Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tünde; dátum: 2005. november I. rész 1. feladat Egy osztály tanulói a következő osztályzatokat kapták matematikából év végén: tízen ötöst, hatan négyest, kilencen hármast, heten kettest, s egy tanuló elégtelent. Számolja ki a diákok matematika jegyeinek átlagát két tizedesjegy pontossággal! (2 pont) 2. feladat Határozza meg az összes olyan kör egyenletét, amely érinti a koordinátatengelyeket, s sugara 5 egység! (3 pont) 3. feladat Számolja ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 3 21000 1 a) sin b) log 10 10 2006 3 (2 pont) 4. feladat Öt tanuló: Ági, Béla, Ede, Gabi és Feri két koncertjegyet nyert. Az öt nevet egy-egy cetlin bedobják egy kalapba, és kihúznak belőle kettőt visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy Ági és Béla kapja a két jegyet? (3 pont) 5. feladat Két üzletben ugyanolyan nadrágot árulnak. Az egyik boltban 12000 forintért, a másikban 25%-kal drágábban. Mivel a második boltban nem fogyott a nadrág, ezért 50%kal leárazták. Hány százalákkal kell az első boltban leszállítani a nadrág árát, ha ugyanannyiért akarják adni, mint a másik üzletben? (3 pont) 6. feladat Az A = 3·5·11 vagy a B = 22·3·7 számnak van több (pozitív) osztója? Mennyivel? (3 pont) 7. feladat Az alábbi egyenletek mindegyikéről döntse el, hogy azonosság-e! a) a 2
b2
(a b)( a b)
2 x b) log 10
2·log 10 x
c) 1 sin 2 x
cos x (3 pont)
8. feladat Egy 165 cm hosszú, 120 cm széles fürdőszoba padlóját négyzet alakú járólapokkal akarjuk burkolni. A lapok be kell fedjék az egész aljzatot. Legfeljebb hány cm lehet a járólap éle? (Az él hossza centiméterben mérve egész.) (3 pont)
1
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
9. feladat Reggel nyolc órakor két vírus támadott meg két számítógépet. A vírusok minden tizedik percben három, még nem fertőzött gépet támadnak meg. Melyik időpontban támad meg a vírus éppen 118098 gépet? (4 pont) 10. feladat Egy szabályos tetraéder térfogata egy kocka térfogatának kilencszerese. Hogyan aránylik egymáshoz a tetraéder és a kocka élhossza? Pontos értéket számoljon! (4 pont) II./A rész 11. feladat Év elején egy osztály tanulóinak testmagasságáról (cm-ben mérve), testsúlyáról (kgban) és tömött vagy lyukas fogainak számáról készült az alábbi táblázat. A tanulók nevét sorszámmal helyettesítettük. Sorszám Magasság
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
162 178 185 166 201 170 166 173 175 179 166
Testsúly
50
61
75
53
85
91
50
58
58
63
51
Hibás fogak száma
0
3
4
7
4
5
2
10
0
1
4
Sorszám
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Magasság
169 178 183 176 166 170 172 183 179 189 166
Testsúly
54
55
63
81
49
57
90
92
73
75
52
Hibás fogak száma
6
4
3
1
5
8
4
9
11
2
4
a) Mennyi a tanulók testsúlyának mediánja? b) Határozza meg a hibás fogak számának móduszát! c) Év közben az egyik tanuló az iskolából kiiratkozott. Az osztály tanulói testmagasságának az átlaga így megnőtt. Milyen magas lehetett az eltávozott tanuló? (12 pont) 12. feladat Kirándulás közben egy forrásnál megpihentünk. A forrástól a turistaház 4 km-re, a város 6 km-re fekszik. Csapatunk gyalogosan 2 km-t tesz meg óránként. a) Mennyi idő alatt érünk gyalogosan a forrástól a turistaházba, illetve a forrástól a városba? b) Milyen messze van a város a turistaháztól, ha gyalogosan a forrástól a városig 2 órával rövidebb az út, mint a forrástól a turistaházat érintve a városig? c) A turistaháztól a városig kisvonat szállítja az utasokat, pályája 8 km hosszú. A vonat 10 km/h-s sebességgel közlekedik, de csak óránként egyszer jár: a turistaháztól 2
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
mindig félkor indul. A lehető legrövidebb idő alatt szeretnénk a forrástól indulva a városba érni. Vegyük figyelembe, hogy a csoportnak egy percbe telik a felszállás végrehajtása. Melyik utat válasszuk: menjünk gyalog a városba, vagy gyalog a turistaházig, onnan pedig a kisvonattal a városba? Hogyan függ a válasz az indulás idejétől? Válaszát a 4 óra és 5 óra közti időintervallumban percre lebontva adja meg! (12 pont) 13. feladat a) Oldja meg az x 2 y 1 z egyenletet (x, y és z nem negatív egészek)! b) Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 2 3 5 7,5 5 és 12 ,5 x 4 y 1 x 4 y 1 (12 pont) II./B rész A 14 - 16. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. 14. feladat Egy kerékpáros A helyről észak felé indul el, s 48 km megtétele után B-be érkezik. Innen nyugat fele folytatja útját. 20 km megtétele után C–be érkezik, ahol a menetiránytól balra tér el, és a C-től 107,7 km-re fekvő D helyre ér. BCD = 138°52’. a) Készítsen ábrát a négy helység (A, B, C és D) elhelyezkedéséről! b) Az adott helységek közül bármely kettő távolságát légvonalban szeretnénk tudni. Hány adat ez? (Az adatok között esetleg lehetnek egyenlők is.) c) Határozza meg A és C helységek távolságát légvonalban! d) Határozza meg A és D helységek légvonalban mért távolságát! (17 pont) 15. feladat A H alaphalmaz elemei a 40-nél nem nagyobb pozitív egész számok. Az A halmaz az alaphalmaz 3-mal, a B a néggyel osztható elemeinek halmaza. a) Készítsen Venn-diagrammot az alaphalmazról, az A és a B halmazról! Az ábrán mindegyik részhalmazba írjon be legalább egy elemet! b) Adja meg az A B halmaz elemeinek legnagyobb közös osztóját! c) Hány elemű az A B halmaz? d) Az alaphalmaz elemei közül véletlenszerűen egyet választunk. Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott elem az A B halmaz komplementerébe tartozik? e) Az alaphalmaznak hány olyan eleme van, amely a 12-höz relatív prím? (17 pont) 16. feladat a) Oldja meg a sin x = 0,5 egyenletet a valós számok halmazán! log 0,5 x 2 b) Oldja meg a egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! c) Hány megoldása van a tgx = 1 egyenletnek a 0, 10 intervallumon? d) Oldja meg a valós számok halmazán a 4 5 2 x 3 5 x 1 10 egyenletet! (17 pont) 3
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
Fazakas Tünde 2005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója I. rész 1. feladat 10 5 6 4 9 3 7 2 1 1 116 3,52 10 6 9 7 1 33 Hibás kerekítés (3,51) esetén csak 1 pont adható. 2 pont 2. feladat A körök egyenlete: x 5 2
2
y 5
2
2
2
25, x 5
2
y 5
2
25,
2
x 5 y 5 25, x 5 y 5 25 . Egy egyenletért 1 pont, kettőért vagy háromért 2 pont adható.
3 pont 3. feladat a) sin
3 21000 1 3
sin
3
3 2 1 pont
b) log 10 10 2006
2006 log 10 10
2006
1 pont Összesen: 2 pont 4. feladat A valószínűséget az összes esetek száma / kedvező esetek száma képlettel számolhatjuk. 1 pont Az összes eset annyi, ahányféleképpen ki lehet választani öt ember közül kettőt, tehát tíz; a kedvező esetek száma 1. 1 pont A valószínűség 0,1. 1 pont Összesen: 3 pont 5. feladat A második boltban az ár a leárazás után a 12000 forint 62,5%-a (7500 Ft). 2 pont Az első boltban 37,5%-kal kell leszállítani az árat. 1 pont Összesen: 3 pont
4
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
6. feladat A-nak 8, B-nek 12 osztója van. 1-1 pont Tehát B-nek 4-gyel több osztója van. 1 pont Összesen: 3 pont 7. feladat Csak az a) azonosság. Helyes válaszonként 1-1 pont Összesen: 3 pont 8. feladat A 120 és a 165 legnagyobb közös osztóját keressük. 2 pont Ez a 15. 1 pont Összesen: 3 pont 9. feladat 10 perc múlva 2·3, 10n perc múlva 2·3n gép kapja meg a vírust. 1 pont n
A 2·3 = 118098 egyenlet gyökét keressük. 1 pont n = 10 1 pont A kérdezett időpont: 9 óra 40 perc. 1 pont Összesen: 4 pont 10. feladat Az a élű tetraéder térfogata
2 3 a , a b élű kockáé b3. 12
1 pont A térfogatokra felírt egyenlőség alapján az élek köbeinek aránya:
a b
3
9 12 2
3
3
2 . 1 pont
a Az élek aránya: b
3
2. Ez a pontos érték, de ennek reciproka is elfogadható.
2 pont Összesen: 4 pont
5
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
II./A rész 11. feladat a) Az adatokat nagyság szerint rendezve a tizenegyedik 58, a tizenkettedik 61, tehát a medián 59,5. 3 pont b) A 4 a leggyakrabban előforduló adat. (Hatszor szerepel.) 3 pont c) Az átlag pontosan akkor nő, ha átlagosnál alacsonyabb tanuló távozik. Az átlag 175,09, 3 pont tehát a kiiratkozott tanuló magassága lehetett 162, 166, 169, 170, 172, 173 vagy 175 cm. 3 pont Összesen: 12 pont 12. feladat a) Forrás - turistaház: 2 óra. Forrás - város: 3 óra. 1 - 1 pont b) A turistaház – város utat 3 óra alatt tesszük meg, a távolság 6 km. 2 pont c) A forrás – város út 3 óra. A forrás – turistaház út gyalogosan 2 óra, a kisvonat menetideje 48 perc, a felszállásra fordított idő 1 perc. Ez a változat 2 óra 49 percet vesz igénybe, ha nem kell várni a vonatra. 2 pont Ha a felszállás kezdetére 11 percnél kevesebbet várunk, akkor érdemes ezt választani, ha 11 percet, akkor mindegy, mit választunk, ha 11 percnél hosszabb a várakozási idő, akkor a közvetlen gyalogút a gyorsabb. 3 pont Ennek megfelelően, ha a forrástól 4 óra 17 percig el tudunk indulni, akkor menjünk végig gyalogosan; ha 4 óra 18-kor indulunk, akkor mindegy, mit választunk; ha 4 óra 18 és 4 óra 30 között (a határokat nem beleértve), akkor menjünk gyalog és vonattal; ha 4 óra 30-ra vagy még későbbre tolódik az indulás, akkor használjuk a lábunkat! 3 pont Összesen: 12 pont 13. feladat a) A bal oldalon nem állhat negatív szám, így a jobbon sem, tehát z értéke csak 0 vagy 1 lehet. 2 pont Ha z = 0, akkor x 2 y 1 . Ezt csak az x = 1, y = 0 számok oldják meg. Ha z = 1, akkor x 2y 0 . Ezt csak az x = 0, y = 0 számok oldják meg. 1 - 1 pont Az a) rész: 4 pont
6
Középszintű matematika érettségi feladatsor 1
Fazakas Tünde, 2005. november
1
új változók bevezetése x 4 y 1 egyenletrendszert kapjuk: 2a 3b 5 és 5a 12,5 7,5b. b)
a
Az
és b
után
a
következő
4 pont Ennek gyökei: a = 2,5 és b = 0. 2 pont Mivel b
1 y 1
értéke 0 nem lehet, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. 2 pont A b) rész: 8 pont A 13. feladat összesen: 12 pont II./B rész
14. feladat 20
C
B
'
48
7,7
10
A D
d) tgACB
AB , ebből ACB BC
a) A geometriai viszonyokat tükröző, nem feltétlenül méretarányos ábra készítése 3 pont b) Hat. (Felsorolással vagy négy elemből kettőt választunk.) 3 pont c) A Pitagorasz-tételből: AC = 52 km. 3 pont = 71°29’. 2 pont
ACB
= 67°23’. 1 pont
ACD háromszögre a cosinus-tételt felírjuk. 3 pont Ebből AD hossza 103,6 km. 2 pont d) rész: 8 pont Összesen: 17 pont 15. feladat a) A helyes ábra, és 1-1 elem megadása 3 pont Amennyiben a vizsgázó A B komplementeréből nem ad meg elemet, legfeljebb 2 pontot kaphat. b) 12, a 3-mal és 4-gyel is osztható számok mind oszthatók 12-vel, de nagyobb számmal nem, hiszen a 12 is benne van a halmazban. 2 pont c) 20. A választ felsorolással vagy számolással is lehet indokolni. 3 pont
7
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Fazakas Tünde, 2005. november
d) A komplementernek 20 eleme van, a halmaznak 40. A kedvező esetek száma 20, az összesé 40, a valószínűség 0,5. 4 pont e) A 12-höz relatív prímek azok az egészek, melyek nem oszthatók se 2-vel, se 3-mal. 2-vel 20, 3-mal 13, 6-tal 6 szám osztható. A 2-vel vagy 3-mal osztható számok száma: 20+13-6=27. Se 2-vel, se 3-mal nem osztható számból így 13 van. Megjegyzés: természetesen a számok felsorolással is megszámolhatók. 5 pont Összesen: 17 pont 16. feladat a) x = /6 + 2k vagy 5 /6 + 2l , k és l egészek. b) Mivel az alap 1-nél kisebb, ezért x a megoldást.
2 pont feltételnek eleget tevő pozitív számok adják 4
3 pont c) Az x = /4 + k (k egész) értékek közül keressük az adott intervallumba esőket. 1 pont Ez k = 0, 1 vagy 2 esetén következik be, tehát a megoldások száma 3. 2 pont x d) Az egyenlet a = 5 -re másodfokú. 2 pont 2 Rendezve és behelyettesítve: 4a 15a 10 0 . 1 pont 15 385 . Gyökei: 8 2 pont Ebből csak a pozitív lehet 5x értéke. 2 pont 15 385 x log 5 0,91 , ami az egyenletnek megoldása. 8 2 pont Összesen: 17 pont
8
