STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES
SKRIPSI
AZWAR SYARIF 090823006
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENG ETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
2
STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
AZWAR SYARIF 090823006
PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
3
PERSETUJUAN
Judul
: STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES Kategori : SKRIPSI Nama : AZWAR SYARIF Nomor Induk Mahasiswa : 090823006 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di Medan, Juni 2011
Komisi Pembimbing : Pembimbing II
Pembimbing I
Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP 19461225 197403 1 001
Drs. Bambang Irawan, M.Sc NIP 19470421 197603 1 001
Diketahui Oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
4
PERNYATAAN
STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing- masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2011
Azwar Syarif 090823006
Universitas Sumatera Utara
5
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah kurnia-Nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Drs. Bambang Irawan, M.Sc dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng. selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan kepada penulis agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua Departemen Prof. Dr. Tulus, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah serta tidak lupa kepada Drs. Marihat Situmorang, M.Kom dan Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT selaku pembanding pada sidang skripsi ini. Akhirnya, tidak terlupakan kepada Bapak, Ibu dan semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan penulis. Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalas-Nya.
Universitas Sumatera Utara
6
ABSTRAK
Kurva secara luas digunakan dalam setiap aspek komputer grafis, terutama splines yang merupakan sepenggal polinomial kurva parametrik. Splines populer dalam Computer Aided Design (CAD) karena kesederhanaan konstruksi, kemudahan dan akurasi evaluasi, serta kapasitas untuk menentukan bentuk kompleks suatu permukaan. Bentuk permukaan objek nyata dapat direpresentasikan di layar komputer dengan menggunakan kurva parametrik. Teknik ini menggunakan fungsi parametrik, di mana bentuk dari kurva parametrik ini akan bergantung pada nilai parameter pembentuk kurvanya. Fungsi parametrik Kubik Bezier, dan BSplines adalah beberapa fungsi parametrik yang dapat digunakan untuk merepresentasikan objek. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan fungsi parametrik Catmull-Rom spline.
Kata kunci: Kurva, Fungsi parametrik, Catmull-Rom splines.
Universitas Sumatera Utara
7
STUDY ON PARAMETRIC CURVE CATMULL-ROM SPLINES
ABSTRACT
The curves are widely used in every aspect of computer graphics, especially a piece of polynomial splines are parametric curves. Splines popular in Computer Aided Design (CAD) because of the simplicity of construction, ease and accuracy evaluation, and capacity to determine the shape of a surface complex. Real object surface shape can be represented on a computer screen by using parametric curves. This technique uses parametric functions, where this form of parametric curves will depend on the parameter value forming the curve. Cubic Bezier parametric function, and B-Splines are parametric functions which can be used to represent objects. In this study, the authors use a parametric function of CatmullRom spline.
Keywords: Curve, Parametric function, Catmull-Rom splines.
Universitas Sumatera Utara
8
DAFTAR ISI
Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abtract Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Istilah
BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Latar Belakang Perumusan Masalah Tinjauan Pustaka Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Sistematika Penulisan
BAB 2. LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Grafika Komputer 2.1.1 Pemanfaatan Grafika Komputer 2.1 Kurva 2.2.1 Kurva Polinomial 2.2.2 Kurva Spline 2.2.3 Kontiunitas 2.2.4 Titik Kontrol Kurva
BAB 3. PEMBAHASAN 3.1. Catmull- Rom Splines 3.2. Kurva Parametrik 3.2.1 Kurva Parametrik Catmull- Rom Splines 3.3 Pemrograman GDI+ (Grafik Device Interface) 3.3.1 Area Menggambar 3.3.2 Sistem Koordinat 3.3.3 Menggambar Garis Pada Form 3.3.4 Menggambar Grafik Vektor 2 Dimensi 3.3.4.1 Menggambar Garis Dengan Pen 3.3.4.2 Menggunakan Structure Point
Halaman ii iii iv v vi vii ix xi
1 1 2 2 3 4 4 5
6 6 6 8 10 12 13 25
19 19 20 21 27 29 31 32 36 36 39
Universitas Sumatera Utara
9
BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran
44 44 45
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
Universitas Sumatera Utara
10
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Kerangka Grafik Komputer Interatif
7
Gambar 2.2 Elemen-Elemen Pembentuk Grafik
8
Gambar 2.3 Kurva Polinomial derajat satu
11
Gambar 2.4 Kurva Polinomial derajat dua
11
Gambar 2.5 Kurva Polinomial derajat tiga
12
Gambar 2.6 Koordinat Kurva Spline
13
Gambar 2.7 Kontinuitas Pada Kurva
15
Gambar 2.8 Kurva Dengan Titik Kontrol
16
Gambar 3.9 Kurva Catmull- Rom Spline
17
Gambar 3.10 Perubahan Kurva Pada Nilai
17
Gambar 3.11 Derivasi Kurva Catmull- Rom Splines
18
Gambar 3.12 Garis Singgung Kurva Catmull-Rom spline
22
Gambar 3.13 Interpolasi Kurva Catmull- Rom spline
23
Gambar 3.14 Model Interpolasi Catmull- Rom Splines
23
Gambar 3.15 (a) hasil perubahan dalam Persamaan (1), (b) hasil dari perubahan dalam Persamaan (3)
25
Gambar 3.16 Fungsi Lokal Kontrol Catmull-Rom Saplines
25
Gambar 3.17 Dua Segmen Kurva B-Spline Kubik Seragam
26
Gambar 3.18 Arsitektur GDI+
28
Gambar 3.19 GDI+ Namespaces dan Class dalam .NET
29
Gambar 3.20 Bit Daerah Gambar
30
Gambar 3.21 Koordinat Kartesian
31
Gambar 3.22 Koordinat Display GDI+
32
Gambar 3.23 Menggambar Garis dari titik (0,0) sampai (120,80)
32
Gambar 3.24 Garis Pada Form
34
Gambar 3.25 Garis Pada Form Dengan Pen
36
Gambar 3.26 Ellipse Pada Form Dengan Pen
37
Gambar 3.27 Arc Pada Form Dengan Pen
38
Gambar 3.28 Pie Pada Form Dengan Pen
38
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 3.29 Garis Pada Form Dengan Structure Point
39
Gambar 3.30 Poligon
40
Gambar 3.31 Poligon Pada Form Dengan Structure Point
40
Gambar 3.32 Cardinal Splines
41
Gambar 3.33 Cardinal Pada Form Dengan Structure Point
41
Gambar 3.34 Cardinal Tertutup Pada Form Dengan Structure Point
42
Gambar 3.35 Berzier Splines
42
Gambar 3.36 Kurva Brerzier Pada Form Dengan Structure Point
43
Universitas Sumatera Utara
12
DAFTAR ISTILAH
Aerospace, cabang ilmu yang mempelajari tentang angkasa luar. Automotive, sesuatu hal/kegitan yang berhubungan dengan mobil. Approksimasi, untuk menghitung lebih dekat dan mendekati ke nilai yang benar. Curve = kurva, adalah grafik dari persamaan parametrik x = f(t), y = g(t) yang fungsi f dan g kontinu dan domain dari masing- masing adalah sebuah interval tertutup. Curvature, lengkungan. Convex, kurva yang sedemikian rupa garis lurus memotong kurva yang memotong hanya dalam ke dua titik. Dimensi, mengacu pada properti-properti yang disebut panjang, luas, dan volume. Hanya memiliki konfigurasi panjang dikatakan menjadi satu dimensi Diinkremen, ditambahkan. Drop-off, pengurangan. Eksplisit, gamblang. Forward difference, perbedaan maju. Fleksibel, mudah disesuaikan. Geometri, ilmu yang menangani tentang bentuk dan ukuran pada sesuatu benda. Grafik, berkaitan dengan grafik, atau skala gambar. Grafika, gambar yang menunjukkan relasi antara angka set tertentu. Grid, jaringan. Implisit, mutlak Interval, adalah himpunan yang berisi semua angka antara ke dua angka yang diberikan. Interpolasi, proses mencari nilai fungsi antara dua nilai yang dikenal dengan prosedur lainnya dalam membandingkan hukum yang diberikan oleh fungsi itu sendiri. Koordinat, salah satu bilangan mengatur penempatan titik dalam ruang. Kontinuitas, sesuatu hal/kegiatan yang terus menerus.
Universitas Sumatera Utara
13
Komputasi, tindakan melaksanakan proses matematika. Digunakan terutama dengan mengacu pada aritmatika dan bukan bekerja secara aljabar. Linear, yang berhubungan dengan garis-garis lurus. Matriks, sebuah array segi empat yang memiliki elemen baris dan kolom. Numerik, terdiri dari bilangan, bukan huruf, tentang sifat angka. Parametrik, merupakan keluarga kurva yang memiliki ketentuan, u = konstan dan v = konstan di mana x = x(u,v), y = y(u,v), dan z = z(u,v). Permukaan = Surface, adalah bentuk geometris yang terdiri pada titik-titik koordinat yang memenuhi persamaan apa pun. Polinomial, fungsi yang nilainya dapat dihitung dengan mensubstitusi nilai tentang variabel independen. Poligon, suatu bidang yang terdiri dari titik n. Presisi, ketelitian. Spasial, tata ruang. Step, langkah. Software, perangkat lunak. Shipbuilding, pembuatan kapal. Spline, didefinisikan sebagai gabungan potongan-potongan polynomial yang didefinisikan sepanjang interval tertentu. Tangen, jarak dari titik kontak ke persimpangan pada garis singgung. Tension, ketegangan. Topologi, bahwa cabang geometri yang berkaitan dengan sifat topologi. Vektor, dalam ruang Euclid tiga dimensi, suatu entitas yang dapat digambarkan oleh segmen garis terarah dan tunduk pada operasi tertentu penjumlahan dan perkalian.
Universitas Sumatera Utara
