LAPORAN PENELITIAN HIBAH BERSAING
PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU DENGAN KONSTRUKSI MENTAL APOS
Oleh: DRA. HELMA, M.SI DR. YERIZON, M.SI
1
M ~ L ~ KPERPUSTAKAAN
f u ~ l v .~
~ 5 p ~ ~3f l ,1~ ' r - /
Dibiayai Oleh Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Kementrian Pendidikan Nasional Sesuai dengan Surat Perjanjian Penugasan dalam Rangka Pelaksanaan Penelitian Tahun Hibah Bersaing Anggaran 2011 Nomor: 028/SP2H/PL/E5.2/DITLITARMAS/IV/2011 Tanggal 14 April 2011
UNIVERSITAS NEGERI PADANG NOVEMBER 201 1
!
-
Halaman Pengesahan Laporan Penelitian 1.
Judul Penelitian
: Peningkatan Pemahaman dan Penalaran Matematis
Mahasiswa Calon Guru dengan Konstruksi Mental APOS
2.
3. 4.
Ketua Peneliti a. Nama Lengkap b. Jenis Kelamin c. NIP d. Jabatan Struktural e. Jabatan Fungsional f. Fakultasl Jurusan g. Pusat Penelitian h. Alamat i. Telponl Faks j. Alamat Rurnah
: Dra. Helrna, M.Si : Perempuan : 19680324 199603 2 001
: Lektor : FMIPN Matematika : Lembaga Penelitian Universitas Negeri Padang : Jln. Prof. Dr. Harnka Air Tawar Padang : (0751) 443450 : Jln. Bakti ABRI No. 34 B Kelurahan Batang Kabung
Kecarnatan Koto Tangah Padang : 08 1267537391 1
[email protected] : 2 Tahun
k. Telponl Faksl E-mail Jangka Waktu Penelitian Pembiayaan a. Jumlah biaya yang diajukan ke Dikti b. Jurnlah biaya tahun ke 1 -.Biaya tahun ke 2 yang diajukan ke Dikti -. Biaya tahun ke 2 dari institusi lain
: Rp. 100.000.000
: Rp. 37.500.000 : Rp. 50.000.000
. Padang, 2 1 November 20 11 Ketua Peneliti
NIP. 19680324 199603 2 001
'bz:;NIP. 19610722 198602 1 002 -. . t
PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU DENGAN KONSTRUKSI MENTAL APOS Helma ,Yerizon Staf Pengajar Jurusan Matematika, FMlPA UNP
Mahasiswa calon guru hams mempunyai penalaran yang baik. Penalaran tersebut akan dilatihkan kepada siswa dalam kegiatan pembelajaran matematika apabila mahasiswa telah menjadi guru nantinya. Apabila seorang guru mempunyai penalaran yang kurang baik, maka pelajaran matematika yang diberikannya merupakan kurnpulan rumus-rumus yang sulit digunakan oleh siswa. Tentulah ha1 ini berakibat kepada rendahnya pemahaman dan penguasaan siswa terhadap matematika. Selain itu, akan mengakibatkan siswa menakuti pelajaran matematika. Padahal tujuan pembelajaran matematika di sekolah adalah agar siswa mampu mempelajari dan menguasai matematika. Lebih lanjut lagi, agar siswa mampu berpikir logis, kritis, dan sistematis. Banyak cara untuk mencapai kecakapan tersebut. Salah satu cara untuk mencapai kecakapan dan kemahiran tersebut adalah dengan peningkatan pemahaman dan penalaran calon guru terhadap matematika. Untuk itu, mahasiswa calon guru hams dilatih untuk dapat memiliki pemahaman dan penalaran matematis selarna mengikuti perkuliahan. Mata kuliah dasar yang dapat menunjang tujuan tersebut, salah satunya, adalah mata kuliah Kalkulus. Untuk itu, dikembangkan bahan ajar Kalkulus yang dapat menfasilitasi sehingga tercapai tujuan tersebut. Salah satu cara adalah mengembangkan bahan ajar Kalkulus dengan konstruksi mental APOS. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengembangkan bahan ajar Kalkulus dengan konstruksi mental APOS. Melalui kegiatan penelitian ini dihasilkan bahan ajar Kalkulus dengan konstruksi mental APOS yang valid dari segi konten dan susunan
RINGKASAN PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU DENGAN KONSTRUKSI MENTAL APOS Helma ,Yerizon Staf Pengajar Jurusan Matematika, FMlPA UNP Mahasiswa calon guru harus mempunyai penalaran yang baik. Penalaran tersebut akan dilatihkan kepada siswa dalam kegiatan pembelajaran matematika apabila mahasiswa telah menjadi guru nantinya. Apabila seorang guru mempunyai penalaran yang kurang baik, maka pelajaran matematika yang diberikannya merupakan kumpulan rumus-rumus yang sulit digunakan oleh siswa. Tentulah ha1 ini berakibat kepada rendahnya pemahaman dan penguasaan siswa terhadap matematika. Selain itu, akan mengakibatkan siswa menakuti pelajaran matematika. Padahal tujuan pembelajaran matematika di sekolah adalah agar siswa mampu mempelajari dan menguasai matematika. Lebih lanjut lagi, agar siswa mampu berpikir logis, kritis, dan sistematis. Banyak cara untuk mencapai kecakapan tersebut. Salah satu cara untuk mencapai kecakapan dan kemahiran tersebut adalah dengan peningkatan pemahaman dan penalaran calon guru terhadap matematika Untuk itu, mahasiswa calon guru harus dilatih untuk dapat memiliki pemahaman dan penalaran matematis selama mengikuti perkuliahan. Mata kuliah dasar yang dapat menunjang tujuan tersebut, salah satunya, adalah mata kuliah Kalkulus. Untuk itu, dikembangkan bahan ajar Kalkulus yang dapat menfasilitasi sehingga tercapai tujuan tersebut. Salah satu cara adalah mengembangkan bahan ajar Kalkulus dengan konstruksi mental APOS
iHAN AJAR
PEMAHAMAh N PENALARAN ATEMATIS MAHASISWA L ~ L O NGURU IENC
OLE'n' : HELEMA, k . DR. YERIZl -a.
41 -1
C4 P A N IPA
P E T U N J U K PELAKSANAAN K O N S T R V K S I M E N T A L APOS
Pelaksanaan pembelajaran dengan menggunakan konstruksi mental APOS, yang bertujuan untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran matematis, terdiri dari empat aktivitas. 1. Aktivitas I
Pada aktivitas I, mahasiswa diberikan Lembaran Kerja Mahasiswa (LKM) yang berisikan sejurnlah instruksi. Mahasiswa secara berkelompok bekerja dengan menggunakan komputer. Mahasiswa mengerjakan instruksi yang diberikan.. Kemudian, mahasiswa diminta untuk membuat kesimpulan dari hasil yang tampil pada layar komputer untuk masing-masing instruksi. Pada aktivitas ini diharapkan akan terjadi proses dalarn pikiran mahasiswa, yaitu memahami dan menalar instruksi di atas. Hal ini dalam teori APOS dikatakan mahasiswa sedang melakukan aksi. 2. Aktivitas I1
Pada aktivitas 11, mahasiswa diminta secara berkelompok menelaah program yang diberikan. Terlebih dahulu mahasiswa menelaah berdasarkan instruksi program yang diberikan dan menyatakan hasil dari program tersebut. Setelah itu, mahasiswa diminta menggunakan komputer untuk memastikan apakah hasil yang mereka peroleh sudah benar. Kemudian, mahasiswa diminta untuk membuat kesimpulan. Dalam kegiatan ini, mahasiswa mengulang aksi seperti pada aktivitas 1. D i h a r a p k a n j a d a aktivitas ini akan terjadi proses penalaran dalam pikiran mahasiswa, dimana mahasiswa menebak hasil yang akan muncul. Proses ini dirasakan oleh mahasiswa sebagai olah pikiran yang membutuhkan penalaran. Dalam perspektif teori APOS, mahasiswa sedang melakukanproses. Berdasarkan penalaran yang dilakukan pada aktivitas I1 ini, mahasiswa melakukan telaah terhadap apa yang telah dilakukan dan langkah-langkah proses
untuk
mendapatkan
suatu
konsep.
Ketika
mahasiswa
sudah
dapat
mengkonstruksi transformasi itu, maka mahasiswa tersebut meng-encapsulasi proses sebagai objek. Dalam kasus ini dikatakan bahwa proses telah di-encapsulasi menjadi objek.
3. Aktivitas 111 Aktivitas I11 dilaksanakan di kelas untuk mendiskusikan kesimpulan hasil kerja
kelompok di laboratorium. Setiap kelompok mempresentasikan kesimpulan yang mereka peroleh. Dari hasil ini pengajar memberikan birnbingan dan arahan menuju suatu kesimpulan. Kurnpulan dari aksi, proses, objek yang terhubung secara padu dan diorganisasi secara terstruktur dalam pikiran mahasiswa disebut skema. 4. Aktivitas IV Pada aktivitas IV, mahasiswa diberikan seperangkat soal sebagai kegiatan latihan. Latihan ini berguna untuk meningkatkan pemaharnan mahasiswa terhadap konsep yang telah diperoleh. Latihan soal dikerjakan secara berkelompok. Jika latihan tidak selesai dikerjakan di kelas, maka latihan tersebut dapat dijadikan pekerjaan rurnah. Tujuan dari latihan-latihan ini adalah agar konsep-konsep matematika yang telah dikonstruksi dalam pikiran mahasiswa menjadi lebih bermakna, mahasiswa dapat menerapkan konsep-konsep yang sudah dipelajari, dan mahasiswa termotivasi untuk mempelajari materi selanjutnya.
BAI \BO
KTIVI' TORIU
LEMBAR AKTIVITAS LABORATOR1 OKOK BAHAS BPOKOK BAF
:LIMIT FUNGSI : PENDAHULUAN L
PETUNJUK : Ikutilah langkah-langkah berikut ini: 1 . Pada lavar kom~uter.klik icon Ink
(T~; urggu vr;vcrapa ~ e t i k hingga ~ a y aISETL ~ tampil).
hlislah instruksi-intruksi program ISETL ekan tombol ENTER setiap akhir barisn! impanlah hasil kerja anda pada drive D A. Tulislah
ah ini dengan benar, dan
instruksi berikut dan tentukan hasil yang tampil pada layar
:guna irkstruksi tersebut.
komputer! Kennudian 1mat kesimpulan
1. Instruksi:
> f:=func(x); >> r e t u r n x+4; >> e n d ;
> f ( - 3 ) ;f ( 5 ) ; Hasil I S E T L >> f : = f u n c ( x ) ; >> r e t u r n x+4; >> e n d ; > f(-3);f (5);
1; 9;
Kesimpulan:
.................................................................................................................................... 2. Instruksi:
> f : = f u n c ( x ); >> r e t u r n ( x - 5 ) ; >> e n d ; > f(2); > for j i n [ 2 . 0 1 , 2 . 0 2 . . 2 . 0 5 ] d o
>> f o r k i n [ 1 . 9 5 , 1 . 9 6 . . 1 . 9 9 ]
do
>> w r i t e l n f ( j ) , f ( k ) ; >> e n d ; >> e n d ; Hasil ISETL >> f : = f u n c ( x ) ; >> r e t u r n ( x - 5 ) ; >> e n d ; > f( 2 ) ; -3;
>
f o r j i n [2.01,2.02..2.05]
>>
f o r k i n [ I . 9 5 , l . 96.. 1.991 d o
>> >>
end;
do
end;
Hasil ISETL -2.99000 -2.99000 -2.99000 -2.99000 -2.99000 -2.98000 -2.98000 -2.98000 -2.98000 -2.98000 -2.97000 -2.97000 -2.97000 -2.97000 -2.97000 -2.96000 -2.96000 -2.96000 -2.96000 -2.96000 -2.95000 -2.95000 -2.95000 -2.95000 -2.95000
Kesimpulan:
-3.05000 -3.04000 -3.03000 -3.02000 -3.01000 -3.05000 -3.04000 -3.03000 -3.02000 -3.01000 -3.05000 -3.04000 -3.03000 -3.02000 -3.01000 -3.05000 -3.04000 -3.03000 -3.02000 -3.01000 -3.05000 -3.04000 -3.03000 -3.02000 -3.01000
3. Instruksi:
> f :=func ( x ); >> r e t u r n ( l / x ;
>> e n d ; > f (0); > f o r m i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 0 . 0 0 5 1 d o
>> f o r n i n [ - 0 . 0 0 5 , - 0 . 0 0 4 .
.-0.0011
do
>> w r i t e l n f ( m ) ,f ( n ) ; >> e n d ;
>> e n d ; Hasil ISETL > f := f u n c ( x ) ; >> r e t u r n ( 1/x); >> e n d ; > f (0); *** r e t u r n ( l / x ) ; ! E r r o r : D i v i d e by z e r o
>
f o r m i n [ O . 001,O. 0 0 2 . . 0 . 0 0 5 1 d o
>>
f o r n i n [-0.005, -0.004. .-0.0011
>> >> >>
w r i t e l n f ( m ) ,f ( n ) ;
do
end; end;
Hasil ISETL
Kesimpulan:
B. Buatlah instruksi berikut untuk soal dalam tabel. Sebelum anda menekan
ENTEF
irakan hasilny;
Bandiw
hasil
perkira:
3ih
dal~ u l u drIn tulis pada tabel.
n
konnputer,
kemudian
tulislah
- .
kesim pulannya.
Tulislab instruksi berikut:
> f : = f u n c ( x ); >> r e t u r n ...........; >> end; > for i i n ........... d o >> w r i t e l n f (i); >> end; (STOP
ENTER! )
Gunakan instn~ksidi atas untuk me~neriksanilai fungsi dengan approksimasi x
ke suatu bilangan. Nilai f (i) cenderung menNo
Fungsi (1
Approksimasi (x -+ ...)
dekati bilangan berapa = .? Perkiraao
1.
(x*2-1) / (x-1)
[ l . O l , 1 . 0 2 . . 1.041 [0.94,0.96..0.99]
2.
(x*2-4) / ( x - 2 )
[ 2 . 0 1 , 2 . 0 2 . . 2.041 [1.94,1.96. .1.99]
Hasil Komputer
Kesimpulan:
LEMBAR AKTIVTTAS LABORATORIUM TI : LIM IT FUN1GSI : DEF INISI L:[MIT
POKOK BAF JElPOKOK BAH
PETUNJUK :Ikutilah langkah-langkah berikut ini: 1 . Pada layar-komputer, klik icon
3
D IS€rLW.Il
I
I
hlislah instruksi-intruksi program ISETL ekan tomb01 ENTER setiap akhir barisn: - . _ impanlah hasil kerja anda pada drive D A. Tulislah
ISETL tampil). ih ini dengan benar, dan
~ U ~ C U U C I "~G ~ u n~ I I I I I ~ ~l a~ySi l l
instruksi berikut dan tentukan hasil vang tampil pada layar
ter!. Kelnudian buat kes
g guna i~~struksitersebut!
1. Instruksi:
I
> f : = f u n c ( x ) ; r e t u r n x+3;end;
Hasil I S E T L >> f := f u n c ( x ) ;r e t u r n x+3; end; > f(2); 5; > f(2+0.1); 5.1;
Kesimpulan:
2. Instruksi:
> g : = f u n c ( x ) ; r e t u r n (x**2-9)/ (x-3) > g(3)-6; > g ( 3 . 0 2 ) -6; > g ( 3 . 0 1 ) -6;
; end;
Hasil ISETL > g : = f u n c ( x ) ; r e t u r n (x**2-9) / ( x - 3 ) ; e n d ; > g(3)-6; * * * g : = f u n c ( x ) ; r e t u r n (x**2-9) / ( x - 3 ) ; e n d ; ! E r r o r : Divide by z e r o > g(3.02)-6; 0.020; > g(3.01)-6; 0.010; > g(2.98)-6; -0.020; > g ( 2 . 9 9 ) -6; -0.010;
Kesimpnlan:
3. Instruksi:
> f : = f u n c ( x ) ;r e t u r n 3*x-5; e n d ; > e x i s t s d i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 1 1 l a b s ( x - 4 ) < d ; > c h o o s e d i n [O. 001,O. 0 0 2 . .1] 1 a b s ( x - 4 ) < d ;
> e x i s t s e i n [O. 001,O. 002. - 1 1 1 abs (f( x ) -3)<e; > c h o o s e e i n [O. 001,O. 0 0 2 . .1] 1 abs ( f ( x ) - 7 ) <e; Hasil ISETL > x : = 4 ; a b s ( x - 4 ) ; a b s (f( x ) - 7 ) ; 0; 0; > e x i s t s d i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 11 labs ( x - 4 )
c h o o s e d i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 1 1 1 a b s ( x - 4 ) e x i s t s e i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 1 1 1 a b s ( f ( x ) - 7 ) <e; t r u e; > choose e i n [0.001,0.002. - 1 1 labs (f(x)-7)<e; 0.001;
Kesimpulan:
B. Buatlah instruksi berikut untuk soal dalam tabel. Sebelum anda menekan irakan hasilny:x terlel3ih dahulu dan tulis pada tabel.
ENTE'F
hasil
perkira:an
da n
komputer,
kemudian
tulislah
kesimpulannya. Tulis instruksi berikut:
> £ :=£uric (x);return . . . . ; end; > x:= ... ;abs(x- . . . ) ;abs(f(x)-. . . )
;
> exists d in [O. 001,O.002. .l] 1 abs (x-.. . ) choose d in [O. 001,O.002. .1] 1 abs (x-.. . ) exists e in [O.001,O.002.. 11 labs (f(x)-. . . ) <e; > choose e in [O. 001,O.002.. 11 1 abs (fix)-. . . ) <e; Gunakan instruksi di atas untuk memeriksa nilai fungsi dengan approksimasi x dan f(x) ke suatu bilangan tertentu.
No
Fungsi
Approksimasi
x
f(x) =
1.
7x+1
2
15
2.
x**2+x-5
3
7
3.
~**3-1
0
-1
4.
Sqrt (x**2-5)
3
2
Kesimpulan:
Perkiraan d
e
Hasil Komputer d
e
EMBAR AKTT\
IK BAHASAN )K BAHASAN
:LIMIT FUN4 : TEOREMA
PETUNJUK :Ikutilah langkah-langkah berikut ini: 1 . Pada lavar komouter. klik icon nggu beberapa detik hingaa lavar ISETL tampil). hlislah instruksi-intruksi program ISETL ;h in; de:ngan benar, dan ekan tombol ENTER setiap akhir barisn: impanlah hasil kerja anda pada drive D A. Tulislah
instruksi berikut dan tentukan hasil yang tampil pada layar
ter!. Kelnudian Ibuat kesimpulan
guna ir
tersebut!
1. Instruksi:
> f:=func(x);return 12*x;end; > g:=func(x) ;return 6*x;end; g(3) ;f (3);
> f (3)= 2*g (3);
> forall x in [-3..3]1 f (x)=2*g (x); Hasil ISETL
> g:=func(x) ;return 6*x;end; g (3);f(3); 18; 36; > f(3)= 2*g(3); true; > forall x in [-3..31 1 f (x)=2*g (x); true; Kesimpnlan:
2. Instroksi:
> f:=func(x);return (x-1)**2;end; > g:=func(x);return (x-1);end; > f (3)= g (3)**2; > forall x in [-3..3]If(x)= g(x)**2;
Hasil ISETL > f : = f u n c ( x ) ; r e t u r n ( x - 1 ) **2;end; > g : = f u n c ( x ); r e t u r n ( x - 1 ) ; e n d ; > f ( 3 )= g ( 3 )**2; true; > f o r a l l x i n [ - 3 . . 31 1 f ( x )= g ( x ) **2; true;
Kesimpulan:
3. Instruksi:
Hasil ISETL > f : = f u n c ( x ) ; r e t u r n 3*x;end; > g:=func ( x ) ; r e t u r n x-4;end; > f (5) ;g(5) ; 15; 1; > f(g(5)); 3;
Kesimpulan:
.....................................................................................................................................
EMRAR AKTIVITAS LABORATORIUM IV POKOK BAHASAN
EKONTINUAN FUNGS
PETUNJUK : Ikutilah langkah-langkah berikut ini: I . Pada layarkomputer, klik icon -
a 1I
ISETL tarnpil). 2. Tulislah instruksi-intruksi program ISETL di bawz~h ini dengan benar, dan tekan tombol ENTER setiap akhir barisn:ya. 3. Simpanlah hasil kerja anda pada drive D , ~rgguvcuclapa ucrln I
I I I I layal ~ ~ ~
A. Tulislah instruksi berikut dan tentukan hasil lvang tarnpil pada layar ter!. Kernudian 1buat kes
g guna irlstruksi tersebut!
1. Instruksi:
> f : = f u n c (x); r e t u r n (x**2-9)/ (x-3);end; > f(3); > f o r x i n [3.001,3.002. .3.005] d o >> w r i t e l n f (x); e n d ; > f o r x i n [2.995,2.996..2.9991 d o >> w r i t e l n f (x); e n d ; Hasil ISETL * * * f :=func(x); r e t u r n (x**2-9)/ (x-3);end; ! E r r o r : D i v i d e by z e r o
> f o r x i n [3.001,3.002..3.005] d o >> w r i t e l n f (x); e n d ; Hasil ISETL 6.00100 6.00200 6.00300 6.00400 6.00500
Kesimpulan:
2. Instruksi:
> f :=func(x); >> i f x = 3 t h e n r e t u r n 6 e l s e r e t u r n ( x f * 2 - 9 ) / ( x - 3 ) ;
> f o r x i n [ 3 . 0 0 1 , 3 . 0 0 2 . . 3.0051 d o >> w r i t e l n f ( x ) ; e n d ; > f o r x i n [ 2 . 9 9 5 , 2 . 9 9 6 . . 2.9991 d o >> w r i t e l n f ( x ) ; e n d ; Hasil ISETL
> f := f u n c ( x ) ; >> i f x = 3 t h e n r e t u r n 6 e l s e r e t u r n (x**2-9) / ( x - 3 ) ; >> e n d ; e n d ; > f(3); 6;
> f o r x i n [3.001,3.002. -3.0051 d o >> w r i t e l n f ( x ) ; e n d ; Hasil ISETL 6.00100 6.00200 6.00300 6.00400 6.00500
> f o r x i n [ 2 . 9 9 5 , 2 . 9 9 6 . . 2.9991 d o >> w r i t e l n f ( x ) ; e n d ; Hasil ISETL 5.99500 5.99600 5.99700 5.99800 5.99900
Kesimpulan:
3. Instruksi:
>> i f x
=
9 t h e n r e t u r n 6 else
r e t u r n ( x - 9 ) / (sqrt ( x )- 3 ) ;
>> e n d ; e n d ; > f(9); > f o r x i n [ 9 . 0 0 1 , 9 . 0 0 2 . . 9.0051 d o
>> w r i t e l n f ( x ) ; e n d ; > f o r x i n [8.995,8.996.. 8.9991 d o >> w r i t e l n f ( x ) ; e n d ; Kesimpulan:
..................................................................................................................................... B. Buatlah instruksi berikut untuk soal dalam tabel. Sebelum anda menekan rakan hasilnyo gKan
--:a
nasu
. 1
-
--.l.!..-
)ih dah . .
an
oa n
In tulis, pada tabel.
Konnpurer,
~ e m u d i a n tulislah
kesimpiulannya., Apaka h fungsiI tersebc~t kontillu ? Bil a tidak, tentukan nilai ..I
I ~ X Jagar \
-
-
. .
Iungsl Konnnu 1 .
> f := f u n c ( x ) ;
>> i f x
=
return
..... t h e n ...... e l s e
return
...........
;
>> e n d ; e n d ; Approksimasi No
Fu ng
Apakah fungsi kontinu? (YfT)
x+
1.
(x**2-4)/ (x-2)
2
2.
(x**2-9)/ (x+3)
-3
3.
(x-16)/ (sqrt (x)-4)
16
4.
(x**2+x-2) / (x+2)
-2
5.
(x**2+x-2) / (x**2-1)
1
Perkiraan
Hasil Komputer
Nilai f(x) agar fun!P i kontinu?
Kesimpulan 1.
............................................................................................................................*................................... 2.
t AKTIVITAS I
POKOK BAHASAN rBPOKOK BAHASAN
: TURUNAN : DEFIMST T1
PETUNJUK : Ikutilah langkah-langkah berikut ini: 1. Pada layar komputer, klik icon --
Ii Shortcut' tc
uggu vcvcrapa UGLIK I w r v y a layal ISETL tampil). 2. Tulislah instruksi-intruksi program ISETL di bawa~hini dengan benar, dan tekan tomb01 ENTER setiap akhir barisn]fa. 3. Simpanlah hasil kerja anda pada drive D V*
A. Tulislah
instruksi berikut dan tentukan hasil sang tampil pada layar
:guna ir~struksitersebut!
kompulter!. Kernudian 1buat kes
1. Instruksi:
> f' :=func (x); return > for x in [ - 2 . . 2 ] do
(
(x+O.00001)- (x)) /0.00001;end;
>> writeln f' (x);end; Hasil ISETL
> f' :=func (x); return ((x+0.00001)-(x))/O.OOOOl;end; > for x in [ - 2 . . 2 ] do >> writeln f ' (x);end; 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
Kesimpulan:
2. Instruksi: > f' :=func (x);return (3* (x+O.00001)- (3*x)) /O. 00001; end;
> for x in [ - 2 . . 2 ] do >> writeln f' (x);end;
Kesimpulan:
.................................................................................................................................... 3. Instruksi:
> fl:=func(x); return ((x+0.00001)**3 - x**3)/0.00001; end;
> for x in [-2. - 2 1 do >> writeln f' (x);end; Kesimpulan:
..................................................................................................................................... 4. Instruksi:
> f' :=func (x); return
(
(2*x)- (2*1.9999) ) / (x-1.9999);
end;
> for x in [-2..2] do
>> writeln f' (x);end; Kesimpulan:
..................................................................................................................................... 5. Instruksi: > f' :=func(x); return
(
(x**3)- (1.9999**3) ) / (x-1.9999); end;
> for x in [-2..2] do >> writeln f' (x);end; Kesimpulan:
..................................................................................................................................... B. Buatlah instruksi berikut untuk soal dalam tabel. Sebelum anda menekan irakan hasilny:3 terlelbih dal an
,,"I.:,,. I I ~ ~ I~IF ; IUI I ZI,
dan
kom11pu r c r ,
i
pada tabel.
nc~u udian
tulislah
kesimpulannya. Apakah fungsi tersebut kontinu ? Bila tidak, tentukan nilai f(x) agar fungsi kontinu. Tulislah instruksi berikut:
> fl:=func(x); >> return .......; (Gunakan approksimasi >> end; > ff ( . . . ) ;
=
0.00001)
(STOP ENTER ! )
Gunakanlah intruhi di atas untuk mencari nilai turunan fungsi pada titik x berikut: Pada ti1
No
Nilai turunan fungsi ? Perkiraan
1.
5 *x
7
2.
x**2
5
3.
6*x**3
4
Hasil Komputer
Kesimpnlan : 1.
................................................................................................................................. 2.
................................................................................................................................. 3.
................................................................................................................................. 4.
.................................................................................................................................
LEMBAR AKTMTAS LABORATORIUM V POKC)K BAHASAN BPOKC)K BAHASAN
: TUR1LJNAN : ATUIRAN T t
PETUNJUK : Ikutilah langkah-langkah berikut ini: 1 P d a layar-komputer, klik icnn I
r
> n m r tc
,_ .11ggu vt-ut-rilpa UGLIK l~l~rggil ~ a y i liSETL ~ tampil). 2. Tulislah instruksi-intruksi program ISETL di bawah ini dengan benar, dan tekan tomb01 ENTER setiap akhir barisnjla. 3. Simpanlah hasil kerja anda pada drive D
A. Tulislah
instruksi berikut dan tentukan hasil vang tampil pada layar
kompul:er!. Kennudian 1
impulan tentang1 guna in~strukqitersebut!
1. Instruksi:
> fl:=func(x); return ((x+0.00001)**2 - x**2)/0.00001; end;
> gf:=func(x); return
> > > > >
(
(4*(x+0.00001)) - (4*x)) /O. 00001; end;
h' :=func (x);return f' (x)+g' (x);end;
h' (1); h' (2);
h' (3); for x in [I. .3] do
>> writeln h' (x) >> end;
=
f' (x)+gf (x);
Kesimpulan:
.............................*.................................*...................................................................-. 2. Instruksi:
> fl:=func(x);
>> return g' (x)-h' (x); >> end;
> for x in [l..3] do
>> writeln f' (x) = g' (x)-h' (x);
>> end; Kesimpulan:
3. Instruksi:
> f' :=func(x);return (x**3)* (5*x);end; > gf:=func(x);return 5*xf*4;end; > h' :=func(x); return (5*(x+O.00001)**4
- 5*x**4)/O.00001;end;
> m' :=func (x);return g (x)*hf(x)+h (x)*gr(x);end; > for x in [I..3] do >> writeln f' (x) = m' (x);
>> end; Kesimpulan:
4. Instruksi:
> p:=func (x);return (xf*3)/ (5*x);end; > q:=func(x);return x**2/5;end; > rl:=func(x); return ((x+0.00001**2)/5-x**/5)/0.00001;end;
> sl:=func(x); return (g' (x)*h (x)-g (x)*ht(x)) / h (x)**2; end; > for x in [I.-31 do
>> writeln r' (x) = >> end: Kesimpulan:
sf
(x);
hBAR BISKUSI r '-"ZRJ A N RUN A
KALKVLUS I
Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan
: Limit Fungsi
: Pendahuluani Limit
A. MATERI
Perkataan " Limit " sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Limit sering digunakan sebagai kata pengganti " mendekati ke suatu batas " . Limit dapat dipahami dengan berbagai macam cara. Salah satunya adalah sebagai berikut ini. Berdasarkan gambar I dan gambar 2 berikut, akan dijelaskan definisi limit.
Gambar 2
Gambar 1
& Pada gambar 1 , apabila x mendekati c dari arah kiri ,ditulis x -,c-
maka grafik y =f(x) menghasilkan ketinggian grafik mendekati L,
,
.
Hal ini disebut limit kiri dari fungsi f pada c adalah LI ,dan ditulis
f(x)
-+ L,
untuk x
+ c- .
Notasi : lim f ( x ) = L, x+c-
+ c+ , menghasilkan ketinggian grafik mendekati LZ .
4 Pada gambar 2 , apabila x mendekati c dari arah kanan ,ditulis x maka grafik y =f(x)
Hal ini disebut limit kanan dari fungsi f pada c adalah L I , dan ditulis
f(x)
-+
L2 untuk x
+ c' .
Notasi : lim f ( x ) = L, x+c+
4 Jika lirn flx) = L dan lim flx) x+cf
x-tc-
=L
, maka dikatakan lirn f(x) X+C
=L
4 Jika lirn f ( x ) = L, , lirn f ( x ) = L, , dan Ll # Lz maka lirn f ( x ) tidak X-+c-
x-tc*
X+C
ada pada c
Secara grafik, beberapa kemungkinan tentang limit dapat dilihat pada gambar 3 berikut ini.
Gam bar 3
Berdasarkan gambar di atas,
4 lim f(x) x-+a
= L1
, tetapi f(a)
4 lim f(x) = + oo , lim f(x) x-tb-
)=
= LL2
-
.
x-tb'
Kesimpulan : lirn f(x) tidak ada x+b
A lirn f(x) x-+c-
= L3
f(x) tidak ada . , lh+ X+C
Kesimpulan : lirn f(x) tidak ada x-tc
4 lirn f(x) = L4 , lirn f(x) = L5 x+d-
x+dt
Kesimpulan : lim f(x) tidak ada x-td
+
lirn f(x) = - oo , lirn f(x) x-te-
)=
-
x+e+
Kesimpulan : lirn f(x) x-te
= - oo
.
Dalam ha1 ini dikatakan tidak ada di R
Jika limit suatu fungsi pada suatu titik ada, maka dikatakan fungsi tersebut konvergen. Jika tidak, maka dikatakan divergen. Berdasarkan grafik di atas, terlihat bahwa jika suatu fungsi tidak konvergen maka terdapat beberapa kemungkinan yang menyebabkan limitnya tidak a d a
Soal-soal berikut berguna sebagai bahan iatihan untuk menentukan limit suatu
f ungsi. -X-1
1. Sketsakan grafik dari g ( x ) =
x -1 5-x2
,
X
, 0 <x <2
,
X22
Kemudian cari masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada a. lirn g(x) x+o
b.
c. lim g(x) x+2+
d. lim g(x) x-2
2. Jika f(x) = [ x + l ] ,maka tentukanlah : a.
lirn f(x) x+2-
b.
lirn f(x) x+2+
c. Apakah lirn f(r) ada ? x-2
3. Tentukanlah a.
lim (x2-4x+ 1)
b.
lirn x+-2 x2 +4
c.
lirn x+-1 x2 -4
x-b2
x2 - 4 x-2
4. Hitunglah limit berikut ini. Dalam kasus tertentu lakukanlah penyederhanaan.
a.
x-2 lirn -
b.
lirn
x+2
x2 - 4
x4
+ x
x-ro
d. lim
- X*
,/5O+l-4h
h-0
e. lirn x-+3
x-3
&-,I5
5. Carilah masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada
a. lirn x+2+
b. lirn x+2-
c. lirn x-r-5'
d. lirn x-r-5-
2
JZ 2
Jz x+5
Jm x+5
JG
Untuk keterampilan lebih lanjut dalam menentukao limit suatu hngsi, anda dapat menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi.
1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, Erlangga : Jakarta
2. Ayres, Frank Jr., 1985 ,Teori dun Soul-Soal Diferemial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta 3. Koko Martono , 1999 ,Kalkulus ,Erlangga : Jakarta
8. LATIHAN Soal-soal berikut berguna sebagai bahan latihan untuk membuktikan limit suatu
f ungsi. Buktikanlah limit berikut ini.
4. lim x-2
x2 - x - 2 x-2
=3
Untuk keterarnpilan lebih lanjut dalam membuktikan limit suatu fungsi, anda dapat menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi.
REFERENSI 1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, Erlangga :Jakarta 2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soal Diferensial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta 3. Koko Martono , 1999 ,Kalkulus ,Erlangga : Jakarta
1 Pokok Bahasan 1 Sub Pokok Bahasan
I : Limit Funcrsi I I : Teorema Limit I
Berdasarkan definisi limit, maka dapat dibuktikan beberapa sifat limit fungsi yang lebih dikenal dengan Teorema Limit. Teorema Limit dapat digunakan untuk menghitung limit h g s i pada suatu titik. Adapun Teorema Limit tersebut adalah sebagai berikut ini. Teorema Limit Misal b E R.
4 Jika lirn f(x)
=L
dan lirn g(x)
X+C
= h.t ,maka
X+C
+:
lirn (-f(x) + g(x) ) = L + M
*:*
lim (f(x) - g ( x ) )
X+C
=L
-M
X+C
lim (.f(x) ).g(x) ) = L . M
*:*
X+C
lim ( bf(x)) = hL
*:
X+C
4 Jika lirn h(x) = H f 0 ,dan h(x) f 0 untuk semua x E R, maka X+C
L
f(4 = lim h(x) H X+C
.
-A Jika n genap dan lim f ( x ) > 0 maka X+C
Akibat dari teorema limit di atas, diperoleh beberapa sifat lain. Sifat-sifat tersebut diperoleh dengan rnengarnbil kekhususan dari suatu fungsi maupun perkalian suatu fungsi sebanyak n kali. Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada akibat berikut ini.
Akibat Teorema Limit
A lim k = k X+C
4 lim [ f ( x ) I n
=
X+C
[lim f ( x ) I n X+C
Dalam menentukan limit suatu fimgsi kadang-kadang tidak dapat langsung diperoleh dari teorema limit di atas. Adakalanya dibutuhkan bantuan lain. Bantuan tersebut antara lain yang disebut dengan Teorema Apit. Prinsip teorema ini adalah memanfaatkan limit dari fimgsi-fungsi yang mengapit fimgsi yang akan dicari limitnya. Teorema Apit
Jika di sekitar c berlaku g(x) 5 A x ) 5 h(x) dan
lim g(x) X+C
=L =
lim h(x) , X+C
maka lim .Ax)= L . X-+C
Sebagai ilustrasi dari teorema apit dapat dilihat pada gambar 1. Pada gambar terlihat bahwa grafik fungsi yang berwarna "coklat" diapit oleh grafik fungsi yang berwarna "merah" dan "hijau"
. Pada titik
tertentu, ketiga grafik tersebut seolah-olah
menyatu. Pada titik tersebut kita dapat menghitung limit grafik fimgsi yang berwarna "coklat" melalui grafik fimgsi yang berwarna "merah" dan "hijau". Dengan kata lain, limit fungsinya sama dengan limit fimgsi pengapitnya pada titik tersebut.
Gambar 1
Contoh : 1. Tentukanlah lim (x2 +I) (x3 -4) x+2
Jawab :
=
[(lii
.2)+1][(1;i
x3)-41
2. Tentukanlah Jawab :
3. Tentukanlah lim x3I2 . x+l
Jawab : Perhatikan gambar 2 . Grafik Ax)= x 3" diapit oleh grafik g(x)
A Pada 0 < x < 1 , diperoleh bahwa x < x 3" < x .
=x
dan h(x) = x
Karena lim x
=1
x-1-
dan lim x 2
=
1 ,maka lim x3I2 = 1
x+1-
x+1-
4 Pada 1 < x , diperoleh bahwa x < x 3"'
Karena lim x
=1
x+l+
dan lim x 2
=
x+lf
..................(1)
x .
1 ,maka lirn x312 = 1 x+lt
..................( 2 )
Gambar 2
Dari ( 1 ) dan (2) dapat disirnpulkan bahwa lirn x3I2 = 1 x+l
B. LATIHAN
Soal-soal berikut berguna sebagai bahan latihan untuk menentukan limit suatu fungsi melalui penerapan Teorema Limit. Tentukanlah limit berikut ini. 1.
lirn
2.
lirn
3.
lirn
x+3
x2 - 5 x + 6 x-2 x2 + 5 x + 6
x-&-2
4.
lim x-2
5. lim x+o
7.
J1+2x -J1+3x x + 2x2
lim x-+O (sin XI
,dengan
x > 0.
lcOs I):(
Untuk keterampilan lebih lanjut dalam menerapkan teorema limit, anda dapat menyelesaikan sod-soal yang ada pada buku referensi.
REFERENSI 1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, Erlangga : Jakarta
2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soal Dij-erensial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta
KALKULUS I
Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan
: Limit Fungsi : Limit Fungsi Trigonometri
A. MATERI
Dalam menghitung limit sering kita dihadapkan kepada menghitung limit fungsi trigonometri. Untuk menghltung limit dari fimgsi trigonometri tersebut dapat digunakan teorema berikut ini. Teorema 1.
lirn sin t = sin c X+C
2.
lirn cos t = cos c X+C
3.
sin x lim -= 1
Akibat dari teorema di atas, maka diperoleh pernyataan seperti di bawah ini. Akibat
1.
lirn tan t = tan c
2.
lim cot t = cot c
4.
lirn csc t = csc c
X+C
3.
lirn sec t = sec c X+C
5.
lim x+o
7.
x-tc
X+C
1-cosx X X
lim-=1 x-+O sin x
=O
6.
tan x lim -= 1
8.
lim-=1 x-to tan x
x-to
X
X
Bukti dari teorema clan akibat di atas dapat dilihat pada buku-buku yang terdapat pada referensi. Berikut ini diberikan beberapa contoh penerapan teorema dan akibat tersebut.
Contoh : 1. Tentukanlah lirn x+O
tan 3x-5x 4x + sin 2x
Jawab :
lim X-0
tan 3x - 5x 4x+sin2x
=
tan 3x , -3 - 3 3x lim x-0 sin 2x 4 + ---.2 tan 3x
3 lim
-
4
-
x+o
3x
+
2 1im x+o
-5
sin 2x 2x
--
n 2 2. Tentukanlah lirn x+E cot X X--
2
Jawab : n 2 = lirn lirn E , cot x x X--
2
2
=
lim x+E 2
(1
(x-3 COS X
. lim sinx
lim
= x+
-sin (x-;)
7r
=
-1. 1
= -1
B. LATIHAN Soal-soal berikut berguna sebagai bahan latihan untuk menentukan limit suatu
f ungsi trigonometri . Tentukanlah limit berikut ini.
l.lim( X-iO
3x - sin 6 x 4x+tan2x
)
f 4.
lim X
COS X
- sin x I
at 4
5.1im[ X-1
X--
sin ( x - 1) x2 + x - 2
]
Untuk keterampilan lebih lanjut dalarn menentukan limit fungsi trigonometri ,anda dapat menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi. REFERENSI 1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, ErIangga : Jakarta 2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soal Dz$ierensial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta 3. Koko Martono , 1999 ,Kalkulus ,Erlangga :Jakarta
KALKULUS I
I Pokok Bahasan
(
: Kekontinuan Fungsi
I
A. MATERI Dalam kehidupan sehari-hari, kata " kontinu " sering digunakan. Kontinu dapat diartikan dengan " tidak terputus, berkelanjutan
". Agar dapat dipahami makna kontinu
dalam kalkulus, perhatikan gambar 1 berikut ini.
Gambar 1 1. Kekontinuan Fungsi Di Satu Titik Berdasarkan gambar 1, grafik " terputus (talc kontinu)
"
terdapat pada beberapa
titik, yaitu pada titik a ,b ,c ,d ,dan e. Tinjauan untuk masing-masing titik tersebut jika dipandang dari konsep limit adalah sebagai berikut ini. 4 Titik a , lim f(x) x+a
= LI
, tetapi f(a)
4 Titik b , lim f(x) tidak ada x+h
4 Titik c , lim f(x) tidak ada X-+C
= L2
4 Titik d , lirn f(x) tidak ada x+d
4 Titik e , lirn f(x) x+e
=
+ oo ,
tetapi
Aa) tidak ada
Jadi, terdapat beberapa kemungkinan penyebab ketakkontinuan di suatu titik, yaitu *:*
Nilai fungsi di titik terscbut tidak ada
*:
Limit fungsi di titik tersebut tidak ada
Q
Limit fungsi di titik tersebut ada, tetapi tidak sama dengan nilai fungsi di titik itu.
Jika diperhatikan pada beberapa titik yang grafiknya tidak terputus, seperti di x
=0
terlihat bahwa lirn f(x) =JO) . Dengan dernikian, dapat disimpulkan bahwa x-90
Fungsi f dikatakan kontinu di c E R jika lirn .f(x) =.Kc). X+C
Dalam ha1 ini, flc) terdefinisi di R dan lirn f(x) ada di R X+C
Akibat dari definisi di atas, semua sifat-sifat dari limit dapat pula digunakan untuk kekontinuan. Seiring dengan konsep limit kiri dan limit kanan, dapat pula ditelaah kekontinuan berdasarkan kontinu kiri dan kontinu kanan.
4 Fungsi f dikatakan kontinu kiri di c
E
R jika lirn f(x) =.Kc). x+c-
Dalarn ha1 ini,Ac) terdefinisi pada (-a, c] 4 Fungsi f dikatakan kontinu kanan di c E R jika lim f(x) =Ac). x+c+
Dalam ha1 ini, Ac) terdefinisi pada [c ,oo) 4 Fungsi f dikatakan kontinu di c kanan di c
E
E
R jika fungsi f kontinu kiri dan kontinu
R.
Dengan dernikian, dalarn memeriksa apakah suatu fungsi kontinu pada suatu titik dapat digunakan sifat kontinu kiri dan kontinu kanan. Berdasarkan Teorema Limit, kekontinuan, dan komposisi fungsi, diperoleh Teorema Limit Komposisi sebagai berikut.
Jika lim Ax) x-+c
=L
dan f kontinu di L ,maka lim f ( g ( x ) ) = f ( lim g(x)) x+c x-c
=.XU
Dengan demikian, jika g kontinu di c dan .f kontinu di g(c) ,makaf g 0
kontinu di c.
Contoh :
Periksalah kekontinuan fimgsi yang diberikan di x 1. JTX)=(X-5)(2+
=5
.
10)
Jawab :
Berdasarkan definisi kekontinuan, hams dipenuhi a. j75) terdefinisi di R. Dalam hal ini, A 5 ) = (5 - 5)(52 + 10) = 0 b. lim f ( x ) ada. x+5
Dalam ha1 ini, lim ( x - 5)(x2 + 10) x+S
c.
lim f ( x ) x+5
= A5)
=0
.
Dalam ha1 ini, lirn ( x - 5)(x2 + 10) x+5
=0=A5)
Jadi, f kontinu di x = 5 .
Jawab :
Karena j75) tidak terdefinisi di R , maka syarat kekontinuan tidak terpenuhi. Hal ini berarti, f tak kontinu di x = 5 .
Jawab :
Karena
lim h(x) = 5 - 3 = 2
x+5+
lim h(x) = 2 - 5 = - 3
x+s-
Maka lim h(x) tidak ada x+5
Akibatnya, syarat kekontinuan tidak terpenuhi.
Hal ini berarti, h tak kontinu di x = 5.
Karena lim f ( x ) I+
5
=
1 1 - dan A S ) = - ,maka lim f ( x ) # A S ) 8 5 x+ 5
Hal ini berarti, f tak kontinu di x
= 5.
Perhatikan gambar 2 . Gambar 2 merupakan gambar grafik fungsi dari .f (x) = sin
( l l x ) . Pada gambar tersebut terlihat bahwa f tidak mempunyai limit pada x tidak ada. Jadi, grafik tersebut " terputus, tak kontinu " pada x = 0.
Gambar 2
=0
dan
AO)
Garnbar 3 merupakan garnbar grafik fungsi dari f (x) tersebut terlihat bahwa f mempunyai limit pada x
=0
=x
sin ( I l x ) . Pada gambar
,yaitu lim f (x)= 0 . Tetapi, AO) x-+o
tidak terdefinisi. Jadi, grafik tersebut " terputus, tak kontinu " pada x
= 0.
Gambar 3
Grafik fungsi pada gambar 2 tidak dapat didefinisikan kembali sehingga grafik tersebut kontinu. Sedangkan grafik fungsi pada garnbar 3 dapat didefinisikan kembali sehingga grafik tersebut kontinu, yaitu dengan pendefinisian
F(x)
=
xsin(l/x) , x + O lim f(x) , x = 0
={
xsin (llx) , x z O 0 , x=o
Dengan demikian, fungsi yang tak kontinu di satu titik tetapi limit fimgsi di titik tersebut ada ,maka fungsi dapat didefinisikan kembali agar fimgsi tersebut kontinu. 2. Kekontinuan Titik Pada Suatu Interval Kekontinuan fungsi pada suatu intenral dapat didefinisikan melalui kekontinuan fungsi di satu titik. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu interval I jika fungsi tersebut kontinu pada setiap titik pada I .
Contoh : 1. Fungsi Ax) =
Jx-2
kontinu pada I = [2 , m) ,karena fimgsi f kontinu pada
interval I = (2 ,a),dan fungsi f kontinu kanan di x = 2 .
2. Misalkan
Ax) =
-3
JX2_X_6
. Maka f kontinu pada I,
Dengan dernikian, f talc kontinu pada Iz
=
=
(-oo , -2)u(3 , a).
[-2 ,3].
B. LATIHAN Soal-soal berikut berguna sebagai bahan latihan untuk menentukan kekontinuan suatu fungsi.
1. Telaahlah apakah fungsi yang diberikan kontinu atau tidak di titik yang diberikan. Jika tidak, apakah fungsi tersebut dapat didefinisikan kembali agar fungsi tersebut kontinu dan bagaimanakah pendefinisiannya ?
2. Tentukan daerah kekontinuan dari fungsi berikut ini.
3. Tentukanlah a dan b agar f kontinu pada R
Untuk keterarnpilan lebih lanjut dalarn menentukan kekontinuan fungsi, anda dapat menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi. REFERENSI 1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, Erlangga : Jakarta
2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soal Diferensial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta 3. Koko Martono , 1999 ,Kalkulus ,Erlangga :Jakarta
KALKULUS I
: Turunan Fungsi : Turunan
Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan A. MATERI
Turunan fimgsi sering digunakan sebagai alat bantu dalam pemecahan masalah. Untuk dapat memahami konsep turunan, perhatikanlah gambar 1 dan gambar 2 berikut ini.
Gambar 1
Gambar 2
Pada gambar 1 terlihat bahwa garis memotong grafik fimgsi f di dua titik, anggaplah di P(c ,J(c)) Q(x ,Ax)) Jika x bergerak menuju c ,maka Ax) akan bergerak pula menuju JTc). Akibatnya, garis 9
akan menyinggung grafik fungsi f tersebut di satu titik, seperti terlihat pada gambar 2 . Hal ini merupakan konsep dari turunan fungsi di satu titik. Definisi Turunan
Turunan dari fungsi f pada c adalah
f '(c)
=
lim f (x) - f ( 4 x+c x-C
asalkan limit tersebut ada di R
.
Apabila dilakukan penggantian x
= c
+ h dan h
-+
0 , maka diperoleh x
+c .
Akibatnya, definisi turunan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut. Turunan dari fungsi f pada c adalah f '(c) = lirn f (c + h) - f ( 4 h-PO
asalkan limit tersebut ada di R
h
.
Jika f '(c) ada. maka dikatakan bahwa f terdifferensialkan di c . Karena turunan didefinisikan dengan menggunakan limit, dan limit tersebut ada jika limit kiri sarna dengan limit kanannya, maka dapat dikatakan bahwa f terdifferensialkan di c jika
f terdifferensial kiri di c (S_'(c),disebut turunan kiri dari f di c )
f terdifferensial kanan di c ( f + ' ( c ) ,disebut turunan kanan dari f di c )
Contoh :
1. Jika Ax) = x2 + 5 ,maka tentukanlah f ' ( 2 ) Jawab :
Berdasarkan definisi turunan, maka
f ' ( 2 ) = lim f (x) - f ( 2 ) x+2
=
lim
( x 2 + 5) - ( 2 2 + 5) x-2
lim
(x2 - 4 ) x-2
lim
(x - 2)(x + 2 ) x-2
x+2
=
x+2
=
x+2
=
x-2
lirn ( x + 2 ) x+2
= 4
Turunan di atas dapat pula ditentukan dengan cara sebagai berikut.
.
f '(2)
=
lim f ( 2 + h) - f (2) h+O h
=
lirn h+O
=
lim
[(2 + h12 + 51 - (22 + 5) h (4+4h+h2+5)-(4+5)
h
h+O
=
lirn 11+0
4h+ h2 h
2. Misalkan g(x) = sin x . Carilah g '(3 d 4 ) Jawab :
Menurut definisi turunan, maka g'(3d4)
=
lirn g(x) - g(37tl4) x - (3x 14)
x+3~/4
=
lirn x-3~14
sin x - sin(3n 14) x - (3n 14)
1 1 2 cos-(x+3n/4) sin-(x-3x14) 2 2 = lirn x-+3a/4 1 2.-(x-3x14) 2
1 lirn cos -(x + 3n 14) x+3a/4 2
1 sin -(x-3nl4) 2
-(x-3x14) 2
Turunan di atas dapat pula ditentukan dengan cara sebagai berikut. g '(37d4)
=
lirn h+O
g(3nl4 + h) - g(3nl4) h
1
=
lim h+O
sin (3n / 4 + h) - sin (3n / 4) h 1
=
1
2 cos-[(3n/4+h)+3n/4] sin-[(3x/4+ h)-3x141 2 2 lim 1
h-rO
2.;h
1
1
=
c o s - [ ( 3 ~ / 4 + h ) + 3 n / 4 ] sin-h 2 2 lim
3. Diketahui h(x) =
, x>5 . Tentukanlah h '(5) , xl5
x-3 2-x
.
Jawab :
Perhatikan bahwa Karena
h'(5)
=
lirn h(x) - 4 5 ) x+s x-5
h_](5) = lirn
(x-3)-(5-3) x-5
hi (5)
(2-x)-(2-5) x-5
x+ 5-
=
lim
x-+ 5
=l,dan =
-1
Maka , h '(5) tidak ada . Pada definisi tux-unan, bilangan c yang diberikan merupakan suatu bilangan tetap. Jika x merupakan suatu bilangan yang tetap tetapi sebarang, maka diperoleh turunan fungsi pada setiap titik domain fungsi tersebut. Dengan demikian, diperoleh rurnus sebagai berikut. .f '(x) = lirn 1
f '(x)
,
=
.
f (4 - f (4 t -X
Iim f (x + h) - f ( 4 h+O h
Contoh : Jika A x ) = & , a > 0 , x > 0 maka tentukanlah f '(x) Jawab :
f '(x) = lim f ( x + h ) - f ( x ) h-tO
=
lim h-0
=
li-1 h+O
h
J&X)-& h
a ( x + h ) - (ax)
hi. a ( x + h )
+a
Berdasarkan penjelasan di atas dan dari rumus turunan pada satu titik, dapat pula dijelaskan bahwa 1 . Nilai turunan pada suatu titik sama dengan gradien garis singgung grafik di titik tersebut. Akibatnya, jika garis singgung pada titik tersebut tegak, maka
turunan di titik tersebut tidak ada
2. Jika f tak kontinu di c ,maka f '(c) tidak ada. Dengan kata lain. jika f '(c) ada ,maka f kontinu di c .
B. LATIHAN Soal-soal berikut berguna sebagai bahan latihan untuk menentukan turunan suatu
f ungsi. 1. Tentukanlah turunan fungsi berikut pada .u = 3.
2. Tentukan turunan f '(x) dari fungsi berikut ini.
3. Tentukanlah a dan b agar f terdifferensialkan pada ( 0 , 'm)
Untuk keterarnpilan lebih lanjut dalarn menentukan turunan suatu fungsi, anda dapat menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi.
REFERENSI 1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, Erlangga : Jakarta 2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soal Diferensial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta
3. Koko Martono ,1999 ,Kalkulus ,Erlangga : Jakarta
KALKVLVS I
Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan
: Turunan Fungsi : Aturan Pencarian Turunan
A. MATERI
Aturan pencarian turunan berguna dalarn memudahkan untuk menentukan turunan fungsi. Untuk itu, berdasarkan definisi turunan akan dicari beberapa aturan tersebut. 1. Misalkan Ax) = k ,k
Maka, f '(x) = lim f
E
R
(4- f (4 x-C
x+c
lim-k - k = O x+c x - C
-
0 Jika .fl.i)
=k
,k
E
R
maka f '(x)
=0
2. Misalkan Ax) = x Maka, f '(x) = lim f ( x )- f (4 x-tc x-C =
X-C lim =1 x+c
x X
-C
Jika f(x)
:
aka J"(
3. Misalkan Ax) = 9 , n bilangan bulat positif. Karena ( a + b In
=
a" + nd"'b +
n(n + 1) a"-'b2 2
+ ... + nabn-' +
bn
f( x + h ) -f ( x )
Maka, f '(x) = lim
h
h+O
=
lim h-+O
=
=
( x + h)" - xn h 2
lim
n(n - 1) ~ " -+~...h+ n ~ h " +- ~hn-I 2
lim
bilanga:n bulat
Jika j,x)
naka .f'
4. Misalkan g(x)= kJTx), k E R dan f ' ( x ) ada.
Maka, g ' ( x ) = lim g ( x + h ) - g ( x ) h+O h =
lim k f ( x + h ) - k f ( 4 h+O h
=
limk. f ( x + h ) - f ( x ) h+O h
=
k . lim f ( x + h ) - f ( x )
=
k . f '(x)
~ E dR
Jika
5. Misalkan h(x) = A x ) + g(x) , clan f '(x) , g '(x) ada . Maka, h ' ( x ) = lim h+O
h(x + h ) - h ( x ) h
I
=
lim I / ( x + h) + g(x + h)] - I / ( x ) + g(x)] h+O h
=
lim
I f @ + h) - f ( X I ]
=
lim
If(.
h-0
h+O
=
+ h) -
h
f
lim I f ( x + h) - f
Jil
().I (XI]
+ [g(x+ h) - g(x)]
h
+
+
lan f ' ( ~
[g(x+ h) - g(x)] h
lim [g(x+ h) -
&)I
maka
6. MisaIkan h(x) = Ax) - g(x) , dan f '(x), g '(x) ada .
Maka, h '(x)
=
lirn h+O
h(x + h) - h(x) h
=
lim [ f ( x + h ) - g ( x + h ) ] - I f ( ~ ) - ~ ( x ) ] h+O h
=
lim
=
lim I f ( x + h) - f ( x ) ] - [g(x+ h) - g(x)] h+O h h
=
lim I f ( x + h) - f
h+O
V(X+ h)- f (41-h (41 -
[g(x+ h) - g(x)]
lim [g(x+ h) - g(x)I
:) ada ,
7. Misalkan h(x) = fix) .g(x) , dan f '(x), g '(x) ada .
Maka, h '(x) = lirn h+O
h(x + h) - h(x) h
Tentukanlah turunan f ungsi berikut .
Untuk keterampilan lebih lanjut dalam menentukan turunan suatu fungsi, anda dapat menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi.
REFERENSI 1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi Kedelapan, Erlangga : Jakarta 2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soul Diferensial dan Integral Kalkulus, Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta 3. Koko Martono , 1 999 ,Kalkulus ,Erlangga : Jakarta
