Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice

2 ax

a, b, c  R

+ bx + c = 0 a0

- koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

- pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici lineární bx + c = 0

obsah 1. Úplná kvadratická rovnice – řešení pomocí DISKRIMINANTU D………………… • A) 4x2 + 5x + 1 = 0……………………………………………………………………….. • B) 5x2 - 11x + 2 = 0………………………………………………………………………. • C) 3x2 - 4x - 7 = 0………………………………………………………………………… • D) 4x2 - 12x + 9 = 0………………………………………………………………………. • E) 4x2 - 2x + 9 = 0…………………………………………………………………………

4 5 6 7 8 9

2. Úplná kvadratická rovnice – Vietovy vztahy………………………………………… 10 • A) x2 - 8x + 15 = 0……………………………………………………………………. 11 • B) x2 + 5x - 14 = 0……………………………………………………………………. 12 • C) x2 - 5x + 6 = 0……………………………………………………………………… 13 3. Neúplná kvadratická rovnice – řešení pomocí odmocňování……………………. 14 • A) 16x2 - 25 = 0…………………………………………………………………………… 15 • B) -9x2 + 64 = 0…………………………………………………………………………… 16 4. Neúplná kvadratická rovnice – řešení pomocí vytýkání…………………………… 17 • A) 3x2 + 5x = 0…………………………………………………………………………….. 18 • B) 7x2 + 21x = 0…………………………………………………………………………… 19 5. Úprava rovnic, podmínky řešitelnosti……………………………………………..20 - 22 2x  1 3 x  2 • A)   x2  x x x  1

Úplná kvadratická rovnice řešení pomocí diskriminantu D

ax2 + bx + c = 0

a  0, b  0, c  0

•

Vzorec pro výpočet DISKRIMINANTU D

D  b 2  4ac

•

Vzorec pro výpočet kořenů rovnice

• • •

x1, 2 

Postup: Určíme koeficienty a, b, c (pozor na znaménka) Vypočteme D. Podle toho, zda je D kladný, roven nule, či záporný, získáme různý počet kořenů:

D0

rovnice má dva kořeny

D0 D0

• • •

b D 2a

rovnice má jeden kořen (dvojnásobný) v množině reálných čísel nemá rovnice řešení, množina kořenů K je prázdná

Vypočteme kořeny dle vzorce Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti Zapíšeme množinu kořenů

D  b  4ac 2

ax2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D

Př. 1.a) Řešte v R: Postup: • Určíme koeficienty a, b, c:

x1, 2

b D  2a

4x2 + 5x + 1 = 0

4x2 + 5x + 1 = 0 a=4 b=5 c=1

• Vypočteme D D = 52 – 4.4.1 = 25 – 16 = 9 rovnice má dva kořeny

D0 • Vypočteme kořeny dle vzorce x1, 2 

5 9 53   24 8

• Zapíšeme množinu kořenů

 5  3  2 1   8 8 4 53 8   1 8 8

1  K   ,1 4 

D  b 2  4ac

ax2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D

x1, 2

b D  2a

Př. 1.b) Řešte v R: 5x2 - 11x + 2 = 0 Postup: • Určíme koeficienty a, b, c: 5x2 - 11x + 2 = 0 a=5 b=-11 c=2 • Vypočteme D D = (-11)2 – 4.5.2 = 121 – 40 = 81

D0 • Vypočteme kořeny dle vzorce x1, 2 

11  81  25

11  9  10

11  9 20  2 10 10 11  9 2 1   10 10 5

Zapíšeme množinu kořenů  1 K  2,   5

rovnice má dva kořeny

D  b 2  4ac

ax2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D

x1, 2

b D  2a

Př. 1.c) Řešte v R: 3x2 - 4x - 7 = 0 Postup: • Určíme koeficienty a, b, c: 3x2 - 4x - 7 = 0 a=3 b=-4 c=-7 • Vypočteme D D = (-4)2 – 4.3.(-7) = 16 – (-84) = 16 + 84 = 100 D0 rovnice má dva kořeny • Vypočteme kořeny dle vzorce x1, 2 

4  100  23

4  10  6

Zapíšeme množinu kořenů

4  10 14 7   6 6 3 4  10  6   1 6 6

7  K   ,1 3 

D  b 2  4ac

ax2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D

x1, 2

b D  2a

Př.1.d) Řešte v R: 4x2 - 12x + 9 = 0 Postup: • Určíme koeficienty a, b, c: 4x2 - 12x + 9 = 0 a=4 b=-12 c=9 • Vypočteme D D = (-12)2 – 4.4.9 = 144 – 144 = 0 D=0 rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen • Vypočteme kořen dle vzorce

x1, 2 

12  0  24

12  0  8

Zapíšeme množinu kořenů

12  0 12 3   8 8 2 12  0 12 3   8 8 2

3 K   2

Uvedeno pro názornost dvojnásobného kořenu. Není nutné takto rozepisovat, stačí jeden výpočet.

ax2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice řešení pomocí D

D  b  4ac 2

x1, 2 

b D 2a

Př. 1. e) Řešte v R: 4x2 - 2x + 9 = 0 Postup: • Určíme koeficienty a, b, c: 4x2 - 2x + 9 = 0 a=4 b=-2 c=9 •

Vypočteme D D = (-2)2 – 4.4.9 = 4 – 144 = -140

D je menší než 0

D0

v množině reálných čísel nemá rovnice řešení, množina kořenů K je prázdná, ze záporného čísla nelze vypočítat druhou odmocninu (zkuste na kalkulačce vypočítat

Zapíšeme množinu kořenů

K 

 140

)

a  1, b  0, c  0 • Vietovy vztahy • •

x2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy x1+ x2 = -b x 1x 2 = c

Postup: Rovnici upravíme do tvaru x2 + bx + c = 0

určíme –b -b x1+x2 roznásobíme c na dva činitele

x1.x2

kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny -b •

•

Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti Zapíšeme množinu kořenů

a  1, b  0, c  0 •

Vietovy vztahy

• •

Příklad 2.a) Řešte v R rovnici

x2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy x1+ x2 = -b x1x2 = c

x2 - 8x + 15 = 0

určíme –b +8

35

115 3 5

x1+x2

x1.x2

roznásobíme 15 (c) na dva činitele kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny 8 (-b) •

•

x1=3, x2=5

Zapíšeme množinu kořenů

K  3,5

a  1, b  0, c  0 •

Vietovy vztahy

• •

Příklad 2.b) Řešte v R rovnici

x2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy x1+ x2 = -b x1x2 = c

x2 + 5x - 14 = 0

určíme –b -5

 27

72

72

x1+x2

x1.x2

roznásobíme -14 (c) na dva činitele kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny -5 (-b) •

x1=-7, x2=2

•

Zapíšeme množinu kořenů

K   7,2

a  1, b  0, c  0 •

Vietovy vztahy

• •

Příklad 2.c) Řešte v R rovnici

x2 + bx + c = 0 úplná kvadratická rovnice Vietovy vztahy x1+ x2 = -b x1x2 = c

x2 - 5x + 6 = 0

určíme –b +5 3 2

1 6 3 2

x1+x2

x1.x2

roznásobíme 6 (c) na dva činitele kořeny rovnice jsou činitelé, které jsou po sečtení rovny +5 (-b) •

x1=3, x2=2

•

Zapíšeme množinu kořenů

K  3,2

Neúplná kvadratická rovnice b=0

ax2 + c = 0 • Řešíme pomocí odmocnění • Postup: ax2 + c = 0 /-c odečteme c

ax2 = -c x2 =

c a

x =  c

/:a dělíme a /

odmocníme

a

• Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti • Zapíšeme množinu kořenů

Neúplná kvadratická rovnice b=0

ax2 + c = 0 • Př. 3.a) Řešte v R: 16x2 - 25 = 0 /+ 25 16x2 = 25

x2 =

25 16

x= 

x=



25 16

5 4

• Zapíšeme množinu kořenů

/:16 /

odmocníme

odmocníme čitatele, odmocníme jmenovatele

5 5  K   ,  4 4

Neúplná kvadratická rovnice b=0

ax2 + c = 0 • Př.3.b) Řešte v R: -9x2 + 64 = 0 /- 64 -9x2 = - 64

x2 =

 64 9

x2 =

64 9

x=



x= 

64 9

8 3

/:(-9)

/

odmocníme

odmocníme čitatele, odmocníme jmenovatele 8 8  K   ,  3 3

• Zapíšeme množinu kořenů

Neúplná kvadratická rovnice c=0

ax2 + bx = 0 • •

Řešíme pomocí vytýkání Postup: ax2 + bx = 0 /:a dělíme a x2 

b x0 a

b  x x    0 a 

/vytkneme x před závorku /součin je roven nule, právě když jeden nebo druhý činitel je roven nule

b  x   0 a 

x0

•

•

b a Pokud se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, provedeme zkoušku nebo určíme podmínky řešitelnosti x

Zapíšeme množinu kořenů

b  K  0,  a 

Neúplná kvadratická rovnice c=0

ax2 + bx = 0 • •

Př. 4.a) Řešte v R: 3x2 + 5x = 0 Postup: 3x2 + 5x = 0 /:3 5 x2  x  0 3 5  x x    0 3 

x0

/součin je roven nule, právě když jeden nebo druhý činitel je roven nule

5  x   0 3 

x •

/vytkneme x před závorku

5 3

Zapíšeme množinu kořenů

 5 K  0,   3

Neúplná kvadratická rovnice c=0

ax2 + bx = 0 • •

Př. 4.b) Řešte v R: 7x2 + 21x = 0 Postup: 7x2 + 21x = 0 /:7 x 2  3x  0 xx  3  0

x0

/vytkneme x před závorku /součin je roven nule, právě když jeden nebo druhý činitel je roven nule

x  3  0 x  3

•

Zapíšeme množinu kořenů

K  0,3

Kvadratická rovnice úpravy do tvaru ax2 + bx + c = 0 • Většina kvadratických rovnic není uvedena ve tvaru ax2 + bx + c = 0. • Do tohoto tvaru je nutné rovnici upravit, abychom mohli použít uvedená pravidla. • Používáme stejné úpravy jako při řešení lineárních rovnic. • Odstraňujeme zlomky, roznásobujeme závorky… • Pokud se neznámá vyskytuje ve jmenovateli, je nutné určit podmínky řešitelnosti nebo provést zkoušku. • Podmínky řešitelnosti vycházejí ze zásady, že ve jmenovateli nesmí být 0 (nulou nelze dělit, zkuste na kalkulačce vypočítat např. 18:0). • Je tedy nutné vyloučit z možných řešení taková reálná čísla, která by po dosazení za x způsobila, že by se ve jmenovateli 0 vyskytla.

Kvadratická rovnice úpravy do tvaru ax2 + bx + c = 0 •

Př. 5.a) Je dána rovnice

• •

a) Pro které reálné hodnoty neznámé x je daná rovnice definována? b) Určete množinu K všech reálných řešení rovnice.

• •

Řešení: a) Jedná se o podmínky řešitelnosti

2x  1 3 x  2   x2  x x x  1

2x  1 3 x  2   x2  x x x  1

2x  1 3 x  2   x( x  1) x x  1 x0

x 1

x0

x 1

• •

Vytkneme x ve jmenovateli (x2 + x)…..x(x + 1) Rovnice není definována pro x=0 a pro x=1

•

Rovnice je tedy definována pro každé reálné číslo kromě 0 a 1 x je elementem množiny reálných čísel kromě 0 a 1

x  R  0,1

Kvadratická rovnice úpravy do tvaru ax2 + bx + c = 0 •

Př. 5.a) Je dána rovnice

• •

a) Pro které reálné hodnoty neznámé x je daná rovnice definována? b) Určete množinu K všech reálných řešení rovnice.

•

Řešení b)

2x  1 3 x  2   x2  x x x  1

x  R  0,1

2x  1 3 x  2   x2  x x x  1

2x  1 3 x  2   x( x  1) x x  1 2 x  1  3( x  1)  x( x  2) 2 x  1  3x  3  x 2  2 x

0  x 2  3x  4

/.x(x-1) násobíme, abychom odstranili zlomky / roznásobíme závorky / upravíme do tvaru ax2 + bx + c = 0

/ řešíme pomocí Vietových vztahů

3  4 1

 4 1

K   4

Vrátíme se k podmínkám řešitelnosti: vzhledem k tomu, že x nesmí být rovno 1, nemůžeme ji zahrnout do množiny kořenů. Zapíšeme množinu kořenů, která bude obsahovat pouze ty výsledky řešení, které vyhovují podmínkám:

Děkuji za pozornost Zdroj: -

Hudcová, Milada, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, PROMETHEUS 2002, ISBN 80-7196-165-5 www.novamaturita.cz vlastní příklady

-

klipart