LINEÁRIS ÉS NEMLINEÁRIS TERMELÉSI ÉS RAKTÁROZÁSI MODELLEK
Vállalati modellek A mikroökonómiai vállalati alapmodell a neoklasszikus marginális elméleten alapul. Egyetlen vállalati célnak az egyetlen termékkel elérhető profit maximalizálását tekinti. Számos bírálat érte a közgazdászok részéről, amelyek közül néhány fontosabb: •létezik, de ma már egyre ritkább az egytermékes vállalat; •a vállalat számára mind a keresleti, mind a kínálati oldal folytonos, legalább kétszer differenciálható függvényekkel írható le (azért, hogy alkalmazni lehessen a marginális elméletet), ami messze áll a gyakorlattól; •a vállalati célok között nem mindig a profit maximálása a legfontosabb; •a vállalatot nem, mint rendszert, hanem csak, mint egyszerű termelőegységet írja le; •a tökéletes verseny a valóságban nem létező konstrukció; •a tökéletes informáltság, a csökkenő hozadék feltételezése irreális; •a modell egyetlen értéke sem változik az érvényességi tartam alatt, azaz a modell statikus és egyben determinisztikus, stb. A bírálatok ellenére az egytermékes alapmodell elméleti jelentősége nagy. Ugyan nem a valóságot írja le, de mint az ideális gazdasági viszonyok leírása, tökéletes és nagy előnye, hogy egyszerű és könnyen
Egy probléma megoldásának menete • • • • •
- a probléma megfogalmazása - a modell felállítása - a modell megoldása - az eredmények összevetése a valósággal - az eredmények elemzése után a következtetések levonása
Szimulációs modellek • A szimulációs modellek olyan egyenletek és más matematikai relációk összességéből állnak, amelyekkel a rendszereket, mint egészeknek a viselkedését ábrázolják, azaz a vállalatnál érvényesülő főbb összefüggéseket próbálják feltárni úgy, hogy kevésbé kötődnek a rendelkezésre álló matematikai algoritmusokhoz. • Az ilyen jellegű modelleknél a szimulációt általában Monte-Carlo módszerrel végzik. A módszer a rulettjátékosok hasonló célú „nyerő” eljárásáról kapta elnevezését :
• A rulettjáték egy egyszerű blokksémája az ábra felső sorában látható. • Az alsó ábrasor egy ipari projekt sémáját mutatja.
A Monte-Carlo módszer a gyakorlatban
• A komplex vállalati modellekben a legmegfelelőbbek az algebrai egyenletek (vagy a differenciálegyenlet rendszerek); • Ha a rendszer felírható A . x = b alakban, akkor a feladat a paraméterek (az A elemeinek) meghatározására redukálódik.
A termelési modellek lineáris programozása Ezen modellek jellegzetessége, hogy bennük csak lineáris összefüggések találhatók, amelyekre két feltételnek kell teljesülnie: •- az összegezésre: A(x + y) = A(x) + A(y) és •- a skalárral való szorzásra: A(λ.x) = λ.A(x). (Ez a két feltétel a lineáris algebra alapfeltevése.) A lineáris modellek mind a természet-, mind a társadalomtudományok-ban elterjedtek, mert •- a valóságos folyamatok adott korlátokon belül jól közelíthetőek lineáris struktúrákkal •- a lineáris programozás fejlett módszerekkel rendelkezik. A lineáris egyenleteknél a feladat “pusztán” a paraméterek meghatározása (a paraméteridentifikáció ma már önálló tudományág).
A paraméterek becslése • - a technológiai (közvetlen) módszernél a paramétereket közvetlen méréssel határozzuk meg a folyamatokból és így determinisztikus egyenletrendszert kapunk • - a globális (közvetett) módszernél az együtthatókat más determinisztikus értékekből számítjuk ki (például a később tárgyalandó ÁKM-ből: a technológiai együtthatók bevezetése) • - a szabad becslések módszerénél a paramétereket mérlegeléssel becsüljük, például paraméterekként az utolsó megvalósult értékeket választjuk • - a statisztikai becslések módszerénél a matematikai statisztika törvényszerűségeit használjuk fel paraméterbecslésre. Az első két módszer inkább speciális összefüggések, például a termelésben fennálló kapcsolatok modellezésére használatos. A vállalat, mint rendszer leírására az utolsó két módszer az alkalmasabb. A szabad becslések módszerének előnye, hogy nincs különösebb számításigénye, a szükséges módosítások kísérletek során közvetlenül végrehajthatók, viszont a választott értékeknél nincs garancia, hogy helyes értékeket reprezentálnak, amelyek bizonyos trend eredményei. A statisztikai becslés számításigénye nagy, de biztosítja a paraméterek reprezentatív jellegét.
lineáris programozás • A feladat: a termelési érték maximumát adó termékösszetétel meghatározása adott korlátozó feltételek mellett. • Matematikai felírásban, keressük a max Z = p.x = Σ pi.xi megoldását az A.x ≤ b x≥0 korlátozó feltételek teljesülése esetén, ahol Z - a termékek termelési értéke, p - az ár- vagy nyereségvektor, x - a termékek vektora, A - a technológiai együtthatók n×m-es mátrixa, b - az erőforrások rendelkezésre álló, maximális mennyisége. (ha p - a termékek költségének vektora és A.x ≥ b a korlát, akkor költségminimalizálás a cél).
• Ha megoldható a feladat, a megoldást szimplex módszerrel keressük. A feladatot primális problémának is nevezik, mert létezik a feladatnak egy másik megfogalmazása, a duális probléma is, az eredeti tükörproblémája, amikor keressük a min K = q.b AT.q ≥ p q≥0 megoldását, ahol K - az összköltség, q - az árnyékárak vektora, b - a erőforrás-felhasználás mennyiségi vektora, AT - a technológiai együtthatók mátrixának transzponáltja, p - a termékek ára. • A felírt primális és duális feladat megoldására teljesülnie kell, hogy max Z = min K
• Az árnyékárak értelmezéséhez használjuk fel a határtermelékenység fogalmát, amely megadja, hogy mennyivel nő a termelési érték, ha a termelési tényező felhasznált mennyisége egy egységgel növekszik. Az árnyékár a fenti leírás értelmében maga a határtermelékenység. Analitikus definíciója:∂ Z
qj =
∂ bj
. • Annak az erőforrásnak az árnyékára, amely nincs teljesen kihasználva, nyilvánvalóan zérus, mert mennyiségének változtatása nem befolyásolja a termelési értéket. A teljesen kihasznált erőforrásoknak pozitív az ára.
• A homogén termelési függvényekre érvényes Euler-tétel a lineáris programozási feladatokban is érvényes, így m ∂Z optimális termelési program esetén Z = ∑ b j. , ∂bj j=1 tehát a felhasznált erőforrás mennyiségek és az árnyékárak szorzatának összege megadja a teljes m termelési értéket. ∂Z p = a . ∑ ji ∂ b i • Emellett minden termékre érvényes, hogy j j=1 , ami azt jelenti, hogy a technológiai együtthatók és az árnyékárak szorzatának összege megadja a termék árát. (Termékár alatt valójában az önköltségi árat kell érteni.)
a primális és a duális feladat
q1 duális q2 probléma . változói . . qm
X1 a11 a21 . . . am1 p1
primális probléma változói X2 … Xn a12 … a1n a22 … a2n . . . . . . am2 p2
… …
amn pn
duális probléma korlátozó feltételeinek állandói = primális probléma célfüggvényének együtthatói
b1 b2 . . . bm
primális probléma korlátozó feltételeinek állandói = duális probléma célfüggvényének együtthatói
Példa • Egy személy- és tehergépkocsikat gyártó cég optimális termelési programját kell meghatározni. Egy személygépkocsin (X1) 300 $, egy tehergépkocsin (X2) 250 $ nyereség van. Az üzemnek négy részlege van, amelyeknek havi teljesítményei az alábbi táblázatban találhatók: gépkocsi típus
szgk (db) -
X1
25000
33333
szgk összeszerelő 22500
tgk (db)
X2
35000
16667
-
-
sajtoló
motorszerelő
tgk összeszerelő
15000
Ekkor X 2 korlátozó X2 X 1a primális X 2 problémaXa1 következő X 1egyenletekkel + ≤ 1 ≤1 + ≤ 1 ≤1 írható fel: 33333 16667 15000 25000 35000 22500
;
;
;
Keressük a Z = 300.X1 + 250.X2 a nyereségfüggvény maximumát. A feladat megoldása:. az optimális termékkombináció az X1 = 20370 db, X2 = 6481 db termékmennyiségeknél található. Ekkor a nyereség: Z = 300.20370+ 250.6481= 7731250 $.
Grafikus megoldás • A feladat egyszerű, grafikusan is megoldható, a célfüggvény berajzolásával.
Grafikus megoldás • A feladat egyszerű, grafikusan is megoldható, a célfüggvény berajzolásával. Az optimális termékkombináció a C pont, így a két egyenes metszéspontja az X1 = 20370 db, X2 = 6481 db termékmennyiségeknél található.
A duális feladat • Az X1 és X2 ilyen megosztásban való gyártása a sajtoló- és motorszerelő-üzem kapacitását teljesen kihasználja, így van árnyékáruk. A gépkocsi szereldék kihasználatlanok, tehát nincs árnyékára az anyagnak, ∂ Z amit felhasználnak: ∂Z q3 = =0 q4 = = 0. és ∂ b3 ∂ b4 • A technológiai együtthatók 1 25000 1 = 35000
1 33333 1 = 16667
1 22500 1 = 15000
a11 =
a 21 =
a 31 =
a12
a 22
a 42
• Az egyenletek:
1 ∂Z 1 ∂Z 1 ∂Z 1 ∂Z 1 ∂Z 1 ∂Z . + . + . ≥ 250 . + . + . ≥ 300 35000 ∂ b1 16667 ∂ b 2 15000 ∂ b4 25000 ∂ b1 33333 ∂ b 2 22500 ∂ b3
∂Z • Ebből ∂Z q2 = = 925,9 $ q1 = = 6805,6 $ ∂ b • . ∂ b1 2 • A q1, q2 árnyékárak megadják, hogy az egyes üzemek kapacitásának egységnyi (1 %-os) növelése mennyivel növelné a vállalat termelési értékét.
Nem-lineáris termelésprogramozás • A lineáris programozási modellekben a termelés volumene és a fizikai egységekben mért ráfordítások, a költségek, a nyereség, stb. volumene között lineáris összefüggéseket tételezünk fel, holott az empirikus vizsgálatok szerint ezek nem lineárisak. • A nem-linearitás jól érzékeltethető grafikusan is, ahol a korlátozó feltételek (bal ábra) és/vagy a célfüggvények (jobb ábra) nem lineárisak.
A nem-linearitás következményei • - nem lehet a lineáris programozási módszereket alkalmazni, mivel ott abból indulunk ki, hogy a megoldás a megengedett tartomány valamely csúcspontján helyezkedik el, tehát az optimális programban annyi erőforrás van teljesen kihasználva, ahány termék szerepel a modellben. Nem-lineáris modellnél a megoldás nem helyezkedik szükségszerűen a megengedett tartomány határán, vagy sarokpontján. • - a lineáris programozásban a primál feladatra a duális megoldás egy „ráadás”, de a megoldás a duális feladat nélkül is meghatározható. Nem-lineáris programozásnál általában a két feladat együttes megoldásából lehet csak meghatározni az optimális megoldást.
• Az előző, gépkocsikkal kapcsolatos példa könnyen átalakítható nem-lineáris feladattá: tegyük fel, hogy a személygépkocsik ára az értékesített X1érték: mennyiséggel csökken és a tisztaPtermelési ,a 1 = 625 − tehergépkocsiké pedig: P2 = 250. 60 2 A célfüggvény: Z = 625 − X1 X + 250 X = 625 X − X1 + 250 X
60
1
2
1
60
2
A 8 m$ termelési értéket képviselő görbe érinti a motorszerelés korlátozó egyenesét és ez adja az adott feltételek mellett az optimális megoldást, ami 15 ezer db személygépkocsi és valamivel több, mint 9 ezer db tehergépkocsi gyártását teszi lehetővé. Látni, hogy ebben az esetben csak a motorszerelde kapacitásának kihasználása teljes. Az optimális megoldás tehát nem sarokpont, de a megengedett megoldások tartományának határán fekszik.
Másik eset • Tekintsük azt az esetet, amikor a tehergépkocsi ára s így a tiszta X termelési értéke is függvénye az eladott mennyiségnek: P2 = 400 − 2 30 A célfüggvény a követképpen módosul: X12 X 22 Z = 625 X1 − + 400 X 2 − 60 30 Az optimális megoldás 18750 db személygépkocsi és 6000 db tehergépkocsi. Ebben az esetben egyik részleg kapacitása sincs teljes mértékben kihasználva. A termelés növelésének nem a rendelkezésre álló kapacitások (a korlátozó feltételek) szabnak határt, hanem a határbevétel és határköltség egyenlősége. Matematikailag ez azt jelenti, hogy ott van a termelési optimum, ahol a termelési érték termelési szerinti d(P1X1 ) mennyiség X d (P2 Xderiváltja Xzérus: 2) = 625 − 1 = 0 = 400 − 2 = 0 dX 2 15 ; dX1 30 Az egyenletekből könnyen számíthatók a megadott értékek. • A levonható következtetés: nem-lineáris célfüggvény esetében a megoldást (az optimális termékmennyiségeket) vagy a kapacitáskorlátok, vagy a határköltség és határbevétel egyenlővé válása határozza meg és nem biztosított a kapacitás-kihasználás egyik üzemrésznél sem.
A készletezés (raktározás) programozás modelljeiről • A kérdés, amelyre választ kell adniuk az, hogy mekkora legyen a raktárkészlet és mennyi időnként szükséges feltölteni a készleteket. A nyers- és alapanyag, félkésztermék, ill. a késztermék raktározás szoros kapcsolatban áll a termeléssel, hiszen mind a termelés, mind az értékesítés folytonossága megkövetel bizonyos készleteket, amelyek léte viszont költség. Determinisztikus raktározási modell • A termékek raktározási költsége fixnek tekinthető, a termelési költségek viszont függnek a sorozat nagyságától. Input oldalról már a megrendeléseknek van költsége és a beérkező mennyiségeknek biztosítani kell a folyamatos termelést. Minél nagyobb a termelés volumene, annál nagyobb mennyiségű input tárolása válik szükségessé. Az input oldalhoz hasonlóan, az output oldalon a nagyobb késztermék sorozat egységköltsége kisebb, viszont nagyobb mennyiségű terméket kell tárolni hosszabb ideig, így a raktározás időegységre jutó egységköltsége lesz nagyobb.
Determinisztikus raktározási modell • Közelítsük meg a kérdést a költségek oldaláról. Keressük az egységnyi termékre jutó K = Kt + Kr termelési és raktározási (beszerzési) költségek minimumát. X X D • A raktározási költség felírható: K r = .k r .t.n = .k r .t. 2 2 X ahol X - az egy ciklusban megrendelt árumennyiség (a sorozatnagyság) és így X/2 az átlagos raktárkészlet; kr - a raktározás egységköltsége; t - két megrendelés (két egymás utáni T T.X sorozat) közötti idő; D - az éves kereslet. t= = D • A két megrendelés közötti idő a sorozatnagyságtól függ:D, X k .T.X ahol T a megrendelés éves sűrűsége. Ezt K r (sorozatindítás) = r visszahelyettesítve: . 2 • A termelési (kereskedelmi) költséget fix (kfc = FC), azaz D.k fc (sorozatbeindítási) és változóköltség (kvc = megrendelés-feladási Kt = + D.k vc AVC) összegeként X felírva:
• Így a teljes költség: K=
D.k fc k r .T.X + D.k vc + . 2 X
• Ennek minimuma adja az optimális megrendelési tétel(sorozat-) nagyságot: dK k r .T D.k fc = − 2 =0 dX 2 X
amiből: .
X opt =
2.D.k fc k r .T
Sztochasztikus raktározási modell • A termelésben és a kereskedelemben is gyakori, hogy bizonytalan a várható kereslet, a megrendelés és az áru beérkezése közötti idő, a raktárkészlet hiányából adódó veszteség és még sok, a raktározással kapcsolatos tényező. Ha ismerjük ezek valószínűségi eloszlását, akkor készíthetünk sztochasztikus modellt. • Példa az ilyen típusra: • tegyük fel, hogy a vállalat ki szeretné elégíteni egy terméke iránti összes keresletet, de a pontos értékek helyett csak a valószínűségi eloszlását ismeri. Ha többet termel (rendel), mint amennyit el tud adni, raktározási, kamat és egyéb veszteségek érik, ha kevesebbet, akkor fennáll a piacvesztés lehetősége. • A kérdés az, hogy mennyit termeljen (rendeljen) a legkisebb veszteség érdekében.
• Legyen R - a (keresletnek megfelelő) tervezett raktárkészlet, X - a normál termelés. • A normál termelés költsége: K1 = k1.X, ahol k1 - a normál termelés egységköltsége. • A veszteségelemzés szempontjából két eset lehetséges: a. A tervezett raktárkészlet kisebb a keresletnél az adott időszakban, R ≤ X. A költséget a többlettermelés magasabb (pl. túlóra) költsége okozza: K2 = k2.(X − R). ahol k2 - a többlettermelés egységköltsége. b. A tervezett raktárkészlet nagyobb vagy egyenlő a kereslettel az adott időszakban, R ≥ X. A raktározási többletköltség: K3 = k3.(R − X), ahol k3 - a raktározás egységköltsége.
• Jelölje F(x) a kereslet sűrűségfüggvényét és f(x) az eloszlásfüggvényt. Esetünkben x = R mellett az összes költség várható értéke, haR a termelés maximuma M:M K = ∫ [k1.R + k 3.( R − X )].f ( x ).dx + ∫ [ k1.R + k 2 .(X − R )].f ( x ).dx 0
R
mivel 0→R-ig X = R, ezért deriválási szempontból konstansnak R így tekinthető, ∫ k1.R.f ( x ).dx = C = 0
• = konstans. A költségegyenletet az alábbi formában felírva a: R
M
0
R
K = C + ∫ k 3.( R − X ).f ( x ).dx + ∫ [k1.R + k 2 .(X − R )].f ( x ).dx -nek • ott van minimuma, ahol a várható értékére R M dK = 0 = k 3 . ∫ f ( x ).dx + (k 1 − k 2 ). ∫ f ( x ).dx dR 0 R • Az eloszlásfüggvény definíciója alapján R M és , f ( x ).dx = F(R ) f ( x ).dx = 1 − F(R )
∫
∫
0
R
• kapjuk, hogy F(R ) =
k 2 − k1 1 = k 2 + k 3 − k1 1 + k 3 k 2 − k1
•
A kapott eredmény értékelésekor feltehető, hogy a tervezett feletti termelés fajlagos költsége nagyobb a normál termelés fajlagos költségénél (k2 > k1). Ekkor a tört értéke 0 és 1 közé esik, tehát valóban valószínűségi változóról van szó. Minél kisebb a raktározási többletköltség a túlmunka költségénél (ami a raktárhiány költsége), annál nagyobb a valószínűsége az esemény bekövetkezésének, vagyis minél nagyobb a raktárhiányból származó veszteség a raktártöbbletből származó veszteségnél, annál nagyobb raktárkészlet szükséges.
Példa: legyen a kereslet valószínűségi sűrűségfüggvénye az alábbi táblázattal adott Ennyi % a valószínűsége
20
30
40
50
60
70
80
hogy a kereslet ≤
90
100
110
120
130
140
150
Legyen k1 = 10, k2 = 12, k3 = 3. A többlettermelés többletköltsége így: k21 = k2 − k1 = 2. A tervezett optimális raktárkészlet 1 valószínűsége, F( R ) = = 40% 1+
3 12 − 10
tehát – a táblázatból - R ≤ 110 az optimális raktárkészlet
Megjegyzések • - ha a raktártöbblet vesztesége nagyobb (mert esetleg romlandó az áru), k3 = 8, így F(R)=20 %, tehát R ≤ 90 az optimális raktárkészlet, vagy • - ha a túlmunka költsége nagy, k2 = 14,5, így F(R) = 60 %, tehát R ≤ 130 az optimális raktárkészlet. Vegyük észre, hogy 0 ≤ F(R) ≤ 1, tehát F(R) valóban valószínűségi változó azzal a megszorítással, hogy k2 > k1, tehát a túlmunka költsége magasabb, mint a reguláris munkáé s ez egy nem túl erős megszorítás. R − 200 Egy másik megközelítés: F = 0,4 → 40 % Ha F(x) normális eloszlású, átlaga 200 10 és szórása 10, az R − 200 egységköltségek megegyeznek a fentiekkel és 10 ahol a normális eloszlás standardizált értéke. A vonatkozó táblázatból a 40 %-os valószínűségnek −0,243 érték felel meg, így R = 197,57 ≈ 198 db az optimális készlet.
A Just-In-Time (JIT) rendszer • • • •
A jelenlegi gazdasági környezetben a fő szabály a következő: KIELÉGÍTENI AZ ÜGYFÉL IGÉNYÉT, azaz a megrendelt terméket a megígért határidőn belül a kért minőségi szinten a legjobb áron leszállítani és mindezt változékony piacokon s a termékek növekvő változatossága és múlandósága mellett.
• Miért nem működnek már a klasszikus szabályok • • • •
•
A személyre szabás követelménye rosszul illeszkedik a gazdaságos mennyiségek és a belső optimalizálás fogalmaihoz, melyek a termékek standardizálása felé hatnak. A közép és hosszú távú előrejelzések még bizonytalanabbakká válnak. A gyakori programkorrekciók még szervezetlenebbé teszik a termelésprogramozást. A termelési kockázatok elfogadása odavezet, hogy majdnem mindenütt költséges puffer készleteket vezetnek be, ami növeli az elavulás veszélyét. A nyomott áramlások technikája - a végsőkig menve az ilyen környezetben - oda vezet, hogy hatalmas elcsúszás következik be a ciklusidő és a technológiai idő között és a minőségi problémákra történő reagálás is legyöngül. A növekvő minőségi követelmények költséges korrekciókhoz és többletkésésekhez vezetnek.
Az új játékszabályok A piac fejlődéséből következik a fő cél: LERÖVIDÍTENI A CIKLUSIDŐKET Azok a szabályok, amelyekkel azt elérhetjük azok a következők: • Áttérni a gazdaságos sorozatok gyártásáról a megrendelésre történő gyártásra, minden ésszerű alkalommal. Ha nem lehetséges, csökkenteni a gyártási sorozatok méretét a jobb reagáló képesség érdekében és elkerülni a készleteket. • Eleve előnyt biztosítani a minőségnek és bevezetni minőségbiztosítási eljárásokat a termelési folyamatok valamennyi szakaszában. • Visszautasítania meghibásodások végzetszerűségét és fokozni a megelőzésüket minden lehetséges alkalommal. • A minőségbiztosítási követelmény egyaránt érvényes az adminisztratív funkciókra és a managementre is. A JIT rendszer alapvető feladata, hogy a következőket biztosítsa: nulla hiba nulla készlet nulla tévedés nulla meghibásodás
