P6.sz. #1.
2004. július 2. 22:26
„Ha pedig egyszerre több mesterség feltalálásáról van szó, amelyek közül némelyek az életszükségletekre, mások pedig a szemlélődő élet örömeire vonatkoznak, az utóbbiak föltalálóit mindig bölcsebbnek tartjuk az előbbieknél, m e r t a z ő tudományuk nem a haszonra irányul.” ARISZTOTELÉSZ.
Kóta Béla:
A PIRAMISOK TANULSÁGA Matematikai visszafoglaló.
A tizedesjel vessző …………. (,) A listaelválasztó pontosvessző (;) Az egyenletszerkesztőt telepíteni kell.
Kezdés:
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Figyelmeztetés! ! Az anyag Halmazelmélet mentes ! A matematikai bizonyítások megértéshez általános iskolai végzettség ajánlott, lehetőleg nappali tagozaton. Tankönyv: Matematika általános iskola 8. osztály. Alapszint. A kiegészítésben néhány levezetés szintje meghaladja az ipari- és mezőgazdasági technikumokban 1954-től tanított matematikát.
A tizedesjel (,) a listaelválasztó (;) Az egyenletszerkesztőt telepíteni kell! – 2004 –
P6.sz. #2.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
1. TARTALOM: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
TARTALOM:....................................................................................................................2 1.1 Ábrák: ...........................................................................................................................4 1.2 Bevezetés ......................................................................................................................5 1.3 Esettanulmány az algebrai módszerről .........................................................................6 MATEMATIKAI ALAPOK .............................................................................................9 2.1 A számolás kialakulása .................................................................................................9 2.1.1 A számnév .............................................................................................................9 2.1.2 A számolás kezdetei ..............................................................................................9 2.2 A görög és egyiptomi matematika jellemzői ..............................................................10 2.3 Általánosítás és elvonatkoztatás .................................................................................12 2.4 Alapműveletek ............................................................................................................12 2.4.1 Összeadás és kivonás ..........................................................................................12 2.4.2 Szorzás ................................................................................................................12 2.4.3 Osztás ..................................................................................................................12 2.5 Az ógörög matematika fejezetei .................................................................................13 2.5.1 A valódi osztók....................................................................................................13 2.5.2 A matematikai arányelmélet és a váltakozva kivonás.........................................14 2.5.3 Figurális számok .................................................................................................15 2.5.4 12. Újszövetségi kitérő........................................................................................16 GEOMETRIAI BEMELEGÍTÉS....................................................................................17 3.1 A szögek......................................................................................................................17 3.2 A háromszög szögeinek összege.................................................................................18 3.3 A háromszögek jellemzői. ..........................................................................................19 3.3.1 A háromszögek hasonlósága. ..............................................................................19 3.3.2 Az arányosság értelmezése hasonló derékszögű háromszögekkel......................19 3.4 A téglalap és a négyzet. ..............................................................................................20 3.5 THALÉSZ tétele. ........................................................................................................21 A PITHAGORASZ TÉTEL ............................................................................................22 4.1 A PITHAGORASZ tétel terület lefedéses bizonyítása...............................................22 4.2 A PITHAGORASZ tétel, ahogy én tanultam 1954-ben. ............................................23 4.3 EUKLEIDÉSZ bizonyítása a mértani középértékekkel..............................................25 4.4 eukleidész: Elemek, i. 47. tétel. ..................................................................................26 4.5 Módszertani megjegyzések.........................................................................................26 4.6 A PITHAGORASZ tétel, ahogy én bizonyítanám 2004-ben......................................27 4.7 A kibővített thalész kör...............................................................................................28 A NÉGYZET ÁTLÓJA...................................................................................................30 5.1 Páros - Páratlan bizonyítás..........................................................................................30 5.2 Váltakozva kivonás.....................................................................................................31 5.2.1 Az oldal kivonása az átlóból. ..............................................................................32 5.2.2 Az átló maradékának kivonása az oldalból. ........................................................33 5.3 A négyzet területének megkettőzése...........................................................................34 5.3.1 SZÓKRATÉSZ és a FIÚ párbeszéde ..................................................................35 5.3.2 TAN-ulság...........................................................................................................37 5.3.3 Hogyan kettőzném meg én a négyzet területét....................................................37 5.4 Az ARANYMETSZÉS...............................................................................................39 A PIRAMIS.....................................................................................................................43 6.1 A probléma felvetése ..................................................................................................43 6.1.1 Az egyiptomi tudomány fejlettsége.....................................................................43 6.1.2 Geometriai alapfogalmak (Hajós György nyomán) ............................................45
P6.sz. #3.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
6.2 A KHEOPSZ — más néven a NAGY piramis ...........................................................47 6.2.1 A méretarányok értelezésére irányuló spekulációk és cáfolatok. .......................47 6.3 A KHEOPSZ Piramis méretei ....................................................................................49 6.3.1 Részletezés ..........................................................................................................49 6.3.2 Tudományosan vizsgálható feltételezések. .........................................................51 6.3.3 A REND--Rakás..................................................................................................54 6.3.4 Összehasonlító értékelés .....................................................................................55 6.4 A KHEOPSZ Piramis számai .....................................................................................63 6.4.1 Cáfolatok .............................................................................................................64 6.4.2 Azért foglalkozunk a KHEOPSZ Piramis matematikájával, mert: .....................65 7. A 3-4-5 SZÁMHÁRMAS ÉS A DERÉKSZÖG.............................................................67 7.1 A cáfolás lélektana......................................................................................................67 7.2 A feltalálás és felismerés művészete...........................................................................67 7.3 Az ellentmondások kísérjenek utunkon!.....................................................................68 7.3.1 A tudománytörténeti vitakérdés: .........................................................................68 7.3.2 A cáfolatok ..........................................................................................................68 7.3.3 A cáfolatok értékelése .........................................................................................69 7.4 A 3-4-5 beláttatása ......................................................................................................71 7.4.1 Megvilágosodás szemben egy csempézett fallal .................................................71 7.4.2 A sakktábla módszer. ..........................................................................................72 7.5 Mit bizonyít a többi 22 piramis...................................................................................74 7.6 Tanulságok:.................................................................................................................76 7.6.1 miért ?..................................................................................................................76 8. KIEGÉSZÍTÉS................................................................................................................78 8.1 A Gyök(2) közelítése törttel.......................................................................................78 8.1.1 Felismerés............................................................................................................78 8.1.2 Egy gyökközelítési módszer................................................................................78 8.1.3 A 2 hatványozási algoritmusa ..........................................................................79 8.1.4 A 2 négyzetre–emelési algoritmusa .................................................................79 8.1.5 Általánosított gyökvonási algoritmus..................................................................79 8.1.6 NEWTON érintő módszere.................................................................................80 8.2 A sakktáblából diophantosz .......................................................................................81 9. TÁBLÁZATOK ..............................................................................................................84 10. IDÉZETGYŰJTEMÉNY ................................................................................................89 10.1 HÉRODOTOSZ (Kr.e. 484): A GÖRÖG-PERZSA HÁBORÚ. Ford: Muraközy Gyula. EURÓPA k.1989 .....................................................................................................89 10.1.1 PYTHAGORASZ (Kr.e. VI.sz.): ......................................................................90 10.1.2 DÉMOKRITOSZ (Kr.e. 460): ..........................................................................90 10.2 PLATON (Kr.e. 427 - 347) EURÓPA 1984. ..........................................................90 10.2.1 Állam.................................................................................................................90 10.3 ARISZTOTELÉSZ (Kr.e. 384 - 322): Metafizika ..................................................90 10.4 EUKLIDÉSZ (Kr.e. 300 körül): Elemek.................................................................91 10.5 STRABÓN (Kr.e. 64): GEÓGRAPHIKA. Ford: Dr. Földy József. GONDOLAT k. 1977 92 10.6 VITRUVIUS: Tíz könyv az építészetről. Képzőművészeti Kiadó, Budapest 1988. Fordította: Gulyás Dénes. Átdolgozta: Marosi Ernő..................................92 10.7 APULEIUS (Kr.u. 124): A mágiáról. Virágoskert. Ford: Détshy Mihály. MAGYAR HELIKON k. 1974 ............................................................................................93 10.8 Woody ALLEN. ......................................................................................................94 11. IRODALOM ...................................................................................................................95 —• —
P6.sz. #4.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
1.1 ÁBRÁK: 1. ábra: A számok pitagoraszi osztályozása. .................................................................................11 2. ábra: Figurális számok...............................................................................................................16 3. ábra: A szög értelmezése. ..........................................................................................................18 4. ábra: A háromszög szögeinek összege. .....................................................................................18 5. ábra: A háromszögek osztályozása- ..........................................................................................19 6. ábra: Hasonló általános háromszögek. ......................................................................................19 7. ábra: Arányosság hasonló derékszögű háromszögekben...........................................................20 8. ábra: A derékszögű háromszög származtatása. .........................................................................21 9. ábra: A Thalész háromszög szögei. ...........................................................................................22 10. ábra: A Pitagorasz tétel „lefedéses” bizonyítása. ....................................................................22 11. ábra: A magasságvonal............................................................................................................23 12. ábra: Magasságvonalak a háromszögben. ...............................................................................24 13. ábra: A derékszögű háromszög felosztása...............................................................................24 14. ábra: EUKLEIDÉSZ bizonyítása. ..........................................................................................25 15. ábra: A PITAGORASZ tétel nekem........................................................................................27 16. ábra: A háromszög felosztása. .................................................................................................28 17. ábra: A kibővített Thalész háromszög. ....................................................................................29 18. ábra: Az egységnégyzet átlója. ................................................................................................30 19. ábra: Átló/oldal váltakozva kivonása. .....................................................................................32 20. ábra. Szimmetrizált kivonási szerkesztés. ...............................................................................33 21. ábra: A négyzet kettőzés levezetése. .......................................................................................38 22. ábra: A négyzet területének kettőzése tőlem. ..........................................................................38 23. ábra: Az Aranymetszés aránya. ...............................................................................................39 24. ábra: Aranymetszés I. változat. ...............................................................................................40 25. ábra: Képszerkesztés. ..............................................................................................................41 26. ábra: Aranymetszés II. változat. ..............................................................................................41 27. ábra: A szabályos ötszög. ........................................................................................................42 28. ábra: Aranymetszés a szabályos ötszögben.............................................................................42 29. ábra: A KHEOPSZ piramis. ....................................................................................................43 30. ábra: A gúla méretei. ...............................................................................................................46 31. ábra: A gúla palástja. ...............................................................................................................46 32. ábra: Az alapélek méreteltérései..............................................................................................50 33. ábra: A számított tengelymagasságok eltérései. ......................................................................54 34. ábra: Az aranymetszés területegyenlősége..............................................................................57 35. ábra: Az aranymetszéssel szerkesztett Piramis........................................................................58 36. ábra: Az aranymetszés illeszkedése a Piramishoz...................................................................59 37. ábra: A szárszög az aranymetszésben......................................................................................60 38. ábra: Oldalháromszög szerkesztése.........................................................................................61 39. ábra: Földrajzi tájolás. .............................................................................................................62 40. ábra: A Kheopsz Piramis számai. ............................................................................................64 41. ábra: A 3-4-5 oldalú háromszög. .............................................................................................68 42. ábra: Euklidészi szerkesztések. ...............................................................................................70 43. ábra: Csempe minta. ................................................................................................................71 44. ábra: A 3-4-5 háromszög származtatása..................................................................................72 45. ábra: Sakktábla módszer..........................................................................................................73 46. ábra: Piramis szabványok. .......................................................................................................75 47. ábra: Platóni háromszög. .........................................................................................................76 48. ábra: Newton érintő módszere.................................................................................................80 49. ábra: Diophantoszi háromszög. ...............................................................................................82
P6.sz. #5.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
1.2 BEVEZETÉS A történelemi múltban időnként előfordult egy-két olyan korszak, amely figyelemre méltó szellemi és anyagi alkotásokat hagyományozott miránk: A Felvilágosodás, A Reneszánsz, A Római Köztársaság, Az Athéni Demokrácia, Az Alexandriai Iskola, Az Egyiptomi Ó-birodalom. A matematika fejlődése az egyiptomi ó-birodalomtól kezdve követhető az ógörögökön át a középkori arab és európai kultúráig. E tudomány elvontságának köszönhetjük, hogy a módszerei és eredményei objektíven összehasonlíthatók. Fejlődését követve 5000 év mélységébe merülve, beleláthatunk a kor embereinek gondolatvilágába. Gyakorlati alkalmazását monumentális alkotások tanúsítják. Az antik módszerek tanulmányozása bizonyítja, hogy mire volt képes az alkotó ember — amikor hagyták… … …hogy mire lenne képes az alkotó ember — ha hagynák. A kezdet az Egyiptomi Ó-birodalom. A piramisok méretei és az arányai a szerény matematikai eszköztár magas szintű alkalmazására utalnak. Ez a tudásszint jelenti a következtetések korlátját, ezért az értékelésben csak a régészeti leletekkel tudománytörténetileg összeegyeztethető matematikát használunk. Gyakorlatilag a négy számtani alapműveletet és a képzőművészeti ábrázolásokról ismert szerkesztéseket. Az ó-birodalom teljesítményének méltó értékeléséhez az anyag első részében néhány matematika történeti tényre emlékeztetünk, majd – visszafelé haladva – azokat a matematikai összefüggéseket vezetjük le, melyek a piramisok méreteiből kiolvashatók.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
TARTALOM:....................................................................................................................2 MATEMATIKAI ALAPOK .............................................................................................9 GEOMETRIAI BEMELEGÍTÉS....................................................................................17 A PITHAGORASZ TÉTEL ............................................................................................22 A NÉGYZET ÁTLÓJA...................................................................................................30 A PIRAMIS.....................................................................................................................43 A 3-4-5 SZÁMHÁRMAS ÉS A DERÉKSZÖG.............................................................67 KIEGÉSZÍTÉS................................................................................................................78
Időrendi vázlat:
ÓGÖRÖG matematikusok: PTOLEMAIOSZ Kr.u. 150, EUKLEIDÉSZ Kr.e. 300 körül, PLATÓN Kr.e. 429 - 348, ZÉNON Kr.e. 450 körül, PITAGORASZ Kr.e. VI. sz., THALÉSZ Kr.e. 624? - 546?, EGYIPTOM — Piramisok kora: Középbirodalom Kr.e. 2070 - 1790, I. átmeneti kor Kr.e. 2270 - 2070, Ó-birodalom Kr.e. 2700 - 2270.
FAKULTATÍV PROGRAM: Beiratkozás az Alexandriai Könyvtárba, utána részvétel ANTONIUS és KLEOPATRA lakomáján az „Utánozhatatlan Életűek Társaságában”. K i s t ü r e l m e t ! Az időpontokat most egyeztetjük.
P6.sz. #6.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
1.3 ESETTANULMÁNY AZ ALGEBRAI MÓDSZERRŐL Figyeljünk, mert az anyagban algebrai levezetések lesznek. Az értelmezésben segít egy megtörtént eset újragondolása. Kb. 20 évvel ezelőtt megkeresett egy Dolgozók Iskolájába járó nőrokonom, mert kíváncsi volt hogy miért kapott elégtelent az egyenletmegoldására. A feladatot megpróbálom emlékezetből rekonstruálni. Jellegét tekintve valami ilyesmit kellett megoldani:
10y + 1 8y – 1 = 5 7 A dolgozó-tanuló a tanult módszereket használta: Mivel mindkét oldalon egy tört szerepel – először „keresztbeszorzással” eltávolította a nevezőket:
50y + 5 = 56y – 7 Előjelcserével az egyik oldalra átvitte az ismeretlent tartalmazó tagokat, a másik oldalra az ismerteket:
12 = 6y Az ismeretlen együtthatójával egyszerűsítve megkapta az megoldást:
2 = y A tanár(NŐ) értékelése:
„ ELÉGTELEN , mert ÉN úgy tanítottam, hogy y = 2,
nem pedig úgy, hogy 2 = y !!!”
A tanárnő öngólt rúgott, mert... H a így n em t et szik …
…a kkor fordít sa m eg a pa pír t !
2=y
2=y
V agy álljon fejre ! Tisztelt Hölgyeim ! — az ... Algebra. A szó az arab «al gebr»–ből (gabar annyi mint restaurare) származik, amely
Mohammed ben Musa Alkhvarizmi arab matematikusnak 820-ban megjelent «Algebr v' al mukabala» című munkájában szerepel és ott azt a műveletet jelenti, amelynek a segítségével valamely egyenlet adott tagja egyik oldalról a másikra megváltoztatott előjellel átvihető. A megoldásban ezek az átviteli műveletek hibátlanok voltak, viszont a „Csináld utánam!” tanítási módszer a t á n c i s k o l á b a való. A műszaki és természettudományokban a dogmatizmus közveszélyes. A Természet Titkait csak szikla-szilárd alapon állva lehet megismerni. Szerencsénkre ezt az alapot a dél-itáliai ELEA filozófusai 2400 évvel mielőttünk már lefektették.
P6.sz. #7.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A Legendás Hármas, a Gondolat Óriásai; P A R M E N I D É S Z , Z É N Ó N , M E L I S S Z O S Z ; kinyilatkoztatták a két legfontosabb princípiumot:
A LÉTEZÖ VAN, A LÉTEZŐ AZONOS ÖNMAGÁVAL. Ezért, ha nem csak tanulni vagy tanítani, hanem t u d n i is akarjuk az algebrát, akkor mindig ezekből kell kiindulni, majd ide illik visszaérkezni. Az én időmben a „MÉRLEG ELV”-vel szemléltették az egyenlet tulajdonságait. Egy kétkarú laboratórium mérleget a tányérokba rakott hulladék vasdarabokkal kiegyensúlyoztak. Ezután a mérleg továbbra is egyensúlyban marad, ha a két egyforma súlyt rátesznek a két tányérra, vagy ha két egyforma súlyt levesznek a tányérokról. Ez a szemlélet kizárólag dimenzió nélküli számokra igaz. Ha a szám mögött nem áll dimenzió, akkor az darab. A LEHEL piacon a kofamérleg egyik tányérjába tett lecsókolbászt ki lehet egyensúlyozni a másik tányérba rakott tulipánhagymákkal. Csak a mérleg két tányérjára ható súlyerők lesznek egyenlők — de (ez) a kolbász nem szaporítható dugványozással!. Az egyenlőségjel azért van, mert a jel két oldalán álló kifejezéseket önmagával azonos, egyugyanazon létezőnek tekintjük, melyeknek csak a megjelenési formája különbözik. Lásd: sertés = disznó, 11 óra után 30 perc = 12 óra előtt 30 perc, vagy féltizenkettő. Az egyenlet mindkét oldalán ugyanaz a szám áll, tehát mindkét oldallal ugyanaz a számtani művelet elvégezhető, mert az egyenlőség fennmarad. (Kivétel a gyökvonás, mert páros gyökkitevőnél az eredmény előjele ± kétértelmű.) Ez megoldási módszer terjedelmesebb annál, mint amikor a tagokat ellenkező művelettel visszük át az egyenlet másik oldalára, viszont sokkal áttekinthetőbb. A kiinduló egyenlet:
10y + 1 8y – 1 = 7 5 Szorozzuk először mindkét oldalt 7-tel:
10y + 1 =
56 y – 7 5
Szorozzuk másodszor mindkét oldalt 5-tel:
50y + 5 = 56y – 7 Adjunk minkét oldalhoz 7-et:
50y + 12 = 56y Vonjunk le mindkét oldalból 50 y-t:
12 = 6y Osszuk el minkét oldal 6-tal:
2 = y Ez az eredmény idáig helyes, de csak:
„ez csak ELÉGSÉGES, mert a levezetés nincs befejezve,” Mivel: szorozzuk mindkét oldalt –1-el:
2=y –2 = –y,
adjunk mindkét oldalhoz y-t:
y – 2 = 0,
adjunk mindkét oldalhoz 2-t:
y=2
„ez már KÖZEPES, mert még nem találtuk meg a Végső Igazságot,”
P6.sz. #8.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Mivel:
2=y
helyettesítsük be 2 helyére y-t:
y=y
...és mivel:
2=y
helyettesítsük be y helyére a 2-t:
2=2
„itt a JÓ, ahol a létező azonos önmagával,” Összefoglalva, a teljes megoldás:
2 = y
y = 2
y = y
2 = 2
ez már „JELES”, de még nincs vége. Oldjuk meg most újra az egyenletet az y = 2 értének behelyettesítésével. Minden lépés arról szól, hogy ugyanaz a szám azonos önmagával. Vegyük az eredeti egyenletet:
10y + 1 7
=
8y – 1 5
Behelyettesítve y helyébe a 2-t:
10 × 2 + 1 8 × 2 – 1 = 3 = 3 = 7 5 Szorozzuk először mindkét oldalt 7-tel:
10 × 2 + 1 = 21 = 21 =
56 × 2 – 7 5
Szorozzuk másodszor mindkét oldalt 5-tel:
50 × 2 + 5 = 105 = 105 = 56 × 2 – 7 Adjunk minkét oldalhoz 7-et:
50 × 2 + 12 = 112 = 112 = 56 × 2 Vonjunk le mindkét oldalból 50 × 2-t:
12 = 12 = 12 = 6 × 2 Osszuk el minkét oldal 6-tal:
2 = 2 = 2 = 2 A szofisták még tovább mentek; mert legyen:
2 = 2 Vonjunk ki mindkét oldalból 2-t:
0 = 0 K I T Ű N Ő . E z a V é g s ő I g a z s á g . Ahogy GORGIASZ már Kr.e.428-ban kinyilatkoztatta: „SEMMI SEM LÉTEZIK;...”
P6.sz. #9.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Süket Ürességben némán üvölt a Csend! Tükörbe néz a Semmi;
— EMBEREEEK!!! Átereszt a tömítés, — SZÖKIK A VÁKUUM! — Nekünk már a nulla nem semmi, hanem valami más, mert:
0 0 = 1,
01 = 0
— •—
2. MATEMATIKAI ALAPOK 2.1 A SZÁMOLÁS KIALAKULÁSA
2.1.1 A számnév Mivel elvont gondolkodásunk nyelvi kategóriákra épül ezért felidézzük a nyelvi számfogalmat. A magyar nyelv szótanában és mondattanában:
„A számnév ([nomen] numerale) jelzői, állítmányi vagy szám-, illetve számállapot-határozói szerepet játszó, kevéssé toldalékolható, személyek, tárgyak, dolgok mennyiségét kifejező, vagy a sorban elfoglalt helyét megjelölő szótári szó; …” „A számnévnek mind mondatbeli felhasználhatósága, mind alaktani viselkedése emlékeztet a melléknévére. A számnév a mondatban többnyire mennyiség és minőségjelző, de lehet értelmező, sőt névszói állítmány is.” A Magyar Nyelv Könyve Főszerk: JÁSZÓ ANNA TREZOR KIADÓ Bp. 1991.
„A számnév állapothatározó szó, a mondatban melléknév vagy jelző”; •
de ennél több, mert feltételezi a jelzett tárgy, fogalom, személy, dolog, izé, micsoda, hogyishívják stb. LÉTEZÉSÉT - LÉTEZÉSMÓDJÁT - HIÁNYÁT.
2.1.2 A számolás kezdetei Az emberi civilizációk többsége fejlődése során eléri azt a szintet amikor a számolás a fennmaradásfejlődés feltételéve válik. Feltűnő, hogy… •
földrajzilag elszigetelt civilizációkban, mint Egyiptom, Mezopotámia, Kína, KözépAmerika, egymástól függetlenül kialakulnak a számrendszerek, a geometria, a csillagászat és naptárkészítés módszerei,
P6.sz. #10.
• • •
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
a legrégebbi írásos forrásokból a korabeli matematika viszonylag magas színvonalára következtetünk, a történelmi nagy birodalmak évezredekig tartó virágzásának feltétele az átfogó szervezettség, még fejlettebb (elit) tudomány gyakorlati alkalmazását sejtetik a monumentális épületek, utak, hidak, öntözőrendszerek.
A számlálás igénye akkor jelentkezik, amikor az egyének a javakat tartósan birtokolják, és a közösség eljut olyan anyagi szintre amikor e javakat szervezetten osztják el. A földművelőnek be kell osztani vetésnél a vetőmagot, aratásnál a termést a következő betakarításig. A termelés ciklikussága miatt a növénytermesztéshez és az istállózott állattenyésztéshez nélkülözhetetlen a naptár. Ekkor beleütköztünk az oszthatóság problémájába: vannak korlátlanul osztható dolgok, pl. a gabona, a széna, a tej, meg az áldás. Mások oszthatatlanok, mert nem lehet részekre osztani egy birkát, legfeljebb a pörköltet, vagy egy részekre osztott gyümölcsfából tűzifa lesz. Az egyik legrégibb természettudományos lelet egy Közép-Afrikában kiásott, kb. 12000 éves csontnyél. Ezen három sávban több karcolássorozat látszik: a harmadik sorban minden szám törzsszám. 7 9 19
5
5
10 19 17
8 4 21 13
6
3 11 11.
„Nos, világos, hogy az az ember, aki ezt készítette, nemcsak számlálni tudott, hanem szorozni és osztani is, mivel erre a csontdarabra a törzsszámokat karcolta rá.”
J.D. BERNAL: A fizika fejlődése Einsteinig. Gondolat K, Kossuth K. 1977.
... az ember, aki ezt készítette nyilván felismerte, hogy a vannak olyan számok, amelyeket nem lehet az egynél nagyobb e g y e n l ő r é s z e k r e ! osztani. Viszont ma is élnek az Amazonas vidéki egyenlítői esőerdőkben olyan elszigetelt, kis létszámú indián - törzsnek még nem nevezhető - nagycsaládok, melyek tagjai csak kettőig tudnak számolni. Az életükhöz szükséges javak bőségben rendelkezésükre állnak. A napi szükségletüket gyűjtögetéssel szerzik meg. A közösségben nincs elosztás, készletezés. Az esőerdőben évszakok sincsenek - a saját életkorukat sem tudják.
2.2 A GÖRÖG ÉS EGYIPTOMI MATEMATIKA JELLEMZŐI Az ókori matematika töretlen fejlődési útja az egyiptomi archaikus kortól (Kr.e. 3000) az Alexandriai Könyvtár végső elpusztításáig (Kr.u. 390) tart. 2500 évvel ezelőtt az ógörögök néhány nemzedéke – előzmények nélkül? – a mai napig csodált filozófiai, természettudományos és művészi eredményeket ért el. PITAGORASZ és tanítványai színes kavicsokból kezdtek szabályos alakzatokat kirakni, homokba karcolt vonalakat szerkesztettek és kezdetleges hangszereiken harmóniákat kerestek. Meg akarták érteni a világot, tapasztalatikat logikával ok – okozati láncba rendezték. A tiszta logikai kapcsolatok természetének megismerése és általánosítása vezetett a matematikához. A bizonyítás nélkül elfogadott princípiumokat és a belőlük levezethető tételeket különválasztották. A szigorú logikai szabályoknak megfelelő levezetésekkel alakították a matematikát deduktív tudománnyá. A tapasztalataikat alapján felismert törvényszerűségeket beillesztették világképükbe és kiterjesztették az emberi gondolkodásra is. A „GÖRÖG CSODA” alapozta meg a nyugati féltekén a mi kultúránkat. Az ógörög matematika elvont tudomány volt. A filozófusok csak az „ISTENI” egész számokkal foglalkoztak. A töredék egységeket átengedték a kereskedőknek és kézműveseknek. A filozófiában szentnek tekintették az arányo kat. „LOGOSZ”-nak nevezték; további jelentése „gondolkodás”, „értelem”, „világtörvény”, — meg még vagy két oldal az ógörög szótárban. PITAGORASZ és iskolája a indította el a Kr.e. VI. században a természetes számok és a zenei hangok tulajdonságainak vizsgálatát. Megalapozták a számok és arányok elméletét, a geometriát és a számmisztikát. ARISZTOTELÉSZ szerint világmagyarázatukban a számokból indultak ki, PLATÓN szerint a csillagászatot
P6.sz. #11.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
és a zenét testvér-tudománynak nyilvánították. A pitagoreusok a zenei harmóniák számszerűsíthető törvényeinek kutatásával kívánták megismerni a világ harmóniáját, ami szerintük a zenével összefüggő arányokban közvetlenül megnyilvánul; úgy tanították, hogy a létezők a számok utánzása következtében vannak. • • • • •
„A számok elemei egyúttal minden létező valóságnak is elemei, és az egész égi világrend harmónia és szám.” „Minden létező alapja a matematika.” „A szám minden létező alapja - a számok elemei az összes létezők elemei — az egész Ég Harmónia és Szám - Őselem.” „Az a szép amiben matematikailag megfogható arányosság van.” „Az 1 az isteni egység, a 2 (páros) női szám, a 3 (páratlan) férfi…, az 5 = 2 + 3 a házasság jelképe.”
A matematikát a pitagoreusok az 1. ábra szerint rendszerezték:
M ATEM ATIK A Az anyagi világ általános összefüggéseiből -- mennyiségek, formák, stb -elvont fogalmakat alkotó és logikai elemzéssel általános törvényeket megállapító tudomány.
Diszkrét
Aritmetika
Zene
Folytonos
Geometria
Csillagászat
1. ábra: A számok pitagoraszi osztályozása.
A görögök tudományát a sötét középkorban az arabok mentették át. A ma ismert szövegeket arab nyelvről kellett rekonstruálni és visszafordítani és ógörögre. A mai kényelmes és hatékony aritmetikai módszereink viszonylag későn - a középkor végén alakultak ki; amikor Európában elterjedt a helyiértékes rendszer arab számokkal, a nulla és a tizedes tört. Az ókori számrendszerekben az összeadás és kivonás, de főleg a szorzás és osztás sokkal bonyolultabb és nehézkesebb művelet volt. Már az ókori Egyiptomból és Mezopotámiából ismerünk a számolás megkönnyítésére igen elmésen szerkesztett táblázatokat. A táblázatok szerkesztése közben ismerhették fel a „Valódi osztó” fogalmát. A valódi osztók vizsgálata több fontos matematikai összefüggés felismerését segítette. Ma a pitagoreusoktól eredeztetjük a: • • •
a PITAGORASZ tételt, a négyzet kettőzését, az Aranymetszést.
A görögöknél a matematika az idealista filozófia alapja volt, a mérnöki tudományok, mint a gyakorlati földmérés (geo-metria) viszont a mesterségek körébe taroztak. A kezdeteket tanulmányozva azonban úgy tűnik, hogy az alapproblémák és a fogalmak egy részét Egyiptomból vették át. Az egyiptomiak tudománya teljesen mérnöki volt, a gyakorlati feladatok megoldását szolgálta. A matematikai eszköztáruk — a számrendszer, számítási módszerek, geometria - alig haladták meg a négy
P6.sz. #12.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
alapművelet és a vonalzós elemi szerkesztések szintjét. A piramisok méreteiben és a szakrális épületek tájolásában elért pontosságuk méltó az alkotások isteni rendeltetéséhez. Az ókorban a tudományt áthatotta a számmisztika és az asztrológia. Egyes kitüntetett számokat, méreteket és arányokat szentnek tekintettek. A görögök és egyiptomiak csak a természetes számokat ismerték: 1, 2, 3, 4,… sok (a nullánál nagyobb pozitív egész számok). Az egységnél kisebb mennyiséget közönséges törtekkel fejezték ki. Fontos különbség: • •
a görög matematikában a törtet a számláló és nevező arányának tekintették; a törtszámokat a kézművesek és a kereskedők körébe utalták, az egyiptomiak törtszámítási segédtáblázatai korábbi átdolgozásokról és rendszerezésről tanúskodnak.
2.3 ÁLTALÁNOSÍTÁS ÉS ELVONATKOZTATÁS A számlálást feltétele a nyelvben a számnevek kialakulása. Egy csoport megszámolása lényegében egyenkénti összeadás; pl. egy öttagú csoportnál: 1+1+1+1+1=5 megfelel: 1+1=2; 2+1=3; 3+1=4; 4+1=5. A számnevek és a számlálás csak a számok nagyságrendi viszonyait tudatosítják; • •
a hat eggyel nagyobb, mint öt és eggyel kisebb, mint hét, a hetvenöt sokkal nagyobb, mint a tizenhárom, és sokkal kisebb, mint négyszázhuszonnégy.
Számlálásnál - összeadásnál, kivonásnál, szorzásnál - a számnevek mennyiségjelzők, hasonlóak a „sok kevés”, „nagy - kicsi”, „korai - késői” jelzőkhöz. Itt még a számok egyedi tulajdonságai elmosódnak, mint a többi jelzőnél: „hideg-meleg”, „halvány-színes”, „szép-csúnya”. A számlálás elvonatkoztat és megkülönböztet. Egyértelmű hogy, „az erdőben ötszáz fa van”, de tudjuk - nincs két egyforma fa. „A házkutatás során több száz lopott holmit foglaltak le” - Hol? - Mit?
2.4 ALAPMŰVELETEK
2.4.1 Összeadás és kivonás Az összeadás és kivonás lényegileg az egyenkénti számlálás kiterjesztése. A t e r m é s z e t e s számok körében az összeadandók tetszőleges nagyságúak; a kivonásnál a kivonandó kisebb a kisebbítendőnél. (Európában csak a XII.-XV. században kezdték a negatív számokat használni).
2.4.2 Szorzás A szorzás az összeadás kiterjesztése, a szorzótényezők nagysága tetszőlegesek: 3 × 5 = 5 + 5 + 5 = 15
vagy
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
2.4.3 Osztás Az osztás minőségileg más probléma. Az összeadás, kivonás, szorzás mindig elvégezhető – az osztás viszont nem. Vannak osztható és oszthatatlan dolgok és számok. Az osztás a kivonás kiterjesztése; a hányados azt fejezi ki, hogy az osztót hányszor lehet kivonni az osztandóból: A fenti két osztás végrehajtható, mert a 15-ben az 5 és a 3 maradék nélkül megvan. Próbáljuk meg a 15-öt 4-gyel osztani: A 15-öt nem lehet 4 egyenlő egész számra osztani, mert a 15 nem egész számú többszöröse a 4-nek: 3 × 4 = 12 kisebb, 4 × 4 = 16 viszont nagyobb mint 15.
P6.sz. #13.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A törzsszámokat, mint pl. a 13-at csak eggyel lehetne osztani ez azonban nem osztás hanem „leszámlálás”. 15
:
5
=
3
15
:
3
=
5
15
–
5
=
10
(1)
15
–
3
=
12
(1)
10
–
5
=
5
(2)
12
–
3
=
9
(2)
5
–
5
=
0
(3)
9
–
3
=
6
(3)
6
–
3
=
3
(4)
3
–
3
=
0
(5)
15
:
4
=
3+3/4
15
–
4
=
11
(1)
11
–
4
=
7
(2)
7
–
4
=
3
(3)
3
<
4
3/4
:
tört
— •— 2.5 AZ ÓGÖRÖG MATEMATIKA FEJEZETEI
2.5.1 A valódi osztók Egy adott természetes szám valódi osztói sajátmagán kívül mindazok a természetes számok, amelyekkel maradék nélkül osztható. Az önmagával osztás triviális: „a létező azonos önmagával”. A törzsszámok csak eggyel (és önmagukkal) oszthatók; az ókorban ezeket tekintették a legfontosabbaknak; latinos nevük PRIM (elsődleges). Az oszthatóságot szemléltető 1 . t á b l á z a t tartalmazza az első 50 szám valódi osztóit és az osztók összegeit.
…és ettől robbant a bomba … mert kiderült, hogy a számokat a nagyságukon kívül egy sereg egyedi-belső tulajdonságuk is megkülönbözteti: törzsszám, valódi osztók és összegeik, figurális jellemzők; — megszületett a „Matematikai Gumicsont”. A pitagoreusok rájöttek, hogy a szám fogalma sokkal komplexebb, mint amit a nyelvtani mennyiségjelző szám(név) jelent, pl. a 6 nagyobb, mint 5, de kisebb, mint 7. Minden szám egyedi – csak rá jellemző belső t u l a j d o n s á g o k k a l rendelkezik: • •
Minden osztható számhoz elválaszthatatlanul hozzátartozik egy másik szám is: a valódi osztóinak összege. Az oszthatatlan törzsszámok látszólag teljesen szabálytalanul oszlanak el, de hasonlóan szabálytalan eloszlást mutatnak a valódi osztók is.
Az egyszerűség kedvéért nevezzük a valódi osztók összegét „ v o n z a t ” -nak. Az 1 , 2 t á b l á z a t b a n látható, hogy a a 6 vonzata 6 = 1 + 2 + 3, a 28 vonzata is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
P6.sz. #14.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Az ilyen számokat melyek egyenlők saját valódi osztóik összegével (saját maguk vonzatai) TÖKÉLETES számoknak nevezték. További tökéletes szám: 496, 8128. Találtak olyan számpárokat, amelyek közül az első szám vonzata a második szám - a második szám vonzata viszont az első szám. E számpárok mintegy kicserélik egy másközt valódi osztóik összegét: „ahogy két barát kicseréli a lelkét”. A kölcsönös összefüggésre utalva ezeket a számokat BARÁTSÁGOS számoknak nevezték: 220
284, 1184
1210, 2620
2924.
A sok osztóval rendelkező számokat SZIMPATIKUSnak nevezték, pl.: 12. A mellékelt 2 . t á b l á z a t a pitagoraszi osztályozás keretében tartalmazza az első tökéletes és barátságos számokat. Ezeket a számokat a pitagoreusok, majd PLATON és EUKLEIDÉSZ a harmónia jelképeinek tekintették. A görögök az egyiptomiakat tekintették tanítómestereiknek. A csatolt idézetgyűjtemény és a tárgyi bizonyítékok is azt sugallják, hogy a görögök a számelméletnek ezt a részét Egyiptomból vették át.
2.5.2 A matematikai arányelmélet és a váltakozva kivonás. Munkakérdés: • Miért osztotta PITAGORASZ 12 részre a kánont? Mikor PITAGORASZ a zenei harmóniák számszerűsíthető arányait kereste egy húrt feszített ki egy mérőléc (kánon) felett. A húrt különböző pontokon leszorítva pengette. Amikor sikerült kvart, kvint és az oktáv hangközöket előállítani a kánonon megjelölte az adott hangokat eredményező leszorítási pontokat. Mi/Ma a húrhosszak közötti arányosságot a „ l e g n a g y o b b k ö z ö s o s z t ó ” módszerével számítanánk ki (törzstényezőkre bontás). Az ógörögök viszont az arányosságot – a közös mérték(egység)et – v á l t a k o z v a k i v o n á s s a l határozták meg. „Ha van két nem egyenlő számunk, a kisebbet váltakozva mindig kivonjuk a nagyobból, és a maradék sosem osztja a megelőző számot, míg csak nem az egység a maradék, akkor az eredeti számok relatív prímek.” EUKLEIDÉSZ Elemek VII.1.
1. példa. 243 198 153 108 63 45 27 18 9
-
198 45 45 45 45 18 18 9 9
= = = = = = = = =
2. példa 45 153 108 63 18 27 9 9 0
153 118 83 48 35 22 13 9 5 4 3 2 1
-
118 35 35 35 13 13 9 4 4 1 1 1 1
= = = = = = = = = = = = =
35 83 48 13 22 9 4 5 1 3 2 1 0
Két szám közül a nagyobb legyen a kisebbítendő, a kisebb a kivonandó. A kivonás után megmarad a kivonandó és a különbség. Ezek újabb számpárt alkotnak. A műveletet addig folytatjuk, amíg a két szám egyenlő nem lesz. Ez a közös mérték(egység); a legnagyobb közös osztó. Ha a közös mérték 1, akkor a két szám relatív prím.
P6.sz. #15.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A váltakozva kivonást két számpárral szemléltetjük: 1. példa: 243 és 198, 2. Példa: 153 és 118. Az első példában a közös mérték a legnagyobb közös osztó: 9. (243=27×9; 198=22×9) A második példában a 153 és a 118 relatív prímek, mert a közös mérték 1. (153=153×1; 118=118×1) A váltakozva kivonás kettőnél több számra is kiterjesztették.
„Keressük meg három adott nem relatív prímszám legnagyobb közös osztóját!” EUKLEIDÉSZ Elemek VII.3. Mi viszont négyét! ... ... mert a harmóniai arányokhoz négy szám legnagyobb közös osztóját kell meghatározni. Teljesen h a s -számokbol kiindulva t e g y ü k f e l , hogy az alaphang, a kvart, a kvint és az oktáv hangközökhöz tartozó húrhosszúság rendre: 84, 63, 56, 42 hosszegység. A 3 . t á b l á z a t b a n lépésenként levezetett váltakozva kivonás szerint a négy szám közös egysége 7. A hangközök közös egységgel számított aránya tehát: 12,
9,
8,
6.
Válasz a munkakérdésre, hogy miért osztotta PITAGORASZ 12 részre a kánont???... ... azért, mert így jött ki! PLÁTON teremtésmítoszában; a TIMAIOSZ-ban a Világ-Teremtés sarokszámainak pontosan a Pitagoraszi félhangok arányait teszi meg (részletesebben a mellékelt idézetekben): „A kötelékek között pedig az a legszebb, amely önmagát és az összekötött dolgokat a legjobban eggyé teszi; a természettől fogva az arányosság az, amely ezt a legszebben teljesíti.” A váltakozva kivonásnál az összemérendő szakaszoktól függően más és más a közös mérték, az egy(ség). A pitagoreusok nem is tekintették igazi számnak az egyet, hanem Istennel azonosították. Az egység ingatagsága volt a Matematika-Csillagászat-Zene örök törvényein alapuló világképükben az első válságtünet.
2.5.3 Figurális számok A figurális számok felfedezését a pitagoreusoknak tulajdonítják, mert ők a számokat kavicsokkal szemléltették ( 2. ábra) . Megpróbáltak különböző számú kavicsból szabályos alakzatokat kirakni. Azokat a számokat amelyekből sikerült egy adott az alakzat kirakása, figurális számoknak nevezték. Például: — a négyzet : 1, 4, 9, 16, 25; — a háromszög 1, 3, 6, 10, 15 … darab kavicsból rakható ki. A 2. ábra figurális számait az alakzatokról nevezték el: - Vonal - Gnómóm-napóra - Téglalap - Négyzet, - Háromszög - Ötszög, - Köb .......számok.
(minden szám), (a páratlan számok), (minden nem törzsszám), (a négyzet számok) (a számok összege 1-től…), (a köb számok)
Minden nem törzsszám téglalapszám, — illetve — törzsszámot nem lehet téglalap elrendezésben kirakni. Figyelemreméltó, hogy a téglalapszámok közül is kitüntették az (n + 1)×n = n2 + n
2×1, 3×2, 4×3, 5×4, 6×5
alakúakat, melyeknél a téglalap két oldala között egységnyi a különbség. M i é r t ? . . .
P6.sz. #16.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
vonal napóra gnomóm
Kóta Béla 2004
négyzet
téglalap
köb
háromszög
ötszög
2. ábra: Figurális számok.
.. Azért mert a pitagoraszi a harmóniai arányokban az alaphang, a kvart, a kvint és az oktáv hangközökhöz tartozó húrhosszúság közös egységgel számított aránya: 1 2 , 9 , 8 , 6 . Viszonyítsuk ezeket az alaphanghoz:
12 4 9 = 3
⇔
12 3 8 = 2
⇔
12 2 6 = 1
A törtek többi hangközben is az (n + 1)/n alakú téglalapszámok oldalarányainak felelnek meg.
Hangköz
Arány
Oktáv
2/1
Kvint
3/2
Kvart
4/3
Nagyterc
5/4
Kisterc
6/5
A figurális számsorozatok összehasonlításával több fontos számelméleti törvényt ismertek fel. A szabályos elrendezés a világ harmóniájának jelképe. A számok figurális jellemzői ugyanolyan egyediek, mint az oszthatósággal megismert vonzatok; tovább bővítik a számmisztika értelmezési tartományát. A 2 . t á b l á z a t b a n összeállítottuk az 1.- 16.-ig terjedő számok oszthatósági, a figurális jellemzőit is.
2.5.4 12. Újszövetségi kitérő Az Újszövetség a görögök megtérítésére - ógörög nyelven íródott. A János Evangéliuma elmondja a Tiberias-tavi csodálatos halfogást. János 21.5 „Jézus megszólította őket: »Fiaim, nincs valami ennivalótok?« »Nincs« felelték. Erre azt mondta nekik: »Vessétek ki a bárka jobb oldalán a hálót, s ott majd találtok.« ”
P6.sz. #17.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
János 21.11 „Péter visszament, és partra vonta a hálót, amely tele volt nagy hallal, szám szerint százötvenhárommal, s bár ennyi volt benne, nem szakadt el a háló.” A s z á z ö t v e n h á r o m osztható hárommal, mert számjegyeinek összege is hárommal osztható: 153 számjegyeinek összege: 1 + 5 + 3 = 9 — osztható hárommal:
153 : 3 = 51
51 számjegyeinek összege: 5 + 1 = 6 — szintén osztható hárommal; A 17 törzsszám, tehát
51 : 3 = 17 3 × 3 × 17 = 153
Ezenkívül a 153 háromszögszám is, mert az 1-től 17-ig tartó számsor összege: 1 + 2 + 3 + 4 +… …+ 16 + 17 = 153 A 1 5 3 a 1 7 - ik háromszögszám és legnagyobb törzstényezője is 1 7 ; ez már több, mint véletlen egybeesés! (Megtalálható még: Sain Márton: Nincs királyi út. id.m.)
2.5.4.1 A TETRAKTÜSZ A negyedik háromszögszám a 10 = 1 + 2 + 3 + 4. A 10 a mágikus négyesség: a TETRAKTÜSZ. A görögök a látható Bolygók számát is kiegészítették 10-re („EllenFöld”).
1 12 123 1234 A mágikus négyességben is megjelenik a három legfontosabb konszonancia: az oktáv (2:1), a kvint (3:2) és a kvart (4:3).
3. GEOMETRIAI BEMELEGÍTÉS. A következő geometriai szerkesztésekre tekintettel célszerű átismételni néhány geometriai alapfogalmat, alaptételt és szerkesztést. Ilyen pl. a szögek értelmezése, a THALÉSZ, tétel mert összekapcsolja a téglalapot a négyzetet és a derékszögű háromszöget. A THALÉSZ tételre vezetjük vissza több tézis bizonyításait.
3.1 A SZÖGEK. A fok-perc-másodperc egységeken alapuló szögmérést a Kr.e. 2. században vezették be az ógörög csillagászok; HIPPARKHOSZ, HYPSZIKLÉSZ. Tőlük vette át a Kr.u. 2. században az ókori csillagászat rendszerezője PTOLEMAIOSZ. Az egységrendszer a mezopotámiai 60-as számrendszerre utal: t e l j e s kör = 360°, 1° = 60’, 1´ = 60˝.
α° = 360 ×
a szög szárai által közbezárt ív hossza a teljes kőr ívhosza
Az ógörögök a derékszöget tartották „igazi szög”-nek: orthé-gónia, rectus-angulus (lat). Ehhez viszonyították a szöget: 30° = 1/3 derékszög, 60° = 2/3-, 180° = 2 egész derékszög. Egyiptomban az építészek a falak dőlésszögét függőónnal és derékszög vonalzóval mérték. A dőlés mértéke a škd (szeked); — az egységnyi függőleges távolságon mérhető vízszintes elhajlás (dőlés). A trigonometriában ez a vízszintessel bezárt emelkedési szög cotangense lenne.
P6.sz. #18.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A szög fokban kifejezett mértéke egy adott sugarú körnél:
R
α° Kóta Béla 2002
3. ábra: A szög értelmezése.
3.2 A HÁROMSZÖG SZÖGEINEK ÖSSZEGE. A háromszög három oldala a - b - c , a velük szemben fekvő szögek α − β − γ . Az általános háromszög szögeinek összege:
α + β + γ = 180° A törvényt a 4. ábra szemlélteti. Fektessünk egymásra két egyenlőközű párhuzamos vonalakból álló rácsot. A keresztezési metszéspontok kitűzik a harmadik egyenlőközű vonalrácsot. A három vonalrács keresztező vonalai egymással érintkező egybevágó háromszögeket határolnak. Az érintkező csúcsoknál minden három szomszédos szög 180°-ot ad, — hat darab szomszédos szög 360°-ot.
β γ
α
γ β α
β γ
α + β + γ = 180°
α Kóta Béla 2002
4. ábra: A háromszög szögeinek összege.
Derékszögű háromszögben az egyik (γ) szög mindig 90°, a másik két hegyesszög összege:
α + β = 90°
P6.sz. #19.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
3.3 A HÁROMSZÖGEK JELLEMZŐI. A háromszögeket a szögeikkel jellemezzük. A jellemző szög lehet hegyes-, derék- vagy tompaszög, — de legalább két szög mindig hegyesszög. Derékszögű háromszögben a két befogó derékszögű, , — a befogók az átfogóval mindig hegyesszöget zárnak be.
αα
c
αα
c b
ββ
αα
c b
γ
ββ
a
hegyesszögű
b ββ
900 a
derékszögű
γ a
tompaszögű
5. ábra: A háromszögek osztályozása-
3.3.1 A háromszögek hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának kritériuma: • •
két általános háromszög akkor hasonló, ha két szögük egyenlő, (6. ábra) két derékszögű háromszög hasonló, ha egy-egy hegyesszögük egyenlő. (7. ábra)
α
z α
c β
γ
y b
a
γ
β x
P ⇒ a rá n y x = P×a
z
y = P×b z = P×c
α α
c β
a
γ
y b
γ
x 6. ábra: Hasonló általános háromszögek.
3.3.2 Az arányosság értelmezése hasonló derékszögű háromszögekkel. Legyen két számpár: a ; b , x ; y . A két számpár arányos, ha: x = P × a ; y = P × b , ahol P az arányossági tényező. A két egyenlőség hányadosa:
y P×b b x = P×a = a = … = t g ( β )
P6.sz. #20.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
y b β
a
β
x
y b = = K = tg ( β ) x a
y b
β
a x
7. ábra: Arányosság hasonló derékszögű háromszögekben.
Az arányosságot hasonló derékszögű háromszögekkel szemléltetjük (7. ábra) . A számpárok hosszával szerkesztjük a derékszögű háromszögek befogóit. A befogók hányadosai és a derékszögű háromszögek szögei egyenlők.
3.4 A TÉGLALAP ÉS A NÉGYZET. A téglalap és a négyzet sarkai derékszögűek. A derékszög a legfontosabb szög a természetben, mert a függőleges és a vízszintes irány egymásra merőleges. A függőleges a nehézségi erő iránya. A nyugalomban levő folyadékok felszíne vízszintes. A stabilitás megköveteli a függőlegesre tengely körül kiegyenlített tömegeloszlást. Bármely négyzet vagy téglalap tetszőleges számú kisebb négyzetre vagy téglalapra osztható. Célszerűségből a téglalap és a négyzet alak az ember által alakított anyagi világban mindenütt megjelenik: • • • • •
termőföldek kijelölése, házak alaprajza, ajtók, ablakok, építőkövek, téglák, burkolólapok oldalai, bútoroktól a textil és papírárúkig a használati tárgyak végtelen sora...
A tervezés, kitűzés és mérés elméleti megalapozásához fel kellett tárni, hogy milyen összefüggés van a derékszögű háromszög oldalainak hosszúsága között. Ez az összefüggés jellemzi a négyzet oldalainak és átlóinak viszonyát is. A négyzet és a téglalap négy egyenes vonallal határolt síkidom. (8. ábra) Mind a négy sarkukban a oldalak derékszögben találkoznak, ezért két-két szemben fekvő oldaluk egyenlő hosszúságú és párhuzamos. A négyzet és a téglalap a hossz- és keresztirányú tengelyre tengelyszimmetrikus, a középpontjukra központ- (centrál) szimmetrikus. Az átlók a körülírt kör átmérői. A négyzet minden oldala egyenlő hosszú: a . Az átlók a négyzetet egyenlőszárú-derékszögű háromszögekre osztják. A négyzet területe a 2 .
P6.sz. #21.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A téglalapot két rövidebb, és két hosszabb párhuzamos oldal határolja: a és b . Területe a × b . A c hosszúságú átló a téglalapot két egybevágó, de fordított állású derékszögű háromszögre osztja, melyeknek befogói a és b , átfogójuk c . Másképpen — minden a b c derékszögű háromszög egy a b oldalú téglalap fele. Területe a × b / 2 .
3.5 THALÉSZ TÉTELE. Vegyünk egy a és b oldalú téglalapot (8. ábra). A téglalap mind a hossz-, mind a keresztirányú tengelyére t e n g e l y s z i m m e t r i k u s . Ugyanakkor a középpontjára c e n t r á l i s a n i s s z i m m e t r i k u s . A két átló a téglalap középpontjában metszi egymást. Az átlók fele a körülírt kör sugara. A szimmetriák miatt a középponttal megrajzolható a körülírható kör, amelyik minden sarokponton átmegy (baloldali alsó rajz). Két szomszédos a és b oldal, mint befogó és a végpontjukat összekötő átló, mint c átfogó — kiad egy derékszögű háromszöget (jobboldali alsó rajz). Innen belátható, hogy a derékszögű háromszög derékszögű csúcsa mindig rajta van azon a körön melynek az átfogó az átmérője. A THALÉSZ tétel kimondja, hogy: „a félkörön nyugvó kerületi szög mindig derékszög”. THALÉSZ ismerte fel, hogy a háromszög szögeinek összege 180°. A 9. ábra szerkesztésében a két körbe írt egyenlőszárú háromszög szögeinek összegzéséből is kijön a THALÉSZ tétel.
a a
a a Kóta Béla. 2004.
b a
a
α
b c
b
a β
8. ábra: A derékszögű háromszög származtatása.
• Lariscsev: 1680. Egy kolhoz 800 q rozsot és 300 q zabot kétszerre szolgáltatott be az államnak. Előszörre háromszor annyi rozsot adtak be mint zabot, másodszorra pedig kétszer annyi rozsot, mint zabot. Hány q zabot szolgáltattak be előszörre?
P6.sz. #22.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
α/2 + (90 − α/2) = 90
α/2
90−α/2
R 180−α α
α/2
R
90−α/2
Kóta Béla. 2002.
R
9. ábra: A Thalész háromszög szögei.
4. A PITHAGORASZ TÉTEL A PITHAGORASZ tétel több bizonyítása ismert. A tétel fontosságára tekintettel itt összefoglaljuk a három legismertebbet. Továbbá külön ennek a fejezetnek a teljessé tételéért saját kútfejemből merítve levezetek egy negyedik és egy ötödik bizonyítást is.
4.1 A PITHAGORASZ TÉTEL TERÜLET LEFEDÉSES BIZONYÍTÁSA.
α
c b
c
b
β a
b a β
c
α b a c c α β b
c
α
β a
β a
c2
α
b2
β a
a2
α
b a β
α b a c c α β b
A tétel legegyszerűbb szemléletes geometriai bizonyítása a terület lefedéses módszer. Az előzőekben beláttattuk, hogy a téglalapot (és négyzetet) az átlója két egybevágó, derékszögű háromszögre osztja.
10. ábra: A Pitagorasz tétel „lefedéses” bizonyítása.
Legyen egy a b c oldalú derékszögű háromszög. Szerkesszünk két a + b oldalhosszúságú négyzetet. Ezek területe:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
P6.sz. #23.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Legyen egy a b c oldalú derékszögű háromszög. Szerkesszünk két a + b oldalhosszúságú négyzetet. Ezek területe:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Az egyenletben a 2 a b terület megfelel két db a b oldalú téglalap, vagy négy db a b befogójú derékszögű háromszög területének, mert:
ab 4 * 2 = 2 * ab A 10. ábra baloldali négyzetéből a 4 db a b befogójú derékszögű háromszög lefed a 2 a b területet. Fedetlenek maradnak az a 2 és b 2 négyzetek. A háromszögek átrendezésével kapjuk a jobb oldali négyzetet. Ebben f e d e t l e n egy c oldalú négyzet, melynek terület c 2 . A területegyenlőségből megkapjuk a PITHAGORASZ tételt:
a2 + b2 = c2 A tétel az ábrából közvetlenül, ránézésre is belátható. Ez a bizonyítás szerepel az 1998-ban kiadott: „MATEMATIKA általános iskola 8. osztály. ALAPSZINT” tankönyvben.
4.2 A PITHAGORASZ TÉTEL, AHOGY ÉN TANULTAM 1954-BEN. A bizonyításhoz szükségünk lesz a háromszög magasságvonalára. A magasságvonal fogalma a fizikai szemléletből ered. Vegyünk egy általános háromszöget. Állítsuk ezt a háromszöget függőleges síkba úgy, hogy az egyik, „alsó” oldala egy vízszintes alapvonalra (alapsíkra) támaszkodjon. A „felső” csúcspontból leeresztett függőón kijelöli az ebből a csúcspontbók kiinduló magasságvonalat, mely merőleges a vízszintes alapvonalra. Általánosságban: egy adott csúcsponthoz tartozó magasságvonal a csúcsponton átmenő és a szemben fekvő oldalt merőlegesen metsző egyenes. (11. ábra)
m
m Kóta Béla. 2002.
11. ábra: A magasságvonal.
Hegyesszögű általános háromszögben az oldalak és az A , B , C csúcspontokból induló magasságvonalak összesen hat derékszögű háromszöget jelölnek ki metsz ki. (12. ábra) (Tompaszögűben is!…??) A derékszögű háromszögben két magasságvonal e g y - b e - e - s i k a befogókkal. A harmadik magasságvonal, amelyik a „ C ” derékszögű csúcspontból indul, merőleges az átfogóra. Ez a magasságvonal az eredeti háromszöget két H A S O N L Ó derékszögű rész-háromszögre osztja, és a derékszöget is α és β szögre osztja: 9 0 ° = α + β . A magasságvonal talppontja a c átfogót osztja egy x és egy c - x szakaszra.
P6.sz. #24.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
C
C B
β α
A α
β
A
B
Kóta Béla. 2002.
12. ábra: Magasságvonalak a háromszögben.
C B
a
α C
x h
b
α
A
h c-x P
c
h
α
c-x P
B B
Kóta Béla 2004.
b
A
a x
c
P C
α
α
a
b
A
13. ábra: A derékszögű háromszög felosztása.
C
P6.sz. #25.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Jelöljük a magasságvonal talppontját „ P ” -vel. A magasságvonal az eredeti ABC háromszöget két derékszögű rész-háromszögre — C P B és A P C – osztja. Az eredeti és a két részháromszög h a s o n l ó ! ! !
Az eredeti és a kimetszett háromszögek hasonlóak — ezért...; az α szög koszinusza az A C B és A P C háromszögben: b
az α szög szinusza az A C B és C P B háromszögben:
c-x
x
cos(α) = c = b
a
sin(α) = a = c
Szorozzuk meg mindkét egyenlet mindkét oldalát c-vel:
b =
c 2 - cx b
cx a = a
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát b-vel:
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a-val:
b 2 = c 2 - cx
cx = a 2
Helyettesítsük be a jobboldali egyenletből cx -et a baloldaliba:
b2 = c2 - a2 Átrendezve, vagy az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva a 2 -et:
a2 + b2 = c2 (13. ábra)
4.3 EUKLEIDÉSZ BIZONYÍTÁSA A MÉRTANI KÖZÉPÉRTÉKEKKEL Vegyünk egy a b c oldalú derékszögű háromszöget. Szerkesszük meg az a b befogók metszéspontjából induló magasságvonalat. A magasságvonal a c átfogót c a és c b szakaszra osztja.
b
β α
a
h α
ca β
cb
c c = ca + cb
P
Kóta Béla 2002
14. ábra: EUKLEIDÉSZ bizonyítása.
P6.sz. #26.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Az előzőekben igazoltuk, hogy az eredeti háromszög és a magasságvonal által kivágott részháromszögek hasonlók. A hasonlóságok alapján EUKLEIDÉSZ három mértani középérték tételt állított fel: 1. Magasságtétel az „ m ” magasságra:
m
ca
tg(α) = c = m , b
átrendezve
m 2 = c a ×c b
átrendezve
a 2 = c×c a
átrendezve
b 2 = c×c b
2. Befogótétel az „ a ” befogóra:
a
ca
sin(α) = c = a , 3. Befogótétele a „ b ” befogóra:
b
cb
cos(α) = c = b ,
Adjuk össze a két befogó négyzetét, figyelembe véve, hogy; c a + c b = c
a 2 + b 2 = c×c a + c× c b = c×(c a + c b ) = c 2 . 4.4 EUKLEIDÉSZ: ELEMEK, I. 47. TÉTEL. „A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével.” Ez a bizonyítás kizárólag mazochistáknak ajánlott. (Megtalálható még: Sain Márton: Nincs királyi út. id.m.)
4.5 MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉSEK Abban a levezetésben amit nekem tanítottak először tisztázni kellett a magasságvonal fogalmát. A derékszögű háromszögbe bele kellett szerkeszteni a magasságvonalat és be kellet vezetni az x segédváltozót. Ezek után lehetett kinyilvánítani az eredeti és a részháromszögek hasonlóságát. A hasonlóság alapján lehetett felállítani két egyenletet, amelyek tartalmazzák az x segédváltozót. Végül az x segédváltozót behelyettesítéssel eltüntetve és megkapjuk a PITAGORASZ tétel egyenletét. Az EUKLEIDÉSZI levezetéshez is szükséges a magasságvonal és még két segédváltozó is: c a és c b . Ezeken kívül fel kellet állítani három mértani középértéktételt. Az „Elemek” I. 47. Tétel bizonyítása, mint fent: Ezeket a levezetéseket a magasságvonal, a segédváltozók és a középértéktételek feleslegesen túlbonyolítják és sértik az OCCAM elvet. William of OCCAM (OCKHAM) *1275. +1347. Egy időben a Pápa tanácsadója volt és a Bajor királyi udvarban halt meg. Munkásságából később NEWTON is sokat merített. Lefektette a skolasztika egyik legfontosabb alaptételét, melyet "Occam borotvája" (Occam's razor) névvel is illetnek: • • •
"entia non sunt multiplicanda praeter necessiatem" "beings ought not to be multiplied except out of necessity" "Non sunt multiplicanda entia praeter necessiatem"
• •
"a létezők nem szaporítandók meg a szükségleten túl" "a létezők számát nem szabad feleslegesen szaporítani"
A történelmi tapasztalatok szerint a dolgok a bonyolulttól az egyszerű felé fejlődnek: nyelvek, írásrendszerek, számolás, stb. Bonyolult és áttekinthetetlen bizonyításokat, levezetéseket könnyedén össze
P6.sz. #27.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
lehet csapni. Az egyszerűsítés és áttekinthetőség érdekében el kell szakadni a korábbi sablonoktól ami viszont már komoly erőfeszítést igényel. M o s t v i s z o n t i d e j e , h o g y P I T A G O R A S Z istállóját kiganajozzuk!
4.6 A PITHAGORASZ TÉTEL, AHOGY ÉN BIZONYÍTANÁM 2004-BEN. Vegyünk egy a b c oldalú derékszögű háromszöget. Rajzoljunk a c átfogóval, mint sugárral kört, amelynek középpontja a c átfogó és az a befogó metszéspontja. ( 15. ábra)
R=c c
b
a c+a b c−a = c+a b
c-a
(= t g δ ) c
Kóta Béla. 2004.
δ
b
c+a
δ c-a
15. ábra: A PITAGORASZ tétel nekem.
Hosszabbítsuk meg az a befogót a mindkét irányban a körívig. Ez lesz a c sugarú kör 2 c hosszúságú átmérője. A b befogó; • merőleges az átmérőre, • felső végpontja a köríven van, • alsó végpontja az átmérőt c + a és c - a szakaszokra osztja. K ö s s ü k ö s s z e az átmérő jobb- és baloldali végpontját a b befogónak a köríven levő felső végpontjával. A THALÉSZ tétel szerint kapunk egy derékszögű háromszöget. A b befogó a THALÉSZ háromszöget két hasonló derékszögű háromszögre osztja. A két háromszög merőleges szárú ezért δ szög mindkét háromszögben megjelenik. Írjuk fel a δ szöggel szemben fekvő és a szög melletti befogók hányadosát (a δ szög tangensét):
b c - a = c + a b
[ = tan(δ) ]
E N N Y I ! E z m á r a P I T A G O R A S Z t é t e l , de menjünk tovább. Szorozzuk meg mindkét oldalt (c + a) -val
b =
(c - a)(c + a) b
P6.sz. #28.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Szorozzuk meg mindkét oldalt b - vel, és szorozzuk össze a jobboldali zárójeles tagokat:
b 2 = (c - a)(c + a) = c 2 - ca + ca - a 2 = c 2 - a 2 Adjunk az oldalakhoz a 2 – et.:
a2 + b2 = c2 Itt a PITAGORASZ tétel, mint a THALÉSZ tétel folyománya, felesleges trutymók nélkül. A lényeg a háromszögek hasonlósága! S E magasságvonal, S E segédváltozó, S E mértani középérték, S E magasságtétel, S E befogótétel, D E ! …
„Ez még nem a Vég, ez csak a Kezdet, — a Vég Kezdete…”
(Winston CHURCHILL)
… mert itt még valami további összefüggés sejlik. Ma a bolygók konstellációja is kedvező előjelekre utal; vágjunk bele a Nagy Egyesítésbe!
4.7 A KIBŐVÍTETT THALÉSZ KÖR Ismételjük át: A téglalap centrálisan szimmetrikus, az átlók a körülírt kör átmérői. Az átló két egybevágó derékszögű háromszögre osztja a téglalapot; az átló egyben a háromszögek átfogója is. • A derékszögű csúcspontból induló magasságvonal az egész háromszöget két rész-háromszögre osztja. • A derékszögű részháromszögek egymáshoz is és az eredeti háromszöghöz is hasonlók! A magasságot jelölje h . A magasságvonal a c átfogót is két szakaszra osztja: x és y . Fejezzük ki ezeket a méreteket a háromszög oldalaival. • •
b α
α a h y
x
c
16. ábra: A háromszög felosztása.
x
a
y
b
h
b
sin (α) = a = c
cos (α) = b = c
cos (α) = a = c
⇒ átrendezve ⇒
a2 x = c
⇒ átrendezve ⇒
b2 y = c
⇒ átrendezve ⇒
h =
a×b c
P6.sz. #29.
b 2
α
b c
c
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
a×b c
α a 2
a c
Kóta Béla. 2004.
17. ábra: A kibővített Thalész háromszög.
Állítsuk fel a c átfogó egyenlőségét:
a 2 b2 c + c = c A mindkét oldalt szorozzuk c –vel.
a2 + b2 = c2 —•—
• Lariscsev*: 1167. A Szovjetunió népgazdaságának helyreállítási terve szerint 1950-ben a gabonatermés átlagának hektáronként 4,6 q-val magasabbnak kell lennie, mint a forradalom előtti Oroszország átlagtermése. A Szocialista Munka Hősei már 1948-ban háromszor annyi termést gyüjtöttek be egy hektárról, mint amennyit a terv 1950-re irányzott elő, és 28,6 q-val többet, mint amennyi a forradalom előtti Oroszország átlagtemése volt. Állapítsuk meg a hektáronkénti átlagtermés nagyságát a forradalom előtti Oroszországban, a terv szerint 1950-ben és a Szocialista Munka Hőseinél.
P6.sz. #30.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
5. A NÉGYZET ÁTLÓJA A négyzetet az átló két szimmetrikus egyenlőszárú derékszögű háromszögre osztja. Ezekben a négyzet oldalai a befogók, az átló az átfogó. Legyen a négyzet oldalainak hossza a . A c átfogó hossza a PITHAGORASZ tétellel számítható:
c =
a2 + a2 =
2 × a2 =
2 × a
Egységnyi oldalú négyzet oldalainak hossza 1 . A c átfogó hossza ( 18. ábra) :
c =
12 + 12 =
2 × 12 =
2
1
12 + 12 = = 2 × 12 = = 2⇒
1
2
1
1 18. ábra: Az egységnégyzet átlója.
A négyzet átlójának és oldalainak aránya 2 . Amikor a pitagoreusok ezt az arányt is természetes számokkal akarták kifejezni r o b b a n t e g y ú j a b b b o m b a !
5.1 PÁROS - PÁRATLAN BIZONYÍTÁS A matematika történeti művekben a négyzet oldalának és átlójának összemérhetetlenségét egy tömör — logikai beláttató — módszerrel bizonyítják. Mi viszont egyszer ebben a(z) „✴✴✴✴✴” életben végre szabatos algebrai levezetéssel e g y e n k é n t tegyük meg a bizonyítás lépéseit. Próbáljuk felírni a 2 -t két relatív prímszám hányadosaként. Jelöljük a számlálót s z -szel, a nevezőt n v vel:
sz nv =
2 .
Négyzetre emelve, majd átrendezve:
sz 2 = 2 nv 2
⇒
sz 2 = 2×nv 2
Emlékezzünk meg arról, hogy; minden természetes szám megkétszerezve páros számot ad: 2 x , 2 y , minden páros számot követő szám páratlan: 2 x + 1 , 2 y + 1 .
P6.sz. #31.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Vizsgáljuk meg az s z 2 = 2 n v 2 összefüggést a számláló és a nevező páros-páratlan kombinációival, hogy lehet e egy négyzetszám kétszerese is négyzetszám ?...
számláló páratlan nevező páratlan sz = 2x + 1 nv = 2y + 1 2 2 sz = 4x + 2x + 1 nv2 = 4y2 + 4y + 1 sz2 <> 2nv2 4x2 + 2x + 1 <> 8y2 + 8y + 2 4x2 + 2x <> 8y2 + 8y + 1 páros <> páratlan számláló páratlan nevező páros sz = 2x + 1 nv = 2y sz2 = 4x2 + 2x + 1 nv2 = 4y2 2 sz <> 2nv2 4x2 + 2x + 1 <> 8y2 páratlan <> páros számláló páros nevező páratlan sz = 2x nv = 2y + 1 2 2 sz = 4x nv2 = 4y2 + 4y + 1 sz2 <> 2nv2 4x2 <> 8y2 + 8y + 2 2x2 <> 4y2 + 4y + 1 páros <> páratlan számláló páros nevező páros sz = 2x nv = 2y a számláló és a nevező nem relatív prím, mindkettő osztható kettővel.
Válasz a munkakérdésre: • N E M ! . . . ... mert a számláló és nevező minden páros páratlan kombinációja ellentmondásra vezetett.
5.2 VÁLTAKOZVA KIVONÁS A pitagoreusok megpróbálták az Eukleidészi váltakozó kivonással kiszámítani a négyzet oldalának és átlójának arányát. (A váltakozva kivonásnál mindig a nagyobb szám a kisebbítendő, a kisebb a kivonandó. A kivonás után a kisebbítendőt elhagyjuk, és a műveletet a kivonandóval és a különbséggel megismételjük. Ebben a fejezetben néhány esetben a különbséget maradék-nak nevezzük.) Ebben a feladatban célszerűen három kivonási műveletet tekintünk egy ciklusnak: • •
Először az átlóból vonjuk le az oldalt, a különbség itt „átlószám”. Másodszor az oldalból vonjuk le kétszer az átló maradékát, a különbség itt „oldalszám”.
P6.sz. #32.
D
a.
C
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
b.
D
1
C
1 4×22,5° Kóta Béla. 2004.
2×45°
2
1
P
1 1
P 2− −1 1
A
D
A
B
B
tan (45° / 2 ) = tan (22,5°) = 2 − 1
c.
C
d.
D
1
C
1 4×22,5°
4×22,5°
1 2− −11
1 2− −11
1
1
2 −1
3 − 2* 2 A
A
B 2− −11
1− 2×
(
)
3 − 2* 2
B 2− −11
2 −1 = 3 − 2 × 2
19. ábra: Átló/oldal váltakozva kivonása.
Induljunk ki az egységnyi oldalú négyzetből ( 19. ábra/ a ): az átló az oldalakkal 45°-os szöget zár be és a négyzetet két egybevágó, egyenlőszárú derékszögű háromszögre osztja, az oldalak hosszúsága 1 , az átló hossza 2 = 1,4142135624
5.2.1 Az oldal kivonása az átlóból. Először az eukleidészi algoritmusnak megfelelően a nagyobb átlóból vonjuk ki a kisebb oldalt. •
A négyzet jobb felső C sarkát középpontnak tekintve húzzunk az oldallal mint sugárral körívet. ( 19. ábra/ a )
P6.sz. #33.
• • • •
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A körív az átlóból a P metszéspontban levágja az P A maradékot: 2 - 1 . ( 19. ábra/ b ) Húzzunk a körív és az átló P metszéspontján át (az átlóra merőleges) a körívet érintő egyenest. ( 19. ábra/ b / c ) Az érintő és az átló maradéka a négyzet bal alsó sarkából levág egy egyenőszárú derékszögű háromszöget. . ( 19. ábra/c szürkével árnyalt terület.) Ezt a levágott háromszöget az átló maradéka két egybevágó egyenlőszárú degékszögű háromszögre felezi. A befogóinak hossza egyenlő az átló maradékával: 2 - 1 .
Az átló maradéka „átlószám”! A továbbiakban ez lesz majd a k i v o n a n d ó .
5.2.2 Az átló maradékának kivonása az oldalból. Figyeljük meg, hogy az átló P pontját metsző érintőn kívül — a négyzet oldalai közül az AB és az AD oldal is érintője a körívnek.. Az érintő szakaszok lehatárolják a négyzet jobb felső maradék részét. Ez a terület – a szimmetriának köszönhetően – négy egybevágó derékszögű háromszögre osztható. A háromszögek hosszabbik befogója 1 , rövidebb befogók egyenlők az átló maradékával: 2 - 1 . A C pontnál találkozó kisebbik hegyesszögek 2 2 , 5 ° -osak, innen:
tan (90°/4 ) = tan (22,5° ) =
2 - 1
A kivonandó, az átló maradéka a B és D pontokban egybeesik a négyzet AB és BD oldalával. •
Vonjuk ki kétszer az átló maradékát az oldal(ak)ból:
1 - 2× (
2 - 1 ) = 3 - 2×
2
Ez az első „váltakozva kivonásdi” ciklus eredménye (19. ábra/d):
a kiinduló négyzet egségnyi hosszúságu oldala =
1
a kivonási ciklus után maradó = 3 - 2× 2 =
0,17157288
Kóta Béla. 2004.
20. ábra. Szimmetrizált kivonási szerkesztés.
P6.sz. #34.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Még szemléletesebb, ha a szerkesztést négyszeres centrális szimmetriában rendezzük el... ...és meg szebb is! (20. ábra)
• „Csak az a vég! — csak azt tudnám feledni! — ” Mi viszont n e f e l e d j ü k ! , hogy a kisebb, maradék négyzettel ismételve az eljárást, a ciklus a V É G T E L E N S É G I G ismételhető. A példákban ellentmondásra vezetett az a kiinduló feltételezés, hogy a négyzetben az átló és oldalak az aránya természetes számok hányadosával kifejezhető. A számadatoktól eltekintve eddig jutottak el a pitagoreusok: • „ A pitagoreusok igazi dogmatikusok módjára oldották meg a tények szembekerülését világnézetükkel: a t é n y e k e t i g y e k e z t e k e l t i t k o l n i . Azt a társukat, aki mégis elárulta a titkot, megölték.”
• [FILEP László] • „...Mert, mint mondottuk, az ember rendszerint azon kezdi, hogy csodálkozik, hogy valami úgy van, ahogy van. Így csodálatosak az automaták mindazok előtt, akik még nem ismerik az okaikat, — hasonlóképpen a napnak fordulói, vagy az, hogy a négyzet átmérője nem mérhető össze [nem mérhető meg] az oldalakkal, vagy a négyzet átmérőjének és oldalai arányának az irracionalitása. • Mert csodálatosnak tünhetik fel mindenki előtt, ha valami a legkisebb mértékegységgel föl nem mérhető. Azonban <mindennek> az ellenkezőjére és jobbra kell a közmondás szerint fordulnia, miként ezekben a kérdésekben is, hogyha tanulás útján elsajátítottuk a dolgokat, mert semmin sem csodálkoznék annyira a mértanhoz értő, mint ha az átmérő összemérhető volna.”
• [ARISZTOTELÉSZ: Metafizika] A mának szóló tanulságokat a K I E G É S Z Í T É S : „ A G y ö k ( 2 ) k ö z e l í t é s e t ö r t t e l ” fejezetében állítottuk össze.
—•— 5.3 A NÉGYZET TERÜLETÉNEK MEGKETTŐZÉSE PLATÓN (Kr.e. 427-347): MENÓN c. dialógusának 82a.- 86e. fejezetében SZÓKRATÉSZ (Kr.e. 469-399) és MENÓN az erények tanulhatóságát és taníthatóságát vitatják. A vita kiindulópontja SZÓKRATÉSZ egy állítása: •
„én aki azt mondom, hogy nincs tanítás, csupán visszaemlékezés...”
Az ember lelke a születés előtt az ideák világában él. Az érzékek feletti — igazi tanulás visszaemlékezés az ideák világában látottakra. Ezt a tudást a lélek megtartja a ciklikus újjászületések során. Célszerűen feladott kérdésekkel bárkiben felébreszthető a visszaemlékezés. Bizonyításul SZÓKRATÉSZ egy MENÓN házában élő — görögül értő és alapfokon számolni tudó — fiatal rabszolgát csupán kérdések feltevésével rávezet egy bonyolult geometriai törvényszerűség felismerésére. A geometria egyik őspéldája az egy adott ‘szabályos’ négyzetnél kétszer nagyobb területű négyzet szerkesztése. KERÉNYI GRÁCIA irodalmi fordítása nyilván tökéletes, de az ógörög forrás az elmúlt 2400 évben az átmásolások közben romlott. A szöveg az elveszett ábrákra utal. PLATÓN korában hiányoztak az egységes geometriai fogalmak: hosszúság, terület, sík, négyzet, kocka... „AZ ÉRTHETŐSÉG most is MINDENEKELŐTT” — ezért a geometriai műveletekre koncentrálva és néhány fogamat átneveztünk: • •
eredeti négyzet; az amelynek a területét meg kell kétszerezni, növelt négyzet; a kétszeres területű négyzet,
P6.sz. #35.
•
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
kocka; az 1 * 1 láb = 1 láb egységnyi területű négyzet.
A szerkesztést a Kr.e. I. században élt VITRUVIUS PLATÓN-nak tulajdonítja: • „Először pedig Platón sok igen hasznos tétele közül idézek egyet úgy, ahogyan ő kifejtette. Ha van egy egyenlő oldalú, négyzet alakú telek vagy föld, s ezt meg kell kétszerezni, mivel olyan fajta számra lenne szükség, amelyet szorzással nem találunk meg, vonalak pontos szerkesztésével találhatunk rá.”
5.3.1 SZÓKRATÉSZ és a FIÚ párbeszéde A párbeszédes bizonyítás az alábbi lépésekbe foglalható össze: 1. SZÓKRATÉSZ megkérdezi a FIÚ-t: „...tudod e, hogy ez egy négyszög?” FIÚ: „Igen, tudom.” 2. SZ: „Tehát van olyan négyszög, melynek összes oldalai, ezek itt, egyelők, mind a négy?” F: „Van hát.” 3. SZ: „S ugye ezek a közepét átvágó vonalak is egyenlők?” F: „Igen.” 4. SZ: Megkérdezi, hogy hány láb területe lenne egy olyan négyzetnek, melynek minden oldala két láb? De először a területszámítás alapjait tisztázza. 5. SZ: Összeilleszt két 1 láb területű „kockát”: Kétszer egy: 2 * 1 = 2 láb.
+
6. SZ: Kétszer két „kockából” áll össze a kiindulásul választott eredeti négyzetet. „És mennyi kétszer két láb. Számítsd ki és mondd meg.” F: „Négy, SZÓKRATÉSZ.” 2 * 2 = 4 láb lesz az eredeti négyzet területe — amit meg kell kétszerezni. 7. SZ: A 2 * 2 láb oldalú eredeti négyzetek területe egyenként 4 láb. A két négyzet területe összesen kétszer négy: 2 * 4 = 8 láb. „Nos hát, próbáld megmondani nekem, mekkora ennek minden egyes oldala?”
=
+ = +
8
8. F: „Világos SZÓKRATÉSZ, hogy kétszerese.” (4 láb) SZ: Most beláttatja, hogy a gondolatmenet hibás, mert az oldal megkétszerezése a területet négyszerezi. A rajzon is 2 * 2 = 4, azaz négy eredeti négyzet látszik és 4 * 4 = 16 kocka. A növelt négyzet területe 16 láb. Sokkal több, mint a megkívánt 8 ?láb. A kétszeres területű négyzet oldala tehát nagyobb 2 lábnál és kisebb 4 lábnál. „Próbáld hát megmondani, mit gondolsz, mekkora.” 9. F: „Három láb hosszú.” SZ: Figyelmezteti, hogy ez sem jó, mert most a terület 3 * 3 = 9 láb, ami eggyel több, mint a megkövetelt 8 láb.
1 9
8
» ! Itt megállt az ész ! « 10. SZ: Újra megkétszerezi az oldalt. Visszautal az előbbi 8. pontban bizonyított tényre — a négyzet oldalának kétszerezése a területet megnégyszerezi: 2 * 2 = 4. Az eredeti négyzetben van 4 láb, a megnövelt terület 4 * 4 = 16 láb. Ez most pont kétszer annyi,
1
3 4 1 2
P6.sz. #36.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
mint a megkövetelt 8 láb. 11. SZ: „Nemde ez az egyik saroktól a másikig érő vonal kétfelé vágja a síkok mindegyikét?” Berajzolja az egyik saroktól a másikig érő vonalakat, melyek kettévágják a négyzetek mindegyikét. Kívül van a négy eredeti négyzet fele és belül marad a négy eredeti négyzet másik fele. Vágjuk le az átlók mentén a növelt négyzet kívül maradó sarkait. A belül maradó négy db félnégyzet összesen kitesz 4 × 1/2 = 2 eredeti négyzetet, tehát az eredeti négyzet kétszeresét. 12. SZ: E-l-m-a-g-y-a-r-á-z-z-a (elgörögözi) az átló fogalmát: „Ezt pedig átlónak nevezik a tudósok. Az átló felezi a síkot.” Pontosabban: Az átló a saroktól-sarokig húzott olyan ferde vonal amelyik a kockát és a négyzetet is félbevágja = felezi. Nyitva marad az egész dialógus alapkérdése, mert ebből a levezetésből c s a k az nem következik, hogy „a tanulás visszaemlékezés”. A párbeszéd 1. - 9. pontig fikció. Dramaturgiailag feszültebbé teszi a cselekményt, de valószerűtlenül mesterkélt. A FIÚ aki állítólag ért ógörögül és tudja a kis-egyszeregyet — csak SZÓKRATÉSZ kérdéseitől emlékszik vissza arra, hogy a 16 és a 9 nem egyenlő 8-cal. Gondolkodás nélkül rávág két rossz feleletet: • • • •
1 * 1 = 1; kisebb, mint 8, 2 * 2 = 4; szintén kisebb, mint 8, 3 * 3 = 9; nagyobb, mint 8, 4 * 4 = 16; sokkal nagyobb 8-nál... …ahelyett, hogy mérlegelne: „mintha valahol 2 és 3 között lehetne!”
Ilyen találgatós fordított BAR-KOCHBA játék akkor jogos, ha a keresett végeredmény egy természetes szám, vagy arány. Célszerűen irányított kérdésekkel és igen-nem válaszokkal a Q u a l a L u m p u r i N e m i b e t e g G o n d o z ó telefonszámára is rá lehet találni. A páciens itt nem az emlékeiben vájkál, hanem a számegyenesen ugrál. PLATÓN is tudta azt amire a PITAGOREUSOK már több, mint 100 évvel korábban rájöttek, hogy egy adott területű négyzet és a kétszeres területű négyzet oldalainak mérőszámai közül csak az egyik lehet természetes szám. Ha egy négyzet oldalhossza = a , akkor a kétszeres területű négyzet oldalhossza 2 × a . A gyök-kettes arányszám irracionális; görög neve „ a r r h é t o n ” : magyarul „ k i m o n d h a t a t l a n ” ! (Mi sem tudjuk kimondani, mert végtelen tizedes-törttel közelítjük.) A továbblépéshez a 11.-12. pontban — kérdezgetés, rávezetés és beláttatás h e l y e t t SZÓKRATÉSZ-nek először meg kellett TA-NÍ-TA-NI az átló fogalmát és tulajdonságait. Ez után egy ábrán m e g s z e r k e s z t i a kétszeres területű négyzetet és megkérdezi a fiút: 13. SZÓKRATÉSZ: Melyik vonal az oldala? FIÚ: Ez. Itt már szó sincs egy konkrét mérőszámról, vagy természetes számok arányáról. Idézzük fel a 7. pontban feltett kérdést: „Nos hát, próbáld megmondani nekem, mekkora ennek minden egyes oldala?” A FIÚ nem mondja meg, hogy mekkora az oldal, hanem rámutat a SZÓKRATÉSZ szerkesztésén az egyik vonalra:
» EZ « ……………….E Z visszamenni az ideák világába!
-ért nem kell
+ EZ
P6.sz. #37.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
5.3.2 TAN-ulság Az átlagember gyermekkorban a z a n y a n y e l v é n e k s p o n t á n elsajátítása közben majd az általános iskola alsó tagozatában együtt tanulja a szavakat és a hozzájuk tartozó képeket és ezek fogalmi kapcsolatát: egyenes, görbe, pont, vonal, négyszög, stb.
• „Tanulni, tanulni, tanulni!” (Vlagyimir Iljics LENIN) Vannak olyan Népek akik nem tehetnek arról, hogy Ők nem Magyarok. Nekik sajnos a Sors különös kegyetlensége folytán idegen nyelveken kell elszenvedni a fogalmi gondolkodást. Magyarban viszont tárgyasan ragozunk és tárgyiasan gondolkodunk. Nálunk elkülönül a cselekvés alanya és tárgya, az ok és a következmény.
• Mi azt az ételt szeretjük „amelyik étel az, ami a NEVE.” (KÁDÁR János) És nekünk minden dolog „az ami a NEVE!” Azt kell TAN-ulni amit vagy nem tudunk — vagy elfelejtettünk. Mi arra emlékezünk vissza amit a TAN-ár a TAN-órán TAN-ított, amit a TAN-könyvben olvastunk vagy amit saját magunk átéltünk. És újra meg újra TAN-ulunk, mert a még A VILÁG GONDOLATI TÉRKÉPE — a matematika — is folyamatosan átalakul. Meg mi is!
5.3.3 Hogyan kettőzném meg én a négyzet területét Most 2002-ben ennek a fejezetnek a kedvéért elfelejtem a mértani középarányos fogalmát. Egyedül, saját kútfejemből merítve, kizárólag intuitív felismerés és logikai elemzés útján levezetek egy a négyzet területét kettőző szerkesztést. (A módszer biztosan létezik, de én eddig még nem találkoztam vele. Az elemi geometriában EUKLEIDÉSZ után egyébként sem lehet új szerkesztést feltalálni.) Indulásként megpróbálom felírni a területek egyenlőségét. Legyen az eredeti négyzet oldalhosszúsága a, területe a2. A kétszeres területű négyzet oldala b, területe b2, vagyis:
b 2 = 2a 2
...vagy...
b*b = 2a*a Eddig sikerült!
Most visszaemlékezem arra, hogy a síkgeometriában az oldalak szorzatai (a területek) helyett az oldalak arányaival (hányadosaival) számolunk. Tüntessük el a négyzeteket. Először osszuk mindkét oldalt 2a-val:
b2 2a = a , majd osszuk mindkét oldalt b-vel:
b a 2a = b . Szerkesszünk a két törttel egy-egy derékszögű háromszöget, legyen a számláló a függőleges befogó, a nevező a vízszintes befogó:
Az Emberi Gondolat Történetének Nagy Pillanata ez! ...mert az egyenlőségjel két oldalán ugyanaz az arány áll, ezért a háromszögek hasonlóak. (Az általános iskolánál magasabb végzettségűeknek ez az arány a jelölt szögek tangense.) És ráadásul még mind a két háromszögben van egy-egy b hosszúságú befogó is. (21. ábra) Döntsük a jobboldali háromszöget 90°-kal jobbra, majd illesszük a két háromszög b oldalait össze. Emlékezzünk vissza (oda) egy THALÉSZ kört az egyesített háromszög köré.
» Kész «
P6.sz. #38.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
b a
a b
a
2 2 b = 2× a b a = 2× a b
a
Kóta Béla 2004
a
a
b
b
21. ábra: A négyzet kettőzés levezetése.
• • • •
mérjük fel egymás után háromszor az a szakaszt, szerkesszünk a 3 a hosszú egyenessel, mint átmérővel kört, emeljünk merőlegest két s z o m s z é d o s a szakasz csatlakozási pontjára, a merőleges vonalnak az átmérő és a körív közötti szakasza lesz a kétszeres területű négyzet b oldala.
b
Az a oldalú négyet megkettőzése — szerintem: (22. ábra):
a
a Kóta Béla 2004
a b
22. ábra: A négyzet területének kettőzése tőlem.
• Lariscsev: 3000. Egy mértani sorozat hányadosa : 1+ 5 2 Bizonyítsuk be, hogy a második elemtől kezdve a sorozat minden eleme egyenlő a két vele szomszédos elem különbségével.
P6.sz. #39.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
5.4 AZ ARANYMETSZÉS EUKLEIDÉSZ (Kr.e. 300 körül): E l e m e k V I . 3 . Definíció.
• „Azt mondjuk egy szakaszról, hogy folytonos arányban van felosztva, ha a
nagyobb szelet úgy aránylik a kisebbhez, mint a teljes szakasz a nagyobbik szelethez.”
Az aranymetszés arányai felfedezhetők a természetben, számos műalkotásban és megjelennek a formatervezésben.
b b+a = a b
(= tan α )
a
Kóta Béla 2004
b
b α b
α a
a 23. ábra: Az Aranymetszés aránya.
a
b
α
α b
b
P6.sz. #40.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Legyen a nagyobb szakasz b , a kisebb szakasz a — ekkor az algebrai összefüggés:
b b+a a = = 1 + a b b Jelöljük az arányszámot q -val:
b q = a Behelyettesítve q -t; átrendezés után három algebrai összefüggést; és végül egy másodfokú egyenletet kapunk:
1 q = 1 + q
q2 = q + 1
⇐⇒
⇐⇒
1 q = q – 1
q2 – q – 1 = 0 A másodfokú egyenlet pozitív gyöke lesz az aranymetszés arányszáma:
b = q = a
5 + 1 = 1,618033989 2
Az arány reciproka:
a 1 b = q =
5 – 1 2 = × 5 + 1 5 – 1
5 - 1 = q – 1 = 0,618033989 2
Induljunk ki újra az alapegyenletből. A számlálók és a nevezők legyenek két hasonló derékszögű háromszög befogói ( 23. ábra f e l s ő h á r o m s z ö g e k ) :
b b+a q = a = b (= tg α) Mint az előző fejezetben: „Döntsük a jobboldali háromszöget 90°-kal jobbra, majd illesszük a két háromszög b oldalait össze. Emlékezzünk vissza (oda) egy THALÉSZ kört az egyesített háromszög köré.” (23. ábra alsó háromszögek).
Kóta Béla 2004
a
b 24. ábra: Aranymetszés I. változat.
a
P6.sz. #41.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Az összeillesztett háromszögek köré THALÉSZ-kör szerkeszthető. A kör középpontja a vízszintes b szakaszt felezi Emeljünk négyzeteket a vízszintes a és b szakaszokra. ( 24. ábra) A 25. ábra a képszerkesztés elvét mutatja.
Kóta Béla 2004
25. ábra: Képszerkesztés.
b
b
b/2 a
Kóta Béla 2004
A 24. ábra szerkesztésével egyenértékű, ha a körív középpontját vízszintesen jobbra és balra eltoljuk a b négyzet alsó sarkaihoz ( 26. ábra) :
b/2 a
26. ábra: Aranymetszés II. változat.
Figyeljük meg, hogy a körívek sugarai mindig olyan téglalapok átlói melynek oldalaránya 1:2 vagy 2:1. Az aranymetszés szemléletes példája a p e n t a g r a m m a ( 27. ábra. ) : a szabályos ötszögbe rajzolt csillagötszög. (A körbe rajzolt csillagötszög neve pentaculum.) Az ötszög tetején két hasonló tompaszögű egyenlőszárú háromszöget lehet kijelölni (28. ábra): A kisebbik befogóinak (szárainak) hossza a , az átfogó b . A nagyobbik befogóinak (szárainak) hossza b , az átfogó b + a .
P6.sz. #42.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
72° 54°
108°
Kóta Béla 2004
54°
3×36°
3×36°
27. ábra: A szabályos ötszög.
q=
b
b+a b = b a
b a
a
b
b a
a
a
b
a
Kóta Béla 2004
b+a
28. ábra: Aranymetszés a szabályos ötszögben.
A szabályos ötszög és az aranymetszés kapcsolatát az alsó a a b egyenlőszárú háromszög áttolásával is szemléltethetjük. Az a a b és a b b ( b + a ) háromszögek hasonlók: az átfogóik és a befogóik aránya egyenlő (28. ábra.):
b:a = (b+a):b
—•—
P6.sz. #43.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
6. A PIRAMIS 6.1 A PROBLÉMA FELVETÉSE A legrégibb egyiptomi piramisok építéséről eddig szinte semmilyen írásos és tárgyi emlékünk nem volt. A hallomásokon alapuló áttételes és ellentmondásos közlések sokkal később keletkezetek. Az építmények mérete, kivitelezésük tökéletessége világcsoda számba megy, de az építés célját és módját érintő számos kérdés rejtélyes és nehezen értelmezhető. A figyelem elsősorban a legnagyobb és legtökéletesebb, K H E O P S Z fáraónak tulajdonított Nagy Piramisra irányul. A GÍZA-i piramisok mellet MARC LEHNER és ZAKI HAWASS most tárják fel a bányagödröket és az építők felvonulási- és lakóterületét. Ezek az ásatások és a „Királynő-kamra” szellőzőcsatornáiban talált ajtók (és az ajtók mögötti agyagdugók) felnyitása várhatóan sok részletet tisztáznak. A méretek, a külső és belső arányok értelmezése azonban örök szellemi kihívás marad.
A KH E OPS Z Nagy Galéria
Király kamra
Felvezető folyosó
Királynő kamra Kóta Béla. 2002.
Alsó kamrához 29. ábra: A KHEOPSZ piramis.
6.1.1 Az egyiptomi tudomány fejlettsége. A földmérők feladata volt az öntözőművek tervezése és karbantartása, a Nílus áradása után a termőföldek határainak újra kitűzése. Komoly tudományos hátteret feltételez a masztabák, piramisok, templomok alapjainak kitűzése, csillagászati tájolása. A központosított hatalom; az adók beszedése, a papi rend(?) és a hadsereg ellátása pontos nyilvántartásokat igényelt. Az Ó-birodalom idejéből fennmaradt templomi szolgálati beosztások rovatolt papiruszai a mai ügyviteli nyomtatványokra emlékeztetnek. Az írásos forrásokban gyakorlati feladatok megoldására szolgáló számolási és szerkesztési módszereket találunk. Egyiptomban nem jutottak el a tudományban elvont fogalmakat alkotó, logikai elemzéssel általános törvényeket megállapító szintre.
P6.sz. #44.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Ne feledjük, hogy KHEOPSZ uralkodása (Kr.e. 2545) ugyanannyi idővel előzi meg az ógörög matematika fénykorát, mint az a mi korunkat. Viszont 4500 évig KHEOPSZ piramisa volt a világ legnagyobb építménye. Csak a Krisztus utáni 1960-as években haladta meg a SATURN holdrakéták CAPECANAVERAL-i szerelőcsarnoka. Az első matematikai tárgyú mezopotámiai agyagtáblák is későbbiek a gízai piramisoknál. A kevés későbbi forrás az átlagot képviseli, a tudomány csúcsát képviselő elit ennél sokkal magasabb szintre juthatott. A legfontosabb hiteles írásos források: • • • •
RHIND papirusz, moszkvai papirusz, kahuni papirusz, londoni bőrtekercs, stb.
E források a négy alapművelet és a törtszámok ismeretét bizonyítják. A szorzás ismételt kétszerezésen, az osztás ismételt felezésen alapult. (Ez a módszer egészen a középkorig - az arab számíráson alapuló algoritmus elterjedéséig - használatban volt.) Az osztási maradékot egység számlálójú törzstörtek összegére bontottak. Ennek technikáját a RHIND papirusz elején található táblázatból ismerjük, amelyben a 2 számlálójú törtek felbontását állították össze. Ez a szorzás és osztás részműveleteit segítette. „Néha még a végeredmény pontosságát is feláldozták, hogy szebbnek látszó, elemi törtekben kifejezett értékeket kapjanak.” (NEUGEBAUER) A számadatok táblázatos rendszerezése kiforrott módszer volt, amit a csillagászati és naptári ábrázolásokon ma is megcsodálhatunk.
Az egyiptomi könyök hossza. inch
foot
12
Skinner 1875: Elephantine 20,625 1,71875 Memphis 20,47291 1,706075833 Turin 20,57869 1,714890833 Another 20,61806 1,718171667 -"20,65843 1,721535833 - " - Karnak 20,650 1,720833333 - " - Newton 20,604 1,717 - " - French 1799 20,61113988 1,71759499 French 1799 Napoleoni expedíció (metrikus) Torinói múzeum: fa mérőlécek (J.Bernal) I.Amenhotep-mérőléc 20,61023622 1,71751969 -"- minisztere-mérőléc 20,66929134 1,72244094 921453 mm = 4*440 könyök (Cole 1925) Kheopsz alapkerületből 20,61231657 1,71769305
13 14
A méretek átlaga mm A méretek szórása mm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A forrás eredeti számait bekereteztük.
mm
eltérés
523,875 520,011914 522,698726 523,698724 524,724122 524,51 523,3416 523,522953 523,524
0,378343 -3,484743 -0,797931 0,202067 1,227465 1,013343 -0,155057 0,026296 0,027343
523,50000 525,00000
0,003343 1,503343
523,55284
0,056184
523,4966567 1,2715891
0,000000
Kóta Béla. 2004.
P6.sz. #45.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Meg tudtak oldani elsőfokú egyenleteket. A területszámítási feladatoknál a négyzetgyökvonással egyenértékű gyökkeresést használták. A forrásokban háromszög, gúla, csonka gúla számítási feladatok találhatók. A szöget nem a szárak közötti ív mértékével, hanem a mai fogalmaink szerinti tangenscotangensnek megfelelő dőléssel — škd mérték. (Ennek a későbbi levezetések során igen fontos következményei lesznek.) A könyök hosszúság mértékegységét a régészeti leletekből becsülhetjük.
1 könyök = 7 tenyér = 28 ujj. A mérőléceken a legfinomabb beosztás 1/16 ujj = 1,2 mm. Az ismert adatokat a fenti táblázatban foglaltuk össze.. Figyelemre méltó, hogy a fáraók és tisztviselőik mérőléceket is vittek a túlvilágra. Történelmük évezredei során a mértéket gondosan megőrizték, mert a 12 adat szórása 1,27 mm. Mi a továbbiakban a könyököt a KHEOPSZ piramis alapkerületéből számítjuk ki. Az eddigi legpontosabb felmérésből (Cole 1925.) az alapkerület 921453 mm., az alapélek névleges hossza 440 könyök. Innen a könyök:
921453 = 523,553 mm 4×440 Ez a méret +56 mikronnal tér el a 12 adat átlagától és +53 mikronnal I. AMENHOTEP Torinóban őrzött mérőlécétől. Ezzel az egységgel számolva az alsó kamrába levezető folyosó teljes hossza 2 0 0 k ö n y ö k ! Egyiptomban a reprezentatív falfestményeken és domborműveken az istenábrázolások arányait kanonikus szabályok rögzítették. Az alakok mintáit négyzethálós papiruszra rajzolták. A festmény vagy dombormű helyére először előrajzolták a végleges méretre felnagyított négyzethálót. Az alakok körvonalait a mintakönyv alapján berajzolták a fali hálózatba. Ez a módszer biztosította az arányos nagyítást. (Ma is használják tűzfalakra festett óriás reklámgrafikák előrajzolásához.) Feltártak a szerkesztés fázisában félbehagyott domborműveket (és szobrokat is) melyeken megmaradt a méretarányos nagyítás érdekében előrajzolt négyzetháló [EGGEBRECHT]. Ismerünk kockás papiruszra szerkesztett tervrajzokat. [VILÍMKOVÁ] Ebből a négyzethálós nagyítási technikából következtethetünk a hasonlóság és az arányosság ismeretére. A NAPÓLEON-i expedíció a mai gyakorlatnak megfelelő méretvonalas és méretszámos műszaki rajzot is talált. Tudomásul vesszük, hogy a trigonometrikus szögfüggvényeket PTOLEMAIOSZ (Kr.u. 150) korában kezdték használni. Az itt közölt levezetésekben a szögfüggvények kizárólag a szemléletességet és a tömörebb fogalmazást segítik. Az egyiptomiak az emelkedést vagy lejtést az egy adott függőleges szakaszon mérhető vízszintes irányú d ő l é s s e l jellemezték. A škd (szeked) a vízszintessel bezárt szög cotangensének felel meg. Mi ebben az anyagban az e m e l k e d é s s e l — a vízszintessel bezárt α szög tangensével számolunk.
6.1.2 Geometriai alapfogalmak (Hajós György nyomán) A piramist négyzet alapú, szabályos gúlának tekintjük. A gúla csúcsa az alapnégyzet középpontjában az alapra emelt merőlegesen van, ezt nevezzük tengelynek és ennek hossza a piramis magassága: •
a gúla magassága
= h.
A gúla alaplapnégyzetének oldalai a gúla alapélei. Az alapnégyzet sarkait a csúcsponttal összekötő élek pedig a gúla sarokélei. A 30. ábra jelöléseivel: • • • •
az alapél hossza a félalapél hossza az alapnégyzet átlója a félátló hossza
= 2a, = a, = 2d, = d.
P6.sz. #46.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A gúla oldallapjai egyenlőszárú háromszög alakúak. Az oldallapok szimmetria tengelye a csúcspontból — a szárak metszéspontjából — indul és merőleges az alapélre. Ez a szimmetriatengely az oldallap magasságvonala; a gúla oldalmagassága: •
az oldalmagasság
= c.
h = tengely magasság c = oldal magasság d = fél átló a = fél alapél α = oldal meredekség
c a
h
c
a
a
d
a
Kóta Béla 2004
a
a
30. ábra: A gúla méretei.
δ δ
c = oldal magasság a = fél alapél δ = szárszög
c c
a a
Kóta Béla 2004
a
a
31. ábra: A gúla palástja.
Ha a gúlát az ábrán látható módon a függőleges tengelyen átmenő és valamelyik alapvonalra merőleges síkkal metsszük, akkor a függőleges tengely, a vízszintes alapsík és a ferde oldallap metszésvonalai által határolt derékszögű háromszög: A P i r a m i s h á r o m s z ö g .
P6.sz. #47.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A Piramisháromszög jellemzői: • • • •
a vízszintes befogó a félalapél a függőleges befogó a magasság az átfogó az oldalmagasság az oldalfal emelkedése
= a, = h, = c, = α.
A gúla négy egyenlőszárú háromszög alakúak oldallapja, együttesen alkotja a gúla palástját. ( 31. ábra) Az előbbiek szerint; az egyenlőszárú háromszögek alapvonalai a gúla alapélei, a háromszögek szárai a gúla sarokélei. A szárak a gúla csúcsánál találkoznak. A köztük levő szög a szárszög: •
a szárszög =
δ.
MAHLER Ede szerint: A gúla mindegyik jellemző méretének az óegyiptomi nyelvben saját, egyedi neve volt! 6.2 A KHEOPSZ — MÁS NÉVEN A NAGY piramis Munkakérdések: • Miért csak a KHEOPSZ piramis matematikájával foglalkozunk ? • Mennyi matematikát tudtak a piramisépítők ?
6.2.1 A méretarányok értelezésére irányuló spekulációk és cáfolatok. A méretek és arányok tekintetében az ókori hagyományokra támaszkodó források is homályosak; H É R O D O T O S Z (ie.484 - ie.426) és S T R A B Ó N (ie.64 - ie.7) egyiptomi papok és tolmácsok közléseire hivatkoznak (hagyatkoznak): • „Mintegy százezer ember dolgozott úgy, hogy háromhavonként váltották egymást... ...Magának a piramisnak az építése húsz évig tartott. A piramis alapja négyszög, minden oldala nyolc plethron hosszú, s ugyanekkora a magassága is. Az egész simára csiszolt és jól összeillesztett kövekből épült, amelyek közül egy sem rövidebb harminc lábnál.” HÉRODOTOSZ: A görög-perzsa háború. 163.old. ford: Muraközy Gyula. EURÓPA 1989. • „Ha a várostól 40 stadionnal tovább megyünk, egy sziklás magaslatot találunk, amelyen sok piramis van: ezek a királyoknak a sírjai; három nagyon tekintélyes közülük, s kettőt ezek közül a világ hét csodája közé számítanak. Az alakjuk négyszögletes, magasságuk egy stadionnyi, s ez a magasság valamivel nagyobb, mint az egyes oldalak hossza. Az oldalaknak kb. a középmagasságában van egy kimozdítható kő: ha ezt kiemeljük, kanyargós folyosó vezet a koporsóig.” STRABóN: Geógraphika. 827-828.old. ford: Dr. Földy József. GONDOLAT 1977. Mindkét közlés meglehetősen felületes, ami elég sajnálatos, mert a maguk idejében a szerzők megbízhatóbb forrásokból is tájékozódhattak volna. A N A P Ó L E O N egyiptomi expedíciójával kezdődő tudományos felmérések adataiból a Nagy Piramis méretarányainak magyarázatára több feltételezés született. A kevés adat, a hiányos források félreértelmezése és az építők tudásszintjének túlbecsülése az áltudományos spekulációknak kedvez: • •
Az építők a jövőbe láttak; a méretekbe bekódolták az emberi történelem fordulópontjainak dátumait. Ismerték a Naprendszer méreteit, mert a piramis 146,7 m-es magasságának egymilliárdszorosa közelítőleg egyenlő a 149,5 millió km-es Föld - Nap távolsággal.
P6.sz. #48.
•
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A hosszúságot m é t e r b e n mérték, mert az alapél hossza 231 méter = 21*11 = 3*77 = 3*7*11....”Isteni” számok szorzataként is kifejezhető. (UFÓMAGAZIN 1994/1.)
6.2.1.1 Módszertani megjegyzések A piramis geometriájának kutatását megpróbálják a „hivatalos” tudósok és az áltudományos spekulánsok mérkőzésének beállítani. Tipikus csúsztatás a spekulátumok belecsempészése a tudományos vizsgálatokba. • Nem fogadjuk el, hogy a Naprendszer méreteit bekódolták a Piramisba. Mihez kezdtek volna az egyiptomiak, ha tudják a Nap-Föld távolságot? • A történelem fordulópontjait sem érdemes kiolvasni. Valakik úgyis mindig megjövendölik a múltat! Mihez kezdtek volna az egyiptomiak, ha ismerték volna a jövőt? Nem lottóztak. A Fenséges Jelenben éltek. Amit a jövőről tudni akartak az benne van a Halottak Könyvében. • Ha a Földönkívüliek építették a piramisokat, akkor viszont lekéstek —a Kárpótlási Jegyeikkel már csak a sivatagra licitálhatnak! Az áltudományos nézeteket cáfoló, tudományosan megalapozott bírálatok mellett a témával foglalkozó szerzők többsége a legkönnyebben járható utat - a mindent letagadni - módszerét választja. Kedvelt tudományos csúsztatás, amikor az ókorban még nem létezett, mai matematikai módszereket kérnek számon olyan feladatokon, melyek matematika nélkül is közvetlenül megoldhatók. A KHEOPSZ Piramis matematikájáról járatos nézeteket az ÉRTÉKELÉS c. fejezetekben idézzük. Számos, – az egyiptomi tudomány lejáratására irányuló próbálkozással találkozhatunk, de vigyázat: A makrovilágban minden konkrét tárgy valós számokban kifejezett mérete, méretaránya cáfolható. Nincs is „pontos” méret, mert minden fizikai tárgy mérete állandóan változik. —
Az építmény természetes alakváltozásokat szenved; a hőmérséklet ingadozása ciklikus méretváltozást okoz, súlyerő hatására az építőanyag rugalmasan és képlékenyen deformálódik, az altalaj süllyed. — Csak a tizedesjegyek számát kell odáig fokozni, ameddíg a sokadik jegyben megjelenjen a hiba. A mikrovilágban lehet hivatkozni a határozatlansági relációra.
A cáfolásra számtalan példát találhatunk, most a cáfolatok tagadása következik; példák az igazolás módszertanára. A Nagy piramis nyers tömege a fáraó hatalmát, alattvalói erőfeszítését, szervezőképességét dicsőíti: • • • •
210 rétegben felrakott 2 250 000 db kőtömbből építették, térfogata 2 300 000 m3, tömege 6 500 000 t, a simára csiszolt és kb. 120 000 darabból összeillesztett mészkőburkolatának felülete 86 000 m2 (15 katasztrális hold).
Az arányok értelmezése érdektelen volna, ha a gúla oldalfalai 45° vagy 60°-ban emelkednének, de az 51° és 52° közötti emelkedés már magyarázatra szorul. Feltételezhetünk még valami rejtett jelentést, megfejthető számmisztikai üzenetet is. A Fáraók kettős lényéből az isteni rész közvetít a földi emberek és az Istenek között. „Lépcsőt ácsoltak számára, felmegy azon az égbe...” Azok ott, akik a mindennapi élet dolgaiban és a vallási szertartásokban szigorúan ragaszkodnak a hagyományokhoz és a kanonizált előírásokhoz, minden tevékenységüket a túlbiztosítás jellemezte, nem úgy fogják felépíteni négy és félezer évre a világ legnagyobb építményét, hogy a méretarányokat és ezzel a külső megjelenést is csak a véletlenre bíznák.
—•—
P6.sz. #49.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
6.3 A KHEOPSZ PIRAMIS MÉRETEI A jelenleg elfogadott legpontosabb felmérést J . H . C O L E végezte 1925-ben [közli: EDWARDS és DR. MEDGYESI PÁL]. Az alapnégyzet olyan szabályos, hogy minden méretet milliméterben adunk meg.
Égtáj
Alapél
h ossz eltér .
mm mm 12 230 251,000 +
É
ir án y h iba ´ 2
˝ 28
É-K K
12
230 391,000 +
5
´
˝
˝
90
3
2
182
89 56 27 -213 40
230 454,000 +
1
57
D-Ny Ny
°
30
D-K D
Sar ok-szög szögh iba
90 60
230 357,000 +
2
p= p/4 = p/8 = a = p/(8*220) =
921 453,000 + 230 363,250 115 181,625 523,553
Magasság Kön yök
H= H/280 =
146 729,000 524,032
33
89 59 58 h iba össz.=
-2 0
30
É-Ny Ker ü let Alapél Fél alapél Kön yök
0 33
124
Kóta Béla. 2002.
Az építők a sarokpontokat a vízszintezett alapsíkon előre kijelölték. A bejárat 18 m magasan, a Király Kamra - King’s Chamber - 42,28 m ≈ 81 könyök magasan van. (Enc.Britannica.)
6.3.1 Részletezés A mai tudomány elfogadja Paul RIEPPEL adatait: az alapél hossza 2 * 2 2 0 , a gúla tengelymagassága 2 8 0 , az oldalháromszög magassága (oldalmagasság) közelítőleg 3 5 6 könyök. A feltevést a piramis méretei és a mérőlécek összevetésével igazoljuk. A könyök hossza a piramis kerületéből számítva: 1 k ö n y ö k = 9 2 1 4 5 3 / ( 8 * 2 2 0 ) = 523,553 mm. ♦ S z á z a d milliméterre egyezik I. AMENHOTEP mérőlécének 523,5 mm-es hosszával ! Ellenőrzésképpen számoljunk a magassággal is: 1 k ö n y ö k = 1 4 6 7 2 9 / 2 8 0 = 524,032 mm. ♦ Ez viszont a két meglévő mérőléc mérete között van: 523,5 < 524,032 < 525,0. Az átlagos irányeltérés 3’ 6”. Az irányeltérések mind a négy oldalon az óramutató járásával ellentétes irányú elfordulást mutatnak. Negyvenöt évszázaddal ezelőtt az építők pontosan tűzték ki az Észak-Déli és KeletNyugati irányokat. Az eltérés a kontinensvándorlás következménye; — az Afrikai Kontinens észak felé mozog és közben a megadott irányban (balra) elfordul. Az elfordulás időbeli lefolyása összeillik a geofizikai adatokkal. Az átlagos eltéréshez képest a közepes irányhiba ±72” (±1’ 12”).
P6.sz. #50.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A 32. ábra az alapélek méreteit mutatja. Az 5 mm-lépésközű milliméterskálán látható, hogy az alapélek hosszeltérései egy arasz (255 mm) széles sávban szóródnak. A PALOTÁS: MÉRNÖKI KÉZIKÖNYV-ben az építőipari hosszmérés várható középhibái 230,4 m hosszúságra vonatkoztatva: • •
lécmérésnél: szalagmérésnél:
±3,8 — ± 57,8 mm, ±5,1 — ±146,8 mm.
A hosszméretek és szögek a mai építőipari tűréseket közelítik. Később még ennél is sokkal pontosabb alapkitűzésű piramisokat építettek..
230 200
230 300
230 400
K É
230 200
Ny
230 300
Kóta Béla. 2002.
230 400
230 500
D
230 500
32. ábra: Az alapélek méreteltérései.
A legbizonytalanabb adat a magasság, mert a burkolat lepusztulása miatt ezt a falak dőléséből és megmaradt szegély-burkolókövek alakjából becsülték meg. Szerencsénkre a kőfaragók tized milliméter pontossággal dolgoztak.
„The few remaining casing-blocks at the foot of the Great Pyramid offer the best examples of such jointing hitherto discovered; the credit for being the first to bring their excellence to the notice of the modern world belongs to Petrie, who wrote of them: 'Several measures where taken of the thickness of the joints in the casingstones. The mean thickness of the joints of the north-eastern casingstones is 0.02 inches, and therefore the mean variation of the cutting of the stone from the straight line and from a true square is but 0.01 on a length of 75 inches up the face, an amount of accuracy equal to the most modern opticians' straight-edges of such a length.
P6.sz. #51.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Though the stones were brought as close as 1/50 inch, or, in fact, in contract, the mean opening of the joint was but 1/100 inch.” EDWARDS: The Pyramids of Egypt. 275-276. o. Penguin Books Ltd, HARMONDSWORTH, MIDDLESEX. 1972.
75,
inch
=
1905
mm
0,02
(1/50)
inch
=
0,508
mm
0,01
(1/100)
inch
=
0,254
mm
6.3.2 Tudományosan vizsgálható feltételezések. A feltételezések közül elsősorban azokat vizsgáljuk, amelyek megfeleltethetők annak a színvonalnak amit a hiteles források alapján az egyiptomiak matematikai és geometriai módszereiről tudunk. Értékelünk olyan összefüggést is melynek levezetése meghaladja az elfogadott tudásszintet, viszont „benne van” a Piramis méreteiben. 1. Körkerület [4/PI]: Az alapnégyzet kerülete egyenlő a magassággal azonos sugarú kör kerületével. A John TAYLOR által 1864ben felállított elmélet feltételezi a PI ismeretét. 2. Sarokél emelkedés [9/10]: A piramis magassága úgy aránylik az alapnégyzet átlójának feléhez, mint 9:10-hez. NEUBURGER, Albert: Die Technik des Altertums, Leipzig 1919. NEUBURGER könyve Vojtech ZAMAROVSKY szerint a „ k o h o l m á n y o k é s b a d a r s á g o k t á k o l m á n y a ” . (A felséges piramisok. 330. Oldal. MADÁCH, BRATISLAVA. 1981.) 3. Oldallap emelkedés [14/11]: Az alapél hossza 2*220, a tengelymagasság 280, az oldalmagasság közelítőleg 356 könyök. Paul RIEPPEL 1953-as publikációja szerint a pithagoreusok mágikus számai. Az oldallap emelkedése 14/11 helyett az egyiptomiak ennek reciprokával a 11/14 (škd) dőléssel számoltak. Bontsuk fel a dőlést egyiptomi módra törzstörtekre:
11 1 1 1 3 1 14 = 2 + 4 + 28 = 4 + 28 könyök. R e m e k ; eszerint egy könyök emelkedésnél az oldalfal dőlése három tenyér és egy ujj. 4. Oldalmagasság 356 könyök: h = 3562 – 2202 A 220-280-356 n e m pitagoraszi számhármas. A PITHAGORASZ tétellel számított oldalmagasság: c = 2202 + 2802 = 356,089876295 könyök (> 356 könyök) Tekintsük az oldalmagasságot és a fél alapélt hosszát kerek számnak, ekkor a piramis tengelymagassága: h = 3562 – 2202 = 279,885690953 könyök (< 280 könyök) 5. Aranymetszés [AM]: A gúla egy-egy oldalának felülete egyenlő a magasság négyzetével. Ezt az állítást, amely az aranymetszés arányaira vezet Friedrich RÖDER 1854-55-ben jelentette meg Drezdában.
6.3.2.1 Hogyan cáfol egy matematikus A matematikus megpróbálja a kiinduló feltételezések számadatait egymás ellen kijátszani.
P6.sz. #52.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A mért alapkerületből és a becsült magasságból kiszámítja a PI közelítő értékét:
p 921 453 PI ≈ 2×h = 2×146 729 =
3,139982553
Kiszámítja a PI-t a 280 könyök magasságból és a 4*440 könyök kerületből:
p 4×440 22 PI ≈ 2×h = 2×280 = 7 =
3,142857143
Kiszámítja a PI-t az aranymetszésből:
PI ≈
32 = 1 + 5
3,144605511
Hivatkozik a RHIND-papíruszra ahol a PI:
16 PI ≈ 9
2 =
3,160493827
Fenti közelítéseket összehasonlítja PI pontos értékével:
PI =
3,141592653
Mivel már a második-harmadik tizedesben eltérés van, DR. MEDGYESI PÁL kijelenti, hogy: • „a mért vagy kikövetkeztethető adatokból sem a jó PI-közelítés, sem az aranymetszés nem következik; ami tehát adott, az gyenge bizonyítéka volna egy magas kultúrának.”
6.3.2.2 Hogyan bizonyít a mérnök • Albert SPEER (fegyverkezési miniszter 1942–45): Hitler bizalmasa voltam. ”…éppen mi, műszakiak vagyunk arra hivatottak, hogy a jövő problémáit megoldjuk.” • meg a múltét is !…(–K❜ –) A MÉRNÖK visszaemlékezik, hogy amikor — 4500 évvel KHEOPSZ után — technikumba járt a műhelyi tolómérőkbe bevésett műszaki adatok között a PI = 22/7 szerepelt. És ez műszakilag tökéletesen megfelelt. A piramis konkrét műszaki alkotás ezért a MÉRNÖK nem a számok tizedesjegyeit hasonlítja össze, hanem a méreteket, mégpedig a magasságét. Induljunk ki a kerületből:
p =
921 453,000 mm.
A f é l a l a p é l hossza a kerület nyolcadrésze:
p 921 453,000 a = 8 = = 8
115 181,625 mm.
Ezzel a félalapél hosszal mind az öt hipotézis szerint számítsuk ki a piramis magasságát! 0. A mért magasság [Cole]:
h =
146 729,000 mm.
1. Körkerület [4/PI]: A feltételezés szerint a magassággal, mint sugárral szerkesztett kör kerülete egyenlő az alapnégyzet kerületével. A számításban a PI 9-jegyre pontos értékét használjuk:
PI = 3,141 592 654
P6.sz. #53.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Az egyiptomiak természetesen nem ezzel számoltak. Itt csak a számított magasságértékek összetartását érzékeltetjük:
2×h×PI = 8×a Innen a magasság:
4 h = PI a =
146 653,800 mm.
2. Sarokél emelkedés [9/10]: A félátló a PITHAGORASZ tételből:
d =
a2 + a2 =
2×a
Innen a magasság:
9 9 h = 10 d = 10
2×a =
146 602,275 mm.
3. Oldallap emelkedés [14/11]: Az odallap emelkedése magasság és a félalapél hosszának aránya:
280 14 h = 220 a = 11 a =
146 594,795 mm.
4. Oldalmagasság 356 könyök. Szintén a magasságértékek összetartásának érzékeltetésére számoltuk ki a tengelymagasságot a c = 356 könyök oldalmagassággal. Az oldalmagasság legyen kereken 356 könyök, a félalapél 220 könyök. A piramis tengelymagassága:
h =
356 2 – 220 2 a = 220
146 534,949 mm.
5. Aranymetszés [AM]: Friedrich RÖDER feltételezése szerint a Nagy Piramis tengelymagasságának négyzete egyenlő egy oldallap felületével:
h 2 = a×c
innen
h2 c = a
A derékszögű Piramisháromszögre felírható a PITHAGORASZ tétel, amibe behelyettesítjük a tengelymagasság négyzetét ( h 2 ) :
c 2 = a 2 + h 2 = a 2 + a×c Írjuk fel átrendezve az oldalmagasság másodfokú egyenletet:
c 2 - a×c - a 2 = 0 Az oldalmagasság:
c =
5 + 1 h2 a = 2 a
Fejezzük ki a tengelymagasságot:
h =
5 + 1 a = 2
146 513,290 mm.
P6.sz. #54.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
146 750 146 729,000 - Cole/Edwards
146 700
146 653,800 - 4/PI
146 650
146 602,275 - √2*9/10
146 600
146 594,795 - 14/11
146 550 146 534,949 - √ (3562 - 2202) 146 513,290 - AranyMetsz.
146 500
33. ábra: A számított tengelymagasságok eltérései.
6.3.3 A REND--Rakás REND-ezzük táblázatba és ábrázoljuk méretarányosan a számított magasságokat; és mutassuk ki a különbségeket.
P6.sz. #55.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Mérnöki módszerrel igazoltuk, hogy a mérések alapján becsült és az öt különböző feltételezés alapján számított magasságok egy arasznál kisebb terjedelemben szóródnak. A KHEOPSZ piramis teljes magasságát Budapesten a Sas-heggyel érzékeltethetjük. Ehhez képest a számított magasságok eltérései a mérnöki gyakorlatban elhanyagolhatók. Az adatok alapján hogy N E M L E - H E T E L - D Ö N - T E - N I , hogy az építők melyik számítás szerint tervezték a piramist.
jel
magasság különbség különbség max. mm mm mm Cole 146 729,000 75,200 4/PI 146 653,800 51,525 146 602,275 √2×9/10 7,480 215,710 14/11 146 594,795 59,846 √(3562-2202) 146 534,949 21,659 Arany Metsz. 146 513,290 De azt sem lehet kimondani, hogy melyik szerint NEM! 6.3.4 Összehasonlító értékelés A továbbiakban már csak a Piramis méreteivel alátámasztható feltételezésekkel foglalkozunk. 2. Sarokél emelkedés [9/10], 3. Oldallap emelkedés [14/11]: E két feltételezés összetartozik, mert a számított tengelymagasságok különbsége:
7,5 mm = hét és fél milliméter !; a relatív eltérés 0,000 05 ÷ ÷ 1 : 20 000, egy/húszezred-rész. A NÉGYZET ÁTLÓJA fejezetben leírtak szerint egy négyzetnél az oldal és az átló hosszmérete közül valamelyik — de legalább az egyik — irracionális szám. Matematikailag lehetetlen olyan négyzetalapú, szabályos gúlát szerkeszteni úgy, hogy az oldallap emelkedése és az oldalél emelkedése is természetes számok hányadosának feleljen meg; — legalább az egyik törtben meg kell jelenni irracionális számnak. A tervezőknek viszont sikerült olyan arányt találni, amelynél egy/húszeredrész eltéréssel mindkét emelkedés egyszerű egész számok hányadosa. A „ k o h o l m á n y o k n a k é s b a d a r s á g o k n a k e z a t á k o l m á n y a ” a négyzet átlójával kapcsolatos felismeréseket sejtet. Az oldallap emelkedése a h -tengelymagasság és az a -félalapél hányadosa:
h 280 14 a = 220 = 11
P6.sz. #56.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Az oldalél emelkedése a h -magasság és a d -félátló hányadosa, a k o h o l m á n y o k é s b a d a r s á g o k t á k o l m á n y a szerint 9/10. (Vegyük figyelembe, hogy a félátló a félalapél 2 -szöröse):
h d =
h 9 ≈ 10 2×a
Fejezzük ki ebből az egyenletből is a h / a -oldallap emelkedést:
h = a
9 14 2× 10 ≈ 11
Innen a 2 közelítő értéke:
10 14 140 2 ≈ 9 × 11 = 99 = 1,414141414 Az eltérés a pontos értéktől:
140 2 – 99 = 0,000072148.
A relatív hiba: 0,000051017 ≈ 5 × 10 -5
A mellékelt 4 / 1 . t á b l á z a t szerint a ilyen jó törtközelítést a IX.-rendű javítás eredményez.
1. Fokozatosan javított közelítés közel. száml. nev. száml./nev. ... ... ... ... 140 99 1,41414141414141 IX
száml./nev. - GYÖK(2) ... -0,0000721482316810
A NÉGYZET ÁTLÓJA fejezetben bizonyítottuk, hogy egy négyzetszám kétszerese n e m lehet négyzetszám. A vizsgált esetben:
140 2 = 19600 ≠ 19602 = 2×99 2 Gratulálunk! Ez majdnem sikerült!!! 3. Oldallap emelkedés [14/11] és a PI [22/7]: Számítsuk ki a PI-t a 1 4 / 1 1 -es oldalemelkedésből, ahol a félalapél 2 2 0 -, a tengelymagasság 2 8 0 könyök. A feltételezés szerint a magassággal, mint sugárral szerkesztett kör kerülete egyenlő az alapnégyzet kerületével:
2×h×PI ≈ 8×a Fejezzük ki PI-t:
8×a 8×220 22 PI ≈ 2×h = 2×280 = 7 =
3,142857143
A közelítő és a pontos érték különbsége:
22 7 – PI = 0,001264489.
A relatív hiba: 0,000402499 ≈ 4 × 10 -4
„a mért vagy kikövetkeztethető adatokból sem a jó PI-közelítés, sem az aranymetszés nem következik...” DR. MEDGYESI PÁL: id.m. • A PI ≈ 22/7 közelítése valóban „nem következik”, hanem BENNE VAN a Piramisban.
P6.sz. #57.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
5. Aranymetszés [AM]: E feltételezés szerint a Nagy Piramis magasságának négyzete egyenlő egy oldallap felületével. (34. ábra) A területegyenlőség és a PITHAGORASZ tétel a piramis-háromszögben:
h2 =
2×a×c = a×c 2
c2 = a2 + h2
⇐⇔⇒
a×c 2 = a×c h = h× h = 2× 2 c2 = a2 + h2
h
h a
a
c a a
h
h Kóta Béla. 2004.
a
a
34. ábra: Az aranymetszés területegyenlősége.
Az oldalmagasság és a félalapél aránya:
c = a
5 + 1 5 – 1 = × 2 5 – 1
2 5 – 1
Az oldalmagasság, mint körív a függőleges felezővonalon kimetszi a piramis tengelymagasságát. A 35. ábra mutatja piramis méreteinek összefüggéseit az aranymetszés szerint. Illesszük a Piramisháromszöget az ARANYMETSZÉS 26. ábra szerinti szerkesztéséhez. Figyelemreméltó, hogy a bejárati felvezető folyosó és a Nagy-Galéria emelkedése 1/2 körüli, — az alsó kamrához vezető folyosó lejtése –1/2. Az emelkedés szöge:
arc tg(1/2) = 26° 33´ 54,18˝
P6.sz. #58.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
2
2
Kóta Béla. 2004.
5
5 −1
5
5 −1
2 5 +1 = =q 2 5 −1 35. ábra: Az aranymetszéssel szerkesztett Piramis.
Az 1/2-es emelkedés az ARANYMETSZÉS szerkesztésében kardinális. Több piramisban is ilyen a folyosók emelkedése, lejtése. A belső folyosók meglehetősen illeszkednek a szerkesztővonalakhoz. (36. ábra) Ez sejtet valamit, de a számított méretek eltérnek. A 35. ábra szerkesztésén látható, hogy a generáló négyzet oldalhosszúsága egyenlő a c ≈ 3 5 6 k ö n y ö k oldalmagassággal. A Király kamra magassága ennek negyedrésze: c/4 ≈ 89 könyök ≈ 46,6 m. A kamra a valóságban 42,28 m magasan van.. Ekkora eltérésre nincs magyarázat, …
…viszont van valami más !… Mi lenne ha ? …
• Lariscsev: 962. Egy sztahanovista munkás pénzjutalmat kapott. A jutalom negyedrészén kölcsönkötvényt vásárolt, a fennmaradt pénz egyötödét üdülésre fordította, és még mindig maradt 1200 rubelje. Hány rubel jutalmat kapott?
P6.sz. #59.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
c
c
Kóta Béla. 2004.
h 26,5°
a h a
a
5 +1 2
= q=
36. ábra: Az aranymetszés illeszkedése a Piramishoz.
Mi lenne ha ? … . . . k i s z á m í t a n á n k az oldallap δ szárszögét. (37. ábra) Az oldallap egyenlőszárú háromszög, alapja a félalapél kétszerese: 2 * a , magassága az oldalmagasság: c . Írjuk fel a fél szárszög tangensét:
δ
a
tg 2 = c =
5 – 1 1 = q. 2
Mivel a trigonometriában egy α szög kétszeresének tangense;
tg (2×α ) =
2× tg α
1 – tg 2 α
;
A teljes szárszög tangense (Most tapossunk bele az algebrába !):
2×
tg δ =
5-1 2
5–1 1 – 2
2 =
5 – 1 4× 5 – 4 = = 5 – 2× 5 +1 4 – 6 + 2× 5 1 – 4
2
HáÁT eEz KEeEeTTtŐőŐőőőő´´´´ = 2. Micsoda véletlen!
P6.sz. #60.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
δ 2
2
Kóta Béla. 2004.
5
5 −1
5
5 −1
5 −1 1 δ = tan = 2 q 2 37. ábra: A szárszög az aranymetszésben.
Az egyiptomiak az ívfok beosztás helyett a szögek mérésére a tangens-cotangens arányt használták. Eddig tudtuk, hogy a Kheopsz piramisnál a belső folyosók emelkedése — lejtése ± 1:2, a többi piramisnál is előszeretettel alkalmazták ezt a szöget. Most viszont kiszámítottuk, hogy...
Az olyan négyzetalapú szabályos gúlánál, melynél az (egyenlőszárú) oldalháromszög területe egyenlő a magasság négyzetével; az oldalháromszög szárszögének tangense 2:1 (kettő). A δ szárszögre talált trigonometriai összefüggés:
5-1 2× arc tg 2 = arc tg (2 )
(= 63° 26' 5,82")
Fordítsuk meg a szerkesztés menetét. Szorgalmi feladat: •
„Szerkesszünk olyan négyzetalapú szabályos gúlát, melynél az (egyenlőszárú) oldalháromszögek szárszögének tangense legyen 2:1. (38. ábra).
Hagyjuk el a szögek megnevezéseit, mert az oldalháromszög az egyenlőszárú háromszögek hasonlóságából is megszerkeszthető.
P6.sz. #61.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
δ δ/2 δ/2 Kóta Béla. 2004.
c 180−δ 180−δ
δ δ
δ/2
a
δ/2
a t an (δ) = 2
38. ábra: Oldalháromszög szerkesztése.
Az aranymetszés feltételezése belefér a Piramis méreteibe, de mai ismereteink szerint meghaladta az óegyiptomiak tudásszintjét; a szigorú bizonyításhoz másodfokú egyenletet kell megoldani. Nem tudjuk bizonyítani azt sem, hogy képesek lettek volna egy ilyen szerkesztésekre, illetve ismerhették e az algebrai és a geometriai módszer összefüggését?
Ha nem is igaz, akkor is szép ! A szárszög a talajszintről nézve csak torzítottan látszik. A téli napfordulón viszont a Nap felől nézve torzítatlan. Az oldalháromszög alakja és a szárszög újra ráirányítja a figyelmet a csillagászati tájolásra.
6.3.4.1 Földrajzi tájolás. A piramis elhelyezkedését a földrajzi meridiánon a 39. ábra mutatja. A felmérések szerint a piramis alapéleinek iránya csaknem pontosan megfelel a négy világtájnak. Most! mind a 4 alapél tájolási eltérése az óramutató járásával ellentétes irányú szögelfordulás. Az eltérések átlaga 3' 6˝. Elismerjük, hogy az eredeti kitűzés pontos volt; a hibát a 4500 év alatt lejátszódó pólus és kontinensvándorlás okozta. A méreteknél rámutattunk, hogy az óramutató járásával ellentétes szögelfordulás iránya megegyezik az afrikai tábla rotációjával. Az ókorban nem ismerték a légköri fénytörést - a refrakciót. A refrakció figyelmen kívül hagyva a látszólagos +30°-os szélességi kör átmegy a KHEOPSZ piramis alapnégyzetén. A piramis feltételezett építési idején az α-Draconis (Thuban) volt a sarkcsillag. Ez a Kr.e. 2781-ben kezdődő Szothisz (Szíriusz) periódus kezdetén néhány évszázadig 89°55´ deklinációban mindössze 5 ívperc
P6.sz. #62.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
eltéréssel - gyakorlatilag pontosan az északi pólusban helyezkedett el. A jelenlegi sarkcsillag a Polaris sokkal pontatlanabb irányjelző, mert deklinációja 89°13´ - így most 47´-cel tér el az északi pólustól.
α-Draconis: Thuban
30°
Egyenlítő →
23,5° Baktérítő
Nap
Kóta Béla. 2004.
39. ábra: Földrajzi tájolás.
A gízai szélességen a téli napforduló körül - amikor a Nap a legalacsonyabban delel - a delelő NAPISTEN kb. ≈ 2° „túllendüléssel” merőlegesen látja a piramis déli oldalháromszögének síkját. A Napisten tehát lát egy egyenlőszárú háromszöget 2 tangensű szárszöggel, ami az egyiptomiak szemében az egyik legszabályosabb síkidom lehetett. Emlékezzünk !!!, az obeliszkeket a fáraók „ajándékba adták a Napnak”. A piramisok és az obeliszkek tetején levő piramidonokat tükröző aranyötvözettel borították., mint most a CONCORDE téri obeliszket Párizsban. Ezt a sejtést a refrakció és a földtengely precessziójának beszámításával pontosítani kell.
—•—
P6.sz. #63.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
6.4 A KHEOPSZ PIRAMIS SZÁMAI Vizsgáljuk meg, hátha a számok pitagoraszi osztályozásának nyomai kimutathatók e a KHEOPSZ Piramis méreteiben? Induljunk ki Paul RIEPPEL adataiból: az alapél hossza 2 × 2 2 0 = 4 4 0 , a gúla tengelymagassága 2 8 0 , az oldalháromszög magassága (oldalmagasság) közelítőleg 3 5 6 könyök. Ezt a feltevést a piramis méreteinek összevetése a mérőlécekkel igazolja. A piramis könyökben megadott fő méretei:
♦ ♦ ♦ ♦
a fél alapél hossz a teljes alapél hossza 2×220 = a tengelymagasság az oldalmagasság
220 440 280 356
Vegyük elő a 2 . t á b l á z a t eredeti forrását: • „A természetes számok Pythagoraszi osztályozása.” Kóta Béla. 1995. kiegészítve 2004. Ez az eredeti adatbázis 1 - 10 000-ig tartalmazza a számok jellemzőit. A mérőszámok összefüggéseit a valódi osztók összegeiben — a vonzatokban — találjuk meg. A táblázat érintett sorai:
Szám. Val.o. összeg 220 284 274 140 280 440 284 220 356 274 440 640 554 280
Valódi osztók. 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
4 5 10 11 20 22 44 55 110. 137. 4 5 7 8 10 14 20 28 35 40 56 70 140. 4 71 142. 4 89 178. 4 5 8 10 11 20 22 40 44 55 88 110 220. 277.
A mérőszámok között öt összefüggést találtunk (eddig):
1. 2. 3. 4. 5. 6.
A fél alapélhossz 220 könyök A fél alapélhossz 220 a 284 barátságos száma A tengelymagasság 280 vonzata a teljes alapélhossz: 2×220 = Az oldalmagasság 356 vonzata = A 274 és a tengelymagasság 280 összege: 280 + 274 = Innen az 554 vonzata a magasság =
220 284 440 274 554 280
A táblázat és a 40. ábra a piramis méretszámait és összefüggéseiket mutatja. A 220-280-356 a legjobban alátámasztott feltevés. Bizonyítja ezt a: méretek, mérőlécek összehasonlítása, az oldallap- és oldaléldőlésből valamint a PITHARORASZ tétellel számított magasságok egybeesése. A méretekben benne van: a PI = 22/7 közelítés, melynek pontossága 1:2500, és az 1:20000 pontosságú 2 = 140/99 közelítés. Az óegyiptomi elittől elvárható tudásszint bőven elégséges volt az alapvető összefüggések felismeréséhez. Ehhez nem a mai értelemben vett matematikai zsenialitásra volt szükség, hanem egy szorzótáblára és szorgalomra.
P6.sz. #64.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
jel
magasság különbség különbség max. mm mm mm 146 602,275 √2×9/10 7,480 14/11 146 594,795 67,326 59,846 2 2 √(356 -220 ) 146 534,949
356
356 280
220
440
220
×2/
Aritmetikai művelet
274
220
Kóta Béla. 1972-2004.
284
356
Valódi osztók összege
440
+
554
280
40. ábra: A Kheopsz Piramis számai.
6.4.1 Cáfolatok Idézzük először a KHEOPSZ Piramis matematikájáról és az óegyiptomiak tudásszintjéről jelenleg járatos nézeteket. DR. MEDGYESI PÁL: Matematikatörténeti mendemondák
A Cheops-piramis matematikája Természet Világa. 104.k. 1973. 12. sz. 540-543.
P6.sz. #65.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
• „... az egyiptomi tudomány magas fokáról szóló elképzelést - nem támogatja semmiféle tudománytörténeti dokumentum. Például a Cheops-piramis „matematikája” azért nem támogathatja, mert a mért vagy kikövetkeztethető adatokból sem a jó PI-közelítés, sem az aranymetszés nem következik; ami tehát adott, az gyenge bizonyítéka volna egy magas kultúrának... ... Legtermészetesebb magyarázat az, hogy a 11/14 ujjnyi škd fentebb igen egyszerűen megindokolt alkalmazásának egyszerű — és véletlen! — következménye az is, hogy a 2a/m-re a ∏-hez közeli érték jön ki, vagy az aranymetszés közelítő fennállása, — minden „titkos” háttér és a modern gondolkodásmódnak, valamint eredményeknek az ókorba való visszavetítése nélkül.” ...végül idézi van der WAERDEN-t: • „Sokszor állítják azt, hogy a piramisok méreteiben matematikai vagy csillagászati igazságok rejtőznek; ennek bizonyítékául azonban mindig azt hozzák fel, hogy bizonyos számok, melyeket ezekből a méretekből számítottak ki, a modern tudományból vett, bizonyos számokkal megegyeznek. Nekem úgy tűnik, hogy az ilyen megegyezések semmit sem bizonyítanak.” LUDVIK SOUCEK: A betlehemi MADÁCH, BRATISLAVA. 1973. •
csillag nyomában.
„... eddigi ismereteink szerint komoly kétségeink vannak az iránt is, hogy a piramisok építői ismerték a Ludolf-féle számot legalább olyan megközelítőleg, ahogy a 22/7 tört kifejezi... ...Flinders Petrie... megállapította, hogy másodpercekben vagy éppen tized másodpercekben kifejezett pontosságról szó sem lehet, és a piramis oldalfalainak hajlásszöge már a percekben is 51°49’ és 51°53’ közt ingadozik. A 4 szögpercnyi eltérés persze már eleve kizárja annak a valószínűségét, hogy ismerték a PI számot öt tizedeshelyre, s ellenkezőleg, jogossá teszi azt a feltételezést, hogy véletlen egyezésről van szó, amely az építés elvének köszönhető. Hasonló összefüggéseket találnánk ugyanis a gyerekek játékkockáiból épített piramisokon is... ...Az ilyen képzelgéseket egy lépés választja el a szándékos koholmányoktól. (Piazzi) Smyth például kijelenti, hogy a piramis négy ferde síkjának mindegyike egyenlő a magasság négyzetével... Képtelenség! Ha az alapél pontosan 1, akkor a magasság 0,40528, a felület 0,40474, ezt pedig Smyth mint csillagász játszva kiszámíthatta volna!”
Ennek az anyagnak a megírására pontosan a fentebb idézett tagadások és csúsztatások késztettek. Foglaljuk össze a feltételezések közül azokat, amelyek a Piramis méreteiből levezethetők. Első munkakérdés: • Miért csak a KHEOPSZ piramis matematikájával foglalkozunk ?
6.4.2 Azért foglalkozunk a KHEOPSZ Piramis matematikájával, mert: 1. A KHEOPSZ piramis 230 m-es alapéleinek hosszeltérései egy 250 mm-es (egy arasz) hibasávban szóródnak. A hiba 1 : 9 2 0 . 2. Az oldalaknak az égtájakhoz viszonyított átlagos irányhibája az alap 3´6˝ elfordulásához képest + 1´12˝. 3 . A sarokszögek átlagos eltérése a derékszögtől 1 ´ 4 7 , 5 ˝ 4 . Az építészetileg becsült és az öt matematikai-geometriai hipotézis alapján számított magasságértékek eltérései egy 216 mm-es sávban szóródnak. A relatív eltérés 1 : 6 8 0 . 5 . A legvalószínűbb RIEPPEL feltételezése, hogy a félalapél = 220, magasság = 280, oldalmagasság közelítőleg ≈ 356 könyök, amit Piramis felmérése és a fennmaradt korabeli mérőlécek tized-milliméterre igazolnak. Ezek nem pitagoraszi számhármasok, de ha a kerek 356 könyökből számítjuk a magasságot a közelítésből adódó magasságeltérés 60 mm — 1 : 2 4 4 3 .
P6.sz. #66.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
6 . Ha a magassággal, mint sugárral szerkesztett kör kerületét egyenlőnek tekintjük a Piramis alapkerületével, akkor a 8×220 könyök alapkerületből és a 280 könyök magasságból visszaszámított közelítő PI ≈ 22/7. A közelítés pontosságára jellemző, hogy a pontos PI-vel számított magasság csak 59 mm-rel tér el a közelítőtől. A relatív eltérés 1 : 2 4 8 4 . 7. Nincs olyan szabályos négyzetalapú gúla melynél az oldallap és az oldalél emelkedését is természetes számok hányadosa lenne. De a 280/220 = 14/11 arányú oldallap emelkedésnél az oldalél emelkedése 9/10 hányadossal közelíthető. A két emelkedéssel számított magasságok különbsége 7,5 mm. A relatív eltérés 1 : 1 9 6 0 0 . Ugyanekkora relatív eltérésű az innen visszaszámított 2 ≈ 140/99 közelítésnek is. 8. Ha a magassággal, mint oldallal szerkesztett négyzet területe egyenlő egy oldalháromszög területével, akkor az oldalmagasság és a félalapél aránya megfelel az Aranymetszésnek. Ebből adódik, hogy az oldalháromszög szárszögének tangense 2 . Ez az összefüggés magasabb matematikai színvonalat feltételez mint amit az óegyiptomi forrásokból ismerünk. Ennek ellenére feltűnő az építők által kitüntetett 1:2 és a 2:1 tangensű szögek alkalmazása és a szerkesztővonalak illeszkedése a belső szerkezethez. 9. A mérőszámok között öt összefüggést találtunk (eddig): A. B. C. D. E. F.
A fél alapélhossz 220 könyök A fél alapélhossz 220 a 284 barátságos száma A tengelymagasság 280 vonzata a teljes alapélhossz = Az oldalmagasság 356 vonzata = A 274 és a tengelymagasság 280 összege: 280 + 274 = Innen az 554 vonzata a magasság =
220. 284. 440. 274. 554. 280.
Ezek az eredmények alátámasztják HÉRODOTOSZ, STRABÓM, APULEIUS állításait, hogy t.i. THALÉSZ, PITAGORASZ, DEMOKRITOSZ, PLATON, EUDOXOSZ Egyiptomban tanulták a matematika elemeit. A h o g y TUTANHAMON múmiáját négy aranyozott fából készült szentély, egy homokkő szarkofág, két múmiaformájú aranyozott fakoporsó, egy színarany koporsó, egy aranymaszk és 143 amulett védte, ú g y a KHEOPSZ piramist is becsületesen lebiztosították építői, a k i k nemcsak birtokában voltak a piramis építéséhez szükséges ismereteknek, hanem fel is építették azt. A z o k , akik szerint ez a 8+5=13 összefüggés véletlen egybeesés — lekéstek, mert ezen a héten (2002. dec. 12.) 2.540.000.000,00 Ft (kétmilliárd ötszáznegyven–millió) az 5-ös lottó főnyereménye. A z o k , akik szerint bármely tetszőlegesen kiválasztott építményen lehetne találni hasonló összefüggéseket; — a kiválasztást kezdjék a Marx téri felüljáróval (most Nyugati
tér).
A z a g y e r e k meg fogjon 600 kiló játékkockát és építsen belőle 1 méter magas piramist 50 mikron pontossággal. Válasz a második munkakérdésre: • Mennyi matematikát tudtak a piramisépítők ?
• Keveset, de azt nagyon ! M i m e g vegyünk elő még további 22 piramist azért, hogy senki se fanyalogjon, amiért csak a KHEOPSZ piramis matematikájával foglalkozunk;
• De előbb még jön…
P6.sz. #67.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
7. A 3-4-5 SZÁMHÁRMAS ÉS A DERÉKSZÖG. A munkakérdés a tudománytörténet botrányköve: • Kellett e a zsinórfeszítőknek a PITHAGORASZ tétel ?
7.1 A CÁFOLÁS LÉLEKTANA A tudományok történetében számos eset fordult elő amikor a tények helyes értékelését és az igazság kiderítését az ellenérdekű felek minden eszközzel megpróbálták akadályozni. Amikor egy alkotó-kereső elme rájön egy új és konkrét tényekkel alátámasztott összefüggésre, bizton számíthat a támadásra. A cáfolatok rendszerint a téma felületes ismeretről tanúskodnak. Egy tétel szembeni hiteles ellenérvek összeállítása sokkal nagyobb erőfeszítést követel, mint magának a tételnek a kidolgozása. Könnyebb a tekintélyre vagy hitre hivatkozni, amikor pl. elő akarják írni, hogy mit NE tudhassanak az egyiptomi piramisépítők. A támadások okai: • • • • • • • •
anyagi és hatalmi érdek, szakmai féltékenység, hivatásbeli és/vagy magánéleti sikertelenség miatti irigység – bosszúvágy, örökletesen korlátolt személyiség, elvonási tünetek, aggkór (szenilitás). erkölcsi beszámíthatatlanság (moral insanity) csak…
Miután GALILEI és utána mindenki, aki a távcsővel az égre nézett láthatta a Hold krátereit, a napfoltokat és a Jupiter holdjait, ellenfelei megpróbálták a tényeket letagadni. GALILEI a hatalom fenyegetésének hatására megtagadta eredményeit — amelyeket a csillagászat, térképészet és a navigáció; • • •
nem tagadott, nem igazolt, — hanem — használt!
Heinrich SCHLIEMANN a helyszínen kiásta Mükénét és Tróját, közben az ellenfelei az egyetemi katedrákon továbbra is költői képzelgésének tartották az egész HOMÉROSZ-i világot. BOLYAI Jánost saját apja, BOLYAI Farkas is megpróbálta lebeszélni hogy „a semmiből egy ujj más világot” teremtsen; —az abszolút geometriát.
∗ A kalandorok átkutatták Latin-Amerikát és nem találták Eldorádót. ∗ DE azok sem találták meg akik nem is keresték. ∗ DE ettől még az otthon maradóknak nem lett igazuk!
—K’—
7.2 A FELTALÁLÁS ÉS FELISMERÉS MŰVÉSZETE. Amikor ARKHIMÉDÉSZ (Kr.e. 287-212) fürdés közben saját testén tapasztalta, hogy „minden vízbemártott test annyit veszt a súlyából; amennyi az általa kiszorított víz súlya” — kiugrott a kádból, meztelenül kifutott az utcára és „HEUREKA” (megtaláltam) kiáltásokkal ünnepelte a róla elnevezett törvény felfedezését. (A fajsúly mérésével leleplezte az ötvöst, aki a HIERON király koronájára kiutalt arany egy részét megprivatizálta és ezüsttel pótolta.) Innen ered a feltalálás-rájövés fogalma a; • Heurisztika, feltalálási mód, utasítás arra nézve, hogyan lehet metodikai úton valamit feltalálni; tudományos kutatásoknál a megtalálás, a feltalálás módja; az alkalmazott logika egyik része. (Pallas Lexikon 1897.)
P6.sz. #68.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A felismerés másik módja az: • Intuitio (lat.) a. m. szemlélet; a filozófiában ama felfogás neve, hogy közvetlenül (úgy mint a szemmel a külső dolgokat) ismerhetünk meg érzékfölötti dolgokat (belső szemlélet). A köznyelvben is használjuk, ha bizonyos bonyolódottabb viszonyok igazságát egyszerre, mintegy közvetlenül látjuk át. Mondhatni, hogy minden nagy fölfedezés, gondolat csirája ily I. A nagy tehetségben megvan az I. ereje: Ebből: intuitív, közvetlenül megismerő, belsőleg szemlélő; intuitív igazság, melyhez ily módon jutottunk. (Pallas) Tegyünk hozzá még kettőt; • A belelátás-beláttatás példája a képzőművészet. A szobrász, aki a nyers márványtömbben látja a kész szobrot, amit majd a felesleges márvány levésésével fog kiszabadítani. A festő, aki az üres vásznon már látja a képet.
5 4
• A kiválasztás-kiszűrés képessége teszi lehetővé, hogy egy rendezetlen, kaotikus halmazban felismerjük a szabályos struktúrákat. Pl. egy monoton üzemi zajban a ventilátorok sivításából kihallgassuk az AIDA II. felvonását: bevonulási induló, balettzene, stb. Cáfolni csak az adott állítást tökéletesen kizáró okok és feltételek feltárásával lehet. A mi mai algebrai és aritmetikai módszereink a középkorban alakultak ki. A régiek ezek nélkül is megtalálták a számukra fontos tételek bizonyítását.
4 3
3
2
2 1
Kóta Béla. 2002.
1
2
90°
1
3
A legnagyobb erőfeszítést az igényli, hogy bele tudjuk élni 41. ábra: A 3-4-5 oldalú háromszög. magunkat a korabeli gondolkodási sémákba. Pl. az ókorban csak alapműveletekkel és természetes számokkal számoltak. A számokat, arányokat, méreteket szentnek tekintették. A megmaradt egyiptomi matematikai tárgyú papiruszok korabeli „általános iskolai” tanpéldák. Az építmények és képzőművészeti alkotások viszont egy sokkal magasabb szintű elit tudomány létét sejtetik.
7.3 AZ ELLENTMONDÁSOK KÍSÉRJENEK UTUNKON!
7.3.1 A tudománytörténeti vitakérdés: Használhatták e az ókori Egyiptomban derékszögek kitűzésénél a 3-4-5 oldalú háromszöget, és biztosak lehettek e abban, hogy ez a háromszög valóban derékszögű? (Ezt a háromszöget egy 12 egyenlő hosszú szakaszra osztott zsinórral szokták kijelölni. 41. ábra)
7.3.2 A cáfolatok Contra pincipia negantem disputari non potest (lat.) a. m. aki az alapelveket tagadja, azzal nem lehet vitatkozni, azaz előbb meg kell győződnünk róla, hogy azon egy alapon állunk az ellenféllel; a vita alapjául szolgáló elvekben megegyezünk, s csak azután vitatkozhatunk valamely tárgy fölött. DR. MEDGYESI PÁL: Matematikatörténeti mendemondák (id.m.) Az óegyiptomi matematikáról a piramisépítéssel kapcsolatban. • »... Biztosra vehető, hogy a Püthagorasz-tételt nem ismerték, a derékszög kitűzése az építészetben - szemben a rendkívül elterjedt nézettel - Hufu idejében nem ezen tétel alapján történt, még a 3-4-5-ös derékszögű háromszöget sem használták fel - vízszintes és ráállított függőleges másképp is (függőón, vízszint) megszerkeszthető - és matematikai ismeretek nélküli primitívek is használtak derékszöget.«
P6.sz. #69.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
• »... A kétségtelenül hatalmas építészeti tehetség nem jelent okvetlenül magas matematikai ismereteket; a nagy római építész Vitruvius (i.e. 1. sz.) például egyáltalán nem vonta be a matematikát munkájába; így tehát a fejlett építészet sem érv.« A szerző hivatkozik még Bartel Leendert van der WAERDEN (*1903-) művére is. B. L. van der WAERDEN: Egy tudomány ébredése. GONDOLAT, Bp. 1977. "KÖNYVÜNK CÉLKITŰZÉSEI" c. fejezetében szembeszáll Moritz CANTOR (1829-1920) matematikatörténész egy állításával. ("Geschichte der Matematik") • »Hány mende-monda forog közszájon, mint "közismert tény"! Hogy csak egy példát említsünk, majdnem minden ilyen tárgyú könyvben megtalálható az a kijelentés, hogy az egyiptomiak a 3, 4, 5 egységnyi oldalú derékszögű háromszöget ismerték, és felhasználták derékszög szerkesztésére. Mit ér ez a kijelentés? Semmit! Min alapul? Két tényen és CANTOR egy következtetésén. A tények: az egyiptomi templomok alapkőletételénél "zsinórfeszítőket*" alkalmaztak, s a templomok és piramisok alapjánál a szögek többnyire nagy pontossággal 90°-osak. CANTOR ebből arra következtetett, hogy a derékszögeket a zsinórfeszítőknek kellett szerkeszteniök, és ő (CANTOR) nem tud más módszert elképzelni, amellyel zsinór kifeszítése útján derékszög volna szerkeszthető, mint hogy 3, 4, 5 egységnyi hosszúságú kötéldarabokból alkotnak háromszöget**. Az egyiptomiaknak tehát ismerniök kellett ezt a háromszöget.« • »Hát nem elképesztő? Nem az, hogy CANTOR ezt a hipotézist felállította, hanem, hogy az ismételt átmásolások következtében általánosan elfogadott "ténnyé" válhatott! Pedig valóban így történt.« * harpedonaptoszok ** Holott a középiskolában tanult eukleidészi szerkesztés (Elemek I, 12) nagyon jól elvégezhető kifeszített zsinórokkal! SAIN MÁRTON: Matematikatörténeti ABC. Tankönyvkiadó, Bp. 1978. A háromszög címszóban: • »Az egyiptomi Rhind-papiruszon (i. e. 2000 körül) találhatunk egyenlő szárú háromszöget és derékszögű háromszöget... ...E papiruszon látható az 52 = 32 + 42 egyenlőség, de semmi nyoma, hogy ennek geometriai jelentést adtak volna. Viszont a babiloniaiak i. e. 2000 táján már kétségtelenül ismerték a Pitagorasz tételt.« A Pitagorasz-tétel címszóban: • »Az egyiptomi Rhind-papiruszon (i.e. 2000 körül) találkozunk a 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszöggel, de semmi nyoma annak, hogy az ilyen méretű háromszög esetében kimondták volna a tételt. Valószínű, az ókori egyiptomi építészeti bravúrok és talán egy kicsit a késői utódok híresztelése nyomán terjedt el, hogy i. e. 2000 táján az egyiptomi papok derékszögszerkesztésre (csomózott kötél) is felhasználták már a Pitagorasztételt.«
7.3.3 A cáfolatok értékelése VITRUVIUS: Tíz könyv az építészetről c. műve a kor színvonalának megfelelően foglakozik a mértékek és arányok építészeti szerepével: • •
Az Ötödik könyv, Negyedik fejezete Arisztoxenosz harmóniatanának összefoglalása. A Kilencedik könyv Előszava tárgyalja Platón négyzetkettőzését, a Pitagoraszi derékszög szerkesztést 3-4-5 oldalú háromszöggel, Arkhimédész tételét, Eratoszthenész mezolábiumát, stb. (PLATÓN-ra hivatkozva VITRUVIUS szerint a derékszögelő eszköz háromszögben összeillesztett lécekből állhatott.)
P6.sz. #70.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A Kilencedik könyv Elsőtől-Nyolcadik fejezete összefoglalja a csillagászat korabeli ismereteit, a csillagászati tájolást és a napórák szerkesztését. MEDGYESI szerint viszont: "egyáltalán nem vonta be a matematikát munkájába". •
Van der WAERDEN az idézet lábjegyzetében utal a középiskolában tanult euklideszi szerkesztésekre (42. ábra);
EUKLIDÉSZ I. 11. Tétel
FD = FE CD = CE
D C A
G
E H
B
A
D
F
C
Kóta Béla. 2002.
EUKLIDÉSZ I. 12. Tétel
E
B
42. ábra: Euklidészi szerkesztések.
Elemek I, 12 Tétel.
"Bocsássunk adott végtelen egyenesre rajta kívül adott pontból merőleges egyenest!"
Ez a hivatkozás a feladat tökéletes félreértelmezése, vagy szándékos csúsztatás. Célszerűbb lett volna a megelőző tételre hivatkozni: Elemek I, 11 Tétel.
"Húzzunk adott egyeneshez adott pontjából derékszögben egyenest"
De még ez is egy tetszőlegesen hosszú egyenes egy adott belső pontjára állít merőlegest. I l y e n módszereket o l y a n o k ajánlanak, akik soha az életben nem dolgoztak terepen. A gyakorlati feladat egy adott egyenes szakasz VÉGPONTJÁBÓL kiinduló merőleges irányának kitűzése, és nem középiskolás füzetben, hanem a terepen, ahol a földmérőnek a szerkesztések elvégzésére nem állt rendelkezésére korlátlan hely; • • •
mert a földalatti üregben vagy a piramisban kőfalak vették körül, mert a szabadban féllábbal az öntözőcsatorna partján vagy a 20 méter magas pilon tetején egyensúlyozott, és nem várhatta el, hogy ha már a piramis alatt 50 000 négyzetméter sziklát sík felszínűre véstek, a szerkesztő vonalak kifutása érdekében a gízai fennsíkot töltsék fel és egyengessék el még vagy 100 000 négyzetméteren.
A SAIN MÁRTON idézetben a témába vágó legfontosabb részlet a Rhind-papiruszra vonatkozik: • »látható az 52 = 32 + 42 egyenlőség, de semmi nyoma, hogy ennek geometriai jelentést adtak volna.« Éppen EZT kívánjuk megvizsgálni; hogy k e l l e t t e az egyenlőségnek geometriai jelentést adni? A geometriai jelentéshez k e l l e t e ez az egyenlőség?
P6.sz. #71.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
7.4 A 3-4-5 BELÁTTATÁSA Az itt bejáratott két bizonyítás Matematika-Mentes! A belátáshoz szükséges mértani alapismeretek minden óegyiptomi szakmunkástól elvárhatók. Azoknak akkor és ott nem tételeket kellet levezetni, hanem fel kellett ismerni, hogy ez a 34-5 oldalarányú háromszög valóban derékszögű. Akiknél a sírépítő és kőfaragó munkások falujában a leánygyermekek is iskolába jártak. Ahol az írni-olvasni tudás általánosabb volt, mint nálunk 50 évvel ezelőtt. Ahogyan a piramisok és halotti templomok alapját csillagászati pontossággal tudták kitűzni — ugyanúgy képesek voltak az alábbi két példához hasonló összefüggések felismerésére.
7.4.1 Megvilágosodás szemben egy csempézett fallal A 6 . f e j e z e t b e n már utaltunk az egyiptomiak négyzethálós tervezési és arányos nagyítási technikájára. Éppen ezért mi is helyezkedjünk el valamilyen négyzethálós mintázattal szemben; legyen ez egy soronként félosztással eltolva csempézett fal. Meredjünk összpontosított figyelemmel a falra. Lelki szemeinkkel láttassunk a hálózat jellegzetes csomópontjain átmenő köröket. Tekintsünk egy olyan kört, amely két egymással érintkező felső és alsó csempe sarkai köré írható. Ekkor majdnem, mint a PRÓFÉTÁK KÖNYVÉBEN... ...megjelenik a Falon – Az Írás helyett – a 43. ábra.
4 3
R=5
2 1 1
2
Kóta Béla. 2004.
43. ábra: Csempe minta.
3 4
5
P6.sz. #72.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Legyen a csempék mérete 4×4 egység. Ekkor a kör sugara 5 egység és egyben 3 – 4 egység befogójú derékszögű háromszög átfogója is. Az ábra jobb oldalán beszerkesztett húr kijelöl egy külső háromszöget. Nagyítsuk ki a jobb felső körszegmenset. A 4 6 - 4 7 . á b r á k a kinagyított körszegmensek a belátáshoz szükséges részleteket szemléltetik.
5
5 Kóta Béla. 2004.
4 3 2 1 -1
4 3
R=5
0
ω
0
1
2 1 2
3
4
5
tan(ω ) =
4 3
-1
⇔
R=5
0
ω
0
1
2
3
4
5
ω 1 tan = 2 2
44. ábra: A 3-4-5 háromszög származtatása.
Egy további fontos összefüggés azonban most is kiderült. Az ábrán látható kisebb szög; (26° 33´ 54,18˝) melynek tangense 1/2. Ez a szög m á r m e g i n t az Aranymetszés szerkesztésének kiindulása és ilyen meredek a KHEOPSZ Piramisban a felvezető folyosó és a Nagy Galéria. A nagyobbik szög ennek k é t s z e r e s e (53° 7´ 48,37˝) és tangense 4/3. És már megint egy véletlen:
2× arc tg (1/2) = arc tg (4/3) Ezzel be is fejezhetnénk, mert az összefüggés közvetlen rátekintéssel is belátható, de még csak most…
…JÖN!, JÖN!, JÖN! 7.4.2 A sakktábla módszer. A négyzethálós beosztású volt a sakkhoz hasonló játék a „szenet” táblája. A 3×10 mezős táblán 2×4 vagy 2×5 figurával játszottak. TUTANHAMON sírjában három szenet-játékasztalt találtak. II.RAMSZESZ feleségét NOFERTARI-t is fölfestették (a falra) szenet játék közben. Mi viszont a pitagoreusok módjára karcoljunk egy 11×9-es négyzethálót a homokba és szedjünk 12 kavicsot. Tekintsük ezt egy 11×9 kockájú sakktáblának, a kavicsokat „ló”-nak (huszárnak): 1) Induljon egy ló (huszár) az A4 kockáról 3 lóugrással a G1 mezőre. 2) A G1 mezőről 4 lóugrással menjen a K9 sarok kockába. Világos e, hogy ennek ennek a két lépéssorozatnak az iránya merőleges???! 3) A K9-ről 5 lóugrással térjen vissza a kiinduló A4 mezőre.
P6.sz. #73.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
van der WAERDEN szavaival: •
» H á t n e m e l k é p e s z t ő ! « . A ló (huszár) útja kirajzolja a 3-4-5 oldalarányú derékszögű háromszöget.
Ebben a példában a sakk lóugrásaival haladtunk; az előre és oldalt mozgás iránya 2:1 vagy 1:2. Más arányokat választva az összes pitagoraszi számhármas kisakkozható. A K I E G É S Z Í T É S második részében sakkjátszma elemzéséből levezetjük a pitagoraszi számhármasokat előállító DIOPHANTOSZ-i egyenleteket. Válasz a munkakérdésre: Kellett e a zsinórfeszítőknek a PITAGORASZ-tétel?
NEM. • ...és azért nem kellett geometriai jelentést adni az 52 = 32 + 42 egyenlőségnek, mert egy négyzethálóra való puszta rátekintéssel beláthatták, hogy a 3-4-5 oldalarányú háromszög derékszögű. A bizonyításhoz SEM aritmetika, SEM algebra, SEM eukleidészi szintű geometriai tudás NEM kellett. Elég volt annyi forma és arányérzék amennyit a szabályos mértani idomokat (piramis, obeliszk) szentnek tartó kultúrában nyilvánvaló.
9 8 7 6 5 4 3 2 1
3 5
1
2
3
2
4 1
4
1 2
3
Kóta Béla. 2004.
A B C D E F G H I
J K
45. ábra: Sakktábla módszer.
• Lariscsev: 1152. 1940-ben a Szovjetunióban 10,8 millió tonnával több vasat olvasztottak ki, mint a forradalom előtti Oroszországban 1913-ban. A Szovjetunió népgazdaságának helyreállítási terve szerint 1950-ben a nyersvastermelésnek 30%-kal nagyobbnak kell lennie, mint 1940ben, és 15,3 millió tonnával nagyobbnak, mint 1913-ban. Határozzuk meg a nyersvastermelés nagyságát 1913-ban, 1940-ben, és a terv szerint 1950-ben. —•—
P6.sz. #74.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
7.5 MIT BIZONYÍT A TÖBBI 22 PIRAMIS Az 5 . t á b l á z a t időrendi sorrendben tartalmazza az értékelhető 23 szabályos gúla alakú piramis méreteit. A könyök hosszát a „KHEOPSZ Piramis méretei” fejezetben számítottuk ki. A táblázatok oszlopai: din.
Dinasztia
fár.
Hányadik fáraó
Név
Fáraó/Piramis neve
oldalszög
α
Az oldallap emelkedés szöge
alapél
a+a
az alapnégyzet élhossza
°´˝ m
Magasság mért
H
a mért (becsült) magasság
m
szám.
h
a fél alapélből az emelkedéssel számított magasság = a×tan(α)
m
emelkedés
tan(α)
az oldalszög tangense
Méretek a
fél alapélhossz
könyök
h
tengely magasság
könyök
c
oldal magasság
könyök
d
félátló
könyök
Az emelkedést közelítő tört tört
sz
számláló
tört
nv
nevező
hiba
az emelkedéssel és a törttel számított magasság különbsége: a×(sz/nv) – h
milliméter!
Az időrendi táblázat már sejtet valamiféle szabályosságot. Az összefüggések felismerésében ismét segít a ...
REND ! RENDEZZÜK SORAINKAT a táblázatban a tan (α) emelkedés szerint és... . . . i s m é t m e g j e l e n i k A z Í r á s , de most nem a falon, hanem a 6 . t á b l á z a t b a n . A 23-ból 8 (nyolc) piramist építettek 3-4-5 oldalú piramisháromszöggel: 53° 7´ 48,37˝ oldaldőléssel. (46. ábra)
• Lariscsev: 1094. Egy sztahanovista munkás háromszor akkora pénzösszeget kapott, mint társa, aki átlagos 2 munkás. Miután 100 rubelt kölcsönadott társának, 13 -szor annyi pénze maradt, mint amennyi a társának lett. Mennyi pénzt kapott mindegyik?
P6.sz. #75.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
3:4:5 aránnyal, de különböző 75-100-125 könyök méretekkel típusméretekkel. 1. Khephrén-Hafré
Iszeszi-Dzsedkaré
2. Uszerkaf
Teti
3. Noferirkaré
I.Pepi-Meriré
4.
–
I.Merenré
5.
–
II.Pepi-Noferkaré
3:4:5 arány
5×
3×
4×
75-100-125 könyök
5×
125
3×
Kephrén-Hafré Uszerkaf Noferirkaré
75
100
125
75
Iszeszi-Dzsedkaré Teti I. Pepi-Meriré I. Merenré II. Pepi-Noferkaré
46. ábra: Piramis szabványok.
A típustervi méretek egyiptomi könyökben: a fél alapél a magasság az oldalmagasság
75 = 3 ×25, 100 = 4 ×25, 125 = 5 ×25.
• Exakt (lat.), oly fogalom, mely világos, határozott, befejezett. Minthogy ily fogalmak leginkább a matematikában fordulnak elő, továbbá a fizikában, mely részben a matematikán alapul, részben pedig a pontos mennyiségü meghatározásra alkalmas (mérhető) tárgyakkal foglalkozik, leginkább ezeket a tudományokat s általában a külső természettel foglalkozókat nevezzük exaktnak. Hasonlókép beszélünk E. módszerekről, eljárásokról, sőt E. emberekről is, akik teendőiket pontosan és korrektül végzik.
P6.sz. #76.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
PLUTARKHOSZ az egyiptomiaknak tulajdonítja a 3-4-5 arány ismeretét (Iszisz és Oszirisz. Ford.: W. Salgó Ágnes. Európa K. Bp. 1986) :
Oszirisz
„Valószínűnek tartjuk, hogy az egyiptomiak a mindenség természetét a legszebb háromszöghöz hasonlítják. Megfigyelhetjük ezt Platónnál is, aki az Állam-ban ezt az alakzatot alkalmazza a házasság leírásában. Ennek a háromszögnek a magassága három, az alapja négy, az átfogója pedig öt egység, ami négyzetre emelve ugyanannyi, mint a másik két befogó négyzete. A magasság a férfiassal, az alap a nőiséggel, az átfogó pedig az ivadékkal hasonlítható össze. Ugyanígy Osziriszt a kezdetnek, Isziszt az átvevő elemnek, Hóroszt pedig a beteljesülésnek kell tekinteni. A három ugyanis az első páratlan és tökéletes szám, a négy négyzete a páros kettőnek, az öt viszont részint az apához, részint az anyához hasonlít, mert 47. ábra: Platóni háromszög. háromból és kettőből tevődik össze; a minden (a görög panta) is a penté-ből (öt) képzett szó, és a „számolás”-t is „ötösével számítás”-nak (pempaszaszthai) mondják. Az öt négyzete ugyanannyi egység, mint ahány betűje van az egyiptomiaknak, és ahány évet élt Ápisz...”
Hó ro sz
Iszisz
7.6 TANULSÁGOK: • A felmért 23 piramis mindegyikében matematikai üzenet van. • 8 piramist építettek 3-4-5 aránnyal. • a 8-ból 5 piramis mérete 75-100-125 könyök. • Egyiptomban használhattak csomózott kötelet derékszögek kitűzéshez. • A zsinórfeszítőknek nem kellett a PITHAGORASZ tétel. • A pitagoraszi számhármasokat a görögök megismerhették Egyiptomban. • Sem a görögök sem az egyiptomiak nem olvasták az idézett cáfolatokat. (Jól szórakoztak volna.)
7.6.1 miért ? • „...Természetes tehát, hogy aki a közönséges érzékleteken túl először talál ki még valamilyen mesterséget, azt az emberek csodálják, nemcsak azért, mert hasznos a találmánya, hanem azért is, mert ő maga bölcsnek és a többi között kiválónak mutatkozik. Ha pedig egyszerre több mesterség feltalálásáról van szó, amelyek közül némelyek az életszükségletekre, mások pedig a szemlélődő élet örömeire vonatkoznak, az utóbbiak föltalálóit mindig bölcsebbnek tartjuk az előbbieknél, m e r t a z ő t u d o m á n y u k n e m a h a s z o n r a i r á n y u l . Így érthető, hogy csak mikor az ilyesmi már mind készen volt, akkor találták föl azokat a tiszta tudományokat, amelyek sem a gyönyörűségre, sem az életszükségletekre nem vonatkoznak és pedig először azokon a helyeken, ahol volt az embereknek ráérő idejük. Ezért fejlődtek ki pl. a matematikai szakismeretek először Egyptomban, mert ott volt elég szabad ideje a papi törzsnek.” ARISTOTELES: Metafizika. Ford.: Halasy-Nagy József. Bp. 1936. • Üzenet ARISTOTELES-nek: R Á É R Ő I D Ő n i n c s , a z t s z a k í t a n i k e l l !
P6.sz. #77.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Ezzel a témával 30 évvel ezelőtt kezdtem el foglalkozni. Az akkori eszközök: • • •
egy logarléc, egy kurblis – fogaskerekes számológép, egy 7-jegyű logaritmustábla.
A téma feldolgozása átívelt az informatikai – tudományos-technikai forradalom hazai korszakán, és felbecsülhetetlen segítséget nyújtott e fejlődés követésében. A dolgozattal adózni kívánok a legtöbb ösztönzést adó tudománytörténész
SZABÓ ÁRPÁD (1913 – 2001) akadémikus életművének. • Megszakítva: 2006. október 16./ 19:56 •
Kóta Béla. 1074. Rákóczi út 74-76. 2. 11. T: 3-429-673.
—•—
• Lariscsev: 2140. Platonov és Szahnov a Szocialista Munka Hősei. 1947-ben Platonov 775 q, Szahnov pedig 610 q búzát gyüjtött be. Platonov brigádjának a területe 5 hektárral nagyobb volt, mint Szahnov brigádjáé, és Szahnovnál egy hektáron 0,5 q-val kisebb volt a termés, mint Platonovnál. Határozzuk meg Szahnov és Platonov földterületének méretét, és mindkét terület termését egy hektáron.
• Ribnyikov: A matematika története (1968): Meghatározott profilú külföldi lapokban gyakran található tudósítás különböző „elektronikus agyak” feltalálásáról, amelyek állítólag tökéletesen helyettesíteni tudják az úgynevezett „intelligens munkások” munkáját is. Ez az állítás túlnyomórészt szociális indítékokat takar, és az a célja, hogy a kizsákmányolt dolgozó embereket elrettentse és fokozottabb engedelmességre bírja.
P6.sz. #78.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
8. KIEGÉSZÍTÉS Ennek a fejezetnek a megértéséhez az én időmben, (1958) az egyetem I. tanévében tanított matematika szükséges. Ajánlott még: szakérettségi + Vörösakadémia Pártösztöndíjjal.
8.1 A GYÖK(2) KÖZELÍTÉSE TÖRTTEL • Munkakérdés: Meddig lehet eljutni az ógörög váltakozva kivonási módszer mai algebrai továbbgondolásával ?... ...mert a váltakozva kivonás egy új, közelítő négyzetgyökvonási módszert sejtet.
8.1.1 Felismerés Ismételjük meg az ismételt kivonási eljárást! 1 . kiindulás: 2 . ciklus: 3 . ciklus:
1= 1 – 2 × ( 2 – 1) = 3 – 2 × 2 = (3 – 2 2)×(3 – 2 2) = 1 7 – 1 2
1. 0,171573 0,029437
2 =
Figyeljük csak meg a 2-3. ciklus együtthatóit: Ciklus
Együtthatók
Hányados
Hányados négyzete
2.
3
2
3/2 = 1,5
32/22 = 2,25
3.
17
12
17/12 = 1,416667
172/122 = 2,006944
Mintha a ciklusok ismétlésével az együtthatók hányadosa a 2 -höz közelítene...
8.1.2 Egy gyökközelítési módszer Induljunk ki a ( 2 – 1) kifejezésből. Ennek értéke 0,414214 — tehát kisebb, mint egy. Ha egynél kisebb kifejezést ismételten önmagával szorozunk (hatványozzuk) vagy négyzetre emelgetjük, — a magasabb hatványok értéke a 0 -hoz tart. Csak diplomásoknak:
Lim (
2 – 1)
p
⇒ 0
p ⇒ ∞ A számítási ciklus indítása:
I.
2 – 1 =
II.
(
2 – 1) ×
III.
(3
– 2
2 – 1
(
2) ×
2 – 1) =
3 – 2
(
5
2 – 1) =
2
2 – 7
P6.sz. #79.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Táblázatosan:
lépés I II III IV V VI VII VIII
Y
X
1 -2 5 -12 29 -70 169 -408
∗√2 ∗√2 ∗√2 ∗√2 ∗√2 ∗√2 ∗√2 ∗√2
-1 3 -7 17 -41 99 -239 577
Hiba 0,414213562 0,171572875 0,071067812 0,029437252 0,012193309 0,005050634 0,002092041 0,000866552
= = = = = = = =
Ebből már levezethető a hatványozási algoritmus.
8.1.3 A
2 hatványozási algoritmusa
Jelöljük az i –edik ciklusban az együtthatókat X i és Y i –vel, ekkor a kifejezés és a közelítés:
Yi× 2 – Xi ⇒ 0
⇐⇔⇒
Xi 2 ≈ Y i
A következő i + 1 –edik ciklushoz szorozzuk meg a baloldali kifejezést 2 – 1 –gyel:
(Y i × 2 – X i ) ( 2 – 1) = –(X i + Y i ) 2 + (X i + 2 Y i ) Ebből már látható az együtthatók képzési szabálya:
X i + 1 = Xi + 2 Yi
⇐⇔⇒
Y i + 1 = Xi + Yi
Az algoritmus a fenti táblázatból is kiolvasható.
8.1.4 A
2 négyzetre–emelési algoritmusa
Az ismételt négyzetre–emeléssel a közelítés lényegesen hatékonyabb lesz.
(Y i × 2 – X i ) 2 = – 2 X i Y i × 2 + (X i 2 + 2 Y i 2 ) Az együtthatók:
X i+1 = X i 2 + 2 Y i 2
⇐⇔⇒
Y i + 1 = 2 XiYi
Az eljárások bármilyen természetes számra is általánosíthatók. A 4 . t á b l á z a t b a n összehasonlítjuk a közelítő módszereket: • • •
a 4 . / 1 . táblázat növekvő nagyságrendben minden olyan törtet tartalmaz melyeknél a (fokozatos) közelítés javul, a 4 . / 2 . táblázat az itt levezetett szorzás–hatványozás módszerrel számított közelítéseket mutatja, a 4 . / 3 . táblázat az ismételt négyzetreemelés.
8.1.5 Általánosított gyökvonási algoritmus Közelítsük egy tetszőleges U szám négyzetgyökét természetes számok hányadosával:
X U ≈ Y
⇒
Y× U ≈ X
⇒
Y× U – X ≈ 0
P6.sz. #80.
Y× U – X = H
⇐ vagy ⇒
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
X – Y× U = –H
A kiinduláshoz X és Y értékét úgy válasszuk meg, hogy a hiba abszolút értéke egynél kisebb legyen:
0 < |H| < 1. Jelöljük az i –edik közelítési lépésben a két együttható X i és Y i –vel:
Yi× U – Xi = Hi A következő, i + 1 –edik lépésben emeljük négyzetre a kifejezés mindkét oldalát:
Yi2× U – 2 XiYi U + Xi2 = Hi2 Átrendezve:
X i 2 + Y i 2 ×U – 2 X i Y i U = H i 2 Az X i + 1 és Y i + 1 együtthatók:
X i+1 = X i 2 + Y i 2 ×U
⇐⇔⇒
Y i+1 = 2 X i Y i
• Ez bizony a N E W T O N é r i n t ő módszere lesz.
8.1.6 NEWTON érintő módszere Legyen a függő változó v, a független változó u négyzetgyöke:
v =
u
⇐⇔⇒
vi
v2 = u
v
vi+1
v= u v2 = u
u U ui+1
ui
48. ábra: Newton érintő módszere.
A görbe érintőjének meredeksége a függvény differenciálhányadosa (48. ábra):
d v' = du
u =
1 1 = 2 v 2× u
P6.sz. #81.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Írjuk fel az érintő meredekségét az i –edik lépésben az u i ; v i pontban:
1 2 vi =
v i – v i+1 ui – U
Mivel u i = v i 2 ;— helyettesítsük u i –t a v i négyzetével:
v i – v i+1 1 = 2 vi vi2 – U Átrendezéssel fejezzük ki v i + 1 –et az egyenletből. Az i + 1 –edik lépésben a közelítés: vi+1 =
vi2 + U vi U = + 2 vi 2 2 vi
Ez az N E W T O N féle közelítő gyökvonási módszer, amit 30 éve a FACIT, TRIUMPHATOR, ODHNER, MESKO márkájú fogaskerekes számológépeken kurbliztunk. Közelítsük ismét az U szám négyzetgyökét természetes számok hányadosával:
v =
X U ≈ Y
⇒
Xi vi = Y i
Helyettesítsük be a törtet indexelve a Newtoni gyökképletbe:
Xi2 + U Yi2 Xi+1 X i 2 + Y i 2 ×U v i+1 = Y = Xi = 2 XiYi i+1 2 Y i Itt pedig visszaköszönnek a pitagoraszi váltakozva kivonásból felvezetett egyenletek:
X i+1 = X i 2 + Y i 2 ×U
⇐⇔⇒
Y i+1 = 2 X i Y i
Válasz a munkakérdésre: • A pitagoraszi váltakozva kivonás a mai algebrai módszerrel továbbfejlesztve ugyanarra az algoritmusra vezet, mint két évezreddel később a differenciálszámítás.
8.2 A SAKKTÁBLÁBÓL DIOPHANTOSZ A sakktábla módszer általánosításával minden Pitagoraszi Számhármas meghatározható. Ezek olyan természetes számok, melyek kielégítik a PITAGORASZ tételt.
a2 + b2 = c2 A valódi Pitagoraszi Számhármasok relatív prímek — nincs közös osztójuk. A Számhármasokat előállító DIOPHANTOSZ-i egyenletrendszer hagyományos, algebraiszámelméleti levezetése megtalálható például Ja. I. PERELMAN: Szórakoztató algebra. c. művében. A sakktábla módszer geometriai általánosítása ugyanerre az eredményre vezet, — csak sokkal szemléletesen és egyszerűbben. • •
Legyen egy a , b befogójú és c átfogójú derékszögű háromszög; az oldalak aránya: a
P6.sz. #82.
• • • •
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
A β szög felét nevezzük δ -nak: δ = β / 2 . Legyen y = s i n δ , x = c o s δ . Szerkesszük meg az a b c derékszöget úgy, hogy a befogók iránya δ szöget zárjon be a függőleges és vízszintes tengelyekkel. Foglaljuk téglalap alakú keretbe a háromszöget. Jelöljük be a kereten a háromszög oldalainak vetületeit (49. ábra):
cx
cy
δ
y/x = tg δ δ = β/2
δ
c
β ay ax
Kóta Béla. 2004.
b a
δ
bx
by
49. ábra: Diophantoszi háromszög.
A keret párhuzamos oldalainak egyenlőségéből DIOPHANTOSZ-i határozatlan egyenletrendszert kapunk:
ax + by = cx (vízszintes) ay + cy = bx (függőleges) Páronként írjuk fel a háromszög oldalainak arányait:
x2 + y2 c = 2xy b c x2 + y2 a = x2 – y2 2xy b = a 2 2 x – y
Az arányokból kifejezzük a minden Pitagoraszi Számhármast előállító egyenleteket:
y x = tg δ ; β = 2 δ ---------------------c = x2 + y2 b =
2xy 2 a = x – y2
P6.sz. #83.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
Kiindulásul válasszunk két természetes számot: x > y , és az egyenletek kiadják a három pitagoraszi számot. Érvényesült az OCCAM elv, mert sikerült a DIOPHANTOSZ-i egyenlet levezetéséből egy rakás számelméleti trutymót kihányni.
Egészségünkre !
»EndOfText« • Lariscsev: 2215. Egy kolhoz a termésnek a tervben megjelölt határidőre való betakarításhoz két brigádot állított be. Az első brigád, amely egy 400 hektár területű táblán dolgozott, 2 nappal a határidő előtt fejezte be a begyűjtést, a másik pedig egy 900 hektár területű táblán két nappal a határidő lejárta után lett kész. Ha az első brigád ugyanannyi napot dolgozott volna, mint a második, a második pedig annyit, mint az első, akkor mindegyik egyforma mennyiséget gyűjtött volna be. Állapítsuk meg a termés begyűjtésének tervben megjelölt időtartamát, és mindegyik brigád napi teljesítményét.
P6.sz. #84.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
9. TÁBLÁZATOK
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
· x · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
· · x · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · · 3 · ·
· · · x · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · · · 4 · ·
· · · · x · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5 · · · · 5
· · · · · x · · · · · 6 ·
· · · · · · x · · · · · · 7 · · · · · · 7 · · · · · · 7 · · · · · · 7 · · · · · · 7 · · · · · · 7 ·
· · · · · · · x · · · · · · · 8 · · · · · · · 8 · · · · · · · 8 · · · · · · · 8 · · · · · · · 8 · ·
· · · · · · · · x · · · · · · · · 9 · · · · · · · · 9 · · · · · · · · 9 · · · · · · · · 9 · · · · ·
· · · 6 · · · · · 6 · · · · · 6 · · · · · 6 · · · · · 6 · · · · · 6 · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · · 10 · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · · 11 · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · · 12 · · · · · · · · · · · x · · · · · · · · · · · · · · · · x · · · 13 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 · · · · 15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 · · · · · · · · · · 11 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 · · · · · 18 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 · · · · · · · · · 13 · · · · · · · · · · · · 10 · · · · · · · · · 20 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 · · · · · · 21 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 · · · · · · · · · · 22 · · · · · · · · 15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 · · · 16 · · · · · · · 24 · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 · · · · Kóta Béla. 2002. · · · · · 25
össz
szám
1. táblázat. A valódi osztók és összegeik
· 1 1 3 1 6 1 7 4 8 1 16 1 10 9 15 1 21 1 22 11 14 1 36 6 16 13 28 1 42 1 31 15 20 13 55 1 22 17 50 1 54 1 40 33 26 1 76 8 43
P6.sz. #85.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
2. táblázat. A számok pitagoraszi osztályozása Szám jelleg háromszög négyzet téglalap ötszög köb Négyzetösszeg Köbösszeg Fibonacci Prim Tökéletes Barátságos Kóta Béla. 2002.
Tökéletes számok Sz. 0 1 6 28 496
h n t ö k N K F P T B F P T h n ö k N K F P T h t T h T h T
Σ Vo «-Valódi osztók. 0 1. 1 1. 6 1 2 3. 28 1 2 4 7 14. 496 1 2 4 8 16 31 62 124 248.
Barátságos számok Sz. 220 284 1184 1210
h n t ö k N K F P T B B B B B
Σ Vo «-Valódi osztók. 284 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110. 220 1 2 4 71 142. 1210 1 2 4 8 16 32 37 74 148 296 592. 1184 1 2 5 10 11 22 55 110 121 242 605.
Természetes számok Sz. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
h n t ö k N K F F h n ö k N K F t F h F n ö N F h t
P T B P T P T P P P T P
k
F
n
K
h P t ö F P N h n
Σ Vo 0 1 1 1 3 1 6 1 7 4 8 1 16 1 10 9 15
«-Valódi osztók. 1. 1. 1 2. 1. 1 2. 1. 1 2 3. 1. 1 2 4. 1 3. 1 2 5. 1. 1 2 3 4 6. 1. 1 2 7. 1 3 5. 1 2 4 8.
P6.sz. #86.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
3. táblázat. Váltakozva kivonás
Alaphang
Kvart
Kvint
Oktáv
Húrhosszúság 84
63
56
42
84
63
56
42
42
42
42
42
42
21
14
0
0
21
28
0
14 14 0
42
21
14
14
28 14
7 7
14
0
0 14 7 7 <-= ez a közös EGYSÉG 0 Az egységben kifejezett hossz arányok
(63/7)=
(56/7)=
(42/7)=
12
9
8
6
1
3/4
2/3
1/2
(84/7)=
A hang rezgésszámok arányai Kóta Béla. 2004.
P6.sz. #87.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
4. táblázat. A GYÖK(2) közelítése törttel
A GYÖK(2) közelítése törttel 1. Fokozatosan javított közelítés közel. száml. nev. 1 1 I II 3 2 III 4 3 7 5 IV V 17 12 VI 24 17 VII 41 29 VIII 99 70 IX 140 99 X 239 169 XI 577 408 XII 816 577 XIII 1393 985 pontos GYÖK(2) =
száml./nev. 1,00000000000000 1,50000000000000 1,33333333333333 1,40000000000000 1,41666666666667 1,41176470588235 1,41379310344828 1,41428571428571 1,41414141414141 1,41420118343195 1,41421568627451 1,41421143847487 1,41421319796954 1,41421356237310
száml./nev. - GYÖK(2) -0,4142135623730950 0,0857864376269049 -0,0808802290397619 -0,0142135623730952 0,0024531042935716 -0,0024488564907421 -0,0004204589248193 0,0000721519126192 -0,0000721482316810 -0,0000123789411426 0,0000021239014147 -0,0000021238982251 -0,0000003644035520
2. Ismételt szorzás közel. száml. nev. 1 1 I II 3 2 III 7 5 IV 17 12 V 41 29 VI 99 70 VII 239 169 577 408 VIII IX 1393 985 pontos GYÖK(2) =
száml./nev. 1,00000000000000 1,50000000000000 1,40000000000000 1,41666666666667 1,41379310344828 1,41428571428571 1,41420118343195 1,41421568627451 1,41421319796954 1,41421356237310
száml./nev. - GYÖK(2) -0,4142135623730950 0,0857864376269049 -0,0142135623730952 0,0024531042935716 -0,0004204589248193 0,0000721519126192 -0,0000123789411426 0,0000021239014147 -0,0000003644035520
3. Ismételt négyzetreemelés. közel. száml. nev. I 1 1 II 3 2 III 17 12 IV 577 408 V 665857 470832 pontos GYÖK(2) =
száml./nev. 1,00000000000000 1,50000000000000 1,41666666666667 1,41421568627451 1,41421356237469 1,41421356237310
száml./nev. - GYÖK(2) -0,4142135623730950 0,0857864376269049 0,0024531042935716 0,0000021239014147 0,0000000000015947 Kóta Béla. 2004.
P6.sz. #88.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
5. táblázat. Piramisok időrendben din.
fár. Név 1 könyök --» méter =
oldalszög 0,523552841 o
III. IV. IV. IV. IV. IV. IV. V. V. V. V. V. V. VI. VI. VI. VI. XII. XII. XII. XII. XII. XII. XIII.
5 1 2 3 4 6 7 1 2 3 6 8 9 1 3 4 5 1 2 4 5 6 7 20
Hui (Huni) Sznofru tört-alul Sznofru tört-felül Sznofru Vörös Kheopsz-Hufu Khephrén-Hafré Menkauré-Mükerinosz Uszerkaf Szahuré Noferirkaré Neuszerré Iszeszi-Dzsedkaré Unisz-Unasz Teti I.Pepi-Meriré I.Merenré II.Pepi-Noferkaré I.Amenemhat I.Szeszósztrisz-Szenuszert II.Szeszósztrisz-Szenuszert III.Szeszósztrisz-Szenuszert III.Amenemhat (Dahsúr) III.Amenemhat (Havara) Hendzser-Uszerkaré
,
51 54 43 43 51 53 51 53 50 53 51 53 56 53 53 53 53 54 49 42 56 57 48 55
50 27 22 22 50 7 20 7 11 7 50 7 18 7 7 7 7 27 23 35 18 15 45
,,
alapél m a+a
33 147,0 44 183,5
35 48 25 48 40 48 35 48 35 48 48 48 48 44 55 35 50
magasság emelkedés mért szám. H 93,5
105,0 220,0 104,0 230,0 146,0 214,5 143,5 105,0 65,5 73,5 49,0 78,5 47,0 105,0 70,0 81,0 51,5 78,5 52,5 57,5 43,0 78,5 52,5 78,5 52,5 78,5 52,5 78,5 52,5 78,5 55,0 105,0 61,0 106,0 48,0 105,0 78,5 105,0 81,5 100,0 58,0 52,5 37,0
h
tan()
93,5 128,4 0,0 103,9 146,4 143,0 65,6 49,0 47,1 70,0 51,5 52,3 43,1 52,3 52,3 52,3 52,3 54,9 61,2 48,7 78,7 81,7 57,0 37,5
1,272715 1,399995 0,944552 0,944552 1,272740 1,333328 1,250004 1,333328 1,200001 1,333328 1,272740 1,333328 1,499988 1,333328 1,333328 1,333328 1,333328 1,399995 1,166663 0,919010 1,499988 1,555503 1,140281 1,428148
méretek könyökben a
h
c
tört d
(h / a)
hiba
sz / nv
mm
140 179 227 199 14 / 11 0,919 175 245 302 248 7 / 5 0,474 17 / 18 210 198 289 297 17 / 18 -11,783 220 280 356 311 14 / 11 -1,484 205 273 341 290 4 / 3 0,532 100 125 161 142 5 / 4 -0,202 70 94 117 99 4 / 3 0,182 75 90 117 106 6 / 5 -0,026 100 134 167 142 4 / 3 0,261 77 98 125 109 14 / 11 -0,522 75 100 125 106 4 / 3 0,195 55 82 99 78 3 / 2 0,343 75 100 125 106 4 / 3 0,195 75 100 125 106 4 / 3 0,195 75 100 125 106 4 / 3 0,195 75 100 125 106 4 / 3 0,195 75 105 129 106 7 / 5 0,203 100 117 154 142 7 / 6 0,204 101 93 137 143 100 150 181 142 3 / 2 0,626 100 156 185 142 14 / 9 2,773 96 109 145 135 50 72 87 71 10 / 7 11,115 Kóta Béla 2001.
6. táblázat. Piramisok oldaldőlés szerint din.
fár. Név 1 könyök --» méter =
oldalszög 0,523552841
XII. IV. IV. XII. XII. V. IV. III. IV. V. IV. V. V. V. VI. VI. VI. VI. IV. XII. XIII. V. XII. XII.
4 2 3 7 2 2 7 5 4 6 6 1 3 8 1 3 4 5 1 1 20 9 5 6
II.Szeszósztrisz-Szenuszert Sznofru tört-felül Sznofru Vörös III.Amenemhat (Havara) I.Szeszósztrisz-Szenuszert Szahuré Menkauré-Mükerinosz Hui (Huni) Kheopsz-Hufu Neuszerré Khephrén-Hafré Uszerkaf Noferirkaré Iszeszi-Dzsedkaré Teti I.Pepi-Meriré I.Merenré II.Pepi-Noferkaré Sznofru tört-alul I.Amenemhat Hendzser-Uszerkaré Unisz-Unasz III.Szeszósztrisz-Szenuszert III.Amenemhat (Dahsúr)
o
42 43 43 48 49 50 51 51 51 51 53 53 53 53 53 53 53 53 54 54 55 56 56 57
,
,,
alapél m a+a 106,0
35 22 22 45 23 11 20 50 50 50 7 7 7 7 7 7 7 7 27 27
55 40 25 33 35 35 48 48 48 48 48 48 48 48 44 44
18 18 15
35 35 50
220,0 100,0 105,0 78,5 105,0 147,0 230,0 81,0 214,5 73,5 105,0 78,5 78,5 78,5 78,5 78,5 183,5 78,5 52,5 57,5 105,0 105,0
magasság mért szám. H
h
48,0 48,7 105,0 0,0 104,0 103,9 58,0 57,0 61,0 61,2 47,0 47,1 65,5 65,6 93,5 93,5 146,0 146,4 51,5 51,5 143,5 143,0 49,0 49,0 70,0 70,0 52,5 52,3 52,5 52,3 52,5 52,3 52,5 52,3 52,5 52,3 128,4 55,0 54,9 37,0 37,5 43,0 43,1 78,5 78,7 81,5 81,7
emelkedés tan() 0,919010 0,944552 0,944552 1,140281 1,166663 1,200001 1,250004 1,272715 1,272740 1,272740 1,333328 1,333328 1,333328 1,333328 1,333328 1,333328 1,333328 1,333328 1,399995 1,399995 1,428148 1,499988 1,499988 1,555503
méretek könyökben a
tört (h /
h
c
d
101
93
137
143
210 96 100 75 100 140 220 77 205 70 100 75 75 75 75 75 175 75 50 55 100 100
198 109 117 90 125 179 280 98 273 94 134 100 100 100 100 100 245 105 72 82 150 156
289 145 154 117 161 227 356 125 341 117 167 125 125 125 125 125 302 129 87 99 181 185
297 135 142 106 142 199 311 109 290 99 142 106 106 106 106 106 248 106 71 78 142 142
sz /
a) nv
17 / 18 17 / 18
hiba mm
-11,783
7 / 6 0,204 6 / 5 -0,026 5 / 4 -0,202 14 / 11 0,919 14 / 11 -1,484 14 / 11 -0,522 0,532 4 / 3 0,182 4 / 3 0,261 4 / 3 0,195 4 / 3 0,195 4 / 3 0,195 4 / 3 0,195 4 / 3 0,195 4 / 3 7 / 5 0,474 7 / 5 0,203 10 / 7 11,115 3 / 2 0,343 3 / 2 0,626 14 / 9 2,773 Kóta Béla 2001.
P6.sz. #89.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
10. IDÉZETGYŰJTEMÉNY 10.1 HÉRODOTOSZ (KR.E. 484): A GÖRÖG-PERZSA HÁBORÚ. FORD: MURAKÖZY GYULA. EURÓPA K.1989 39. old. 74. ... Dúlt a háború anélkül, hogy egyik a másik fölébe kerekedett volna, amikor is a hatodik évben egy ütközet alkalmával a nappal éjszakává változott. A milétoszi Thalész előre megjósolta az iónoknak, hogy a nap eltűnik majd, sőt az évét is megmondta, amelyben azután a jelenség valóban bekövetkezett. Mikor a lüdek és a médek látták, hogy a nappal éjszakává változik, abbahagyták a harcot, s mindkét oldalon hajlottak már a békekötésre. -585. május 28. 69. old. 75. ... Mikor Kroiszosz a Halüsz folyóhoz ért, szerintem a ma is álló hídon vezette át seregét, de a hellének közül sokan azt állítják, hogy a milétoszi Thalész segítségével kelt át a sereg a folyón. Kroiszosz ugyanis hasztalan törte a fejét, hogy miként vigye át seregét a vízen, amelyen akkoriban még nem voltak meg a mostani hidak, amikor állítólag a seregben vonuló Thalész azt a megoldást találta, hogy a folyót, amely a seregtől balra folyt, ennek jobb oldalára vezeti, éspedig a következő módon. A tábor felső végétől kiindulva hold alakú, mély medret ásatott, úgy, hogy a folyó a táborozó sereg mögött folyjon el, s miután a víz egy része a régi mederből ebbe a csatornába ömlik majd, a sereget megkerülve térjen vissza régi medrébe. S mivel a folyó ily módon két ágra szakadt, itt is, ott is át lehetett rajta gázolni. Egyesek azt állítják, hogy a régi meder ki is száradt, de ezt én nem tartom valószínűnek, mert akkor vajon hogyan mehettek át rajta visszatérőben? 85. old. 170. ... De bölcs tanács volt az is, amelyet a phoinikai származású milétoszi Thalész adott az iónoknak, még szerencsétlenségük előtt. Ő azt javasolta, hogy szervezzenek ión tanácsot, mégpedig Teószban - mert Teósz Ióniának éppen a közepén fekszik -, a többi város lakosságának pedig olyan hatóságai legyenek, mintha mindegyik külön közösséget alkotna. 141. old. 82. Az egyiptomiak határozták meg azt is, hogy az egyes hónapok és napok mely isteneknek vannak szentelve, hogy milyen lesz az ember sorsa születésének napja alapján, hogyan fog meghalni, s mi történik vele. Ezeket a hagyományokat aztán a költészettel foglalkozó hellének fel is használták. 152. old. 109. A hagyomány szerint a király az ország egész területét felosztotta az egyiptomiak közt, úgy, hogy mindegyiküknek egyforma nagyságú, négyszög alakú területet juttatott. Innen szerezte jövedelmét is, mert elrendelte, hogy a telkek után évenként adót kell fizetni. Ha valakinek a földjéből a folyam egy részt elmosott, az a király elé járult és bejelentette. Ő aztán felügyelőket és földmérőket küldött ki, akik megállapították, hogy mennyivel lett kisebb a föld, és ennek arányában szabták meg az adót. Azt hiszem, innen ered a földmérés tudománya, amit a hellének is átvettek tőlük. Mert a napórát, a napóra mutatóját s a napnak felosztását tizenkét részre a hellének a babülóniaiaktól vették át. 171. old. 142. Hát eddig az időpontig mesélték el az egyiptomiak és a papok az ország történetét. Kimutatásuk szerint az első királytól az utolsóig, Héphaisztosz főpapjáig háromszáznegyvenegy emberöltő telt el, s éppen ennyi a királyok, valamint a főpapok száma is. Háromszáz emberöltő tízezer évet tesz ki, mert három emberöltő százat, s a háromszázhoz járuló negyvenegy nemzedék pedig ezerháromszáznegyven esztendőre rúg: ez összesen tizenegyezer-háromszáznegyven esztendő. Azt állítják, hogy ez alatt az idő alatt egyetlen isten sem jelent meg emberi alakban, de nem történt ilyesmi a korábbi és a későbbi egyiptomi királyok uralkodása idején sem. Elbeszélésük szerint ez alatt az idő alatt a nap négyszer változtatta meg pályáját, kétszer kelt fel ott, ahol most lenyugszik, s kétszer nyugodott le ott, ahol most felkél. Mindez azonban nem
P6.sz. #90.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
hozott változást Egyiptomra sem a földekben, sem a folyam hozamában, sem a betegségekben, sem a halál módjaiban.
10.1.1 PYTHAGORASZ (Kr.e. VI.sz.): "Minden dolog lényege a szám... "
10.1.2 DÉMOKRITOSZ (Kr.e. 460): "Vonalak szerkesztésében bizonyításokkal senki sem múlt felül, még az egyiptomiak úgynevezett zsinórfeszítői sem."
10.2 PLATON (KR.E. 427 - 347) EURÓPA 1984.
10.2.1 Állam ... az örökké létezőnek, nem pedig a valamikor keletkezőnek és elmúlónak a megismerése céljából művelik a mértant. SZÓKRATÉSZ: Hát azt megfigyelted e már, hogy akiknek tehetségük van a számtanhoz, azok úgyszólván minden tanulmányban igen éleseszűek; a nehézfejűek pedig, ha semmi egyéb hasznuk nem lesz is belőle, annyit bizonyára elérnek, hogy élesebb lesz a felfogásuk, mint azelőtt volt? GLAUKON: Így is van. 332.-333. old. 35.b. S így kezdte el az osztást. Először egy részt vett el az egészből, ezután vette ennek a kétszeresét, a harmadik rész pedig másfélszerese volt a másodiknak és háromszorosa az elsőnek; a negyedik kétszerese a másodiknak, az ötödik pedig háromszorosa a harmadiknak, a hatodik nyolcszorosa az elsőnek, végül a hetedik huszonhétszerese az elsőnek. 36.a. Azután pedig kitöltötte a kétszeres és háromszoros intervallumokat, további részekké vágván el az eredeti keverékből és tévén középre közéjük; úgyhogy mindegyik intervallumban két középtag van: az egyik az, amely kültagjainak egyikét annak ugyanazon törtrészével haladja meg, mint amekkora törtrészével a másik kültag őt meghaladja; 36.b. A másik középtag pedig az, mely ugyanazzal a számmal haladja meg az egyik kültagot, mint amennyivel haladja őt meg a másik. A középarányosok e kötelékei folytán az előbbi intervallumokban olyan intervallumok keletkeznek, melyeknek arányai 3:2, 4:3, 9:8; s ekkor a 9:8 intervallumával töltötte ki az összes 4:3 viszonyú intervallumokat, úgyhogy mindegyikben megmaradt egy rész, s ennek a megmaradt rész intervallumának határoló tagjai szám szerint úgy aránylanak egymáshoz, mint 256:243. Így aztán a vegyületet, amelyből ezeket a részeket levágta, teljesen fölhasználta már.
10.3 ARISZTOTELÉSZ (KR.E. 384 - 322): METAFIZIKA (PYTHAGORASZ) „A számok elemei egyúttal minden létező valóságnak is elemei, és az egész égi világrend harmónia és szám.” (PLATÓN) „Lehetetlen ugyanis, hogy az egyetemes meghatározás valami érzékelhető dologra vonatkozzék, hiszen ezek állandóan változnak.” (PYTHAGORASZ) Mert már a pithagoreusok úgy tanították, hogy a létezők a számok utánzása következtében vannak.
P6.sz. #91.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
38.-40.old. (Tudomány) Legszabatosabbak viszont azok a tudományok, amelyek különösen a végső alapelvek tudományai. A kevesebb elvből kiinduló tudományok ugyanis szabatosabbak, mint azok amelyek még egyéb bővülést is szenvednek; így pl. az aritmetika szabatosabb, mint a geometria. ... Hogy azonban ennek a tudománynak nem alkotás a célja, az kiviláglik már a legrégibb bölcselkedők példájából. Az emberek ugyanis most is, meg régen is a csodálkozás következtében kezdtek filozofálni. Kezdetben a hozzájuk legközelebb eső csodálatos dolgokon álmélkodtak el, majd lassankint tovább mentek ezen az úton és nagyobb dolgok felől is kezdtek kérdéseik lenni, így pl. a Holdnak változásai felől, a Napnak és a csillagoknak járása és a mindenség keletkezése felől. A kételkedő és csodálkozó ember pedig tudatlannak érzi magát, — ezért a mítoszkedvelő is valahogyan filozófus, mert a mítosz is csodálatos eredményekből áll, — s mivel azért filozofál, hogy a tudatlanságból kiszabaduljon, világos, hogy az első filozófusok is a tudományt a tudás kedvéért keresték, s nem a belőle fakadó más egyéb haszonért. Ezt különben maga a tény is bizonyítja. A t u d á s n a k e z a f a j t á j a u g y a n i s a k k o r k e z d ő d ö t t , amikor már az élet kényelmére és élvezetére szükséges dolgok csaknem m i n d m e g v o l t a k . Világos tehát, hogy ezt a tudományt nem valami más haszonért keressük, hanem azért, mert ahogy szabadnak azt az embert mondjuk, aki önmagáért van és nem másért, úgy a tudományok közül is egyedül ez a szabad, mert egyedül ez van önmagáért... Ha tehát ezt a tudományt megszereztük, épp az ellenkező állapotba kell bennünket juttatnia, mint amelyben a kutatás kezdődni szokott. Mert, mint mondottuk, az ember rendszerint azon kezdi, hogy csodálkozik, hogy valami úgy van, ahogy van. Így csodálatosak az automaták mindazok előtt, akik még nem ismerik az okaikat, — hasonlóképpen a napnak fordulói, vagy az, hogy a négyzet átmérője nem mérhető össze [nem mérhető meg] az oldalakkal, vagy a négyzet átmérőjének és oldalai arányának az irracionalitása. Mert csodálatosnak tünhetik fel mindenki előtt, ha valami a legkisebb mértékegységgel föl nem mérhető. Azonban <mindennek> az ellenkezőjére és jobbra kell a közmondás szerint fordulnia, miként ezekben a kérdésekben is, hogyha tanulás útján elsajátítottuk a dolgokat, mert semmin sem csodálkoznék annyira a mértanhoz értő, mint ha az átmérő összemérhető volna. ... (A matematika szépségéről) Mivel pedig a jó és a szép különböző dolgok, — a jó ugyanis mindig csak a cselekvésben rejlik, a szép azonban a mozdulatlan dolgokban is megvan, — ezért nincs igazuk azoknak akik azt mondják, hogy a matematikai tudományok semmit sem állítanak a szépről vagy a jóról. Mert beszélnek róla és különös előszeretettel mutatnak rá. Ha nem is nevezik néven őket, műveiket és összefüggésüket felmutatják, < s ekkor nem lehet azt mondani >, hogy nem beszélnek róluk. A szépnek legfőbb formái a rend, arányosság, elhatároltság, s a matematikai tudományok főleg ezeket tárják fel. S mivel ezek; t.i. a rend és az elhatároltság sok más dolog okainak látszanak, nyilvánvaló, hogy a matematikai tudományok egy olyasféle okról is beszélnek, mint ahogy bizonyos módon ok a szépség is.
10.4 EUKLIDÉSZ (KR.E. 300 KÖRÜL): ELEMEK VII.1. Ha van két nem egyenlő számunk, a kisebbet váltakozva mindig kivonjuk a nagyobból, és a maradék sosem osztja a megelőző számot, míg csak nem az egység a maradék, akkor ezek a számok relatív prímek. VII.2. Keressük meg két adott nem relatív prímszám legnagyobb közös osztóját... VII.3. Keressük meg három adott nem relatív prímszám legnagyobb közös osztóját...
P6.sz. #92.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
10.5 STRABÓN (KR.E. 64): GEÓGRAPHIKA. FORD: DR. FÖLDY JÓZSEF. GONDOLAT K. 1977 670. old. (Samos) 16. ... Polykrates ... Mint mondják, Pythagoras is az ő uralma alatt élt, mikor azonban látta a tyrannosuralom fejlődését, elhagyta a várost és tanulási vágytól vezérelve Egyiptomba és Babylónba ment, amikor pedig onnan visszajött és látta, hogy a tyrannosuralom még megvan, Itáliába hajózott s ott fejezte be életét. Polykratésről ennyi elegendő. 782. old. (Phoinikia) 24. A sidóniakat sokféle szép művészet mestereinek tisztelik, mint ezt a költő* is bizonyítja; azonkívül bölcs vizsgálódók az astronómia és az aritmetika terén, amihez a gyakorlati számolás és az éjszakai hajózás adta az alapot. Ugyanígy az egyiptomiaknak tulajdonítják a geometria föltalálását a földnek fölméréséből, amire a Nílus kényszeríti őket, minthogy áradásaival elmossa a határokat. Ez a tudomány tehát az általános hiedelem szerint az egyiptomiaktól származott át a hellénekhez, az astronómia és az aritmetika pedig a phoinixektől; most azonban minden egyéb tudományt a legteljesebb mértékben lehet átvenni ezekből a városokból. Ha hitelt adhatnak Poseidóniosnak, az atomok régi tana is egy sidónitól, a trójai háború előtt élő Mokhostól származik... 826. old. (Egyiptom) 29. ... Itt tehát úgy mutogatták a papok házait, mint Platón és Eudoxos lakásait. Platónnal együtt ugyanis eljött ide Eudoxos is, s 13 évet töltöttek itt a papokkal együtt, mint némelyek állítják. A papok ugyanis kitüntek az égi jelenségek tudományában, de titkolózók és zárkózottak voltak, idővel és szolgálatkészségükkel azonban mégis annyira megnyerték jóindulatukat, hogy közölték velük vizsgálódásaik egyes részeit, legnagyobb részét azonban mégis titokban tartották ezek a barbárok. Azt tanították, hogy a nappalok és az éjszakák váltakozó szakaszai 365 nappal az év idejének kitöltésére szolgálnak; eddig a helléneknél ismeretlen volt az év, amint több más is, amíg az újabb astrologosok át nem vették a papok iratait hellén fordításban. És még most is átveszik ezeknek a tanításait, valamint a khaldaiosokét is. *Homéros.
10.6 VITRUVIUS: TÍZ KÖNYV AZ ÉPÍTÉSZETRŐL. KÉPZŐMŰVÉSZETI KIADÓ, BUDAPEST 1988. FORDÍTOTTA: GULYÁS DÉNES. ÁTDOLGOZTA: MAROSI ERNŐ. Kilencedik könyv. Előszó. 212.-214. old. 4. Először pedig P l a t ó n sok igen hasznos tétele közül idézek egyet úgy, ahogyan ő kifejtette. Ha van egy egyenlő oldalú, négyzet alakú telek vagy föld, s ezt meg kell kétszerezni, mivel olyan fajta számra lenne szükség, amelyet szorzással nem találunk meg, vonalak pontos szerkesztésével találhatunk rá. Ezt így bizonyíthatjuk. A négyzetes telek, amelynek hossza és szélessége tíz láb, 100 négyzetláb területű. Ha tehát meg kell kétszereznünk 200 négyzetlábra, s továbbra is egyenlő oldalúra kell csinálnunk, azt kell keresnünk, mekkora legyen ennek a négyzetnek az oldala, hogy abból 200 négyzetláb feleljen meg a terület megkettőzésének. Ezt pedig számmal senki nem képes megtalálni. Mert, ha a 14-et vennénk, megszorozva 196-ot kapunk, ha 15-öt, 225 lábat. 5. Mivel tehát ez nem fejezhető ki számmal, abban a négyzetben amelynek hossza és szélessége 10 láb, az egyik saroktól a másikig húzzuk meg az átlót, hogy két egyenlő nagyságú háromszögre osszuk, amelyek egyenként ötven-ötven négyzetláb területűek. Az átlóvonal hosszúságával rajzoljunk egyenlő oldalú négyzetet. Így amilyen nagy, ötven négyzetlábas két háromszög volt kijelölve a kisebb négyzetben az átlóvonallal, a nagyobb négyzetben az ugyanilyen nagyságú és ugyanannyi lábat kitevő négy háromszög keletkezik. Ezt a fajta kettőzési szerkesztési eljárást P l a t ó n alakította ki úgy, ahogyan a lap alján az ábra mutatja. (A rajzok elvesztek.) 6. Továbbá P ü t h a g o r a s z megmutatta, hogyan kell derékszögmértéket a mesteremberek fogásai nélkül, az ő találmánya szerint készíteni, és amit a derékszöget készítő kézművesek nagy vesződséggel is alig
P6.sz. #93.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
képesek valódi derékszöggé formálni, azt az ő tanaiból nyert elvekkel és módszerekkel hibátlanul lehet megvalósítani. Mert ha három lécet veszünk, s közülük az egyik 3, a másik 4, a harmadik 5 láb hosszúságú, és ezeket egymással összeillesztjük, hogy legvégeikkel háromszög alakban érintsék egymást, hibátlan derékszöget alkotnak. Ha pedig ezeknek a lécek hosszúságával egyenként egyelő oldalú négyzeteket szerkesztünk, akkor a három láb széles négyzet területe 9, a négyesé 16, az ötösé 25 négyzetláb lesz. 7. Így amennyit a három és a négy láb oldalú két négyzet területe négyzetlábban számolva kitesz, ugyanakkora számot ad az az egy is amelyiket öt lábbal szerkesztettünk. Azt mondják hogy P ü t h a g o r a s z amikor ezt felfedezte, nem kételkedett afelől hogy ebben a felfedezésben a múzsák vezették, nagy-nagy hálát adott, és állatokat áldozott nekik...
10.7 APULEIUS (KR.U. 124): A MÁGIÁRÓL. VIRÁGOSKERT. FORD: DÉTSHY MIHÁLY. MAGYAR HELIKON K. 1974 145-146. old. 15 (Samos szigete és Pythagoras) ... Egyesek azt állítják, hogy Pythagoras ez idő tájt Cambyses király foglyaként Egyiptomba hajózott, és ott mesterei lettek a perzsa mágusok, legfőképpen pedig Zoroaster, minden titkos isteni tan atyamestere. Utóbb aztán a crotoniak uralkodója, egy bizonyos Gillus váltotta ki. Elterjedtebb az a hagyomány, hogy tanulmányok kedvéért, önként ment Egyiptomba, s ott a papoktól sajátította el a hihetetlen erejű szent tanításokat, a számok csodálatos összefüggéseit és a geometria oly elmés törvényeit. De még ezek a tudományok sem elégítették ki szellemét, és csakhamar a chaldeusokat, majd pedig a brahmanokat - ezek bölcs emberek, India lakói -, a brahmanok közül is a gymnosophistákat kereste fel. A chaldeusok tanították a csillagászat tudományát, a bolygó istenségek megszabott pályáját, és a kettő sokféle hatását az emberek születésekor, továbbá az emberek gyógyítására földön, égen és tengeren nagy költséggel felkutatott orvosságokat. A brahmanoknak köszönheti viszont filozófiájának nagy részét: hogyan fejlesszük elménket, hogyan eddzük testünket, hány részből tevődik össze a lélek, és hány alakban tér vissza az élet, aztán milyen megtorlás vagy jutalom vár érdemük szerint a halottak szellemére. 161. old. 18 (A carthagóiak és Aesculapius isten dicsérete) ... A miletusi Thales, az emlékezetes hét bölcs közül alighanem a legjelesebb - hiszen a görögöknél a geometria első művelője, a természet dolgainak legélesebb szemű kutatója és a csillagoknak legtapasztaltabb vizsgálója volt -, vékony vonalakkal a legnagyobb igazságokra lelt. Megmagyarázta az idő körforgását, a szelek fúvását, a csillagok járását, a mennydörgés dübörgő tüneményét, az égitestek ívelő pályáját, a nap évenkénti visszafordulását, hasonlóan a születő holdnak is a dagadását, meg a vénülőnek a leapadását, és hogy mi okozza a fogyatkozását. S bizony már hajlott öregkorára írta meg isteni felismerését a nap természetéről. Ezt nemcsak tanulmányoztam, hanem kísérletekkel is igazoltam, hányszorosát teszi ki a nap nagyságának az a körpálya, amelyet bejár. Ahogy mesélik, Thales friss felfedezését elmagyarázta a pirenei Mandrolytusnak, s ez annyira megörült ennek a merőben új és meglepő felismerésnek, hogy nyomban felszólította, kérjen tőle bármilyen nagy jutalmat, akivel ezt az óriási horderejű tanítását meghálálhatná. "Nekem jutalmul annyi is elég lesz - válaszolta a bölcs Thales -, hogyha bárkinek is előadod ezt, amit tőlem tanultál, nem vallod magadénak az érdemet, hanem szerzőjeként senki mást, csak engem fogsz hirdetni." Valóban szép és ilyen bölcshöz méltó örök tandíj. Hiszen ezzel a tandíjjal adózunk Thalesnek mindannyian, mind a mai napig s ezután is mindig, akik megismertük mennyei tudományát.
Giordano BRUNO (1548-1600) „... miután láttuk, hogyan szoktak csökönyös és tudatlan emberek vitatkozni, ha rossz modorúak, annak is szemtanúi vagyunk, hogyan szoktak többnyire az ilyen vitatkozások végződni; bármily óvatosak mások a vitatkozásban, ők azt, amit érvekkel bebizonyítani nem képesek, sőt maguk sem tudnak megérteni, egy gúnyos mosollyal, egy nevetéssel, szerénységnek látszó rosszindulattal és az udvariasság formáiba burkolódzó megvetésnek egyéb fogásaival próbálják érvényre juttatni, s
P6.sz. #94.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
mindenképpen nyilvánvaló tudatlanságukat nemcsak takargatni, de ellenfelük fejére ráolvasni igyekszenek; mert hiszen nem azért bocsátkoznak vitába, hogy megtalálják vagy keressék az igazságot, hanem hogy mindenáron győztesek legyenek s az ellentétes fölfogás tudósabb és serényebb védelmezőiként tündököljenek. Az ilyeneket kerülje mindenki, aki nem bízik nagyon saját türelmében.” Jaroslav Hasek: Svejk. Ford: Réz Ádám. Kozmosz Bp 1977. 1.köt. 141.-142. ... — volt egyszer Vlasimban egy esperes, és amikor ennek megszökött az öreg házvezetőnője egy legénnyel meg a pénzével, akkor egy takarítónőt fogadott. És ez az esperes öreg fejjel elkezdte tanulmányozni Szent Ágostont, akire azt mondják, hogy a szentatyák közé tartozik, és azt olvasta nála, hogy aki az ellenlábasokban* hisz, az el van kárhozva. Erre hívja a takarítónőjét és mondja neki:
„Ide hallgasson, maga egyszer azt mondta nekem, hogy a maga fia géplakatos, és hogy kivándorolt Ausztráliába. Akkor pedig az ellenlábasok között van, és Szent Ágoston kimondta, hogy aki az ellenlábasokban hisz, annak el kell kárhoznia.” „Főtisztelendő úr, kérem, mondja erre az a nő, de hiszen az én fiam levelet és pénzt is küld nekem Ausztráliából.” „Az az ördög szemfényvesztése - mondta az esperes úr -, Szent Ágoston szerint nincs is semmilyen Ausztrália, magát csak az Antikrisztus hitegeti.” Vasárnap aztán a nyilvánosság előtt kiátkozta ezt az asszonyt, és azt kiabálta, hogy Ausztrália nem létezik. Úgyhogy a templomból egyenesen a bolondokházába vitték. *Ellenlábasok vagy antipódusok: akik a földgömb ellenkező részein laknak, lábukkal tehát egymással átellenben állnak.
10.8 WOODY ALLEN. „Utáltam és bántam minden napot, amelyet az iskolában kellett töltenem. Azt akartam, hogy tanítsanak meg írni-olvasni, és aztán hagyjanak békén”
SZABÓ Dénes: Kriminológia tegnap és ma. Magyar Tudomány. 1995/1.
„A Miatyánk angol változata mindössze 5 6 szót tartalmaz, a Tízparancsolat már 2 9 7 - et, az Amerikai Függetlenségi Nyilatkozat 3 0 0 szóból áll, viszont az Európai Közösség összesen 2 6 9 1 1 szóval szabályozza a kacsatojás exportját.” _ . _
P6.sz. #95.
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
11. IRODALOM 0)
DESCRIPTON DE L'EGYPTE PUBLIÉE PAR LES ORDRES DE SA MAJESTÉ L'EMPEREUR:
NAPOLÉON LE GRAND
A PARIS DE L'IMPRIMÉ IMPÉRIALÉ: M. DCCC. IX. Benedikt Taschen Verlag GmbH. Köln, 1994. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) 10)
11)
12)
13)
14)
J. RALSTON SKINNER: • The Source of Measures. (Key to the Hebrew-Egyptian Mystery.) Robert Clark Publishing Co., NY. – London. 1875 - 1876. KŐRÖSI LÁSZLÓ: • Egyiptom művészete. WODIANER F. és FIAI. Csász. És Kir. udvari könyvkereskedése, Bp. 1898. MAHLER EDE: • Az egyiptomiak mathematikai és astronomiai ismeretei. Mathematikai és Phisikai Lapok. XIII. 1904. MAHLER EDE: • Ókori Egyiptom. Magyar Tudományos Akadémia, Bp. 1909. PECZ VILMOS szerk.: • Ókori Lexikon. Franklin Társulat, Bp. 1904. ARISTOTELES: • Metafizika. Az Akadémia Filozófiai Könyvtára, Bp. 1936. ANDAI PÁL: • A mérnöki alkotás története. MŰSZAKI, Bp. 1959. PAULYS REALENCYCLOPEDIE: • Der Classischen Altertums-Wissenschaft. Alfred DRUCKENMÜLLER, STUTTGART. 1959. ENCYCLOPÆDIA BRITANNICA (1968) RIBNYIKOV: • A matematika története. Tankönyvkiadó, Bp. 1968. FODOR SÁNDOR: • Arab legendák a piramisokról. Körösi Csoma Kiskönyvtár 10.: AKADÉMIAI, Bp. 1971. FLORICA T. CÎMPAN: • A π története. ALBATROSZ, Cluj. 1971. EDWARDS: • The Pyramids of Egypt. Penguin Books Ltd, HARMONDSWORTH, MIDDLESEX. 1972. VÁRKONYI NÁNDOR: • Sziriat oszlopai.
P6.sz. #96.
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
MAGVETŐ, Bp. 1972. LUDVIK SOUCEK: • A betlehemi csillag nyomában. MADÁCH, BRATISLAVA. 1973. MICHALOWSKI: • PIRAMISOK és masztrabák. CORVINA, Bp. 1973. DR. MEDGYESI PÁL: • Matematikatörténeti mendemondák: A Cheops-piramis matematikája. TERMÉSZET VILÁGA. 104.k. 1973. 12. sz. 540-543. APULEIUS: • A mágiáról. Virágoskert. MAGYAR HELIKON, Bp. 1974 Ja. I. PERELMAN: • Szórakoztató algebra. GONDOLAT, Bp. 1975 STRABÓN: • Geógraphika. ford: Dr Földy József. GONDOLAT, Bp. 1977. van der WAERDEN: • Egy tudomány ébredése. GONDOLAT, Bp. 1977. BERNAL: • A fizika fejlődése Einsteinig. GONDOLAT, KOSSUTH, Bp. 1977. VILÍMKOVÁ: • Starověký Egypt. MLADÁ FRONTA, PRAHA. 1977. SAIN MÁRTON: • Matematikatörténeti ABC. Tankönyvkiadó, Bp. 1978. SZABÓ ÁRPÁD: • A görög matematika kibontakozása. MAGVETŐ, Bp. 1978. KERESZTY ANDRÁS: • Kairói levél - Japán piramis. NÉPSZABADSÁG, Bp. 1978. május 16., kedd. 6. old. (Schweizer Illustrierte): • Japán álpiramis a Szaharában. MAGYARORSZÁG, 1978/29. 16.old. KÁKOSY LÁSZLÓ: • Ré fiai. GONDOLAT, Bp. 1979. DOBROVITS ALADÁR válogatott tanulmányai II: • Snofru piramisépítkezésének jelentősége. Apollo Könyvtár 8.: AKADÉMIAI, Bp. 1979. SZABÓ R. JENŐ: • Egyiptom. PANORÁMA, Bp. 1979. SCHALK Gyula: • Csillagászat és régészet. Csillagászati Évkönyv az 1982. évre: Gondolat, Bp. 1981
P6.sz. #97.
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
VOJTECH ZAMAROVSKY: • A felséges piramisok. MADÁCH, BRATISLAVA. 1981. FALUS RÓBERT: • Az aranymetszés legendája. MAGVETŐ, Bp. 1982. EUKLIDÉSZ: • Elemek. ford: Mayer Gyula. GONDOLAT, Bp. 1983. PLATON ÖSSZES MŰVEI I.: • MENÓN. ford: Kerényi Grácia. EURÓPA, Bp. 1984. BAINES, J. MÁLEK: • Az ókori Egyiptom atlasza. HELIKON, Bp. 1984. ARNE EGGEBRECHT: • Das ALTE ÄGYPTEN. C. BERTELSMANN, MÜNCHEN. 1984. FRANZ CARL ENDRES, ANNEMARIE SCHIMMEL: • Das Mysterium der Zahl. Eugen DIEDRICHS, Köln 1984. OTTO NEUGEBAUER: • Egzakt tudományok az ókorban. GONDOLAT, Bp. 1984. PALOTÁS LÁSZLÓ (szerk.): • Mérnöki Kézikönyv. MŰSZAKI, Bp. 1984-1985. PLUTARKHOSZ: • Izisz és Oszirisz. EURÓPA, Bp. 1986. SAIN MÁRTON: • Nincs királyi út. GONDOLAT, Bp. 1986. A. ROSALIE DAVID: • Az Egyiptomi Birodalmak. HELIKON, Bp. 1986. ROBERT LAWLOR: • SACRED GEOMETRY. Phylosophy and Practice. THAMES AND HUDSON, 1982.: Reprinted 1987. VITRUVIUS: • Tíz könyv az építészetről. KÉPZŐMŰVÉSZETI, Bp. 1988. CRC: • Handbook of Chemistry and Physics. 68-th edition. : CRC Press Inc. Boca Raton, Florida. HÉRODOTOSZ: • A görög-perzsa háború. ford: Muraközy Gyula. EURÓPA, Bp. 1989. HAJÓS GYÖRGY: • Bevezetés a geometriába. TANKÖNYVKIADÓ, Bp. 1991.
P6.sz. #98.
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
Kóta Béla. 2006.10.16./19:56
ERICH von DÄNIKEN: • A Szfinx szemei. ÉDESVÍZ, Bp. 1992. SZŐKE MIKLÓS ÁRPÁD: • A Nagy Piramis rejtélye. HÁTTÉR, Bp. 1992. B.M.: • Színek, számok és a Nagy Piramis. ÚJ ELIXÍR magazin, Bp. 1993/4 (50.)sz. 33-36. o. SZŐKE MIKLÓS ÁRPÁD: • Földünk egyik rejtélye. A Nagy Piramis. UFÓ magazin, Bp. 1993/10. 32-33. o. DAVID ROBERTS, KENNETH GARRET: • Egypt's Old Kingdom; Age of Pyramids. NATIONAL GEOGRAPHIC, Vol.187, N§.1: 1995. jan. 2-43. o. MARTIN GARDNER: • Kettő négyzetgyöke = 1,414 213 562 373 095... Matematika. TERMÉSZET VILÁGA. III. Különszám. 129.évf. 1998. 93-96. A. R. D. MATHIAS: • Bourbaki tévútjai. Matematika. TERMÉSZET VILÁGA. III. Különszám. 129.évf. 1998. 121-126. ALBERTO SILIOTTI: • Egyiptomi Piramisok. GABO, Bp. 1998. FILEP LÁSZLÓ: • A matematika két nagy válsága. TERMÉSZET VILÁGA. 130.k. 1999. 1. sz. 21-24. TOM SIEGFRIED: • Feynman a túlvilágról a paranormális ellen. TERMÉSZET VILÁGA. 130.k. 1999. 3. sz. 141.
Előadások: 1) 2) 3)
DEÁK SZILVIA: Egyiptom. • Új Akropolisz Filozófiai Iskola: (sorozat 1993-1994.) DR. LUKÁCS BÉLA: Piramisokba rejtett világ? (valóság és számmisztika.) • Budapesti Ismeretterjesztő Társulat. KOSSUTH KLUB1994. ápr. 13. DEÁK SZILVIA: Az egyiptomi nyelv és a hieroglif írás. • Új Akropolisz Filozófiai Iskola. 1998 máj. 15-16.
TV műsorok: 1) 2) 3) 4)
Der Flucht des Pharao.: LOTOS Film. ZDF 1986. • TERRA X serie. 3SAT 1996. máj. 11. 14:30-15:15 SCHÄTZE DER WELT - ERBE DER MENSCHHEIT. • 3SAT (sorozat). JOHN ROMER: Ancient Lives (Egyiptomi hétköznapok) • Central Independent Television for CHANNEL FOUR 1984. SPEKTRUM TV 1998. aug. HANCOCK und R. BAUVAL: Das Geheimnis der Pyramide. • DIE GROSSEN RÄTSEL serie. WDR 1996. 3SAT 2000. ápr. 30.
_._
