Laserova´ technika 1 Aktivnı´ prostrˇedı´ Rychlostnı´ rovnice pro Q-spı´nany´ laser
Jan Sˇulc Katedra fyzika´lnı´ elektroniky ˇ eske´ vysoke´ ucˇenı´ technicke´ C
[email protected]
16. prosince 2013
Program prˇedna´sˇek 1. Poloklasicka´ teorie sˇ´ırˇenı´ rezonancˇnı´ho za´rˇenı´ dvouhladinovy´m prostrˇedı´m ˇ ´ırˇenı´ staciona´rnı´ rovinne´ vlny v aktivnı´m prostrˇedı´ 2. S ˇ ´ırˇenı´ opticky´ch impulsu˚ v aktivnı´m prostrˇedı´ 3. S 4. Laser v aproximaci rychlostnı´ch rovnic 5. Rychlostnı´ rovnice pro Q-spı´nany´ laser
Sˇ´ırˇenı´ impulzu˚ prostrˇedı´m poloklasicky I
Poloklasicky´ popis interakce rezonancˇnı´ho za´rˇenı´ s la´tkou popisuje za´rˇenı´ klasicky pomocı´ MR a la´tku kvantoveˇ jako soubor totozˇny´ch dvouhladinovy´ch kvantovy´ch soustav.
I
Rezonancˇnı´ prostrˇedı´ je disperznı´ (rychlost sˇ´ırˇenı´ za´visı´ na frekvenci) a nelinea´rnı´ (v za´vislosti na obsazenı´ hladin se mu˚zˇe za´rˇenı´ absorbovat nebo zesilovat).
I
V prˇ´ıpadeˇ, kdy se zajı´ma´me o popis oba´lky pomalu promeˇnne´ho impulzu, jezˇ se sˇ´ırˇ´ı la´tkou a jeho frekvence je v prˇesne´ rezonanci s kvantovy´mi soustavami, stacˇı´ pro popis sˇ´ırˇenı´ 3 rovnice: ∂E µ 0 ω 21 c =− P2 ∂z 0 2 |d21 |2 ∂P2 P2 EN = − − ∂t 0 T2 ~ ∂N N − N0 1 =− + EP2 ∂t 0 T1 ~
I
Charakter sˇ´ırˇenı´ urcˇuje de´lka oba´lky impulzu Timp v porovna´nı´ s relaxacˇnı´mi cˇasy T1 a T2
I
Pokud doba trva´nı´ impulzu splnˇuje podmı´nku T2 Timp T1 , dostaneme soustavu dvou tzv. rychlostnı´ch rovnic.
Rychlostnı´ rovnice pro laser s kra´tky´m rezona´torem dN N I N =W− − dt τ21 Is τ21 dI I = σµcNI − dt τc I
Rovnice pro cˇasovy´ vy´voj N a I odvozene´ v aproximaci rychlostnı´ch rovnic z poloklasicke´ teorie interakce rezonancˇnı´ho za´rˇenı´ s la´tkou
I
Mozˇne´ jsou i jine´ za´pisy (N mu˚zˇe by´t nahrazeno ziskem g = σN, intenzita sveˇtla I mu˚zˇe by´t nahrazena hustotu energie, hustou fotonu˚ a pod.)
I
Rovnice vyjadrˇujı´ dynamiku interakce za´rˇenı´ a prostrˇedı´ v laserove´m rezona´toru – prˇenos energie mezi za´rˇenı´ a prostrˇedı´m zprostrˇedkovany´ absorpcı´, sponta´nnı´ a stimulovanou emisı´
I
Zanedba´va´me prostorove´ rozlozˇenı´ N a I v rezona´toru
I
Prˇedpokla´da´me, zˇe po dobu obeˇhu rezona´toru se hodnota N a I meˇnı´ jen zanedbatelneˇ
I
Zanedba´va´me spektra´lnı´ a mo´dovou strukturu laserove´ho za´rˇenı´ (aproximace rovinne´ vlny)
Rychlostnı´ rovnice pro laser s kra´tky´m rezona´torem dN N I N =W− − dt τ21 Is τ21 dI I = σµcNI − dt τc N I Is W σ κ τ21 τc µ c ω
hustota inverze populace hladin v aktivnı´m prostrˇedı´ intenzita za´rˇenı´ v rezona´toru saturacˇnı´ intenzita aktivnı´ho prostrˇedı´ cˇerpacı´ rychlost (rychlost excitacı´ hornı´ laserove´ hladiny vlivem cˇerpa´nı´) u´cˇinny´ pru˚rˇez pro stimulovanou emisi faktor redukce inverze populace hladin doba zˇivota kvantove´ soustavy na hornı´ laserove´ hladineˇ doba zˇivota fotonu v rezona´toru koeficient zaplneˇnı´ rezona´toru aktivnı´m prostrˇedı´m rychlost sveˇtla v aktivnı´m prostrˇedı´ u´hlova´ frekvence laserove´ho za´rˇenı´ τc =
τR , L − ln R
Is =
~ω κστ21
Staciona´rnı´ rˇesˇenı´ rychlostnı´ch rovnic I
V rovnova´zˇne´m stavu prˇi konstantnı´m buzenı´ W bude dI0 I0 ≡ 0 = σµcN0 I0 − dt τc N0 I0 N0 dN0 ≡0=W− − dt τ21 Is τ21
I
Usta´lene´ hodnoty intenzity a hustoty inverze populace hladin: 1 N0 = , τc σµc
I0 =
W τ21 − 1 Is N0
I
Aby byla usta´lena´ hodnota intenzity I0 > 0, musı´ cˇerpacı´ rychlost prˇesahovat urcˇite´ minimum – pra´h: N0 1 W0 = = τ21 τ21 τc σµc
I
Potom:
I0 =
W Is − 1 Is = (W − W0 ) W0 W0
Normalizace rychlostnı´ch rovnic I
V rychlostnı´ch rovnicı´ch dI I = σµcNI − ; dt τc
I
dN N I N =W− − dt τ21 Is τ21
Zavedeme nove´ bezrozmeˇrne´ parametry a promeˇnne´: N → N = N0 N N0 I I= → I = I0 I I0 W W= → W = W0 W W0 t → t = τc T T = τc N =
I
Rychlostnı´ rovnice majı´ s jejich pouzˇitı´m tvar: dI = (N − 1) I; dT
I
dN = η W − N − (W − 1) IN dT
ˇ esˇenı´ za´visı´ jen na pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nka´ch (pocˇa´tecˇnı´ inverzi populace R hladin a intenziteˇ za´rˇenı´), velikosti cˇerpa´nı´ a jedine´m parametru η = τc /τ21
Prˇechodovy´ jev v rezˇimu volne´ generace I
Normovane´ rychlostnı´ rovnice (η = τc /τ21 ):
dI = (N − 1) I; dT I
dN = η W − N − (W − 1) IN dT
Numericke´ rˇesˇenı´ rychlostnı´ch rovnic pro W = 30, η = 2 × 10−3
I
8 6 4 2 0
8 6 0
20
40
60
80
100
120
140
2
4 2
N 1 0
I
0 0
20
40
60
80 T
100 -
120
140
0
0.5
1
1.5
2
2.5
N
I
ˇ asovy´ vy´voj normovane´ inverze populace hladin a intenzity laserove´ho za´rˇenı´ C
I
Laser po prˇechodove´m deˇji relaxuje ke staciona´rnı´m hodnota´m N = 1 ⇒ N = N0 , I = 1 ⇒ I = I0
Rychlostnı´ rovnice v rezˇimu volne´ generace I
Prˇ´ıklad nameˇrˇene´ vy´stupnı´ charakteristiky laseru pro kombinaci vy´stupnı´ zrcadlo – de´lka rezona´toru s maxima´lnı´ vy´stupnı´ energii a prˇ´ıklad cˇasove´ struktury generovane´ho za´rˇenı´.
Rezˇim Q-spı´na´nı´ I
Q-spı´na´nı´ je metoda, ktera´ umozˇnˇuje dosa´hnout generace vysoce vy´konny´ch impulsu˚ laserove´ho za´rˇenı´ s de´lkou od jednotek do stovek nanosekund.
I
Za´kladnı´ princip mechanismu generace giganticky´ch Q-spı´nany´ch impulsu˚ spocˇı´va´ v jednora´zove´m uvolneˇnı´ energie nahromadeˇne´ v aktivnı´m prostrˇedı´ laseru.
I
Ztra´ty rezona´toru jsou na pocˇa´tku cˇerpa´nı´ umeˇle zvy´sˇeny ⇒ pra´h generace laseru zvy´sˇen ⇒ je zabra´neˇno vzniku relaxacˇnı´ch oscilacı´ a nedocha´zı´ ke generaci laserove´ho za´rˇenı´ (I ≈ 0)
I
Ztra´ty rezona´toru jsou ve vhodny´ okamzˇik prudce snı´zˇeny na beˇzˇnou hodnotu a snı´zˇ´ı se pra´h generace.
I
V tomto okamzˇiku je N > N0 a tedy N > 1 a docha´zı´ k exponencia´lnı´mu na´ru˚stu intenzity laserove´ho za´rˇenı´ uvnitrˇ rezona´toru ⇒ giganticky´ impuls.
Metody Q-spı´na´nı´ – mechanicke´
Metody Q-spı´na´nı´ – elektronicke´ a pasivnı´
Vybudova´nı´ Q-spı´nane´ho impulsu 2.5
Ni
2
6
1.5
N 1
6
0.5
N 0
0
Tq Tmax
0.4
?
0.3
J
f
0.2 ¾
-
Timp
0.1 ?
0
0
5
10
T
15
20
25
30
Analyticke´ rˇesˇenı´ rychlostnı´ch rovnic pro Q-spı´nany´ laser I
Normovany´ tvar rychlostnı´ch rovnic dI = (N − 1) I; dT
I
I
dN = η W − N − (W − 1) IN dT
Proces generace Q-spı´nane´ho impulsu probı´ha´ beˇhem doby srovnatelne´ s dobou zˇivota fotonu v laserove´m oscila´toru Beˇhem te´to doby dojde pouze k nepatrne´ zmeˇneˇ inverze populace hladin v du˚sledku cˇerpa´nı´ a fluorescence ve srovna´nı´ s vlivem zpu˚sobeny´m prudky´m na´ru˚stem intenzity a proto budou prˇi analyticke´m rˇesˇenı´ tyto zmeˇny zanedba´ny dI = (N − 1) I dT dN = −ξIN dT kde ξ = η (W − 1)
I
Zavedeme novotou funkci pro intenzitu ve tvaru J = ξI
Analyticke´ rˇesˇenı´ rychlostnı´ch rovnic pro Q-spı´nany´ laser I
I
. . . dostaneme rychlostnı´ rovnice, jejich rˇesˇenı´ je za´visle´ pouze na pocˇa´tecˇnı´m stupni inverze: dJ dN = (N − 1) J , = −J N dT dT Po vyloucˇenı´ normovane´ho cˇasu T dostaneme: N −1 dJ =− dN N
I
Separujeme promeˇnne´ a rˇesˇ´ıme za prˇedpokladu, zˇe na pocˇa´tku je inverze populace Ni a hustota fotonu˚ J = 0: J = ln N − N + Ni − ln Ni
I
Z te´to rovnice lze urcˇit sˇpicˇkovou intenzitu Jmax , ktere´ je dosazˇeno v okamzˇiku, kdy N = 1 (dJ /dT = 0), tj.: Jmax = Ni − ln Ni − 1
I
Po odnormova´nı´ dostaneme pro maxima´lnı´ vy´stupnı´ intenzitu (pro R ≈ 1): 1 − R Es . Imax = Jmax 2 τc kde Es = ~ω/κσ je saturacˇnı´ hustota energie (parametr aktivnı´ho prostrˇedı´)
Analyticke´ rˇesˇenı´ rychlostnı´ch rovnic pro Q-spı´nany´ laser I
Vyuzˇijeme vztah pro intenzitu J = ln N − N + Ni − ln Ni
I
Urcˇı´me hodnotu inverze populace hladin Nf , ktera´ se usta´lı´ po vygenerova´nı´ Q-spı´nane´ho impulsu, kdy J = 0. Tehdy: 0 = ln Nf − Nf + Ni − ln Ni
I
. . . a tedy:
1
Nf = − LambertW −
1
Ni exp Ni
Funkce W (x) = LambertW(x) je definova´na jako rˇesˇenı´ transcendentnı´ rovnice W (x) exp [W (x)] = x.
Energie Q-spı´nane´ho impulzu I
Celkova´ normovana´ energie v impulsu:
Z
Z
∞
0 I
∞
J dT = −
E=
0
1 dN dT = − N dT
Z
Nf
Ni
dN Ni = ln N Nf
. . . nebo-li (0 = ln Nf − Nf + Ni − ln Ni ) E = Ni − Nf
I
Odnormova´nı´ (pro R ≈ 1): E=
I
1−R SEs (Ni − Nf ) 2
kde S je plocha svazku, Es je saturacˇnı´ hustota energie: Es =
~ω κσ
I
Soucˇin SEs uda´va´ maxima´lnı´ extrahovatelnou energii, ktera´ je tı´m vysˇsˇ´ı, cˇı´m je mensˇ´ı u´cˇinny´ pru˚rˇez pro stimulovanou emisi.
I
Energie zjevneˇ neza´lezˇ´ı na de´lce aktivnı´ho prostrˇedı´ Lap . Je vsˇak nutne´ s dany´m σ a Ni dosa´hnout prahu generace (1 ≤ R exp[2σNi Lap ]).
Energie Q-spı´nane´ho impulzu a u´cˇinnost konverze energie
E = Ni − Nf , I
η=
E Nf =1− Ni Ni
´ cˇinnost konverze energie ulozˇene´ v aktivnı´m prostrˇedı´ v podobeˇ inverze U populace hladin do energie laserove´ho impulzu roste s rostoucı´m Ni
Doba trva´nı´ Q-spı´nane´ho impulsu I
Odhad doby trva´nı´ impulsu: Timp =
I
E Ni − Nf = →1 Jmax Ni − ln Ni − 1
pro
Ni → ∞
Oddnormova´nı´: Timp = τc Timp
I
Nejkratsˇ´ı impulz bude mı´t dobu trva´nı´ τc .
I
De´lka impulzu v tomto prˇiblı´zˇenı´ neza´visı´ na vlastnostech aktivnı´ho prostrˇedı´ (kromeˇ jeho vlivu na τc ), jen na parametrech rezona´toru a dosazˇitelne´ relativnı´ inverzi populace hladin.
Doba vybudova´nı´ Q-spı´nane´ho impulsu I
Dobu τq vybudova´nı´ giganticke´ho impulsu ze sˇumu I0 lze spocˇı´tat za prˇedpokladu, zˇe se inverze populace hladin N azˇ do okamzˇiku, kdy je dosazˇeno I = 1, prakticky nemeˇnı´. Potom: Tq = −
ln I0 Ni − 1
2.5
Ni
2
6
1.5
N 1
6
0.5
N 0
0
0.4
?
0.3
J
f
Tq Tmax
0.2 ¾
-
Timp
0.1 ?
0
0
5
10
T
15
20
25
30
Za´veˇry plynoucı´ z analyticke´ho modelu generace Q-spı´nane´ho impulsu I
Pro zvy´sˇenı´ u´cˇinnosti Q-spı´na´nı´ (maximalizace E, minimalizace Nf ) je trˇeba mı´t na pocˇa´tku co nejvysˇsˇ´ı hodnotu Ni , tedy pomeˇr N/N0 . Tato pak urcˇuje vsˇechny parametry generovane´ho impulzu.
I
S rostoucı´ hodnotou Ni se de´lka impulzu zkracuje, ale nelze generovat impulzy kratsˇ´ı nezˇ je doba zˇivota fotonu v rezona´toru. S ohledem na prˇijatou aproximaci vsˇak soucˇasneˇ musı´ by´t Timp > τR .
I
V praxi je mozˇne´ prˇedpokla´dat (v prˇ´ıpadeˇ, kdy cˇerpacı´ rychlost nenı´ za´visla´ na inverzi populace hladin), zˇe Ni je pomeˇr cˇerpacı´ energie (vy´konu) pouzˇite´ prˇi Q-spı´na´nı´ ku prahove´ energii (prahove´m vy´konu) laseru v rezˇimu volne´ generace s otevrˇeny´m Q-spı´nacˇem.
I
Pro nalezenı´ tvaru impulzu je trˇeba rˇesˇit rychlostnı´ rovnice numericky.
Q-spı´na´nı´ saturovatelny´m absorbe´rem I
Saturovatelny´ absorbe´r je dvouhladinove´ me´dium se sˇiroky´m absorpcˇnı´m spektrem, jehozˇ absorpcˇnı´ koeficient β za´visı´ na intenziteˇ dopadajı´cı´ho za´rˇenı´ obdobneˇ jako zisk zesilujı´cı´ho prostrˇedı´ β(I) =
I
Transmitance saturovatelne´ho absorbe´ru tlousˇt’ky La je da´na vztahem: T (I) = exp[−β(I)La ],
I I
I
β0 . 1 + I/ISa
T0 ≡ T (0) = exp[−β0 La ].
Rychlost zmeˇny transmitance absorbe´ru za´visı´ na hodnoteˇ saturacˇnı´ intenzity. Beˇhem kra´tke´ doby mu˚zˇe dojı´t k u´plne´ saturaci absorbe´ru, takzˇe se prahova´ hodnota inverze populace hladin snı´zˇ´ı tak, jako by absorbe´r v rezona´toru nebyl prˇ´ıtomen. Pokud zanedba´me prˇechodovy´ jev spojeny´ se zmeˇnou ztra´t absorbe´ru, mu˚zˇeme snadno odhadnout hodnotu Ni : Ni = 1 +
I I
2 ln T0 . ln R
Lze odhadnout de´lku generovane´ho impulzu a u´cˇinnost extrakce energie V prvnı´m prˇiblı´zˇenı´ nebudou tyto parametry za´visle´ na budı´cı´ energii ani na pouzˇite´m typu aktivnı´ho prostrˇedı´, ale pouze na hodnoteˇ parametru˚ T0 a R.
Spı´na´nı´ ziskem I
S pomocı´ intenzivnı´ho buzenı´ je mozˇne´ prˇipravit na pocˇa´tku laserove´ akce vysokou hodnotu Ni za dobu kratsˇ´ı, nezˇ je doba nutna´ k vygenerova´nı´ giganticke´ho impulzu Tq .
I
Pokud bude buzenı´ trvat po dobu neˇkolikana´sobneˇ delsˇ´ı, nezˇ je doba Tq , bude na vy´stupu laseru generova´n sled impulzu˚ podobny´ prˇechodove´mu jevu v rezˇimu volne´ generace, s tı´m rozdı´lem, zˇe intenzita generovane´ho za´rˇenı´ bude podstatneˇ vysˇsˇ´ı, nebot’ se silneˇ uplatnˇuje buzenı´ mezi impulzy. Doba trva´nı´ prvnı´ho impulzu ve sledu je tı´m kratsˇ´ı, cˇı´m je rychlost buzenı´ veˇtsˇ´ı.
I
Pokud vlastnı´ budı´cı´ impulz bude podstatneˇ kratsˇ´ı nezˇ je doba Tq , budou po jeho ukoncˇenı´ podmı´nky stejne´ jako po otevrˇenı´ Q-spı´nacˇe a generace se bude rˇ´ıdit obdobny´mi za´kony.
Shrnutı´ I
Rychlostnı´ rovnice dN N I N =W− − dt τ21 Is τ21 I dI = σµcNI − dt τc
I
Va´zane´ nelinea´rnı´ rovnice – obecne´ analyticke´ rˇesˇenı´ neexistuje
I
Rezˇim volne´ generace (volny´ch oscilacı´) – prˇechodovy´ jev Generace kra´tky´ch impulzu˚
I
I I
I
Rezˇim spı´na´nı´ cˇinitele jakosti – Q-spı´na´nı´ Rezˇim spı´na´nı´ zisku
Parametry giganticke´ho impulzu urcˇuje pocˇa´tecˇnı´ hodnota inverze populace hladin vzhledem k prahove´ hodnoteˇ pro vznik volny´ch oscilacı´ I
I
S rostoucı´ pocˇa´tecˇnı´ inverzı´ populace hladin roste energie giganticke´ho impulzu a zkracuje se jeho doba trva´nı´ S rostoucı´ hodnotou pocˇa´tecˇnı´ inverze se de´lka impulzu zkracuje, ale nelze generovat impulzy kratsˇ´ı nezˇ je doba zˇivota fotonu v rezona´toru.
Za´veˇr I
Z poloklasicke´ho popisu interakce rezonancˇnı´ho za´rˇenı´ (popsa´no klasicky) s prostrˇedı´m (popsa´no kvantoveˇ) vyply´vajı´ na´sledujı´cı´ za´veˇry: I
I I
I I
I
I
odezvu prostrˇedı´ popisujı´ dveˇ parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnice druhe´ho rˇa´du, jedna pro polarizaci prostrˇedı´, druha´ pro inverzi populace hladin; prostrˇedı´ je disperznı´ (susceptibilita za´visı´ na frekvenci); prostrˇedı´ je nelinea´rnı´ (susceptibilita je komplexnı´, odezva prostrˇedı´ je funkcı´ intenzity za´rˇenı´); teorie popisuje jak absorpci, tak zesilova´nı´ za´rˇenı´ a jejich saturaci; prˇi popisu sˇ´ırˇenı´ impulzu˚ s pomalu promeˇnou oba´lkou rozhoduje o charakteru sˇ´ırˇenı´ vztah mezi charakteristickou dobou impulzu (naprˇ. FWHM, de´lka na´beˇzˇne´ hrany) a dobou relaxace polarizace a inverze populace hladin; laser pracujı´cı´ v rezˇimu volne´ generace, nebo v rezˇimu Q-spı´na´nı´ je je mozˇne´ dobrˇe popsat pomocı´ tzv rychlostnı´ch rovnic, uda´vajı´cı´ch rychlost zmeˇny inverze populace aktivnı´ho prostrˇedı´ a intenzity za´rˇenı´ v rezona´toru.
Poloklasicky´ popis neumozˇnˇuje studovat statisticke´ a kvantove´ vlastnosti za´rˇenı´ (naprˇ. koherenci laserove´ho za´rˇenı´)
Du˚lezˇite´ pojmy a vztahy, ktery´m je trˇeba zna´t a rozumeˇt jim Maxwellovy rovnice • odezva prostrˇedı´ a polarizace • nelinea´rnı´ prostrˇedı´ • dvouhladinova´ aproximace rea´lne´ kvantove´ soustavy • rezonance a Bohru˚v vztah • relaxacˇnı´ doby polarizace a inverze populace hladin • komplexnı´ susceptibilita • disperze • exponencia´lnı´ zesı´lenı´ slabe´ho signa´lu • u´cˇinny´ pru˚rˇez pro stimulovanou emisi (absorpci) • spektra´lnı´ za´vislost zesı´lenı´ (absorpce) • homogennı´ a nehomogennı´ rozsˇ´ırˇenı´ spektra´lnı´ cˇa´ry • saturace zesı´lenı´ (absorpce) a saturacˇnı´ intenzita • nekoherentnı´ sˇ´ırˇenı´ • zesilova´nı´ staciona´rnı´ho signa´lu s libovolnou intenzitou • rychlostnı´ rovnice pro popis laseru s kra´tky´m rezona´torem • cˇerpacı´ rychlost, absorpce, sponta´nnı´ emise a stimulovana´ emise v rychlostnı´ch rovnicı´ch • doba zˇivota fotonu v rezona´toru a doba obeˇhu fotonu rezona´torem • vy´stupnı´ charakteristika kontinua´lneˇ pracujı´cı´ho laseru (pra´h, strmost, prahova´ podmı´nka) • popis prˇechodove´ho jevu v rezˇimu volne´ generace • popis rezˇimu Q-spı´na´nı´ (tvar impulzu, meznı´ de´lka impulzu) • popis spı´na´nı´ ziskem • koherentnı´ sˇ´ırˇenı´ • plocha impulzu • Rabiova frekvence • soliton a samoindukovna´ propustnost
Literatura VRBOVA´ M., SˇULC J.: Interakce rezonancˇnı´ho za´rˇenı´ s la´tkou, Skriptum FJFI ˇ VUT, Praha, 2006 C VRBOVA´ M., JELI´NKOVA´ H., GAVRILOV P.: U´vod do laserove´ techniky, Skriptum ˇ VUT, Praha, 1994 (http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/ulat/) FJFI C VRBOVA´ M. a kol.: Lasery a modernı´ optika - Oborova´ encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 ˇ VUT, Praha, 1990 LONCˇAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI C ˇ VUT, Praha, 1994 ˇ tol, I.: Elektrˇina a magnetismus, Skriptum FJFI C S Prˇedna´sˇky: http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/lt1/
