KUMPULAN MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 SERTIFIKASI GURU DALAM JABATAN
OLEH:
JOKO SOEBAGYO, S.Pd Email:
[email protected] Website: www.jokosby.wordpress.com Telp. 021 – 77827188 HP. 0812 1333 706
Depok Tahun 2009
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat ALLAH SWT yang masih memberi nikmat kepada kita semua. Amin. Buku kumpulan modul matematika sertifikasi guru disusun dalam rangka arsiper dan memudahkan penelusuran bagi guru matematika yang sudah dan yang akan melaksanakan sertifikasi guru. Buku ini berisi modul angkatan 2008 dn 2009 yang terdiri dari 17 Modul. Semoga saja Buku Kumpulan Modul matematika sertifikasi ini dapat bermanfaat buat kita semua.
Depok, 27 Agustus 2009 Penyusun
2
DAFTAR ISI
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
ANALISIS KOMBINATORIAL DAN STATISTIKA ............................................................ 4 GEOMETRI TRANSFORMASI ................................................................................... 20 INTEGRAL ............................................................................................................ 28 LIMIT .................................................................................................................. 40 LOGIKA MATEMATIKA ........................................................................................... 54 PELUANG ............................................................................................................ 72 VEKTOR .............................................................................................................. 77
3
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008
1. ANALISIS KOMBINATORIAL DAN STATISTIKA
I. PENDAHULUAN A. Kompentensi yang diharapkan Setelah mengikuti pelatihan ini peserta diharapkan menguasai materi pembelajaran kombinatorik, peluang dan statistika, mampu menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan kombinatorik seperti faktorial, permutasi dan kombinasi, mampu menentukan ruang sampel dan kejadian serta mampu menghitung peluang suatu kejadian, mampu menyelesaikan hal-hal yang berkaitan dengan statistika. Peserta juga diharapkan dapat mengiplementasikan pembelajaran materi ini di kelas. B. Pentingnya mempelajari Bahan Pelatihan Bahan pelatihan ini mencakup materi yang dapat diberikan pada siswa SMA, namun ada beberapa bagian yang merupakan bahan pengayaan bagi guru atau peserta pelatihan, yaitu pada topik binomium Newton, kejadian bersyarat dan angka baku. C. Tujuan Mempelajari Bahan Pelatihan Tujuan yang diharapkan dalam mempelajari bahan pelatihan ini adalah peserta pelatihan dapat: a. b. c. d. e. f. g.
menjelaskan pengertian faktorial, permutasi dan kombinasi menjelaskan pengertian dan menentukan ruang sampel dan kejadian menjelaskan dan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian menjelaskan dan menentukan peluang suatu kejadian memecahkan masalah yang terkait dengan peluang menjelaskan pengertian statistika dan statistik menjelaskan cara-cara penyajian data, baik melalui gambar/ diagram maupun tabel h. menjelaskan pengertian ukuran tendensi sentral dan ukuran pemusatan i. memecahkan masalah yang terkait dengan statistika D. Prasyarat mempelajari Bahan Pelatihan Prasyarat untuk mempelajari bahan pelatihan ini adalah himpunan, tetapi akan lebih baik para peserta pelatihan sudah mengusai kaidah pencacahan 2
E. Strategi Pelatihan Strategi pelatihan untuk bahan pelatihan adalah sebagai berikut: 1. Peserta mengerjakan Pretes, kemudian mendiskusikannya 2. Peserta dibagi menjadi 6 kelompok 3. Kelompok I menyajikan “ Masalah yang berkaitan dengan kombinatorik ”, kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan 4. Kelompok II menyajikan “ Kejadian dan peluang dengan menggunakan definisi peluang secara klasik maupun secara aksioma peluang “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan 5. Kelompok III menyajikan “ Peluang kejadian bersyarat dan peluang kejadian saling bebas “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan 6. Kelompok IV menyajikan “ Penyajian data dengan histogram dan poligon frekuensi “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan 7. Kelompok V menyajikan “ Statistika lima serangkai dari sekumpulan data “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan 8. Kelompok VI menyajikan “ Ukuran penyebaran dari sekumpulan data “ 9. Kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan II. KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA 1. KOMBINATORIK Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut: 1. Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu? 2. Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila r < n? 3. Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi? Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk menyelesaikan persoalan kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian. Contoh:
Untuk Prinsip Penjumlahan Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota. a. Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi anggota bulutangkis, maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota. Jika kedua himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub ditambahkan. 3
b. Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu: (i) Himpunan I terdiri dari pemain sepak bola saja (ii) Himpunan II terdiri dari pemain bulutangkis saja (iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan bulutangkis Ketiga himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7 dan 7, dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53 Cara lain untuk memperoleh hasil di atas adalah dengan rumus n(A
B)=n(A)+n(B)-n(A
B)
Untuk Prinsip Perkalian Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan berapa banyak cara Ahmad bepergian dari kota A ke kota C?
A
B
C
Dengan demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota A ke kota C adalah 3 . 2 = 6 cara Soal: Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8 a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka diketahui. b. Tuliskan semua bilangan tersebut c. Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil 1.1. Permutasi Definisi: Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut. n
P
n
n!
4
Definisi: Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n dan 0! = 1 Sifat 1: Banyaknya permutasi dari r unsur ( r adalah :
n
P
r
n ) yang diambil dari n unsur berbeda
n! (n
r )!
Sifat 2: Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masingmasing muncul q 1 , q 2 , .......... , q k kali adalah: P
n! q ! q !........ q ! 1
2
k
Sifat 3: Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )! 1.2. Kombinasi Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek. Sifat : Kombinasi r unsur ( r
n ) dari n unsur adalah: C n r
n! r !( n
r )!
1.3. Binomium Newton n
(a
b)
n
n
C a r 0
r
n r
b
r
Soal: 1. Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 a. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam angka yang diketahui terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali b. Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genap c. Berapa banyak yang lebih besar dari 330 2. Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk lingkaran? 5
3. Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk: a. tanpa pembatasan? b. dengan dua pria dan seorang wanita? c. dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia? 7
4. Tentukan koefisien x dari (2x - 3)
10
2. PELUANG 2.1. Pendahuluan Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain. Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsepkonsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir. 2.2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “ Contoh: 1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G } S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B } Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar. Contoh: 1. Pada percobaan melempar sebuah dadu. a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka: A = { 2, 4, 6 }
6
b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka: B = { 2, 3, 5 } c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka: C = { 1, 2, 3, 4, 6 } 2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam. a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka: P = { AA } b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka: Q = { AG, GA } Latihan 1: 1. Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan: a. Ruang Sampel S b. Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar c. Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar 2. Jika 2 buah dadu dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan: a. Ruang Sampel S b. Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7 c. Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2 2.3. Peluang Suatu Kejadian Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif Contoh: 1. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka =
7 15
2. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28 kali, maka frekuensi relatif muncul gambar =
28 50
Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu. Peluang. kejadian. sec ara. frekuensi. relatif
7
banyaknya. kejadian. yang. m uncul banyaknya. percobaan. yang. dilakukan
Latihan 2: Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu ! 1. Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan 100 kali. Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar! 2. Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif a. munculnya mata dadu bilangan prima b. munculnya mata dadu 5 c. munculnya mata dadu 2 Menghitung Peluang Secara Klasik Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar =
1 2
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G } banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam: p =
Jadi, p =
n(G ) n(S )
1 2
Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang. a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1 d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B = , maka P(A B)=P(A)+P(B) e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)
8
, maka
Soal: 1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat dalam bentuk tabel sbb:
Muncul
1
2
3
4
5
6
14
17
20
18
15
16
mata dadu Frekuensi
Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 3 a. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 1 b. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan genap c. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan prima 2. Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang 3. Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang: a. Jumlah mata dadu yang muncul 7 b. Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3 c. Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5 2.4. Kejadian Majemuk Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A maka : P ( A
,
B
,
B)=P(A)+P(B)
Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A maka : P ( A
B=
B)=P(A)+P(B)-P(A
B)
2.5. Peluang Komplemen suatu Kejadian Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A ) 2.6. Kejadian Bersyarat Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu 9
atau B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) = P(A
P( A
B)
P ( A)
atau
B) = P(A). P(B/A)
2.7. Kejadian Saling Bebas Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika P(A
B) = P(A) . P(B)
Soal: 1. Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3 diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV tersebut dan 2 TV ternyata cacat? 2. Tiga buah buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan sebuah kamus. Berapakah peluang a. kamus terpilih? b. dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih? 3. Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9? 4. Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah: a. P(A B) b. P(A’) c. P(A’ B) 5. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5? 3. STATISTIKA Pengertian Statistika dan Statistik Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika terdiri dari dua kegiatan: a. Mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut. b. Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang. 10
Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan (b) disebut Statistika Inferensial. Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti maknanya disebut statistik. Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu dari data. Nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median, modus, jangkauan data, kuartil, desil dan persentil disebut statistik. 3.1. Pengertian Populasi, Sampel dan Data Definisi: Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti. Sampel adalah sub kumpulan obyek atau benda yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah suatu informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan demikian data adalah kumpulan dari datum-datum. 3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah, Median dan Kuartil Atas) Median adalah data tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan. Jika n ganjil, maka datum yang ke
x
1 n 2
2
(x
n 2
n 2
n
1 2
x ) 1
n 2
1
merupakan bilangan bulat, sehingga median adalah
, sedangkan jika n ganjil, maka median adalah 1 2
(x
n 2
x ) 1
n 2
Contoh: Tentukan statistik lima serangkai dari data: 79, 63, 94, 100, 83, 92, 78, 62, 53, 84, 76 Jawab: Data diurutkan terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100 Ukuran terkecil : 53 Ukuran terbesar : 100
11
63
Kuartil 1 (Q1)
:
Median
: 79
Kuartil 3 (Q3)
:
76
69 ,5
2
84
92
88
2
3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga Rataan Kuartil =
1 2 1
Rataan Tiga =
4
(Q
(Q
1
1
Q ) 2
2Q
2
Q ) 3
3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar. Definisi: Jangkauan data atau Rentangan data adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dari data. J = x m ax
x
m in
Jangkauan antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. H = Q 3 Q 1 , Jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan Satu langkah didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan hamparan dan L menyatakan satu langkah maka: L = 1,5 x H Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di bawah nilai kuartil bawah Q 1 dan Pagar Luar (PL) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas Q 3 PD = Q 1 - L dan
PL = Q 3 + L
12
3.5. Penyajian Data dalam bentuk Diagram Penyajian data dalam bentuk diagram, misalnya: a. b. c. d. e.
Diagram Kotak Garis Diagram Batang Daun Diagram Batang Diagram Garis Diagram Lingkaran
3.6. Daftar Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif, Histogram Frekuensi, Poligon Frekuensi dan Ogive Daftar Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut. Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi total dikalikan 100% Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi dengan frekuensi kelas sebelumnya. Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif. Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah titik tengah pada histogram Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif 3.7. Data Statistika Deskriptif Ukuran-ukuran Tendensi Sentral Rataan Hitung, Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan Rataan Kuadratis Rataan Hitung Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu: x , x , .............. , x 1
2
x x
1
x
2
n
, rataan hitung adalah
............ x n
n
atau x
1 n
13
n
x i 1
i
Rataan untuk data dalam daftar distribusi frekuensi k
f .x i
i 1
x
f .x
i
1
f .x
1
k
2
f f
i 1
1
f
.............
2
...........
2
f
f .x k
k
k
i
Rataan Geometris Misalkan data bernilai positif terdiri atas x 1 , x 2 , .............. , x n . Rataan geometris dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:
g
n
x . x ........... x 1
2
n
Rataan Harmonis Misalkan data bernilai positif terdiri atas x 1 , x 2 , .............. , x n . Rataan harmonis dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi 1
1
1
1
h
n x
x
(
1
.............
2
1 x
)
n
Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis Misalkan diketahui data x 1 , x 2 , .............. , x n bilangan-bilangan positif. Rataan geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar atau sama dengan rataan harmonis Jadi: h
g
x
Rataan Kuadratis Misalkan data terdiri atas x 1 , x 2 , .............. , x n . Rataan kuadratis dinyatakan oleh k adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau
14
x k
2 i
n
Modus, Median, Kuartil, Desil dan Persentil Modus adalah nilai yang paling banyak muncul. Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi Nilai Modus : M o
L
1
(
)c
1
2
L = batas bawah limit kelas modus 1
2
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c = panjang kelas modus Median data dalam daftar distribusi frekuensi n
Median ( M e )
L
(
f
2 f
k
)
L = batas bawah limit kelas median n = ukuran data f
k
frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median c = panjang kelas median
Kuartil, Desil dan Persentil Untuk data tunggal kuartil adalah nilai data yang ke Jika i = 1 disebut kuartil bawah (Q1) Jika i = 2 disebut kuartil tengah (Q2) atau Median
15
i(n
1) 4
, i =1, 2, 3
Jika i = 3 disebut kuartil atas (Q3) Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi i. n
Kuartil (Qi) = L
f
4
k
dimana i = 1, 2, 3
f
L = batas bawah limit kelas Qi n = ukuran data f
frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi
k
f = frekuensi kelas Qi c = panjang kelas Qi
Untuk Desil dan Persentil caranya sama, yaitu Desil nilai data yang ke
i(n 10
1)
, sed a n g ka n
Persentil nilai data yang ke
i(n
1)
100
3.8. Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah a. b. c. d.
Simpangan Rata-rata Ragam (Variansi) dan Simpangan baku Koefisien Keragaman Angka Baku
a. Simpangan Rata-rata Definisi: Misalkan nilai-nilai data tunggal: x 1 , x 2 , .............. , x n , maka simpangan rata-rata SR =
n
1 n
|x i
1
i
x | , dimana x = rataan hitung dan n = ukuran data
16
Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah SR =
k
1 n
f |x i
i 1
1
x|
i
n
( f |x 1
x ) ................ f | x
1
k
k
x |) , dimana
n = ukuran data, k = banyaknya kelas dan f i = frekuensi kelas ke i dan x i
titik tengah kelas ke i
Ragam (Variansi) dan Simpangan baku Misalkan nilai-nilai data tunggal: x 1 , x 2 , .............. , x n , maka ragam (variansi) adalah: s
2
1 n
n
(x i 1
x)
i
2
1 n
[( x
x)
1
2
.............. ( x
2
n
x) ]
sedangkan simpangan baku adalah
s
s
n
1
2
(x
n
i 1
i
x)
2
Ragam dan simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah s
2
k
1
f (x
n
i
i
1
i
x)
2
sedangkan simpangan baku adalah
s
s
2
k
1 n
f (x i
1
i
i
x)
2
, dimana f i x
i
17
frekuensi kelas ke i dan
titik tengah kelas ke i
Koefisien Keragaman Koefisien Keragaman (V) =
sim pangan . baku
s
rataan . hitung
x
Koefisien Keragaman dinyatakan dalam prosen: s
V=
x1 0 0 %
x
Angka Baku Misalkan suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung x dan simpangan baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh
z
x
x s
Tugas Terstruktur Kerjakan soal-soal di bawah ini! 1. a. Berapa carakah dapat dibuat antrian masuk ke bis yang terdiri atas lima orang? b. Bila dua orang tidak saling mengikuti, ada berapa cara antrian yang dapat terjadi? 2. Dalam berapa macam cara yang berbedakah suatu ujian yang terdiri atas delapan soal dengan jawaban benar salah dapat dijawab? 3. Dari suatu kotak yang berisi empat bola hitam dan dua bola hijau, tiga bola diambil secara berturutan. Tiap bola dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya. Tentukan peluang bola hijau yang terambil! 4. Suatu kota mempunyai dua mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling bebas. Peluang suatu mobil tertentu tersedia bila dibutuhkan adalah 0,99 a. Berapakah peluang keduanya tidak tersedia bila dibutuhkan? b. Berapakah peluang suatu mobil tersedia bila dibutuhkan? 5. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata pelajaran statistika: 23 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80
77
81
95
41
65
92
85
55
76
52
10
64
75
78
25
80
98
81
67
41
71
83
54
64
72
88
62
74
43
18
60
78
89
76
84
48
84
90
15
79
34
67
17
82
69
74
63
80
85
61
Susunlah skor nilai di atas ke dalam daftar distribusi frekuensi, kemudian buatlah histogram, poligon frekuensi dan ogive Hitunglah: a. b. c. d. e. f.
Rataan hitung Modus Median Simpangan Kuartil Koefisien Keragaman (V) Selidiki pula apakah skor nilai di atas mengandung pencilan atau tidak!
SELAMAT BEKERJA
19
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 2. GEOMETRI TRANSFORMASI
GEOMETRI TRANSFORMASI 1. Pengertian Transformasi Transformasi pada bidang V adalah fungsi bijeksi (satu-satu dan pada) dari V ke V. Contoh : a. T : R 2
2
R , dengan T ( x , y )
( 2 x ,2 y
1) .
T merupakan fungsi satu-satu karena T ( x 1 , y 1 )
( x1 , y 1 ) T merupakan x 2
,
y
1
mengakibatkan
x2 , y2
fungsi
pada
2
R , sehingga T
2
T x2 , y2
x 2
karena ,
y
1 2
setiap
x, y
3
R , dengan T ( x , y , z )
terdapat
( x, y ) .
Karena T merupakan fungsi satu-satu dan pada maka T transformasi. b. T : R 3
2
R ,
merupakan
2
( x , 2 y ,3 z ) .
T
bukan merupakan fungsi satu-satu karena (1,2,2) (-1,2,2), tetapi T (1,2,2)= T (-1,2,2) Karena transformasi merupakan bijeksi, maka transformasi tersebut memiliki invers dan inversnya juga merupakan transformasi dan Invers dari suatu transformasi tunggal.
2. Hasil Kali Transformasi V dan Definisi : Misalkan F dan G dua transformasi dengan F : V G :V V maka komposisi dari F dan G ditulis sebagai F G yang didefinisikan G F P
G F P ,
P
V .
V dan G : V V adalah suatu transformasi maka Teorema 1 : Jika F : V V juga transformasi. hasilkali F G : V
(Buktikan !) 3. Jenis-jenis Transformasi Transformasi yang akan dibahas meliputi : a. Isometri Transformasi U merupakan Isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q dipenuhi P ' Q ' PQ dengan P ' U P dan Q ' U Q . 20
Dengan perkataan lain isometri adalah suatu mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis). Teorema 2: Isometri adalah kolineasi Teorema 3 :
transformasi
yang
Isometri mempertahankan besar sudut. Teorema 4: Isometri mengawetkan kesejajaran.
b. Translasi / Geseran S merupakan geseran bila terdapat ruas garis berarah P dalam bidang dengan S(P) =P’ dipenuhi PP ' Teorema 5 : SAB = SCD jika dan hanya jika
AB
AB
AB
sedemikian hingga
ditulis SAB.
CD
Teorema 6 : Jika A, B, dan C tiga titik tak segaris maka SAB = SCD jika dan hanya jika CABD merupakan jajar genjang. Teorema 7 : Geseran adalah suatu isometri Teorema 8 : Geseran mempertahankan arah garis Teorema 9 : Hasilkali dua geseran SAB dengan SCD akan merupakan geseran lagi SPQ dengan PQ Teorema 10 : Terhadap S AB
AB
CD .
I tidak terdapat titik tetap dan semua garis // AB
akan menjadi garis tetap. Rumus geseran :
Y P’(x’,y’)
SOB (P(X,Y)) = P’(X’,Y’) Dengan cara tulis vektor :
X'
X
a
Y'
Y
b
b
B b O
a P (x, y)
X
a c. Pencerminan / Refleksi Definisi : Pencerminan terhadap garis s ditulis MS adalah pemetaan yang memenuhi : 1) 2)
Untuk B Untuk A
s , MS (B) = B s , MS (A) = A ' sedemikian hingga s adalah sumbu 21
AA ' .
Garis s disebut sebagai sumbu pencerminan. Teorema 11 : Pencerminan adalah suatu isometri. Teorema 12 : Pencerminan adalah suatu involusi (MSMS = I ) Teorema 13 : Titik tetap terhadap pencerminan MS adalah titik pada s dan semua garis yang
s adalah garis tetap.
Rumus umum pencerminan I : Misalkan persamaan garis s : ax + by + c = 0, dan P’ = MS(P), P
S
maka harus
memenuhi : 1) PP ' s 2) Titik tengah PP ' s Dari syarat di atas akan diperoleh persamaan dalam x’ dan y’ dan di dapat: s s P
P`
x'
x
y'
y
2 a ax a
by
2
2 b ax a
b
by
2
b
c
2
c
2
Rumus umum pencerminan II : Jika s dinyatakan dengan persamaan bentuk normal s : x cos y sin P 0 maka diperoleh :
Y x'
x cos 2
y'
x sin 2
y sin 2
2P cos
y cos 2
2P sin
P X
Atau dengan persamaan matriks : x'
cos 2
sin 2
x
y'
sin 2
cos 2
y
2P
22
s cos sin
Bagaimana dengan kejadian berikut : i. ii. iii. iv.
Jika s berhimpit dengan sumbu x Jika s berhimpit dengan sumbu y Jika s berhimpit dengan garis y = x Jika s berhimpit dengan garis y = - x
d. Rotasi Bagaimana MtMs untuk sembarang s dan t ?
t
A’’
A’
Dengan sifat segitiga kongruen maka diperoleh AP = A’P = A’’P dengan m
APA ' '
2
s, t
2
x x
P
s
o o
A
Sehingga pemetaan di samping disebut putaran dengan sudut 2 . Definisi : Rotasi terhadap P dengan sudut
dengan lambang
R p,
adalah
pemetaan yang memenuhi : 1) 2)
R p,
(P) = P
R p,
(A) = A’ dengan PA’ = PA, m APA '
Sudut positip jika arah putar berlawanan dengan arah jarum jam, sudut negatip bila arah putar searah perputaran jarum jam. Sedangkan =0 maka
R p,
= I. Putaran atau rotasi dengan sudut tidak nol hanya memiliki
satu titik tetap yaitu titik pusat putaran.
Teorema 14 : Sebarang putaran R p ,
selalu dapat dianggap sebagai
hasilkali dua pencerminan MtMs dengan P perpotongan (s,t) dan m
s, t
1 2
Teorema 15 :Rotasi (putaran) merupakan suatu isometri.
23
1
R p,
Teorema 16 :
R p,
y
Rumus putaran i. Dengan pusat putaran O(0,0)
A ' x', y'
Diperoleh rumus putaran R O , x'
x cos
y sin
y'
x sin
y cos
x'
cos
y'
sin
A x, y
atau
sin
O
x
A1
A2
x
cos
y
y
ii. Dengan pusat putaran P(a,b)
y
A'
Diperoleh rumus putaran R P , x' a
cos
y' b
sin
x'
cos
y'
sin
sin cos sin
x
cos
x
a
y
b
y
p dengan q
O
p
a cos
b sin
a
q
a sin
b cos
b
Teorema 17 :Terhadap R P ,
A
atau
P a, b
I satu – satunya titik tetap adalah P (titik
pusat) ada garis tetap jika R = merupakan rotasi dengan sudut 180o. e. Dilatasi Definisi : Diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif r, suatu dilatasi dengan faktor r dan pusat A adalah padanan yang bersifat : 1) D (A) = A 2) Jika P (AP)
A maka P’ = D (P) adalah titik pada sinar AP sehingga AP’ = r
Dilatasi dengan pusat A dan faktor r ditulis DA,r. 24
x
x
Rumus umum Dilatasi : DO,r ((x,y)) = (rx,ry) , DA,r ((x,y)) = kx
x , y pada bidang O(0,0) 1
k a , ky
1
k b
, A(a,b)
Untuk pembuktian lihat gambar i) dan ii)
y i).
P' x', y'
y ii).
P' x', y'
x p'
P x, y p
P x, y
a
O
x
A a, b
O
Buktikan rumus tersebut!
4. Similarity Definisi : Suatu transformasi T adalah transformasi kesebangunan (disingkat kesebangunan) apabila ada sebuah konstanta k 0 sehingga untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = k PQ dengan P’= T (P) dan Q’ = T (Q).
25
Teorema 18 : Similarity adalah suatu kolineasi. Bukti : Misalkan Lk adalah similarity dan s garis lurus. Akan dibuktikan Lk (s) adalah garis lurus lagi. Pembuktian sama dengan dalam isometri. Teorema 19 : Hasilkali similarity Lm dengan Lk adalah similarity lagi dengan faktor km. Bukti : diturunkan dari definisi. Teorema 20 : similarity mempertahankan besar sudut. Bukti : Ambil
A’
ABC
Andaikan A’ = Lk (A)
B’
B’ = Lk (B)
A
C’
C
C’ = Lk (C) maka A’B’ = k AB,
B
B’C’ = k BC, C’A’ = k CA Maka m
A 'B' C' ~
A ' B' C'
m
ABC sehingga
ABC .
Corollary : similarity mempertahankan ketegaklurusan. Teorama 21: similarity mempertahankan kesejajaran. Buktikan ! sentral
Isometri
Pencerminan sentral
Similaritas
Dilatasi
Transformasi Affiine Misalkan T subset, R2 f : T
T transformasi affine pada T .
berbentuk f
x
a
0
x
e
y
c
d
y
w
.
26
Maka f dapat
Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan factor pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Perhatikan peta dari beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.
Secara umum transformasi linier T pada R n , dinyatakan oleh T x
Ax
b,
dengan A adalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan b adalah vector di n R . Sebuah transformasi ditentukan oleh matriks A dan vector b .
27
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 3. INTEGRAL
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) =
f(x) dx
Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.
1 3 x 3
2
x dx
Contoh :
3
c
4 x dx
x
4
c
Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat : 1.
kf ( x ) dx = k f ( x ) dx
2.
[ f ( x)
=
g ( x )] dx
f ( x ) dx
+
g ( x ) dx
Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu 1.
1
n
x dx
n
3. cos xdx
5. e dx
e
x
dx 1
x
1
sin
2
x
x
c
4.
cos x 1 x
dx
6. a dx
1
x
c
dx
8.
1 1
x
c
x
10. sec
c
ln x
x
sec
2
c , n ≠ - 1 2. sin xdx
c
dx
9.
n 1
sin x
x
7.
x
2
2
a
c
x
ln a
tgn
xdx
c
1
x
tgnx
c
c
1 2
11. cos ec xdx 13. cos ecxctgxdx
ctgx
c
cos ecx
12. sec xtgnxdx
c
28
sec x
c
Contoh :
(2 x
3
1
5 cos x ) dx
2
x
4
5 sin x
c
INTEGRAL TENTU
Definisi : Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika b
n
lim P
0i 1
f ( xi ) xi
f ( x ) dx disebut Integral Tentu (Integral
ada, selanjutnya a
Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan b
n
f ( x ) dx = lim P
a
0i 1
f ( xi ) xi .
b
f ( x ) dx menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x a b
f ( x ) dx bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang
dalam selang [a,b], jika a
berada dibawah sumbu x. Definisi : a
f ( x ) dx = 0 a b
a
f ( x ) dx = a
f ( x ) dx , a > b b
29
Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka b
f ( x ) dx = F(b) – F(a) a b
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x )] a Contoh : 1. Perlihatkan bahwa jika r b
r
x dx a
Q dan r -1, maka
b
r 1
a
r 1
r
1
r
1
Jawab : Karena F(x) = b
r
x dx
x
r 1
r
1
F (b )
suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,
F (a )
a
b
r 1
a
r 1
r
1
r
1
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat : Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan f + g terintegralkan, dengan
b
b
kf ( x ) dx
1.
f ( x ) dx
k
a
a b
b
[ f ( x)
2.
g ( x )] dx =
a
b
f ( x ) dx + g ( x ) dx a
a
Contoh : 2
Hitung
(4 x
2
6 x ) dx
1
Jawab : 2
(4 x 1
2
6 x ) dx
2
4 x dx 1
2
2
6 x dx = 4 1 30
x
2
2
2
6 1
x
3
3
2
1
= 4
4
1
2
2
6
8
1
3
3
=
12
Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Penambahan Selang Teorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka
c
b
f ( x )dx =
c
f ( x )dx +
a
a
f ( x )dx bagaimanapun urutan a, b dan c. b
Contoh : 2
1
2
x dx
1.
x dx
0 2
0 1
2
x dx
3.
2
2
x dx 1 2
2
x dx
0
2
2
0
3
2
x dx
2.
2
2
x dx
0
0
3
2
x dx 1
2. Sifat Simetri Teorema : a
a
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka
f ( x )dx = 2 a a
f ( x )dx dan 0
f ( x )dx = 0.
Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka a
Contoh :
cos
1. 5
2. 5x
x 2
x
dx
4
2 cos 0
x 4
dx
8 cos 0
5
dx = 0 4
31
x 4
.
1 4
dx
4 2
2
x dx
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka
f(g(x))g’(x) dx =
f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh :
sin
Hitunglah
x x
dx .
Jawab : Misalkan u =
sin
x x
1
x = x1/2 sehingga du =
dx = 2 sin
1
x
2
1/ 2
x
2
x
1/ 2
dx maka
dx = 2 sin udu = 2cosu + c = 2cos
x +c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Teorema : Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, g (b )
b
f ( g ( x )) g ' ( x )dx
maka a
f ( u )du g (a )
Contoh : 1
x
Hitung 0 (x
2
1 2x
dx 6)
Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi 1 0 (x
x 2
1 2x
dx = 6)
11
2( x
2 0 (x2
1)
2x
dx 6)
32
=
1 9 du
1
26 u
2
1
9
ln u 6
2
(ln 9
1
ln 6 ) =
ln
2
3 2
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri
a.
sin n x dx,
cos n x dx
Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut sin 2 x =
1
cos 2 x 2
, cos 2 x =
1
cos 2 x 2
Contoh :
1.
cos x dx =
=
=
b.
1
4
1 4 3 8
dx +
x+
1 4
cos 2 x
2
2
1
dx =
cos 2x (2) dx +
4
sin 2x +
1 32
1 8
1
(1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx
4
(1 + cos 4x) dx
sin 4x + c
sin m x cos n x dx Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut. Contoh : Tentukan : 1.
c.
tg n x dx,
sin 3 x cos –4 x dx
2.
sin 2 x cos 4 x dx
cotg n x dx.
Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.
33
Contoh : cotg 4 x dx =
cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx =
cotg 2 x d(cotg x) -
tg m x sec n x dx,
d.
cotg 2 x cosec 2 x dx –
1
(cosec 2 x – 1) dx = -
3
cotg 2 x dx = -
cotg 3x + cotg x + x + c
cotg m x cosec n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
Contoh : tg –3/2 x sec 4 x dx
Tentukan : 1. e.
sin mx cos nx dx,
tg 3 x sec –1/2 x dx
2.
sin mx sin nx dx,
cos mx cos nx dx.
Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x] Contoh : sin 2x cos 3x dx = 1/2 = 1/10
sin 5x d(5x) – ½
sin 5x + sin (-x) dx sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
udv
uv
vdu
Contoh : x
xe dx
1.
Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex x
xe dx =
xe
x
x
e dx = xex –ex + c 34
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n ax
b
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n ax
x3 x
Contoh : Hitung
x3 x
Shg
4 dx x3 x
Jawab : Misalkan u =
b
4 dx = ( u
4 dx maka u
3
3
3
2
4 ) u . 3 u du 2
2
= x – 4 dan 3 u du = dx
7 2
3
4
4) 7
(x 2
(x
2
2
4) 3
a x , a x , x a b. Integran yang memuat bentuk Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :
4
1. Tentukan
x x
c
2
2
dx
2
Jawab : Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan
4
x x
2
2
dx =
=
2 cos t 4 sin
2
4
2
x x
( 2 cos t ) dt
4
x
2
= 2 cos t , shg
2
ctg tdt = - ctg t – t + c
t sin
1
x 2
c
5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
F ( x)
P ( x) Q ( x)
, P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut. Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :
35
5x
1
2
1
x
2
3
x
1
x
1
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh :
5x
Tentukan
x
3
3
dx
2
2x
3x
Jawab :
5x x
3
3
2x
5x
2
x( x
3x
3
A
1)( x
3)
B
x
x
C 1
x
3
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka
1
diperoleh : A = -1 , B =
5x x
3
2x
3
, dan C = 3
2
1
dx
dx =
2
1
= - ln x
2
sehingga
x
2 dx 1
ln x
1
x
3x
2
3
2 dx x 3 3 2
ln x
3
c
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh :
x
Tentukan
(x
3)
2
dx
Jawab :
x (x
A 3)
2
x
B 3
(x
3)
2
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
x (x
3)
2
1
dx
x
3
3
dx (x
3)
2
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor ( ax sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
A1 ax
A2 b
( ax
b)
2
dx
ln x
b)
k
3
( ax
b)
k
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh : 36
x
3
c
dalam penyebut, maka ada
Ak
...
3
6x
Tentukan
2
(4 x
3x 1)( x
1
2
dx
1)
Jawab :
6x (4 x
2
3x 1)( x
2
1 1)
A 4x
Bx 1
x
C
2
1
Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU 1. Luas Daerah Bidang Rata a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : b
A(R) =
f ( x )dx a
Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : A(R) =
d
f ( y )dy c
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
37
Contoh :
Tentukan fungsi :
luas
daerah
yang
dibatasi
oleh
Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut : 1. Gambar daerah yang bersangkutan 2. Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu 3. Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang 4. Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut 5. Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.
b. Daerah antara 2 Kurva Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) gambar berikut :
f(x) pada selang [a,b], sebagai
A ( f ( x ) g ( x )) x b
A=
( f ( x)
g ( x )) dx
a
Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.
38
Tugas Terstruktur
1. Tentukan : 2
cos x
a. 0 1
c.
sin
( tgx
x
e.
9
2
dx
b. (
2
d. ctgx cos ec xdx
x ln x ) dx
x
ctgx ) dx
3
2
x
2
dx
2x
f.
x
2
1 4x
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x y = 2x
2
x
dx 5 2
2 dan
4
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan y = 5 – x 4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y =
x dan y = -x + 6
5. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x + 6, y = x3 dan 0. Kemudian hitunglah luasnya.
39
2y + x =
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 4. LIMIT
LIMIT FUNGSI
Perhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus f ( x )
Jika variabel x diganti 2 maka f(2) =
0 0
2x
2
3x x
2
2
, merupakan bentuk tak tentu. Jadi f(x) tidak
ter-definisi pada x = 2, tetapi adakah suatu bilangan yang akan didekati oleh nilai f(x) jika nilai x mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2?. Untuk mengetahui jawabannya kita ambil nilai-nilai dari x yang mendekati 2 dari fihak kurang dari 2 (dari kiri) misalnya: 0; 1; 1,5; 1,9; 1,999; 1,999999 dan nilai-nilai x yang mendekati 2 dari fihak lebih dari 2 misalnya: 4; 3; 2,5; 2,1; 2,001; 2,000001. Kemudian dihitung nilai f pada nilai-nilai x tersebut yang terlihat pada tabel berikut: x
f(x)
0
1
1
3
1,5
4
1,9
4,8
1,999
4,998
1,999999
4,999998
2
?
2,000001
5,000002
2,001
5,002
2,1
5,02
2,5
6
3
7
4
9
Dari tabel di atas kita dapat menduga bahwa nilai f(x) akan mendekati 5 jika x mendekati 2 yang ditulis lim f ( x ) 5 . x
2
40
Definisi Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang I yang memuat c (pada c fungsi f boleh tidak terdefinisi). Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis lim f(x) = L jika untuk sembarang > 0 (bagaimanapun kecilnya), terdapat bilangan x
c
> 0 sedemikian hingga |f(x) - L| < apabila 0 < |x - c| < . Atau dengan kata lain jika x memenuhi 0 <|x - c| <
maka |f(x) - L| <
Perhatikan gambar berikut:
Y L+
y=f(x)
daerah |f(x)-L|< L L-
c-
c
c+
X
daerah 0<|x-c|< 2x
Contoh Buktikan lim x
2
3x x
2
2
2
5
Penyelesaian: Tinjauan pendahuluan: jika diberikan 2x
2
3x x
2
2
untuk x
2,
2
2
2x
3x x
=
(2 x
2
4 )( x x
2
> 0, akan dicari
> 0 sedemikian hingga jika 0 < |x - 2| <
5 <
5 =
2)
2x
2
3x
2 x
5( x
2)
2
=
2x
2
x
= |2x - 4| = 2 |x - 2|
dari hasil terakhir ini menyarankan pemilihan
41
8x
=
2
2
8
maka
Bukti lengkap: diberikan > 0 sembarang pilih
=
sehingga untuk nilai x yang memenuhi 0 < |x - 2| <
2
2x
2
3x x
terbukti lim x
2x
2
2
2 2
3x x
2
5 = 2 |x - 2| < 2 = 2
2
3
akan berlaku
=
=5
Limit satu sisi (limit kiri dan limit kanan Definisi Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka (a,c). Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis lim f(x) = L jika untuk sembarang > 0 x
c
(bagaimanapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian hingga |f(x)-L|< apabila 0
0 x
c
(bagai-manapun kecilnya), terdapat bilangan apabila 0<x-c< . Atau dengan kata lain jika x memenuhi 0 < x - c <
> 0 sedemikian hingga |f(x)-L|<
maka |f(x) - L| <
Contoh Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai: 1
f(x) = sgn(x) =
jika
x
0
0
jika
x
0
1
jika
x
0
Y 1
y=f(x) X
y=f(x)
-1 Gambar 42
dalam contoh ini
f(x) = -1 dan
lim x
f(x) = 1
lim
0
x
0
terlihat bahwa limit kiri tidak sama dengan limit kanan. Teorema f(x) = L jika dan hanya jika lim
lim x
c
x
Y
y=f(x)
f(x) = L dan
f(x) = L
lim
c
x
c
Y
Y y=f(x)
y=f(x) y=f(x) c
y=f(x)
X
c
(i)
X
c
(ii)
(iii)
Gambar gambar(i) lim x
f(x) = lim x
c
gambar(ii) lim x
f(x)
x
gambar(iii) lim f ( x )
f(x) ada
c
f(x) maka lim
lim x
c
x
f(x) maka lim
c
c
x
f(x) tidak ada
c
lim f ( x ) maka lim
c
x
c
x
f(x) tidak ada
c
Contoh Misalkan fungsi f didefinisikan f(x) = Y
-3
x
5
9
x
x
3
2
jika
x
jika
3
jika
3
3 x
x
X
Gambar f(x) =
lim x
3
x
karena
lim x
3
3
x
f(x) = lim x
3
9
3
x
2
= 0 dan
lim x
9
x
3
f(x) tidak ada
x
3
lim x
f(x) maka lim
lim
3
f(x) =
lim x
f(x)
lim x
(x+5) = 2 dan
lim
3
f(x) = lim
3
x
43
3
(x-3) = 0
2
=0
3
3
X
karena lim x
f(x) = lim
3
x
f(x) = 0 maka lim f(x) = 0 (ada) x
3
3
Teorema-teorema tentang limit Misalkan n bilangan bulat positip, k konstanta dan f,g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka: 1. lim x
k=k
2. lim x = c
c
x
3. lim k f(x)= k lim f(x) x
c
5. lim x
x
x
lim
f (x) c
x
=
g(x)
9. lim
x
c
5. lim
c
x
[f(x)+g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x
c
x
c
[f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) c
x
c
x
c
f ( x)
lim g ( x )
, asalkan lim g(x) x
0
[f(x)]n = [ lim
6. lim
c
x
c
x
f(x)]n c
c
f ( x ) = n lim
n
c
c
c
x
x
x
[f(x)-g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
7. lim x
4. lim
c
c
c
x
f ( x ) , asalkan lim f(x) x
c
0 dimana n genap
c
Teorema-teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit Contoh 2x4
1. Carilah lim x
3
2x4 = 2 lim
Penyelesaian: lim x
3
2. Carilah lim (3x 2 x
x
x4 = 2 [ lim 3
x
x]4 = 2 (3)4 = 162 3
2x)
4
Penyelesaian: lim (3x 2 x
2
2 2 2 x ) = lim 3x - lim 2 x = 3[ lim x ] - 2 lim x = 3[4] -
4
x
x
4
4
x
4
x
4
2(4) = 40 3. Jika lim f ( x ) x
c
Penyelesaian:
4 dan lim g ( x ) x
2
(2)
x
2
c
2
lim [f ( x ) 3 g ( x ) ] = [ lim f ( x ) lim x
4
c
2
8 carilah lim [f ( x ) 3 g ( x ) ] ,
c
x
c
x
3
g ( x ) ] = [ lim f ( x )] x
c
c
2
3
lim g ( x ) = x
c
32
Teorema Jika f suatu fungsi polinomial atau fungsi rasional maka lim f(x) = f(c) asalkan dalam x
kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol. 44
c
Contoh 1. Hitunglah lim (3x 2 x
4x
Penyelesaian: f ( x ) 2
lim (3x x
5)
1
4x
5)
(3x
2
f (1) = 3(1)2
5) ,
4x
+ 4(1) - 5 = 2
jadi
2
1
2. Hitunglah
7x
lim x
5
2
5
7x
Jadi lim x
t
3. Hitunglah lim t
2
3x
Penyelesaian: f(x) =
t
2
t
Penyelesaian:f(t) =
10 x
13 x
2
6x
7x
5
10 x
10
t
6
2
t
4
3x
3t 2
6
8
3x
3t 2
13 x
6x
2
2
4
10 x
6
7(2)
4
2
13 x
6x
6
=-
6
10(2) 2
4
13(2)
6(2)
8
6
=-
11 2
11 2
8
2
(2)
f(2) =
5
3(2)
8
10
t
f(2) =
(2)
2
3(2)
10
(2)
6
0
=
0
(bentuk tak tentu).
Karena di t = 2 nilai penyebutnya nol, maka teorema diatas tidak dapat diterapkan, adapun cara menyelesaikannya adalah lim t
t
2
2
t
3t
10
t
6
2
t
4
5. Hitunglah lim x
= lim
x
4
x
x
= lim x
0 x(
= lim x
(4
0 x(
(t
2 )( t
3)
4
x
x
x
x
(4
x
x
4
= lim
= lim t
2
(t
5)
(t
3)
=
2
5
2
3
=
7 5
x
0
f (0 )
x
4
x
x
0
(bentuk tak tentu)
0
4
x
4
x
4
x
4
x
x) 4
x)
2x 4
4 x
4
x) 4
5)
4
x
0
2 )( t
x
0
Penyelesaian: f ( x )
lim
2
(t
4
x)
lim x
0(
2 4
x
45
4
x)
2
1
2 4
4
4
4. Hitunglah lim x
4 (x
3
3)
Penyelesaian: 4
f(x) =
(x
f(3) =
3)
4
penyebutnya nol sehingga teorema diatas tidak dapat
0
diterapkan (ini akan dibahas selanjutnya sebagai limit tak hingga) Limit fungsi trigonometri Fungsi sinus dan kosinus mempunyai limit pada setiap bilangan real c yaitu lim sin x x
1
= sin c dan lim cos x = cos c. Fungsi-fungsi f(x) = sec x = x
1 sin x
cos x
c
sin x
, f(x) = tan x =
cos x
dan f(x) = ctg x =
cos x
c
, f(x) = csc x =
mempunyai limit pada setiap
sin x
bilangan real kecuali pada bilangan yang membuat penyebutnya nol. Misalnya f(x) = 1
sec x =
mempunyai limit pada semua bilangan real kecuali pada x =
cos x
2
+k
dengan k bilangan bulat. Rumus: sin x
1. lim x
x
0
x
2. lim
1
x
0
sin x
tan x
3. lim
1
x
0
x
4.
1
x
lim x
tan x
0
Contoh: sin 4 x
1. hitunglah lim x
0
3x
Penyelesaian:
x
= lim x
=
4
4
4x
3
0
sin 4 x
lim
3x
x
sin 4 x
0
4x
0
sin 4 x
0
x
=
4 3
=
0
x
x
sin 3 x
4x
3
3x
sin 4 x
4
3
46
0
sin 2 x
sin 2 x
= lim x
=
4
0
tan 5 x
lim
sin 4 x
= lim
tan 5 x
3. hitunglah lim Penyelesaian:
sin 3 x
lim
3x
0
x
Penyelesaian:
sin 4 x
lim
sin 3 x
2. hitunglah lim
5 2
0
tan 5 x
2x
5
5x
sin 2 x
2
1
Limit Takhingga Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = terdefinisi tetapi bagaimana nilai f untuk x berikut:
3 (x
2)
2
, fungsi f di x = 2 tidak
2 dan x mendekati 2, perhatikan tabel
Untuk x mendekati 2 dari fihak lebih dari 2 (dari kanan) x
3
5/2
7/3
9/4
21/10
201/100
2001/1000
f(x)
3
12
27
48
300
30.000
3.000.000
Terlihat bahwa nilai f bertambah besar tak terbatas jika x mendekati 2 dari kanan, ditulis lim x
2
3 (x
2)
2
=+
Untuk x mendekati 2 dari fihak kurang dari 2 (dari kiri) x
1
3/2
5/3
7/4
19/20
199/100
1999/1000
f(x)
3
12
27
48
300
30.000
3.000.000
Terlihat bahwa nilai f bertambah besar tak terbatas jika x mendekati 2 dari kiri, tulis lim x
2
3 (x
2)
2
=+
dari dua pengertian diatas dikatakan f bertambah besar tak terbatas jika x mendekati 2, ditulis lim x
2
3 (x
2)
2
=+ Y
y = f(x)
y = f(x) x=2 Gambar
Definisi Misalkan f fungsi yang tedefinisi pada selang terbuka I yang memuat c (pada c fungsi f boleh tidak terdefinisi). bila x mendekati c nilai f(x) bertambah besar tak terbatas ditulis lim f(x)= + jika untuk sembarang bilangan N > 0 terdapat > 0 sedemikian x
c
hingga f(x)>N, bila x memenuhi 0 < |x-c| <
47
Perhatikan gambar berikut:
f(x) N
c-
cx
c+
Gambar Hal serupa jika g(x) = 3
2 ditulis lim x
(x
2
2)
2
3 (x
2)
2
maka nilai g(x) menurun tak terbatas bila x mendekati
=-
Definisi Misalkan f fungsi yang tedefinisi pada selang buka I yang memuat c (pada c fungsi f boleh tidak terdefinisi). Bila x mendekati c nilai f(x) menurun tak terbatas ditulis jika untuk sembarang bilangan N < 0 terdapat >0 sedemikian hingga lim f(x)=x
c
f(x)
Y c-
c xc+
X
y = f(x)
y = f(x) N
f(x) Gambar
48
Limit satu pihak Definisi 1. Misalkan f terdefinisi pada selang buka (a,c) lim f(x) = + x
bilangan N > 0 terdapat (i))
jika untuk sembarang
c
> 0 sedemikian hingga f(x) > N bila 0 < c - x < .(gambar
2. Misalkan f terdefinisi pada selang terbuka (c,d) lim x
sembarang bilangan N > 0 terdapat < .(gambar (ii))
f(x)
N
N
xc
cx
Gambar (i)
c+
Gambar (ii)
Definisi yang serupa untuk lim f(x) = x
jika untuk
> 0 sedemikian hingga f(x) > N bila 0 < x - c
f(x)
c-
f(x) = +
c
dan lim f(x) = -
c
x
c
Contoh Misalkan h adalah fungsi yang didefinisikan h(x) =
lim x
1
2x x
1
=+ Y
2 1
X
Gambar
49
2x x
1
, maka lim x
1
2x x
1
=-
dan
Teorema Jika r sembarang bilangan bulat positip maka 1
(a). lim x
x
0
r
=+
(b). lim x
0
1 x
r
jik a r ganjil
=
jik a r genap
Contoh lim x
0
1 x
=+
3
dan lim x
0
1 x
4
=+
sedangkan lim x
0
1 x
3
=-
dan lim x
0
1 x
4
=+
Teorema Jika c sembarang bilangan real dan jika lim g(x) = 0 dan lim f(x) = k dimana k x
konstanta tak nol maka: lim x
c
f (x)
(i)
c
x
c
jika k>0 dan g(x) 0 dari arah positip maka
=+
g(x)
(ii)
jika k>0 dan g(x) 0 dari arah negatip maka lim
(iii)
jika k<0 dan g(x) 0 dari arah positip maka lim
(iv)
jika k<0 dan g(x) 0 dari arah negatip maka lim
x
x
c
g(x) f (x) g(x)
c
x
f (x)
c
=-
=-
f (x) g(x)
=+
Teorema ini juga berlaku untuk limit satu sisi Contoh 1. Tentukan lim x
4
2x x
1 4
Penyelesaian: karena lim (2x-1) = 7 > 0 dan lim (x-4) = 0 (dari arah positip) maka lim x
4
x
2. Tentukan lim x
4
2x x
4
x
4
2x
1
x
4
2x
1
=+
1 4
Penyelesaian: karena lim (2x-1) = 7 > 0 dan lim (x-4) = 0 (dari arah negatip) maka lim x
4
x
4
x
50
4
x
4
=-
Limit di tak hingga 2x
Pandang fungsi f yang didefinisikan f(x) =
x
2
2
1
misalkan jika diambil nilai x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 dan seterusnya yaitu nilai x bertambah besar tak terbatas maka nilai f dapat dilihat dalam tabel berikut: x
0
1
2
3
4
5
10
100
f(x)
0
1
5/8
18/10
32/17
50/26
200/101
20.000/10.001
Terlihat bahwa jika nilai x bertambah besar tak terbatas maka kita menduga nilai f akan mendekati 2 ditulis lim x
2x x
2
2
1
=2
Definisi Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang buka (a,+ ) limit f(x) bila x bertambah besar tak terbatas adalah L ditulis lim f(x) = L jika untuk sembarang bilangan >0 x
(bagai-manapun kecilnya) terdapat bilangan N > 0 sedemikian hingga |f(x) - L| < apabila x > N. Perhatikan gambar berikut:
f(x)
L
L-
y = f(x)
N
x
Gambar
Dengan cara yang serupa untuk f(x) =
2x x
2
2
1
misalkan jika diambil nilai x = 0, -1, -2, -3, -4, -5, -10, -100, -1000 dan seterusnya yaitu nilai x menurun tak terbatas maka nilai f dapat dilihat dalam tabel berikut: x
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-100
f(x)
0
1
5/8
18/10
32/17
50/26
100/101
20.000/10.001
51
Terlihat bahwa jika nilai x menurun tak terbatas maka kita menduga nilai f akan 2x
mendekati 2 ditulis lim
x
x
2
2
1
=2
Definisi Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang buka (- ,a) limit f(x) bila x menurun tak terbatas adalah L ditulis lim f(x) = L jika untuk sembarang bilangan > 0 x
(bagaimanapun kecilnya) terdapat bilangan N < 0 sedemikian hingga |f(x) - L| < apabila x < N.
Perhatikan gambar berikut: L f(x) Lx
N
X
Gambar Teorema Jika r sembarang bilangan bulat positip, maka (i) lim x
1 x
=0
r
(ii) lim x
1 x
r
=0
Contoh 1. Tentukan lim x
4x
3
2x
5
Penyelesaian: lim x
4
0
2
0
4x
3
2x
5
= lim x
4 2
3 x 5 x
lim (4
=
x
2
3x
3x
4
x
lim (2 x
=2
2. Tentukan lim
x
52
3 ) x 5 ) x
lim 4
=
x
lim 2 x
lim ( 3 ) x
x
lim ( 5 ) x
x
=
x
Penyelesaian: lim
2
3x
3x
x
4
5x
3. Tentukan lim x
2x
3
= lim x
3 x
x
x
=
lim
2
x
2
5x 2x
3
4. Tentukan lim ( x 2
4 x
2
)
x
=
lim ( 3 ) x
x
lim x
(3) x
lim ( 4 ) x
=
x
x 5
x
(3 x
lim 1
1
5x
Penyelesaian: lim
3 ) x
lim (1
3 x 2
1
1
5x
2
x
x
= lim
2
2
x 5 x
2
x
x
1
2
3
= 0
1 x
2
1)
x
Penyelesaian:
lim ( x
2
2
x
2
1)
x
lim ( x
2
2
x
2
1)
x
x
2
2
x
2
1
x
2
2
x
2
1
= lim x
(x
2
x
2)
2
2
(x
2
x
2
1)
1
lim x
1
x
2
2
x
2
1 1 x
= lim x
1
2 x
2
1
1 x
0
2
Catatan: Pembahasan limit pada x menuju tak hingga dapat diperluas untuk lim f(x) = + , lim f(x) = - , lim f(x) = +
x
x
x
53
dan lim f(x) = x
=
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 5. LOGIKA MATEMATIKA
LOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih. II. PERNYATAAN Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi. III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK Suatu
kalimat
selain
dibedakan
atas
pernyataan
dan
bukan
pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal. Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan 54
majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk. Untuk
menggabungkan
pernyataan-pernyataan
tunggal
menjadi
pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika matematika. Contoh: 1. Jakarta adalah ibukota negara RI 2. Merah putih adalah bendera negara RI 3. 2 adalah bilangan prima yang genap 4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap Soal: Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya! OPERASI LOGIKA Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah 1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “ 2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “
“
3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “
“
4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “
“
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ “ Contoh pernyataan majemuk: 1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih 2. Ani dan Ana anak kembar 3. Cuaca hari ini mendung atau cerah 4. Jika x = 0 maka x
2
x
5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama
55
V. TABEL KEBENARAN 1. Operasi Negasi Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “ Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk. Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar. Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p
~p
B
S
S
B
Contoh: p
: Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia
2. Operasi Konjungsi Suatu
pernyataan
majemuk
yang
dibentuk
dengan
cara
menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “
“
Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: 56
p
q
p
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
3. Operasi Disjungsi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “
“
Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak keduaduanya.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: Disjungsi Inklusif:
Disjungsi Eksklusif:
p
q
p
q
p
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
S
S
S
57
q
p
q
4. Operasi Implikasi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ “ Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p
q
p
q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
5. Operasi Bi-implikasi Suatu
pernyataan
majemuk
yang
dibentuk
dengan
cara
menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “
“
Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponenkoponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponenkoponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p
q
p
q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
58
VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam: 1. Kontradiksi 2. Tautologi 3. Kontingensi
Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Contoh: Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi! ( ~p
q)v(qp)
p
q
~p
~p
q
q p ( ~p
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
B
B
59
q)v(qp)
Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu tautologi Soal: Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi! 1. ( p q ) p 2. ( p q ) [ ( ~ q r ) ( r 3. ( p v q ) ( ~ p q )
p)]
VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis. Contoh: p
q
pq
(pq)
p
[(pq)
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
p]p
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi “
“ atau “
“
Contoh: p
q
p
q
pq
qp (pq)
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
60
(qp)
Karena p
q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p q )
(qp
), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis. Jadi, p
q
(pq)
(qp)
Soal: Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis! 1. [( p q ) v r ] [( p 2. [ ~ ( p
q )]
~ q ) v r]
(pq)
VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb: konvers pq
invers
qp
kontraposisi
~p ~q
invers ~q ~p
konvers
61
Contoh: Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan: “ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “ Konvers
: Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh
besar Invers
: Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan
gajah Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar
Soal: Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan: 1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-siku 2
2. Jika x = 3 maka x = 9
IX. PENGERTIAN KUANTOR Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan. Kuantor dibedakan atas: 1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “
”
2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “
Contoh: Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5
62
“
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka:
x, x + 3 > 5 (
S) atau
x, x + 3 > 5 ( B )
Jika x
bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-
pernyataan di bawah ini! 1. (
x) ( y ) ( x + 2y = 7 )
2. ( x) ( y) (x + 2y = x) 3. (
x) (
y) ( x > y )
4. ( x) ( y) ( x.y = 1 )
X. PERNYATAAN BERKUANTOR Contoh pernyataan berkuantor: 1. Semua manusia fana 2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa 3. Ada bunga mawar yang berwarna merah 4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah
x, M(x) F(x)
Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini! 1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) ) 2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) ) 3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) ) 4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )
XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.
63
Contoh: Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah “ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “ Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi: x, M(x) T ( x ) , negasinya
x, M(x)
T(x)
Soal: Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!
XII. ARGUMEN Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. Contoh: 1. p q 2. p /
q
1. ( p q )
(rs)
2. ~ q v ~ s /
~pv~r
1. p 2. q /
p
q
64
XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN Bukti keabsahan argumen dapat melalui: 1. Tabel Kebenaran 2. Aturan Penyimpulan Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan. Contoh: Buktikan keabsahan argumen 1. 1. p q 2. ~ q /
~p
2. 1. a b 2. c d 3. ( ~b v ~d )
( ~a v ~b )/
~a v ~c
Bukti: Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
p
q ~p ~q p q [( p q)
~q] [(p q)
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
65
~q] ~p
Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah
Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan
1. a b 2. c d 3. ( ~b v ~d ) 4. ( a b )
( ~a v ~b )/
~a v ~c
( c d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d )
3, Simpl
6. ~ a v ~c
4,5 DD
Soal: Buktikan keabsahan argumen: 1. e ( f
~g)
2. ( f v g ) h 3. e /
h
XIV. ATURAN PENYIMPULAN 1. Modus Ponens (MP) pq p /
q
2. Modus Tolens (MT) pq ~q /
~p
66
3. Hypothetical Syllogisme (HS) pq qr/
pr
4. Disjunctive Syllogisme (DS) pvq ~p/
q
5. Constructive Dillema (CD) (pq) (rs) pvr/
qvs
6. Destructive Dillema (DD) (pq) (rs) ~qv~s/
~p v ~r
7. Conjunction (Conj) p q/
p
q
8. Simplification (Simpl) p q p
9. Addition ( Add) p pvq
67
XV. ATURAN PENGGANTIAN 1. De Morgan a. ~ ( p
q)
~pV~q
b. ~ ( p V q )
~p
~q
2. Komutatif a. ( p
q)
(q
b. ( p V q )
p)
(qVp)
3. Asosiatif a. ( p V q ) V r
pV(qVr)
b. ( p
r
p
r
(p
q)
(q
r)
4. Distributif a. ( p V q ) b. ( p
q)Vr
r)V(q
(pVr)
r)
(qVr)
5. Dobel Negasi ~(~p)
p
6. Implikasi pq
~pVq
7. Material Equivalen a. p
q
(pq)
b. p
q
(p
(qp)
q)V(~p
~q)
8. Eksportasi p(qr)
(p
q)r
9. Transposisi pq
~q~p
10. Tautologi a. ( p v p )
p
b. ( p
p
p)
68
Contoh: Selidiki keabsahan argumen di bawah ini! 1. a ( b c ) 2. c ( d
e)/
3. ( a
b)c
4. ( a
b)(d
5. ~ ( a
a(bd) 1, Eksportasi e)
b)V(d
3,4, Hypothetical Syllogisme
e)
4, Implikasi
6. ( ~ a V ~ b ) V ( d
e)
5, De Morgan
7. [(~ a V ~ b ) V d ]
[(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi
8. (~ a V ~ b ) V d
7, Simplifikasi
9. ~ a V ( ~ b V d )
8, Asosiasi
10. a ( b d )
9, Implikasi
Soal: Buktikan keabsahan argumen di bawah ini! 1. ( k V l ) ~ ( m
n)
2. ( ~ m V ~ n ) ( o 3. ( o
p)(q
r)/
p) (lVk)(r
q)
XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN 1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )
x, B(x) R(x) B(x) R(x)
69
2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )
x, P(x)
G(x)
2 P(x)
G(x)
3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) ) Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap
x, J(x) ~ G(x)
J(x)
~ G(x)
LEMBAR KERJA
1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi a. ( p v q ) ( ~ p r ) b. [( p q ) c. ( p
q)
( q p )] ( p
q)
( p ~q )
2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini implikasi logis, ekwivalen logis atau tidak kedua-duanya a. [( p
q ) r]
[( p ~q ) v r]
b. [( p q ) r] ( p v q ) c. [p ( q r )]
[( p
q ) r]
3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini! 1. j k 2. j v ( k v ~l ) 3. ~ k /
~l v ~k
70
4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam notasi logika! a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah (B(x), M(x)) b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar ulang (M(x), U(x)) c. Ada bilangan prima yang genap (P(x), G(x)) d. Beberapa tamu yang datang pejabat negara (T(x), P(x)) e. Tidak semua penumpang memiliki karcis (P(x), K(x))
SELAMAT BEKERJA
71
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 6. PELUANG
PELUANG Dari angka-angka 0, 1, 2, dan 3 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari 4 angka yang berbeda (tidak ada pengulangan angka), caranya sebagai berikut: I
Kotak I
II
III
IV
: Untuk angka ribuan. Karena angka 0 tidak dapat menempati kotak I, maka tinggal 3 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak I. jadi, ada 3 kemungkinan. I 3
Kotak II
: Untuk angka ratusan. Karena 1 angka telah menempati kotak I dan angka 0 dapat menempati kotak II, maka ada 3 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak II. Jadi, ada 3 kemungkinan.
Kotak II
I
II
3
3
: Untuk angka puluhan. Karena 2 angka telah menempati kotak I, dan II, maka tinggal 2 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak III. Jadi, ada 2 kemungkinan. I
II
III
3
3
2
Kotak III : Untuk angka satuan. Karena 3 angka telah menempati kotak I, II, dan III, maka tinggal 1 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak IV. Jadi, ada 1 kemungkinan. I
II
III
IV
3
3
2
1
72
Jadi, banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka-angka 0, 1, 2, dan 3 adalah: 3 x 3 x 2 x 1 = 18 bilangan. Permutasi Banyaknya permutasi dari r unsur yang dipilih dari n unsur dengan 0
n
Pr
Pr
n
P n, r
Contoh 1 :
r
n adalah
n! n
r !
Pada pemilihan pengurus kelas di kelas anda, ditentukan seorang sebagai ketua, seorang sebagai bendahara, dan seorang lagi sebagai sekretaris. Jika ada 7 orang calon, tentukanlah banyaknya cara untuk menyusun pangurus kelas ! Jawab :
7!
banyaknya cara adalah P 7, 3
7
7
3 !
6 5
4 3 2 1
4 3 2 1 7
6 5
2 1 0 cara
Contoh 2 :
Berapa banyaknya kendaraan bermotor yang dapat diberikan nomor polisi yang menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 tanpa ada angka kembar dimana tiap nomor terdiri dari 4 angka. Jawab :
diket : n = 6, r = 4 dit
: P 6, 4
penyelesaian:
6! 6
4 !
6! 2!
6 5
4 3
360
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama Misalkan terdapat n unsur, dengan n1 , n 2 , ..., n k unsur yang sama, maka banyaknya permutasi n unsur tersebut adalah: n! n1 ! n 2 !...n k ! 73
Contoh
:
Berapa
banyaknya
permutasi
dari
huruf-huruf
pada
kata
“MATEMATIKA” dapat disusun pada satu baris? Jawab : Banyaknya huruf (unsur) : n = 10 Huruf yang sama: M = 2, A = 3, T = 2 Banyaknya permutasi yang mungkin adalah 10 !
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2 !3 !2 !
2 1 3 2 1 2 1
151200
Permutasi Siklis Permutasi siklis terjadi, bila penyusunan unsur-unsur dilakukan melingkar menurut satu arah tertentu. Contoh : 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja yang berbentuk lingkaran. Hitung berapa banyak formasi duduk yang berbeda yang dapat disusun!
Jawab : Pada permutasi siklis tidak ada posisi 1, karena posisi 1 dapat menggunakan keempat tempat d
Secara umum dapat disimpulkan bahwa, dari n unsur yang tersedia dapat dibentuk permutasi s
Peluang Suatu Kejadian Andaikan dari suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dengan kesempatan yang sama untuk muncul dan terdapat k hasil yang merupakan kejadian X, maka peluang kejadian X ditulis P(X) adalah k/n. Contohnya : Dalam sebuah kotak terdapat 3 kelereng warna biru, 5 kelereng warna hijau, dan 2 kelereng warna merah. Jika sekaligus diambil 2 kelereng berapakah peluang: a. Yang terambil dua-duanya merah! b. Yang terambil dua-duanya hijau! c. Yang terambil satu biru dan satu hijau! Jawab: a. S = {B1, B2, B1, B3, B2, B3, …, M1, M2} → n = C(10,2) = 45 74
Kejadian X = M1, M2 → k = 1 Jadi, P(X) =
1 45
b. S = { B1, B2, B1, B3, B3, H1, …, M1, M2} → n = C(10,2) = 45 Kejadian X = H1, H2, …, H4, H5 → k = C(5,2) = 10 Jadi, P(X) =
10 45
2
=
9
c. S = {B1, B2, B1, B3, B2, B3, …, M1, M2,} → n = C(10,2) = 45 Kejadian X = B1, H1, B1, H2, …, B3, H5 → K = C(3,1) . C(5,1) = 3 . 5 = 15 Jadi, P(X) =
15
1
45
3
Kejadian Majemuk a. Dua kejadian yang saling lepas Dua kejadian (misal: kejadian A dan kejadian B) dikatakan saling lepas, bila irisan dari ke-2 kejadian itu adalah himpunan kosong. A a1 •
B b1 •
• a2
• b2
a3 •
b3 • • b4
Dari gambar di atas banyaknya unsur gabungan ke-2 himpunan adalah, n A
B
n A
n B . Himpunan A dan B saling lepas. A
B
Peluang untuk 2 kejadian yang saling lepas adalah: P A
B
P A
75
P B
b. Bila kejadiannya tidak saling lepas, A
(lihat diagram berikut).
B
S A
B •5
2•
•7
3•
•1
•6 •8 •9
• 11
• 10 • 12
•4
S = ruang sampel dari percobaan memilih bilangan dari {1, 2, 3, 4, …, 11, 12} A = kejadian mendapat bilangan prima B = kejadian mendapat bilangan yang lebih dari atau sama dengan 5. N (S) = 12 N (A) = 5
n A
B
5
8
3
10 → p A
B
N (B) = 8 N A
P A
B 5 12
=3
P B
P A
B
8
P A
12
P A
76
P B
P A
B
B
3 12
10 12
MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008 7. VEKTOR
VEKTOR Pengertian Vektor Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor. Kesamaan Vektor Dua vektor a dan b dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a = b (perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada
gambar b. Misalnya A H wakil dari vektor a dan B G wakil dari vektor b, maka a = b
(a sama dengan atau ekivalen b) sebab A H dan B G mempunyai arah dan panjang yang sama. H
G F
E
a b
D A
(a)
C
(b)A
B
Penjumlahan Vektor Misalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.
1. Aturan Segitiga Definisi: Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik 77
terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini). Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga. 2. Aturan Jajargenjang Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan jajargenjang (paralelogram).
Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor a. Komutatif : u + v = v + u b. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w) c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku hubungan : 0 + v = v + 0 = v d. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.
Pengurangan Vektor Definisi: Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh u - v = u + (-v)
Perkalian Vektor dengan Skalar Definisi: Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0. dan berlawanan arah v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
78
Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalar a. b. c. d. e.
||m v|| = |m| ||v|| m (-v) = -m v mv=vm (m +n) v = m v + n v m(u + v) = m u + m v
Panjang Vektor Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =
x y
. Panjang atau besar dari
ruas garis berarah O R dilambangkan dengan Dari gambar di samping, didapat hubungan: R(x,y)
OR2 = OA2 + OB2
OR =
x
2
r
y
OR2 = x2 + y2 y
2
X
x
Dengan demikian, panjang O R adalah: 2
||OR|| =
x +y
2
Jadi, besar atau panjang vektor r =
||r|| =
x
2
y
x y
dapat ditentukan dengan rumus:
2
Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan O R mewakili vektor r, maka x
vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =
y
.
z
Panjang atau besar ruas garis berarah O R ditulis sebagai || O R || atau OR. Berdasarkan gambar diperoleh hubungan: 2
2
di
samping
dan
Substitusi OD2 dan DR2 ke persamaan (1) diperoleh
2
OR = OD + DR ...................... (1) Sedangkan
DR2 = z2
OD2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2 + z2
OD2 = x2 + y2
Dengan demikian 79
|| O R || = OR =
x
2
y
2
z
2
Z C
R r O
X
B
A
Y
D
x
Jadi, besar atau panjang vektor r = y dapat ditentukan dengan rumus z
||r|| =
2
2
x +y +z
2
Contoh:
Diketahui vektor-vektor a =
1
3
2
2
, b = -2
-2
1
dan c = 5 . Hitunglah||2a - b + c|| 4
Jawab: 1
2a – b + c = 2 2 -2
3
-
-2 1
+
2
1
5
= 11
4
-1
||2a - b + c|| =
1 2 3 . Jadi, panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b + c|| =
2
2
(1) + (11) + (-1)
2
=
1 2 3 satuan panjang
Rumus Jarak Misalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat (x1,y1,z1) dan titik Q dengan
koordinat (x2,y2,z2). Ruas garis berarah P Q mewakili suatu vektor dengan komponen-komponen (x2 – x1), (y2 – y1), dan (z2 – z1). Oleh karena itu, panjang ruas
garis berarah P Q dapat ditentukan dengan rumus berikut.
|| P Q || =
2
2
(x 2 - x 1 ) + (y 2 - y 1 ) + (z 2 - z 1 )
80
2
Vektor Satuan Dalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai berikut. 1
ˆi =
0
0
dan ˆj =
1
Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan dari vektor a. Vektor satuan dari a (dilambangkan dengan eˆ , dibaca: e topi) searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan. Jika, vektor a =
eˆ =
a a
x y
, maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:
x
1
= x
2
y
2
y
Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor a(x,y,z) ditentukan dengan rumus:
eˆ =
a a
x
1
= x
2
y
2
z
2
y z
Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 (Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat) Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian
Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) (lihat gambar di bawah ini)
•
A
•
m
C
81
n
•
B
Tanda-tanda (positif atau negatifnya) m dan n ditentukan dengan kesepakatan sebagai berikut.
(1) Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga A C d a n C B searah, maka, m dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau keduanya negatif). (2) Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB,
maka A C d a n C B berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif). Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan rumus c=
mb m
na n
Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.
Contoh: Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C, Jawab : Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c =
1b 1
3a
1
3
4
b
3a
Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat. Diketahui koordinat titik A( x 1, y 1, z 1 ), B( x 2 , y 2 , z 2 ), dan C(x,y,z), Jika titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, maka vektor posisi titik C dapat ditentukan dengan rumus pembagian ruas garis di R-3 dalam bentuk vektor sebagai c=
mb m
B(x2,y2,z2) n
b
C(x,y,z) m
c O
na
a
n
Berdasarkan kesamaan vektor yang terakhir ini diperoleh hubungan berikut.
82
A(x1,y1,z1)
x
mx2 m
nx 1 n
;y
my2 m
ny 1
;z
n
m z2 m
nz 1 n
Persamaan di atas adalah rumus pembagian ruas garis di R-3 yang dinyatakan dalam bentuk koordinat. Perkalian Skalar Dua Vektor Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b dilambangkan dengan dan didefinisikan:||a b|| = ||a|| ||b|| cos , dengan ||a|| dan ||b|| masing-masing menyatakan panjang vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut lancip yang dibentuk oleh vektor a dan b Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom Misalkan a =
x1 y1
dan b =
x2 y2
merupakan vektor-vektor di R-2 yang di nyatakan
daalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan b ditentukan a
b=
x1
x2
y1
y2
= x1x2 + y1y2
perhatikan bahwa nilai atau hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah jumlah perkalian komponen yang seletak pada vektor a dan b. x1
Misalkan a =
y1
x2
dan b =
z1
y2
adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam
z2
bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b ditentukan oleh rumus:
x1
x2
a•b = y 1 y 2 z1
x 1x 2
y 1y 2
z 1z 2
z2
Teorema Ortogonalitas Dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu sama dengan nol.
83
Jadi, vektor a dan b (||a|| 0 dan ||b|| jika dan hanya jika a b = 0
0) dikatakan saling tegak lurus (ortogonal)
Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor 1. Sifat Komulatif a • b dan b • a 2. Sifat Distributif a•(b + c) = a•b + a•c Sudut Antara Dua Vektor x1
Misalkan a =
x2
dan b =
y1
y2
z1
adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam
z2
bentuk vektor kolom. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah , maka besarnya cos dapat ditentukan dengan rumus berikut x 1x 2
co s
2
2
x1
y 1y 2 2
y1
z1
z 1z 2 2
x2
2
y2
2
z2
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain Dalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari suatu ruas garis pada ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos . Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang ini dapat dipakai sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi orrtogonal suatu vektor lain.
Pada Gambar 1-19b, ruas-ruas garis berarah O A dan O B mewakili vektor-vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut antara vektor a dan vektor b. Proyeksi dari
titik A pada ruas garis berarah O B adalah titik C, sehingga O A co s
OC
a co s
Besaran OC = ||a|| cos dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya disingkat proyeksi skalar saja) vektor a pada arah b. Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||a|| cos
bisa positif, nol, atau negatif,
tergantung dari besar sudut . A
A
(1) (2) (3) (4)
a
b
c 0
C
(a)
B
0
C
(b)
B
84
Untuk 00 < 900, OC bernilai positif Untuk = 900, OC bernilai nol Untuk 900 < 1800, OC bernilai negatif
A
A
A
a a
a
b 0
b B
C
b B
0
(a)
C
0
B (c)
(b)
Perhatikan bahwa ruas garis berarah O C mewakili vektor c, sehingga vektor c merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa : (1) Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan ||c|| dirumuskan oleh : c
a
b b
(2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan a b
oleh : c
b
b
2
Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d (perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan bahwa (1) Proyeksi skalar ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah a
||d|| =
b a
(2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah a
d
a
b 2
a
A
a
D
d
0
b
B
85
LATIHAN
1. Diketahui titk A(2,1,3), B(-3,2, 5) dan C(4,-1,2). Ruas garis berarah A B mewakili vektor u
dan ruas garis berarah B C mewakili vektor v. Hitunglah perkalian skalar antara vektor u dan vektor v. 2. Misalkan koordinat titik P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Carilah koordinat titik R. 4. Misalkan vektor a dan b membentuk sudut 600. Jika ||a|| = 4 dan ||b|| = 5, hitunglah b•(a + b)
5. Diketahui vektor-vektor a =
2
3
1
1 ,b=
2 , dan c =
p
2
1
0
Hitunglah nilai p, jika a•(b - c) = a•a dan tentukan besar sudut antara vektor a dan b 6. Diketahui titik-titik K (3,3,3), L(1,2,-1), M(4,1,1), dan N(6,2,5). Tunjukkan bahwa bangun KLMN berbentuk jajargenjang
86
