Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari W. Oele Het kansbegrip

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Het kansbegrip W. Oele

27 januari 2014

W. Oele Het kansbegrip

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Deze les

Het kansbegrip Kanstheorie volgens Laplace Experimentele kanstheorie Axiomatische kanstheorie Intu¨ıtie


Intu¨ıtie

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Kanstheorie volgens Laplace (1749-1827)

De kans op een gebeurtenis wordt verkregen door het aantal “winnende” mogelijkheden te delen door het totaal aantal mogelijkheden: P(A) =


nA aantal A = totaal ntotaal

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Voorbeeld Laplace

In één keer de juiste pincode gokken: Aantal “winnende” gevallen: 1 Totaal aantal mogelijkheden: 10.000 (nk ) De kans is derhalve: 1 10.000


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Voorbeeld Laplace

Op een lot uit de loterij staat de volgende letter- en cijfercombinatie: AXR9437203 Hoe groot is de kans dat dit het winnende lot is?


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Voorbeeld Laplace

AXR9437203 XXXYYYYYYY 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 263 · 107 P(winst) =


1 263 ·107

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Experimentele kanstheorie

Kans op een gebeurtenis baseren op frequenties: P(A) =


frequentie van A totale frequentie

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Experimentele kanstheorie: voorbeeld

Roger Federer wint 90 van de 100 tenniswedstrijden P(winst) =


9 10

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie


Van het totaal aantal mensen dat rookt en blijft roken sterft de helft vroegtijdig: P(dood) =


2.500.000 1 frequentie dood = = totale frequentie 5.000.000 2

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch


Het syndroom van Korsakov: geheugenstoornis als gevolg van langdurig gebruik van te veel alcohol symptomen: geheugenverlies confabulatie: overdrijven, liegen, fantasie verhalen vertellen zelfoverschatting


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch


Fragment uit een onderzoek: “De groep jong-dementerenden is gemiddeld 56 jaar oud (tegen 82 jaar in de ouderenpopulatie) met een grote spreiding (23 tot 72 jaar) en in deze groep bevinden zich veel meer mannen dan in de ouderenpopulatie waar slechts 20% man is.” “Er is een grotere variatie aan onderliggende diagnosen dan bij de ouderen waarbij er in 15% van de populatie sprake is van Korsakovalcoholdementie als diagnose.”


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Intu¨ıtie

Men kan kansen bepalen op basis van intu¨ıtie, gevoel: “Er is nu al 8 keer kop gegooid, dus de volgende zal ook wel een kop zijn.” “Er is nu al 8 keer kop gegooid, dus de volgende is munt.” “Gisteren is hier iemand overvallen, dus nu is het hier vast veilig.” “Gisteren is hier een ongeluk gebeurd, dus nu kan ik makkelijk door rood rijden.”


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Intu¨ıtie

Het toeval kent geen geheugen


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatische kanstheorie

Axioma: uitspraak, waarvan we intu¨ıtief aannemen dat deze waar is niet af te leiden uit andere uitspraken niet in tegenspraak met andere axioma’ s verdere behandeling tijdens de module logica


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch


zuiver theoretisch: regels in de axiomatische kansrekening zijn door mensen bedacht en hoeven zich niets van de empirische werkelijkheid aan te trekken


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch


zuiver theoretisch: regels in de axiomatische kansrekening zijn door mensen bedacht en hoeven zich niets van de empirische werkelijkheid aan te trekken kansen op gebeurtenissen in de werkelijkheid kan men niet met axiomatische kansrekening berekenen


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch


zuiver theoretisch: regels in de axiomatische kansrekening zijn door mensen bedacht en hoeven zich niets van de empirische werkelijkheid aan te trekken kansen op gebeurtenissen in de werkelijkheid kan men niet met axiomatische kansrekening berekenen axiomatische kansrekening wordt pas bruikbaar in de werkelijkheid wanneer men kansen uit de experimentele kanstheorie als “input” gebruikt en daarop regels uit de axiomatische kanstheorie toepast.


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie


De fundamentele eigenschap van wiskunde is dat je er niets uit kunt krijgen dat je er niet eerst ingestopt hebt.


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch


De fundamentele eigenschap van wiskunde is dat je er niets uit kunt krijgen dat je er niet eerst ingestopt hebt. Het vak dat kansrekening heet, doet niets anders dan, uitaande van a priori gegeven kansen van elementaire evenementen, de a posteriori kansen uitrekenen van de daaruit samengestelde evenementen. N.G. van Kampen, waanwetenschap 2002


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

De uitkomstenruimte

Men neme bij een kansexperiment alle denkbare uitkomsten. De verzameling van alle uitkomsten bij elkaar opgeteld heeft een kans van 1 P(U) = 1


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

De uitkomstenruimte

Elke uitkomst of samenstelling van uitkomsten is een deelverzameling van de uitkomstenruimte: A ⊆ U ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

De uitkomstenruimte

A ⊆ U ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1 Een kans is altijd een getal tussen de 0 en 1.


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Voorbeeld Hoe groot is de kans dat men 4 gooit met een dobbelsteen?

1

3 6 5

2 4

Uitkomstenruimte: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} W. Oele Het kansbegrip

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Voorbeeld Hoe groot is de kans dat men 4 gooit met een dobbelsteen?

1

3 6 5

2 4

Kans op 4:{4} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ P(4) = W. Oele Het kansbegrip

1 6

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Samengestelde gebeurtenissen

Indien twee verzamelingen met uitkomsten geen gemeenschappelijke elementen bevatten, kan men de kansen op één van beide bij elkaar optellen: A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Voorbeeld

13 52 = 13 52

De kans op een ruitenkaart in een pak kaarten: P(R) = De kans op een hartenkaart in een pak kaarten: P(H) De kans op een ruiten- of hartenkaart: P(R ∪ H) = P(R) + P(H) =


26 1 13 13 + = = 52 52 52 2

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Voorbeeld De verzamelingen ruiten- en hartenkaarten zijn disjunct: een ruitenkaart kan geen hartenkaart zijn. 2

rb 5 4

9

3

4

ra

rh

6 6

8

3

9

hb 5

2

7

8

7 hh

rv ruiten


hv

ha

harten

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Complementaire kansen

De kans op het niet plaatsvinden van een gebeurtenis: P(A) = 1 − P(A) Bewijs: P(U) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A) = 1 → P(A) = 1 − P(A)


Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Voorbeeld

De kans op het niet trekken van een hartenkaart: P(H) = 1 − P(H) = 1 −


13 39 = 52 52

Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Samengestelde gebeurtenissen

Indien twee verzamelingen gebeurtenissen gemeenschappelijke elementen bevatten, geldt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)


Axiomatisch

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Voorbeeld

De kans op een hartenkaart of aas: P(H ∪ A) = P(H) + P(A) − P(H ∩ A) =


13 4 1 4 + − = 52 52 52 13

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

Axiomatisch

Voorbeeld Bij gemeenschappelijke elementen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) hb 5 4 hh

9 6

8

3

ra ha ka

2

7

hv harten W. Oele Het kansbegrip

azen

sa

Laplace

Experimenteel

Intu¨ıtie

disjuncte en conjuncte verzamelingen Disjunct: 2

rb 5 4

9

3

4

ra

rh

6 9

6

8

3

hb 5

hv

ha 2

8

7

7 hh

rv ruiten

harten

A ∪ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Conjunct: hb 5 4 hh

9

ra 6

8

3

sa

ha ka

2

7

hv harten

azen

A ∪ B 6= ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) W. Oele Het kansbegrip

Axiomatisch

Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari W. Oele Het kansbegrip

Recommend Documents