l 1 Adott: a 3 merev fogaskerékből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Adott továbbá

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK

11. MECHANIKA-REZGÉSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Fehér Lajos, tsz. mérnök; Tarnai Gábor, mérnök tanár; Molnár Zoltán, egy. adj., Dr. Nagy Zoltán, egy. adj.) Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása 11.1. Példa: Két szabadságfokú szabad, csillapítatlan rezgőrendszer

l2

R R13 1

2 R2

J2

R1 1 J1

3

2

1

l1

J3

Adott: a 3 merev fogaskerékből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Adott továbbá

J1  J 2  J 3  120 kgm2, R1  R2  R3  0,25 m,  1   2  4 104 Nm/rad. Feladat: a) Határozza meg az ábrán látható rezgőrendszer mozgásegyenlet rendszerét kis szögelfordulások esetén mátrixos formában, számszerű adatokkal. Kidolgozás: A (2) és (1) fogaskerekek közötti – teljesen merevnek tekintett- kapcsolat miatt írható: R R1 1  R2 2  2  1 1 ........a két szögelfordulás nem független egymástól, R2 R R  rad  R1  rad  2  1 1  rad  , 2  1 1   és 2  1  2  . R2 R2  s  R2  s  A rendszerben az l1 és l2 hosszúságú tengelyek, mint torziós rugók szerepelnek, melyek toriós rugóállandóit a  1 és  2 paraméterek fejezik ki. A szabadságfokok száma i  2. Az általános koordináták: q1  1 , q2  3   q     q    rad  q1  1 , q2  3  q   1    1  rad , q   1    1  2 .  q2  3   q2  3  s q1  1 , q2  3  10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

1/9

2

d  dE  dE  Qci   i  dqi

 dt  dq

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet:

i 1

A teljes rendszer kinetikai energiája: E 2

1 1 1 1 1 1 1 1 R  1 E  J112  J 222  J 332  J112  J 2 22  J 332  J112  J 2  1  12  J 332 , 2 2 2 2 2 2 2 2  R2  2 R  1 E   J1  J 2  1  2  R2  

2

 1  12  J 332 . 2 

A rugókban felhalmozódott deformációs energia ( a tengelyek, mint torziós rugók): U 2

1 1  3  1  2  0  1 1  3    2 1 2 2 2 1 i 1 esetén 2

U  U1  U 2 

2

2  R1   2 dE dE     J1  J 2    1 dq1 d1  R2      dE dE   0. dq1 d1

2

 R1   1  1  R2   . 2 2

2  R1   d  dE       J1  J 2    1 , dt  d1   R2     



Az általános visszatérítő erő (csavaró nyomaték): Qc1 2    R1     1    1  R 2 1   dU dU 1  1  3  R2     1  .  Qc1           1 3  dq1 d1 1 2    1  R2   2  1           i  2 esetén

dE dE   J 33 dq2 d3



d  dE     J 33 . dt  d3 

dE dE   0. dq2 d3

Az általános visszatérítő erő (csavaró nyomaték): Qc 2 Qc 2  

   3   1 dU dU 1    1  1      1  3  . dq2 d3 1   1   1

Az egyes tömegek mozgásegyenletei: 2   1  R 2 1   R1   1  J1  J 2    1     1   1  3  0, 1    1  R2   2   R2   1 1 J 33  1  3  0. 1 1 Mátrixos alakban felírva: 2   R1   J1  J 2     R2   0 

M

 1  R 2 1    1 0  1    1  R2   2       3  1  J 3   1 

1   1  1    0 1  3   1  





M   C   0.

C

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

2/9

2   R1  J  J2   A tömegmátrix: M   1  R2   0 

 1  R 2 1   1   R  a rugómátrix: C   1  2  2  1   1 

 0   240 0  kgm 2 ,    0 120    rad  J3 

1   1   5000 2500  Nm  .    1   2500 2500  rad  1 



A rezgőrendszer mozgásegyenletének végső alakja:  240 0  1   5000 2500  1   0 120     2500 2500     0.    3    3

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

3/9

11.2. Példa: Két szabadságfokú szabad, csillapítatlan rezgőrendszer y

y

q1  x A

Adott: a kettő tömegből álló, szabad rezgést végző rezgőrendszer. Az általános koordináta: q1  xA és q2  xB .

 q2  xB

m1

B c1

x

A

c1  c2  4 104 m N , l 1 m ,

c2

3l

c3  0,1111111 104 m N , m1  m2  18 kg.

Feladat: Határozza meg az ábrán látható rendszer mozgásegyenletét kis szögelfordulások esetén mátrixos formában, számszerű adatokkal. l

m2

C

c3

xC

Kidolgozás: A B és a C pontok közötti karos áttétel alapján írható: tg 

xB xC x   xC  B . 3l l 3

A szabadságfokok száma i  2. Az általános koordináták: q1  xA , q2  xB  q  x  q  x  m  q1  xA , q2  xB  q   1   A m , q   1   A 2 .  q2   xB   q2   xB  s q1  xA , q2  xB  A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet:

2

d  dE  dE  Qci .   i  dqi

 dt  dq i 1

A teljes rendszer kinetikai energiája: E 2 1 1 1 1 1 1  xB  1 1 2 2 2 2 2 E  m1vA  m2vC  m1v A  m2vC  m1x A  m2    m1x A2  m2 xB2 . 2 2 2 2 2 2  3  2 18 A rugókban felhalmozódott deformációs energia: U 1  xB  x A  1 xB 2 1 xC 2 1  xB  x A  1 xB 2 1 ( xB / 3) 2 U  U1  U 2  U 3       , 2 c1 2 c2 2 c3 2 c1 2 c2 2 c3 2

2

1  xB  xA  1 1 1  2 U     xB . 2 c1 2  c2 9 c3  2

Az első mozgásegyenlet felírása (i=1) Az egyenletek bal oldalán álló mennyiségek: dE dE   m1 x A dq1 dx A



d  dE     m1 x A . dt  dx A 

dE dE   0. dq1 dxA

Az általános visszatérítő erő: Qc1 Qc1  

  x  xA   1 dU dU 1     B (1)     x A  xB  . dq1 dx A c1 c1   c1  

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

4/9

Az első mozgásegyenlet felírása (i=2) Az egyenletek bal oldalán álló mennyiségek: dE dE 1   m2 xB dq2 dxB 9



d  dE  1    m2 xB . dt  dxB  9

dE dE   0. dq2 dxB

Az általános visszatérítő erő: Qc 2 Qc 2  

  x  xA   1 1 1 1 dU dU 1   1      B  1     xB     xA      xB  . dq2 dxB c1   c1  c2 9 c3    c1 c2 9 c3  

Az egyes tömegek mozgásegyenletei: 1 1 m1 xA  xA  xB  0, c1 c1 1 1 1 1 1  m2 xB  x A      xB  0. 9 c1  c1 c2 9 c3 

Mátrixos alakban felírva:  m1  0 

 1 0    x A   c1  1   m2  xB  1  9  x  c1 M

    xA   0   1 1 1    xB       c1 c2 9 c3   x 

1 c1



M x  C x  0.

C

0   m1    18 0  kg , A tömegmátrix: M  1   0 m2   0 2  9   1  1    c  c1 1     2500 2500  N . a rugómátrix: C     1 1 1 1    2500 15000  m        c1  c1 c2 9 c3  

A rezgőrendszer mozgásegyenletének végső alakja: 18 0   xA   2500 2500   xA   0 2   x    2500 15000   x   0.   B   B

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

5/9

11.3. Példa: Hajtómű torziós rezgéseinek mozgásegyenlet rendszere

Adott: az ábrán látható hajtómű, továbbá J1, J 2 , J 3 , J 4 , J 5 , J 6 , D1, D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , l12 , l34 , l56 ,

d12 , d34 , d56 , M1, M 6 , továbbá M1 és M 6 nyomatékok nem függenek az időtől. Feladat: a) Mozgásegyenlet rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak! b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell meghatározása. Kidolgozás: 5 1 A kinetikai energia: E   J ii2 i 1 2 A D22  D33 és D44  D55 áttétel figyelembevételével és 1,2 ,3 ,4 általános D D koordináták választásával: 3  2  2 , 5  4  4 , D3 D6

E

 1 2  D2 2  2  D4 2  2 J   J  J   J  J   J 662   1 1  2  4 3 5 2  2 2  4 2 D3  D5    

A másodrendű nyomatékok I pi ,i 1  A torziós rugóállandók:  i ,i 1 

di4,i 1 

li ,i 1

32 

,

i  1,3,5

32li ,i 1

, I Pi ,i 1G d i4,i 1 G A tengelyekben felhalmozódott rugalmas energia: 2

    U 2 1  12

2

i  1,3,5

2

 D2   D4    4   2   6   4  D3   D5  .  

 34

 56

A külső ER teljesítménye P  M11  M 66 , mivel a 3 és 4 jelű fogaskerekeknél a pozitív szöglefordulás iránya az áttétel miatt fordított, addig az 5,6 jelű és az 1,2 jelű fogaskerekeknek egymással azonos a forgásiránya. Így a mozgásegyenlet-rendszer: 10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

6/9

J11  d  E    dt  1 

1

 12

1  Qc1 

1

 12

2  M1

dU d1

  1 D2 2  1 D2 2  D2 J  J      4  0  2  2  3 1 2  2 2 D3   12 D3 34    12 D3  34  d  E    dt   2 

Qc 2 

dU d 2

  1 D4 2  D2 D4 2  D4 J  J      6  0  4  4  5 2 2  4 2 D5  D3 34 D5 56    34 D5  56  d  E    dt   4 

J 6 6  d  E    dt  6 

Qc 3 

dU d 4

D4 1 4    M6 D5 56  56 6 Qc 4 

dU d 6

A szerkezet rezgéstani modellje áttételes rezgőrendszer. b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása: D D Általános koordináták: q1  D21 , q2  D22  D33 , q3  D34  D3 5 5 , q4  D3 5 6 . D4 D4 q q q q q D ahol: 1  1 ,  2  2 , 3  2 ,  4  3 , 6  4 4 , D2 D2 D3 D3 D3 D5

Ezzel a kinetikus energia 1  J1 2  J 2 J 3  2  J 4 D42 J 5  2 D42 J 6 2  E   2 q1   2  2  q2   2  2 2  q3  2 2 q4  . D  D  2  D2 D3 D5   2 D3   3 D3 D5  A rugókban felhalmozott rugóenergia U

 q2  q1 2  q3  q2 2

 D32 34 D32 D52 56 M DM a teljesítmény P  1 q1  4 6 q4 . D2 D3D5 D22 12



D42  q4  q3 

2

,

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

7/9

A mozgásegyenlet-rendszer   D22 D22 12 D22 12    J 2 J3   1 1 1    q  q   q   2  2 1  2 2  2 D 2  D 2  D D D  3  2 12 3 34   2  2 12  1   2 q3  0  D3  34  . 2 2  J 4 D4 J 5   1  D4 1  q2   2  2 2  2  2 2  q3  2  q3    D3  34  D3 D3 D5   D3  34 D3 D5  56    D42  2 2 q4  0  D3 D5  56   D32 D52 J 5 D4 M 6  D42 D42 q4  2 2 q3  2 2 q4  D3 D5  D32 D3 D5  56 D3 D5  56 J1

A rendszer tömegmátrixa:  J1 0  2 D 2   J 2 J3   0 D22 D32   M    J4  0 0  D32   0  0  a rugómátrix: C    1  D 2  2 12  1  2  D2  12   0     0 



D42 J 5 D32 D52 0

1

1



0 1



D32 34

1

1

D32 34

D32 34

0

1

q2 

M1 D2

0

0 

q1 

    0   , 0    D42 J 6   D32 D52 

0

D22 12

D22 12 

1

q1 



1 D32 34 

    0  .  D42   2 2 D3 D5  56    D42  2 2 D3 D5  56  0

D42 D32 D52 56 D42

D32 D52 56

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

8/9

A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer: Q1 Q4 m3

m2

m1

c12 q1

c34

c23 q2

q3

m4 q4

A modellben az egyes mennyiségek az alábbi összefüggésekkel származtathatók: J D2 J D2 J J J J m1  12 , m2  22  32 , m3  42  24 52 , m4  24 62 , D3 D2 D3 D3 D3 D5 D3 D5 1 1 1 1  2 ,  2 , c12 D2  12 c23 D3  34 M DM Q1  1 , Q4  4 6 . D2 D3 D5

1 D2  2 42 , c34 D3 D5  56

10-Több szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

9/9