je sudá, pak

je ………….



Bi0440


je lichá.

je sudá, pak

je lichá.




je lichá.

je sudá, pak

je lichá.

POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t0

Bi0440




je lichá.

je sudá, pak

je lichá.


Příklad: posun o půl periody. …………………………………. Bi0440




je lichá.

je sudá, pak

je lichá.


Příklad: posun o půl periody. Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮV TEORÉM: …………

Bi0440

…………


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮV TEORÉM: Průměrný výkon signálu

Bi0440

Výkon k-té harmonické složky




Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná.

Bi0440




Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná.

NÁSOBENÍ:

x(t) i y(t) jsou periodické signály s periodou T.

důkaz:

Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T. ………... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje.

Bi0440


Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T. ………... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje.

Násobení ve frekvenční oblasti !!! Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: ……………………………………………….

… aneb k čemu mi je analýza periodických signálů , když většina signálů, které znám, jsou neperiodické? (EKG, epidemiologické trendy, apod.) Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: • periodické signály ……………… Fourierova řada • aperiodické signály……………. Fourierova transformace diskrétní posloupnost koeficientů pro ω0, 2ω0, 3ω0, …

Bi0440

8

periodické s ω0 = 0 a T =

.


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě a Fourierově transformaci: • periodické signály ……………… Fourierova řada • aperiodické signály……………. Fourierova transformace diskrétní posloupnost koeficientů pro ω0, 2ω0, 3ω0, … 8

periodické s ω0 = 0 a T =

.

Integrace přes nekonečno a výsledkem bude spojitý obraz spojité funkce x(t):

Bi0440


Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů

x[n] – periodický signál se základní periodou N.

Bi0440




……………… řada

Bi0440




konečná řada

Bi0440




konečná řada

…… suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k. Bi0440




konečná řada

ak = ? …… suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k. Bi0440


Fourierovy řady

ak = ?

N rovnic o N neznámých… Bi0440


Fourierovy řady

ak = ? Konečné geometrické řady:

Bi0440


Fourierovy řady

ak = ? Konečné geometrické řady:

………………………………………………….

……. spec. vlastnost u diskrétních signálů Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě diskrétního signálu a DTFT (discrete-time Fourier transform): ……………………………………………….

Bi0440


Fourierovy řady Poznámka o Fourierově řadě diskrétního signálu a DTFT (discrete-time Fourier transform): DTFT nějaké posloupnosti se počítá úplně stejně jako se počítají koeficienty Fourierovy řady této posloupnosti

Bi0440


Periodické signály a LTI systémy

Bi0440



„zesílení“

amplituda

Bi0440

fáze



„zesílení“

amplituda

fáze

LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesiluje nebo potlačuje frekvenční komponenty existující ve vstupním signálu. Bi0440



Frekvenční charakteristika:

Bi0440

G(ω) =



Frekvenční charakteristika:

G(ω) =

…… je periodická funkce, jejíž výpočet odpovídá výpočtu koeficientů Fourierovy řady impulsní charakteristiky h. Bi0440


Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

……………………………………………

Bi0440



……………………………..

Bi0440



……………………………..

Bi0440



Bi0440


3. cvičení 1. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systému, který aproximuje derivaci signálu:

2. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systém, který provádí dvouvzorkové vyhlazování:

3. Aplikujte vyhlazovací a derivovací systém na učitelem dodané 1-D a 2-D signály a sledujte jak frekvenční charakteristika systémů ovlivňuje povahu výstupních signálů.

Bi0440


3. cvičení

Bi0440


3. cvičení

Magnitude Response (dB)

5

Magnitude (dB)

0

-5

-10

-15

0

Bi0440

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 Normalized Frequency (×π rad/sample)

0.7

0.8

0.9


3. cvičení

70 Incidence Mortalita

60 50 40 30 20 10 0 -10 1975

Bi0440

1980

1985

1990

1995

2000

2005




ffgf

Otázky ? [email protected]

82 Bi0440


Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Recommend Documents