l.ch
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
A kétváltozós függvények két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot, másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot. Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit. A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy harmadik koordinátát, egy magasságot.
P ( x0 , y 0 , z 0 )
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
( x0 , y 0 )
Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai átörökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan tulajdonságok, amik nem. Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken. A határérték és a folytonosság, sőt a deriválhatóság fogalma ugyanakkor átörökíthető.
mateking.hu
C valós szám, ha minden 0 esetén létezik 0 , hogy ha (x,y) eleme az (a,b) hely sugarú környezetének, és (x,y) (a,b) akkor f ( x, y) C Jelölés: lim f ( x, y) C Az f ( x, y) függvény határértéke az (a,b) helyen a
( x , y )( a ,b )
Az f ( x, y) függvény folytonos az (a,b) helyen, ha minden 0 esetén létezik 0 , hogy ha (x,y) eleme az (a,b) hely sugarú környezetének, akkor f ( x, y) f (a, b) . A differenciálhatóság definíciójának átörökítése már sokkal izgalmasabb ügy. A derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége. Ezt kétváltozós esetre úgy ültethető át, hogy az érintősík meredeksége, csakhogy egy síknak nincsen meredeksége. Egyenlete viszont van, tehát ezt a kis problémát úgy tudjuk elintézni, hogy magát az érintősíkot állítjuk elő. Annak érdekében, hogy mindez érthetőbb legyen, menjünk vissza az egyváltozós függvényekhez és gondoljuk át először náluk, hogyan is lehet a deriváltat kicsit másképpen értelmezni. Ha az f(x) függvény differenciálható a-ban, akkor az (bmbmnb a, f(a)) pontban a grafikonhoz húzott érintő egyenlete y f (a)x a f (a) . Ez az érintő a-hoz közeli helyeken nagyon közel van magához a függvényhez. Olyan közel, hogy ha x a , akkor a függvénynek és az érintőnek a különbsége még (x – a)-val osztva is nullához tart.
lim xa
y f (a)x a f (a)
a
f ( x) f (a)x a f (a) 0 xa
1
Tulajdonképpen ezt is tekinthettük volna egyváltozós függvények esetében a differenciálhatóság definíciójának. Az f függvény differenciálható az a helyen, ha létezik olyan A valós szám, hogy
f ( x) Ax a f (a) 0 xa
lim xa
y Ax a f (a) a függvény legjobb lineáris közelítése, ami annyit tesz, hogy eltérése magától a függvénytől x a esetén még (x – a)-val osztva is nullához tart. Néhány apró átalakítást elvégezve, és figyelembe véve, hogy f (a) A rögtön látszik, Itt az
ez a definíció a differenciálhatóság általunk korábban megadott definíciójával ekvivalens.
0 lim xa
f ( x) Ax a f (a) f ( x) f (a) A( x a) f ( x) f ( a ) lim lim A x a x a xa xa xa
Az új definíciónak viszont megvan az a rendkívül előnyös tulajdonsága, hogy könnyedén átörökíthető kétváltozós függvényekre is. Az f ( x, y) kétváltozós függvény akkor legyen differenciálható az
(a, b) helyen, ha létezik ott érintősíkja, vagyis létezik olyan sík, amely az (a, b) pont egy környezetébe eső (x, y) pontokra nagyon közel van magához a függvényhez. Olyan közel, hogy az
x, y a, b esetén távolságuk, még
(a, b) és az (x, y) pont távolságával elosztva is nullához tart.
mateking.hu Mindezt képlettel leírva, az
f ( x, y) függvény akkor differenciálható az (a, b) helyen, ha léteznek
olyan
A és B valós számok, hogy f ( x, y ) Ax a B( y b) f (a, b) lim 0. x , y a ,b ( x a ) 2 ( y b) 2
Azokra az f ( x, y) függvényekre, amelyekre ilyen érintősík létezik, azt mondjuk, hogy az (a, b) pontban totálisan differenciálhatóak. A kétváltozós függvények esetében van a differenciálhatóságnak egy másik fajtája is, a parciális differenciálhatóság, ami lényegében azt jelenti, hogy csak valamely koordináta szerint deriváljuk a függvényt. Az f ( x, y) függvény parciálisan differenciálható az
x koordináta szerint az (a, b) helyen, ha az f ( x, b) y koordináta szerint,
egyváltozós függvény differenciálható a-ban, és parciálisan differenciálható az ha az f ( x, y) egyváltozós függvény differenciálható b-ben.
TOTÁLIS DIFFERENCIÁLHATÓSÁG: Az f ( x, y) függvény totálisan differenciálható az ha léteznek olyan
lim
A és B valós számok, hogy f ( x, y ) Ax a B( y b) f (a, b)
(a, b) helyen,
x , y a ,b
( x a ) 2 ( y b) 2
0
PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLHATÓSÁG: Az f ( x, y) függvény x szerint parciálisan deriválható az
(a, b) helyen, ha létezik és véges f ( x, b) f (a, b) lim xa xa
Az x szerinti parciális derivált jelölése
f ( x, y ) vagy vagy x f ( x, y) x
f x( x, y)
Az
f ( x, y) függvény y szerint parciálisan deriválható az (a,b) helyen, ha létezik és véges
lim y b
f ( a , y ) f ( a , b) y b
Az y szerinti parciális derivált jelölése vagy
f y ( x, y)
f ( x, y ) vagy y f ( x, y ) y 2
A totális deriválhatóság és a parciális deriválhatóság közt szoros kapcsolat van. Ha f ( x, y) totálisan differenciálható az
(a, b) helyen, akkor x és y szerint parciálisan differenciálható az (a, b) helyen, és a totális differenciálhatóság definíciójában szereplő A és B számok éppen megegyeznek a parciális deriváltakkal: f x(a, b) A és f y (a, b) B A megfordítás nem igaz, vagyis ha egy függvény valamely helyen x és y szerint parciálisan differenciálható, abból nem következik, hogy totálisan is differenciálható.
Lássunk egy példát a totális differenciálhatóság vizsgálatára. Nézzük meg például, hogy totálisan differenciálható-e az f ( x, y) x y 2
3
a p(1,2) pontban.
Akkor totálisan deriválható, ha létezik olyan
A és B szám, hogy f ( x, y ) Ax 1 B( y 2) f (1,2) lim 0 x , y 1, 2 ( x 1) 2 ( y 2) 2
Az előző tétel alapján pedig azt is tudjuk, hogy hol kell ezeket az Ők ugyanis éppen a parciális deriváltak lesznek.
f x( x, y) 2 x
A f x(1,2) 2
f y ( x, y) 3 y 2
B f y(1,2) 12
A és B számokat keresnünk.
mateking.hu lim
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9
x , y 1, 2
( x 1) 2 ( y 2) 2
0
A határérték epszilon-deltás definícióját fogjuk használni. Azt kell igazolnunk, hogy ha (x,y) eleme a p(1,2) pont sugarú környezetének, vagyis
( x 1) 2 ( y 2) 2 akkor
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9 ( x 1) 2 ( y 2) 2 bmbmnb
Most bűvészmutatványok következnek, előszöris felbontjuk a zárójeleket, aztán kicsit átrendezünk.
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9 ( x 1) 2 ( y 2) 2
x 2 y 3 2 x 12 y 17 ( x 1) 2 ( y 2) 2
x 2 2 x 1 y 3 12 y 16 ( x 1) 2 ( y 2) 2
Újabb trükkök jönnek
x 2 2 x 1 y 3 12 y 16 ( x 1) 2 ( y 2) 2
ez még könnyű:
x 2 x 1 ( x 1) 2
x 12 y 22 y 4 ( x 1) 2 ( y 2) 2
na ez már érdekesebb: 2
y 3 12 y 16 y 2 y 2 2 y 8 y 2 y 2 y 4 y 2 y 4 2
3
Jelen pillanatban tehát ott tartunk, hogy kiderült,
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9 ( x 1) 2 ( y 2) 2
x 12 y 22 y 4 ( x 1) 2 ( y 2) 2
Ez igazán nagyszerű. Megint bűvészmutatványok következnek, a b a b alapján
x 12 y 22 y 4 ( x 1) 2 ( y 2) 2
x 12 ( x 1) 2 ( y 2) 2
y 22 y 4 ( x 1) 2 ( y 2) 2
ha a nevezőt csökkentjük, azzal felső becslést kapunk
x 12 ( x 1) 2
y 22 y 4 ( y 2) 2
x 1 y 2 y 4
Most éppen tehát addig jutottunk, hogy
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9
mateking.hu ( x 1) 2 ( y 2) 2
Mivel pedig tudjuk, hogy
... bűvészmutatványok ... x 1 y 2 y 4
( x 1) 2 ( y 2) 2 ezért x 1 és y 2 valamint
a b a b alapján y 4 y 2 6 y 2 6 6
Ekkor
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9 ( x 1) 2 ( y 2) 2
... x 1 y 2 y 4 6
valami kicsi szám, vagyis egynél mindenképpen kisebb, ekkor pedig 6 1 6 8
Itt
Kiderült tehát, hogy
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9 ... bűvészmutatványok ... 8 bmbmnb ( x 1) 2 ( y 2) 2 Ha most azt mondjuk, hogy 8 , akkor éppen azt kapjuk, amit igazolni szeretnénk, feltéve, hogy még esetleg emlékszünk rá mi is volt az. Azt akartuk igazolni, hogy
( x 1) 2 ( y 2) 2 esetén
x 2 y 3 2x 1 12( y 2) 9 ( x 1) 2 ( y 2) 2
8
4
Az R 2 R függvények differenciálhatóságának definícióját általánosíthatjuk tetszőleges R n R függvényekre. A definíció kétváltozós esetben úgy szólt, hogy f differenciálható az (a,b) helyen, ha léteznek olyan A, B valósok, hogy
lim
f ( x, y ) Ax a B( y b) f (a, b)
x , y a ,b
( x a) 2 ( y b) 2
Az egyszerűség kedvéért legyen
0.
a (a, b) és x ( x, y)
a definícióban szereplő
A(x-a) B(y-b)
kifejezést pedig tekintsük úgy, mint
A(x-a) B(y-b) ( A, B) ( x a, y b) ( A, B) ( x a)
skaláris szorzatot, a nevezőben szereplő
( x a) 2 ( y b) 2 kifejezés pedig x a . A definíció ekkor a következőképpen írható. Az f függvény differenciálható az a helyen,
lim
xa
f ( x) l x a 0. xa
ha
létezik
olyan
l ( A, B)
vektor,
hogy
mateking.hu Ez a definíció általánosítható az R n R esetre.
Az
f x1 , x2 ,...xn
Rn R
függvény differenciálható az
a a1 , a2 ,...an helyen, ha létezik olyan
l A 1 , A 2 ... A n vektor, hogy
lim
xa
f ( x) l x a 0. xa
Megmutatható, hogy itt Ai f i(a) . Tovább általánosítva bevezethetjük az R n R k függvények fogalmát. Ezek a függvények tulajdonképpen k darab R n R függvényből tevődnek össze, melyeket az eredeti függvény koordinátafüggvényeinek nevezzük. Az f R n R k függvény tehát f ( x) f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x) alakban írható.
5
