6. Gyakorlat 38B-12 Kett˝os r´est 600 nm hull´amhossz´ us´ag´ u f´ennyel vil´agitunk meg ´es ezzel egy erny˝on interferenci´at hozunk l´etre. Ezut´an igen v´ekony flint¨ uvegb˝ol (n = 1,65) k´esz¨ ult lemezt helyez¨ unk csak az egyik r´esre. Ennek k¨ovetkezt´eben az interferenciak´ep f˝omaximuma pontosan oda tol´odik el, ahol az eredeti elrendez´esben a tizedrend¨ u maximum volt. Sz´amitsuk ki ebb˝ol, hogy milyen vastag volt az u ¨veglemez! Megold´ as: Legyen a r´esek t´avols´aga d, az u ¨veglemez vastags´aga w! Az u ¨veglemez behelyez´ese el˝ott az intenzit´asmaximum a r´esek k¨oz´epvonal´aban volt, ami a z´erus f´azisk¨ ul¨onbs´eghez tartozik. Az u veglemez behelyez´ e se ut´ a n a z´ e rus f´ a zisk¨ u l¨ o nbs´ e g˝ u hely pozici´ o ja eltol´odik, ¨ m´egpedig u ´gy, hogy az u ¨veglemez f´azistol´as´at az u ¨veglemezzel nem fedett r´esen a´thalad´o f´eny hosszabb u ´tja kompenz´alja. Ha az erny˝o t´avols´aga el´eg nagy, a k´et r´esen ´athalad´o f´enysugarak p´arhuzamosaknak tekinthet˝oek. A tizedik maximumhoz tartoz´o α10 sz¨og a flint¨ uveg n´elk¨ uli esetben ´ıgy a ∆ sleveg˝o = 10 λ d · sin α10 = 10 λ
(6.1)
egyenletb˝ol kaphat´o meg. A w vastags´ag´ u flint¨ uveg behelyez´ese ∆ Φ-vel megv´altoztatja az illet˝o r´esen a´thalad´o f´enyhull´am f´azis´at. Hogy mennyivel azt u ´gy kaphatjuk meg, hogy kisz´amoljuk mindk´et r´esre a w u ´thosszhoz tartoz´o f´azisokat ´es ezeket kivonjuk egym´asb´ol. Az u ¨veglemezzel nem fedett r´es eset´en ezt a t´avols´agot a f´eny a leveg˝oben teszi meg, a m´asik r´esn´el u ´thossz1 . : ¨vegben, ahol nagyobb az optikai u w ∆ Φleveg˝o = 2 π λ 1
A k´et k¨ ozegben a f´eny sebess´ege ´es hull´amhossza m´as a frekvenci´aja (ν = c(n)/λ = c/(n · λ)) viszont nem.
1
∆ Φu¨veg = 2 π
w λu¨veg
= 2π
∆ Φ = ∆ Φu¨veg − ∆ Φleveg˝o = 2 π
w·n λ w · (n − 1) λ
(6.2)
ami az optikai u ´thosszk¨ ul¨onbs´egekkel is kisz´am´ıthat´o: s0 = w su¨veg = n · w ∆ s = su¨veg − s0 = w · (n − 1) ∆s w · (n − 1) ∆Φ = 2π = 2π λ λ
optikai u ´thossz leveg˝oben optikai u ´thossz az u ¨vegben (6.3) (6.4)
Vegy¨ uk ´eszre, hogy az optikai u ´thossz 6.3 k´eplet´eben a hull´amhossz nem szerepel. A flint¨ uveggel a z´er´o f´azisk¨ ul¨onbs´eghez tartoz´o sz¨og meg kell egyezzen α10 -el: ∆ s = d · sin α10 (= 10 λ) w · (n − 1) = 10 λ 10 λ 10 · 6 · 10−7 = = 9.23 · 10−6 m w= n−1 0, 65 A flint¨ uveg lemez vastags´aga teh´at 0,00923 mm.
38A-16 Adjuk meg annak a legv´ekonyabb szappanh´arty´anak (n = 1,33) a vastags´ag´at, amely a legnagyobb intenzit´assal a 400 nm hull´amhossz´ us´ag´ u k´ek f´enyt veri vissza. Megold´ as: Legyen a szappanh´artya leveg˝oben. A bees˝o f´eny a 38-16a a´bra szerint a szappanh´artya mindk´et fel¨ ulet´en visszaver˝odik2 . A k´et visszavert hull´am interferenci´aja adja meg a teljes visszavert hull´amot. Maxim´alis akkor lesz a visszavert intenzit´as, ha a k´et visszavert hull´am optikai u ´tj´anak k¨ ul¨onbs´ege a hull´amhossz eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose (∆ s = m · λ), vagyis a f´azisk¨ ul¨onbs´eg ∆ Φ = 2 π · m, ahol m = 0, 1, 2, ... Figyelembe kell azonban azt is venni, hogy amikor a f´enyhull´am optikailag s˝ ur˝ ubb k¨ozegr˝ol ver˝odik vissza akkor egy λ/2 u ´tk¨ ul¨onbs´egnek 2
Az ´ abr´ an a bees˝ o ´es visszavert hull´ amokat p´arhuzamos vonalak adj´ak meg, a val´os´agban az ezekre a vonalakra mer˝ oleges hull´ amfel¨ uletek interfer´alnak.
2
6.1. a´bra. 38-16 ´abra megfelel˝o π nagys´ag´ u f´azisugr´as t¨ort´enik mig az optikailag ritk´abb k¨ozeg hat´arfel¨ ulet´er˝ol visszaver˝od´esn´el nincs f´azisugr´as. Az a´bra alapj´an ∆ su = 2 d n 1 ∆ sf = λ 2
optikai u ´tk¨ ul¨onbs´eg a szappanh´arty´aban
(6.5)
f´azisugr´as
(6.6)
teljes optikai u ´tk¨ ul¨onbs´eg
(6.7)
teljes f´azisk¨ ul¨onbs´eg
(6.8)
1 λ 2 ∆ s − 12 λ ∆Φ = 2π λ ∆s = 2dn −
Maxim´alis amplitud´o el´er´es´ehez a teljes optikai u ´tk¨ ul¨onbs´egnek m λ-val kell megegyeznie, vagyis (6.7)-t felhaszn´alva 1 λ=m·λ 2 1 (m + ) λ 2 d= 2n
2dn −
(6.9) m = 0, 1, 2, · · ·
(6.10)
Behelyettes´ıtve a hull´amhosszat az els˝o h´arom lehet˝os´eg a maxim´alis reflexi´o el´er´es´ehez 1 400 · 10−9 2 = 7.519 · 10−8 m d0 = 2 1, 33 3 400 · 10−9 2 d1 = = 2.256 · 10−7 m 2 1, 33 5 400 · 10−9 d2 = 2 = 3.759 · 10−7 m 2 1, 33
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Teh´at a legv´ekonyabb szappah´artya, amelyik a legnagyobb intenzit´assal a 400 nm hull´amhossz´ us´ag´ u k´ek f´enyt veri vissza 7.519 · 10−8 m vastag. 3
39-A2 Egy r´est az 550 nm hull´amhossz´ us´ag´ u f´eny vil´ag´ıt meg ´es a r´est˝ol 3 m-re l´ev˝o erny˝on elhajl´asi k´ep alakul ki. Hat´arozzuk meg a centr´alis maximum teljes sz´eless´eg´et, ha a r´es (a) 0,2 mm ´es (b) 0,4 mm sz´eless´eg˝ u. Megold´ as: Egy r´esre d · sin α = m · λ
m = 1, 2, 3, · · ·
minimumok
(6.14)
Jel¨olj¨ uk a hull´amhosszat λ-val, az erny˝o t´avols´ag´at L-lel ´es a r´es sz´eless´eg´et d-vel! A centr´alis maximum teljes W sz´eless´ege megegyezik az m = 1-hez tartoz´o minimumok t´avols´ag´aval, ami az els˝o minimumokhoz tartoz´o αmin,1 sz¨oggel sz´amolhat´o ki: λ ´es d W = 2 · L · tg α
ahol sin αmin,1 =
sin αmin,1
( 2.75 · 10−3 = 1.38 · 10−3
(d = 0, 2 mm) (d = 0, 4 mm)
Mivel αmin,1 kicsi sin αmin,1 ≈ tg αmin,1 ≈ αmin,1 , ´ıgy ( 8.25 · 10−3 m W ≈ 2 · L · sin αmin,1 = 1.65 · 10−2 m
(6.15)
(6.16)
(6.17)
39A-11 Egy bizonyos t´avols´agra elt´avolodott aut´o k´et h´ats´o l´amp´aja ´ejszaka alig k¨ ul¨onb¨oztethet˝o meg egym´ast´ol, mint k´et k¨ ul¨on´all´o f´enyforr´as. Becs¨ ulj¨ uk meg az aut´ot´ol val´o t´avols´agunkat, felt´eve, hogy a l´amp´ak k¨oz¨otti t´avols´ag 1,5 m ´es a´tlagosan 640 nm hull´amhossz´ us´ag´ u f´enysugarat bocs´atanak ki, a megfigyel˝o szem´enek a pupill´aja pedig 6 mm a´tm´er˝oj˝ u. (Megjegyz´es: k¨ ul¨onb¨oz˝o s˝ ur˝ us´eg˝ u leveg˝or´etegekben a f´enyt¨or´es hat´as´ara a k´ep hom´alyoss´a v´alik, ´ıgy a t´avols´ag val´oj´aban kisebb a sz´amitottn´al.) Megold´ as: Az aut´ol´amp´ak el´eg messze vannak ahhoz, hogy pontszer˝ unek tekinthess¨ uk azokat ´es a bel˝ol¨ uk kiindul´o f´eny a megfigyel˝o szem´ehez j´o k¨ozel´ıt´essel k´et, nem azonos sz¨ogben terjed˝o s´ıkhull´amk´ent ´erkezzen. Ha a szemet egy D a´tm´er˝oj˝ u k¨or alak´ u diafragm´aval ell´atott f f´okuszt´avols´ag´ u lencs´evel modellezz¨ uk, az a s´ıkhull´amot egy ∆ x = α·f m´eret˝ u λ foltra k´epezi le, ahol α ≈ sin α = 1.22 . A k´et h´ats´o l´ampa akkor k¨ ul¨onb¨oztethet˝o meg, D 4
ha a nekik megfelel˝o foltok a l´at´ok´ergen ´eppen ∆ x t´avols´agba esnek. A 39A-11 ´abr´an piros vonal jel¨oli a l´amp´ak t´avols´ag´at ´es a szemen bel¨ ul a pupilla v´eges m´erete miatti ∆ x m´eret˝ u foltokat. A foltok m´erete ´es k¨oz´eppontjaik t´avols´aga megegyezik. A 39A-11 a´bra alapj´an
6.2. a´bra. 39A-11 ´abra λ D S = (L + f ) · α ≈ L · α S SD 1, 5 · 0, 006 L≈ = = = 1.15 · 104 m α 1, 22 λ 1, 22 · 6, 4 · 10−7 ∆ x = f · α = f · 1.22
Vagyis az aut´o t´avols´aga 11.5 km.
40B-3 K´et pol´arsz˝ ur˝ot keresztezett a´ll´asban helyezt¨ unk egym´asra, a sz˝ ur˝ok nem eresztenek ´at f´enyt. Egy harmadik pol´arsz˝ ur˝o lemezt tesz¨ unk k¨oz´ej¨ uk, melynek transzmisszi´os tengelye az el˝obbiek mindegyik´enek tengely´evel 45o -os sz¨oget z´ar be. Adjuk meg, hogy a bees˝o f´eny intenzit´as´anak h´anyadr´esz´et ereszti ´at a h´arom sz˝ ur˝o egy¨ uttese (felt´eve, hogy mindh´arom lemez ide´alis polariz´ator)! Megold´ as: Egy tranzverz´alis hull´am polariz´aci´oj´anak s´ıkja megegyezik az E t´erer˝oss´eg rezg´esi s´ıkj´aval. Polariz´alatlan f´enyben minden polariz´aci´os s´ık el˝ofordulhat. Ha ez a f´eny egy polariz´atoron halad ´at, akkor ide´alis esetben, a t´erer˝oss´egnek csak a lemez n vektorral jellemzett transzmisszi´os tengely´evel p´arhuzamos komponense E|| = E · cos(E, n) jut a´t, a t¨obbi elnyel˝odik. Az n-nel eredetileg θ sz¨oget bez´ar´o polariz´aci´os s´ık´ u f´eny intenzit´asa a pol´arsz˝ ur˝o ut´an teh´at I(θ) = Io (E) · cos2 θ, mert I ∼ E 2 .
(6.18)
Ha a f´eny eredetileg nem polariz´alt (´es nem koherens), akkor az ide´alis pol´arsz˝ ur˝on a´tjut´o f´eny intenzit´as´at u ´gy sz´amolhatjuk, ki, hogy ¨osszegezz¨ uk (integr´aljuk) az ¨osszes θ 5
polariz´aci´os ir´anyhoz tartoz´o intenzit´asokat. A polariz´aci´o sz¨oge 0 ´es π k¨oz´e eshet. Azt tal´aljuk, hogy a polariz´alatlan f´enyb˝ol az ide´alis pol´arsz˝ ur˝on ´atjut´o intenzit´as az eredeti 50%-a3 . Jel¨olj¨ uk a h´arom polariz´ator lemezt P1, P2 ´es P3-al, ahol P1 transzmisszi´os tengelye f¨ ugg˝oleges, P3-´e v´ızszintes ´es P2-´e mindkett˝ovel 45o -os sz¨oget z´ar be! Essen be P1re Io intenzit´as´ u polariz´alatlan f´eny! Ennek 50%-a jut ´at rajta, teh´at P2-re I1 = Io /2 1 1 intenzit´as´ u f¨ ugg˝olegesen polariz´alt f´eny esik, amib˝ol P2-n I2 = I1 ·cos2 45o = I1 · = Io · 2 4 1 o 2 o intenzit´as´ u 45 -ban polariz´alt f´eny jut a´t. P3-on pedig I3 = I2 · cos 45 = Io · . Vagyis 8 a teljes a´tmen˝o intenzit´as az eredeti nyolcadr´esze lesz.
40B-13 (a) Mutassuk meg, hogy ha cirkul´arisan polariz´alt f´enynyal´ab λ/4 lemezre esik, akkor a kil´ep˝o f´eny s´ıkban polariz´alt lesz. (b) Mutassuk meg, hogy ha a cirkul´arisan polariz´alt f´eny forg´asi ir´anya megfordul, akkor a kil´ep˝o f´eny polariz´aci´os s´ıkja 90o -kal v´altozik! Megold´ as: 1. megold´as. a) Tudjuk (ld. HN-967. old.), hogy 45o -ban line´arisan polariz´alt f´enyb˝ol a λ/4-es lemez cirkul´arisan polariz´alt f´enyt ´all´ıt el˝o. A forg´as ir´anya a line´arisan polariz´alt f´eny polariz´aci´os s´ıkj´at´ol ´es att´ol f¨ ugg, hogy melyik ¨osszetev˝o marad le a m´asikhoz k´epest. Mivel a f´enysug´ar ir´anya megford´ıthat´o a cirkul´arisan polariz´alt f´enyb˝ol a λ/4-es lemez line´arisan polariz´alt f´enyt csin´al. b) A -45o -ban line´arisan polariz´alt f´enyb˝ol el˝oa´ll´ıtott cirkul´arisan polariz´alt f´eny pont ellenkez˝o ir´anyban forog, mint amit a 45o -ban line´arisan polariz´alt f´enyb˝ol csin´altunk, vagyis, 3
Z Z
π
Z
Eo2
Z
dEo = π dEo = π Eo2 dEo Z π Z Z π Z 1 + cos 2 θ 2 2 2 dθ dEo = I= Eo cos θdθ dEo = Eo 2 0 0 π Z Z 1 sin 2 θ π = Eo2 dEo + = Eo2 dEo 2 2 2 0 R π dE o2 o E I 2 = R 2 = 0, 5 π E Io o dEo Io =
Eo2 dθ
(6.19)
0
6
(6.20) (6.21)
(6.22)
ha megford´ıtjuk a cirkul´aris polariz´aci´o ir´any´at, akkor olyan line´arisan polariz´alt f´enyt kapunk, amelyik polariz´aci´os ir´anya ´eppen −45o − 45o = 90o -os sz¨oget z´ar be az eredetei cirkul´arisan polariz´alt f´enyb˝ol el˝oa´ll´ıtottal 2. megold´as a) Cirkul´arisan polariz´alt f´enyben egy adott helyen a k´et egym´asra mer˝oleges (y ´es z tengellyel p´arhuzamos) polariz´aci´os ir´any´ u o¨sszetev˝o id˝of¨ ugg´ese: Eycirc = Eo cos( ω t − k x)
(6.23a)
Ezcirc
= Eo sin( ω t − k x) vagy
(6.23b)
Eycirc = Eo sin( ω t − k x)
(6.23c)
Ezcirc
(6.23d)
= Eo cos( ω t − k x)
Ez a k´et le´ır´as k´et, ellent´etesen forg´o t´erer˝oss´eg vektort ´ır le. A λ/4-es lemez 90o -s, azaz π/2 f´aziselt´er´est okoz k´et, egym´asra mer˝oleges polariz´aci´os ir´any k¨oz¨ott. Legyen pl y a lass´ u ´es z a gyors ir´any, ekkor a λ/4-es lemez ut´an Ey = Eo cos( ω t − k x − π/2) = Eo sin( ω t − k x) Ez = Eo sin( ω t − k x) illetve Ey = Eo sin( ω t − k x − π/2) = −Eo cos( ω t − k x) Ez = Eo cos( ω t − k x)
(6.24a) (6.24b) (6.24c) (6.24d) (6.24e)
Mivel mindk´et esetben az ered˝o hull´am k´et egym´asra mer˝oleges ¨osszetev˝oj´enek f´azisa azonos, ez´ert az eredm´eny 45o -ban line´arisan polariz´alt hull´amot ´ır le. b) (6.24) k´et egym´assal ellent´etes ir´anyban forg´o cirkul´arisan polariz´alt hull´amot ´ır le. (6.25) pedig k´et olyan line´arisan polariz´altat, amelyekn´el az y komponensek el˝ojeleit megcser´elt¨ uk, ez pedig val´oban k´et egym´asra mer˝oleges (90o ), a tengelyekkel 45o -os sz¨oget bez´ar´o s´ıkot ad meg.
8.2 K´et t´avoli galaxis a F¨oldt˝ol ellenkez˝o ir´anyban t´avolodik, mindegyik 0, 8 c sebess´eggel. Mekkora volna a m´asik galaxis t´avolod´asi sebess´ege az egyiken l´ev˝o megfigyel˝o sz´am´ara? Megold´ as: 7
Gondolatban helyezkedj¨ unk el az egyik galaxison. Most ez a K rendszer. A F¨old ehhez k´epest mozog v0 = 0, 8 c sebess´eggel. A F¨old a K 0 rendszer. Ebben a rendszerben mozog a m´asik galaxis u0x = 0, 8 c sebess´eggel. E galaxis K rendszerbeli ux sebess´eg´enek kisz´amol´as´ara alkalmazzuk a sebess´eg-¨osszead´as ux =
v0 + u0x 1+
v0 ·u0x c2
(6.25)
ugg´es´et. Behelyettes´ıt´es ut´an kapjuk, hogy K rendszerbeli (egyik galaxisbeli) meg¨osszef¨ figyel˝o sz´am´ara a m´asik ux = 0, 9756 c sebess´eggel t´avolodik.
8.6 A kezdetben v0 = 0, 6 c sebess´eg˝ u m0 nyugalmi t¨omeg˝ u r´eszecske impulzus´at 16/9szeres´ere n¨ovelj¨ uk. Mekkora lesz a v´egs˝o v2 sebess´eg ´es mekkora energia befektet´es kellett ehhez? (a) Sz´am´ıtsa ki klasszikusan! (b) Sz´am´ıtsa ki relativisztikus k¨ozel´ıt´esben! Megold´ as: (a) Klasszikus megold´as: A r´eszecske impulzusa kezdetben m0 v0 , a gyors´ıt´as v´eg´en m0 v2 . A feladat sz¨ovege szerint 16 m0 v0 9
(6.26)
16 16 v0 = c 9 15
(6.27)
m0 v2 = amelyb˝ol v2 = A befektetend˝o energia Wkl =
1 1 m0 v22 − m0 v02 = 0, 389 m0 c2 2 2
(6.28) (6.29)
(b) Relativisztikus megold´as: A r´eszecske impulzusa kezdetben m0 v0 p0 = q v2 1 − c20
8
(6.30)
illetve a gyorsit´as v´eg´en m0 v2 p2 = q v2 1 − c22
(6.31)
A feladat sz¨ovege szerint fenn´all, hogy 16 p0 9 16 m0 v0 = q 9 v2 1 − c20
p2 = m v q 0 2 v2 1 − c22
(6.32)
Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy v2 = 0, 8 c
(6.33)
A befektetend˝o energia m c2 m 0 c2 q 0 − Wrel = q v2 v2 1 − c22 1 − c21 5 = m0 c2 = 0, 4167 m0 c2 12
9
(6.34) (6.35)
