7 Rekenen 2
Dit hoofdstuk is bedoeld als aanvulling op het boek voor 4VWO wiskunde B
Inhoudsopgave 7 Rekenen 2 1 2 3 4
Breuken Wortels Rekenen in de meetkunde Rekenen in de kansrekening
1 8 14 17
eerste verbeterde experimentele uitgave, juli 2008 Colofon © 2008
Stichting De Wageningse Methode
Auteurs
Leon van den Broek, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Aafke Piekaar, Daan van Smaalen
Illustraties
Wilson Design, Uden
Distributie
Iddink voortgezet onderwijs bv, Postbus 14, 6710 BA Ede
ISBN
isbn
Homepage
www.wageningse-methode.nl
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande toestemming van de houder van het copyright.
Het is aan te bevelen in geen enkele opgave het rekenmachientje te gebruiken.
1 Breuken Je herinnert je de volgende sommetjes van de basisschool nog wel: 3 ⋅ = 12 ; 7 ⋅ = 140 enzovoort. De getallen die ingevuld moeten worden, kun je ook schrijven als: 12 : 3 ; 140 : 7 enzovoort of als 12/3 , 140/3 enzovoort of als 12 140 , enzovoort. 3 7 De getallen die je in moet vullen, hoeven niet geheel te zijn, bijvoorbeeld 13/3.
a = c komt op hetzelfde neer als a = b ⋅ c . b a a = ⋅b = a . b b Dit geldt voor alle getallen a, b en c met b ≠ 0.
Dus: b ⋅
Waarom heeft de uitdrukking
a geen zin als b = 0? b
1 Bereken (schrijf zo eenvoudig mogelijk): 111 ⋅ 87
222 ⋅ 87
111 ⋅ 87
4 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ 5 4 3 2
22 505 9 ⋅ ⋅ 303 9 55
a 5 ⋅ 5 2a
111
a⋅
a⋅
b a
ap ⋅
b a
111
2
a⋅
b a
b ap
222
a2 ⋅
a⋅
b a
bp a
Hierbij zijn a, b en p getallen met a ≠ 0 en p ≠ 0.
Breuken
1
2 Vereenvoudig 3 x +1 ⋅ x +1 7
3 2x + 2 ⋅ x +1 7
3 2x + 2 ⋅ 5x + 5 7
3 x − 3 2x + 2 ⋅ 5x + 5 7x − 7
x 2 22 ⋅ 33 5 x
( x + 1) 2 22 ⋅ 33 ( x + 1) 2
3 Welke van de volgende formules zijn goed? (Dat wil zeggen, zijn ze waar voor alle a en b waarvoor ze zin hebben?)
a−2 =a a
2−a = −1 2+a
2a a = 2 + a 1+ a
1 a = 2+a 2
2+a a = 2+b b
2a + b =2 a + 21 b
1a 2 1b 3
a a2 = b b2
= 1
a b = b 1 a
3a 2b
a − 3b 3b − a = b − 2a 2a − b
4 Verandert in het algemeen een breuk als • je bij teller en noemer hetzelfde getal optelt? • als je teller en noemer kwadrateert? • als je van teller en noemer het tegengestelde neemt? • als je van teller en noemer het omgekeerde neemt? • als je teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt?
Voor alle getallen t, n en p met n ≠ 0 en t ≠ 0 geldt: t t⋅p = n n⋅p
2
Rekenen 2
+
=
+
=
De som van twee breuken De som van twee breuken kun je als één breuk schrijven door de noemers gelijknamig te maken. Voorbeelden: 2 2 6 2 8 + = + = 3 9 9 9 9
2 1 6 5 11 + = + = 5 3 15 15 15
b b ab b ab + b + = + = 2 2 2 a a a a a2
2 b 6 ab 6 + ab + = + = a 3 3a 3a 3a
5 Schrijf als één breuk met zo eenvoudig mogelijke noemer. 7 1 5 4 − − 9 3 11 9
1 5 2 + + 10 12 15
1 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16 32
3 2 + t t
3 t + t 3
t t + 2 3
3 +2 t
1 1 + x +1 x −1
1 1 − x +1 x −1
1 x + x +1 x −1
x −1 x +1
x+
3x x −3
5 3 − x +5 x +3
x−
3x x −3 x
( x + 5)
2
−
1 x +5
6 Los op:
Breuken
4 4 + =3 x +1 x −1
1 3 + =2 x x+2
2x x +1 − =1 x +1 x + 3
x−
x2 +1 =1 x
3
Vereenvoudigen Nog twee voorbeelden 2 3 3 4
2
⋅ 12 8 = 3 = 3 ⋅ 12 9 4
2 3 x
=
2⋅ x 3 x
⋅x
2x 3
=
7 Schrijf zo eenvoudig mogelijk. 3 16 4 9
3 8 9 16
6 t 3 t
6 t 6 n
t
t
6 t
1
3 t
t 3
t
t n
8 Maak de breuk rechts van het = -teken af. 1 +a 1 +a 3+ 1+ 2 2 = = 1 3+b −a 2
9 Schrijf als enkelvoudige breuk, dat wil zeggen zonder breuk in teller en noemer. 1 + 1 1+ 1 10 20 a b
1−
1 200
1 1− ab
11
1
11 11 + 12
1+
1 a +1
1 a
a +1
a +1
1 a
10 Welke van de volgende formules zijn goed? a a a+b b = 1+ = 1+ a+b b a a
a+b a b = + c+d c d
a+b b = a+d d
Vereenvoudigen Voorbeeld
x 2 + 5x + 6 2
x −4
4
=
( x + 2 )( x + 3 ) x + 3 = ( x + 2 )( x − 2 ) x − 2
Rekenen 2
11 Vereenvoudig door teller en noemer eerst te ontbinden.
9 − x2
x 2 + 3x
x2 − x − 6
x2 + x − 6
x 4 + 2x 3 − 8 x 2 3
2x + 6
2
1 2
x + x − 12 x
x + 1 21
4x + 8
x 2 + 4x + 4
x2 − 4
x2 − 4
−2 x + 4
x 10 − 1
x2 − 4
x5 −1
Op de GR zit de toets x −1 . Een andere schrijfwijze van 1 x −1 is . We noemen x −1 het omgekeerde van x. Er x 1 t n geldt: x ⋅ = 1 . Als x = dan is x −1 = . x n t t In het volgende is x = . n Er geldt: a a⋅n a⋅n n a: x = = = = a ⋅ = a ⋅ x −1 . t t ⋅n t t n
n
Conclusie (dit heb je misschien op de basisschool al gehad) Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk.
12 Bereken en schrijf zo eenvoudig mogelijk.
2 3 : 3 4
2 4 : 3 9
0,27 : 0,03
a 1 : x x
a :a x
a x : x a
a b a : : x x x
x 2 : a2 x :a
a x
b a : : x x
( x − 1) :
Breuken
1 x
x − 1:
1 x
x:
1 x −1
5
13 Los de volgende vergelijkingen in x op. 2 3
x=
3 4
0,11x = 1,21
3 10
x = −1
1 41 x =
3 8
14 Voowerp en beeld Een lampje is opgesteld voor een lens. Achter de lens bevindt zich een scherm waarop het beeld van het lampje wordt opgevangen. Als het lampje verplaatst wordt, moet je het scherm meebewegen om een scherp beeld te houden. De afstand lampje-lens noemen we v. (de voorwerpsafstand), de afstand scherm-lens noemen we b, (de beeldsafstand), beide in dm. 1 1 Voor onze lens geldt: + = 1 . v b a. Geef een formule voor b uitgedrukt in v. Schrijf het antwoord als één zo eenvoudig mogelijke breuk.
b . v b. Geef een formule voor V uitgedrukt in v. Schrijf het antwoord als één zo eenvoudig mogelijke breuk. c. Voor welke v is V = 2? De vergroting V van de lens is
We bewegen het lampje 1 dm verder van de lens af. d. Beweegt het beeld dan naar de lens toe of er van af? 1 1 Hoe kun je dat aan de formule + = 1 zien? v b Het aantal dm dat het beeld zich verplaatst naar de lens, noemen we A. e. Geef een formule voor A uitgedrukt in v. Schrijf het antwoord als één zo eenvoudig mogelijke breuk. 15 Een schakeling Ui de wet van Ohm volgt dat een parallelschakeling met twee weerstanden R1 en R2 kan worden vervangen door 1 1 1 één weerstand R, waarbij: = + . R R1 R 2 (Dat wil zeggen dat als je over de schakeling en over de weerstand R hetzelfde spanningsverschil zet, er bij beide schakelingen dezelfde stroom zal lopen.) In de parallelschakeling hiernaast is R1 een weerstand van 10 Ω en R2 een schuifweerstand die kan variëren van 0 tot 10 Ω. a. Wat gebeurt er met R als R2 groter wordt?
6
Rekenen 2
b. Welke waarden kan R aannemen? De schuifweerstand is gezet op x Ω. c. Druk R uit in x. De schuifweerstand wordt 1 Ω groter, dus R2 wordt x + 1. d. Druk het aantal Ω dat R groter wordt uit in x. 16 a. Ga na dat 21 − 31 = 21 ⋅ 31 , 31 − 41 = 31 ⋅ 41 enzovoort.
1 1 1 − = . x x − 1 x( x − 1) b. Voor welke x heeft de formule geen betekenis? c. Bewijs dat formule juist is voor alle getallen x waarvoor hij betekenis heeft.
Bekijk de formule
Breuken
7
2 Wortels 1 De oppervlakte van een vierkant hangt af van de grootte van zijn zijde. De zijde van een vierkant met oppervlakte A is A . a. Vul in: als de oppervlakte 9 keer zo groot wordt, wordt de zijde ⋅ A. zo groot. In formule: 9 A = b. Vul in: als de oppervlakte 3 keer zo groot wordt, wordt de zijde zo groot. In formule:
1 4
⋅ A.
A=
c. Vul in: als de oppervlakte 2 keer zo groot wordt, wordt de zijde zo groot. Geef deze bewering ook in formulevorm. Factoren voor het wortelteken brengen Voorbeelden
18 = 9 ⋅ 2 = 3 2 700 = 100 ⋅ 7 = 10 7
2 Schrijf zo ook met een zo klein mogelijk geheel getal onder het
-teken.
75
80
90
0,05
5 9
3 4
3 a. Leg uit dat
1 2
=
1 2
b. Behandel zo ook: c. Leg uit dat geldt: d. Behandel zo ook:
2 1 3 2 3 3 5
1 5
,
= ,
1 3
en
1 n
.
p q
.
6. 5 7
en
De variabelen n, p en q zijn positief geheel.
8
Rekenen 2
Een wortel in de noemer Voorbeeld 3 3⋅ 2 6 1 = = =2 6 2 2 2⋅ 2 Het kan ook zo: 3 3 6 = = = 2 4 2
6
=
4
6 = 2
1 2
6
van de noemer een kwadraat maken
4 Schrijf zonder wortel in de noemer, met een zo klein mogelijk getal onder het
6
-teken.
6
6
a
5 4 3 a en b zijn positieve gehele getallen.
b
Als wortel van één getal schrijven Voorbeeld
3 2 = 9 ⋅ 2 = 18 1 2
7=
1 4
⋅ 7=
7 4
5 Schrijf als wortel van één getal. 1 2
1 2
8
3 8
10
3 10
0,1 8
0,1 10
2⋅ 8
2 ⋅ 10
6 Toon aan a.
4− 7 ⋅ 4+ 7 =3
b.
4+ 7 − 4− 7 = 2
Tip. Kwadrateer!
Peter kwadrateert 4 − 7 − 4 + 7 en vindt 2. c. Ga na dat Peter dat goed gedaan heeft. Peter concludeert nu dat 4 − 7 − 4 + 7 = 2 . d. Wat is hierop je commentaar?
Wortels
9
7 Vereenvoudig:
63 + 28
10 + 2 21
63 − 28
10 − 2 21
63 ⋅ 28
10 ⋅ 2 21
63 : 28
10 : 2 21
8 Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
( 3 − 2 )2 ( 11 − 10 )2 ( n + 1 − n )2 (2 10 )2
9 + 1 9
( 12 + 8 )2
10 + 1 10
( 13 + 7 )2
11 + 1 11
( 14 + 6 )2
12 + 1 12
( 10 + n +
10 − n
( 3 − 2 )( 3 + 2 ) ( 11 − 10 )( 11 + 10 ) ( n + 1 − n )( n + 1 + n )
)2
2
2
2
2
10 + n + 1 10 + n
2
9 Schrijf zo eenvoudig mogelijk, zonder wortel in de noemer (x > 0). 9 3 x
9
3
x
2x
x
2x
2 x
2x
x
2x + 4
x
2x + 4
2x
x2 + x x
10
x2 x
x2 + x x
x2
2 x
+ 21 x x
Rekenen 2
10 Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
(x + x )2 ( x −1 +
(x x )2 )
x +1
11 a. Reken na dat Kun je nu ook
1 x + x
2
2
8 + 2 7 = 7 + 1.
8 − 2 7 vereenvoudigen?
8+2 7 − 8−2 7 ?
En
b. Reken na dat Kun je nu ook
3 + 5 = 2 21 +
1 2
3 − 5 vereenvoudigen?
En 3 + 5 − 3 − 5 ? c. Vul passende gehele getallen in:
12 + 80 =
__ + __
12 Los de volgende vergelijkingen op.
x =5
x = −5
x =x
x = −x
x = 2x
x x = 2x
2 x +1 = 2 + x +1 x +1 x
x+2 = x 2
= 1+ x
3 x − = 4 x
13 A, B, C en D zijn hoekpunten van een vierkant met zijden van lengte 8. P en Q liggen zó binnen het vierkant dat AP = BQ = CQ = DP. Er wordt een wegennet aangelegd zoals in de tekening hiernaast. De lengte van het net hangt af van de lengte van PQ, die we x noemen. a. Druk AP in x uit. b. Bereken x als AP = PQ. c. Bereken x als de lengte van het net 22 is.
Wortels
11
14 Schrijf als één zo eenvoudig mogelijke enkelvoudige breuk. 1 1 1 + x + x x x 1 2 x+ x− x x 2x + 2 x −2
Voorbeeld Schrijf zonder wortel in de noemer:
2
2
=
3− 2
⋅
3− 2
3+ 2 3+ 2
=
2 3 +2 2 =2 3 +2 2 3−2
15 Schrijf zonder wortel in de noemer.
2
2
2 −1
2 +1
3+ 2
1
2 +1
a+b − b
2
1 1 16 Bekijk de formule: x 2 + 1 + 1 = x + . 2 x x a. Laat dat deze formule geldt voor elke x ≠ 0.
(
)
Bekijk de formule:
x2 +1 +
1
+1 =
(x + 1)2 + 1 + 1
2
x x2 b. Toon aan dat die voor positieve getallen x geldt. Laat met een tegenvoorbeeld zien dat die niet voor negatieve getallen x geldt. In de rechthoekige driehoek ABC hiernaast, ligt M op AB, N op BC en Q op AC zó, dat BM = BN = 1 en BNQM een rechthoek is. De lengte van AM noemen we x. 1 c. Toon aan dat CN = . Tip. Gebruik gelijkvormigheid. x Door AC op twee manieren in x uit te drukken, kun je de formule boven aan de bladzijde meetkundig bewijzen. d. Doe dat.
12
Rekenen 2
17 Bekijk de volgende formules: 1 x x x +1 = en = . 2 1 1 2 1+ x 2 1 + x 1+ 1+ x + 1+ x2 x2 a. Toon aan dat die voor positieve getallen x gelden. Laat met een tegenvoorbeeld zien dat die niet voor negatieve getallen x gelden. Bekijk nog eens de driehoek van de vorige opgave. Hoek CAB noemen we α. Door in drie verschillende driehoeken te kijken, kun je cos α op drie manieren in x uitdrukken. b. Laat op die manier meetkundig zien dat de formules juist zijn voor positieve x. 18 Nederlandse wiskunde olympiade, 1991 Van trapezium ABCD is gegeven: DA = AB = BC = 4 en CD = 2. Bereken de oppervlakte van de cirkel door de punten A, B, C en D.
Wortels
13
3 Rekenen in de meetkunde 1 We trekken in een driehoek met zijden 5, 6 en 8 een lijnstuk evenwijdig aan een van de zijden. Bereken x in elk van de gevallen.
2 Een driehoek wordt door een lijnstuk evenwijdig aan de basis verdeeld in twee stukken. De oppervlakte van elk van de stukken is gegeven. De basis van de driehoek is gegeven. Bereken de lengte van het lijnstuk.
3 ABCD is een parallellogram. M is het midden van CD. S is het snijpunt van AM en BD. Gegeven is dat AM = 6 en BD = 10. a. Bereken AS, BS, MS en DS. b. Bereken de verhouding van oppervlakten van de vier stukken waarin het parallellogram is verdeeld. 4 In een driehoek zijn twee lijnstukken evenwijdig aan de basis getekend. De lijnstukken hebben lengte B en H. De basis heeft lengte 1. Bereken de verhouding van de drie stukken waarin de opstaande zijden worden verdeeld.
5 De twee driehoeken in de gelijkvormig. Verder zie plaatje. Bereken x.
figuur
hieronder
zijn
6 In vierkant ABCD is M het midden van AD en staat CP loodrecht op BM. Bereken de lengte van CP.
14
Rekenen 2
7 Driehoek ABC is rechthoekig. CD is de hoogtelijn op de schuine zijde. a. Bewijs dat de driehoeken ADC, CDB en ABC gelijkvormig zijn. b. Bereken de stukken waarin D de schuine zijde verdeelt.
8 Bereken x in de figuur hieronder.
9 Op 3 meter afstand van een huis staat een viermeter hoge schutting. Een ladder staat tegen de gevel en steunt precies op de schutting. Bereken hoe ver de voet van de ladder voor de schutting staat als hij 10 meter hoog reikt.
10 We biljarten zonder effect via de x-as van (6,2) naar (0,3). De bal vertrekt van de band onder dezelfde hoek als hij er aankomt. In welk punt moeten we de x-as raken?
11 ABCDE is een regelmatige vijfhoek met zijden van lengte 1. De diagonalen AD en CE snijden elkaar in S. a. Laat zien dat de driehoeken ACS en DES gelijkvormig zijn. De lengte van AC noemen we x. b. Laat zien dat x 2 − x = 1 . c. Bereken de exacte waarde van x.
Rekenen in de meetkunde
15
De verhouding van de stukken waarin de diagonalen elkaar verdelen stond al bij de oude Grieken in de belangstelling. Het is de zogenaamde gulden verhouding.
diagonaal grote stuk = grote stuk kleine stuk
12 OABC ⋅ EFGH is een kubus met O(0,0,0), A(6,0,0), C(0,6,0) en D(0,0,6). Op de x-as ligt P(8,0,0) en op de zas Q(0,0,9). Driehoek PQC snijdt vier ribben van de kubus. De snijpunten noemen we R, S, T en U, zie plaatje. a. Bereken de coördinaten van de snijpunten. b. Welk deel van de oppervlakte van driehoek PQC ligt binnen de kubus? Q beweegt over de z-as. Hierdoor verandert de lengte van lijnstuk TR. c. Bereken de z–coördinaat van Q als T = (0,5,6). d. Wat is de maximale lengte van lijnstuk RT en bij welke z-coördinaat van Q wordt die bereikt?
13 Van driehoek ABC hiernaast is gegeven AB = 16 en AC = BC = 10. a. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC. b. Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Tip. Stel een vergelijking op met behulp van de stelling van Pythagoras.
14 De twee verticale palen van lengte 3 en 8 meter in het plaatje hieronder staan op een horizontaal terrein. Tussen de palen loopt een strak gespannen draad. De draad is verdeeld in drie even lange stukken. a. Hoe hoog liggen de verdeelpunten boven het terrein? b. Dezelfde vraag als de palen a en b meter lang zijn Vereenvoudig je antwoord. (met a < b).
16
Rekenen 2
4 Rekenen in de kansrekening 1 In een doos zitten witte en zwarte ballen. Jaap trekt twee keer een bal uit de doos. De kans dat de eerste bal wit is, is even groot als de kans dat de tweede wit is. Ook als Jaap zonder terugleggen trekt. Veronderstel dat er n witte en m zwarte ballen in de doos zitten. a. Neem n = 5 en m = 3 en bereken P(eerste wit) en P(tweede wit) = P(eerste wit en tweede wit) + P(eerste zwart en tweede wit). b. Druk P(eerste wit) en P(tweede wit) uit in m en n. Blijkbaar moet je laten zien dat: n n n −1 m n = ⋅ + ⋅ m + n m + n m + n −1 m + n m + n −1 c. Doe dat algebraïsch.
2 In een vaas zitten 100 knikkers, witte en zwarte. Het aantal witte knikkers in de vaas noemen we k. Anne trekt met terugleggen twee knikkers uit de vaas. P(k) is de kans dat de knikkers verschillend van kleur zijn. a. Geef een formule voor P(k). b. Voor welke k is P(k) maximaal? 3 In twee vazen zitten elk 50 knikkers. In de ene vaas witte, in de andere zwarte. Anne mag uit een van de vazen zoveel knikkers in de andere vaas stoppen als ze wil. Vervolgens moet ze, zonder te kijken uit één van de vazen een knikker halen. Als de knikker wit is, krijgt ze een prijs. Als Anne geen knikker verplaatst, of alle witte knikkers in één vaas stopt, is de kans dat ze een witte knikker pakt 1. Veronderstel dat ze k witte knikkers bij de zwarte doet. a. Druk de kans dat Anne een witte knikker pakt in k uit 25 en laat zien dat deze kans gelijk is aan 1 – . 50 + k b. Wat adviseer jij Anne? 4 In een vaas zitten 10 witte knikkers. Anne stopt er k zwarte bij. Nu pakt ze twee knikkers uit de vaas, met terugleggen. P(k) is de kans dat beide knikkers dezelfde kleur hebben. Als k = 0, dan is P(k) natuurlijk 1. Als k > 0,dan is P(k) < 1, maar als k erg groot is, dan is P(k) weer bijna 1. a. Geef een formule voor P(k). b. Voor welke k geldt: P(k) > 59 ?
Rekenen in de kansrekening
17
2
k − 10 P(k) = 21 + 21 ⋅ k + 10 c. Toon dat aan. d. Voor welke k is P(k) minimaal?
18
Rekenen 2
5 Antwoorden Paragraaf 1 Breuken 1 87
2
174
431
1 5
2 3
1 2
b b a
bp b p
ab
3 7 6 35
6 7 6 35
2x 15
2 3
3 fout fout fout goed goed
bp
fout fout goed fout goed
4 • ja • ja • nee • ja • nee 5
4 9 13 20
5 t 5t 6 2x
t +9 3t 2t + 3 t −2
x2 −1 x2 +1
x2 −1 −1 x +1
x2 −1 x2 x −3 2x (x + 5)(x + 3)
Antwoorden
1 99 31 32 2
x 2 − 6x x −3 −5
(x + 5)2
19
6 3, 31 geen oplossing
1, -1 -1
27 64
2 3
t2 3
3
8
3 + 6a 18 + 6b
1 + 2a 1 − 2a
9
30 199
7
2
6 t2
n t n t
a+b ab − 1 a +1 a+2
12 13
1
a2 + a
2
a +a 10 fout fout
goed fout
x +3 x+2 x (x − 2 ) x −3 4 x −2 −2 x +2
11 −
4
x +2 x−2 x5 +1
12 89
3 2
a
1 x
a2 bx x2 − x
x b 0
13 98
14 a. b =
9
a2 x2 x a x2 − x
- 10 3 3 10
11
20
x x −2
v v −1
Rekenen 2
1 v −1
b. V = c. 1 21
d. Naar de lens toe. Als v groter wordt, dan wordt kleiner, dus
e.
1 v
1 groter, dus b kleiner. b
1 v ( v − 1)
1 1 wordt dan kleiner, dus ook, dus R wordt groter. R2 R 1 b. Als R2 heel groot is, dan is bijna 0, dus dan R ≈ R2 1 erg groot, dus dan R ≈ 10. Als R2 bijna 0 is, dan is R2 R2, dus R neemt waarden tussen 0 en 10 aan.
15 a.
10 x x + 10 10 d. (x + 10 )(x + 11) c. R =
16 b. x = 0 en x = 1 Paragraaf 2
Wortels
1 a. 3, 3, b. 21 , 21 c. 2
2,
2A = 2 ⋅ A
5 3 1 10
3 a.
5 1 2
=
2 4
=
4 5
3 10
1 3
5
1 2
1 4
⋅2 =
1 2
2
1 3
6
3
b. 31 3 , 51 5 , n1 n c.
2 3
=
6 9
=
1 ⋅6 9
=
d. 51 15 , 71 35 , q1 pq
Antwoorden
21
4
1 5
1 2
30
6
1 b
2
2
2 21
0,08
0,1
72
90
16
20
5
6 a.
4− 7 ⋅ 4+ 7 =
(4 −
(
ab
))
7 ⋅ 4 + 7 = 16 − 7 = 3
2
b. 4 + 7 − 4 − 7 = 2
2
4 + 7 − 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 + 4 − 7 =
4 + 7 + 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 + 4 − 7 = 8 – 6 = 2. c. Zie b. d. 4 − 7 − 4 + 7 = − 2 , want negatief. 7
1 21 10
5 7
1 2
7 42
5−2 6
1
21− 2 110
1
2n + 1 − 2 n( n + 1)
1
40
11 91
20 + 4 6
1 12 10
20 + 2 91
1 13 11
20 + 4 21
1 14 12
20 + 2 100 − n 2
12 + n + 101+ n
9 3
3
2 x 2x + 4 x x+ x
22
10
5 2
3 2
8
4 − 7 − 4 + 7 is
1 2 1 2
x x
2x
2x
x x
x x +1
x x
Rekenen 2
10 x 2 + x + 2 x x
x3
2x + 2 x 2 − 1
1 x
x +2+
11 a. Kwadrateren geeft: 8 + 2 7 = 7 + 2 7 + 1 en dat klopt.
8 + 2 7 en
Omdat
7 + 1 beide positief zijn, geldt:
8 + 2 7 = 7 + 1.
( 7 − 1)2 = 8 − 2
7 , dus
8 − 2 7 = 7 − 1.
8 + 2 7 − 8 − 2 7 = 7 + 1− b. Kwadrateren geeft: 2 1 + 2
2
= 2 1 + 2 2 1 ⋅ 1 + 2 2 2
1 2
3 + 5 . Omdat geldt dus
( 7 − 1) = 2
3 + 5 en
3 + 5 = 2 21 +
1 2
= 3 + 4 ⋅ 2 21 ⋅ 21 =
2 21 + 1 2
1 2
.
2
3 − 5 = 3 − 5 en 2 1 − 2
1 2
2 21 −
1 2
omdat zowel
3 − 5 als
3 − 5 = 2 21 −
1 2
beide positief zijn,
2
= 3 − 5 , en positief zijn, geldt:
.
3 + 5 − 3 − 5 = 2 21 +
1 2
− 2 21 −
1 2
= 2 2 1 = 10 2
c.
12 + 80 = 4 ⋅ 3 + 4 5 = 2 3 + 5 = 2 2 21 + 12 25 0, 1 0, 41
= 10 + 2
geen oplossing 0 0, 4
3 1
13 a.
1 2
2 1, 9 1 4
x 2 − 4 x + 32
-8+8 7 3 c. 2, 4 32
b.
Antwoorden
23
14
1+ x x 1
1+ x x 1
2 x
x
15 2 + 2
2− 2 a+b + b a
2 2 −1
(x
16 a.
2
1 1 + 1 + 1 = 1 + x 2 + + 1 en 2 x2 x
)
2
1 1 2 x + = x + 2+ 2 x x b.
(x + 1)2 + 1 + 1 x
2
= x 2 + 2x + 1 +
1 x
2
+
2 +1 x
En:
2 x +1+
2
1 1 + 1 = x 2 + 1 + 2 x 2 + 1 +1+ +1 2 2 x x x2 1 1 = x 2 + 1 + 2 x + + + 1 (de laatste gelijkheid volgt x x2 uit a.) 1
Als je voor x = -1 neemt, dan is het linkerlid 2 2 en het rechterlid 0. c. De driehoeken AMQ en QNC zijn gelijkvormig, dus: QM CN 1 CN = ⇔ = = CN AM QN x 1 1 d. AB= x + 1 en AC = 1+ . De stelling van Pythagoras x in driehoek ABC geeft: AC =
(x + 1)2 + 1 + 1
2
x Stelling van Pythagoras in driehoek AMQ geeft:
.
AQ = 1 + x 2 Stelling van Pythagoras in driehoek CNQ geeft: 1 . CQ = 1 + x2 Als je dit invult in AQ + QC = AC krijg je de gelijkheid x2 +1 +
24
1 x2
+1 =
(x + 1)2 + 1 + 1 x
2
.
Rekenen 2
x
17
=
1+ x 2
1 1 1+ x 2 x
x +1 2
1+ x + 1+
1
=
1+ x 2
x2
1+
x2 x +1
= 1
1
=
1+ x 2 +
en
1 x2 =
x2 +1
x2 x (x + 1)
x +1 x x ⋅ = = 1 2 2 x (x + 1) x + 1 1 + x 2 1+ x + 1+ x x Bij de eerste gelijkheid krijg je voor x = -1 in het linkerlid een negatief getal en in het rechterlid een positief getal. Bij de tweede gelijkheid krijg je voor x = -1 in het linkerlid een negatief getal en in het rechterlid 0. NQ 1 b. In driehoek CQN: cos α = = , CQ 1 1+ x2 AM x in driehoek QAM: cos α = = , AQ 2 x +1 2
in driehoek ABC: cos α =
AB = AQ + QC
x +1 2
x + 1 + 1+
.
1
x2 18 Zie plaatje. De hoogte van het trapezium is enerzijds: 1
4 2 − 12 = 15 , anderzijds: is R de straal van de cirkel.
R
4
Dus: R 2 − 1 + R 2 − 4 = 15 . Kwadrateren geeft:
M R 2
R 2 − 1 + R 2 − 4 . Hierbij
R 2 − 1 + 2 R 2 − 1 R 2 − 4 + R 2 − 4 = 15 , dus:
1
R 2 − 1 R 2 − 4 = 10 − R 2 . Nogmaals kwadrateren 4 2 2 4 geeft: R − 5 R + 4 = 100 − 20 R + R , dus 96 R2 = . De oppervlakte van de cirkel is πR 2 = 32 π. 5 15
3 Rekenen in de meetkunde 1
16 3
2 21
2
2 8
Antwoorden
25
3 a. 4, 6 32 , 2, 3 31 b. 1 : 2 : 4 : 5 4 8:1:3 5
x +2 x +5 = geeft x = 4 x x+2
6
4 5
7 a. ∠CAB + ∠ACD = 90° en ∠DCB + ∠ACD = 90°, dus ∠DCB = ∠CAB enzovoort. De drie driehoeken hebben dezelfde hoeken. b. 3 51 en 1 54 8 1, 2 9 2 meter 10 (3 35 ,0) 11 a. Vanwege symmetrie is AC evenwijdig met DE. b. Evenzo is CS evenwijdig met AB, dus is SCBA een parallellogram, dus CS = 1., dus SE = x − 1. Omdat ook CS = x ⋅ SE geldt: x (x − 1) = 1 . c. 21 + 21 5 (want x > 0)
(
) (
)
(
12 a. R 2 23 ,0,6 , S 4,0,2 41 , T (0,4,6 ) , U 6,0, 21
)
b. 119 deel 144 c. (0,0,30) d. 7 21 als Q = (0,0,24 ) 13 a. 48 b. 8 31 14 a. 4 32 , 6 31 b. 32 a + 31 b, 31 a + 32 b 4 Rekenen in de kansrekening 1 a. 58 ⋅ 74 + 38 ⋅ 57 = 58
26
Rekenen 2
n n+m
b.
en
n n −1 m n ⋅ + ⋅ m + n m + n −1 m + n m + n −1
n n −1 m n n 2 − n + mn ⋅ + ⋅ = c. m + n m + n − 1 m + n m + n − 1 (m + n )(m + n − 1)
=
n (n − m − 1) n = . (m + n )(m + n − 1) n + m
2 a. P (k ) =
(100 − k )k 4950
b. k = 50 1 k + 1 (50 + k ) 1 k 1 k + 25 k + 50 − 25 2 ⋅ + = 2 = = 2 50 + k 2 50 + k 50 + k 50 + k k + 50 25 25 − = 1− 50 + k 50 + k 50 + k b. De uitdrukking in a is maximaal als k zo groot mogelijk is. Ze moet dus alle knikkers in één vaas stoppen.
3 a.
2
2
100 + k 2 10 k 4 a. P (k ) = + = 10 + k 10 + k (10 + k )2 b. Minder dan 5 of meer dan 20 2
(k + 10 )2 + (k − 10 )2 = k − 10 c. 21 + 21 ⋅ = 21 ⋅ k + 10 (k + 10 )2 1⋅ 2
k 2 + 20k + 100 + k 2 − 20k + 100
(k + 10 )2
=
k 2 + 100
(k + 10 )2
d. Minimaal als k = 10
Antwoorden
27
