KURVA PARAMETRIK DAN TRANSFORMASINYA UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF DEKORATIF

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

T - 31

KURVA PARAMETRIK DAN TRANSFORMASINYA UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF DEKORATIF Veronica Suryaningsih1, Hanna Arini Parhusip2, Tundjung Mahatma3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2, 3 Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1 [email protected], [email protected], 3 [email protected] Abstrak Dalam makalah ini ditunjukkan bahwa dengan menggunakan persamaan matematika yang sederhana dapat dibuat bentuk motif dekoratif yang menarik. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam makalah ini adalah persamaan parametrik, diambil dari kalkulus. Persamaan parametrik berbentuk 𝑥 = 𝑥 𝑡 𝑦 = 𝑦(𝑡) . Jadi pasangan titik (𝑥, 𝑦) yang membentuk motif-motif tersebut. Motif-motif diperoleh dengan memvisualisasikan persamaan parametrik dengan menggunakan program MATLAB. Kurva parametrik yang diperoleh dikembangkan dengan berbagai transformasi. 1 Transformasi yang digunakan adalah fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = dan 𝐹 𝑧 = 𝑧 cos(𝑧) , tranformasi refleksi, rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi transformasi. Hasil visualisasi persamaan dipilih yang mempunyai bentuk simetri dan banyak dijumpai di alam sekitar. Kata kunci : persamaan parametrik, fungsi kompleks, transformasi refleksi, rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi transformasi

A. PENDAHULUAN Matematika merupakan salah satu ilmu yang tidak begitu banyak diminati sebagian besar orang karena dianggap tidak menarik. Namun dengan penelitian ini, akan ditunjukan bahwa matematika sebenarnya memiliki unsur seni yang menarik pula. Seperti halnya batik fraktal yang telah dikenal sebagai seni matematika, di sini ditunjukkan pula berbagai motif yang dapat digunakan sebagai motif dekoratif yang berasal dari berbagai persamaan sederhana dalam matematika. Persamaan-persamaan yang akan digunakan untuk pembuatan motif ini adalah persamaan parametrik. Ada berbagai persamaan parametrik yang kemudian divisualisasikan dengan program MATLAB. Software yang ingin dikerjakan di sini adalah software untuk membuat motif-motif dekoratif yang disusun atau dirancang dengan kalkulus, khususnya dengan menggunakan persamaan parametrik. Berbagai persamaan parametrik akan dipelajari dan divisualisasikan sehingga menghasilkan sebuah motif dekoratif. Contoh motif yang diperoleh dengan memvisualisasikan persamaan parametrik ditunjukkan pada Gambar 1.

Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ” Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Gambar 1. Grafik kurva parametrik yang diperoleh dengan memvariasi parameter.

Persamaan parametrik yang telah dikenal dari literatur (Stewart, 2001) diantaranya adalah Hiposikloid, Episikloid, Bézier, Kokleoid, dan Strofoid Folium Descartes. Pada penelitian ini ditunjukkan cara memvisualisasikan persamaan-persamaan parametrik tersebut dengan menggunakan MATLAB. Kurva parametrik yang diperoleh kemudian diolah kembali dengan mengunakan berbagai macam transformasi sehingga menghasilkan motif-motif menarik. Dalam makalah ini ditunjukkan transformasi persamaan parametrik dengan fungsi 1 kompleks 𝐹 𝑧 = 𝑧 dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Selain itu, kurva-kurva parametrik yang telah diperoleh, dikerjakan kembali dengan menggunakan berbagai transformasi. Transformasi-transformasi yang dikerjakan di antaranya adalah refleksi, rotasi, translasi, dilatasi serta komposisi transformasi (Web 1). B. DASAR TEORI Persamaan Parametrik dan Koordinat Kutub Pada persamaan parametrik nilai 𝑥 dan 𝑦 muncul secara eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut 𝑥 = 𝑓(𝑡) (1) 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

(2)

Persamaan parametrik mempunyai titik awal (𝑓 𝑎 , 𝑔(𝑎)) dan titik akhir (𝑓 𝑏 , 𝑔(𝑏)) (Stewart, 2001). Pasangan titik (𝑥, 𝑦) pada persamaan parametrik adalah titik-titik yang membentuk motif-motif tersebut. Sedangkan dalam koordinat kutub nilai 𝑥 dan 𝑦 tidak muncul secara eksplisit sehingga untuk dapat menggambarkannya perlu mengubahnya ke dalam bentuk persamaan parametrik. Koordinat kutub umumnya dituliskan dalam bentuk 𝐹 = 𝜑(𝑟, 𝜃) dan 𝜎 = 𝑟(𝜃) 𝑥

dimana 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 dan 𝑟 = persamaan parametrik sebagai

(3)

𝑥 2 + 𝑦 2 . Koordinat kutub dapat dituliskan dalam bentuk 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

(4)

Beberapa bentuk persamaan parametrik akan digambarkan dengan menggunakan program MATLAB sehingga akan menghasilkan sebuah kurva. Model Persamaan 1. 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 . cos 𝑡 − 𝑏. cos 𝑎 + 𝑏 . 𝑡 𝑏 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 . sin 𝑡 − 𝑏. sin( 𝑎 + 𝑏 . 𝑡 𝑏) untuk 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 500𝜋 dengan 500 titik Model Persamaan 2. 𝑥 = 𝑟. cos 2𝜋𝑡 , 𝑦 = 𝑟. sin 2𝜋𝑡 , 𝑟 = 2 + sin 20𝜋𝑡 untuk 20 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2 dengan 500 titik Model Persamaan 3. 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 + sin 5 ∗ 𝑡 untuk 5 ≤ 𝑡 ≤ 50𝜋 dengan 500 titik Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 250

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Program MATLAB yang digunakan adalah sebagai berikut. %untuk model persamaan 1 a=0; b=500*pi; c=500; t=linspace(a,b,c); a=3;b=1; x=(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b); y=(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b); figure plot(x,y,'--ks','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','g',... 'MarkerFaceColor','g',... 'MarkerSize',10)

% a batas awal , b batas akhir, c banyak titik

%persamaan parametrik x %persamaan parametrik y %menggambar persamaan dengan warna

Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 2. Kurva persamaan parametrik ada juga yang mempunyai bentuk bunga yang sama dengan yang ada di alam. Contohnya pada Gambar 2 (paling kiri) menyerupai bentuk bunga pada Gambar 3.

Gambar 2. Grafik kurva parametrik dari model persamaan 1, 2, dan 3

Gambar 3. Bunga dengan 3 kelopak (Web 2)

Transformasi Kurva Parametrik dengan Fungsi Kompleks Berbagai fungsi kompleks seperti 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 , 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) , 𝐹 𝑧 = sin (𝑧) , 𝐹 𝑧 = tan (𝑧) , 𝐹 𝑧 = 𝑒 𝑧 telah divisualisasikan dengan MATLAB untuk beberapa domain bilangan kompleks (Parhusip, 2010).Seluruh domain bilangan kompleks adalah sebagai bidang kartesian jelas tidak mungkin dapat divisualisasikan. Untuk itu, hasil-hasil kurva persamaan dianggap sebagai domain bilangan kompleks. Hal inilah yang akan ditunjukkan pada makalah ini. Untuk memvisualisasikan hasil transformasi bilangan kompleks 𝐹(𝑧) selalu perlu disusun dalam bentuk 𝐹 𝑧 = 𝑅𝑒 𝑓 𝑧

+ 𝑖 𝐼𝑚(𝑓(𝑧))

(5)

dimana 𝑅𝑒 𝑓 𝑧 = 𝑢(𝑥, 𝑦) dan 𝐼𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑣(𝑥, 𝑦) sedangkan (𝑥, 𝑦) merupakan titik-titik hasil kurva parametrik. Sebagai contoh, persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 akan ditransformasikan terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 dengan 𝑧 = (𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)). Bentuk umum bilangan kompleks adalah 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

(6)

dimana 𝑥 merupakan bagian real dan 𝑦 merupakan bagian imaginer. Untuk 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 maka diperoleh persamaan sebagai berikut. 1 1 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥 𝑦 = . = 2 = 2 − 2 𝑖 2 2 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥 − 𝑦2 𝑥 Persamaan baru dari transformasi fungsi kompleks adalah bagian real 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 dan 𝐹 𝑧 =

𝑦

bagian imaginer 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 −𝑦 2 . Persamaan baru 𝑢 dan 𝑣 ini akan digambarkan sebagai transformasi persamaan parametrik terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 251

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Secara sama, persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 dapat ditransformasikan juga dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Bentuk trigonometri dari fungsi kompleks umumnya dituliskan (Beem, 2006) 1 1 sin 𝑧 = 2 (𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 ) dan cos 𝑧 = 2 (𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 ) (7) 𝑒 𝑖𝑧 = cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧 dan 𝑒 −𝑖𝑧 = cos 𝑧 − 𝑖 sin 𝑧 (8) Sehingga 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) = cos(𝑥 + 𝑖𝑦) 1 1 = (𝑒 𝑖(𝑥+𝑖𝑦 ) + 𝑒 −𝑖(𝑥+𝑖𝑦 ) ) = (cos 𝑥. ( 𝑒 −𝑦 + 𝑒 𝑦 ) + 𝑖 sin 𝑥 . (𝑒 −𝑦 − 𝑒 𝑦 )) 2

2

Dari persamaan di atas didapatkan persamaan baru 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑣 𝑥, 𝑦 =

1 sin 𝑥 2

. (𝑒 −𝑦 − 𝑒 𝑦 ).

1 . cos 𝑥. ( 𝑒 −𝑦 2

+ 𝑒 𝑦 ) dan

Tabel 1. Program MATLAB untuk Transformasi Persamaan Parametrik ke Fungsi Kompleks Program MATLAB untuk 𝑭 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔(𝒛) Program MATLAB untuk 𝑭 𝒛 = 𝟏 𝒛 %transformasi f=1/z u=x./(x.^2+y.^2) %persamaan baru u(x,y) v=-y./(x.^2+y.^2) %persamaan baru v(x,y) figure %menggambarkan persamaan (u,v) plot(u,v,'--ro','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','r',... 'MarkerFaceColor','k',... 'MarkerSize',10) fill ( u, v,'cd')

%transformasi f(z)=cos(z) u2=0.5*(exp(y)+exp(-y)).*cos(x); v2=0.5*(exp(-y)-exp(y)).*sin(x); figure plot(u2,v2,'--ko','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','r',... 'MarkerFaceColor','k',... 'MarkerSize',10)

Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 4.

Gambar 4a. Hasil pemetaan persamaan parametriks 𝑥 dan 𝑦 terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧

Gambar 4b. Hasil pemetaan persamaan parametriks 𝑥 dan 𝑦 terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos 𝑧

Transformasi fungsi kompleks terhadap persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 di atas telah memberikan hasil gambar-gambar yang menarik sebagai motif dekoratif.

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 252

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Transformasi Refleksi, Rotasi, Transalasi dan Dilatasi Hasil kurva-kurva tersebut dapat ditransformasikan untuk mendapatkan motif-motif yang lebih bervariasi. Refleksi adalah transformasi yang memindahkan objek dengan menggunakan sifat bayangan cermin (Web 1). Ada beberapa matriks yang dapat digunakan untuk merefleksikan kurva parametrik yang telah di dapatkan. Diantaranya adalah : 1 0 a. Refleksi terhadap sumbu 𝑥 digunakan matriks 0 −1 b. Refleksi terhadap sumbu 𝑦 digunakan matriks

−1 0 0 1

c. Refleksi terhadap titik asal 𝑂 atau setengah putaran digunakan matriks −1 0 0 −1 Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu objek dengan cara memutar pada pusat tertentu, dengan tidak merubah ukuran dan bentuk objek (Web 1). Matriks yang bersesuaian dengan transformasi rotasi terhadap titik O sebesar 𝜃 adalah cos 𝜃 − sin 𝜃 . sin 𝜃 cos 𝜃 Translasi adalah transformasi yang mengubah kedudukan suatu objek dengan jarak dan arah tertentu dengan tidak mengubah bentuk dan ukuran objek tersebut (Web 1). 𝑎 Translasi 𝑇 = pada titik 𝑃 (𝑥 , 𝑦) akan menjadi 𝑥 + 𝑎 dan 𝑦 + 𝑏 . Sehingga dapat 𝑏 dituliskan sebagai berikut : 𝑎 𝑇= ∶ 𝑃( 𝑥, 𝑦) → 𝑃′ (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) 𝑏 Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk (Web 1). Dalam hal ini untuk mengubah skala dari kurva parametrik yang telah diperoleh maka digunakan sebuah konstanta yang akan dioperasikan terhadap 𝑥 dan 𝑦. Tabel 2. Program MATLAB untuk Transformasi Refleksi, Rotasi, Translasi, dan Dilatasi Jenis Transformasi Program MATLAB %refleksi thdp sumbu y A=[-1 0;0 1]; %matriks refleksi terhadap sumbu y nm=length(x); for i=1:nm lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=A*lama; Ms(i,:)=vxy'; Refleksi end figure plot(Ms(:,1),Ms(:,2),'--mo','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','c',... 'MarkerFaceColor','y',... 'MarkerSize',10) %rotasi sebesar tt tt=pi/6; %besar sudut rotasi B=[cos(tt) -sin(tt); sin(tt) cos(tt)]; %matriks rotasi for i=1:nm lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=B*lama; Mr(i,:)=vxy'; Rotasi end figure plot(Mr(:,1),Mr(:,2),'--mo','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','c',... 'MarkerFaceColor','y',... 'MarkerSize',10)

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 253

PROSIDING

Translasi

Dilatasi

ISBN : 978–979–16353–9–4

%translasi T=[100 200]; %besar perpindahan x dan y for i=1:nm lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=T'+lama; Mt(i,:)=vxy'; end figure plot(Mt(:,1),Mt(:,2),'--mo','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','c',... 'MarkerFaceColor','y',... 'MarkerSize',10) %dilatasi D=1/2; %memperkecil ukuran objek ½ kali nya for i=1:nm lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=D*lama; Mp(i,:)=vxy'; end figure plot(Mp(:,1),Mp(:,2),'--mo','LineWidth',2,... 'MarkerEdgeColor','c',... 'MarkerFaceColor','y',... 'MarkerSize',10)

Komposisi Transformasi Komposisi transformasi adalah transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali secara berurutan. Misalkan kurva parametrik yang telah ditransformasikan terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 kemudian hasil refleksinya dirotasikan sebesar 𝜃. Contoh program di MATLAB adalah sebagai berikut. %komposisi rotasi kemudian direfleksikan for i=1:nm vh=[u2(i);v2(i)]; komposisi=A*(B*vh); %A matriks refleksi, B matriks rotasi Mk(i,:)=komposisi'; end figure plot(Mk(:,1),Mk(:,2),'--ko')

C. METODE PENELITIAN Penelitian disusun dalam 2 bagian yaitu visualisasi sederhana persamaan parametrik (Bagian I) dan memvariasikan kurva parametrik dengan berbagai transformasi (Bagian II). Bagian I Langkah 1. Mengumpulkan berbagai persamaan parametrik yang terkenal dari literatur. Langkah 2. Memvisualisasikan persamaan parametrik dengan menggunakan software MATLAB. Langkah 3. Mentransformasikan persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 dengan beberapa fungsi kompleks dengan persamaan baru dalam 𝑢 dan 𝑣 sehingga menghasilkan motif yang lainnya Langkah 4. Memberikan variasi warna dan variasi garis untuk setiap Gambar yang akan ditampilkan dengan MATLAB.

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 254

PROSIDING

Bagian II Langkah5. Langkah 6.

ISBN : 978–979–16353–9–4

.Mendapatkan motif dengan berbagai transformasi dengan mengembangkan domain mula-mula. Mengubah parameter sehingga menghasilkan motif terbaik yang mungkin untuk digunakan sebagai suatu motif.

D. HASIL DAN PEMBAHASAN Sebuah persamaan parametrik divisualisasikan dengan menggunakan MATLAB menghasilkan sebuah kurva parametrik. Kurva yang terbentuk kemudian dikerjakan kembali dengan berbagai transformasi. Kurva-kurva inilah yang kemudian akan dijadikan sebagai motif kain. Pada model-model persamaan sebelumnya, telah didapatkan tiga macam motif untuk masing-masing model. Ketiga motif tersebut adalah motif persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) , transformasinya terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Selanjutnya, motif dapat divariasi dengan transformasi lainnya untuk mendapatkan bentuk motif yang lebih bervariasi. Model Persamaan 1 Motif yang dijadikan domain adalah motif transformasi fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Motif ini akan direfleksikan terhadap sumbu 𝑦 sehingga akan menghasilkan motif yang ditunjukkan pada Gambar 5. Untuk mendapatkan motif dalam bentuk (arah) berbeda, tidak perlu menggambarkan ulang dengan mencari persamaan yang memenuhi namun cukup hanya dengan menggunakan transformasi saja. Motif lain yang dapat dikerjakan adalah dengan mentransformasikan motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧. Motif yang terbentuk ditunjukkan pada Gambar 6.

Gambar 5. Motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dari model persamaan 1 direfleksikan terhadap sumbu 𝑦

Gambar 6. Motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dari model persamaan 1 ditransformasikan terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧.

Hasil transformasi dua kali terhadap fungsi kompleks di atas dapat divariasi kembali dengan komposisi transformasi. Disini akan digabungkan hasil transformasi 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 dengan refleksinya terhadap sumbu 𝑦. Kemudian ditambahkan dengan hasil rotasinya sebesar 90° dan refleksi dari rotasinya terhadap sumbu 𝑥 . Motif yang terbentuk ditunjukkan pada Gambar 7. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 255

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Gambar 7. Komposisi transformasi 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) terhadap 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 yang kemudian di gabungkan.

Model Persamaan 2 Kurva parametrik (𝑥, 𝑦) akan ditransformasi dengan dilatasi sebesar 1 1.25 dan 1 . Kurva-kurva yang diperoleh kemudian akan digabungkan untuk menghasilkan suatu 5 motif baru. Namun karena motif ini belum terisi penuh, maka akan ditambahkan dengan motif persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) yang telah ditransformasikan terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧. Kurva ini juga akan ditransformasikan dengan dilatasi sebesar 1 2. Sehingga disini akan ada lima buah motif yang akan digabungkan menjadi satu buah motif baru. Motif-motif yang akan digabungkan dapat diberikan variasi warna. Motif baru ditunjukkan pada Gambar 9 dan bunga natural yang mungkin serupa ditunjukkan pada Gambar 8.

Gambar 8. Bunga (Web 3)

Gambar 9. Motif dari persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) ditransformasikan dengan dilatasi dan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 yang kemudian digabungkan.

Model Persamaan 3 Pada persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) akan dilakukan penggabungan kurva parametrik yang telah ditransformasikan dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) . Untuk menggabungkan kurva-kurva pamametrik ini perlu dilakukan komposisi parametrik. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 256

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Transformasi yang digunakan diantaranya adalah refleksi terhadap sumbu 𝑥, rotasi sebesar 90° dan rotasi sebesar 45° . Disini diperlukan translasi untuk mengatur axis dari masing-masing motif agar ketika digabungkan gambar tidak menumpuk. Translasi yang digunakan adalah [1.4 2.7] dan [2.8 0]. Disini akan digabungkan tiga buah kurva hasil transformasi terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) sehingga ada tiga jenis transformasi yang harus dikerjakan. Yang pertama adalah komposisi transformasi dengan merefleksikan kurva terhadap sumbu 𝑥 yang kemudian dirotasikan sebesar 90° . Komposisi pertama ini kemudian ditranslasikan dengan T [1.4 2.7]. Transformasi kedua adalah dengan merotasikan kurva sebesar 45°. Dan yang ketiga merupakan komposisi dari rotasi sebesar 45° yang kemudian direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 dan ditranslasi sebesar [2.8 0]. Gabungan ketiga hasil transformasi ini memberikan bentuk motif yang baru yang ditunjukkan pada Gambar 11 dan bentuk natural yang dianggap serupa adalah Gambar 10. Akan tetapi warna masih perlu di atur lebih lanjut.

Gambar 10. Ubur-ubur Gambar 11. Motif baru dari gabungan hasil transformasi kurva parametrik (Web 4) (𝑥, 𝑦) terhadap 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) yang dikerjakan dengan beberapa transformasi kembali.

E. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan :  Persamaan parametrik sederhana dalam matematika dapat divisualisasikan dengan menggunakan MATLAB sehingga menghasilkan kurva-kurva menarik. 1  Kurva-kurva parametrik dapat ditransformasikan kedalam fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 𝑧 dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧).  Hasil transformasi fungsi kompleks dapat ditranformasikan kembali dengan transformasi refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi.  Untuk mentransformasikan kurva lebih dari satu kali maka digunakan komposisi transformasi. Saran :  Motif-motif yang diperoleh dapat digunakan juga sebagai motif kain dan batik. Untuk motif kain batik memang diperlukan satu cuplikan yang dipenuhi oleh motif yang dipilih. Sedangkan pada persamaan sebelumnya hanya ada satu motif yang telah mengisi seluruh cuplikan agar dapat diulang pada seluruh ukuran kain yang dikehendaki.  Koleksi gambar dari kurva-kurva mungkin digunakan dengan GUI dari MATLAB. Namun masih ada gambar yang ketika menggunakan GUI hasilnya tidak sesuai dengan gambar yang dihasilkan pada program MATLAB. F. DAFTAR PUSTAKA Beem JK. 2006. Geometri Connections. Mathematics Departement, University of Missourri-Columbia. New Jersey 07458 : Pearson. Parhusip HA. 2010. Learning Complex Function and Its Visualization with MATLAB. Department of Industrial Mathematics and Statistics, Science and Mathematics Faculty-Satya Wacana Christian University. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 257

PROSIDING

ISBN : 978–979–16353–9–4

Pesta ES, Anwar C. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3 untuk SMA & MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid II: Penerjemah I Nyoman Susilo. Jakarta : Erlangga.

Web 1. http://files.sman1-mgl.sch.id/ Diakses pada 10 September 2013 pukul 14.16 WIB

Web 2. http://lh3.ggpht.com/_ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.21 WIB Web 3. http://gambargambarbunga.com/ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.34 WIB

Web 4. http://1.bp.blogspot.com/_ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.47 WIB

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013 MT- 258