Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti
Definisi Dasar Perhatikan fungsi 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 : 𝐱 ⟼ 𝑓 𝐱
𝑛=𝑚=1
𝑛 = 1, 𝑚 > 1
𝑛 > 1, 𝑚 > 1
BAB 1
fungsi bernilai riil satu variabel fungsi bernilai vektor satu variabel
fungsi bernilai vektor multivarabel © Indah Yanti 2012
2
Operasi Fungsi Bernilai Vektor Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚 dengan 𝐴 ⊆ ℝ𝑛
BAB 1
Jumlahan 𝑓 + 𝑔 𝐱 = 𝑓1 𝐱 + 𝑔1 𝐱 , ⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 + 𝑔𝑚 𝐱 Perkalian skalar 𝑐𝑓 𝐱 = 𝑐𝑓1 𝐱 , ⋯ , 𝑐𝑓𝑚 𝐱
Perkalian fungsi 𝑓 ∙ 𝑔 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ∙ 𝑔1 𝐱 , ⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 ∙ 𝑔𝑚 𝐱 © Indah Yanti 2012
3
Catatan Perhatikan bahwa dimensi domain dan kodomain dari dua fungsi yang dioperasikan harus sama.
BAB 1
© Indah Yanti 2012
4
Cakram Buka DEFINISI Untuk setiap 𝐱 𝟎 ∈ ℝ𝑛 dan bilangan riil 𝑟 > 0, himpunan 𝐷 𝐱 𝟎 , 𝑟 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 : 𝐱 − 𝐱 𝟎 < 𝑟 disebut cakram buka atau bola buka dengan pusat 𝐱 𝟎 dan jari – jari 𝑟. Dengan 𝐱 − 𝐱 𝟎 menyatakan jarak euclidean antara 𝐱 dan 𝐱 𝟎 . BAB 1
© Indah Yanti 2012
5
Titik Dalam DEFINISI Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛 . Titik 𝐱0 ∈ 𝐺 merupakan titik dalam jika terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga 𝐷 𝐱𝟎 , 𝑟 ⊆ 𝐺.
BAB 1
© Indah Yanti 2012
6
Titik Batas DEFINISI Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛 . Titik 𝐱 0 merupakan titik batas himpunan 𝐺 jika untuk setiap 𝑟 > 0 berlaku 𝐷 𝐱 𝟎 , 𝑟 ∩ 𝐺 ≠ ∅ dan 𝐷 𝐱 𝟎 , 𝑟 ∩ 𝐺 𝑐 ≠ ∅. Catatan Titik batas himpunan 𝐺 tidak harus selalu ada di dalam 𝐺. BAB 1
© Indah Yanti 2012
7
Soal 1. Misalkan 𝐺 = 𝑥1 , 𝑥2 0 ≤ 𝑥1 < 1 a. Carilah semua titik dalam dari 𝐺 b. Carilah semua titik batas dari 𝐺
BAB 1
© Indah Yanti 2012
8
Titik Luar DEFINISI Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛 . Titik 𝐱0 merupakan titik luar himpunan 𝐺 jika terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga 𝐷 𝐱𝟎 , 𝑟 tidak memuat titik 𝐺.
BAB 1
© Indah Yanti 2012
9
Himpunan Buka DEFINISI Himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛 disebut himpunan buka jika untuk setiap 𝐱𝟎 ∈ 𝐺 terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga cakram buka 𝐷 𝐱𝟎 , 𝑟 ⊆ 𝐺. Himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛 disebut himpunan buka jika semua titik di 𝐺 adalah titik dalam 𝐺. BAB 1
© Indah Yanti 2012
10
Soal 2. Tentukan apakah himpunan pada soal 1 merupakan himpunan buka atau himpunan tutup.
BAB 1
© Indah Yanti 2012
11
Neighbourhood DEFINISI Misalkan 𝐱 0 ∈ ℝ𝑛 . Maka sebarang himpunan buka 𝐺 sedemikian sehingga 𝐱0 ∈ 𝐺 disebut neighbourhood dari titik 𝐱 0 .
BAB 1
© Indah Yanti 2012
12
Closure DEFINISI Misal diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑛 . Himpunan 𝐴, himpunan yang mengandung semua titik 𝐴 dan titik batas dari 𝐴, disebut closure dari 𝐴.
BAB 1
© Indah Yanti 2012
13
Soal 3. Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan buka atau himpunan tutup 𝐴=
𝐴=
BAB 1
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 < 4
𝑥, 𝑦 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 ∈
ℝ2
© Indah Yanti 2012
𝜋 2 0 ≤ 𝜃 < ,𝜃 < 𝑟 < 𝜃 4
14
Limit DEFINISI Pandang fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱 0 ∈ 𝐴 dan 𝐛 ∈ ℝ𝑚 . Dikatakan fungsi 𝑓 mempunyai limit b untuk x mendekati x0, dinotasikan lim 𝑓 𝐱 = 𝐛
𝐱→𝐱 0
jika, diberikan sebarang neighbourhood 𝑁 dari b, terdapat neighbourhood 𝐺 dari 𝐱 0 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ∈ 𝑁 untuk setiap 𝐱 ≠ 𝐱 0 memenuhi 𝐱 ∈ 𝐺 ∩ 𝐴.
BAB 1
© Indah Yanti 2012
15
Teorema 1A Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱 0 ∈ 𝐴, dan berlaku lim 𝑓 𝐱 = 𝐛1
𝐱→𝐱0
lim 𝑓 𝐱 = 𝐛2
𝐱→𝐱0
dimana 𝐛1 , 𝐛2 ∈ ℝ𝑚 . Maka 𝐛1 = 𝐛2 . Dengan kata lain jika limit ada maka keberadaannya tunggal. BAB 1
© Indah Yanti 2012
16
Teorema 1B Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱 0 ∈ 𝐴, maka untuk 𝐱 → 𝐱 0 berlaku
a. Jika 𝑓 𝐱 → 𝐛, maka 𝑐𝑓 𝐱 → 𝑐𝐛 untuk setiap 𝑐 ∈ ℝ b. Jika 𝑓 𝐱 → 𝐛1 dan 𝑔 𝐱 → 𝐛2 , maka 𝑓 + 𝑔 𝐱 → 𝐛1 + 𝐛2
c. Jika 𝑓 𝐱 = 𝑓1 𝐱 , ⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝐴,
maka 𝑓 𝐱 → 𝐛 jika dan hanya jika 𝑓𝑖 𝐱 → 𝑏𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚, dimana 𝐛 = 𝑏1 , ⋯ , 𝑏𝑚
BAB 1
© Indah Yanti 2012
17
Teorema 1C Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ dan 𝑔: 𝐴 → ℝ, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴. Maka untuk 𝐱 → 𝐱0 berlaku
a. Jika 𝑓 𝐱 → 𝑏1 dan 𝑔 𝐱 → 𝑏2 , maka 𝑓𝑔 𝐱 → 𝑏1 𝑏2
b. Jika 𝑓 𝐱 → 𝑏 ≠ 0, maka BAB 1
1
© Indah Yanti 2012
𝑓
𝐱 →1
𝑏 18
Kontinuitas DEFINISI Pandang fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Dikatakan fungsi 𝑓 kontinu di titik 𝐱0 ∈ 𝐴 jika lim 𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 .
𝐱→𝐱0
Fungsi 𝑓 kontinu di 𝐴 jika 𝑓 kontinu di setiap 𝐱0 ∈ 𝐴. BAB 1
© Indah Yanti 2012
19
Teorema 1D Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱 0 ∈ 𝐴.
a. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0 , maka 𝑐𝑓 juga kontinu di 𝐱0 . b. Jika 𝑓 dan g kontinu di 𝐱0 , maka 𝑓 + 𝑔 juga kontinu di
𝐱0 . c. Jika 𝑓 𝐱 = 𝑓1 𝐱 , ⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝐴, maka 𝑓 kontinu di 𝐱 0 jika dan hanya jika 𝑓1 , ⋯ , 𝑓𝑚 kontinu di 𝐱 0 . BAB 1
© Indah Yanti 2012
20
Teorema 1E Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 . Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴.
a. Jika 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝐱0 , maka 𝑓𝑔 juga kontinu di 𝐱0 .
b. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0 dan 𝑓 𝐱0 , maka 1 𝑓 juga kontinu di 𝐱0 .
BAB 1
© Indah Yanti 2012
21
Teorema 1F Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐵 → ℝ𝑝 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 dan 𝐵 ⊆ ℝ𝑚 . Misalkan 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 sedemikian sehingga 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑝 terdefinisi dengan baik. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱 0 ∈ 𝐴 dan 𝑔 kontinu di 𝐲0 = 𝑓 𝐱0 ∈ 𝐵, maka 𝑔 ∘ 𝑓 kontinu di 𝐱 0 .
BAB 1
© Indah Yanti 2012
22
