Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november I. rész 1. feladat Egy liter 20%-os alkoholhoz 1/2 liter 40%-os alkoholt keverünk. Hány százalékos lesz a keverék? (3 pont) 2. feladat Egy másodfokú polinom gyökei x1 1 és x2 5. A függvény grafikonja a -3 ordinátájú pontban metszi az y-tengelyt. Határozzuk meg a polinomfüggvény szélsőértékét a valós számok halmazán! (4 pont) 3. feladat Egy érmét négyszer dobunk fel. Mennyi a valószínűsége, hogy több fejet dobunk, mint írást? (4 pont) 4. feladat Oldja meg az x
2 x 1
egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (4 pont)
5. feladat A P pont illeszkedik az x-tengelyre és egyenlő távol van az A(1; 2) és a B(5; 4) pontoktól. Milyen messze van a P pont az origótól? (3 pont) 6. feladat Határozza meg az alábbi kifejezés pontos értékét: lg6 lg 4 lg20 lg 3 lg16. (3 pont) 7. feladat Az
szögre cos
5 . Határozza meg cos2 és sin2 lehetséges értékeit. 13 (3 pont)
8. feladat Az ABC háromszögben AB 12 cm, BC 6 3 cm, a háromszög területe pedig 54 cm 2 . Határozza meg az ABˆ C szöget. (4 pont) 9. feladat Egy számtani sorozat első és ötödik elemének az összege 18. A sorozat harmadik eleme 6tal kisebb, mint az ötödik. Mennyi a sorozat első tíz elemének az összege? (3 pont) 10. feladat Egy osztályba 36 diák jár. Közülük 32-en tanulnak angolul vagy németül, németül pedig 21-en tanulnak. Az osztályban csupán 7 diák nem tanul angolul. Hányan tanulják mindkét nyelvet? (3 pont) 1
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november
II./A rész 11. feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 3 x 3 log x 3 4; b) log x 3 log x 27 2 (12 pont) 12. feladat 2 2 4 Egy háromszög egyik szöge 120 -os, oldalaira pedig fennáll, hogy a b c Mekkorák a háromszög további szögei?
b4
a2c 2 . (10 pont)
13. feladat Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol t valós paraméter (t 1)x 3y 3t x (t 1)y 2. (14 pont) II./B rész A 14 - 16. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. 14. feladat Az ABCD trapéz egyik alapjainak hossza AB = 6, a BD átló hossza pedig 5 cm. A trapéz AC átlója 30 -os szöget zár be az alapokkal és merőleges a BD átlóra. a) Milyen hosszú az AC átló? b) Mekkora a trapéz területe? c) Mennyi a trapéz kerülete? (17 pont) 15. feladat Két évre takarékba tettünk 800 000 forintot. A második év végére 882 000 forintot vehettünk fel. a) Évente átlagosan hány százalékkal nőtt a betétünk? b) A tényleges kamatláb két százalékkal volt magasabb az első évben, mint a másodikban. Hány százalék volt a második évben a kamatláb? c) A szóban forgó két évben az infláció átlagos évi mértéke 6% volt. Mennyit ért a felvett 882 000 forint két évvel korábban? (17 pont) 16. feladat A büfében frissen facsart narancslét árulnak. A Nemzeti Narancs Kutatóintézet Minőségbiztosítási Főosztályán megállapították, hogy egy 15 cm átmérőjű narancsnak átlagosan 80, egy 10 cm átmérőjű narancsnak pedig átlagosan a 70 százaléka narancslé. Azt is kiderítették, hogy a narancsok narancslétartalma bizonyos határok között lineárisan függ a narancsok átmérőjétől. a) Egy 18 cm átmérőjű narancs térfogatának várhatóan hány százaléka narancslé? b) A büfés 25 cm átmérőjű narancsokat rendelt. Mi járhatott a fejében? c) A Kutatóintézetben új narancsléfacsaró célszerszámot fejlesztettek ki, amely egy d átmérőjű narancs narancslétartalmának átlagosan a (100 – 2d) százalékát facsarja ki. Mit tegyen a büfés?
2
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november (17 pont)
Pataki János 2005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója 1. feladat A másfél liter keverékben összesen 2+2=4 deci alkohol lesz, 2 pont így 100 0,4 / 1,5 26,67 %-os keveréket kapunk. 1 pont Összesen: 3 pont 2. feladat A polinom gyöktényezős alakja: p(x) a(x 1)(x 5) . 1 pont Mivel p(0)
3 0. 5
3 a ( 5), innen a
1 pont A függvénynek minimuma van és azt a gyökök felezőpontjában veszi fel: 3 27 . pmin p(2) (2 1)(2 5) 5 5 2 pont Összesen: 4 pont 3. feladat A szóban forgó esemény két egymást kizáró módon valósulhat meg: úgy, hogy 4 fejet dobunk, vagy pedig 3 fejet és 1 írást. 1 pont Az első esemény valószínűsége 1/16, 1 pont a másodiké pedig 4/16=1/4. 2 pont A keresett valószínűség tehát 5/16. Összesen: 4 pont A feladat másképp is megoldható. Ha p jelöli a keresett valószínűséget, akkor 1 2 p nyilván annak a valószínűsége, hogy ugyanannyi fejet dobunk, mint írást. Ez a valószínűség 6/16, így p = 5/16. 4. feladat Grafikusan: ha x1 sül, ha x1
2
x2 az x
x 1, vagy x2
x 1
x.
egyenlet gyökei, akkor az egyenlőtlenség akkor telje2 pont
Az egyenletet rendezve x
2
x 2 (x 1)(x 2) 0 . 1 pont
Az egyenlőtlenség megoldása:
1 x 1 vagy 2
x. 1 pont Összesen: 4 pont
3
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november
5. feladat Az AB felező merőlegesének egyenlete: 2x
y 9 0. 1 pont
Az egyenes az x-tengelyt a 4,5 abszcisszájú pontban metszi. 1 pont P távolsága az origótól 4,5. 1 pont Összesen: 3 pont 6. feladat A logaritmus azonosságai szerint a kifejezés lg
6 4 20 lg10 . 3 16 2 pont
A logarimus definíciója szerint a kifejezés értéke 1. 1 pont Összesen: 3 pont 7. feladat
cos2
cos2
sin2
2cos2
1
119 . 169
sin2
Ha pld hegyesszög, akkor 0<2 <180 , így sin2 ellentettjére, a (- ) szögre 0>-2 <-180 , így sin2 negatív.
1 cos2 2
120 . 169
1-1 pont pozitív, míg ugyanezen szög Összesen: 3 pont
8. feladat A háromszög kétszeres területe 2t AB BC sin ABˆ C . Innen 2t 108 3 sin ABˆ C . AB BC 72 3 2 Az ABˆ C szögre így két lehetőség adódik: 60 vagy 120 .
2 pont 2 pont Összesen: 4 pont
9. feladat 18 a1 a5
2a3
a3
9. 1 pont
a5
a3 6 15.
A sorozat differenciája 3, első eleme 3. Az első tíz elem összege 165 .
1 pont 1 pont Összesen: 3 pont
10. feladat Készítsünk táblázatot. A táblázat belső mezőiben a megfelelő halmazok közös részének az elemszáma áll. A kitöltés alapja, hogy a keretben álló számok soronként és oszloponként is a táblázat mezőiben álló számok összegeként kaphatók. Az indexekbe írt sorszámmal jelezzük, hogy a gondolatmenet hányadik lépésében határozhatjuk meg azt a számot. A 0 indexű számok a szöveg alapján közvetlenül beírhatók a táblázatba.
4
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november
Angolul nem tanulók 183 = 21 32 = 7 – –3 4 41 = 36 – 32 291 = 36 70 -7
összesen
tanulók tanulók ném etül
nem tanulók összesen
210 151 = 36 – 21 360
A táblázat helyes kitöltéséért vagy Venn diagramért 2 pont Összesen 18 diák tanulja mindkét nyelvet 1 pont Összesen: 3 pont 11. feladat Mindkét egyenlet akkor értelmes, ha x pozitív és x nem 1. 1 pont a) y
log 3 x
1 y
log x 3.
1 pont Az egyenlet az új vátozóban rendezés után: y
2
4y 3 0 . 1 pont
Ennek megoldásai
y1
1, y2
3.
2 pont A logaritmus definíciója szerint x1
1
3
3
3, x2
3
27 .
2 pont Mindkét szám gyöke az eredeti egyenletnek 1 pont b) A logarimus azonosságai szerint log x 3 log x 3
3
log x 3 3 log x 3
4 log x 3.
2 pont A logaritmus definíciója szerint az log x 3 ennek megoldása x
1 egyenlet ekvivalens az x1/ 2 2
3 egyenlettel:
9. 1 pont
A kapott érték megoldása az eredeti egyenletnek. 1 pont Összesen: 12 pont 12. feladat Rendezve és szorzattá alakítva: 0 a2b2 a2c 2 c 4 b4 a2 (b2 c 2 ) (c 2 b2 )(c 2 b2 ) (a2 c 2 b2 )(b2 c 2 ) . 5 pont Ha a szorzat első tényezője 0, akkor a Pitagorasz tétel megfordítása szerint a háromszög derékszögű. Ebben az esetben nem lehet tompaszög a háromszögben. 3 pont Így a szorzat második tényezője 0, ekkor a háromszög egyenlő szárú.
5
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november 1 pont
Ekkor a háromszög hegyeszögei egyenlők, nagyságuk 30-30 . 1 pont Összesen: 10 pont 13. feladat Az első egyenlet (t 1) -szereséből vonjuk ki a második egyenlet 3-szorosát: (t 1)(t 1) 3 x 3t(t 1) 6 2 pont Rendezve és szorzattá alakítva (x) (t 2)(t 2)x 3(t 1)(t 2). 1 pont Most az első egyenletből vonjuk ki a második egyenlet (t 1)-szeresét: 3 (t 2 1) y 3t 2(t 1) , azaz 2 pont (y)
(2 t)(2 t)y
t 2. 1 pont
3x 3y 6 x y 2. Az első egyenlet a második 3-szorosa, az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. 2 pont Ezek az x;x 2 számpárok, ahol x tetszőleges valós szám. 1 pont x 3y 6 Ha t 2 , akkor az egyenletrendszer x 3y 2. Az egyenletrendszernek ebben az esetben nincs megoldása. 2 pont Ha (t 2)(t 2) 0, akkor az (x) és (y) egyenletekben egyszerűsíthetünk (t 2) -vel és 3(t 1) 1 mindkét oldalt oszthatjuk (t 2)-vel: x és y . t 2 2 t 2 pont A kapott számpár megoldása az egyenletrendszernek. 1 pont Összesen: 14 pont
Ha t
2 , akkor az egyenletrendszer
14. feladat Jelölje M az átlók metszéspontját. Az ABM derékszögű háromszögben MAˆ B 30 , azért a) MA 3 3 , MB = 3 és így MA = 2. 2 pont Az MDC derészögű háromszögben tehát DC = 4. 2 pont Az AMB és a CMD derékszögű háromszögek hasonlók, a hasonlóság aránya AB : CD 3 : 2 . 2 pont Így CM 2 3 , tehát AC 5 3 . 1 pont b) Az átlók merőlegesek egymásra, azért a négyszög területe a szorzatuk fele:
6
Középszintű matematika érettségi feladatsor
t
AC BD 2
25
3 2
Pataki János, 2005. november
21,65 cm2.
5 pont c) A kerület meghatározásához a szárak hosszát kell kiszámolni. Pithagorasz-tétele szerint
AD
AM 2
MD2
31 5,57 cm 2 pont
BC
BM
2
MC
2
21
4,58 cm 2 pont
A trapéz kerülete k
20,15 cm. 1 pont Összesen: 17 pont
15. feladat a) A betétünk két év alatt 1,1025-szörösére nőtt. 2 pont 2
Ha mindkét évben s-szeresére nőtt a betét, akkor s = 1,1025, ahonnan s 1,05. 3 pont A betétünk tehát átlagosan 5%-kal nőtt évente. 2 pont b) Ha az 1. évben s -szeresére nőtt a pénzünk, akkor a 2. évben a szorzószám (s 0,02) . 2 pont A két év során összesen 1,1025-szörös volt a növekedés, így 1,1025 s(s 0,02) . Az egyenlet pozitív megoldása s 1,06. A második évben tehát 6%-os volt a kamatláb. 2-1-1 pont c) Ki kell számolnunk, mekkora összeg (x) növekszik évi 6%-os növekedési arányt követve 2 év alatt 882 000 forintra. x 1,062 882 000, ahonnan x 785 000 forint. 4 pont Összesen: 17 pont 16. feladat a) Feltéve, hogy a linearitás fennáll a 15cm;20cm intervallumban, a szóban forgó 80 70 (d 10) 70 2d 50 , ahol N a narancslétartalom térfogatszázafüggvény N 15 10 lékban, d pedig a kifacsarandó narancs átmérője centiméterben. 5 pont Ebben az esetben egy 18 cm átmérőjű narancsnak várhatóan a 86%-a narancslé. 2 pont b) A fenti formula azt mondja, hogy egy 25 cm átmérőjű narancsnak a 100%-a narancslé, a büfés ebben reménykedhetett. Ez nyilván képtelenség, a tapasztalt linearitás ebben a tartományban már nem lehet igaz. 2 pont c) Ha a büfés d átmérőjű narancsokat rendel, akkor – feltéve, hogy a lineáris összefüggés érvényes az ilyen méret esetén – a szállítmánynak (2d 50)% -a lesz narancslé, amelynek a célszerszám segítségével a (100 – 2d)%-át tudja hasznosítani. Így az érkező szállítmánynak 100 2d % -a hasznosul. összesen a (2d 50) 100 3 pont
7
Középszintű matematika érettségi feladatsor
Pataki János, 2005. november
Ez d-nek másodfokú függvénye, amely akkor maximális, ha d 12,5. A maximálisan hasznosítható narancslétartalom az adott körülmények között 56,25%. 5 pont Összesen: 17 pont
8
