KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK INFORMATIKA ROVATTAL BŐVÍTVE

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 321. oldal – 1. lap

K¨ oMaL, 2015. szeptember

i

´ ´ FIZIKAI LAPOK ¨ EPISKOLAI KOZ MATEMATIKAI ES ˝ ÍTVE INFORMATIKA ROVATTAL BOV ´ ALAPÍTOTTA: ARANY DANIEL 1894-ben 65. évfolyam 6. szám

Budapest, 2015. szeptember

´ Megjelenik évente 9 számban, januártól májusig és szeptembert˝ol decemberig havonta 64 oldalon. ARA: 950 Ft

´ TARTALOMJEGYZEK F˝oszerkeszt˝ováltás a KöMaL-nál . . . . . . . . . . . . . . .

322

Pelikán József: Beszámoló az 56. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról . . . . . . . . . . . . . . . .

322

Olimpiai el˝okész´ıt˝o szakkörök . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

Berecz János: Sain Márton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

EGMO 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

Lorántfy László: Emelt szint˝u gyakorló feladatsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

329

Tájékoztató a folyóirat el˝ofizetésér˝ol . . . . . . . . . . . .

331

Versenyki´ırás a KöMaL pontversenyeire . . . . . . . . .

331

Matematika C gyakorlatok megoldása (1286.) . . . .

339

Matematika feladatok megoldása (4619., 4649., 4658., 4660., 4676., 4681., 4691.) . . . . . . . . . . . . .

341

A K pontversenyben kit˝uzött gyakorlatok (463– 468.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351

A 2014–2015-ös pontversenyek végeredménye . . . . .

I

A C pontversenyben kit˝uzött gyakorlatok (1301– 1307.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

353

A B pontversenyben kit˝uzött feladatok (4723– 4731.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354

Kürschák-verseny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355

Az A pontversenyben kit˝uzött nehezebb feladatok (647–649.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355

Informatikából kit˝uzött feladatok (379–381., 1., 100.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ érem Szász Krisztián, Vankó Péter, Vigh Máté: Ot a 46. Nemzetközi Fizikai Diákolimpián . . . . . . . .

356 361

Kunfalvi Rezs˝o Olimpiai Válogatóverseny . . . . . . .

365

Ifjú Fizikusok Nemzetközi Versenye . . . . . . . . . . . . .

370

Varga Balázs: Gyakorló feladatsor emelt szint˝u fizika érettségire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

373

Fizika feladatok megoldása (4696., 4712.) . . . . . . . .

376

Eötvös-verseny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379

Pályázati felh´ıvás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379

Fizikából kit˝uzött feladatok (352., 4748–4757.) . . .

380

Problems in Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382

Problems in Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

384

K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

´ EVA ´ F˝ oszerkeszt˝ o: RATKO ´ ¨ Fizikus szerkeszt˝ o: GNADIG PETER ´ ILDIKO ´ M˝ uszaki szerkeszt˝ o: MIKLOS ´ Kiadja: MATFUND ALAPÍTVANY ´ VERA Alap´ıtv´ anyi képvisel˝ o: OLAH Felel˝ os kiad´ o: KATONA GYULA ´ CECÍLIA Kiad´ o igazgat´ oja: KULCSAR Nyomda: OOK-PRESS Kft., ´ Felel˝ os vezet˝ o: SZATHMARY ATTILA INDEX: 25 450 ISSN 1215-9247 A matematika bizotts´ ag vezet˝ oje: ´ HERMANN PETER ´ ´ Tagjai: KAROLYI GERGELY, KISS GEZA, ´ GEZA, ´ ´ RITA, ¨ KISS GYORGY, KOS KOS ´ ´ ´ LORANTFY ´ ´ ´ LORANT LASZL O, LASZL O, ´ ´ NAGY GYULA, PACH PETER PAL A fizika bizotts´ ag vezet˝ oje: RADNAI GYULA ´ ´ ´ HOLICS LASZL ´ ´ Tagjai: GALFI LASZL O, O, ´ ´ SZASZ ´ HONYEK GYULA, SIMON LASZL O, ´ VIGH MAT ´ E, ´ VLADAR ´ KAROLY, ´ KRISZTIAN, WOYNAROVICH FERENC Az informatika bizotts´ ag tagjai: ´ FARKAS CSABA, FODOR ZSOLT, GEVAY ´ ´ ´ SIEGLER GABOR, SCHMIEDER LASZL O, ´ ´ GABOR, WEISZ AGOSTON ´ ´ Bor´ıt´ ok: SCHMIEDER LASZL O ´ ANDREA, TASNADI ´ ANIKO, ´ Ford´ıt´ ok: GROF ´ LOCZI LAJOS ´ ´ ¨ Szerkeszt˝ oségi titk´ ar: TRASY GYORGYN E A szerkeszt˝oség c´ıme: 1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1.A, V. emelet 5.106.; Telefon: 372-2500/6541; 372-2850 A lap megrendelhet˝o az Interneten: www.komal.hu/megrendelolap/reszletek.h.shtml. El˝ofizetési d´ıj egy évre: 8100 Ft Kéziratokat nem ˝orzünk meg és nem küldünk vissza. Minden jog a KöMaL tulajdonosaié. E-mail: [email protected] Internet: http://www.komal.hu This journal can be ordered from the Editorial office: Pázmány Péter sétány 1.A, V. emelet 5.106., 1117–Budapest, Hungary telephone: +36 (1) 372-2850 or on the Postal address H–1518 Budapest 112, P.O.B. 32, Hungary, or on the Internet: www.komal.hu/megrendelolap/reszletek.e.shtml. A Lapban megjelen˝o hirdetések tartalmáért felel˝osséget nem vállalunk.

321

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 322. oldal – 2. lap


i

F˝ oszerkeszt˝ ov´ alt´ as a K¨ oMaL-n´ al Nagy Gyula 2001 szeptemberét˝ol kezdve, 14 tanéven kereszt¨ ul vezette a szerkeszt˝ oség munk´ aj´ at. A fizika és a matematika mellett a 2001 szeptemberében induló informatika pontversenyért is ˝o volt a felel˝os. Vezetése alatt rengeteg innováció történt a lapn´ al. 2004-t˝ ol az Abacus pontversenyb˝ol a KöMaL versenyzésre áttér˝ok szám´ ara egy k¨ onnyebb, K pontversenyt ind´ıtott a lap, 2006-ban pedig további k´ınálatb˝ ov´ıtésként az internetes Tesztversenyt. Nevéhez f˝ uz˝odik a versenyvizsga.hu portál elind´ıt´ asa és fejlesztése, el˝ oseg´ıtette a fizikai k´ısérletek portáljának létrejöttét, az Ir´ any a Nobel-d´ıj CD (K¨ oMal 1994–2003) kiadását. Nagy energiát fektetett a K¨ oMaL angol nyelv˝ u sz´ amainak elkész´ıttetésébe és terjesztésébe: 2002 és 2005 k¨ oz¨ ott o am is megjelent. Sajnos a sz˝ ukös és gyakran kiszám´ıthatatlan ¨t angol sz´ anyagi feltételek nem tették lehet˝ové, hogy a jó kezdeményezések minden évben tov´ abbfejleszthet˝ ok legyenek. Ezért csak egy alkalommal jelent meg a KöMaL f¨ uzetek sorozat (Pataki J´ anos ´ırásával) és az Emelt szint˝ u, illetve B˝ov´ıtett emelt szint˝ u matematika érettségi feladatgy˝ ujtemény. Bár a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapot el˝ ofizet˝ ok sz´ ama 1990 óta lassan egyre csökken˝o tendenciát mutat, a f˝ oszerkeszt˝ o a szerkeszt˝ obizottságok áldozatkész munkájával máig meg˝orizte azt a sz´ınvonalat, ami a tehetséges fiatalok folyamatos fejlesztéséhez több mint egy évsz´ azad sor´ an bev´ alt, mik¨ ozben továbbfejlesztette a lap kör¨ uli tevékenységeket az u ´j évezred ir´ anyai mentén. K¨ osz¨ onj¨ uk! ´ Idén ˝oszt˝ ol Ratk´ o Eva a f˝oszerkeszt˝o, aki 1998 óta a lap munkatársa. Ol´ ah Vera MATFUND Alap´ıtvány

Besz´ amol´ o az 56. Nemzetk¨ ozi Matematikai Di´ akolimpi´ ar´ ol

Az idei Nemzetk¨ ozi Matematikai Diákolimpiát j´ ulius 4–16. között Thaiföldön, Chiang Mai v´ aros´ aban rendezték meg. A versenyen 104 orsz´ ag 577 diákja vett részt. Ez a résztvev˝o országok szám´ at tekintve cs´ ucsbeáll´ıt´ as, a résztvev˝o versenyz˝ok számát tekintve pedig abszol´ ut cs´ ucs. (2009-ben, Brém´ aban is 104 ország vett részt, de ott a versenyz˝ok száma csak 565 volt.) A legt¨ obb orsz´ ag a megengedett maximális létszám´ u, 6 f˝os csapattal szerepelt; az alábbi list´ aban az országnév után zárójelben t¨ untettem fel az adott orsz´ ag versenyz˝ oinek sz´ am´ at, ha ez hatnál kevesebb volt. ´ A résztvev˝ o orsz´ agok: Alb´ ania, Algéria, Amerikai Egyes¨ ult Allamok, Argent´ına, Ausztr´ alia, Ausztria, Azerbajdzs´ an, Banglades, Belgium, Belorusszia, Bol´ıvia (5), Bosznia-Hercegovina, Botswana, Braz´ılia, Bulg´ aria, Chile (2), Ciprus, ´ Costa Rica, Csehorsz´ ag, D´ ania, Dél-Afrika, Dél-Korea, Ecuador, Eszak-Korea, 322


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 323. oldal – 3. lap


i

´ Esztorsz´ ag, Finnorsz´ ag, Franciaorsz´ ag, F¨ ul¨ op-Szigetek, Gh´ ana (5), G¨ or¨ ogorsz´ ag, Gr´ uzia, Hollandia, Hong Kong, Horv´ atorsz´ ag, India, Indonézia, Ir´ an, ´ Irorsz´ ag, Izland, Izrael, Jap´ an, Kambodzsa, Kanada, Kazahszt´ an, K´ına, Kirgiziszt´ an, Kolumbia, Koszovo, Kuba (1), Lengyelorsz´ ag, Lettorsz´ ag, Liechtenstein (1), Litv´ ania, Luxemburg (2), Maced´ onia, Magyarorsz´ ag, Maka´ o, Malajzia, Marokk´ o, Mexik´ o, Moldova, Mong´ olia, Montenegro (3), Nagy-Britannia, Németorsz´ ag, Nica¨ enyorsz´ ragua (3), Nigéria, Norvégia, Olaszorsz´ ag, Oroszorsz´ ag, Orm´ ag, Pakiszt´ an, Panama (3), Paraguay, Peru, Portug´ alia, Puerto Rico (3), Rom´ ania, El Salvador (4), Spanyolorsz´ ag, Sri Lanka, Sv´ ajc, Svédorsz´ ag, Sza´ ud-Ar´ abia, Szerbia, Szingap´ ur, Sz´ıria, Szlov´ akia, Szlovénia, Tadzsikiszt´ an (5), Tajvan, Tanz´ ania (3), Thaif¨ old, T¨ or¨ okorsz´ ag, Trinidad és Tobago (4), Tunézia (4), T¨ urkmeniszt´ an, ´ eland, Ukrajna, Uruguay, Uzbegiszt´ ¨ Uganda (5), Uj-Z´ an, Venezuela (2), Vietnam. A versenyen szok´ as szerint mindkét napon négy és fél óra alatt 3–3 feladatot kellett megoldani. (A feladatokat alább közölj¨ uk.) Mindegyik feladat helyes megold´ as´ aért 7 pont j´ art, ´ıgy egy versenyz˝o maximális teljes´ıtménnyel 42 pontot szerezhetett. A verseny befejezése után megállap´ıtott ponthatárok szerint aranyérmet a 26–42 pontot elért, ez¨ ustérmet a 19–25 pontos, m´ıg bronzérmet a 14–18 ponttal rendelkez˝ o tanul´ ok szereztek. Dicséretben részes¨ ultek azok a versenyz˝ok, akiknek 14-nél kevesebb pontjuk volt, de egy feladatot hibátlanul megoldottak. A magyar csapatb´ ol Williams Kada (Szegedi Radnóti Miklós K´ısérleti Gimn., 10. o.t.) 25 ponttal, ´ Isk. és Gimn., 11. o.t.) Szab´ o Barnab´ as (Budapesti Fazekas Mihály Gyak. Alt 22 ponttal és ´ Isk. és Gimn., 12. o.t.) Feh´ er Zsombor (Budapesti Fazekas Mihály Gyak. Alt 21 ponttal ez¨ ustérmet, ´ Isk. és Gimn., 12. o.t.) Janzer Barnab´ as (Budapesti Fazekas Mihály Gyak. Alt 16 ponttal, Baran Zsuzsanna (Debreceni Fazekas Mihály Gimn., 10. o.t.) 15 ponttal és Di Giovanni M´ ark (Gy˝ or, Révai Miklós Gimn. és Koll., 12. o.t.) 14 ponttal bronzérmet szerzett. A magyar csapat vezet˝ oje Pelik´ an J´ ozsef (ELTE TTK, Algebra és Számelmélet ´ Tanszék), helyettes vezet˝ oje Dobos S´ andor (Budapesti Fazekas Mihály Gyak. Alt. Isk. és Gimn.) volt. K´ os Géza (MTA SZTAKI, ELTE TTK) a problémakiválasztást el˝okész´ıt˝ o bizotts´ ag megh´ıvott tagjaként vett részt az olimpián. Az orsz´ agok (nem-hivatalos) pontversenyében Magyarország a 20–21. helyen végzett. A csapatverseny élmez˝onyének sorrendje ´ıgy alakult (megszerzett pontszámaikkal): ´ 1. USA 185, 2. K´ına 181, 3. Dél-Korea 161, 4. Eszak-Korea 156, 5. Vietnam 151, 6. Ausztr´ alia 148, 7. Ir´ an 145, 8. Oroszorsz´ ag 141, 9. Kanada 140, 10. Szingap´ ur 139, 11. Ukrajna 135, 12. Thaiföld 134, 13. Románia 132, 14. Franciaország 120, 15. Horv´ atorsz´ ag 119, 16. Peru 118, 17. Lengyelország 117, 18. Tajvan 115, 19. Mexik´ o 114, 20–21. Magyarorsz´ ag és Törökország 113, 22–24. Braz´ılia, Japán és ¨ enyország 104, 27. Németország Nagy-Britannia 109, 25. Kazahsztán 105, 26. Orm´ K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

323

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 324. oldal – 4. lap


i

102, 28. Hong Kong 101, 29–32. Bulgária, Indonézia, Olaszország és Szerbia 100 ponttal. Szeretnék k¨ osz¨ onetet mondani a versenyz˝ok tanárainak. Az alábbi felsorolásban minden tan´ ar neve ut´ an monogramjukkal jelöltem azokat a diákokat, akik a tan´ıtv´ anyaik: ´ Arki Tam´ as (DGM), Bruder Gy¨ orgyi (DGM), Dobos S´ andor (BZs, DGM, FZs, JB, SzB, WK), Gyenes Zolt´ an (FZs, JB, SzB), Juh´ asz Péter (DGM), Kiss Gergely (FZs, JB), Kiss Géza (SzB), Kosztol´ anyi J´ ozsef (WK), Lakatos Tibor (BZs), Mike J´ anos (WK), Moln´ ar-S´ aska G´ abor (WK), P´ osa Lajos (BZs, DGM, FZs, JB, SzB, WK), Schultz J´ anos (WK), Sur´ anyi L´ aszl´ o (FZs, JB, SzB), T´ aborné Vincze M´ arta (SzB), T´ oth Mariann (BZs). Ugyancsak szeretnék k¨ osz¨ onetet mondani Dobos Sándornak, mint a központi olimpiai el˝ okész´ıt˝ o szakk¨ or vezet˝ojének, továbbá azoknak a tanároknak, fiatal matematikusoknak és egyetemist´ aknak, akik a felkész´ıtésben közrem˝ uködtek. Chiang Mai k¨ ornyéke természeti és kulturális látványosságokban is b˝ovelkedik – ezekb˝ ol a szervez˝ ok igyekeztek minél többet megmutatni. A legemlékezetesebb program azonban legt¨ obb¨ unknek alighanem az elefántparkban tett látogatás volt. (E sorok szerz˝ oje is el˝ osz¨ or u ¨lt életében elefántháton.) Az olimpi´ at k¨ ozvetlen¨ ul megel˝oz˝o intenz´ıv edz˝otáborhoz Rockenbauer Gabriella (a tavalyi ez¨ ustérmes Homonnay Bálint édesanyja) biztos´ıtott számunkra helysz´ınt, amiért ez´ uton is szeretnénk köszönetet mondani. A k¨ ovetkez˝ o matematikai diákolimpiát Hong Kong rendezi, 2016. j´ ulius 6–16. k¨ oz¨ ott. Pelik´ an J´ ozsef

Az 56. Nemzetk¨ ozi Matematikai Di´ akolimpia feladatai∗ Els˝ o nap 1. feladat. A s´ık pontjainak egy véges S halmazát kiegyens´ ulyozottnak nevezz¨ uk, ha S b´ armely két k¨ ul¨ onböz˝o A, B pontjához van S-nek olyan C pontja, amire AC = BC. S-et centrum-nélk¨ ulinek nevezz¨ uk, ha S bármely három páronként k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A, B, C pontj´ ara teljes¨ ul az, hogy nincs S-nek olyan P pontja, amire P A = P B = P C. (a) Mutassuk meg, hogy b´ armely n > 3 egész számhoz létezik n elem˝ u kiegyens´ ulyozott halmaz. (b) Határozzuk meg azokat az n > 3 egészeket, amelyekre létezik n elem˝ u kiegyens´ ulyozott, centrum-nélk¨ uli halmaz. 2. feladat. Hat´ arozzuk meg azokat a pozit´ıv egész számokból álló (a, b, c) sz´ amh´ armasokat, amelyekre az ab − c,

bc − a,

ca − b

számok mindegyike 2-hatv´ any. (2-hatv´ any egy 2n alak´ u egész sz´ am, ahol n egy nemnegat´ıv egész sz´ am.) ∗

324

Az olimpia honlapja: http://www.imo2015.org/.


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 325. oldal – 5. lap


i

3. feladat. Legyen ABC egy hegyesszög˝ u háromszög, amiben AB > AC. Legyen Γ ezen háromsz¨ og k¨ or¨ ul´ırt köre, H a magasságpontja és F az A-ból kiinduló magass´ ag talppontja. Legyen M a BC szakasz felez˝opontja. Legyen Q Γ-nak az a pontja, amire HQA^ = 90◦ , és K Γ-nak az a pontja, amire HKQ^ = 90◦ . Feltessz¨ uk, hogy az A, B, C, K, Q pontok mind k¨ ulönböz˝oek, és ilyen sorrendben k¨ ovetik egym´ ast a Γ k¨ or¨ on. Bizony´ıtsuk be, hogy a KQH és F KM háromszögek kör¨ ul´ırt körei érintik egym´ ast. M´ asodik nap 4. feladat. Az ABC h´ aromszög kör¨ ul´ırt köre Ω, a kör¨ ul´ırt kör középpontja O. Egy A k¨ ozéppont´ u Γ k¨ or a BC szakaszt a D és E pontokban metszi, ahol B, D, E, C p´ aronként k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontok, amelyek a BC egyenesen ebben a sorrendben fekszenek. Legyenek F és G a Γ és Ω körök metszéspontjai, ahol A, F , B, C, G ebben a sorrendben k¨ ovetik egymást az Ω körön. Legyen K a BDF háromszög k¨ or¨ ul´ırt k¨ orének és az AB szakasznak a másik metszéspontja. Legyen L a CGE h´ aromsz¨ og k¨ or¨ ul´ırt k¨ orének és a CA szakasznak a másik metszéspontja. Tegy¨ uk fel, hogy az F K és GL egyenesek k¨ ulönböz˝ok és az X pontban metszik egym´ ast. Bizony´ıtsuk be, hogy az X pont az AO egyenesen fekszik. 5. feladat. Jel¨ olje R a val´ os számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan f : R → R f¨ uggvényt, amelyre teljes¨ ul ( ) f x + f (x + y) + f (xy) = x + f (x + y) + yf (x) minden x, y val´ os sz´ amra. 6. feladat. Egész számok egy a1 , a2 , . . . sorozata rendelkezik az alábbi két tulajdons´ aggal: (i) 1 6 aj 6 2015 minden j > 1-re; (ii) k + ak ̸= ℓ + aℓ minden 1 6 k < ℓ-re. Bizony´ıtsuk be, hogy van két olyan pozit´ıv egész: b és N , hogy ∑ n 6 10072 (a − b) j j=m+1

teljes¨ ul minden olyan m és n egész számra, amire fennáll n > m > N .

Olimpiai el˝ ok´ esz´ıt˝ o szakk¨ or¨ ok a 2015/2016. tan´ evben A Bolyai J´ anos Matematikai T´ arsulat ´ altal szervezett Olimpiai felkész¨ ulés az al´ abbiak szerint t¨ orténik: Budapest: az els˝ o alkalom szeptember 18-´ an lesz, ut´ ana kéthetente pénteken, a Budapesti ´ Fazekas Mih´ aly Altal´ anos Iskola és Gimn´ aziumban (Budapest, Horv´ ath M. tér 8.), 14.30-t´ ol. Tov´ abbi inform´ aci´ ok: http://matek.fazekas.hu/portal/szakkorok/, szakk¨ orvezet˝ o: Dobos S´ andor.


325

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 326. oldal – 6. lap


i

Csongr´ ad megye: az els˝ o szeptember 17-én lesz, ut´ ana kéthetente cs¨ ut¨ ort¨ ok¨ on, a Szegedi Tudom´ anyegyetem Bolyai Intézetében (Aradi vértan´ uk tere 1., I. emelet, Riesz terem), 15.00 és 17.00 k¨ oz¨ ott, szakk¨ orvezet˝ o: Kosztol´ anyi J´ ozsef. Erd˝ os P´ al Matematikai Tehetséggondoz´ o Iskola veszprémi és szolnoki foglalkoz´ asai 11–12. évfolyamosok sz´ am´ ara. A jelentkezést a di´ akok egyénileg végezhetik el az Erd˝ os Iskola honlapj´ an 2015. szeptember 21-ig: http://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/. Az idei els˝ o foglalkoz´ asok id˝ opontjai: Szolnokon okt´ ober 3–5., Veszprémben okt´ ober 10–12.

Sain M´ arton (1915–1997) Sz´ az ´ eve sz¨ uletett a Nincs kir´ alyi u ´ t! szerz˝ oje A h´ıres matematikat¨ orténész, gimnáziumi tanár 100 éve, j´ ulius 28-án látta meg a napvil´ agot. Sz¨ uletésének centenáriuma alkalmából méltó megemlékezn¨ unk életér˝ ol és munk´ ass´ ag´ ar´ ol. A lap fiatal olvasói számára talán tanulságul szolgálhat k¨ ozépiskolai éveire val´ o hangs´ ulyosabb visszatekintés. Sain M´ arton tan´ ar-tan´ıt´ o családban sz¨ uletett a ma már Romániához tartozó Máramarosszigeten (Sighetu Marma¸tiei). Az elvesztett els˝o világhábor´ ut követ˝oen a csal´ ad áttelep¨ ult a megmaradt országrészbe: 1919-t˝ol gyermekéveit Orosházán tölt¨ otte, ahol édesapja polg´ ari iskolai rajztanárként kereste kenyerét. Elemi iskoláit és a k¨ ozépiskola als´ o négy évfolyamát ebben az alföldi kisvárosban végezte. (Abban az id˝ oben minden gimnázium nyolc évfolyamos volt, ahová legrövidebb u ´ton az egyébként hatoszt´ alyos elemi iskola négy évfolyamának elvégzése után lehetett beker¨ ulni.) A gimn´ azium fels˝ o négy osztályát a szomszédos Hódmez˝ovásárhely nagym´ ult´ u reform´ atus iskol´ aj´ aban végezte, mely éppen diákkorában, 1930-ban vette fel az oktat´ asra oly sokat áldoz´ o erdélyi fejedelem, Bethlen Gábor nevét. Középiskolás évei éppen a gazdas´ agi vil´ agv´ als´ ag idejére estek (1929–33), ´ıgy sz¨ uleinek komoly áldozatot kellett hozniuk tan´ıttat´ asa érdekében. Az évi 80 peng˝os tand´ıj elengedését csak az u ´jonnan belép˝ ok nem kérhették, de a havi 58 peng˝os internátusi, valamint az évi ¨ egyszeri 37 peng˝ os be´ır´ asi d´ıjakét senki sem. (Osszehasonl´ ıtásképpen: a KöMaL akkori éves el˝ ofizetési d´ıja 8 peng˝o volt.) Ugyanakkor a jól tanuló diákok – miként k¨ ul¨ on¨ osen a fels˝ ooktat´ asban most is – k¨ ulönböz˝o ösztönd´ıjak elnyerésével tudták valamennyire mérsékelni tan´ıttatásuk terheit. A gimn´ aziumban matematikára Fal´ ab´ u Dezs˝ o, fizikára Varga Dezs˝ o tan´ıtotta. Kiemelked˝ o matematikai képessége már korán megmutatkozott: ötödik osztályban péld´ aul 42(!) t´ arsa k¨ oz¨ ul egyed¨ ul ˝o szerzett (az akkor jelesnek szám´ıtó) 1-es osztályzatot mennyiségtanb´ ol”. Mindvégig az osztály legjobbjai között volt, vég¨ ul ketten ” érettségiztek kit¨ untetéssel. Az ˝ot k¨ ul¨ on¨ osen érdekl˝ o szaktárgyak tanulása mellett igyekezett szellemét, lelkét és testét a lehet˝ o legsokoldal´ ubban kim˝ uvelni. Rendk´ıv¨ uli tárgyként el˝obb az angolt, majd a v´ıv´ ast vette fel. (Ekkor a humán” gimnáziumokban latin, görög és né” 326


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 327. oldal – 7. lap


i

met nyelvet kellett k¨ otelez˝ oen tanulniuk a diákoknak.) Az iskola diák-közéletében akt´ıv szerepet játszott: az Attila sportkör alelnöke, majd titkára, nyolcadikban ¨ epz˝okör titkára volt. Utóba Reform´ atus Ifj´ us´ agi Egyes¨ ulet f˝otitkára, a Pet˝ofi Onk´ biban el˝ osz¨ or mint reményekre jogos´ıtó” költ˝o t˝ unt fel, majd Rapcsák Andrással ” k¨ oz¨ os dolgozat´ aval elnyerte a fizika pályázatot. Végz˝os diákként ˝o mondta az október 6-i iskolai u ¨nnepségen az emlékbeszédet. Visszatekintve mindez már el˝ore vet´ıtette a két kult´ ura (hum´ an és reál) határán kibontakozó kés˝obbi életm˝ uvét, de tanuls´ agként tal´ an azt is elmondhatjuk, hogy bármilyen kés˝obbi kimagasló szakmai teljes´ıtmény el˝ ofeltétele a sz˝ uk szakter¨ uleten t´ ulterjed˝o látókör. A gimn´ azium elvégzése ut´ an a Pázmány Péter Tudományegyetemen szerzett matematika–fizika szakos k¨ ozépiskolai tanári oklevelet 1938-ban. Kisgyermekkorát az els˝ o, p´ alyakezdését a nemsokára kitör˝o második világhábor´ u tette rendk´ıv¨ ul nehézzé. 1939 és 47 k¨ oz¨ ott el˝ obb kiképzés, majd fegyvergyakorlatok, kés˝obb hadiszolg´ alat és hadifogs´ ag miatt 8 év gyakorlatilag kiesett életének potenciálisan legtermékenyebb id˝ oszak´ ab´ ol. T¨ obb, rövidebb ideig tartó alkalmazás mellett három intézményben t¨ olt¨ ott tan´ arként 9-9 évet: a Budapesti Református Gimnáziumban (ma Lónyay Utcai Reform´ atus Gimnázium), majd pályája végén az ELTE Apáczai Csere J´ anos, illetve Radn´ oti Miklós Gyakorló Iskolájában. 1978 és 1984 között nyugd´ıjas óraad´ oként matematikatörténetet adott el˝o az ELTE Tanárképz˝o F˝oiskol´ an. 1986-ban jelent meg f˝ o m˝ uve, amely országosan is igazán ismertté tette, a Nincs kir´ alyi u ´t! – Matematikat¨ orténet. Könyve annyira alapm˝ u, hogy tapasztalataim szerint – kissé Simonyi K´ aroly A fizika kult´ urt¨ orténetéhez hasonlóan – számos hum´ an érdekl˝ odés˝ u kolléga k¨ onyvespolcán is megtalálható. Ezt megel˝oz˝oen 1980-ban a Gondolat zsebk¨ onyvek sorozatban adták ki A fény birodalma c´ım˝ u könyvét, ma ´ alkalm´ ar hihetetlennek t˝ un˝ o 20 000 példányban. Már csak A Fény Nemzetk¨ ozi Eve m´ ab´ ol is érdemes (´ ujra) el˝ ovennie minden fizikatanárnak és fizikával komolyabban foglalkozni k´ıv´ an´ o di´ aknak ezt az érdekes, a történetiséget és a mély szakmai tartalmat ide´ alisan ¨ otv¨ oz˝ o k¨ onyvecskét. Nevét két tov´ abbi, tal´ an ma is gyakrabban forgatott hozzá köthet˝o kiadvány seg´ıt meg˝orizni: a Matematikat¨ orténeti és a Fizikat¨ orténeti ABC. El˝obbinek egyed¨ uli, ut´ obbinak ifj. Gazda Istv´ annal társszerz˝oje, s mindkét könyv nagyon hasz´ nos az érettségire val´ o felkész¨ ulésben is. Erdekess´ eg, s számomra sz´ıvmelenget˝o, hogy h´ arom k¨ onyvének is (egyik) lektora a hódmez˝ovásárhelyi sz¨ uletés˝ u, szintén Széchenyi-d´ıjas Vekerdi L´ aszl´ o volt (akinek édesapja iskolánkban tan´ıtott matematik´ at, fizik´ at és latint 1922-ig). Emellett Sain Márton szerkeszt˝oje és társszerz˝oje volt annak a Matematika feladatgy˝ ujteménynek, melyet a hetvenes-nyolcvanas években tulajdonképpen az egész ország használt, ´ıgy diákkoromban én magam is annak feladatain palléroz´ odtam. Sain M´ arton 1997. febru´ ar 19-én hunyt el. Elhivatott életével, hazánk m˝ uszaki– természettudom´ anyos m˝ uveltségét jelent˝osen gazdag´ıtó munkásságával álljon példaként a jelen és j¨ ov˝ o gener´ aci´ ok el˝ott. Berecz J´ anos matematika–fizika szakos tanár H´ odmez˝ovásárhely, Bethlen Gábor Református Gimnázium


327

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 328. oldal – 8. lap


i

EGMO 2015

´ Aprilis 14-én felsz´ allt a rep¨ ul˝onk . . . De igazából a történet nem itt kezd˝odik. Hiszen a sportol´ okn´ al sem az a pár perc a lényeg, hanem a felkész¨ ulés, amit ez´ uton is szeretnénk megk¨ osz¨ onni iskolai tanárainknak egyenként, illetve Nagy Zolt´ annak, Kabos Eszternek, Bérczi-Kov´ acs Erik´ anak és Dobos S´ andornak. Sokat seg´ıtettek munk´ ajukkal, eredményeink ˝oket is dicsérik. Részvétel¨ unket idén is a Bolyai János Matematikai Társulat tette lehet˝ové, ez´ uton is k¨ osz¨ onj¨ uk a t´ amogatásukat. Egyenpulóver¨ unkért és csapatzászlónkért pedig a Prezinek vagyunk nagyon hálásak. Felsz´ allt a rep¨ ul˝ o, és kisv´ artatva megérkezt¨ unk Minszkbe. Els˝o ránézésre jobb volt, mint képzelt¨ uk; a régi szovjetuniós kollégium és a nehézkesen közleked˝o lift csak a megérkezésnél t˝ unt fel, ahogyan a verseny el˝otti estén tönkrement WC is a t´ uls´ agosan szorgalmas szerel˝ ovel. Eszter csak hossz´ u könyörgés után tudta kitessékelni, minden kultur´ alis k¨ ul¨ onbség ellenére. Az ételek nagyon érdekesek voltak, akinek volt mersze, az kipr´ ob´ alhatott jó pár tradicionális fogást, de rántott csirkével és krumplip¨ urével is át lehetett vészelni. A versenyre egyenruh´ as kislányok és kisfi´ uk k´ısértek minket, kétszer négy és fél óra gondolkod´ asi id˝ o volt adott, tehát összesen 129 600 másodperc alatt a magyar csapat ¨ osszehozott egy ¨ ot¨ odik helyet, egyénenként pedig Baran Zsuzsanna egy arany-, Fekete Panna egy ez¨ ust-, Gyulai-Nagy Szuzina egy bronz-, én pedig egy ez¨ ustérmet. A kétnapi fáradts´ ag ut´ an k¨ ulönösen jólestek a programok. Voltunk állatkertben, ahol még a verseny el˝ott laz´ıthattunk a trambulinokon, ilyenkor még – az egyébként fagyos id˝ oben – a kabátok is leker¨ ultek. Láthattunk egy csodás balettel˝ oad´ ast egy monument´ alis és gyönyör˝ u helyen. Voltunk da Vinci m´ uzeumban, ahol megcsillogtathattuk fizika tudásunk, kör¨ ulnézt¨ unk a városban, fotózkodtunk Leninnel a parlament el˝ ott és még egy középkori várra is jutott id˝onk. A nyit´ o és a zár´ o eseményen egyenpulóver¨ unkben pompázva k¨ ulönböz˝o el˝oad´ asokat láthattunk és persze megkaptuk az érmeinket, amit utána az afterpartyn k¨ ul¨ on is meg¨ unnepelhett¨ unk. A társasozások alatt eddigre összeszokott társaság itt m´ ar ¨ onfeledten tudott mulatni. ´ Altal´ aban igaz volt, hogy amit a kör¨ ulmények miatt nem tudtak megadni a szervez˝ ok, azt t´ ul´ arad´ o kedvességgel, például fantasztikus k´ısér˝onkkel pótolták. Vele még az sem okozott problémát, hogy az utcákon szó szerint senki nem beszélt angolul. ´ Aprilis 20-án pedig szerintem mindegyik¨ unk egy maradandó élménnyel és pár u ´j bar´ attal térhetett haza. Akik pedig jöv˝ore mennek, azoknak sok sikert és jó sz´ orakoz´ ast k´ıv´ anunk! Khayouti S´ ara 328


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 329. oldal – 9. lap


i

Felh´ıv´ as 2016. április 14. és 20. között egy romániai u ul˝ovárosban, Bu¸steni-ben ¨d¨ rendezik az ¨ ot¨ odik Eur´ opai Leány Matematikai Diákolimpiát, az EGMO-t (www.egmo.org). Az idei versenyen, amelyr˝ol egy beszámolót is olvashatunk, egy arany-, két ez¨ ust- és egy bronzéremmel Magyarország az összes´ıtett 5. helyet érte el. J¨ ov˝ ore is négyf˝ os csapattal indulhatunk, melynek összetétele 2016. elején der¨ ul ki. A v´ alogat´ as szempontjai: v´ alogatóversenyek (2015 ˝oszén és 2016 elején), nemzetk¨ ozi matematikaversenyek, országos versenyek (matematika OKTV, K¨ urschák J´ ozsef Matematikai Tanul´ overseny, Arany Dániel Matematikaverseny), a KöMaL A és B pontversenyei. A versenyen val´ o sikeres szerepléshez, illetve a kiutazó csapatba ker¨ uléshez is alapvet˝ oen nélk¨ ul¨ ozhetetlen az alapos felkész¨ ulés, ezt többféleképpen is szeretnénk ´ k¨ seg´ıteni. Ev ozben id˝ ok¨ oz¨ onként k¨ uld¨ unk az érdekl˝od˝oknek (tematikus) feladatsorokat; ezekre k¨ uld¨ ott megoldásokra személyesen is visszajelz¨ unk, illetve lehet kérdezni is. Emellett az ˝oszi v´ alogatóig legeredményesebb diákok részt vehetnek a téli brit–magyar k¨ oz¨ os IMO felkész´ıt˝o táborban. ´ Erdemes minél el˝ obb, ak´ ar már kilencedikesként bekapcsolódni, minden lány jelentkezését szeretettel v´ arjuk, akit érdekel a versenyrészvétel lehet˝osége és nem riad vissza att´ ol, hogy ezért komolyabb munkát fektessen be! Aki szeretne részt venni a válogatásban és felkész¨ ulésben vagy bármilyen kérdése van, ´ırjon minél el˝ obb a [email protected] c´ımre. További tudnival´ ok itt: http://www.cs.elte.hu/~nagyzoli/EGMO.html B´ erczi-Kov´ acs Erika, Kabos Eszter, Nagy Zolt´ an L´ or´ ant

Emelt szint˝ u gyakorl´ o feladatsor I. r´ esz 1. Egy k¨ ozvélemény-kutat´ as kérdéseire az els˝o hónapban 700 ember válaszolt, mindenki pontosan egyet választott a felk´ınált h´ arom lehet˝oségb˝ol. A feleletek aránya 4 : 7 : 14 volt. Ezut´ an még néhány ember részt vett a közvélemény-kutatásban, ´ıgy a feleletek ar´ anya 6 : 9 : 16 lett. Legkevesebb hány ember válaszolt utólag a kérdésekre? Ebben az esetben vég¨ ul melyik lehet˝oséget hányan választották? (11 pont) 2. A mosogat´ ogép¨ unk¨ on háromféle program van. Egy mosogatáshoz az A program 30%-kal t¨ obb elektromos energiát, viszont 20%-kal kevesebb vizet használ, mint a B program. A B program 15%-kal kevesebb elektromos energiát és 25%-kal több vizet haszn´ al egy mosogat´ ashoz, mint a C program. Mindhárom program futtatásakor 50 Ft-ba ker¨ ul az alkalmazott mosogatószer. Egy mosogatás az A programmal 165 Ft-ba, a B programmal 150 Ft-ba ker¨ ul. Mennyibe ker¨ ul a C programmal egy mosogat´ as? (12 pont) K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

329

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 330. oldal – 10. lap


i

3. Hányféleképpen h´ uzhatunk ki a 32 lapos magyar kártyából 6 lapot u ´gy, hogy legyen k¨ ozt¨ uk pontosan két piros, két zöld és két ász? (14 pont) 4. Egy kecske egy ker´ıtéssel védett 10 × 3 m-es virágágy kör¨ uli, elegend˝oen nagy réten legel. A kecskét 16 m hossz´ u kötéllel a ker´ıtés 10 méteres oldalának felez˝ opontj´ an´ al levert c¨ ol¨ oph¨ oz kötötték. Mekkora ter¨ uleten legelheti le a f¨ uvet a kecske? Hányadrészére cs¨ okken ez a ter¨ ulet, ha a kötél hosszát 10 méterre csökkentik? (14 pont) II. r´ esz 5. Oldjuk meg az al´ abbi egyenletet: ( ) log4 4 sin2 2x = 2 − log2 (−2 tg x).

(16 pont)

6. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a hatoslottó h´ uzáson a 45 számból (visszatevés nélk¨ ul) 6-ot kih´ uzva, a hat lottószámot növekv˝o sorrendbe rakva egy sz´ amtani sorozat egym´ ast k¨ ovet˝o tagjait kapjuk? (16 pont) 7. Milyen g¨ orbét ´ır le az y = x2 − 2(m − 3)x + m − 8 parabola cs´ ucsa, ha az m paraméter értéke végigfut a valós számok halmazán? Az m paraméter mely értékénél lesz a cs´ ucs ordin´ at´ aja maximális? Adjuk meg ebben az esetben a parabola P (0; −5) ponton átmen˝ o érint˝ oinek egyenletét. (16 pont) 8. Az azonos tengerszint feletti magasságban fekv˝o Hencida és Boncida között a távols´ ag 5 km. Hencid´ ab´ ol egy közeli hegy cs´ ucsa 30◦ -os, Boncidából pedig ◦ 11 -os sz¨ og alatt l´ atszik. Hencidából a hegy cs´ ucsát és Boncidát összeköt˝o szakasz lát´ osz¨ oge 120◦ -os. a) Milyen magas a hegy? b) A két v´ arost ¨ osszek¨ ot˝ o szakasz felénél elind´ıtanak egy távirány´ıtásos rep¨ ul˝ ogép modellt, ami végig a szakaszfelez˝o mer˝oleges s´ıkjában mozog. Mennyire k¨ ozel´ıtheti meg rep¨ ulés k¨ ozben a hegy cs´ ucsát? (16 pont) 9. J´ anos egy v´ızzel teli hordó aljára 4 mm átmér˝oj˝ u lyukat f´ urt √ és a kifolyó v´ız sebességét vizsg´ alta. A Bernoulli-egyenletb˝ol levezette, hogy v = 2gx , ahol x a v´ızszint pillanatnyi magass´ aga. Megmérte, hogy a teli hordóból az els˝o másodpercben 62,8 cm3 v´ız folyt ki. (A sebességet itt állandónak vehetj¨ uk, a rövid mérési id˝ o miatt.) Ezut´ an meg´ allap´ıtotta, hogy 5 perc alatt pontosan 10 cm-rel csökkent a v´ızszint. Feltételezz¨ uk, hogy a v´ızszint exponenciálisan csökken az x = h · 2−t/T f¨ uggvény szerint, ahol h a kezdeti v´ızszint magassága, T pedig a hordóban lév˝o v´ız felezési ideje”. A hord´ ot u uk, ha már csak 1 cm magas a v´ızszint ¨resnek tekinthetj¨ ” benne. A teli állapotb´ ol mennyi id˝o alatt u ul ki a hordó? (16 pont) ¨r¨ Lor´ antfy L´ aszl´ o Dabas 330


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 331. oldal – 11. lap


i

T´ aj´ ekoztat´ o a foly´ oirat el˝ ofizet´ es´ er˝ ol A K¨ ozépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok megrendelhet˝o a kiadónál, a MATFUND Alap´ıtv´ anyn´ al a szerkeszt˝oség c´ımén; valamint a következ˝o c´ımen: http://www.komal.hu/megrendelolap/reszletek.h.shtml. El˝ofizetési d´ıj a 2015–2016-os tanévre (2015 szeptemberét˝ol 2016 májusáig) 8100 Ft. Azonos c´ımre k¨ uldend˝ o, 10-nél nagyobb péld´ anyszám´ u megrendelés esetén a csoportos el˝ofizetési d´ıj 7200 Ft, 50-nél nagyobb példányszám´ u megrendelés esetén 6500 Ft. V´ altoz´ as a kor´ abbi évekhez képest, hogy Lapunk el˝ ofizet˝ oi az el˝ ofizetett péld´ any c´ımlapj´ an l´ athat´ o el˝ ofizet˝ oi azonos´ıt´ o seg´ıtségével a kit˝ uz¨ ott feladatainkhoz m´ ar a lap nyomtatott v´ altozat´ anak megjelenésével egyidej˝ uleg hozz´ aférhetnek. A Bolyai J´ anos Matematikai T´ arsulat (BJMT) tagjai ´ altal igénybevehet˝ o kedvezményekr˝ ol kérj¨ uk, olvassa el a T´ arsulat honlapj´ an a Tags´ agi inform´ aci´ ok”-at: ” www.bolyai.hu. Megrendel˝ olap ´ es r´ eszletes t´ aj´ ekoztat´ o ig´ enyelhet˝ o a szerkeszt˝ oségben. Azok, akik az idén kérik felvétel¨ uket a Bolyai János Matematikai Társulatba, felvételi kérelm¨ uk elb´ır´ al´ asa ut´ an (legközelebb várhatóan októberben) értes´ıtést és tagd´ıjbefizetési csekket kapnak, ezért k¨ ulön nem sz¨ ukséges el˝obb jelentkezni¨ uk. A K¨ ozépiskolai Matematikai és Fizikai Lapok példányonként 950 Ft-ért megv´ as´ arolhat´ o a szerkeszt˝ oségben. Ugyanitt a lap korábbi számai is beszerezhet˝ok (c´ım¨ unk az els˝ o oldal alj´ an tal´ alható). Kérj¨ uk versenyz˝ oinket, hogy a KöMaL 2015–2016-os tanévi matematika, fizika és informatika pontversenyének versenyki´ır´ as´ at figyelmesen olvassák el!

Versenyki´ır´ as∗ a Ko evre ki´ırt pontversenyeire ¨MaL 2015–2016-os tan´ A most indul´ o pontversenyek 2015 szeptemberét˝ol 2016 májusáig tartanak, havonta az u ´jonnan kit˝ uz¨ ott feladatcsoportok megoldásait lehet bek¨ uldeni. Minden egyes post´ an k¨ uldött megoldást – feladatonként k¨ ulön-k¨ ulön – n´ egyr´ et hajtsunk ¨ ossze (t¨ obb lapból álló dolgozatokat egybe) u ´gy, hogy a fejl´ ec k´ıvu on. Kéz´ır´ assal kész¨ ult megoldást csak postai u ´ton fogadunk el. Ha ¨ lre keru ¨ lj¨ a megold´ o kézzel kész´ıt ábr´ at és azt jól látható min˝oségben beszkenneli, majd beilleszti a dokumentumba, azt elfogadjuk. A további formai követelményeket A matematika és fizika dolgozatok form´ aja c´ım˝ u fejezet tartalmazza. A versenyekbe minden általános iskolás és középiskolás kor´ u tanuló benevezhet. A versenyben csak a nevezés után bek¨ uldött megoldásokat értékelj¨ uk, nevezés nélk¨ ul bek¨ uld¨ ott megold´ asokat utólag sem értékel¨ unk. Kérj¨ uk, hogy a versenyz˝ok 1–12-ig jel¨ oljék, h´ anyadik oszt´ alyba j´ arnak (az osztály egyéb jelölését – pl. 11.b – nem kell felt¨ untetni). FONTOS! A versenyek egy´ eni versenyek; a versenyz˝ oknek ¨ on´ all´ oan kell elk´ esz´ıteniu eld´ ak megold´ asait. Szigor´ uan tilos a kit˝ uz¨ ott fel¨ k a p´ ∗ Kérj¨ uk, hogy azok is olvass´ ak el a versenyki´ır´ as sz¨ ovegét, akik megold´ asaikat elektronikus u ´ton k¨ uldik be.


331

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 332. oldal – 12. lap


i

adatokat a beku esi hat´ arid˝ o el˝ ott m´ asokkal megvitatni, vagy m´ asokt´ ol ¨ ld´ seg´ıts´ eget k´ erni a feladatok megold´ as´ ahoz. A közösen kész´ıtett vagy másolt dolgozatokat – beleértve az eredeti szerz˝oét is – nem versenyszer˝ unek értékelj¨ uk, és a szerz˝ ok nevét honlapunkon is közölj¨ uk. A csoportosan másolt dolgozatokat visszak¨ uldj¨ uk az oszt´ alyt tan´ıt´ o tanárnak. S´ ulyosabb, az egész pontversenyt veszélyeztet˝ o esetekben (pl. a feladatok megtárgyalása internetes fórumokon) az érintett versenyz˝ oket kiz´ arjuk a versenyb˝ol. A versenyfeltételeket az alábbiakban ismertetj¨ uk. A benevezés m´ odja A pontversenybe a https://www.komal.hu/nevezesilap internetes c´ımen találhat´ o Nevezési lap” kit¨ oltésével és bek¨ uldésével lehet benevezni. A versenyekbe ” be lehet kapcsol´ odni a tanév során kés˝obb is. A nagyon gyakori csal´ adnev˝ u versenyz˝ok válasszanak egy h´ aromjegy˝ u jelz˝osz´ amot is, és mind a nevezési lapon, mind pedig az év során bek¨ uldött dolgozataik fejlécére az ´ıgy b˝ ov´ıtett nevet ´ırják (pl. Kiss 349 Anna, Szabó 344 Péter). Kérj¨ uk viszont, hogy a tov´ abbiakban ezt a számot minden egyes bek¨ uldött dolgozatukon t¨ untessék f¨ ol. Kérj¨ uk, hogy azok a versenyz˝ok, akik tavaly már választottak jelz˝oszámot, id´ en is ugyanazt a sz´ amot használják! A pontversenyeinkre t¨ ortén˝ o regisztr´ aci´ o sor´ an kérj¨ uk, adja meg a c´ımlapon l´ athat´ o el˝ ofizet˝ oi azonos´ıt´ oj´ at, mert ezzel tudjuk biztos´ıtani aktu´ alis kit˝ uz¨ ott feladatainkhoz a teljes elektronikus hozz´ aférést a lap nyomtatott v´ altozat´ anak megjelenésével egyidej˝ uleg. Az el˝ ofizet˝ oi azonos´ıt´ oj´ at megtal´ alja a foly´ oiratra ragasztott etiketten. El˝ ofizet˝ oi azonos´ıt´ o hi´ any´ aban a feladatokhoz t¨ ortén˝ o elektronikus hozz´ aférést korl´ atozzuk (csak a h´ onap 28-´ at´ ol jelennek meg a feladatok honlapunkon is). Amennyiben el˝ obb t¨ orténik a regisztr´ aci´ o, mint az el˝ ofizetés, a regisztr´ aci´ o kés˝ obb m´ odos´ıthat´ o, és az el˝ ofizet˝ oi azonos´ıt´ o megad´ as´ at k¨ ovet˝ oen a havi feladatsorok elektronikusan teljes k¨ or˝ uen elérhet˝ ok lesznek az el˝ ofizet˝ o sz´ am´ ara. Lapunk pontversenyében a részvétel a 2015/2016-os tanévre tov´ abbra is tér´ıtésmentes, teh´ at regisztr´ aci´ oval el˝ ofizet˝ oi azonos´ıt´ o hi´ any´ aban is lehetséges. Kérj¨ uk azonban versenyz˝ oink sz¨ uleit, hozz´ atartoz´ oit, vagy az ˝ oket t´ amogat´ o intézményeket, cégeket, hogy Lapunkra t¨ ortén˝ o el˝ ofizetés¨ ukkel seg´ıtsék pontverseny¨ unk fennmarad´ as´ at. Matematika versenyek Ebben a tanévben négyféle versenyt ind´ıtunk növekv˝o nehézségi sorrendben K, C, B és A kateg´ ori´ aban. Egy tanuló több pontversenyben is indulhat, de K-ban és B-ben egyszerre nem. Minden feladatra csak egy megold´ ast ´ ert´ ekelu ¨ nk. Természetesen ¨ or¨ ommel v´ arunk általános´ıtásokat, megjegyzéseket, másfajta megoldási vagy kit˝ uzésre tett javaslatokat, ezeket sz´ıvesen közölj¨ uk, s˝ot, a pontversenyen k´ıv¨ ul k¨ ul¨ ond´ıj form´ aj´ aban is elismerj¨ uk. K pontverseny – az ABACUS és a K¨ oMaL közös pontversenye kezd˝oknek – csak 9. oszt´ alyosoknak A K jel˝ u feladatokra kiz´ arólag kilencedik osztályosoktól várunk megoldást szeptembert˝ ol m´ arciusig, 7 fordulóban. 332


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 333. oldal – 13. lap


i

Az ABACUS a K¨ oMaL rendelkezésére bocs´ atja a pontversenyében csak 8. osztályosoknak kit˝ uz¨ ott h´ arom feladatát, emellett havonta további három feladatot ad, amelyek csak a K¨ oMaL-ban jelennek meg. Minden feladat teljes megoldása 6 pontot ér. C pontverseny – matematika gyakorlatok A C pontverseny gyakorlatait azoknak az olvasóinknak ajánljuk, akik kezdetben t´ ul nehéznek vagy szokatlannak találják a B és A kateg´ oria feladatait. Itt rendszeresen k¨ ozl¨ unk az iskolai tananyaghoz szorosabban kapcsolódó gyakorlatokat, azok tal´ alhatnak itt kedv¨ ukre valót, akik valamivel – de nem sokkal – szeretnének t´ ullépni az iskolai matematika keretein, vagy emelt szint˝ u érettségit k´ıvánnak tenni matematik´ ab´ ol. A gyakorlatok egy része általános iskolásoknak is ajánlható, más rész¨ uk azonban a 11–12. évfolyam tanulm´ anyaira támaszkodik. Minden hónapban hét gyakorlatot t˝ uz¨ unk ki, ebb˝ ol az 1–5. gyakorlatokra a legfeljebb 10. évfolyamosok, a 3–7. gyakorlatokra pedig a 11–13. évfolyamosok k¨ uldhetnek be megoldást. Minden dolgozatra legfeljebb 5 pont kapható. A C pontversenyt három kategóriában értékelj¨ uk. Az els˝ o: a 8. évfolyamig, a második: a 9., 10. évfolyamosok, a harmadik: a 11., 12. évfolyamosok. B pontverseny – matematika feladatok A B pontversenyben havonta összesen 9 feladatot t˝ uz¨ unk ki. A feladatok sorrendje megfelel az iskolai tananyagnak: egy feladatsoron bel¨ ul az alacsonyabb sorsz´ am´ uakat aj´ anljuk a fiatalabbaknak. A feladatok – szándékaink szerinti – nehézségét a k¨ oz¨ olt pontsz´ am jelzi (ez 3, 4, 5 vagy 6 lehet). A B pontversenyben az eredményes versenyzéshez nincs sz¨ ukség valamennyi feladat megoldására. Nem kell teh´ at mind a 9 feladatra megoldást k¨ uldeni, feladatsoronként mindenkinek a legt¨ obb pontot el´ ert, legfeljebb 6 megold´ as´ at sz´ am´ıtjuk be a pontversenybe (amelybe azonban el˝ oször a nem versenyszer˝ ueket szám´ıtjuk be). Ki-ki gondolja végig, mely péld´ akkal foglalkozna sz´ıvesen, hogyan érhetné el a legtöbb pontot. A B pontverseny eredményét 5 korcsoportban tartjuk nyilván: a 8. évfolyamig, a 9., 10., 11. és 12. évfolyamokban. A pontverseny – matematika problémák A legfelkész¨ ultebb di´ akok számára jelent továbbra is kih´ıvást az A pontverseny, melyet a matematikus pályára vagy nemzetközi versenyekre kész¨ ul˝oknek ajánlunk. E verseny résztvev˝ oit nem k¨ ulön´ıtj¨ uk el évfolyamonként, mindannyian egy¨ utt versenyeznek, minden megold´ asra egységesen legfeljebb 5 pontot kaphatnak. Fizika versenyek M pontverseny – fizika mérési feladatok Havonta 1 mérési feladatot t˝ uz¨ unk ki, valamennyi korosztály számára közösen. A feladatok megold´ as´ aval 6–6 pontot lehet szerezni. A mérési feladatok kidolgozásán´ al hasznos lehet a kor´ abbi sz´ amainkban megjelent megoldások tanulmányozása. A mérési jegyz˝ ok¨ onyv feltétlen¨ ul tartalmazza a mérés elvének áttekinthet˝o le´ırását (a mérési elrendezés v´ azlatos rajzával, esetleg fotókkal), megfelel˝o szám´ u és pontoss´ ag´ u mérési adatot (´ attekinthet˝o táblázatban, a mértékegységeket is megK¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

333

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 334. oldal – 14. lap


i

adva), a mérési adatok kiértékelését (lehet˝oleg grafikusan ábrázolva), és a hiba nagys´ agrendjének becslését. A mért és szám´ıtott mennyiségeket ne adjuk meg indokolatlanul sok tizedesjeggyel, hanem csak a becs¨ ult hibával összhangban álló pontoss´ aggal. A mérési jegyz˝ ok¨ onyv legyen viszonylag tömör, de annyira áttekinthet˝ o, hogy annak alapján b´ arki meg tudja ismételni a le´ırt mérést. Nagyon sok (50-nél t¨ obb) mérési adat esetén elegend˝o azoknak csak egy reprezentat´ıv” részét ” bek¨ uldeni és a t¨ obbinek csak az átlagát közölni. A 6 oldalnál hosszabb jegyz˝okönyv tartalmazzon egy r¨ ovid (kb. 1/2 oldalas) összefoglalást. P pontverseny – fizika feladatok Havonta kb. 10 elméleti feladatot t˝ uz¨ unk ki, nem nehézségi, hanem az életkornak megfelel˝ o sorrendben. A pontszámokat a feladat után felt¨ untetj¨ uk. Mindenki szabadon v´ alaszthat a kit˝ uz¨ ott elméleti feladatok köz¨ ul. A 9–12. évfolyamosoknak legfeljebb 5, a n´ aluk fiatalabbaknak legfeljebb 3 megoldását (azonban el˝oször a nem versenyszer˝ ueket) sz´ am´ıtjuk be a pontversenybe. Az elméleti versenyt koroszt´ alyonként (8. évfolyamig, 9., 10., 11., 12. évfolyam) k¨ ulön-k¨ ulön összes´ıtj¨ uk és értékelj¨ uk, a mérési versenyt˝ ol f¨ uggetlen¨ ul. Informatika verseny I pontverseny – informatika alkalmazási és programozási feladatok Havonta három I jel˝ u és egy I/S jel˝ u feladatot t˝ uz¨ unk ki. A feladatok egy része által´ anos iskol´ asoknak is ajánlható, nagyobb része azonban a középiskolai tanulm´ anyokra t´ amaszkodik. Alapvet˝o célunk, hogy e feladatok seg´ıtsék a felkész¨ ulést az informatika versenyekre és az emelt szint˝ u érettségire. Minden hónapban a négy kit˝ uz¨ ott feladatb´ ol a három legmagasabb pontsz´ amot elért feladat pontszámát szám´ıtjuk be az I pontversenybe. Az I-jel˝ u pontversenyben minden hónapban egy programozási, egy informatika alkalmaz´ oi feladatot, valamint egy olyan érdekes problémát t˝ uz¨ unk ki, amely tartalm´ aban vagy a megold´ as eszk¨ ozében szokatlan, például hasznos, ám kevésbé ismert vagy elterjedt szoftver megismerését igényli. A feladatok egyike jellegében és formáj´ aban is lényegében megegyezik az emelt szint˝ u érettségin kit˝ uzött feladatokkal, ´ bet˝ ezt az (E) uvel jelezz¨ uk a feladat sorszáma mellett. Versenyz˝oink ezen feladatok megold´ as´ aval a vizsg´ ara val´ o felkész¨ ulést, az ilyen t´ıpus´ u feladatok megoldásában val´ o jártass´ agot szerezhetik meg, és tudásukat lemérhetik. Az I/S jel˝ u feladatok Nemes Tihamér Verseny és OKTV szint˝ u, az I jel˝ u programoz´ asi feladatokn´ al nehezebb, de az S jel˝ ueknél könnyebb programozási feladatok. A megold´ ashoz sz¨ ukséges ismeretek és algoritmusok a két verseny versenyki´ırás´ aban megtal´ alhat´ oak, pl. a http://tehetseg.inf.elte.hu és a http://www. oktatas.hu oldalakon. S pontverseny – nehezebb programozási feladatok Az S pontverseny egy havonta kit˝ uzött nehezebb S programozási feladatból és az I/S feladatb´ ol áll. Mindkét feladat a programozási versenyekre való felkész´ıtést szolg´ alja. A megold´ ashoz sz¨ ukséges ismeretek és alkalmazandó algoritmusok k¨ orét a Nemzetk¨ ozi Informatikai Diákolimpiákon alkalmazott IOI Syllabus tartalmazza, l´ asd http://www.ioinformatics.org/a_d_m/isc/iscdocuments/ioisyllabus.pdf. 334


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 335. oldal – 15. lap


i

Az S és I/S-jel˝ u feladatok értékelésénél az eredmény helyességén k´ıv¨ ul azt is figyelembe vessz¨ uk, hogy az algoritmusok mennyire hatékonyak, nagyméret˝ u bemen˝o adatok esetén is lefutnak-e legfeljebb néhány perc alatt, illetve nem igényelnek-e t´ uls´ agosan sok mem´ ori´ at. A futási id˝ore vonatkozó limitet és a memóriakorlátot a feladat le´ır´ asa tartalmazhatja. A matematika és fizika dolgozatok form´ aja A szerkeszt˝ oség munkat´ arsainak általában nagy mennyiség˝ u dolgozatot kell rövid id˝ o alatt feldolgozniuk. A postán bek¨ uldött dolgozatok szétválogatása, jav´ıtása és a pontsz´ amok gyors k¨ onyvelése akkor lehetséges, ha versenyz˝oink betartják az al´ abbi formai k¨ ovetelményeket: • Minden egyes megold´ as ku on lapra ker¨ uljön. Ez azért nagyon fontos, mert ¨ l¨ a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o feladatok m´ as-más jav´ıtóhoz ker¨ ulnek. A lapok A4 m´ eret˝ uek (kb. 21 cm × 30 cm) legyenek. • Minden egyes bek¨ uld¨ ott lap bal fels˝ o sark´ aban nyomtatott bet˝ ukkel szerepeljen: ◦ a példa bet˝ ujele (A, B, C, K, M, P) és száma pirossal, ◦ a bek¨ uld˝ o teljes neve és oszt´ alya, ◦ az iskola neve v´ arosnévvel egy¨ utt, ◦ a bek¨ uld˝ o e-mail c´ıme. • T¨ orekedj¨ unk az olvashat´ o ´ır´ asra és a rendezett k¨ ulalakra! MINTA dolgozat fejl´ ec´ ehez:

C. 1304. Szabó 172 István 9. évf. Miskolc, Földes Ferenc Gimn. e-mail: [email protected] Jel¨ olj¨ uk a kapit´ any életkor´ at (években kifejezve) K-val, a hajóét H-val. A hajó H − K évvel ezel˝ott volt annyi id˝os, mint . . . Azokat a dolgozatokat, amelyeken nincs felt¨ untetve osztály és iskola városnévvel egy¨ utt, t¨ obb feladat megold´ asát tartalmazzák egy lapon, vagy k¨ ulalakjuk miatt értékelhetetlenek, nem versenyszer˝ unek tekintj¨ uk. A matematika és fizika dolgozatok tartalm´ ar´ ol Maxim´ alis pontsz´ am csak teljes megoldásért jár. A puszta eredményközlést nem értékelj¨ uk. A kimondott áll´ıtásokat matematikából bizony´ıtani kell, fizikából az alapt¨ orvényeket alkalmazva igazolni. A matematika példák megoldásaként csup´ an sz´ am´ıt´ ogépes programot nem fogadunk el! T¨ orekedj¨ unk a megold´ asok rövid, olvasható le´ırására. A geometria feladatok megold´ as´ ahoz mellékelj¨ unk ábr´ at vagy ábrákat. Lapunkban a megoldások többségét k¨ oz¨ olj¨ uk: aj´ anljuk ezek tanulm´ anyozását. Levezetés és hivatkoz´ as nélk¨ ul csak a középiskolai tananyagban szerepl˝o tételeket fogadjuk el. K¨ ozismert tételekre (pl. Menelaosz-tétel, Hölder-egyenl˝otlenség stb.) elegend˝ o a nev¨ ukkel hivatkozni, egyéb esetekben fel kell t¨ untetni az idézett forr´ ast (c´ım, oldalsz´ am vagy internet-c´ım). Tételekre való hivatkozáskor azt is meg K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

335

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 336. oldal – 16. lap


i

kell mutatni, miért teljes¨ ulnek a tétel feltételei, és hogyan következik a tétel áll´ıtásáb´ ol a bizony´ıt´ as gondolatmenetének következ˝o lépése. T¨ obbsz¨ or el˝ ofordult már, hogy egy-egy feladat szerepelt valamely példatárban, vagy megtal´ alt´ ak az interneten. Arra is láttunk példát, hogy egy folyóiratcikkben a feladatban kit˝ uz¨ ottel lényegében ekvivalens, vagy annál általánosabb áll´ıtás bizony´ıt´ asa szerepelt. Célunk tov´ abbra is versenyz˝oink problémamegoldó képességének feljesztése, nem pedig a keres˝oprogramok tesztelése, ezért nem adunk teljes pontsz´ amot azokra a dolgozatokra, amelyek csak a megold´ as hely´ et k¨ ozlik; a v´ egeredm´ enyhez vezet˝ o megold´ ast r´ eszletesen le kell ´ırni. Kérj¨ uk, hogy ha a megoldáshoz könyvekben vagy az interneten talált ´ırásokat haszn´ alnak fel, és ezekb˝ ol idéznek, t¨ untessék fel a felhasznált forrásokat. Az informatika megold´ asok tartalmi k¨ ovetelményei Az I jel˝ u programoz´ asi feladatok megoldását C, C++, Pascal, Python, Java, Basic vagy C# nyelvek illetve, az I/S és S jel˝ u feladatok megoldását C, C++, Pascal vagy Java nyelvek valamelyikén kell elkész´ıteni. A fejlesztéshez bármilyen fejleszt˝ ok¨ ornyezet (IDE) használható, azonban az értékelés mindenképpen a következ˝ okkel t¨ orténik: • C/C++: Code::Blocks 13.12 (MinGW) vagy Visual C++ 2013 Express, • Pascal: FreePascal 2.6.4, Lazarus 1.0.10, • Visual Basic, C#: Visual Studio 2013 Express, • Python 3.4.1, • Java: NetBeans 8 JDK 7 Bek¨ uldés el˝ ott teh´ at mindenképpen ellen˝orizend˝o, hogy a forráskód a fenti list´ aban szerepl˝ o eszk¨ ozzel is ford´ıtható, illetve helyesen m˝ uködik-e. Csak olyan programokat értékel¨ unk, amelyek a fent megjelölt ford´ıtók egyikével leford´ıthatók, illetve – sz´ am´ıt´ asos jelleg˝ u feladatoknál – a kiadott mintabemenetek legalább felére hiba nélk¨ ul, r¨ ovid id˝ on bel¨ ul lefutnak, és megfelel˝o formátum´ u, értelmes, de nem feltétlen helyes kimenetet adnak. Az I-jel˝ u pontversenyben kit˝ uzött alkalmazói feladatok megoldásához a Microsoft Office 2007/2010/2013 vagy a LibreOffice 5.0 vagy az OpenOffice 4.1 irodai szoftvercsomagok valamelyike használható. A jav´ıtást a programok legfrissebb változataival fogjuk értékelni. A harmadik t´ıpus´ u feladatok jórészt szabadon fölhaszn´ alhat´ o programok, esetleg kereskedelmi szoftverek id˝okorlátos próbaváltozatához kapcsol´ odnak. Az S és I/S jel˝ u feladatokra adott megoldásokhoz dokumentációt kell kész´ıteni és a forr´ ask´ odot kommentekkel kell ellátni. A k¨ ulönálló dokumentációban a megold´ as elvi menetének, algoritmusának ismertetését várjuk, dönt˝oen három részre tagolva: r¨ ovid áttekintés az algoritmusról; majd az algoritmus részletes menete; vég¨ ul egy r¨ ovid u ´tmutat´ o a k´ od értelmezéséhez, le´ırás a megvalós´ıtás sajátosságairól. A forr´ ask´ od kommentezésének lényege, hogy seg´ıtségével – a dokumentáció ismeretében – k¨ onnyen megérthet˝o legyen az egyes kódsorok, kódrészletek feladata, szerepe a megold´ as menetében. Ennek megfelel˝oen az egyes osztályokat, f¨ uggvényeket, kisebb-nagyobb ¨ osszef¨ ugg˝o kódrészleteket, a nehezebben érthet˝o technikai megold´ asokat, illetve a fontosabb (globális és lokális) változókat és t´ıpusokat kell mindenképp megjegyzéssel ell´ atni. 336


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 337. oldal – 17. lap


i

Az informatika megold´ asok formai k¨ ovetelményei Az informatika feladatok megold´ asait kiz´ ar´ olag a K¨ oMaL honlapj´ an, az elektronikus munkafu olteni. ¨ zetben lehet beku ¨ ldeni, illetve felt¨ Amennyiben a megold´ as t¨ obb fájlból áll, u ´gy egy, a fájlok mindegyikét és a dokument´ aci´ ot is tartalmaz´ o, a feladat sorszámával egyez˝o nev˝ u mappát kell ZIP tömö¨ r´ıtéssel becsomagolva egyetlen fájlként bek¨ uldeni. Ugyelj¨ unk arra, hogy a tömör´ıtett állom´ anyokba futtathat´ o f´ ajlok (pl. a fejlesztéskor létrejöv˝o .exe állomány) ne ker¨ uljenek. A programoz´ asi feladatoknál a forráskód els˝o soraiban megjegyzésként szerepeljen • a feladat sz´ ama; • a versenyz˝ o teljes neve (jelz˝oszámmal) és osztálya; • az iskola neve v´ arosnévvel egy¨ utt; • a versenyz˝ o e-mail c´ıme; • az alkalmazott ford´ıt´ oprogram neve és verziószáma. Sz¨ oveges dokumentumok (például dokumentáció) esetén az adatok – a matematika és fizika feladatokhoz hasonlóan – a fájl elején, táblázatkezel˝o feladatoknál pedig k¨ ul¨ on munkalapon szerepeljenek, amelynek neve ADATOK legyen. Kérj¨ uk, hogy a programozási feladatoknál a program be- és kimenete mindig a feladatban megadott m´ odon valósuljon meg. Erre azért van sz¨ ukség, mert a bek¨ uld¨ ott programokat sokféle tesztadatra lefuttatjuk, és ezt igyeksz¨ unk automatizálni. Az informatika feladatokkal kapcsolatos bárminem˝ u kérdéseket, esetleges reklam´ aci´ okat az [email protected] c´ımre várjuk. A dolgozatok bek¨ uldése post´ an A matematika és fizika dolgozatokat post´ an k¨ uldhetik be, vagy felölthetik az internetes munkaf¨ uzet fel¨ uleten. Az informatika feladatok megoldását kizárólag az internetes munkaf¨ uzeten kereszt¨ ul k¨ uldhetik be. Megold´ asokat e-mailben nem fogadunk. Postai bek¨ uldés esetén a dolgozatokat a következ˝o c´ımre várjuk: K¨ oMaL feladatok, Budapest 112, Pf. 32. 1518 A matematika és a fizika feladatok egy bor´ıtékban is bek¨ uldhet˝ok. Kérj¨ uk, mindenki u uldött dolgozatokat nem tudjuk értékelni. ¨gyeljen a helyes c´ımzésre. A rossz c´ımre k¨ A post´ an bek¨ uld¨ ott megoldásokhoz k´ıs´ er˝ ojegyz´ eket kér¨ unk a minta szerint, minden bor´ıtékban egy k¨ ul¨ on pap´ıron felsorolva az összes bek¨ uldött dolgozat jelét és sz´ am´ at. A név, oszt´ aly és iskola feltétlen¨ ul szerepeljen a k´ısér˝ojegyzéken! MINTA k´ıs´ er˝ ojegyz´ ekhez:

K´ısér˝ojegyzék Szabó 172 István 9. évf. Miskolc, Földes Ferenc Gimn. A 2015. évi 6. sz´ amb´ ol a k¨ ovetkez˝o feladatokra k¨ uldök megoldást: B. 4723., B. 4725., B. 4726., B. 4729., B. 4731. ¨ Osszesen 5 dolgozat. K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

337

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 338. oldal – 18. lap


i

A megold´ asok elkész´ıtése és bek¨ uldése az Elektronikus Munkaf¨ uzetben Az elektronikus munkaf¨ uzet egy webes fel¨ ulet, amellyel az otthon, el˝ore elkész´ıtett dolgozatokat felt¨ olthetik, de a megoldás közvetlen be´ırására, szerkesztésére is lehet˝ oséget ad. K´ ez´ır´ assal k´ esz¨ ult megold´ ast csak postai u ´ ton fogadunk el. Képletek szerkesztéséhez a K¨ oMaL fórumban bevált TEX rendszert használjuk. Ha a megold´ o kézzel kész´ıt ábrát és azt jól látható min˝oségben beszkenneli, majd beilleszti a dokumentumba, azt elfogadjuk. A munkaf¨ uzet haszn´ alata esetén • A megold´ asok m´ odos´ıthatók, átszerkeszthet˝ok a bek¨ uldési határid˝oig. • Ellen˝ orizhet˝ o, hogy a megoldások épségben megérkeztek. • A jav´ıt´ o k¨ ozvetlen¨ ul a megoldás mellé ´ırhatja rövid értékelését a megoldásról és a kapott pontsz´ amot. • Versenyz˝ oinket e-mailben értes´ıtj¨ uk a pontszámok változásairól. • R¨ ovid kérdés vagy u uldhet˝o a jav´ıtónak, ˝o pedig ugyanitt válaszolhat. ¨zenet k¨ Az Elektronikus Munkaf¨ uzet használatához sz¨ ukséges jelszót a nevezési lap kit¨ oltésekor k¨ uldj¨ uk el versenyz˝oinknek. Az elektronikus munkaf¨ uzet c´ıme: https://www.komal.hu/munkafuzet Ha valaki hib´ at tal´ al, vagy u ´j b˝ov´ıtéseket szeretne javasolni, k¨ uldjön e-mailt a [email protected] c´ımre, vagy pedig ´ırja meg a KöMaL fórum Internetes munkaf¨ uzet c´ım˝ u tém´ aj´ aban. Seg´ıtségét el˝ore is köszönj¨ uk. A bek¨ uldési hat´ arid˝ o A bek¨ uldési hat´ arid˝ o minden kateg´ ori´ aban a lap megjelenését követ˝o h´ onap 10. napja; munkasz¨ uneti nap esetén a következ˝o munkanap. A határid˝o azt jelenti, hogy a k¨ uldeményt legkés˝obb a határid˝o napján 24 óráig kell postára adni. (Kérj¨ uk, ellen˝ orizzék a postai bélyegz˝o dátumát, mert kés˝obbi dátumot nem fogadunk el.) A hat´ arid˝ o betart´ as´ at szigor´ uan ellen˝ orizni fogjuk. A hat´ arid˝ o ut´ an a szem´ elyesen behozott dolgozatokat sem fogadjuk el! Elektronikus bek¨ uldés esetén vegyék figyelembe az Internet esetleges hibáit, ilyen okokra hivatkozva sem fogadunk el késedelmes dolgozatokat. ´ ekelés Ert´ A pontversenyek áll´ as´ at és versenyz˝oink részletes eredményeit 2015. november végét˝ ol a honlapunkon folyamatosan közölj¨ uk. A versenyben résztvev˝o hozzájárul a dolgozat´ anak név nélk¨ uli, valamint a szerkesztett változat névvel történ˝o k¨ ozléséhez. A matematika, fizika és informatika feladatokkal kapcsolatos kérdéseket a [email protected], [email protected], illetve [email protected] c´ımekre v´ arjuk. Reklam´ aci´ okat a feladat értékelése után két hétig fogadunk el. Mind a matematika, mind a fizika versenyek hivatalos végeredménye a 2016. szeptemberi sz´ amunkban jelenik meg. A legeredményesebb versenyz˝ok arcképét 2016. decemberi sz´ amunkban közölj¨ uk. A legjobbak a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alap´ıtv´ any pályad´ıjait és tárgyjutalmakat kapnak a 2016. évi K¨ oMaL Ankét rendezvényén. Az okleveleket postán k¨ uldj¨ uk el.

338


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 339. oldal – 19. lap


i

Néh´ any megjegyzés A foly´ oirat elektronikus v´ altozatát havonta friss´ıtj¨ uk. A mindenkori pontszámokat (a legeredményesebb versenyz˝ok fényképeivel) rendszeresen közölj¨ uk. A lapban kit˝ uz¨ ott feladatok a kit˝ uzés hónapjának 28. napjától hozzáférhet˝ok a honlapon. Javasoljuk, hogy bek¨ uld¨ ott dolgozataik másolatotát ˝orizzék meg, hogy a lapban köz¨ olt megold´ assal ¨ ossze tudj´ ak hasonl´ıtani. Ha a dolgozat esetleg elvész a postán, csak másolat esetén tudjuk elfogadni a reklamációt. Szép, érdekes és nem k¨ ozismert feladatokat javasolhatnak kit˝ uzésre. A javasolt feladatokat (megold´ asokkal egy¨ utt) a szerkeszt˝oség c´ımére k¨ uldjék el. A di´ akok elfogadott javaslatait év végén besz´ am´ıtjuk a k¨ ul¨ ond´ıjért foly´ o versenybe. Szeretnénk, ha a kit˝ uz¨ ott kérdések nem zárulnának le véglegesen a bek¨ uldési határid˝ ovel, a k¨ oz¨ olt megold´ assal. Erre teremt lehet˝oséget az internetes KöMaLfórum. Bármely, a lapunkban megjelent feladathoz, cikkhez kapcsolódó megjegyzést, által´ anos´ıt´ ast sz´ıvesen l´ atunk és alkalomadtán közölj¨ uk. ¨ ommel fogadunk feladatjavaslatokat, cikkeket, szakköri munkáról szóló beOr¨ sz´ amol´ okat, k¨ ozlésre alkalmas iskolai pályamunkákat. Javaslataikat, közleményeiket elk¨ uldhetik post´ an, vagy személyesen juttathatják el szerkeszt˝oség¨ unkbe. Kérj¨ uk a szerkeszt˝ oségnek szánt u ¨zeneteket a [email protected] e-mail c´ımre k¨ uldeni. Végezet¨ ul mindenkinek eredményes tanévet és sikeres versenyzést k´ıván a Szerkeszt˝ os´ eg

C gyakorlat megold´ asa

C. 1286. Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszert: y 2 = x3 − 3x2 + 2x, x2 = y 3 − 3y 2 + 2y.

Megold´ as. Az els˝ o egyenletet alak´ıtva: y 2 = x(x − 1)(x − 2). A bal oldal nemnegat´ıv, teh´ at a jobb oldal is: x ∈ [0; 1] ∪ [2; +∞[ . A második egyenletb˝ol ugyan´ıgy y ∈ [0; 1] ∪ [2; +∞[ . Vonjuk ki egym´ asb´ ol a két egyenletet: y 2 − x2 = x3 − y 3 − 3x2 + 3y 2 + 2x − 2y. K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

339

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 340. oldal – 20. lap


i

Rendezz¨ uk, majd bontsuk szorzattá a jobb oldalt: 0 = x3 − y 3 − 2x2 + 2y 2 + 2x − 2y, ( ) 0 = (x − y) x2 + xy + y 2 − 2(x − y)(x + y) + 2(x − y), ( ) 0 = (x − y) x2 + xy + y 2 − 2x − 2y + 2 , [ ] 2 2 0 = (x − y) (x − 1) + (y − 1) + xy . Egy szorzat akkor 0, ha egyik tényez˝oje 0. I. eset: x − y = 0. Ekkor x = y, és az eredeti egyenletek alapján: ( ) x2 = x3 − 3x2 + 2x, amib˝ol 0 = x3 − 4x2 + 2x = x x2 − 4x + 2 . Ebb˝ ol x1 = y1 = 0, illetve √ √ 16 − 8 = 2 ± 2. 2 √ √ Vagyis x2 = y2 = 2 − 2 és x3 = y3 = 2 + 2 . 2 2 2 2 II. eset: (x − 1) + (y − 1) + xy = 0. Tudjuk, hogy (x − 1) > 0, (y − 1) > 0 és mivel x és y is nemnegat´ıv, ezért xy > 0. A három összege csak akkor lehet 0, ha mindh´ arom tag 0. Az els˝ o két tagból x = y = 0, ám ekkor xy = 1 ̸= 0. x2,3 =

4±

Ebben az esetben nem kaptunk megoldást. Farkas D´ ora (Budaörsi Illyés Gy. Gimn. és KSZKI, 12. évf.) Megjegyzések. 1. Sokan azt ´ırt´ ak, hogy mivel a két egyenlet szimmetrikus, ezért x = y. ´ Ez nem feltétlen¨ ul igaz. L´ asd pl. Abrah´ am G´ abor: Az f −1 (x) = f (x) t´ıpus´ u egyenletekr˝ ol, avagy az ´ır´ astud´ ok felel˝ ossége és egyéb érdekességek c. cikkét (K¨ oMaL, 2010. december, és www.komal.hu/cikkek/abraham/abraham.h.shtml). obben x-re rendezt´ asodik tényez˝ ot, majd fel´ırt´ ak 2. A szorzatt´ a bont´ as ut´ an t¨ ( ) ek a m´ a megold´ oképletet: x2 + (y − 2)x + y 2 − 2y + 2 = 0, amib˝ ol

x=

−y + 2 ±

√

(y − 2)2 − 4(y 2 − 2y + 2) 2

=

−y + 2 ±

√ −3y 2 + 4y − 4 . 2

A gy¨ okjel alatti kifejezés diszkrimin´ ansa D = 16 − 48 < 0, ezért ekkor nincs megold´ as. 3. Azt, hogy x és y nem lehet negat´ıv, t¨ obben u ´gy l´ att´ ak be, hogy ha pl. x < 0, akkor x3 < 0, −3x2 < 0 és 2x < 0, ´ıgy ezek ¨ osszege is negat´ıv lenne, ´ am y 2 > 0 miatt ez nem lehetséges. 40 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott 15 versenyz˝ o: Bereczki Zolt´ an, Egyh´ azi Anna, Farkas D´ ora, Fehér Bal´ azs, Fényes Bal´ azs, F¨ ul¨ op Erik, J´ oj´ art Alexandra, Kas´ o Ferenc, Matusek M´ arton, Mész´ aros 01 Vikt´ oria, Porups´ anszki Istv´ an, S´ andor Gergely, Sz˝ ucs Dorina, Telek M´ até L´ aszl´ o, Vida M´ até Gergely. 4 pontos 7, 2 pontos 11, 0 pontos 1 dolgozat. Nem versenyszer˝ u 6 dolgozat.

340


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 341. oldal – 21. lap


i

Matematika feladatok megold´ asa

B. 4619. Oldjuk meg az x2 − 4x + 3 =

√ √ 1+ x−1

egyenletet. (5 pont)

Javasolta: Kov´ acs Béla (Szatmárnémeti)

I. megold´ as.∗ A négyzetgyök alatt nemnegat´ıv szám áll: x > 1. Mivel a jobb oldal ekkor pozit´ıv, a bal oldal is az: x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) > 0. Mivel x < 1 nem teljes¨ ulhet, azt kapjuk, hogy x > 3. Az egyenletet átrendezve: √ √ 2 (1) (x − 2) + 1 = 1 + x − 1 + 2. 2

Az f : (3; +∞) → (2; +∞), f (x) = (x − 2) + 1 f¨ uggvény szigor´ uan monoton n¨ ovekv˝ o, bijekt´ıv az értelmezési tartományá√n, ezért invertálható. Inverz f¨ uggvé−1 nye az f −1 : (2; +∞) → (3; +∞), f (x) = x − 1 + 2. Vegy¨ u k itt mindk´ e t oldal √ értékét f −1 (x) = x − 1 + 2-nél: √ √ ( ) f −1 f −1 (x) = 1 + x − 1 + 2. A jobb oldal épp (1) jobb oldala. Ezek alapján az egyenlet: ( ) f −1 f −1 (x) = f (x), ( ) ( ( )) ami pontosan akkor igaz, ha f −1 (x) = f f (x) , vagyis ha x = f f f (x) . az f f¨ uggvény szigor´ n¨ ( Mivel ) ( ( uan ))monoton ( )ovekv˝o, ezért f (x) > x esetén f f (x) > f (x) > x, amib˝ ol f f f (x) > f f (x) > f (x) > x következik. Hason( ( )) ( ) lóan, ha f (x) < x, akkor f f f (x) < f f (x) < f (x) < x. ( ( )) Teh´ at x = f f f (x) csak akkor teljes¨ ulhet, ha x = f (x), és ekkor valóban igaz is. Így 2 (x − 2) + 1 = x, amib˝ol x2 − 5x + 5 = 0. A megold´ oképlet alapj´ an x1,2 = kik¨ otést, vagyis x =

√ 5+ 5 2 .

√ 5± 5 2 .

Csak a nagyobb gyök teljes´ıti az x > 3

∗´

´ Erdemes tanulm´ anyozni Abrah´ am G´ abor: Az f −1 (x) = f (x) t´ıpus´ u egyenletekr˝ ol, avagy az ´ır´ astud´ ok felel˝ osége és egyéb érdekességek c. cikkét (K¨ oMaL, 2010. december, és www.komal.hu/cikkek/abraham/abraham.h.shtml).


341

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 342. oldal – 22. lap


i

√

Behelyettes´ıtve az eredeti egyenletbe, mindkét oldalon 1+2 5 adódik, tehát a megold´ as j´ o. ´ am (Budapest, Városmajori Gimn. és Kós K. Alt. ´ Isk., 11. évf.) Lengyel Ad´ megoldása alapján √ II. megold´ as. Mivel x = 1 nem megoldás, ezé√ rt legyen a = x − 1 > 0. Ek( ) √ √ kor x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = a2 a2 − 2 és 1 + x − 1 = 1 + a. Ebb˝ol ( ) ( ) √ a2 a2 − 2 = 1 + a, amit négyzetre emelve a4 a4 − 4a2 + 4 = 1 + a. Ezt rendezve a8 − 4a6 + 4a4 − a − 1 = 0. Pr´ ob´ aljuk meg a bal oldalt szorzattá alak´ıtani: a8 − 4a6 + 4a4 − a − 1 = a8 − a7 − a6 + a7 − a6 − a5 − 2a6 + 2a5 + 2a4 − − a5 + a4 + a3 + a4 − a3 − a2 + a2 − a − 1 = ( )( ) = a2 − a − 1 a6 + a5 − 2a4 − a3 + a2 + 1 . Ez pontosan akkor 0, ha az egyik tényez˝oje az. A második tényez˝ ot vizsg´ alva: a6 + a5 − 2a4 − a3 + a2 + 1 = a6 − 2a3 + 1 + a5 − 2a4 + a3 + a2 = ( )2 2 = a3 − 1 + a3 (a − 1) + a2 > 0, mivel az els˝ o két tag nemnegat´ıv, a harmadik pedig pozit´ıv. Ha az els˝ o tényez˝ o 0: a2 − a − 1 = 0, amib˝ol a1,2 = a pozit´ıv megold´ as j¨ on sz´ oba: a =

√ 1+ 5 2 .

√ 1± 5 2 .

Mivel a > 0, csak

2

Mivel x = a + 1, ´ıgy ebb˝ol

√ √ √ 6+2 5 10 + 2 5 5+ 5 x=1+ = = . 4 4 2 Ami behelyettes´ıtve val´ oban jó megoldást ad. Andi Gabriel Brojbeanu (Targoviste, Constantin Carabella” ” National College, 11. évf.) Megjegyzés. Aki egy 8-ad-fok´ u polinomot indokl´ as nélk¨ ul szorzatt´ a alak´ıtott, legfeljebb 3 pontot kaphatott.

=

III. megold´ as. Az el˝ oz˝ o megoldásokból x > 3 és az egyenlet (x − 1)(x − 3) = √ √ 1 + x − 1.

342


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 343. oldal – 23. lap


i

Legyen a = x − 1 > 2, ekkor 2

(a − 1) − 1 = 2

vagyis (a − 1) = 1 +

√ √ 1 + a,

√

1+

√

a.

2

Az y = (x − 1) f¨ uggvény grafikonja x > 2 esetén a megfelel˝ o parabolának egy szigor´ uan monoton n¨ oveked˝ √o része, amely végig konvex. Az y = 1 + x f¨ uggvény gy¨ okf¨ uggvény, aminek menete még egy gy¨ okvon´ assal lényegében nem változik (nem keletkezik benne inflexi´ os pont, végig konk´ av). Így a két grafikon egy pontban metszi egym´ ast. Mivel a > 0, gy¨ ok¨ ot vonhatunk mindkét oldalból: a − 1 = b˝ ol

√

(2)

a=1+

1+

√ √ √ 1 + 1 + a, ami-

√ √ 1 + a.

Ha a helyére a jobb oldalon behelyettes´ıtenénk a értékét, vagyis a jobb oldalt, majd ezt az elj´ ast végtelen sokszor megismételnénk, u ´gy egy végtelen sorozatot √ar´ √ √ uk, hogy az egyenletben szerepl˝o a értéke kapn´ ank: 1 + 1 + 1 + . . . . Azt sejtj¨ ez a sorozat, vagyis a b´ arhova behelyettes´ıthet˝o a sorozaton bel¨ ul, tehát: √ √ √ √ √ a = 1 + 1 + 1 + . . . = 1 + a, ebb˝ol a − 1 = a. Innen x − 2 =

√ x − 1, négyzetre emelve x2 − 4x + 4 = x − 1, rendezve x2 − 5x + 5 = 0.

√ Ennek az egyetlen, a kik¨ otésnek megfelel˝o gyöke x = 2,5 + 1,25. Mivel több gyök nincs, ez az egyetlen megold´ as. ´ Isk. és Gimn., 9. évf.) Németh R´ obert (Budapesti Fazekas M. Gyak. Alt. megoldása alapján Megjegyzés. Mivel a > 0, a (2) egyenlet mindkét oldal´ ab´ ol gy¨ ok¨ ot vonva azt kapjuk, hogy

√ √

amib˝ ol f (y) =

√

a=

√ 1+

1+

√ 1+

√

a, ( ( )) 1 + y jel¨ oléssel az I. megold´ asbeli y = f f f (y) alakot kapjuk.

83 dolgozat érkezett. 5 pontos 32, 4 pontos 3, 3 pontos 15, 2 pontos 17, 1 pontos 5, 0 pontos 10 dolgozat. Nem versenyszer˝ u 1 dolgozat.


343

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 344. oldal – 24. lap


i

B. 4649. Legyenek a s´ıkon e1 , e2 , . . . , en k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenesek, f pedig egy olyan egyenes, mely egyik¨ ukkel sem p´ arhuzamos. Tekints¨ uk az f -fel p´ arhuzamos ¨ osszes fα egyenest. Legyen Sα az fα ∩ e1 , fα ∩ e2 , . . . , fα ∩ en pontok s´ ulypontja. Mutassuk meg, hogy az Sα pontok kolline´ arisak. (6 pont)

Javasolta: Csik´ os Bal´ azs (Budapest)

I. megold´ as. Legyen S0 az f ∩ e1 , f ∩ e2 , . . . , f ∩ en pontok s´ ulypontja. Ekkor S0 nyilv´ an rajta van az f egyenesen. Vegy¨ unk fel egy Descartes-féle derékszög˝ u koordin´ atarendszert u ´gy, hogy az origója S0 legyen, az y tengely egyenese pedig essen egybe f -fel. Ebben a koordinátarendszerben f egyenlete X = 0, az ei egyenes egyenlete pedig minden i = 1, 2, . . . , n esetén fel´ırható Y = mi X + bi alakban, mert ezen egyenesek egyike sem p´ arhuzamos f -fel. Ha az f -fel párhuzamos fα egyenes egyenlete X = α, akkor az fα ∩ ei pont koordin´ at´ ai (α, mi α + bi ). Teh´ at a s´ ulypont koordinátáinak kiszám´ıtására vonatkozó szab´ aly alapján α = 0 esetén kapjuk, hogy ) ( ∑n i=1 bi S0 = (0, 0) = 0, , n ∑n azaz i=1 bi = 0, által´ aban pedig ( Sα =

nα , n

∑n

i=1 (mi α

n

+ bi )

)

∑n

( =

α,

i=1

n

mi α

∑n +

i=1 bi

n

) =

( ∑n ) mi α α, i=1 . n

Az S0 és Sα (α ̸= 0) pontok összeköt˝o egyenesének egyenletét az ismert képlet szerint fel´ırva, majd azt rendezve kapjuk, hogy ( ∑n ) i=1 mi α (α − 0)(Y − 0) = − 0 (X − 0), n ∑n mi α αY = i=1 X, n ∑n mi (1) X. Y = i=1 n Ebben az egyenletben nem szerepel α, vagyis az Sα pont az α értékét˝ol f¨ uggetlen¨ ul rajta van az (1) egyenlet˝ u egyenesen, tehát az Sα pontok kollineárisak. Csépai Andr´ as (Dunakeszi, Radnóti M. Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján II. megold´ as. A feladat áll´ıtását az egyenesek száma szerinti teljes indukcióval l´ atjuk be. Ha n = 1, akkor Sα megegyezik fα és e1 metszéspontjával, azaz valamennyi s´ ulypont az e1 egyenesen van. Tegy¨ uk fel, hogy n = k esetén igaz az áll´ıtás. Legyen n = k + 1. Jelölje Sαk az fα ∩ e1 , fα ∩ e2 , . . . , fα ∩ ek pontok s´ ulypontját. Az indukciós feltevés szerint az Sαk pontok egy egyenesre esnek. Jelölje ezt az egyenest s. Egy adott fα esetén Sαk éppen fα ∩ s, mert a s´ ulypont nyilván illeszkedik fα -ra is. (Az nem lehet, hogy 344


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 345. oldal – 25. lap


i

s és fα egybeessenek, mert akkor más, fα -val párhuzamos egyenesnek nem lenne k¨ oz¨ os pontja s-sel.) Tekints¨ uk most az fα ∩ e1 , fα ∩ e2 , . . . , fα ∩ ek+1 pontok Sαk+1 s´ ulypontját. Ez a s´ ulypontszerkesztési tétel (ezt részletesebben lásd a megoldás utáni megjegyzésben) szerint megegyezik az Sαk és f ∩ ek+1 pontok által meghatározott szakaszt 1 : k ar´ anyban oszt´ o ponttal (a szakasz esetleg elfajulhat egyetlen ponttá). Azt kell teh´ at megmutatnunk, hogy ezek az osztópontok egy egyenesre esnek. Két esetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg. Ha s nem p´ arhuzamos ek+1 -gyel, akkor a metszéspontjukat jelölje M . Egy tetsz˝ oleges, f -fel p´ arhuzamos, M -en át nem men˝o egyenes messe s-et A-ban, ek+1 -et pedig B-ben. Az AB szakasz 1 : k arány´ u osztópontját jelölje F (1. ´ abra). Megmutatjuk, hogy minden Sαk+1 pont illeszkedik az M F egyenesre. Ha fα átmegy M -en, akkor s-et és ek+1 -et is M -ben metszi, ´ıgy a metszéspontok osztópontja” is M lesz. ” Ha fα nem megy át M -en, akkor az s-sel való metszéspontja Sαk . Ha fα ∩ ek+1 = B1 , k+1 k uk azt az M középu osztópontja Sα . Tekints¨ akkor az Sα B1 szakasz 1 : k arány´ pont´ u ϕ hasonl´ os´ agot, ami A-t Sαk -ba viszi. Ekkor ϕ a B pontot B1 -be viszi, mert B képe illeszkedik az ek+1 egyenesre és a B képét Sαk -val összeköt˝o szakasz párhuzamos AB-vel, F képe pedig Sαk+1 , mert a hasonlóság aránytartó. Tehát ebben az esetben az Sαk+1 pontok illeszkednek az M F egyenesre.

1. ´ abra

2. ´ abra

Ha s p´ arhuzamos ek+1 -gyel, akkor a feltételekb˝ol következik, hogy f nem párhuzamos vel¨ uk. Legyen f -nek s-sel, illetve ek+1 -gyel való metszéspontja A, illetve B, az AB szakasz 1 : k ar´ any´ u osztópontja pedig F (2. ´ abra). Megmutatjuk, hogy ekkor minden Sαk+1 pont illeszkedik az F -en átmen˝o, s-sel párhuzamos t egyenesre. Tekints¨ uk most azt az eltol´ ast, ami az f egyenest fα -ba viszi és v meghatározó vektora párhuzamos az s egyenessel. Ennél az eltol´ asnál az A képe fα ∩ s = Sαk , a B képe fα ∩ ek+1 , és ezért F képe az AB szakasz 1 : k arány´ u osztópontja, azaz Sαk+1 . −−−k+1 −→ Vagyis az F Sα vektor párhuzamos s-sel, tehát ebben az esetben az Sαk+1 pontok illeszkednek a t egyenesre. Ezzel bel´ attuk, hogy az áll´ıtás n = k + 1-re is igaz, s ´ıgy minden n pozit´ıv egész sz´ amra teljes¨ ul. Baran Zsuzsanna (Debrecen, Debreceni Fazekas M. Gimn. 10. évf.) dolgozata alapján K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

345

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 346. oldal – 26. lap


i

Megjegyzés. A s´ ulypontszerkesztési tételnek t¨ obb v´ altozata van. Feladatunk megold´ asa sor´ an mi a k¨ ovetkez˝ o, egyszer˝ u form´ aj´ at haszn´ altuk: Ha a térben egy n pontb´ ol ´ all´ o P halmazt tetsz˝ oleges m´ odon felosztunk egy 1 6 k 6 6 n − 1 pontb´ ol ´ all´ o P1 és egy n − k pontb´ ol ´ all´ o P2 halmazra, akkor P s´ ulypontja megegyezik a P1 és P2 s´ ulypontjait ¨ osszek¨ ot˝ o szakaszt (n − k) : k ar´ anyban oszt´ o ponttal. olj¨ uk egy tetsz˝ oleges kezd˝ opontb´ ol a P pontjaiba mutat´ o vektorokat Bizony´ıt´ as. Jel¨ pi -vel, a s´ ulypontokba mutat´ o vektorok pedig legyenek rendre s, s1 és s2 . Ekkor a s´ ulypont helyvektor´ ara vonatkoz´ o képlet szerint s=

p1 + p2 + · · · + pn , n

s1 =

pi1 + pi2 + · · · + pik , k

Ezért s=

s2 =

pik+1 + pik+2 + · · · + pin . n−k

ks1 + (n − k)s2 , k + (n − k)

ami a szakaszt adott ar´ anyban oszt´ o pont helyvektor´ ara vonatkoz´ o ismert képlet alapj´ an bizony´ıtja tétel¨ unket. 57 dolgozat érkezett. 6 pontos 32, 5 pontos 11, 4 pontos 7, 3 pontos 1, 2 pontos 1, 1 pontos 2, 0 pontos 1 dolgozat. Nem versenyszer˝ u 1 dolgozat.

B. 4658. Oldjuk meg a 82x−1 − 1 = 343x−1 +

3 x 28 14

egyenletet. (6 pont) Megold´ as. A hatv´ anyok át´ırásával 23(2x−1) − 1 = 73(x−1) +

3 · 22x 7x . 14

Ebben a form´ aban már láthat´ o, hogy érdemes az a = 22x−1 és b = 7x−1 u ´j ismeretlenek bevezetésével kezelhet˝ obb szerkezet˝ uvé tenni egyenlet¨ unket. Az exponenciális kifejezések pozit´ıvak, teh´ at a, b > 0. a3 − b3 − 1 − 3ab = 0. A k¨ ovetkez˝ o lépéshez felhaszn´ aljuk az ismert ( ) u3 + v 3 + w3 − 3uvw = (u + v + w) u2 + v 2 + w2 − uv − vw − wu algebrai azonoss´ agot. (Az azonosság a jobb oldalon kijelölt szorzás elvégzésével és o¨sszevon´ assal néh´ any lépésben igazolható.) Legyen az azonoss´ agban u = a, v = −b és w = −1. Az eddigiek alapján az egyenlet bal oldala szorzatt´ a alak´ıtható: ( ) (a − b − 1) a2 + b2 + 1 + ab + a − b = 0. 346


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 347. oldal – 27. lap


i

Szorzat csak abban az esetben lehet nulla, ha egyik tényez˝oje nulla, ´ıgy elegend˝o az a − b − 1 = 0 és a2 + b2 + 1 + ab + a − b = 0 egyenleteket megoldani. Tekints¨ uk el˝obb a második egyenletet. Ezt – a szokásos m´ odon – kett˝ ovel szorozva, h´ arom teljes négyzet összegévé alak´ıthatjuk: 2a2 + 2b2 + 2 + 2ab + 2a − 2b = 0, 2

2

2

(a + b) + (a + 1) + (b − 1) = 0. Négyzet¨ osszeg csak abban az esetben lehet nulla, ha mindegyik tag nulla. Ebben 2 2 az esetben ez nem teljes¨ ulhet, mivel a és b is pozit´ıvak, vagyis (a + b) és (b + 1) is biztosan pozit´ıv. Az egyenlet ¨ osszes megold´ asait tehát kizárólag az a−b−1=0 esetb˝ ol kaphatjuk. A v´ altoz´ ok eredeti jelentése szerint pedig: 22x−1 − 7x−1 − 1 = 0. Alak´ıtsuk u ´gy az els˝ o tagot, hogy a kitev˝o ott is (x − 1) legyen: 2 · 4x−1 − 7x−1 − 1 = 0. Az egyenletet rendezve és osztva a pozit´ıv 4x−1 -nel: ( )x−1 ( )x−1 1 7 2− = . 4 4 Vizsg´ aljuk meg a két oldalon található f¨ uggvényeket konvexitás szerint. Mind ( 1 )x−1 ( 7 )x−1 , mind pedig az 4 kifejezésekkel meghatározott f¨ uggvények szigor´ uan a 4 konvexek az egész értelmezési tartományukon, a valós számok halmazán. A (−1)gyel t¨ ortén˝ o szorz´ as szemléletesen az x-tengelyre vonatkozó t¨ ukrözést jelent, ´ıgy ( )x−1 ( )x−1 az f (x) = − 41 , illetve a 2-vel fölfelé eltolt g(x) = 2 − 41 f¨ uggvény már szigor´ uan konk´ av. Ismert, hogy egy konvex és egy konkáv f¨ uggvénynek legfeljebb két metszéspontja lehet. Ezek a metszéspontok az x = 1 és x = 2 helyettes´ıtésekkel azonnal adódnak is. (2 − 1 = 1, illetve 2 − 41 = 74 .) ´ Atalak´ ıt´ asaink ekvivalensek voltak, ezért x = 1, x = 2 valóban megoldásai az eredeti egyenletnek. Csépai Andr´ as (Dunakeszi, Radnóti Miklós Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján ¨ Osszesen 79 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott 33, 5 pontot 1 versenyz˝ o. 4 pontos 4, 3 pontos szintén 4, 2 pontos 17 tanul´ o dolgozata. 1 pontot kapott 10, 0 pontot 9 tanul´ o. Nem versenyszer˝ u 1 dolgozat.


347

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 348. oldal – 28. lap


i

B. 4660. Egy k¨ ormérk˝ ozéses bajnoks´ agban mindenki mindenkivel pontosan egyszer j´ atszik. A gy˝ ozelem 3, a d¨ ontetlen 1, a vereség 0 pontot ér, pontegyenl˝ oség esetén a csapatok k¨ ozti sorrendet sorsol´ assal ´ allap´ıtj´ ak meg. A bajnoks´ ag jelenleg is tart, a tabell´ at az A csapat vezeti. Tudjuk, hogy ha A a h´ atralev˝ o fordul´ okban pontosan x pontot szerez még, akkor biztosan bajnok lesz. Ha viszont A t¨ obb, mint x pontot szerez, akkor nem biztos, hogy az élen végez. (A szerezhet még x-nél t¨ obb pontot.) H´ any fordul´ o van még h´ atra a bajnoks´ agb´ ol? (5 pont)

Javasolta: V´ıgh Viktor (Szeged)

Megold´ as. Jel¨ olj¨ uk n-nel a hátralev˝o fordulók számát. Meg fogjuk mutatni, hogy n > 1 esetén mindig lehet példát adni a feladat áll´ıtására, ám n = 1 esetén nem. Ha n = 1, akkor m´ ar csak 1 forduló van hátra, és amennyiben az A csapat több pontot szerez mint x, akkor is biztosan megnyeri a bajnokságot, hiszen már x pont szerzése estén is nyert volna. Ha n > 2, akkor x = 3n − 4-re adunk példát az áll´ıtásra. Legyen a tabellán 2. csapat a B, neki van a legnagyobb esélye, hogy utolérje az élen álló csapatot. Tegy¨ uk fel, hogy A j´ atszik még B-vel, hogy B a hátralév˝o többi, nem A ellen v´ıvott mérk˝ ozését megnyeri, és hogy rajtuk k´ıv¨ ul van még legalább két csapat, akik egym´ as k¨ oz¨ ott mindig d¨ ontetlent játszanak (ekkor ugyanis egyik sem éri utol a B csapatot sem). Az A csapat csak akkor szerezhet n fordulóban 3n − 4 pontot, ha kett˝o kivételével minden meccsét megnyeri, a maradék kett˝on pedig döntetlent játszik. Így ha A-nak k pontja volt, és B-nek k − 3, akkor A-nak k + 3n − 4 lesz, m´ıg B-nek (k − 3) + (3n − 2) = k + 3n − 5, vagyis A megnyeri a bajnokságot. A csak u ´gy szerezhet az utolsó n fordulóban 3n − 3 pontot, ha pontosan egy meccset elvesz´ıt, a t¨ obbit megnyeri. Ha a B ellen vesz´ıt, akkor a végén k + 3n − 3 pontja lesz, m´ıg B-nek k − 3 + 3n. Tehát pontegyenl˝oség alakul ki, ekkor sorsolással d¨ ontenek, vagyis nem biztos, hogy A nyer. A-nak lehet u ´gy 3-mal t¨ obb pontja, mint B-nek, ha az eddigi összes meccsét megnyerte, B pedig pontosan egyet elvesz´ıtett, a többit pedig megnyerte. Ha eddig m fordul´ o volt, akkor A-nak 3m, B-nek pedig 3m − 3 pontja van. A többi csapat egym´ assal mindig d¨ ontetlent j´ atszott, nekik m pontjuk van, kivéve a harmadik helyezettet, aki a B-t legy˝ ozte. Ennek a csapatnak m + 2 pontja van. Teljes¨ ulnie kell, hogy 3m − 3 > m + 2, amib˝ ol m > 3 következik. Tehát az általunk adott példában a fordul´ ok sz´ ama legal´ abb 3 + n, a csapatok száma pedig legalább 4 + n. ´ Isk. 12. évf.) és Bereczki Zolt´ an (Szegedi Radnóti Miklós K´ıs. Gimn. és Alt. Geng M´ até (Budapest, Németh László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján 58 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott 23 versenyz˝ o: Baran Zsuzsanna, Bereczki ´ Zolt´ an, Cseh Viktor, Csorba Benj´ amin, Czirkos Angéla, Eles M´ arton, Geng M´ até, Hansel Soma, Horeftos Leon, Horv´ ath Mikl´ os Zsigmond, Katona D´ aniel, Lajk´ o K´ alm´ an, M´ arkiZay Anna, Mikul´ as Zs´ ofia, M´ ocsy Mikl´ os, Nagy Kartal, Nagy-Gy¨ orgy P´ al, Schwarcz Tam´ as, Szak´ aly Marcell, Szebellédi M´ arton, Temesi Andr´ as, T´ oth Viktor, Z´ olomy Krist´ of. 4 pontos 13, 3 pontos 7, 2 pontos 8, 1 pontos 2, 0 pontos 1 dolgozat. Nem versenyszer˝ u: 4 dolgozat.

348


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 349. oldal – 29. lap


i

B. 4676. A sz´ amegyenesen egy bolha ugr´ al. A 0-b´ ol indul, minden ugr´ as´ anak hossza 1, és a k¨ ovetkez˝ o ugr´ as mindig p val´ osz´ın˝ uséggel az el˝ oz˝ ovel egyez˝ o, 1 − p val´ osz´ın˝ uséggel pedig ellentétes ir´ any´ u. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy visszajut a 0-ba? (6 pont) Megold´ as. Jel¨ olj¨ uk q-val annak a valósz´ın˝ uségét, hogy a bolha visszajut a 0-ba. A szimmetria miatt feltételezhetj¨ uk, hogy pozit´ıv irányba indul el. Jelölj¨ uk r-rel annak a val´ osz´ın˝ uségét, hogy az 1-b˝ol eljut a 0-ba, ha az 1-re a 2-b˝ol érkezett. Ha p = 1, akkor q = 0, biztos, hogy a bolha nem tér vissza a 0-ba. Tegy¨ uk fel mostant´ ol, hogy p ̸= 1. Az els˝o ugrás után feltevés¨ unk szerint a bolha az 1-ben van, innen 1 − p valósz´ın˝ uséggel egyb˝ol visszaugrik a 0-ba, p valósz´ın˝ uséggel pedig tov´ abb a 2-re. Utóbbi esetben annak a valósz´ın˝ usége, hogy a bolha visszatér az 1-be, szintén q. Ilyenkor az 1-be a 2-b˝ol érkezik, ´ıgy annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy ezut´ an eljut a 0-ba r. Ezért az alábbi egyenlet ´ırható fel: (1)

q = (1 − p) + pqr.

Most keress¨ unk ehhez hasonl´ o egyenletet r-re is. Miután az 1-be a 2-b˝ol érkezett, p val´ osz´ın˝ uséggel tov´ abbugrik a 0-ba, 1 − p valósz´ın˝ uséggel pedig visszaugrik a 2-re. Innen az el˝ oz˝ oekhez hasonl´ oan q valósz´ın˝ uséggel jut vissza az 1-re és onnan r valósz´ın˝ uséggel jut el a 0-ba, ezért (2)

r = p + (1 − p)qr.

A két egyenletet ¨ osszeadva r + q = qr + 1, amib˝ ol átrendezés és szorzatt´ a alak´ıtás után a 0 = (1 − q)(1 − r) uggést kapjuk. Ez az egyenl˝oség pontosan akkor teljes¨ ul, ha r = 1 vagy q = 1. összef¨ Ha r = 1, akkor (2)-be behelyettes´ıtve 1 = p + (1 − p)q, és ´ıgy (1 − p)(1 − q) = 0. Mivel p ̸= 1, azért q = 1, vagyis q = 1-nek mindenképpen teljes¨ ulnie kell. Teh´ at ha p ̸= 1, akkor 1 valósz´ın˝ uséggel visszajut a 0-ba, p = 1 esetén viszont biztos, hogy nem jut vissza. G´ asp´ ar Attila (Miskolc, Földes F. Gimn., 9. évf.) 41 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott 12 versenyz˝ o: Alexy Marcell, Csépai Andr´ as, D¨ obr¨ ontei D´ avid Bence, G´ asp´ ar Attila, Horv´ ath Mikl´ os Zsigmond, Katona D´ aniel, Kov´ acs Benedek, Nagy-Gy¨ orgy P´ al, Porups´ anszki Istv´ an, Schwarcz Tam´ as, Szebellédi M´ arton, Williams Kada. 5 pontos 6, 4 pontos 4, 3 pontos 1, 2 pontos 2, 0 pontos 15 dolgozat. Nem versenyszer˝ u: 1 dolgozat.


349

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 350. oldal – 30. lap


i

B. 4681. Mekkora a C. 1240. feladatban szerepl˝ o¨ otsz¨ og ter¨ ulete? (4 pont) Megold´ as. A C. 1240. feladat megoldásából∗ tudjuk, hogy valamennyi szakasz hossza 7 cm.

Jel¨ olj¨ uk a sz¨ ogeket az ´ abr´ an látható módon α-val, β-val és γ-val. Az egybevágós´ ag miatt BAE^ = CBG^ = IHG^ = α + γ. A CBGHI ¨ otsz¨ ogben a szögek összege: α + (360◦ − α − γ) + β + (α + γ) + γ = 3 · 180◦ = 540◦ , amib˝ ol α + β + γ = 180◦ . Ez azt mutatja, hogy a GB szakasz párhuzamos a HI szakasszal, ´ıgy a BGHI négysz¨ og rombusz, vagyis a BI távolság is a = 7 cm. Ekkor a CBI h´ aromsz¨ og szab´ alyos, amib˝ol α = 60◦ . Az α sz¨ og értékének ismeretében β + γ = 120◦ , valamint a szabályos háromszög és a rombusz sz¨ ogeib˝ ol az I pontban γ = 60◦ + β. Ezekb˝ol a szögek kiszám´ıthatók: ◦ ◦ β = 30 és γ = 90 . A rombusz magass´ aga: m = a · sin β = a2 , ter¨ ulete pedig TR = a · m = √

A CBI h´ aromsz¨ og ter¨ ulete: TH = T = TR + TH

a2 2 .

3 2 4 a .

A teljes CBGHI ötszög ter¨ ulete ´ıgy: √ 2+ 3 2 = a ≈ 45,72 cm2 . 4

Adorj´ an D´ aniel (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.) és Katona D´ aniel (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn. 12. évf.) dolgozata alapján 86 dolgozat érkezett. 4 pontos 63, 3 pontos 10, 2 pontos 2, 1 pontos 1, 0 pontos 10 dolgozat. ∗

350

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=C1240&l=hu.


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 351. oldal – 31. lap


i

B. 4691. Tekints¨ unk négy p´ arhuzamos egyenest a s´ıkon. Legyenek ezek sorrendben a, b, c és d. Tudjuk, hogy a és b t´ avols´ aga 1, b és c t´ avols´ aga 3, c és d t´ avols´ aga szintén 1. Tekints¨ uk azokat a téglalapokat, amelyek cs´ ucsai k¨ oz¨ ul mind a négy egyenesen pontosan egy helyezkedik el. Hogyan kapjuk meg azt a téglalapot, amelynek a lehet˝ o legkisebb a ter¨ ulete, és mekkora ez a ter¨ ulet? (3 pont) Megold´ as. Legyenek a téglalap a, b, c, és d egyeneseken lév˝ o cs´ ucspont´ ıtsunk jai rendre A, B, C, illetve D. All´ mer˝ olegeseket a B és C pontokból az a egyenesre, talppontjaik legyenek E és F (´ abra). A BAE^ = ACF ^ mer˝ oleges szár´ u sz¨ ogek, jel¨ olj¨ uk ˝oket α-val. Az ABE deréksz¨ og˝ u h´ aromszögben BE = 1, ´ıgy AB = sin1 α . Az ACF deréksz¨ og˝ u h´ aromszögben CF = 4, ´ıgy AC = cos4 α . A téglalap ter¨ ulete: 4 8 8 = = . sin α · cos α 2 · sin α · cos α sin 2α A téglalap ter¨ ulete akkor lesz minimális, ha sin 2α értéke maximális. Ez a 0 6 α 6 6 90◦ tartom´ anyban α = 45◦ -nál lesz, ekkor sin 2α = sin 90◦ = 1. T = AB · AC =

Teh´ at a legkisebb ter¨ ulet˝ u téglalap az lesz, ahol az AB oldal 45◦ -os szöget zár be az a egyenessel. Ekkor a téglalap ter¨ ulete T = 8 ter¨ uletegység. ´ ´ ad Gimn. 9. évf.) és Marozs´ ak T´ obi´ as (Budapest, Obudai Arp´ ´ Isk., 9. évf.) Szemerédi Levente (Szeged, Radnóti M. K´ısérleti Gimn. és Alt. dolgozata alapján 129 dolgozat érkezett. 3 pontos 86, 2 pontos 18, 1 pontos 15, 0 pontos 9 dolgozat. Nem versenyszer˝ u 1 dolgozat.

A K pontversenyben kit˝ uz¨ ott gyakorlatok ABACUS-szal k¨ oz¨ os pontverseny 9. oszt´ alyosoknak (463–468.) K. 463. Egy pénz¨ osszeget négy ember között osztottak szét. Az els˝o 3000 Fttal t¨ obbet kapott, mint a teljes összeg harmada, a második 6000 Ft-tal többet kapott, mint a teljes ¨ osszeg negyede, a harmadik 9000 Ft-tal többet kapott, mint a teljes o ode, a negyedik pedig 12 000 Ft-tal többet, mint a teljes o¨sszeg ¨sszeg o ¨t¨ hatoda. Hány forint volt a teljes o¨sszeg? K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

351

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 352. oldal – 32. lap


i

K. 464. Az iskol´ aban a tanár azt a feladatot adta, hogy 1-t˝ol 1000-ig számoljanak el a tanul´ ok. Egy sz´ am´ıtási lépés során kétféle dolog köz¨ ul választhatnak: az éppen aktu´ alis eredmény¨ uket megszorozzák egy általuk el˝ore kiválasztott egyjegy˝ u a sz´ ammal, vagy hozz´ aadnak 1-et. Melyik számot válasszuk a-nak, hogy a lehet˝ o legkevesebb lépésben teljes´ıts¨ uk a feladatot? K. 465. Egy kincsesl´ ada elektronikus zárszerkezetét nyolc darab kis kapcsoló vezérli. Minden kapcsol´ o kétféle állásban lehet, felfelé vagy lefelé kapcsolva. A zár akkor ny´ılik ki, ha minden kapcsoló felfelé áll. Bármelyik kapcsolót átkapcsolhatjuk egyik áll´ as´ ab´ ol a másikba. Egy automatika azonban érzékeli, hogy melyik kapcsoló áll´ as´ an v´ altoztattunk, és azonnal három másik kapcsolót is átkapcsol az aktuális áll´ as´ ab´ ol az ellenkez˝ o áll´ asba. (Az automatika által átkapcsolt kapcsolók továbbiakat már nem ford´ıtanak át.) Az alábbi táblázatban találhatjuk, hogy melyik kapcsol´ o áll´ as´ anak megv´ altoztatásakor melyik három kapcsoló állása változik meg (az egyszer˝ uség kedvéért megsz´ amoztuk a kapcsolókat).

´ Atkapcsolt kapcsol´ o 1 2 3 4 5 6 7 8 sorsz´ ama Vele egy¨ utt megv´ altoz´ o 2, 5, 7 1, 3, 8 5, 6, 7 1, 6, 8 2, 3, 6 2, 5, 8 1, 3, 4 1, 4, 7 kapcsol´ ok sorsz´ ama a) Kezdetben minden kapcsoló lefelé áll, kivéve a 6-ost és a 7-est. Ebb˝ol a helyzetb˝ ol indulva két kapcsoló átkapcsolásával ki tudjuk nyitni a ládát. Melyik két kapcsol´ ot kell haszn´ alnunk? b) Kezdetben minden kapcsoló lefelé áll, kivéve a 7-est. Ebb˝ol az állásból indulva kinyithat´ o-e a l´ ada a kapcsolók seg´ıtségével? K. 466. H´ any olyan egész szám van 1-t˝ol 2015-ig, melynek 10-es számrendszerbeli alakj´ aban van 5-¨ os, de nincs 7-es számjegy? K. 467. Legyen p egy 3-nál nagyobb és 1000-nél kisebb pr´ımszám. Mekkora az esélye, hogy p − 1 vagy p + 1 osztható 6-tal? K. 468. A 30−x us´ıthet˝o törtben az x pozit´ıv egész számot jelöl. Adjuk 91 egyszer˝ meg a t¨ ort ¨ osszes lehetséges értékét egyszer˝ us´ıtett alakban.

d Beku esi hat´ arid˝ o: 2015. okt´ ober 10. ¨ ld´ Elektronikus munkafu ¨ zet: https://www.komal.hu/munkafuzet C´ım: K¨ oMaL feladatok, Budapest 112, Pf. 32. 1518

d 352


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 353. oldal – 33. lap


i

A C pontversenyben kit˝ uzo ¨tt gyakorlatok (1301–1307.)

Feladatok 10. ´ evfolyamig C. 1301. Bizony´ıtsuk be, hogy ha x1 és x2 pozit´ıv valós számok, akkor ( ) 1 1 (x1 + x2 + 1) + + 1 > 9. x1 x2 C. 1302. Adott egy O k¨ ozéppont´ u, r sugar´ u kör, és rajta k´ıv¨ ul egy P pont. A P -b˝ ol h´ uzott érint˝ ok érintési pontjai a körön legyenek Q és R. Mekkora legyen az |OP | t´ avols´ ag, hogy a P QOR négyszög ter¨ ulete megegyezzen a kör ter¨ uletével? Feladatok mindenkinek C. 1303. Egy 130 cm2 ter¨ ulet˝ u, téglalap alak´ u origami pap´ır két szomszédos cs´ ucsát szimmetrikusan k¨ ozépre hajtottuk u ´gy, hogy a középre hajtott két oldal szab´ alyos háromsz¨ oget formáz az ´ abra szerint. Mekkor´ ak az eredeti pap´ırlap oldalai?

C. 1304. Két játékos felv´ altva fel´ır a táblára egy-egy természetes számot 1-t˝ol 10-ig. A szab´ aly szerint csak olyan számot ´ırhatnak fel, amely a táblán lév˝o számok egyikének sem oszt´ oja. Az a játékos vesz´ıt, aki a soron következ˝o lépését nem tudja megtenni. Mutassuk meg, hogy ha a kezd˝o játékos jól játszik, akkor biztosan nyer. C. 1305. Egy n egység oldal´ u négyzetb˝ ol spir´ alt kész´ıt¨ unk az ´ abr´ an láthat´ o módon u ´gy, hogy a négyzet cs´ ucs´ ab´ ol indulva, befelé haladva mindig egy egységgel azel˝ott t¨ orj¨ uk meg a vonalat, minthogy az belemetszene a spirál m´ ar meglév˝ o részébe. Hasonló módon az 1,8 n egység oldal´ u szabályos h´ aromsz¨ ogb˝ ol képzett spir´ aln´ al a metszéspontot mindig 1,8 egységgel el˝ozz¨ uk meg. (Az ábra n = 4 esetén mutatja a két spirált.) Milyen n érték mellett lesz a két spirál hossza megegyez˝ o? Feladatok 11. ´ evfolyamt´ ol C. 1306. Bizony´ıtsuk be, hogy ha egy háromszögben két oldal is legfeljebb akkora, mint a hozz´ ajuk tartozó magasság, akkor a háromszög egyenl˝o szár´ u deréksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og. K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

353

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 354. oldal – 34. lap


√ √ ) ( C. 1307. Milyen q val´ os számra lesznek a 3 − 5 , ( 3 5 5 − q ), (0,6 − sz´ amok egy mértani sorozat egymást követ˝o szomszédos elemei?

√1 5

i

)

Beku esi hat´ arid˝ o: 2015. okt´ ober 10. ¨ ld´ Elektronikus munkafu zet: https://www.komal.hu/munkafuzet ¨ C´ım: Ko ¨MaL feladatok, Budapest 112, Pf. 32. 1518

d

A B pontversenyben kit˝ uz¨ ott feladatok (4723–4731.)

B. 4723. Megadhat´ o-e végtelen sok pr´ımszám, melyek köz¨ ul bármely 2015 osszetett sz´ am? összege ¨ (3 pont)

Javasolta: Mész´ aros G´ abor (Budapest)

B. 4724. Oldjuk meg és ábrázoljuk az x + y − xy +

1 1 1 + − 62 x y xy

egyenl˝ otlenséget. (4 pont) B. 4725. Mutassuk meg, hogy ha egy egyszer˝ u gráfnak 7 cs´ ucsa van és nincs 4 hossz´ u k¨ ore, akkor van olyan cs´ ucsa, aminek a foka legfeljebb 2. (4 pont) B. 4726. Az ABCD négyzet AB, illetve BC oldalán lév˝o P , illetve Q pontra BP = BQ. Jel¨ olje T a B cs´ ucsb´ ol a P C szakaszra bocsátott mer˝oleges talppontját. Bizony´ıtsuk be, hogy a DT Q^ derékszög. (4 pont) B. 4727. Hat´ arozzuk meg az összes olyan f : R → R f¨ uggvényt, amelyre tetsz˝ oleges x, y-ra f (x + y) + f (x)f (y) = x2 y 2 + 2xy. (5 pont) B. 4728. Legyen e egy kocka valamelyik élegyenese. Hány olyan egyenes van a térben, ami a kocka 12 élegyenese köz¨ ul pontosan azokat metszi, amelyek e-hez képest kitér˝ ok? (3 pont) 354


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 355. oldal – 35. lap


i

B. 4729. Adott az ABCD négyszög, melynek C-nél és D-nél lev˝o szöge deréksz¨ og. Szerkessz¨ uk meg a CD szakasznak azt a P pontját, melyre AP D^ = 2 BP C^. (5 pont) B. 4730. Adottak a s´ıkon az egymást E-ben érint˝o k1 és k2 körök. Kijelölt¨ uk mindkét ki k¨ or¨ on (i = 1, 2) az Xi és Yi pontot u ´gy, hogy a két Xi Yi egyenes a körök k¨ oz¨ os bels˝ o érint˝ ojén messe egymást. Bizony´ıtsuk be, hogy az X1 X2 E és Y1 Y2 E k¨ or¨ ok centr´ alisa, valamint az X1 Y2 E és X2 Y1 E körök centrálisa szintén a közös bels˝ o érint˝ on metszi egym´ ast. (5 pont)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

B. 4731. Legyen 0 6 a, b, c 6 2, és a + b + c = 3. Határozzuk meg √ √ √ a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) legnagyobb és legkisebb értékét. (6 pont)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

Beku esi hat´ arid˝ o: 2015. okt´ ober 10. ¨ ld´ Elektronikus munkafu ¨ zet: https://www.komal.hu/munkafuzet C´ım: K¨ oMaL feladatok, Budapest 112, Pf. 32. 1518

d Figyelem! Az idei K¨ ursch´ ak József Matematikai Tanulóverseny 2015. október 9-én, pénteken 14 órakor ker¨ ul megrendezésre. A budapesti terembe (BME Informatika ép¨ ulet IB028) csak 2 órától lehet bemenni (el˝oadás lesz). További inform´ aci´ ot a Bolyai J´ anos Matematikai Társulattól lehet kérni a 201-6974-es telefonsz´ amon.

d Az A pontversenyben kit˝ uz¨ ott nehezebb feladatok (647–649.) A. 647. Legyen k nemnegat´ıv egész szám. Bizony´ıtsuk be, hogy csak véges sok n pozit´ıv egész esetén léteznek olyan diszjunkt A és B halmazok, amelyekre A ∪ B = {1; 2; . . . ; n} és ∏ ∏ a− b = k a∈A

b∈B

teljes¨ ul. Javasolta: Maga Bal´ azs (Budapest)


355

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 356. oldal – 36. lap


i

A. 648. Az ABC hegyesszög˝ u háromszög BC, CA és AB oldalainak felez˝opontjai rendre D, E, illetve F . A háromszög C pontból induló magasságának talppontja T1 . Egy, a C ponton áthaladó, de a T1 pontra nem illeszked˝o egyenesen az A-b´ ol és B-b˝ ol bocs´ atott mer˝olegesek talppontjai T2 , illetve T3 . Bizony´ıtsuk be, hogy a DEF k¨ or átmegy a T1 T2 T3 kör középpontján. Javasolta: B´ır´ o B´ alint (Eger) A. 649. Egy konvex poliédernek minden lapja négyszög. Mutassuk meg, hogy a poliéder lapjait h´ aromsz¨ ogekre bonthatjuk egy-egy átló megh´ uzásával u ´gy, hogy a poliéder minden cs´ ucs´ an´ al páros szám´ u háromszög találkozzon. Javasolta: Nagy J´ anos (Budapest) Beku esi hat´ arid˝ o: 2015. okt´ ober 10. ¨ ld´ Elektronikus munkafu ¨ zet: https://www.komal.hu/munkafuzet C´ım: K¨ oMaL feladatok, Budapest 112, Pf. 32. 1518

d

Informatik´ ab´ ol kit˝ uz¨ ott feladatok

I. 379. A nyugatot benépes´ıt˝o telepesek sokan ismerték egymást, akár még leveleztek is volna, de arr´ ol gyakran fogalmuk sem volt, hogy egy másik család vajon merre lehet. Postakocsi nem volt, csak a szomszédok találkoztak. Mivel más m´ odjuk nem volt, a ter¨ ulet feltérképezésére a következ˝ot találták ki: Ha két szomszéd tal´ alkozik, akkor kicserélik ismereteiket. Ez azt jelenti, hogy egyik a másikt´ ol megtudja, hogy az kikr˝ol tud már. Ha az adott illet˝or˝ol még nem tudott, akkor feljegyzi a nevét és azt, hogy kit˝ol hallott róla. Ha ezután b´ armilyen u an egyik telepes egy másiknak eljuttatni, akkor azt kéri ¨zenetet k´ıv´ meg a tov´ abb´ıt´ asra, akit˝ ol el˝ oször hallott róla. Megfelel˝ oen sok tal´ alkoz´ as után mindenki tudomást szerez a ter¨ ulet minden telepesér˝ ol. Feltételezz¨ uk, hogy kezdetben mindenki ismeri a szomszédjait, de más családokat nem. A szomszed.txt f´ ajl tartalmazza a szomszédság le´ırását. A talalkozas.txt pedig a tal´ alkoz´ asokat ´ırja le id˝orendben (ki, kivel). A standard bemenetr˝ ol olvassuk be, hogy ki kinek akar u uldeni. ¨zenetet k¨ Határozzuk meg, hogy h´ anyadik találkozást követ˝oen ind´ıthatja u ´tjára az u ¨zenetet, valamint azt, hogy az u ´ton jut el a c´ımzetthez. ¨zenet milyen u Példa (a t¨ obbsoros bemeneteknél a példában a sortörések helyett / jelet ´ırtunk):

356


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 357. oldal – 37. lap

szomszed.txt 1 2 / 1 3 / 1 4 / 1 5 / 2 3 / 2 6 / 2 7 / 2 8 / 2 9 / 8 10 / 8 11


talalkozas.txt 2 8 / 4 1 / 2 1 / 2 7

Bemenet 4 11

i

Kimenet 3 4 1 2 8 11

Bek¨ uldend˝ o egy t¨ om¨ or´ıtett i379.zip állományban a program forráskódja és megold´ as r¨ ovid le´ır´ as´ at bemutató dokumentáció, amely egyben megadja, hogy a forr´ as mely fejleszt˝ o k¨ ornyezetben ford´ıtható. ´ Táblázatkezel˝o programokkal viszonylag könny˝ ¨ ¨ I. 380. Or oknapt´ ar (E). u meghat´ arozni, hogy egy adott dátum milyen napra esik. Sajnos ezek a programok az 1900. janu´ ar 1. el˝ otti d´ atumokat nem kezelik. Ezekben az esetekben a szám´ı” tógép el˝ otti id˝ ok” hagyom´ anyos módszerét alkalmazhatjuk, amely három segédtábláb´ ol áll. Az els˝ o segédt´ abla az évhez rendel egy indexszámot, a második az ´ıgy kapott indexsz´ amhoz és a hónap sorszámához ad egy kulcsszámot. Vég¨ ul az ´ıgy kapott kulcssz´ am és a nap sorsz´ amának összegéb˝ol a harmadik tábla adja meg a nap nevét. Péld´ ankban 1848. m´ arcius 15-ét keress¨ uk. Az 1848-hoz tartozó indexszám 45, a 45-h¨ oz és a m´ arciushoz tartozó kulcsszám pedig 2. Vég¨ ul 2 + 15 összegét visszakeresve szerd´ at kapunk.

Ebben a feladatban a segédtáblák birtokában kell elkész´ıten¨ unk egy táblázatkezel˝ o munkalapját u ´gy, hogy az meghatározza, milyen napra esett egy adott d´ atum. A segédt´ abl´ akat a tablak.txt UTF kódolás´ u, tabulátorokkal tagolt állom´ any tartalmazza. 1. T¨ olts¨ uk be a t´ abl´ azatkezel˝o program egyik munkalapjára az A1 cellától kezdve a tablak.txt adatf´ ajlt, majd ments¨ uk a munkaf¨ uzetet oroknaptar néven a program alapértelmezett formátumában. 2. Els˝ o feladatunk az év indexszámának meghatározása, amit két lépésben fogunk elvégezni. Els˝o lépésben képlet seg´ıtségével jelen´ıts¨ uk meg a 36. sor celláiban, hogy a C1 cell´ aban megadott év a B5:T35 segédtábla adott oszlopában hányadik sorban szerepel. Ha az adott oszlopban nem szerepel az évszám, u ´gy a 36. sor megfelel˝ o cell´ aj´ aban 0-t jelen´ıts¨ unk meg. 3. M´ asodik lépésben f¨ uggvény seg´ıtségével jelen´ıts¨ uk meg a C1 cellában lév˝o év indexsz´ am´ at a C2 cell´ aban. Az indexszámot az A5:A35 tartományban találjuk, sorsz´ am´ at a 36. sor 0-t´ ol k¨ ulönböz˝o eleme adja meg. 4. K¨ ovetkez˝ o feladatunk a kulcsszám meghatározása az E2 cellában. A kulcsszám az el˝ oz˝ oekben meghat´ arozott indexszámtól és a hónap E1 cellában megadott sorsz´ am´ at´ ol f¨ ugg. A kulcsszámot az A39:M53 segédtáblából kell f¨ uggvény alK¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

357

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 358. oldal – 38. lap

5. 6.

7.

8.


i

kalmaz´ as´ aval visszakeresn¨ unk, a segédtábla oszlopait a hónapok azonos´ıtják (B39:M39), sorait pedig az indexszámok (A40:A53). A nap visszakereséséhez határozzuk meg képlettel a G2 cellában a kapott kulcssz´ am (E2) és a nap sorszámának (G1) összegét. Utols´ o lépésként meghat´ arozzuk az adott nap elnevezését. Ehhez keress¨ uk meg képlet alkalmaz´ as´ aval az A57:G63 segédtábl´ aban a G2 cellában kapott összeget, és ´ırassuk az I2 cell´ aba a sz´ am sorában, az utolsó oszlopban található nap nevét. Mindh´ arom segédt´ abla (A5:T35, A39:M53, A57:G63) celláit határoljuk bel¨ ul vékony, k´ıv¨ ul vastag vonallal. A megadott dátumhoz tartozó három cella, valamint a nap elnevezését tartalmazó cella tartalma legyen félkövér, háttere pedig halv´ anysz¨ urke. Feltételes form´ az´ as alkalmazásával emelj¨ uk ki félkövér, sötétvörös sz´ınnel: a) a B5:T35 tartom´ anyb´ ol a C1 cellában szerepl˝o évszámot, b) a B39:M39 oszlopfejlécb˝ol az E1 cellában szerepl˝o hónapot, c) az A40:A53 sorfejlécb˝ ol a C2 cellában szerepl˝o indexszámot, és d) a B40:M53 tartom´ anyból a G2 cellában szerepl˝o számértéket. Let¨ olthet˝ o fájl: tablak.txt. Minta:

Bek¨ uldend˝ o egy t¨ om¨ or´ıtett i380.zip állományban a megoldást tartalmazó munkaf¨ uzet és a megold´ as r¨ ovid le´ırását bemutató dokumentáció. I. 381. Kész´ıts¨ unk weblapot a HTML5 és CSS3 u ´jdonságainak rövid bemutatás´ ara, természetesen a fenti szabványoknak megfelel˝o formában. A kiindul´ o index.html oldal legyen olyan elrendezés˝ u, hogy fel¨ ul egy fejlécb˝ol, alul egy lábrészb˝ ol és k¨ ozépen egy tartalomrészb˝ol álljon. A fejlécbe helyezz¨ unk el a tém´ ahoz ill˝ o logókat bal oldalon, mellette jelenjen meg a HTML5 – CSS3 ” u ´jdons´ agok és érdekességek” c´ım. A tartalom részben 300 px széles, azonos magas358


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 359. oldal – 39. lap


i

ság´ u dobozok legyenek, amelyek egy-egy u ´jdonságot mutatnak be. A nyolc doboz mindegyike egy azonos méret˝ u képet és egy mondatot tartalmazzon, valamint legyen hivatkoz´ as egy olyan weboldalra, ahol a témát b˝ovebben kifejtik. Ezek között legyen egy olyan doboz, amelynek témáját a kedvenc.html oldalon mi magunk magyar´ azzuk el, az oldalon m˝ uköd˝o példával. A kedvenc.html oldal szerkezete legyen a f˝ ooldalhoz hasonl´ o, de a tartalom rész egy dobozában helyezz¨ uk el a kedvenc u ´jdons´ ag le´ır´ as´ at. A lábrészt impresszumként használjuk föl, ahol adjuk meg adataink (név, évfolyam, iskola, város) és a HTML5 és CSS3 ellen˝orzés logókat. A két oldal kinézetét és elrendezését egy közös forma.css állomány seg´ıtségével adjuk meg. A weboldal k¨ ul¨ onb¨ oz˝o méret˝ u megjelen´ıt˝okön is jól nézzen ki, tehát a megjelen´ıt˝ o szélességét˝ ol f¨ ugg˝ oen másként rendezz¨ uk el az oldalt. Egyrészt a fejléc és l´ abléc log´ oi csak k¨ ozepes és nagyobb megjelen´ıt˝okön legyenek láthatóak, de a sz¨ ovegek minden bet˝ uje mindig jelenjen meg. Másészt a f˝ooldal dobozai egymástól egyenl˝ o t´ avols´ agban legyenek elrendezve, a legnagyobb megjelen´ıt˝okön egy sorban négy, majd fokozatosan kevesebb, m´ıg a legkisebbeken soronként egy. Az oldal sz´ınvil´ aga a sz¨ urke árnyalataira ép¨ uljön, más sz´ınt csak a képeknél használjunk. Bek¨ uldend˝ o egy t¨ om¨ or´ıtett i381.zip állományban a weboldalt tartalmazó mappa. I/S. 1. Egy kisfesz¨ ultséggel m˝ uköd˝o áramkörben egy vékony fémlemez van, amelyb˝ ol egy automata k¨ orlemezeket vág ki. Feladatunk annak eldöntése, hogy az áramk¨ or z´ art marad-e a k¨ orlemezek eltávol´ıtása után, van-e kontaktus az A és a B pont k¨ oz¨ ott.

A fémlemez N × M (10 6 N, M 6 1000) téglalap alak´ u, amelyb˝ol K (0 6 K 6 6 100) k¨ ort v´ agunk ki. A k¨ or¨ ok metszhetik egymást, középpontjaik (xi , yi egészek) a lemezen bel¨ ul vannak, és a sugaraik (0 < ri 6 min(N, M )) ismert egészek. A fémlemez N hossz´ u és M széles, az A pont az x = 0, m´ıg a B pont az x = N helyen kapcsol´ odik a fémlemezhez (vagyis a lemez teljes oldalsó szélével össze vannak k¨ otve). A k¨ or¨ ok kiv´ ag´ asa a körlemez és ker¨ uletének eltávol´ıtásával jár, tehát az éppen érintkez˝ o k¨ or¨ ok érintkezési pontjai sem maradnak a fémlemezen. A program olvassa be a standard input els˝ o sorából N -et, M -et és K-t, majd a k¨ ovetkez˝ o K sorb´ ol a k¨ or¨ ok k¨ ozéppontjainak koordinátáit és sugarait (nemnegat´ıv egészek), majd ´ırja a standard output els˝o és egyetlen sorába a Vezet” vagy Nem ” ” vezet” szavakat att´ ol f¨ ugg˝ oen, hogy az áramkör zárt maradt-e a körök eltávol´ıtása ut´ an.


359

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 360. oldal – 40. lap

P´ elda 55 25 10 22 50


bemenet: 50 4 45 10 40 12 21 15 12 13

i

P´ elda kimenet: Vezet

Pontoz´ as és korl´ atok: A programhoz mellékelt, a helyes megoldás elvét tömören, de érthet˝ oen le´ır´ o dokumentáció 1 pontot ér. A programra akkor kapható meg a tov´ abbi 9 pont, ha b´ armilyen hibátlan bemenetet képes megoldani az 1 mp fut´ asid˝ okorl´ aton bel¨ ul. Bek¨ uldend˝ o egy t¨ om¨ or´ıtett is1.zip állományban a program forráskódja és dokument´ aci´ oja, amely tartalmazza a megoldás rövid le´ırását, és megadja, hogy a forr´ as´ allom´ any melyik fejleszt˝o környezetben ford´ıtható. S. 100. Adott N (1 6 N 6 300 000) db négyzet, melyek oldalai párhuzamosak a koordin´ ata-rendszer tengelyeivel. Minden négyzet pontosan K × K-as méret˝ u (1 6 K 6 1 000 000). Adottak a négyzetek középpontjai az (x; y) koordinátáikkal (−1 000 000 6 x, y 6 1 000 000). Optimális esetben a négyzetek nem lógnak egymásba, viszont el˝ ofordulhat, hogy egy vagy több négyzetpárnak mégis van közös ter¨ ulete. A program olvassa be a standard input els˝o sorából N -et és K-t, majd a következ˝ o N sorb´ ol az xi , yi k¨ ozéppontokat. A program ´ırjon a standard output els˝o és egyetlen sor´ aba 0-t, ha nincs egymásba lógó négyzetpár, -1-et, ha több négyzetp´ ar is egym´ asba l´ og, vég¨ ul a k¨ ozös ter¨ ulet nagyságát, ha pontosan egy négyzetpár lóg egym´ asba. Példa bemenet: 4 6 0 0 8 4 -2 1 0 7

Példa kimenet: 20

Magyar´ azat: az 1-es és a 3-as négyzetek lógnak egymásba. Pontoz´ as és korl´ atok: A programhoz mellékelt, a helyes megoldás elvét tömören, de érthet˝ oen le´ır´ o dokumentáció 1 pontot ér. A programra akkor kapható meg a tov´ abbi 9 pont, ha b´ armilyen hibátlan bemenetet képes megoldani az 1 mp fut´ asid˝ okorl´ aton bel¨ ul. Bek¨ uldend˝ o egy t¨ om¨ or´ıtett s100.zip állományban a program forráskódja, valamint a program r¨ ovid dokumentációja, amely a fentieken t´ ul megadja, hogy a forr´ as mely fejleszt˝ oi k¨ ornyezetben ford´ıtható. A feladatok megold´ asai regisztráció után a következ˝o c´ımen tölthet˝ok fel: https://www.komal.hu/munkafuzet Bek¨ uldési határid˝o: 2015. okt´ ober 10.

360


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 361. oldal – 41. lap


i

¨ ´ Ot erem a 46. Nemzetk¨ ozi Fizikai Di´ akolimpi´ an (Mumbai, India, 2015. j´ ulius 4–13.) A magyar csapat 4 ez¨ ustéremmel és 1 bronzéremmel végzett a Mumbaiban (India) j´ ulius 4. és 13. k¨ oz¨ ott megrendezett versenyen, és ezzel az országok közti nem-hivatalos versenyben 84 ország köz¨ ul az el˝okel˝o 12. helyezést érte el. A csapat és eredményeik (a maximális pontszám 50): ´ ¨ Oreg Botond (Budapesti Fazekas M. Gyak. Alt. Isk. és Gimn., 12. oszt.) ez¨ ustérem (41,9 pont), felkész´ıt˝ o tanár: Horv´ ath G´ abor; Holczer Andr´ as (Pécsi Janus Pannonius Gimn., 12. oszt.) ez¨ ustérem (38,2 pont), felkész´ıt˝ o tan´ ar: Dombi Anna, Kotek L´ aszl´ o; ´ Sal Krist´ of (Budapesti Fazekas M. Gyak. Alt. Isk. és Gimn., 11. oszt.) ez¨ ustérem (36,9 pont), felkész´ıt˝ o tanár: Kotek L´ aszl´ o, Horv´ ath G´ abor; Balogh Menyh´ ert (Budapest, Baár-Madas Református Gimn., 11. oszt.) ez¨ ustérem (33,9 pont), felkész´ıt˝ o tanár: Horv´ ath Norbert; Tompa Tam´ as Lajos (Miskolc, Földes F. Gimn., 10. oszt.) bronzérem (31,0 pont), felkész´ıt˝ o tan´ ar: Z´ amborszky Ferenc, Kov´ acs Benedek. Az orsz´ agok k¨ ozti nem-hivatalos verseny (pont- és éremtáblázat, az els˝o 30 helyezett): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Orsz´ ag K´ına Dél-Korea Tajvan USA Oroszorsz´ ag Hongkong Szingap´ ur Ir´ an Vietnam Thaif¨ old Rom´ ania Magyarorsz´ ag India Indonézia Ukrajna Orsz´ ag

1. 2.

K´ına Dél-Korea

Pontsz´ am 234,3 229,3 222,1 217,9 217,6 210,9 209,1 207,5 207,2 196,3 195,5 181,9 178,5 170,7 169,9 Arany´ erem 5 4


Orsz´ ag Jap´ an Németorsz´ ag ¨ enyorsz´ Orm´ ag Izrael Fehéroroszorsz´ ag Bulg´ aria Csehorsz´ ag T¨ or¨ okorsz´ ag Nagy-Britannia Franciaorsz´ ag Olaszorsz´ ag Lengyelorsz´ ag Ausztr´ alia Kanada Szlov´ akia

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Ez¨ ust´ erem

Bronz´ erem

Pontsz´ am 168,2 168,1 163,9 162,1 159,4 158,3 157,7 157,6 155,7 155,1 152,5 152,2 135,3 134,5 134,3 Dics´ eret

1

361

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 362. oldal – 42. lap

Orsz´ ag 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Tajvan USA Oroszorsz´ ag Hongkong Vietnam Ir´ an Rom´ ania Szingap´ ur Thaif¨ old Jap´ an Fehéroroszorsz´ ag Lengyelorsz´ ag ´ Esztorsz´ ag Kazahszt´ an Magyarorsz´ ag India Indonézia Ukrajna Németorsz´ ag Izrael Csehorsz´ ag T¨ or¨ okorsz´ ag ¨ enyorsz´ Orm´ ag Bulg´ aria Nagy-Britannia Franciaorsz´ ag Olaszorsz´ ag Szlov´ akia


Arany´ erem 4 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1

Ez¨ ust´ erem 1 1 1 2 2 3 2 4 4 2 1

4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1

Bronz´ erem

i

Dics´ eret

1

2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3

1 2 2

1 1

Az olimpi´ ara val´ o kész¨ ulés szokás szerint a budapesti (Sz´ asz Kriszti´ an, Tasn´ adi Tam´ as, Vank´ o Péter, Vigh M´ até ), miskolci (Z´ amborszky Ferenc), pécsi (Kotek L´ aszl´ o ) és szegedi (Hilbert Margit, Sarl´ os Ferenc) olimpiai szakkörökön, valamint a BME Fizika Tanszékén szervezett mérési foglalkozásokon kezd˝odött. Tavasszal két hétvégi felkész´ıt˝ o programot is rendezt¨ unk, ahol a szakkörvezet˝okön k´ıv¨ ul Gn¨ adig Péter és Honyek Gyula tartott el˝oadást. A csapatot a szakkörök résztvev˝oi és az orsz´ agos versenyeken kimagasl´ o eredményeket elért tanulók köz¨ ul az áprilisban megrendezett kétfordul´ os Kunfalvi Rezs˝o versenyen válogattuk ki. A résztvev˝oknek a versenyen az olimpi´ an szok´ asos st´ılus´ u elméleti és mérési feladatokat kellett megoldaniuk. Az egym´ ast k¨ ovet˝ o fordulók – az olimpiához hasonlóan – a versenyz˝ok fizikai áll´ oképességét is pr´ ob´ ara tették. A csapat kiválasztásánál a válogatóversenyen elért eredmény mellett a korábbi versenyeredményeket és a KöMaL mérési versenyében elért eredményt is figyelembe vett¨ uk. A felkész¨ ulés k¨ ovetkez˝ o lépéseként a csapat részt vett az immár hagyományos Rom´ an-Magyar el˝ oolimpi´ an. A verseny ebben az évben Romániában, Kolozsváron, 362


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 363. oldal – 43. lap


i

a belv´ arosban találhat´ o Unit´ arius Kollégiumban ker¨ ult megrendezésre. A versenyen az ¨ ot csapattagon k´ıv¨ ul három fiatalabb, a válogatóversenyen eredményesen szerepl˝ o di´ ak is részt vett. A versenyz˝oket Honyek Gyula, Vankó Péter és Vigh Máté k´ısérte. Ezen k´ıv¨ ul a Domb´ ov´ ar-Gunarason megrendezett nyári KöMaL-táboron tartottunk a csapatnak egy ¨ otnapos felkész´ıtést. A csapat j´ ulius 4-én, szombat reggel, Vankó Péter (BME Fizikai Intézet) és Vigh M´ até (ELTE Fizikai Intézet) csapatvezet˝okkel és Szász Krisztián (MTA Wigner Fizikai Kutat´ ointézet) megfigyel˝ovel indult Indiába, ahová frankfurti átszállás ut´ an m´ asnap kora hajnalban érkezett meg. Vas´ arnap délut´ an volt a (nagyon hossz´ u) megnyitó, majd a csapatvezet˝ok hétf˝on reggelt˝ ol (m´ asnap hajnalig) vitatták meg és ford´ıtották le a mérési feladatokat, amelyeket a versenyz˝ oknek kedd délel˝ott kellett megoldaniuk. A mérési feladatok a fény nemzetk¨ ozi évéhez ill˝ oen optikai mérések voltak: diffrakció seg´ıtségével kellett vizsg´ alni csavarvonal alak´ u (a DNS molekulát modellez˝o) szerkezeteket, valamint v´ız felsz´ınén kialakul´ o kapillárishullámokat. A mérésekhez a rendez˝ok na´ gyon j´ o min˝ oség˝ u eszk¨ oz¨ oket kész´ıtettek. Erdekess´ eg, hogy a mérés második része – az olimpiain´ al sokkal kezdetlegesebb berendezéssel – szerepelt a Kunfalvi válogat´ oversenyen is. Szerd´ an ismét a csapatvezet˝ok dolgoztak: megvitatták és leford´ıtották az elméleti feladatokat. Cs¨ ut¨ ort¨ ok¨ on délel˝ott, a mérési fordulóhoz hasonlóan, a versenyz˝ oknek ismét 5 ór´ ajuk volt a feladatok megold´ asára. Az els˝o feladat a Nap által kibocsátott fotonokkal és neutr´ınókkal foglalkozott, a második feladat a széls˝oértékelvekkel, m´ıg a harmadik feladat az atomreaktorok tervezésének néhány kérdésével. Az elméleti feladatok csal´ od´ ast okoztak: nem voltak sem k¨ ulönösebben érdekesek, sem nagyon eredetiek. A nehézséget a tavalyi évhez hasonlóan a hossz´ u levezetések, sz´ am´ıt´ asok okozt´ ak. (A feladatok szövege a KöMaL októberi, megoldásuk a novemberi sz´ am´ aban fog megjelenni.) A két fordul´ o k¨ oz¨ ott és a verseny után a rendez˝ok k¨ ulönböz˝o programokat szerveztek Mumbaiban, és a diákoknak Mumbaion k´ıv¨ ul is. Mindnyájan jártunk Dél-Mumbai v´ arosk¨ ozpontj´ aban, ahol sok szép, az angol gyarmati id˝ob˝ol származó ép¨ ulet l´ athat´ o, k¨ or¨ ul¨ otte pedig hatalmas forgalom, utcai árusok és rengeteg ember. A tan´ arok ell´ atogattak a Mumbai északi részébe beékel˝od˝o Sanjay Gandhi nemzeti parkba, ahol megnézték a buddhista szerzetesek által az ókorban kivájt Kanheri barlangokat, és egy r¨ ovid l´ atogatást tettek a Godrej lakatgyárban. A diákok egy vid´ amparkban és egy traktorgy´ arban jártak. Szabadid˝ onkben bement¨ unk a városba, és sétáltunk a szálloda környékén is. Megd¨ obbent˝ o, hogy egym´ ashoz milyen közel látni ép¨ ul˝o felh˝okarcolókat, nyolcsávos utakat, luxuscikkek óri´ asplak´ atjait és hatalmas dobozvárosokat, szeméttel bor´ıtott nyomortelepeket. Rengeteg kisgyerek is él az utcán. Eközben a csapatvezet˝ok és a rendez˝ ok is kijav´ıtott´ ak a dolgozatokat, majd következett a szokásos egyeztetés a végleges pontsz´ amr´ ol. A verseny szabályai és a versenyz˝ok által elért eredmények alapján 42,2 pontt´ ol aranyérmet, 33 ponttól ez¨ ustérmet, 24 ponttól bronzérmet és 18 pontt´ ol dicséretet lehetett kapni.


363

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 364. oldal – 44. lap


i

Vas´ arnap délel˝ ott ker¨ ult sor a (megnyitónál is hosszabb) d´ıjkiosztóra és záró´ u ans t´ oparti szállodában a b´ ucs´ uebédre. Ejszakai indulás¨nnepségre, majd egy eleg´ sal és m¨ uncheni átsz´ all´ assal 13-án, hétf˝on délel˝ott érkezt¨ unk haza. K¨ osz¨ onettel tartozunk az Emberi Er˝oforrások Minisztériumának, a BME Fizikai Intézetnek és az ELTE Fizikai Intézetének, melyek a válogatóversenyek és a felkész´ıtés sor´ an helyet és eszk¨ oz¨ oket biztos´ıtottak a munkához, valamint a MOL-nak és az MTA Energiatudom´ anyi Kutatóközpontnak anyagi támogatásukért. J¨ ov˝ ore az olimpi´ at j´ ulius 10–18. között a svájci Z¨ urichben rendezik meg. A versenyre val´ o felkész¨ ulést az idei évt˝ol már 4 vidéki szakkör, valamint a budapesti elméleti és mérési szakkör seg´ıti (a szakkörökr˝ol a legátfogóbb információ a http://ipho.elte.hu/ honlapon található): ´ Sz´ ekesfeh´ erv´ ar: Orosz G´ abor (Obudai Egyetem Alba Regia M˝ uszaki Kar, Székesfehérv´ ar, Budai u ´t 45.), Szeged: Hilbert Margit (Szegedi Tudományegyetem, Dóm tér 9. I. em. Budó ´ Agoston terem), P´ ecs: Kotek L´ aszl´ o (Pécsi Tudományegyetem, Fizikai Intézet, Ifj´ uság u ´tja 6.), Miskolc: Z´ amborszky Ferenc (Földes Ferenc Gimn., 3525 Miskolc, H˝osök tere 7.), Budapest: Vank´ o Péter (BME, Fizikai Intézet, 1111 Budafoki u ´t 8. Fizikus Hallgat´ oi Labor, F ép¨ ulet, III. lépcs˝oház, II. emelet). Az elméleti szakkört hétf˝onként 3-t´ ol 5 ór´ aig tartjuk, jelentkezni nem kell, az els˝o foglalkozás október 5-én lesz. Info: http://eik.bme.hu/~vanko/labor/Bpszakkor.pdf. A tehetséggondozó mérési szakk¨ orre ´ır´ asban jelentkezni kell (err˝ol lásd még k¨ ulön felh´ıvásunkat). Info: http://eik.bme.hu/~vanko/labor/Tehetseggondozas.pdf. A fenti szakk¨ or¨ ok¨ on val´ o akt´ıv részvétel mellett els˝osorban önálló munkával, a K¨ oMaL elméleti és mérési feladatainak rendszeres megoldásával lehet kész¨ ulni a j¨ ov˝ o évi Fizikai Di´ akolimpi´ ara. Eredményes felkész¨ ulést k´ıvánunk! Sz´ asz Kriszti´ an, Vank´ o P´ eter és Vigh M´ at´ e

Tehets´ eggondoz´ as: M´ er´ esi szakko uszaki ´ es ¨r a Budapesti M˝ Gazdas´ agtudom´ anyi Egyetem Fizikai Int´ ezet´ eben A fizika ir´ ant érdekl˝ od˝ o, tehetséges k¨ ozépiskol´ as di´ akok sz´ am´ ara a BME Fizikai Intézet gyakorlati foglalkoz´ asokat tart. A foglalkoz´ asokon lehet˝ oséget biztos´ıtunk arra, hogy a tanul´ ok mér˝ op´ arokban fizikai k´ısérleteket és méréseket végezhessenek. A foglalkoz´ asokra okt´ obert˝ ol kezd˝ od˝ oen kéthetente, kedden 15.00-t´ ol 18.00-ig ker¨ ul sor, ¨ osszesen t´ız alkalommal. Inform´ aci´ o: http://mono.eik.bme.hu/∼vanko/labor/Tehetseggondozas.pdf. Az érdekl˝ od˝ ok e-mail-ben jelentkezhetnek 2015. szeptember 30-ig az al´ abbi c´ımen: [email protected] Els˝ osorban a gimn´ aziumok utols´ o két évfolyam´ ara j´ ar´ ok jelentkezését v´ arjuk. A jelentkez˝ ok ´ırjanak p´ ar sort magukr´ ol, ismertessék a fizika és a matematikai tanulm´ anyaik

364


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 365. oldal – 45. lap


i

sor´ an elért eredményeiket (versenyeredmények, K¨ oMaL szereplés stb.) és tov´ abbtanul´ asi elképzeléseiket. A foglalkoz´ asok ingyenesek! Minden jelentkez˝ ot e-mail-ben értes´ıt¨ unk (aki nem kap v´ alaszt, k¨ uldje el még egyszer a jelentkezését).

Vank´ o P´ eter

Kunfalvi Rezs˝ o Olimpiai V´ alogat´ overseny1 Budapest, 2015. ´ aprilis 8–10. 1. fordul´ o, elm´ eleti r´ esz2 1. feladat. (Ez a feladat három f¨ uggetlen, kisebb részb˝ol áll.)

(150 p)

1.A. Egy f¨ ugg˝ oleges tengely˝ u mér˝ohenger falába s˝ ur˝ un, egyenletes elrendezésben apr´ o lyukakat f´ urtunk. A hengert H magasságig feltöltj¨ uk v´ızzel, melynek k¨ ovetkeztében a lyukakon (a mér˝ohenger falára mer˝olegesen) vékony v´ızsugarak lövellnek ki. Milyen alak´ u a v´ızsugarak burkolófel¨ ulete? (A v´ızsugarak nem akadályozz´ ak egym´ ast, és folyamatos utántöltéssel gondoskodunk a hengerben a v´ızszint álland´ os´ ag´ ar´ ol.) (50 p) 1.B. H˝ oszigetelt hengert egy könnyen mozgó, h˝oszigetel˝o dugatty´ u oszt két részre az 1. ´ abr´ an l´ athat´ o módon. A két rekeszben azonos anyagmennyiség˝ u és

1. ´ abra 1

Kunfalvi Rezs˝ o (1905–1998) a Nemzetk¨ ozi Fizikai Di´ akolimpi´ ak egyik alap´ıt´ oja és sok éven kereszt¨ ul a magyar csapat felkész´ıt˝ oje, vezet˝ oje volt. 1959-t˝ ol 1975-ig ˝ o szerkesztette a K¨ oMaL (kor´ abban KML) fizika rovat´ at”. Emlékét az olimpiai v´ alogat´ overseny is ˝ orzi. ” 2 Az elméleti fordul´ o id˝ otartama 4 ´ ora volt. A feladatok hib´ atlan megold´ as´ aval ¨ osszesen 450 pontot lehetett szerezni. Az ¨ osszes feladathoz egyetlen, k¨ oz¨ os adatt´ abl´ azat tartozik (l´ asd a feladatsor végét), ami a feladatokban szerepl˝ o konstansokat, fizikai ´ alland´ okat és hasznos matematikai ¨ osszef¨ uggéseket tartalmazza. A feladatok megold´ as´ ahoz ´ır´ o- és rajzeszk¨ oz¨ ok¨ on, valamint kétsoros (nem grafikus) sz´ amol´ ogépen k´ıv¨ ul semmilyen segédeszk¨ oz (k¨ onyv, f¨ uzet, internet, sz´ am´ıt´ ogép, mobiltelefon stb.) nem volt haszn´ alhat´ o. A verseny igyekezett k¨ ovetni a Nemzetk¨ ozi Fizikai Di´ akolimpia elméleti versenyeinek st´ılus´ at, nehézségi fok´ at, és azok formai k¨ ovetelményeihez igazodott. A feladatokat Vigh M´ até (ELTE), a magyar csapat egyik felkész´ıt˝ oje ´ all´ıtotta ¨ ossze. A feladatok megold´ as´ at a j¨ ov˝ o havi sz´ amunkban k¨ oz¨ olj¨ uk.


365

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 366. oldal – 46. lap


i

(kezdetben) azonos h˝omérséklet˝ u héliumgáz van. A bal oldali térrészben lév˝o gázt egy f˝ ut˝ osz´ al seg´ıtségével lassan meleg´ıteni kezdj¨ uk. Mekkora ebben a folyamatban a bal oldali gáz mólh˝ oje, amikor a dugatty´ u elmozdulása még kicsi? (50 p) 1.C. Egy nagyméret˝ u, négyzet alak´ u, vékony fémlemez anyagának fajlagos ellenállását szeretnénk megmérni. Ehhez a lemez egyik cs´ ucsának közelében kiválasztjuk a két szomszédos oldalélen található A, B, C és D pontokat a 2. ´ abr´ an látható módon. (Az A és B pontok távolsága a kiválasztott cs´ ucstól 2d, a C és D pontoké pedig d, ahol d sokkal kisebb a fémlemez oldalhosszánál.)

2. ´ abra

Ha az A pontba I er˝osség˝ u áramot vezet¨ unk, a B pontból pedig elvezetj¨ uk azt, akkor a C és D pontok közé kapcsolt voltmér˝o U fesz¨ ultséget jelez. Határozzuk meg a fémlemez ϱ fajlagos ellenállását, ha tudjuk, hogy a lemez vastagsága δ! (50 p)

2. feladat. Furfangos sz¨ ok˝ ok´ ut

(150 p)

K¨ oztereken, parkokban gyakran láthatunk olyan szök˝okutat, amely v´ızen ” u ´sz´ o” gr´ anitg¨ ombb˝ ol vagy gránithengerb˝ol áll (lásd a 3. ´ abr´ at). Az ilyen szök˝okutak felép´ıtése a k¨ ovetkez˝ o: a (rendszerint tömör) gránitgömb vagy gránithenger egy j´ ol illeszked˝ o v´ aly´ uban tal´ alható, melynek alján rés van. A résen kereszt¨ ul egy szivatty´ u folyamatosan vizet pumpál a vály´ uba, amely a vály´ u pereménél kifolyik. A gránitt¨ omb és a v´ aly´ u k¨ oz¨ ott vékony (általában 1–2 milliméter vastagság´ u) v´ız-

3. ´ abra

366

4. ´ abra


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 367. oldal – 47. lap


i

réteg alakul ki, ´ıgy a gr´ anit nem érintkezik a vály´ u falával, csak a v´ızzel. Vajon hogyan képes megtartani a v´ız a nála sokkal nagyobb s˝ ur˝ uség˝ u gránittömb s´ ulyát? Ez a feladat ezzel a kérdéssel foglalkozik. Az egyszer˝ uség kedvéért a gránittömböt egy L hossz´ uság´ u, R sugar´ u, ϱ s˝ ur˝ uség˝ u t¨ om¨ or hengernek tekintj¨ uk, ahol L ≫ R. A vály´ u alján található befolyóny´ılás legyen egy L hossz´ us´ ag´ u, keskeny rés, ´ıgy a feladat során elegend˝o csupán a 4. ´ abr´ an láthat´ o s´ıkmetszetben vizsg´ al´ odnunk. A vály´ u magasságát a θmax szöggel jellemezhetj¨ uk. A résen áthalad´ o v´ızhozamot az id˝oegység alatt befolyó v´ız térfogatával ´ırhatjuk le, amely id˝ oben állandó: Qbe ≡

∆V . ∆t

A feladatban vizsgált konkrét szök˝ok´ utnál legyen L = 2 m, R = 0,3 m, θmax = 30◦ ; a gr´ anit ϱ s˝ ur˝ usége pedig a v´ız ϱv´ız s˝ ur˝ uségének 2,75-szerese. 2.1. A v´ız hidrosztatikai felhajtóereje nyilván nem képes megtartani a gránithenger s´ uly´ at. Adjuk meg a felhajtóer˝o és a gránithengerre ható nehézségi er˝o hányados´ at ϱ, ϱv´ız és θmax seg´ıtségével, majd adjuk meg az eredményt számszer˝ uen is! (10 p) A tov´ abbiakban a felhajt´ oer˝o szerepét hanyagoljuk el! A gránithengert megtart´ o er˝ o megértéséhez figyelembe kell venn¨ unk az áramló v´ız bels˝o s´ urlódását. Ehhez tekints¨ unk egy folyadékot, amely két v´ızszintes, párhuzamos, egymástól h távols´ agra lév˝ o s´ıklap k¨ oz¨ ott lassan áramlik x irányban (lásd az 5. ´ abr´ at).

5. ´ abra

Ha két szomszédos folyadékréteg (például az 5. ábrán látható, az alsó s´ıklaptól z és z + ∆z t´ avols´ agra tal´ alható rétegek) k¨ ulönböz˝o sebességgel mozog, akkor k¨ oz¨ ott¨ uk a ∆v relat´ıv sebesség¨ ukkel és az érintkezési fel¨ ulet¨ uk nagyságával arányos s´ url´ od´ asi er˝ o ébred (Newton-féle s´ urlódási törvény): (1)

F = ηA

∆v , ∆z

ahol η a folyadék anyag´ ara jellemz˝o állandó, a viszkozitás. Ez az er˝o benne van a folyadékok érintkezési fel¨ uletének s´ıkjában, és a relat´ıv sebességgel ellentétes ir´ anyba mutat. A σ = F/A mennyiséget ny´ırófesz¨ ultségnek nevezz¨ uk. 2.2. Mivel a folyadék z ir´ anyban nem áramlik, ´ıgy ebben az irányban nem hat ny´ırófesz¨ ultség, ezért a folyadékban a nyomás csak az x koordinátától f¨ ugg, z-t˝ol nem. Mutassuk meg, hogy stacionárius (id˝oben állandó) áramlás esetén a σ(z) K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

367

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 368. oldal – 48. lap


i

ny´ır´ ofesz¨ ultség térbeli v´ altoz´ asa (gradiense) és a p(x) nyomás gradiense között fenn´ all a ∆p ∆σ = ∆x ∆z

(2) uggés. összef¨

(20 p)

2.3. A (2) egyenlet bal oldala csak x-t˝ol, jobb oldala pedig csak z-t˝ol f¨ ugg, ezért mindkét oldalnak k¨ ul¨ on-k¨ ulön állandónak kell lennie. Jelölj¨ uk ezt az állandót −K-val, ahol K pozit´ıv mennyiség: ∆p ∆σ = = −K. ∆x ∆z Lássuk be, hogy a s´ıklapok k¨ oz¨ ott a folyadék sebessége a v(z) = Az 2 + Bz + C

(3)

f¨ uggvénnyel ´ırhat´ o le, és hat´ arozzuk meg az A, B és C konstansok értékét η, h és K seg´ıtségével! (A folyadék sebessége a s´ıklapoknál nulla.) (25 p) 2.4. A sz¨ ok˝ ok´ ut esetében a v´ızréteg vastagsága sokkal kisebb a gránithenger sugar´ an´ al, ezért haszn´ alhatjuk a 2.2–2.3 részfeladatokban kapott eredményeket. Hat´ arozzuk meg, mekkor´ anak kell lennie a t´ ulnyomásnak a vály´ u alján (a v´ız beáraml´ asi pontj´ an´ al) ahhoz, hogy a gránithenger egyens´ ulyban legyen! Válaszunkat ϱ, R, θmax és a g nehézségi gyorsulás seg´ıtségével adjuk meg! (Szám´ıtásainkban a hengerre érint˝ oir´ anyban ható ny´ırófesz¨ ultség hatását és a Bernoulli-törvényb˝ol sz´ armaz´ o nyom´ ascs¨ okkenést hanyagoljuk el.) (30 p) 2.5. Hat´ arozzuk meg a v´ aly´ u alján található ny´ıláson beáramló v´ız Qbe hozam´ at, ha ismert, hogy a v´ aly´ u és a gránithenger közötti v´ızréteg vastagsága h. A v´ alaszt az η, ϱ, θmax , g, L és h mennyiségek felhasználásával adjuk meg. (25 p) 2.6. Ha a gránithengert tengelye kör¨ ul forgásba hozzuk, a 2.3. részfeladatban a v´ız sebességprofiljára kapott (3) formulát módos´ıtani kell egy z-vel egyenesen arányos tag hozzáadásával: v(z, ω) = v(z) ± Dz,

6. ´ abra

368

ahol v(z, ω) a henger ω szögsebességét˝ol f¨ ugg˝o sebességprofil, D a szögsebességet tartalmazó arányossági tényez˝o, a ± el˝ojel pedig a henger két oldalán áramló folyadékrészre utal. Fejezz¨ uk ki D értékét ω, R és h seg´ıtségével, ha továbbra is fennáll, hogy a v´ız falakhoz viszony´ıtott relat´ıv sebessége zérus. (15 p) K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 369. oldal – 49. lap


i

2.7. Forg´ as k¨ ozben a v´ız által kifejtett ny´ırófesz¨ ultség fékezi a gránithengert. Milyen mozgást végez ekkor a henger? Adjuk meg a henger szögsebességét az id˝o f¨ uggvényében, ha a kezdeti sz¨ ogsebessége ω0 . A választ ϱ, R, h, θmax , ω0 és η seg´ıtségével adjuk meg! (25 p) 3. feladat. Feh´ er t¨ orp´ ek keletkez´ ese (150 p) A Naphoz hasonl´ o, élet¨ uk derekán járó csillagok stabil objektumok. A csillag belsejében magf´ uzi´ ou ´tj´ an folyamatosan termel˝od˝o energia igyekezne a csillag anyagát kifelé l¨ okni; ez az effektus akadályozza meg a gravitációs összeomlást és tartja fenn a stabil egyens´ ulyt. Az egyens´ ulyi állapot mindaddig fennáll, am´ıg el nem fogy az ¨ osszes hidrogén: ekkor a gravitációs vonzás elkezdi összeroppantani a csillagot. A Nappal megegyez˝ o (vagy ahhoz közeli) tömeg˝ u csillagok esetében ez az összeroskad´ as nem tart ¨ or¨ okké: a fehér t¨ orpe állapot elérésével a csillag stabilizálódik, az ¨ osszeroppan´ as befejez˝ odik. Ez a feladat a fehér törpék keletkezésének fizikájával foglalkozik. 3.1. Vizsg´ aljunk egy g¨ omb alak´ u, R sugar´ u, M tömeg˝ u csillagot. Az egyszer˝ uség kedvéért tegy¨ uk fel, hogy a csillag tömegeloszlása egyenletes. Határozzuk meg a csillag teljes Egrav gravit´ aci´ os energiáját! (30 p) A magf´ uzi´ o le´ all´ asakor a gravitáció összeh´ uzó hatását kezdetben semmi sem tudja ellens´ ulyozni, ezért a csillag sugara csökkenni kezd. Ez a folyamat azonban egy kvantummechanikai hat´ asnak (a csillagban lév˝o elektronok u ń. degener´ aci´ os nyom´ as´ anak ) k¨ osz¨ onhet˝ oen meg´ allhat, és a csillag stabil végállapotba ker¨ ulhet (fehér t¨ orpe). A 3.2.–3.4. részfeladatok a degenerációs nyomás fizikai okával foglalkoznak. 3.2. Tekints¨ unk egy L oldalél˝ u, kocka alak´ u dobozba zárt elektront. A deréksz¨ og˝ u koordin´ ata-rendszer¨ unk tengelyeit válasszuk a kocka oldaléleivel párhuzamosnak. Adjuk meg az elektron (px , py , pz ) impulzuskomponenseinek lehetséges értékeit L és a h Planck-´ allandó seg´ıtségével! (20 p) 3.3. Ha a 3.2. részfeladatban szerepl˝o kocka alak´ u dobozba nem egy, hanem N darab (N ≫ 1) elektront helyez¨ unk, akkor alapállapotban az elektronok a lehetséges legalacsonyabb energi´ aj´ u állapotokat töltik be. (Most és a továbbiakban az elektronok k¨ oz¨ otti Coulomb-kölcsönhatást hanyagoljuk el, mert az a kvantumos viselkedésb˝ ol sz´ armaz´ o er˝ ohatásnál sokkal gyengébb.) A Pauli-elv értelmében azonban egyszerre legfeljebb két elektron lehet ugyanabban a (px , py , pz ) számhármassal jellemzett kvantum´ allapotban. Mutassuk meg, hogy alap´ √ allapotban azok az elektron´ allapotok bet¨ olt¨ ottek, melyek impulzusára fennáll a p2x + p2y + p2z 6 pmax egyenl˝ otlenség, és adjuk meg pmax (közel´ıt˝o) értékét L és N f¨ uggvényében! (30 p) 3.4. Mutassuk meg, hogy ekkor az N elektront tartalmazó rendszer teljes (kinetikus) energiája h2 β γ N L EN = α · me alak´ u, ahol α, β és γ dimenzi´ otlan konstansok. Határozzuk meg ezen konstansok sz´ amszer˝ u értékét! (Vegy¨ uk figyelembe, hogy N nagy, ezért a szummázást integrállal k¨ ozel´ıthetj¨ uk. A kocka alak´ u doboz mérete elegend˝oen nagy ahhoz, hogy a bezárt elektronok viselkedése nemrelativisztikus legyen.) (40 p) K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

369

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 370. oldal – 50. lap


i

Mivel a csillagok nem kocka alak´ uak, a degenerációs energia pontos kiszám´ıtás´ ahoz a 3.4. részfeladatban kapott egyenlet kis változtatásra szorul. L helyére a csillag R sugar´ at helyettes´ıtve, valamint α értékét módos´ıtva azonban helyes formul´ ahoz jutunk: ( )4/3 2 h 3 3 N β Rγ , EN = 2/3 4π me 10 · 2 ahol β és γ a kor´ abban kapott értékek, N pedig az elektronok száma. (A csillag uk, hogy ugyanannyi protont tartalmaz, mint összességében semleges, és feltehetj¨ elektront. A protonok is létrehoznak degenerációs nyomást, ez azonban a nagy tömeg¨ uk miatt sokkal kisebb, mint az elektronok járuléka, ezért elhanyagolható.) 3.5. A csillag teljes energi´ aja az Egrav gravitációs energia és az EN degenerációs ´ energia ¨ osszege. Irjuk fel a teljes energiát a csillag sugarának f¨ uggvényében, majd határozzuk meg a csillag végs˝ o, egyens´ ulyi Rft sugarát, az u ´gynevezett fehér törpe rádiuszt! Sz´ am´ıtsuk is ki sz´ amszer˝ u értékét a Nap esetére! (30 p) Fizikai ´ alland´ ok t´ abl´ azata univerz´ alis gáz´ allandó: gravit´ aci´ os állandó: Planck-´ alland´ o: elektron t¨ omege: proton t¨ omege: a Nap t¨ omege:

R = 8,314 J/(mol · K) G = 6,67 · 10−11 m3 /(kg s2 ) h = 6,626 · 10−34 Js me = 9,109 · 10−31 kg mp = 1,673 · 10−27 kg M⊙ = 1,989 · 1030 kg

Hasznos matematikai ¨ osszefu esek ¨ gg´ ∫ n+1 x 1 xn dx = + C (n ̸= −1); dx = ln |x| + C; n+1 x ∫ ∫ cos x dx = sin x + C; x cos x dx = x sin x + cos x + C. ∫

Versenyfelh´ıv´ as a 2016-os Ifj´ u Fizikusok Nemzetk¨ ozi Verseny´ enek (International Young Physicists’ Tournament, IYPT)

magyarorsz´ agi fordul´ oj´ ara Szeretettel v´ arjuk minden – a fizika iránt érdekl˝od˝o, angolból is u ¨gyes – középiskol´ as di´ ak jelentkezését egy izgalmas és modern kih´ıvásokat ny´ ujtó versenyre. A Fizika Vil´ agbajnoks´ agnak is nevezett IYPT közel 30 ország csapatának ny´ ujt lehet˝ oséget, hogy ¨ osszemérjék tudásukat, rátermettség¨ uket és kommunikációs készség¨ uket 17 el˝ ore megadott, u ń. ny´ılt vég˝ u fizikai problémán kereszt¨ ul. Az IYPT a XXI. sz´ azad kih´ıvásainak megfelel˝o készségeket vár el az indulóktól: nemcsak a fizik´ aban kell jártasnak lenni, hanem az eredményeket prezentálni és 370


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 371. oldal – 51. lap


i

megvédeni is tudni kell! A résztvev˝o diákok a versenyt megel˝oz˝oen elvégzett fizikai méréseiket és kutat´ asaikat egy – angol nyelven el˝oadott – tudományos prezentáció form´ aj´ aban mutatj´ ak be két rivális csapatnak. A másik két csapat köz¨ ul az egyik megvizsg´ alja az el˝oad´ as fizikai tartalmát egy kulturált vita formájában, a másik pedig komplex értékést ad az elhangzottakról. A három csapat teljes´ıtményét fizikusokb´ ol és fizikatan´ arokb´ ol áll´ o nemzetközi zs˝ uri b´ırálja el. Az IYPT verseny magyarországi els˝o fordulójára (HYPT) való jelentkezés hat´ arideje: 2015. november 2. ´ ejf´ el. Az els˝ o, magyarorsz´ agi forduló december közepén, az ELTE Természettudom´ anyi Kar´ an ker¨ ul megrendezésre. Az induló diákoknak itt egy kidolgozott feladat angol nyelv˝ u bemutat´ as´ aban kell összevetni¨ uk tudásukat. A kidolgozott feladatokat el˝osz¨ or magyar nyelven 2015. november 30-ig kell elk¨ uldeni egy dolgozat formájában. A magyar v´ alogat´ o versenyen kiválasztott 8 diák az ELTE TTK Anyagfizikai Tanszékén végezheti a további felkész¨ uléshez sz¨ ukséges kutat´ asait. A felkész¨ ulés során ny´ ujtott teljes´ıtmény alapj´ an 3 di´ ak indulhat az osztrák AYPT versenyen, az 5 legjobb di´ ak pedig beker¨ ul az oroszországi Jekatyerinburgban megrendezésre ker¨ ul˝ o 29. IYPT magyar csapatába. Jelentkezés, a feladatok szövege és további információk az hypt.elte.hu weboldalon, illetve az [email protected] email c´ımen. N´ eh´ any p´ elda a 2016-ra kit˝ uz¨ ott IYPT feladatok k¨ ozu ¨ l∗ 8. M´ agneses vas´ ut. R¨ ogz´ıts egy ceruzaelem két végére vezet˝o bevonat´ u kis gombm´ agneseket. Ha ezt egy réztekercsbe helyezed u ´gy, hogy a mágnesek hozzáérnek a tekercshez, az ´ıgy kapott vonat” mozogni kezd. Magyarázd meg a jelenséget, ” és vizsg´ ald meg, hogy a megfelel˝o paraméterek miként befolyásolják a vonat” se” bességét és teljes´ıtményét! ´ 15. Erint´ esmentes tol´ omér˝ o. Tervezzél és kész´ıts egy olyan optikai eszközt, ami egy lézermutat´ o seg´ıtségével érintkezés nélk¨ ul képes egy u ¨veglap vastagságát, törésmutat´ oj´ at és egyéb tulajdonságait vizsgálni! ˝ ult b˝ 17. Or¨ or¨ ond. Ha egy kétkerek˝ u b˝oröndöt h´ uzol, bizonyos kör¨ ulmények k¨ oz¨ ott olyan er˝ osen elkezdhet billegni, hogy akár teljesen fel is borulhat. Vizsgáld meg a jelenséget! Megsz¨ untethet˝o-e vagy feler˝ os´ıthet˝o-e ez a jelenség megfelel˝o pakol´ as megv´ alaszt´ as´ aval?

Magyar fizika siker az 1000 mosoly orsz´ ag´ aban Az idén 28. alkalommal megrendezett Ifj´ u Fizikusok Nemzetközi Versenyén (eredetileg: International Young Physicists’ Tournament, röviden: IYPT) a magyar csapat a legjobb bronzérmes helyezést érte el a thaiföldi Nakhon Ratchasimában 2015. j´ unius 27. és j´ ulius 4. k¨ ozött rendezett versenyen. Az egész éves felkész¨ ulés sikeres lez´ ar´ asa mellett, a remek szervezésnek köszönhet˝oen, siker¨ ult belekóstolni a thaif¨ oldi kult´ ur´ aba és hétk¨ oznapokba is. ∗

Valamennyi feladat megtal´ alhat´ o az iypt.org vagy hypt.elte.hu oldalon.


371

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 372. oldal – 52. lap


i

A decemberben lezajlott magyar válogatótól hossz´ uu ´t vezetett a 2015-ös IYPT d¨ ont˝ ojéig a thaif¨ oldi Nakhon Ratchasimába. A 12 órás rep¨ ul˝outat egy b˝o féléves, élményekkel teli felkész¨ ulés el˝ ozte meg. Az ELTE TTK Anyagfizikai Tanszékének egyik laborj´ at foglalt´ ak el” a magyar diákok, ahol felkész´ıt˝oik seg´ıtségével dol” gozhatt´ ak ki a versenyre kit˝ uzött problémákat. A tavaly j´ uliusban 17 ny´ıltvég˝ u probléma (melyeknek nincs el˝ ore ismert, egyértelm˝ u megoldása) sok hónapos kö” r¨ ulj´ ar´ asa” alatt sokat tanultak a csapattagok fizikából, és megismerhették a kutatómunka hétk¨ oznapjait is: hogyan történik egy-egy mérés, hogyan áll össze egy-egy jelenség elmélete, és miként lesz seg´ıtség¨ unkre a programozás a fizikában. Emellett megtanult´ ak el(˝ o)adni elkész´ıtett feladataikat és megvédeni eredményeiket a kritikus kérdések ellenében. Az idei versenyen 27 orsz´ ag képviseltette magát a Föld minden zugából. Ez az angol nyelv˝ u verseny nagyon sokrét˝ u felkész¨ ultséget vár el a részvev˝okt˝ol. A diákoknak az egész évben végzett kutatásaikat kellett bemutatni, majd eredményeiket egy oppon´ al´ o csapattal szemben megvédeni. A magyar csapat jól szerepelt a kutatásaik prezent´ aci´ oja, az angol nyelv használata, a vita és a csapatmunka terén is, hiszen sikerrel oppon´ alt´ ak” és értékelték az ellenfél csapatok prezentációit. Nagy ” élmény volt a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o orsz´ agokból érkezett csapatokkal k¨ uzdeni, és látni, hogy a magyar di´ akok igazi csapatt´ a kovácsolódtak össze. A magyar csapat felkész¨ ulését az ELTE-TTK Anyagfizikai Tanszék két ad´ és H¨ junktusa, Isp´ anovity Péter Dus´ an és Jenei Péter, valamint Izsa Eva om¨ ostrei Mih´ aly fizikatan´ arok seg´ıtették. A magyar résztvev˝ok a Mesterséges izom”, a Fo” ” ´ lyadékfilm motor”, az Enekl˝ o f˝ uszál”, a Két lufi” és a Mágneses inga” c´ım˝ u prob” ” ” lém´ akat mutattatt´ ak be a zs˝ urinek és az ellenfél csapatoknak. A feladatokról és a megold´ asokr´ ol r¨ oviden az hypt.elte.hu oldalon kapható információ. Az IYPT a fizik´ az´ as” mellett hagyományosan nagy hangs´ ulyt fektet arra, ” hogy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o orsz´ agokb´ ol érkez˝o diákok minél jobban megismerjék egymást és a rendez˝ o orsz´ agot. Idén sem volt ez másképp, a diákok közös kiránduláson vettek részt a Wat Non Kum nev˝ u buddhista szentélyben, a Phimai Történeti Parkban és a Khao Yai Nemzeti Park sz´ araz, örökzöld dzsungelében. Alkalom ny´ılt egy kicsit megismerni Thaif¨ old kult´ ur´ aj´ at, konyháját és történelmét is. A csapattagok most láthattak el˝ osz¨ or szinkrotront, az egyik legérdekesebb élmény pedig a tuk-tukkal (helyi taxi) val´ o utaz´ as volt. A versenyt vég¨ ul a 9. helyen zárta a magyar csapat, mely a legjobb bronzérmes helyezést jelentette. A 2015-¨ os magyar IYPT csapat tagjai: B´ an´ oczki T´ımea (Budapest, Német Nemzetiségi Gimn., 10. oszt.); ´ Beregi Abel (Budapest, Baár-Madas Ref. Gimn., 12. oszt., felvételt nyert a University College Londonba); ´ Bir´ o Akos (V´ ac, Boronkay György M˝ usz. Szki. és Gimn., 11. oszt.); Lauk´ o Andr´ as (Budapest, Balassi B. Gimn., 12. oszt., felvételt nyert a BME-re); Plaszk´ o Noel (Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium, 11. oszt.). Hivatalos partnereink:

H¨ om¨ ostrei Mih´ aly, a HYPT szervez˝oje 372


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 373. oldal – 53. lap


i

Gyakorl´ o feladatsor (emelt szint˝ u fizika ´ eretts´ egire)∗

A K¨ oMaL matematikus hagyományait követve a 2015–16-os tanévben fizikáb´ ol is k¨ ozl¨ unk olyan feladatsorokat, amelyekkel az emelt szint˝ u fizika érettségire kész¨ ul˝ oket szeretnénk seg´ıteni. A feladatsorok nem tartalmazzák az érettségi II. részét (az esszé-témak¨ or¨ oket”), mert ezekhez nehéz lenne hivatalos megoldást” adni. ” ” (Az erre kész¨ ul˝ oknek javasoljuk, hogy a korábbi évek témaköreib˝ol válogassanak, és azokat dolgozz´ ak ki kb. 1 óra alatt.) A feladatok kidolgoz´ as´ an´ al – ha az érettségihez hasonló kör¨ ulmények között akarja valaki megoldani azokat – csak zsebszámológép és f¨ uggvénytáblázat haszn´ alhat´ o, és kb. 2,5-3 óra áll rendelkezésre. (Az érettségin a három részre összesen 240 perc id˝ ot adnak.) I. r´ esz (tesztfeladatok)† 1. 100 méter hossz´ u alum´ıniumkábel hossza kb. hány centiméterrel változik a −28 fokos téli hideg és a 35 fokos nyári meleg között? A) 0,15;

B) 1,5;

C) 15;

D) 150.

2. Egy rallyaut´ onak egyik bukkanó utáni ugratás közben a kerekei a leveg˝oben vannak. Ezalatt a gyorsul´ as´ anak iránya A) változik, mert a p´ aly´ aja érint˝ojének irányába mutat; B) v´ altozik, mert a pály´ ajának középpontjába mutat; C) nem v´ altozik, mert mindig f¨ ugg˝oleges; D) nem változik, mert mindig nullvektor. 3. 50 Hz frekvenci´ aval szinuszosan változó fesz¨ ultség˝ u fesz¨ ultségforrásra sorba kapcsolunk egy 62,8 Ω-os ellenállást és egy 0,1 H induktivitás´ u ideális tekercset. Mekkora a két áramk¨ ori elemre jutó effekt´ıv fesz¨ ultség aránya? √ A) 2; B) 2 5; C) 628. 4. Válassza ki az ide´ alis gázra vonatkozó igaz áll´ıtást! A) Adiabatikus folyamat során a gáz h˝omérséklete nem változik, mivel a folyamat h˝ oszigetelt k¨ or¨ ulmények között vagy nagyon gyorsan játszódik le. B) Ha a gáz térfogata cs¨ okken, h˝omérséklete növekszik, hiszen k¨ uls˝o er˝o munkát végez rajta. C) Izochor t´ agul´ as sor´ an a gáz h˝omérséklete csökken. D) A nemesg´ azok mol´ aris h˝okapacitása (mólh˝oje) nem f¨ ugg az anyagi min˝oségt˝ ol. ∗ †

A megold´ asokat a j¨ ov˝ o havi sz´ amunkban k¨ oz¨ olj¨ uk. A tesztfeladatok kérdéseire adott v´ alaszok k¨ oz¨ ul minden esetben pontosan egy j´ o.


373

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 374. oldal – 54. lap


i

5. Egy forma-1-es aut´ o kipörg˝o kerékkel indul el. Melyik er˝o gyors´ıtja a kocsit? A) A pil´ ota láb´ anak ereje, ami a gázpedált nyomja. B) A kerekek és a talaj k¨ ozti cs´ uszási s´ urlódási er˝o. C) A kerekek és a talaj k¨ ozti tapadási s´ url´ odási er˝o. D) A motor hajt´ oereje. 6. Válassza ki a hidrogénatom Bohr-modelljére vonatkozó hamis áll´ıtást! A) Az elektron els˝ o gerjesztett állapotában az energiája −13,6 eV. B) Az elektront a Coulomb-er˝o tartja a proton kör¨ uli körpályán. C) A gázok vonalas sz´ınképét a modell a frekvenciafeltétellel magyarázza. D) Az elektronok csak meghatározott távolságban lehetnek a protontól, a lehetséges p´ aly´ ak sugarai u ´gy aránylanak egymáshoz, mint az egész számok négyzetei. ¨ oztet˝o – egy 7. Az LHC (Large Hadron Collider, magyarul Nagy Hadron Utk¨ szinkrotron t´ıpus´ u részecskegyors´ıtó) kb. 8,5 km átmér˝oj˝ u gy˝ ur˝ ujében a protonokat k¨ ozel fénysebességre gyors´ıtj´ ak. Melyik a helyes becslés a gy˝ ur˝ uben lév˝o mágneses mez˝ o (´ atlagos) er˝osségére, ha a relativisztikus tömegnövekedés miatt a protonok nyugalmi t¨ omegének 5000-szeresével számolhatunk? A) 0,04 T; B) 0,4 T; C) 4 T; D) 40 T. 8. Válassza ki az elektromosan töltött, sztatikus állapot´ u fémdarabra vonatkoz´ o hamis ´ all´ıt´ ast! A) A t¨ obblett¨ oltés egyenletesen oszlik el a fel¨ uletén. B) A fémdarab minden pontjában azonos a potenciál. C) A fémfel¨ ulet minden pontjában igaz, hogy a térer˝osség vektor mer˝oleges a fel¨ uletre. D) A fém belsejében a térer˝osség nulla. 9. Válassza ki a jelenség megfelel˝o jellemzését! A) A dér megfagyott k¨ od. B) A k¨ od megfagyott harmat. C) A z´ uzmara akkor képz˝odik, mikor egy felsz´ınhez közeli, vékony, nedves leveg˝ oréteg harmatpont al´ a h˝ ul. D) A harmat akkor képz˝ odik, mikor a nedves leveg˝ob˝ol a hideg felsz´ınnel érintkezve a v´ızg˝ oz kicsap´ odik. 10. Egy ismeretlen fesz¨ ultségforrásra változtatható ellenállást kapcsolva mérj¨ uk a rajta lév˝ o fesz¨ ultséget és a rajta átfolyó áramot. Döntse el, hogy melyik karakterisztika milyen fesz¨ ultségforráshoz tartozik!

374


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 375. oldal – 55. lap


i

A) 1. – sokat haszn´ alt zsebtelep; 2. – napelemcella; 3. – u ´j zsebtelep. B) 1. – napelemcella; 2. – u ´j zsebtelep; 3. – sokat használt zsebtelep. C) 1. – u ´j zsebtelep; 2. – sokat használt zsebtelep; 3. – napelemcella. D) 1. – napelemcella; 2. – sokat használt zsebtelep; 3. – u ´j zsebtelep. 11. V´ alassza ki a hamis áll´ıtást! A) A v´ızben lév˝ o légbuborék a rá es˝o párhuzamos fénysugarakat összegy˝ ujti, de nem pontosan egy pontba. B) Az aut´ o k¨ uls˝ o visszapillantó t¨ ukre dombor´ u t¨ ukör, amely mindig látszólagos képet ad. C) A gy˝ ujt˝ olencse nem adhat egyenes állás´ u, nagy´ıtott, valódi képet. D) Ha a s´ıkt¨ uk¨ orben nézz¨ uk, akkor a s´ıkt¨ ukör mögött látjuk magunkat. 12. A 235-¨ os ur´ an izot´ op neutronnal való has´ıtása során keletkezhet 90-es stroncium izot´ op és két neutron. Mi a másik hasadási termék? A) Bárium; B) kripton; C) xenon. 13. Egy áll´ ocsig´ an és egy G/2 s´ uly´ u mozgócsigán átvetett k¨ otél szabad végét fogva egyens´ ulyban tartunk egy G s´ uly´ u testet az ´ abr´ an l´ athat´ o m´ odon. Mekkora F er˝ovel kell tartani a szabad kötélvéget? A) 3G/4; B)2G/3; C) G/2; D) G/3. 14. Kit neveznek az atommag felfedez˝ojének? A) Niels Bohr; B) Enrico Fermi; Rutherford; D) Wigner Jen˝o.

C) Ernest

15. Melyik a Naprendszer legnagyobb holdja? A) A Ganymedes; B) a Hold; C) a Phobos; D) a Titán. III. r´ esz (sz´ amol´ asos feladatok) 1. Egy 80 cm hossz´ u h´ ur alaphangjának frekvenciája 440 Hz. Mekkora a hang hull´ amhossza a leveg˝oben, ha ott a terjedési sebesség 330 m/s? ´ azolja a h´ Mekkora f´ azissebességgel terjed a rezgés a h´ uron? Abr´ ur duzzadóhelyének hely–id˝ o, sebesség–id˝ o és gyorsulás–id˝o f¨ uggvényét 0-tól 2T id˝otartamig, ha K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

375

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 376. oldal – 56. lap


i

a 0 id˝ opillanatot akkor választjuk, amikor a pont a legnagyobb, 0,8 mm-es kitérésben van! 2. Egy cézium fotokat´ odot 380 nm-es UV fénnyel világ´ıtunk meg. A kilép˝o elektronokat 10 V gyors´ıt´ ofesz¨ ultséggel felgyors´ıtjuk. Mekkora lesz ekkor az elektron sebessége? ´ 3. Alland´ o 108 km/h sebességgel haladva az autópályán belepillantunk a viszszapillant´ o t¨ uk¨ orbe. Ekkor a mögött¨ unk halad´ o, 1,5 m magas autót 18,75 mmesnek l´ atjuk. Sebesség¨ unket tartva 3 s m´ ulva már 30 mm-esnek látjuk. A t¨ ukr¨ unk görb¨ uleti sugara 2 m. Mennyi utat tett¨ unk meg a 3 s alatt? Határozza meg a t¨ ukör fókusztávolságát és a nagy´ıt´ ast mindkét esetben! Feltételezve, hogy az autó is állandó sebességgel jön m¨ og¨ ott¨ unk, hat´ arozza meg a sebességét! 4. Egy v´ızforral´ o f˝ ut˝ osz´ ala 1,4 · 10−6 Ωm fajlagos ellenállás´ u kantálhuzalból kész¨ ult, amelynek átmér˝ oje 1 mm, hossza 15 m. A 230 V-os hálózatról m˝ uködtetve 1,7 liter vizet meleg´ıt¨ unk. A v´ızmeleg´ıtés hatásfoka 86%-os. Mekkora teljes´ıtményt vesz fel a forraló a hálózatból? Hány perc alatt forralja fel a kezdetben 30 fokos vizet? Ha még ugyanennyi ideig bekapcsolva marad a forral´ o, akkor mennyi v´ız marad benne? (A v´ız fajh˝ oje 4,2 kJ/(kg K), forrásh˝oje 2260 kJ/kg.) Varga Bal´ azs Budapest

Fizika feladatok megold´ asa

P. 4696. 8 mm ´ atmér˝ oj˝ u és 4 mm magas, henger alak´ u gy´ ogyszertablett´ ak kis magass´ agb´ ol hullanak az asztalra. Tételezz¨ uk fel, hogy minden térbeli ir´ any egyenl˝ o val´ osz´ın˝ uség˝ u, és a tablett´ ak nem pattannak fel. A tablett´ ak h´ any sz´ azaléka ker¨ ul az asztalon gurul´ os” helyzetbe? ” (4 pont) Bakonyi G´ abor (1932–2010) feladata Megold´ as. Jel¨ olj¨ uk a gy´ ogyszertabletták alapkörének sugarát r-rel, magasságukat pedig m-mel! Az asztalra f¨ ugg˝oleges v sebességgel lees˝o tabletta annak megfelel˝ oen ker¨ ul gurul´ os, vagy nem gurulós helyzetbe, hogy a tabletta milyen irányban helyezkedik el a v vektorhoz képest, vagy ami ugyanezt jelenti: a v vektor milyen ir´ anyba mutat a tablett´ ahoz viszony´ıtva. Ezeket az irányokat jellemezhetj¨ uk péld´ aul azzal, hogy a v vektor (vagy annak meghosszabb´ıtása) melyik pontban döfi √ 2 u gömbfel¨ uletet. át a tabletta k¨ oré rajzolt R = r2 + (m/2) sugar´ 376


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 377. oldal – 57. lap

Ha a d¨ oféspont az 1. ´ abra bal felén láthat´ o m´ odon a g¨ ombfel¨ ulet vastagon jel¨ olt g¨ omb¨ ovébe esik, akkor a tabletta (ha nem pattan fel) a hengerpalástjára, teh´ at gurul´ os helyzetbe ker¨ ul. Ha viszont a d¨ oféspont a szaggatott vonallal jel¨ olt két g¨ ombs¨ uveg valamelyik pontja (l´ asd az 1. ´ abra jobb felét), akkor a tabletta valamelyik k¨ orlapj´ an áll meg, teh´ at nem tud elgurulni az asztalon.


i

1. ´ abra

A gurul´ os helyzetbe ker¨ ul˝ o gyógyszertabletták számának és az összes lehulló tabletta szám´ anak ar´ anya (sok lees˝o tabletta esetén) a gurulós helyzet val´ osz´ın˝ uségével egyezik meg. Véges sok kimenetellel rendelkez˝o eseményeknél (például a kockadob´ asokn´ al) a val´ osz´ın˝ uséget a kedvez˝o esetek számának és az összes lehetséges eset sz´ am´ anak hányadosaként kaphatjuk meg. (A kedvez˝o” esemény a valósz´ı” n˝ uségsz´ am´ıt´ as szok´ asos sz´ ohasználata, jóllehet eset¨ unkben a gyógyszer elgurulása ink´ abb kedvez˝ otlennek tekintend˝o.) Bonyolultabb a helyzet akkor, ha az események lehetséges végkimenetelének száma és a kedvez˝ o” események lehetséges száma is (elvben) végtelen. Ilyenkor ” a val´ osz´ın˝ uséget – nyilv´ an – nem számolhatjuk ki két végtelen nagy szám” há” nyadosaként. Az u ń. folytonos valósz´ın˝ uségeloszlások kezelésének egyik, esetenként jól haszn´ alhat´ o módja a geometriai módszer.1 Ha az események kimenetele egy fel¨ ulet pontjaival (eset¨ unkben a gömbfel¨ ulet egy-egy pontjával) jellemezhet˝o, akkor a kérdéses esemény val´ osz´ın˝ usége a kedvez˝o eseményeknek megfelel˝o fel¨ uletdarab felsz´ınének és az ¨ osszes lehetséges eseményhez tartozó teljes fel¨ ulet felsz´ınének hányadosaként sz´ am´ıthat´ o ki. Jelen esetben ez a valósz´ın˝ uség Pelgurul =

Agömböv 1 2mRπ m = √ ≈ 0,45. = = √ Agömbfelsz´ın 4R2 π 2 5 2 r2 + (m/2)

A lehull´ o gy´ ogyszertablettáknak tehát – várhatóan – mintegy 45 százaléka fog elgurulni. Fekete Panna (Pécs, Le˝owey Klára Gimn., 12. évf.) és Németh Fl´ ora Bor´ oka (Keszthely, Vajda J. Gimn., 11. évf.) dolgozata felhasználásával Megjegyzések. 1. A val´ osz´ın˝ uség geometriai m´ odszerrel t¨ ortén˝ o kisz´ am´ıt´ asa nem egyértelm˝ u, és emiatt kell˝ o k¨ or¨ ultekintést igényel. Ha péld´ aul a gy´ ogyszertabletta k¨ oré nem g¨ omb¨ ot, hanem – mondjuk – egy nagyobb kock´ at képzel¨ unk, a lees˝ o tabletta térbeli helyzetét a k¨ ozéppontj´ an ´ atmen˝ o f¨ ugg˝ oleges egyenes és a kocka felsz´ınének d¨ oféspontj´ aval is jellemezhetj¨ uk. A keresett val´ osz´ın˝ uség azonban nem egyezik meg a kocka felsz´ınén mért megfelel˝ o ter¨ uletek ar´ any´ aval; ha mégis ´ıgy sz´ amolunk, hib´ as eredményt kapunk. Azt, hogy mit jelent a minden térbeli ir´ any egyenl˝ o val´ osz´ın˝ uség˝ u” kifejezés (vagyis hogy ” 1 L´ asd pl. ezt a cikket a K¨ oMaL honlapj´ an: http://www.komal.hu/cikkek/valszam/ valszam.h.shtml.


377

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 378. oldal – 58. lap


i

milyen fel¨ uleten mért ter¨ uletek ar´ anya adja meg helyesen a val´ osz´ın˝ uséget) fizikai feltételek szabj´ ak meg. A legtermészetesebb gondolatunkat, miszerint az ir´ anyok val´ osz´ın˝ uségeloszl´ asa a g¨ ombfel¨ uleten vett mérték” szerint egyenletes, kell˝ oen p¨ org˝ o, bukd´ acsolva ” lees˝ o tablett´ akn´ al a tapasztalat is meger˝ os´ıti. Lehetne azonban olyan tablettaejt˝ o gépet” ” konstru´ alni, amely haszn´ alat´ aval m´ as val´ osz´ın˝ uségeloszl´ as alakulhatna ki. A mechanikusan kevert goly´ okkal t¨ ortén˝ o lott´ osorsol´ asn´ al a szkeptikusok régi dilemm´ aja: vajon elég alapos-e a keverés, egyforma-e az esélye (a h´ uz´ asi val´ osz´ın˝ usége) mindegyik sz´ amnak? 2. Sok versenyz˝ ou ´gy érvelt, hogy mivel az egész feladat (a tabletta leesése és a feltett kérdés is) a henger alak´ u gy´ ogyszertabletta forg´ astengelyére nézve szimmetrikus, a probléma 2 dimenzi´ os feladatként kezelhet˝ o. Ha ez ´ıgy helyes lenne, a kérdéses val´ osz´ın˝ uség az 1. ´ abr´ an l´ athat´ o vastagon jel¨ olt k¨ or´ıvek hossz´ anak és a teljes k¨ or hossz´ anak ar´ any´ aval (a megadott sz´ amadatok mellett kb. 0,3-mal) egyezne 2. ´ abra meg. Az érvelés azonban hib´ as, egy 3 dimenzi´ os probléma néha még akkor sem kezelhet˝ o s´ıkbeli feladatként, ha az elrendezés és a kérdésfeltevés bizonyos tengely k¨ or¨ uli (valamekkora sz¨ og˝ u) elforgat´ asokra nézve szimmetrikus. J´ ol l´ athat´ o ez egy hatlap´ u dob´ okock´ an´ al. Ha azt kérdezz¨ uk, mekkora val´ osz´ın˝ uséggel esik a (j´ ol megp¨ orgetett) kocka két szemk¨ ozti (a 2. ´ abr´ an s¨ otétebben jel¨ olt) lapj´ anak valamelyikére, a helyes v´ alasz nyilv´ an 1/3, hiszen a kocka k¨ oré rajzolt g¨ omb fel¨ uletének éppen egyharmad´ at fedik le a kedvez˝ o” esetnek ” megfelel˝ o pontok. Ha viszont a kock´ at oldalnézetben rajzoljuk le (2. ´ abra jobb oldala), és a feladatot (a m´ asik 4 lap szimmetrikus helyzete miatt) 2 dimenzi´ osnak terkintj¨ uk, a keresett val´ osz´ın˝ uségre (a k¨ or´ıvek hossz´ ab´ ol) a hib´ as 1/2 eredményt” kapjuk. ” 67 dolgozat érkezett. Helyes 9 megold´ asa. Kicsit hi´ anyos (3 pont) 3, hi´ anyos (1–2 pont) 48, hib´ as 7 dolgozat.

P. 4712. Egy homogén anyag´ u, egyenletes keresztmetszet˝ u rézgy˝ ur˝ u mely két pontja k¨ ozé kapcsolhatunk elektromos fesz¨ ultségforr´ ast, ha azt szeretnénk elérni, hogy a rézgy˝ ur˝ uben foly´ o ´ aram keltette m´ agneses térer˝ osség a gy˝ ur˝ u k¨ ozéppontj´ aban zérus legyen? (4 pont)

Közli: Radnai Gyula, Budapest

Megold´ as. A rézgy˝ ur˝ ube vezetett áram a kör´ıvek ellenállásával (tehát a hoszsz´ aval) ford´ıtott ar´ anyban oszlik meg a két ág között. A Biot–Savart törvény szerint az egyes k¨ or´ıv-vezetékek j´ aruléka a középpontban mérhet˝o mágneses indukcióhoz az áramer˝ osség és a vezeték hosszának szorzatával arányos. Ez a szorzat a két ágban (a be- és kivezetési pontok helyzetét˝ol f¨ uggetlen¨ ul) ugyanakkora, tehát (az áramok ellentétes ir´ any´ at is figyelembe véve) megállap´ıthatjuk, hogy a gy˝ ur˝ u középpontjában a rézgy˝ ur˝ uben foly´ o áramok mágneses tere mindig nulla. Több dolgozat alapján 37 dolgozat érkezett. Helyes 28 megold´ as. Hi´ anyos (1–2 pont) 8, hib´ as 1 dolgozat.

378


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 379. oldal – 59. lap


i

E¨ otv¨ os-verseny

Az idei E¨ otv¨ os-versenyt 2015. okt´ ober 16-´ an pénteken délut´ an 15h -t´ ol 20h -ig rendezi meg az Eötvös Loránd Fizikai Társulat. A versenyen azok a di´ akok vehetnek részt, akik vagy középiskolai tanulók, vagy a verseny évében fejezték be középiskolai tanulmányaikat. Nemcsak magyar állampolg´ ars´ ag´ u versenyz˝ ok indulhatnak, hanem Magyarországon tanuló k¨ ulföldi di´ akok, valamint k¨ ulf¨ old¨ on tanuló, de magyarul ért˝o diákok is. A megold´ asokat magyar nyelven kell elkész´ıteni, a rendelkezésre álló id˝o 300 perc. Minden ´ırott vagy nyomtatott segédeszköz használható, de zsebszámológépen k´ıv¨ ul minden elektronikus eszköz használata tilos. El˝ ozetesen jelentkezni nem kell, elegend˝o egy személyazonosság igazolására szolg´ al´ o okm´ annyal (személyi igazolvány, diákigazolvány vagy u ´tlevél) megjelenni a verseny valamelyik helysz´ınén. A helysz´ınek és a versennyel kapcsolatos minden további információ megtalálhat´ o a verseny honlapj´ an: http://mono.eik.bme.hu/∼vanko/fizika/eotvos.htm. Versenybizotts´ ag

P´ aly´ azati felh´ıv´ as

A 2015-¨ os évet az ENSZ (az UNESCO támogatásával) A Fény Nemzetk¨ ozi ´ enek nyilv´ Ev´ an´ıtotta. Az eseménysorozat részeként a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok fizika szerkeszt˝ obizottsága pályázatot hirdet a Magyarországon vagy b´ armely más országban él˝ o és tanuló középiskolás (még nem érettségizett) diákok sz´ am´ ara h´ arom kateg´ ori´ aban: ´ I. Erdekes, l´ atv´ anyos fénytani jelenség megfigyelése, le´ır´ asa, esetleges elméleti magyar´ azata. A v´ alasztott téma nem csak u ´j, eddig ismeretlen jelenség lehet (bár ha ilyen, a pály´ azat természetesen még értékesebb), de a megfigyelés és annak dokument´ al´ asa a p´ aly´ az´ o(k) o all´ o munkája legyen. A jelenség magyarázatához ¨n´ (a forr´ as megjel¨ olésével) tank¨ onyveket, szakkönyveket vagy az interneten található K¨ oz´ episkolai Matematikai ´ es Fizikai Lapok, 2015/6

379

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 380. oldal – 60. lap


i

anyagokat is fel lehet haszn´ alni, de a dolgozatb´ ol egyértelm˝ uen der¨ uljön ki, hogy annak melyik része a pály´ az´ o saj´ at munkája. ´ II. Erdekes, látv´ anyos fénytani jelenség fényképezése, esetleg arról videofelvétel kész´ıtése. A felvételt a p´ aly´ azó saját maga kész´ıtse, az interneten megtalálható képek, vide´ ok tov´ abbk¨ uldése nem versenyszer˝ u”. ” III. A fénytan k¨ orébe tartozó (máshol még meg nem jelent) elméleti vagy k´ısérleti feladat k¨ ozlése, amely kit˝ uzésre alkalmas a KöMaL valamelyik pontversenyében. Az elméleti feladathoz részletes megoldást, mérési feladatnál vázlatos megvalós´ıtási javaslatot tartalmazzon a pály´ azat. Az I. kateg´ oriában legfeljebb 2 f˝ os csapatok” is részt vehetnek, a másik két ” kateg´ oria egyéni munk´ at igényel. A pályamunkák 2015. december 31-ig k¨ uldhet˝ ok be (magyar vagy angol nyelven), elektronikusan a [email protected], pos¨ tán a KOMAL, 1117 Budapest, Pázmány P. sétány 1/A c´ımre (mindkét esetben ´ ´ ´ FENYTANI PALYAZAT megjelöléssel). A bek¨ uldött anyagon szerepeljen a p´ aly´ az´ o neve, iskol´ aja és oszt´ alya, esetlegesen a felkész´ıt˝o (vagy seg´ıt˝o) tan´ ar neve. A p´ alyamunkákat a fizika szerkeszt˝obizotts´ ag zs˝ urije értékeli. A d´ıjazott munk´ ak szerz˝ oi pénzjutalomban részes¨ ulnek, a cikkek, fényképek 2016-ban a KöMaLban megjelennek, a feladatok kit˝ uzésre ker¨ ulnek. Eredményes munk´ at k´ıv´ anunk!

Fizik´ ab´ ol kit˝ uz¨ ott feladatok

M. 352. Mérj¨ uk meg egy rugós ugráló béka” rugóállandóját! ” A béka u ´gy hozhat´ o mozgásba, hogy a tapadógumit a rugó tengelyének ir´ any´ aban rányomjuk a korongra. (Aki nem tud ugráló békát beszerezni, egy rug´ os goly´ ostollal is elvégezheti a mérést.) (6 pont)

Becslési verseny, Sárospatak

P. 4748. Elképzelhet˝ o-e, hogy a soproni K´ aroly-kilátó tetejér˝ol leejtett fagylaltg¨ omb már a talajra érkezése el˝ott teljesen felolvad? (3 pont)

Vermes Mikl´ os fizikaverseny, Sopron

P. 4749. Egy ejt˝ oerny˝ os szélcsendben egyenletesen, 8 m/s sebességgel ereszkedik. Mekkora lesz az ejt˝ oerny˝ os sebességének nagysága, ha 6 m/s sebesség˝ u oldalszél f´ uj? ´ (3 pont) Jedlik Anyos fizikaverseny, Ny´ıregyháza 380


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 381. oldal – 61. lap


i

P. 4750. Ez¨ ust és arany tetsz˝oleges arányban ötvözhet˝o egymással. Egy ilyen ozet s´ ulya leveg˝ oben 15 N, v´ızben 14 N. Hány tömegszázalék aranyat tartalmaz ötv¨ az ¨ otv¨ ozet? (4 pont)

Versenyfeladat nyomán

P. 4751. Mit tapasztalunk, ha egy megpend´ıtett hangvilla nyelét a) az asztal lapjához érintj¨ uk, vagy b) v´ızbe mer´ıtj¨ uk? Magyar´ azzuk meg a tapasztaltakat! (4 pont)

Hatvani Istv´ an fizikaverseny, Debrecen

P. 4752. Egy ´ıj idegét (h´ urját) 200 N er˝ovel fesz´ıtj¨ uk meg, ezzel a nyilvessz˝ot 50 cm-rel h´ uzzuk h´ atra. A fesz´ıt˝oer˝o arányos az ideg közepének kitérésével. A kih´ uzott ´ıjjal f¨ ugg˝ olegesen felfelé löv¨ unk egy 4 dkg tömeg˝ u nyilat. Legfeljebb milyen magasra sz´ allhat fel a ny´ılvessz˝o, ha a rugalmas energia 40%-a hasznosul? (4 pont)


P. 4753. Két orgonas´ıp, amelyek 80, illetve 81 cm hossz´ uak, 2,6 Hz-es lebegést ad, amikor mindkett˝ o az alapfrekvencián szólal meg. Számoljuk ki a leveg˝oben terjed˝ o hang sebességét és a s´ıpok alaphangjának frekvenciáját ezekb˝ol az adatokb´ ol! (4 pont)


P. 4754. Egy félg¨ omb alak´ u, 4 dm3 térfogat´ u rézedénybe 4 liter 30 ◦ C-os vizet öntve azt tapasztaljuk, hogy a v´ız h˝omérséklete 3 ◦ C-kal csökken, az edényé viszont 27 ◦ C-kal emelkedik. Mekkora az edény falának vastagsága? (4 pont)

Zemplén Gy˝ oz˝ o fizikaverseny, Nagykanizsa

P. 4755. Rendelkezés¨ unkre áll 4 db 4,5 V-os izzólámpa, valamint egy 12 V-os és egy 3 V-os akkumul´ ator. Kész´ıts¨ unk az adott eszközök felhasználásával kapcsolást, amellyel az izz´ ol´ amp´ ak u uködnek! ¨zemi h˝omérsékleten m˝ (4 pont)

K´ aroly Ireneusz fizikaverseny, Esztergom

P. 4756. 2a vastags´ ag´ u, ϱ fajlagos ellenállás´ u fémhuzalb˝ ol r k¨ ozepes sugar´ u körgy˝ ur˝ ut kész´ıt¨ unk (r ≫ a). A k¨ orvezet˝ ot s´ıkj´ ara mer˝oleges, B 0 indukciój´ u homogén mágneses mez˝ obe helyezz¨ uk, majd az indukci´ ot ∆t id˝ o alatt egyenletesen nullára csökkentj¨ uk. Hat´ arozzuk meg a folyamat során indukálódó mágneses mez˝o indukcióvektor´ anak Bind nagys´ ag´ at a körvezet˝o középpontjában! (5 pont)


Wigner Jen˝ o fizikaverseny, Békéscsaba 381

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 382. oldal – 62. lap


i

P. 4757. Egy fotocell´ as áramkör katódjának kilépési munkája 6 · 10−19 J. A kat´ od fel¨ uletére mer˝ olegesen 250 nm-es hullámhossz´ uság´ u ibolyánt´ uli sugárzás érkezik. a) Mekkora zár´ ofesz¨ ultséggel lehet megsz¨ untetni a fotoáramot? b) Mekkora impulzust vesz fel a katód egy elemi folyamat során, ha az elektron a bees˝ o sug´ arz´ assal ellentétes irányban rep¨ ul ki? c) Változtassuk a sug´ arz´ as frekvenciáját! Legfeljebb hányszorosa lehet egy kilép˝ o elektron impulzusa a bees˝o foton impulzusának? ´ (5 pont) Bud´ o Agoston fizikaverseny, Szeged Beku esi hat´ arid˝ o: 2015. okt´ ober 10. ¨ ld´ Elektronikus munkafu ¨ zet: https://www.komal.hu/munkafuzet C´ım: K¨ oMaL feladatok, Budapest 112, Pf. 32. 1518

d MATHEMATICAL AND PHYSICAL JOURNAL FOR SECONDARY SCHOOLS (Volume 65. No. 6. September 2015) Problems in Mathematics New exercises for practice – competition K (see page 351): K. 463. A certain amount of money was divided among four people. The first one got 3000 forints (HUF, Hungarian currency) more than one third of the total, the second one got 6000 forints more than one fourth of the total, the third one got 9000 forints more than one fifth of the total, and the fourth one got 12 000 forints more than one sixth of the total. What was the total? K. 464. A teacher instructed the students to count from 1 to 1000 while keeping the following rules. In each calculation step, one can choose to either multiply the previous result by a fixed one digit number a selected in advance, or just add 1 to it. Which number should be chosen to be a in order to be able to reach 1000 in the least number of steps? K. 465. A treasure trunk has an electronic lock mechanism controlled by eight switches. Every switch has two settings: on or off. The lock opens if each switch is on. It is possible to change the setting of any switch to the opposite. However, the electronic sensors will detect which switch has been manipulated, and as a result, three other switches will be automatically changed, too. (These automatic changes will not generate further switches changing.) The table below shows which switch induces which further switches to change. (For simplicity, the switches are numbered.) Number of switch 1 2 3 4 5 6 7 8 manipulated Numbers of further switches changing 2, 5, 7 1, 3, 8 5, 6, 7 1, 6, 8 2, 3, 6 2, 5, 8 1, 3, 4 1, 4, 7 automatically a) Initially, every switch is off, except for 6 and 7. The trunk can now be opened by manually changing the setting of two appropriate switches. Which two? b) Initially, every switch is off, except for 7. Is it possible to open the trunk now by manipulating the appropriate switches? K. 466. How many integers are there from 1 to 2015 such that

382


i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 383. oldal – 63. lap


i

their decimal representation contains a digit of 5, but does not contain any digit of 7? K. 467. Let p denote a prime number greater than 3 and less than 1000. What are the chances that p − 1 or p + 1 is divisible by 6? K. 468. x denotes a positive integer such that the fraction 30−x can be simplified. Find all possible values of the fraction, expressed 91 in lowest terms. New exercises for practice – competition C (see page 353): Exercises up to grade 10: C. 1301. Prove that if x1 and x2 are positive real numbers, then ( (x1 + x2 + 1)

1 1 + +1 x1 x2

) > 9.

C. 1302. The tangents drawn from an exterior point P to a given circle of radius r and centre O touch the circle at Q and R. What should be the distance |OP | so that the area of quadrilateral P QOR is equal to the area of the circle? Exercises for everyone: C. 1303. The area of a rectangular origami sheet is 130 cm2 . The sheet is folded symmetrically by forming a regular triangle with two adjacent vertices turned inwards, as shown in the figure. Find the lengths of the sides of the original sheet. C. 1304. Two players are playing the following game: They take turns in writing a natural number 1 to 10 on a blackboard. It is only allowed to write a number that does not divide any of the numbers written on the board previously. If a player is not able to write a new number on the board, he loses the game. Show that the starting player has a winning strategy. C. 1305. A spiral is made out of a square of side n units, as shown in the figure, by always breaking the line 1 unit before reaching the already existing part of the spiral. Similarly, a spiral is made out of a regular triangle of side 1.8n units by breaking the line 1.8 units before closing up. (The diagram shows the two spirals for the case of n = 4.) For what value of n will the lengths of the two spirals be equal? Exercises upwards of grade 11: C. 1306. Prove that if a triangle has two sides that are at most as long as the corresponding altitudes each, then the triangle is an isosceles√right-angled triangle. C. 1307. For what real number q will √ ) ( ( ) ( ) the numbers 3 − 5 , 3 5 5 − q , 0, 6 − √15 form a geometric progression? New exercises – competition B (see page 354): B. 4723. Are there infinitely many prime numbers, such that the sum of any 2015 of them is a composite number? (3 points) (Proposed by G. Mész´ aros, Budapest) B. 4724. Solve the inequality x + y − 1 xy + x1 + y1 − xy 6 2 and represent it in the coordinate plane. (4 points) B. 4725. Show that if a simple graph has 7 vertices and no cycle of length 4 then it has a vertex whose degree is at most 2. (4 points) B. 4726. In a square ABCD, points P and Q lie on sides AB and BC, respectively, and BP = BQ. Let T denote the foot of the perpendicular dropped from vertex B to the line segment P C. Prove that ∠DT Q is a right angle. (4 points) B. 4727. Determine all functions f : R → R such that f (x + y) + f (x)f (y) = x2 y 2 + 2xy for all x and y. (5 points) B. 4728. Let e be the line of one of the edges of a cube. How many lines of the space intersect exactly those out of the 12 lines containing the edges of the cube which are skew relative to e? (3 points) B. 4729. A given quadrilateral ABCD has right angles at C and at D. Construct that point P of line segment CD for which ∠AP D = 2∠BP C. (5 points) B. 4730. The circles k1 and k2 touch at point E. Points Xi and Yi are marked on each circle ki (i = 1, 2) such that the two lines Xi Yi intersect each other on the common interior tangent of the circles. Prove that the line connecting the centres of circles X1 X2 E and Y1 Y2 E, and the other line connecting the centres of circles X1 Y2 E and X2 Y1 E also intersect each other on the common interior tangent of the circles. (5 points) (Proposed by K. Williams, Szeged) B.√ 4731. Let 0 √ 6 a, b, c 6 2, √ and a + b + c = 3. Determine the largest and smallest values of a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1). (6 points) (Proposed by K. Williams, Szeged)


383

i

i i

i

i i

i

2015.9.23 – 16:49 – 384. oldal – 64. lap


i

New problems – competition A (see page 355): A. 647. Let k be a nonnegative integer. Prove that there are only finitely many positive integers n for which there exist ∏ ∏ two disjoint sets A and B satisfying A ∪ B = {1, 2, . . . , n} and a∈A a − b∈B b = k. (Proposed by: Bal´ azs Maga, Budapest) A. 648. In the acute angled triangle ABC, the midpoints of the sides BC, CA and AB are D, E and F , respectively. The foot of the altitude of the triangle starting from C is T1 . On some line, passing through point C but not containing T1 , the feet of the perpendiculars starting from A and B are T2 and T3 , respectively. Prove that the circle DEF passes through the center of the circle T1 T2 T3 . (Proposed by: B´ alint B´ır´ o, Eger) A. 649. A convex polyhedron has only quadrilateral faces. Show that it is possible to split every face into two triangles by drawing one of its diagonals in such a way that at each vertex of the polyhedron, an even number of triangles meet. (Proposed by: J´ anos Nagy, Budapest)

|

|

Problems in Physics (see page 380) M. 352. Measure the spring constant of the toy called jumping frog. One can make the frog jump such that the sucker is pressed against the bottom disc, in the direction of the axis of the spring. (If the jumping frog is not available, one can make experiments with a retractable ballpoint pen.) P. 4748. Can it be possible that the ice-cream ball, which was dropped from the tower called K´ aroly-kil´ at´ o in the city of Sopron, melts before it reaches the ground? P. 4749. A parachutist descends uniformly at a speed of 8 m/s in calm weather. What will the speed of the parachutist be if there is a 6 m/s crosswind? P. 4750. Silver-gold alloys can be made in any ratio of the two constituents. The weight of a particular piece of this type of alloy in air is 15 N, whilst its weight in water is 14 N. What is the percent composition by mass of gold in the alloy? P. 4751. What can be observed if the handle of a resonating tuning fork a) touches the tabletop, or b) is emerged into water? Explain the observations. P. 4752. The string of a bow is pulled by a force of 200 N, such that the arrow is moved backwards by a distance of 50 cm. The applied force is proportional to the displacement of the midpoint of the string. With this bow an arrow of mass 40 g is shot vertically upwards. To what maximum height can the arrow fly if 40% of the elastic energy is used? P. 4753. The beat frequency of two organ pipes of lengths 80 cm and 81 cm is 2.6 Hz, when both resonate at its fundamental frequency. Calculate the fundamental frequencies of the pipes and the speed of sound in air. P. 4754. 4 litres of water at a temperature of 30 ◦ C is poured into a copper hemisphere shaped container of volume 4 dm3 . The temperature of water decreases by 3 ◦ C, whilst the temperature of the container increases by 27 ◦ C. What is the width of the wall of the container? P. 4755. We have four filament lamps rated at 4.5 V, and two rechargeable batteries, one rated at 12 V and the other at 3 V. Make a circuit from the given elements, such that all the filament lamps are operated at their working temperatures. P. 4756. A circular ring is made of a piece of metal wire of resistivity ϱ and of width 2a. The radius of the central circle of the ring is r (r ≫ a). This ring is placed into uniform magnetic field of magnitude B 0 , which is perpendicular to the plane of the ring. Then the magnetic induction is decreased uniformly to zero in a time of ∆t. Determine the magnitude of the induced magnetic field, Bind , at the centre of the ring. P. 4757. The work function of the cathode of a photocell in a circuit is 6 · 10−19 J. Ultraviolet wave of wavelength 250 nm hits the cathode perpendicularly. a) What is the stopping potential at which the photo-current becomes zero? b) What is the linear momentum given to the cathode, during one elementary process, if the emitted electron is ejected oppositely to the direction of the radiation? c) Let us change the frequency of the radiation. At most by what factor can the linear momentum of the emitted electron be greater than that of the entering photon?

65. évfolyam 6. sz´ am

K¨ oMaL

Budapest, 2015. szeptember

i

i i

i

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI LAPOK INFORMATIKA ROVATTAL BŐVÍTVE

Recommend Documents