´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
¨ enet ´ Fizikatort ¨ epkori ´ Koz matematika ´ Andras ´ Horvath ´ Kemia ´ SZE, Fizika es Tsz.
v 1.0
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
´ Bevezetes ´ ´ Lattuk korabban: ´ ´ forradalmat ´ a koz ¨ epkor ´ ´ A termeszettudomany tarsadalmi, technikai ´ tudomanyos ´ ´ ´ ıtik elo. ˝ es eredmenyei kesz´ ´ ´ ´ eredmeny ´ is Ezen alapozo´ tevekenys egen k´ıvul ¨ sok konkret szuletett, pl.: ¨ • T´ızes szamrendszer ´ ´ ekes ´ ´ ıras. ´ u˝ helyiert szam´ • Szogf ¨ uggv ´ enyek. ¨ • Problemamegold ´ ´ modszerek, ´ asi algoritmusok. • Egyenletrendezes ´ szabalyai. ´ • Pontos terk ´ ep ´ eszeti, ´ ¨ ´ esi ´ modszerek. ´ foldm er
´ ˝ ese ´ szempontjab ´ ol ´ Ezek az eredmenyek igen fontosak a fizika fejlod is.
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
Alapok AFKT 2.3.1
Fo˝ utvonal: ´ • i.e. 2. evezred, ´ ´ ´ ekes ´ ¨ es ´ otlete. ¨ Mezopotamia: helyiert jelol (60-as
´ ´ u´ szamjegyekkel). ´ alapu´ szamrendszer 10-es csoportos´ıtas • i.e. 3. szd., Arkhimed ´ esz: ´ ´ ek ´ u˝ jelol ¨ es ´ otlete. ¨ 10-es helyiert • i.sz. 2–6. szd., India: a 10-es rendszer kidolgozasa ´ egesz ´
´ szamokra. • i.sz. 8–15. szd., Arab Birodalom: alkalmazasok, ´ ¨ es ´ tizedes jelol
¨ otlete. • 1600 kor ¨ ul, ¨ ¨ Napier, Kepler: mai tizedes tortek.
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
´ ´ A mai szamjegyek kialakulasa
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
´ Indiai eredmenyek ¨ ´ eszt ´ ol ˝ veszik (Alexandriai Konyvt ¨ ´ Az otletet Arkhimed ar). ´ ¨ ott. ¨ Viragkor: 200–1200 koz
´ abr ´ azol ´ as ´ es ´ szamol ´ ´ fobb ˝ eredmenyei: ´ A szam as • 0 kovetkezetes ¨ ´ hasznalata • muveletek 0-val (Brahmagupta, 598–??) ˝ • vegtelen ´ ´ ´ fogalmanak kezelese • negat´ıv szamok ´ ´ ´ fogalma, ertelmez ese • sok gyakorlati problema ´ ´ megoldasa
¨ ´ Osszefoglal as
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
¨ ¨ es: ´ kezdetek Tortjel ol ´ jelol ¨ es: ´ Sexadecimalis ´ csak az egeszek ´ ¨ es ´ ere ´ hasznalt ´ ak ´ a 10-es alapot, a Sokaig jelol ¨ ´ maradtak a 60-asnal. ´ tortekn el ´ Mai szamjegyekkel pl. Ptoleimaiosz ´ıgy adta meg a π-t: π ≈ 3 80 3000
(= 3,1416666...)
˝ ¨ pontosan kifejezheto. ˝ (Pl. 1/3, 1/6, ...) Elony: sok nevezetes tort ´ any: ´ ´ es, ´ mert az egesz ´ reszek ´ Hatr nehezebb muveletv egz 10-es, a ˝ ¨ tortek 60-as alapuak. ´
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
¨ ¨ es: ´ a mai alak Tortjel ol ¨ ¨ Tizedes tortek otlete: Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud ¨ al-Kashi (1380–1429) ´ esek: ´ Mai alakhoz vezeto˝ lep • Simon Stevin (1548–1620) • John Napier (1550–1617)
´ maradt: Egyetlen bizonytalansag ´ ´ es ´ tort ¨ reszt? ´ ˝ Mivel valasztjuk el az egesz Vesszovel vagy ponttal? ˝ Napier: pont; Kepler: vesszo. ˝ eg ´ azota ´ is megmaradt. Ez a kettoss
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
´ ¨ es ´ fontossaga ´ A szamjel ol ¨ ´ ¨ muvelet A tizedes tortekkel egysegnyi ido˝ alatt 10–100-szor tobb ˝ ´ ´ ´ ¨ esekkel. ´ vegezhet o˝ el, mint az okori szamjel ol ´ (pl. Kepler bolygop ´ alya-sz ´ ´ ıtasai) ´ ´ ul Sok felfedezes am´ enelk ¨ meg sem szuletett volna. ¨ ´ ´ epek. ´ Megszuletnek az elso˝ mechanikus szamol og ¨ ´ ´ as: ´ a szamok ´ Szemleletform al egy egyszeruen kezelheto˝ rendszert ˝ alkotnak. ´ ´ ´ Bonyolultabb muveletek, fuggv enyek ertelmez ese. (Pl. Napier: ˝ ¨ ´ ´ logaritmus-tablazatok.)
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
˝ eredmenyek ´ Fobb ¨ Alapotlet: Hipparkosz, Ptolemaiosz. ´ koszinusz fuggv ´ Szinusz es enyek: India. ¨ ¨ uggv ´ Mai szogf enyek: arab matematikusok, 9. szd. ¨ ´ Csucsteljes´ ıtmeny: ´ • Szogf ¨ uggv ´ ´ azatok ´ ´ esekben ´ eny-t abl 1’ lep 9 tizedesjegy ¨ ´ pontossagig. • Nevezetes osszef ¨ ´ ´ ´ ´ ugg megallap´ ıtasa. (pl. sin(3α) kifejtese.) ¨ esek • Gombfelsz´ ¨ ´ ın geometriaja. • Sorfejtes ´ alapotlete ¨ (θ = tan θ − (1/3) tan3 θ + (1/5) tan5 θ − . . .))
´ a terk ´ ep ´ eszetben, ´ ´ Alkalmazas csillagaszatban, ...
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
¨ Al-Khwarizmi konyve Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi (790–840): Hiszab al-dzsebr w’al mukabalah. • Egyenletrendezes ´ szabalyai. ´ al-dzsebr⇒ algebra. • Modszeres ´ ´ al-Kharizmi⇒ algoritmus. gondolkozas. • Ezen a konyv ¨ ¨ keresztul ¨ be Europ ´ aba ´ on az “arab ¨ jon
´ ¨ es”. ´ szamjel ol
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
´ algoritmus Algebra es ´ Algebra: “a dolgok rendbe tetele” ´ szovegesen. ¨ A mai egyenletek fogalma megjelenik, de meg (“Ha 5 ´ meg ´ 2 az 7 valamivel egyezik meg, akkor mennyi a valami?”) valami es
´ szabalyok: ´ ´ oldalbol ´ szabad azonosat Egyenletrendezesi mindket ´ elvenni, hozzaadni, stb. ¨ ıto˝ megoldasa. ´ Harmadfoku´ egyenletek kozel´ ´ ol. ˝ Algoritmus: al-Khwarizmi neveb ´ ´ ´ ´ırjuk fel az alap osszef ¨ ´ Modszeres problemamegold as: ugg ¨ est, ´ uk ´ nezz mit nem, rendezzuk ¨ meg, mit ismerunk, ¨ ¨ az egyenletet ´ıgy es ´ıgy, .... ˝ eg: ´ tobb ¨ problema ´ ´ Jelentos megb´ızhatobban oldhato´ meg, mint a ¨ og ¨ ok ¨ intuit´ıv szemlelet ´ evel. ´ gor
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
˝ nem esett szo... ´ Sok mindenrol
´ aul: ´ Peld • harmadfoku´ egyenletek pontos megoldasa ´ (Cardano, 16.szd.) • kepzetes ´ ´ ¨ szamok otlete • mai egyenlet´ırasi ´ forma
˝ Az elso˝ “egyenlet” 1557-bol • pontos terk ´ ep ´ eszeti ´ ´ asok ´ eljar • fuggv ´ ´ obb) ˝ eny-grafikonok (ld. kes ¨
´ Bevezetes
´ A t´ızes szamrendszer
´ Trigonometrikus fuggv enyek ¨
Algebra, algoritmus
Egyebek
¨ ´ Osszefoglal as
¨ epkori ´ ´ ´ az utat: A koz matematikai felfedezesek megnyitottak • bonyolultabb elmeletek ´ • pontosabb mer ´ esi ´ es ´ kiert ´ ekel ´ esi ´ modszerek ´ • a szam´ ´ ıtasok ´ ´ asa ´ automatizal • absztrakt matematikai fogalmak megjelenese ´
˝ elott.
´ a mai napig valtozatlan ´ ´ ´ Sok felfedezest formaban hasznalunk.
¨ ´ Osszefoglal as
