Kompaktifikasi dari Teori Superstring dan Teori-M

Indonesian Journal of Physics Kontribusi Fisika Indonesia

Vol. 14 No.4, Oktober 2003

Kompaktifikasi dari Teori Superstring dan Teori-M Freddy P. Zen1), Bobby E. Gunara 1), Bintoro A. Subagyo 1), Zulfi1,2), dan Asep Y. Wardaya1,3) 1) Laboratorium Fisika Teoretik, Departemen Fisika,Institut Teknologi Bandung 2) Jurusan Fisika, Universitas Andalas, Padang 3) Jurusan Fisika, Universitas Diponegoro, Semarang email: [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected] Abstrak Dikaji kompaktifikasi dari lima teori superstring yang konsisten, i.e. tipe IIA, tipe IIB, tipe I, heterotik SO(32) , dan heterotik E8 ⊗ E8 pada manifold kompak berdimensi enam. Secara eksplisit dibahas kompaktifikasi string heterotik pada toroidal, orbifold dan manifold Calabi-Yau. Diperoleh spektrum massa pada energi rendah dari kompaktifikasi tersebut. Dibahas pula enhanced gauge symmetry SO(2N) dan SU(N) akibat kompaktifikasi pada teori M (11-dimensi) yang dual dengan superstring tipe IIA (10-dimensi). Dalam kasus ini, enhanced gauge symmetry didapat pada titik singular di ruang Moduli permukaan K3. Kata knci: Kompaktifikasi, Teori String, Toroidal, Orbifold, Manifold Calabi-Yau. Abstract Compactification of the five consistent supertring theories, i.e. type IIA, type IIB, type I, heterotic SO(32) , and heterotic E8 ⊗ E8 on six dimensional compact manifold are considered. Explicitly we discuss compactification of heterotic string on toroidal, orbifold and Calabi-Yau manifold. It yields a mass spectrum on low energy from those compactification. We also discussed SO(2N) and SU(N) enhanced gauge symmetry as a byproduct of compactification on M theory (11 dimensions) which is dual with type IIA superstring theory (10-dimensions). In this case, we can get enhanced gauge symmetry at singular point in the moduli space on a K3 surface. Keywords: Compactification, String Theory, Toroidal, Orbifold, Calabi-Yau Manifold . anomali medan gauge, maka hanya terdapat dua SO(32) dan kemungkinan grup gauge, yaitu

1. Pendahuluan

E8 ⊗ E8 1-5). Karena dimensi riil ruang-waktu adalah (3+1)dimensi, maka teori superstring harus dikompaktifikasi dari dimensi sepuluh ke dimensi empat. Dalam paper ini dibahas beberapa teknik dalam mengkompaktikasi teori sepuluh dimensi menjadi empat dimensi5-7).

Teori string bosonik memiliki beberapa kelemahan, yaitu adanya tachyon dalam spektrum massanya dan tidak dapat menjelaskan keadaan fermionik. Dengan memasukkan derajat bebas fermionik (atau supersimetri), terdapat lima tipe superstring yang konsisiten dalam dimensi sepuluh, yaitu Tipe IIA dan IIB, tipe I, heterotik E8 ⊗ E8 , dan heterotik SO (32) .1] Teori string tipe IIA dan IIB terbentuk dari string tertutup yaitu, graviton, medan 2-forms, dan medan skalar (atau dilaton) yang memenuhi syarat batas antiperiodic (disebut sektor Neveu-Schwarz (NS)) dan medan-medan yang memenuhi syarat batas periodik (disebut sektor Ramond (R) dimana tipe IIA mengandung medan gauge dan medan 3-forms, sedangkan IIB terdiri atas medan skalar, medan 2- dan 4-forms. String tipe I merupakan gabungan antara string terbuka dan tertutup dimana graviton, medan skalar (NS-NS), dan medan 2-forms (R-R) berasal dari sektor string tertutup, sedangkan medan gauge berasal dari sektor string terbuka. String heterotik terdiri dari graviton, medan 2-forms, medan gauge, dan medan skalar. Agar supaya teori string heterotik ini bebas dari 1]

2. Kompaktifikasi teori string Ide tentang kompaktifikasi ini pertama kali muncul dalam teori medan point particle atas usulan Kaluza-Klein, jauh sebelum teori string ditemukan. Ruang-waktu digambarkan sebagai produk langsung M 4 × K , dengan M4 adalah ruang-waktu Minkowski berdimensi 4 dan K adalah sebuah manifold kompak berdimensi 6 yang secara ekstrim berukuran sangat kecil sehingga tidak tampak dalam kehidupan nyata kita. Meskipun begitu, kompaktifikasi pada teori string menghasilkan konsekuensi lain yang tidak muncul pada skema Kaluza-Klein yang biasa8-11).

Dalam subbab ini kelima teori string tersebut hanya ditinjau sektor bosonnya saja.

157

158

IJP Vol. 14 No. 4, 2003

b−k1 / 2 0

2.1 Kompaktifikasi toroidal Untuk mendapatkan teori string heterotik empat dimensi, kita harus melakukan proses kompaktifikasi terhadap enam dimensi dari 10 buah dimensi string. Kompaktifikasi toroidal ini menghasilkan teori string heterotik empat dimensi tetapi dengan N = 4 supersimetri ruang-waktu, yang bersifat non-chiral, sehingga tidak sesuai dengan keinginan (konsekuensi dari kenyataan bahwa teori chiral hanya akan kita diperoleh jika kita miliki teori dengan N = 1 supersimetri)1,3,8). Secara lokal sebuah torus berbentuk datar (flat), sehingga memungkinkan untuk memiliki metrik yang sama dengan ruang datar. Perbedaannya dengan ruang datar hanyalah dalam imposition periodisitas spasial. Karena itu persamaan gerak string tidak perlu dimodifikasi. Dalam light cone gauge, mode ekspansi untuk semua derajat bebas ruang-waktu transversal X Ri , ψ Ri dan X Li , i = 1,2 diasosiasikan dengan derajat bebas ruang-waktu empat dimensi. Jika sebuah kisi yang mendefinisikan sebuah torus 6-D mempunyai vektor-vektor basis etk , k , t = 3,...,8 dengan panjang

2 , maka untuk koordinat pusat

k

massa string x terdapat identifikasi : x k ≡ x k + 2π

8

∑ wt Rt etk

.

(1)

t =3

( Rt adalah jari-jari dan wt adalah winding number) Graviton untuk gravity 4-D dalam teori yang terkompaktifikasi toroidal adalah keadaan yang dimiliki oleh sektor NS : j (2) b−i 1 / 2 0 R ⊗ α~−1 0 L ; i, j = 1, 2 . Supermultiplet dari gravity 4-D juga mengandung empat buah gravitino : 0 R ⊗ α~−j1 0 L ; j = 1, 2 . (3) Disini, 0

R

adalah keadaan vakum dari spinor SO(8)

sektor Ramond, yang dapat dituliskan sebagai produk langsung dari sebuah spinor transversal ruang-waktu dengan sebuah spinor SO(6) yang mempunyai delapan komponen dalam bentuk 4 + 4 . Namun, karena spinor SO(8) memiliki definite chirality akibat proyeksi GSO, masing-masing chirality ruang-waktu diasosiasikan hanya dengan 4 atau 4 , maka kita dapatkan delapan keadaan spinor yang membentuk empat buah gravitino (spin- 32 ). Lebih lanjut, terdapat enam buah gravifoton (medan vektor tak bermassa yang memiliki spin-1 dalam multiplet supergravity) yang diberikan oleh sisa keadaan sektor NS yang lain, yaitu :

R

j ⊗ α~−1 0

,

L

(4)

dimana k = 3,...,8, j = 1, 2 Kondisi-kondisi di atas (empat buah gravitino spin- 32 dan enam buah gravifoton spin-1 yang hanya dimiliki oleh multiplet N = 4 supergravity) mengindikasikan bahwa teori kita adalah teori yang memiliki N = 4 supersymetry. N ≥2 Teori yang didasarkan pada supersymetry tidak dapat memberikan gambaran fenomenologis yang sesuai dengan dunia nyata kita karena teori ini selalu bersifat non-chiral. Hal ini berarti bahwa kompaktifikasi toroidal terhadap enam dimensi spasial ekstra adalah tidak tepat. Pada bab berikut akan kita lihat bahwa sedikit modifikasi pada kompaktifikasi toroidal, yaitu kompaktifikasi pada orbifold akan mengatasi kesulitan ini. 2.2 Kompaktifikasi String Heterotik pada Orbifold String heterotik E8 ⊗ E8 berdimensi 10, dikompaktifikasi menjadi dimensi empat, dimana M4 (µ = 0, . . . ,3) adalah dimensi ruang-waktu dan K (m = 4, . . . , 9) adalah dimensi yang dikompaktifikasi pada torus 6 dimensi seperti pada sebuah kisi4). Karena kekekalan supersimetri world-sheet maka twist harus kommut dengan supercurrent, sehingga aksi fermionfermion right-moving dan current algebra (dengan sebuah rotasi gauge γ) adalah ψ~ m → θ mnψ~ m , λ A → γ AB λ B , (5) Sebuah teori string yang konsisten adalah terdapatnya sebuah simetri yang menghubungkan fermion dengan boson. Fakta menunjukkan terdapat sebuah alasan kuat bahwa suatu supersimetri d = 4 tetap bertahan dan secara spontanitas rusak didekat skala lemah yaitu skala energi yang dapat dijangkau oleh akselerator partikel. Kondisi tersebut terjadi jika aljabar supersimetri d = 4 harus mempunyai N = 1 karena fermion pada model standar adalah chiral. Untuk kondisi kompaktifikasi orbifold yang mempunyai sebuah supersimetri N = 1 yang tidak rusak maka grup titik ZN beraksi pada supersimetri sebagai : Qs → exp(is.φ)Qs

(6)

,

dimana exp(is.φ ) adalah rotasi., dengan (s2, s3, s4) = tidak rusak diperoleh ϕ2 + berotasi tersebut terletak transformasi

representasi spinor dari ±1/2. Syarat supersimetri ϕ3 - ϕ4 = 0. State yang pada SU(3), dibawah

SO(9,1) → SO(3,1) ⊗ SO(6 ) → SO(3,1) ⊗ SU (3) , (7) dengan dekomposisi 16 adalah

( )

16 → (2,4 ) + 2, 4

( )

→ (2,3) + (2,1) + 2, 3 + (2,1)

.

(8)

IJP Vol. 14 No. 3, 2003

159

Untuk kasus orbifold Z3 dari torus, kisi Λ digenerasikan oleh enam translasi

ti : Zi → Z i + Ri

,

ui : Z i → Z i + αRi ,

(9)

dimana, α = exp(2πi/3) . Bila Ri = α`1/2 adalah jarak antar kisi yang merupakan akar kisi dari SU(3), sehingga Λ adalah akar kisi dari SU(3) ⊗ SU(3) ⊗ SU(3). Hal ini invarian dibawah rotasi lipat enam yang independen dari masing-masing kisi SU(3). Untuk orbifold Z3, grup titik terdiri dari sebuah rotasi lipat tiga yang simultan dari semua tiga kisi, grup Z3 {1, r, r2} yang digenerasikan oleh (10) r : Z2 → αZ2, Z3 → αZ3, Z4→ α-2Z4 . Sekarang pandang sektor-sektor twisted. Terdapat 27 kelas-kelas ekivalensi dengan rotasi r, dihubungkan terhadap elemen-elemen , ni ∈ {0, 1, 2} ,

h = rt2n2 t3n3 t4n4

(11)

inversnya memberikan 27 kelas dengan rotasi r2. Kelas-kelas dikaitkan satu satu dengan titik-titik tetap, yaitu pada exp(iπ / 6 ) Zi = (n2 R2 , n3 R3 , n4 R4 ) , (12) 31 / 2 yang semuanya dihubungkan dengan translasi dan memberikan 27 salinan dari spektrum yang sama. Sebuah string bosonik empat dimensi mempunyai aksi : S= −

1

2 1/ 2 ⎡ − 4Φ 4 µ ∫ d x (− G ) ⎢ R − 2∂ µΦ 4∂ Φ 4 − 2 e 4 H 3

1

2k42

⎣

(

)

1 ij kl ⎤ G G ∂ µ Gil ∂ µ G jk + ∂ µ Gil ∂ µ G jk ⎥ , 2 ⎦

(13)

kita definisikan dilaton empat dimensi

Φ 4 = Φ − 14 det G mn .

,

(14)

dengan sebuah transformasi Weyl terhadap metrik Einstein empat dimensi G µν

Einstein

= e −2Φ 4 G µν .

Dengan membuat perubahan tensor antisimetri terhadap sebuah skalar dan menambahkan medan gauge empat dimensi, lalu disertai bentuk tambahan seperti pada kasus 10 dimensi yaitu : 1 2k 42

( )

α/

2 1/ 2 − 2Φ 4 ∫ d x (− G ) 8 e 4 Trv F2

(15)

dan diperoleh aksi untuk bosonik murni berikut

sebagai

⎧ 2∂ µ φ *∂ µ φ 1 ij kl S = 2 ∫ d x (− G ) ⎨R − − G G ∂ µ Til ∂ µ T jk * 2 2 2k 4 ⎪⎩ φ +φ Tr ∂A ∂A* ⎫⎪ α / − 2Φ 4 α/ 2 e Trv F2 − a Trv (F2 ∧ F2 ) − 2α / v i *i ⎬ .., − 8 4 Gii + Gi i ⎪⎭ 1

4

1/ 2 ⎪

( )

(

)

(

)

(16)

φ = e −2Φ 4 + ia , Tij = Gij + Bij .

dimana

Bila

kita

bandingkan (16) dengan Lagrangian N=1 supergravity1) diperoleh bahwa gauge coupling f ab bersifat holomorfik f ab =

δ ab g 42

φ ,

dan Kaehler potensialnya adalah

(

)

[

(

k 42 K = − ln φ + φ * − ln det Tij + Ti *j − α / Trv Ai A*j

)]

.

(17) Sekarang diperoleh teori string heterotik empat dimensi yang mempunyai N = 1 supersimmetri seperti yang diharapkan. Berikut ini gambar skema pembentukan orbifold.

i

i

0

1

0

1

Gambar 1. Proses pembentukan orbifold dari Torus 2-D. Torus T2 identifikasi via P(z) orbifold

T2 P( z )

.

2.3 Kompaktifikasi pada Calabi-Yau Manifold Selain kompaktifikasi pada orbifold, teori string heterotik dapat juga di kompaktifikasi pada suatu manifold dimana vacua berdimensi empat dari heterotic string SO(32) dan E8 × E8 memiliki N = 1 supersym-metry1,11-13). Dalam hal ini manifold kompak tersebut adalah Calabi-Yau Manifold., yaitu Kähler manifold dengan first Chern class c1 = 0 (lihat apendiks). Operator gelombang yang bermacam-macam terpisah kedalam bagian noncompact dan bagian internal, contohnya ∇ M ∇ M = ∂ µ ∂ µ + ∇ m∇ m

ΓM ∇ M = Γµ ∂ µ + Γm∇ m . Bagian dari indeks romawi bergerak dari 0, … , 3 dan indeks latin dari 4, … , 9 yang merupakan bagian yang terkompaktifikasi Indeks sepuluh dimensi terpisah menjadi M → µ , i, i . Adjointnya terdekomposisi oleh E8 × E8 → SU (3) × E 6 × E8

,

(18)

menjadi a : (1,78,1 ) + (1,1,248 ) ix : (3,27,1) , i x : ( 3,27,1) , ij : (8,1,1)

a melambangkan adjoint dari E6 × E8 , dan i, j 3 dari SU (3) .

,

(19)

x 27 dari E 6

160

IJP Vol. 14 No. 4, 2003

Kita melambangkan komponen yang bervariasi dari fluktuasi gauge sebagai a M , X dengan X

axion chirial superfields S, gauge boson dan gauginos dalam adjoint dari E 6 × E 8 , h 2,1 chirial superfield

sembarang komponen gauge diatas. Modus massles dari bentuk a µ , X merupakan unbroken gauge field

dalam 27 dari E 6 , h1,1 chirial superfield dalam 27

dalam dimensi empat. Hal itu muncul dari simetri gauge yang komut dengan medan background. Kemudian karena pada SU (3) , simetri gauge empatdimensi adalah E6 × E8 , bermakna X = a . Dalam bentuk operator gelombang, bagian internal yang merupakan skalar bekerja pada aµ , X Laplacian ∇ m ∇ m dengan turunan gauge-covariant serta memiliki modus nol hanya untuk medan yang netral terhadap medan gauge background. Sekarang kita tinjau medan supergravitasi bosonik, g MN , bMN , dan φ . Komponen-komponen dengan indeks non kompact, g µν , bµν , dan φ , masing-masing memiliki zero mode tunggal (fungsi konstan) memberikan medan yang berhubungan dalam empat dimensi. Komponen g µi dan bµi adalah (1,0)-form dalam ruang internal dan tidak memiliki zero modes karena h1,0 = 0 . Secara khusus, mode massles dari g µi akan menjadi gauge boson Kaluza-Klein, yang mana berkorespondensi satu-satu dengan simetri kontinu dari ruang internal. Dapat ditunjukkan bahwa sebuah Calabi-Yau manifold tidak memiliki simetri kotinu. Komponen g ij berkaitan dengan perubahan dalam struktur kompleks, karena sebuah perubahan koordinat dibutuhkan untuk membawa metrik kembali ke bentuk hermitian. Medan ini simetrik dan bukan (p,q)-form, tetapi dengan trik yang sama untuk ail m x dapat kita bentuk g il m = g ij G jk Ω k l m

.

(20)

Operator gelombang adalah ∆d dan number dari struktur kompleks moduli adalah h 2,1 . Hal itu medan kompleks, dengan gi j sebagai konjugatnya. Medan bij adalah sebuah (2,0)-form dan memiliki h 2,0 = 0 zero mode. Fluktuasi g ij adalah sebuah (1,1)-form, dan

operator gelombangnya adalah ∆ d . Kemudian hal tersebut memberikan moduli real h

1,1

. Medan bi j

juga sebuah (1,1)-form dan memberikan moduli real h1,1 . Kombinasinya untuk membentuk medan kompleks h1,1 . Dengan memanfaatkan Hodge diamond untuk Calabi-Yau 3-fold, diturunkan massles-nya adalah d =4, N =1 supergravitasi: G µν dan gravitino, dilaton-

dari E 6 , h 2,1 chirial superfield untuk struktur moduli chirial superfield untuk Kähler kompleks, h moduli, dan beberapa jumlah untuk singlet E 6 dari H 1 (End T) . 1,1

3. Dualitas

Revolusi dari teori string pada 1984 –1985 telah melahirkan lima teori superstring yang konsisten. Revolusi berikutnya melahirkan sifat-sifat dualitas antara kelima teori string yang ada dan teori sebelas dimensi yang dikenal dengan teori – M. 3.1 Dualitas T

Kompaktifikasi toroidal pada mulanya mempunyai T dualitas O(22, 6, Z). Subgrup dari T dualitas yang kommut dengan twist Z3 akan bertahan sebagai sebuah T dualitas dari teori orbifold dengan subgrupnya adalah SU(3, 3, Z)9). Pada kasus khusus Tij diagonal ( Tij = Tiδ ij ), potensial Kähler menjadi

(

)

(

)

k 42 K = − ln φ + φ * − ∑ ln Ti + Ti* + α / ∑ i

i

(

Trv Ai A*j

)

.

Ti + Ti*

(21) Untuk bentuk ini kisi Tij

adalah sebuah

perkalian tiga kisi dua dimensi. Terdapat sebuah subgrup T dualitas PSL(2,Z) yang beraksi sebagai Ti →

a i Ti − ibi , ic i Ti + d i

a i d i − bi c i = 1

.

(22)

Ruang moduli untwisted adalah subruang dari ruang moduli toroidal yang invariant bagian kiri oleh Z3. Untuk moduli Tij adalah SU (3) ⊗ SU (3) ⊗ SU (3,3, Z ) SU (1,1)

.

(23)

Ruang moduli penuh untuk medan-medan untwisted adalah perkalian ruang ini dengan ruang moduli dilaton axion U (1) ⊗ PSL ( 2, Z ) . (24) SU (1,1) 4. Perluasan Simetri Gauge dalam Teori – M dan Teori String

Akibat dari kompaktifikasi pada teori superstring dan teori-M, muncul perluasan simetri yang akan dijelaskan berikut ini3). 4.1 Perluasan simetri Gauge SU(N)

Kompaktifikasi Teori-M (11 dimensional) pada sebuah lingkaran S 1 dual dengan teori string tipe IIA

IJP Vol. 14 No. 3, 2003

161

(10 dimensional). Kompaktifikasi ini menghasilkan solusi monopol Kaluza-Klein dalam teori-M yang digambarkan dengan persamaan metrik :

ds 2 = −dt 2 +

10

2 , ∑ dy n dy n + dsTN

(25)

n =5

dengan y n , n = 5,...,10 menyatakan koordinat worldvolume pada sebuah 6-brane, dan dsTN adalah metrik dari ruang Euclidean Taub-NUT :

(

2 dsTN = U −1 dx 4 + ω ⋅ dr

)

2

+ Udr 2

,

(26)

koordinat yang dengan x menyatakan terkompaktifikasi pada lingkaran (periodik, dengan periodisitas 16πm dan jari-jari 16πmU −1 / 2 ) dan 4

r = ( x1 , x 2 , x 3 ) merupakan koordinat spasial tegak lurus terhadap brane. Semua titik-titik perpotongan dapat disusun dalam bentuk matriks dengan dimensi ( N − 1) × ( N − 1) sebagai berikut : ⎡ 2 − 1 0 0 L 0 0⎤ ⎢− 1 2 − 1 0 L 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 − 1 2 − 1 L 0 0⎥ ⎥ ⎢ I =⎢ M M M M L M M⎥ ⎢ M M M M L M M⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 L 2 − 1⎥ ⎢ 0 0 0 0 L − 1 2⎥ ⎦ ⎣

,

(27)

yang secara jelas dapat dilihat sebagai matriks Cartan dari aljabar AN −1 . Ketika semua titik ri saling berdekatan satu sama lain, maka luas dari S ij akan menuju nol, dan kita dapatkan sebuah singularitas AN −1 . Untuk teori – M, dengan latar belakang seperti ini, dengan massa membrane memenuhi

mij = 16πmTM ri − r j

maka

singularitas ini memberikan tambahan keadaan takbermassa (massless states), sehingga menghasilkan perluasan simetri gauge SU(N). Karena identifikasi teori-M yang dikompaktifikasi pada S 1 dengan tipe IIA, membrane yang tergulung pada S 1 berkorespondensi dengan tipe IIA (elementary), yang dibentangkan dari ri ke r j , yaitu berawal dari D6-brane ke-i dan berakhir pada D6-brane ke-j. Karena tension TS dari string tipe IIA diberikan oleh 16πmTM - produk dari membrane tension dengan jari-jari dari koordinat kompak (jauh dari D-brane) – kita lihat bahwa rumus massa dapat ditulis menjadi : mij = TS ri − r j

,

(28)

yang tepat seperti yang diharapkan untuk string terbuka yang dibentangkan antara dua buah D6-brane.

Ketika kedua D6-brane berdekatan satu sama lain, maka string terbuka ini menjadi tak-bermassa (massless), yang memberikan pembesaran simetri gauge SU(N). Hal ini menunjukkan hubungan antara mekanisme perluasan simetri gauge dalam teori-M di dekat singularitas tipe AN −1 dan teori string tipe IIA dari N buah D6-brane yang saling berimpit. 4.2 Perluasan Simetri Gauge SO(2N).

Dalam teori string tipe IIA, perluasan simetri gauge SO(2N) akan diperoleh ketika N buah D-brane berimpit dengan bidang orientifold10). Kita akan berkonsentrasi pada situasi dimana kita mempunyai sebuah sistem yang terdiri dari N buah D6-brane yang berimpit dengan bidang orientifold 6-dimensional (orientifold 6-plane). Dalam teori string tipe IIA dapat kita definisikan dua buah transformasi Z2 berikut : (−1) FL yang akan mengubah tanda dari semua keadaan sector Ramond moda kiri, dan Ω yang merupakan transformasi paritas pada world-sheet. Jika kita pandang tipe IIA dalam 10 dimensi dan kita ambil quotient dari teori ini melalui transformasi Z2 berbentuk (−1) FL ⋅ Ω ⋅ І3, dengan І3 menunjukkan sifat pembalikan (reserval) tanda terhadap tiga dari sembilan buah dimensi spasial, maka diperoleh bidang enam dimensi yang tidak berubah terhadap transformasi ini. Bidang ini dikenal sebagai bidang 6orientifol. Atiyah dan Hitchin telah membuat representasi dari bidang orientifol ini dalam teori-M (sehingga dikenal sebagai ruang Atiyah-Hitchin). Dari jauh ruang ini terlihat seperti ( R 3 × S 1 )/І4, dengan І4 menunjukkan sifat pembalikan tanda dari keempat koordinat yang dilabelkan oleh R 3 dan S 1. Dengan menggunakan korespondensi antara medan-medan dalam teori-M yang dikompaktifikasi pada S 1 dengan teori string tipe IIA, maka kita lihat bahwa transformasi І4 dalam teori-M berkorespondensi dengan transformasi (−1) FL ⋅ Ω ⋅ І3 dalam teori string tipe IIA. Sekarang akan kita konstruksikan latar belakang bagi teori-M yang berkorespondensi dengan N buah D6-brane dari tipe IIA dalam kehadiran bidang orientifol. Sayangnya tidak dapat diperoleh solusi eksak, sehingga hanya ada solusi aproksimasi yang perbedaannya dengan solusi eksak adalah dalam bentuk terdapatnya suku-suku yang menuju nol secara eksponensial pada jarak yang jauh dari bidang orientifol. Solusi ini digambarkan oleh metrik : r r2 r ds 2 ≅ V −1 dx 4 + Ω ⋅ dr + Vdr 2 , (29)

(

)

dan diidentifikasi oleh transformasi : r r ( r → − r, x → − x4 ) .

(30)

162

IJP Vol. 14 No. 4, 2003

V (r ) invarian Karena terhadap transformasi r r r r ( r → − r ), dan Ω ⋅ dr berubah tanda dibawah transformasi ini, maka metrik diatas invarian terhadap r r transformasi ( r → − r ). Perlu dicatat bahwa metrik yang diberikan v singular pada r = 0 dan mendekati metrik yang diberikan oleh berikutnya. Singularitas ini dapat dibuang dengan cara mengganti metrik di dekat v r = 0 dengan metrik Atiyah-Hitchin yang secara komplit bersifat non-singular (setelah terlebih dahulu r r kita mod-out dengan transformasi ( r → − r ) yang bekerja seperti transformasi I 1 ). r r Pada daerah yang dekat dengan titik r = ri atau r r bayangannya r = −ri , untuk 1 ≤ i ≤ N , metrik ini memberikan hasil yang bersesuaian dengan solusi sebuah monopol Kaluza-Klein, dan karena itu metrik ini dapat merepresentasikan sebuah D6-brane dari teori string tipe IIA. akan Matriks baru berdimensi N × N berbentuk : ⎡ 2 − 1 0 0 L 0 0 0⎤ ⎢ − 1 2 − 1 0 L 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 − 1 2 − 1 L 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ M M M M L M M M⎥ , I =⎢ ⎢ M M M M L M M M⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 L 2 − 1 − 1⎥ ⎢ 0 0 0 0 L − 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 0 L − 1 0 2⎥⎦

(31)

ij

sehingga kita dapatkan singularitas D N . Teori-M yang memiliki latar belakang seperti ini akan memperoleh tambahan keadaan tak-bermassa yang akan menghasilkan perluasan simetri gauge SO(2N). Sekarang kita lihat fenomena ini dari titik pandang teori string tipe IIA. Seperti pada kasus AN −1 , sebuah membrane yang tergulung pada S ( Sˆ ) dalam teori-M berkorespondensi dengan ij

ij

teori string tipe IIA yang direntangkan antara dua r r buah D6-brane yang diletakkan pada titik ri dan r j r (atau bayangannya pada − r j ). Rumus massa yang telah diberikan akan mereproduksi rumus massa untuk string terbuka yang direntangkan antara D6-brane (dan bayangannya). Jadi dilihat dari titik pandang teori string tipe IIA, kemunculan tambahan keadaan takbermassa akan memperluas simetri gauge menjadi SO(2N) ketika D6-brane berimpit dengan bidang 6orientifold dapat di re-interpretasikan sebagai keadaan ketika string-string terbuka yang terletak antara D6-

bayangannya

menjadi

tak-bermassa

5. Kesimpulan

Telah dibahas beberapa teknik kompaktifikasi dari teori string pada toroidal, orbifold atau menggunakan Calabi-Yau manifold. Konsekuensi lain adalah adanya sifat dualitas yang menunjukkan bahwa kelima teori string sebagai sebuah teori tunggal, yaitu teori M. Pada titik-titik tertentu dari ruang moduli yang dimiliki oleh sebuah teori string atau teori M yang terkompaktifikasi pada suatu manifold tertentu simetri gaugenya mengalami perluasan. String boson pada S 1 menjadi U (1) → SU (2) pada jari-jari self dual R = 1 2R ,

string

boson

pada

T4

menjadi

U (1) 24 → E8 × E8 pada akar kisi yang self dual dari

T4, U (1)

24

string tipe II A pada K3 menjadi → E8 × E6 pada singularitas orbifold dari K3,

sedangkan

U (1)

dimana baris dan kolom terakhir berhubungan dengan Sˆ N −1, N . Matriks ini dapat dilihat sebagai matriks r Cartan dari aljabar D N . Ketika ri mendekati pusat lingkaran, maka luas dari Sˆ dan S akan menuju nol, ij

brane dan (massless).

N

teori

M

→ SU ( N ) dan U (1)

pada N

S1

menjadi

→ SO(2 N ) .

Apendiks A Beberapa landasan Geometri differensial

Definisi cohomology Dolbeault H ∂p ,q ( K ) =

∂ − closed ( p, q ) − form pada K . ∂ − exact ( p, q ) − form pada K (A.1)

Dimensi dari H ∂p, q ( K ) didefinisikan sebagai Hodge number h p ,q .

Kemudian cohomology dari potensial Kähler

H ∂p, q ( K ) = H ∂p,q ( K ) = H p, q ( K ) ,

(A.2)

adalah sama. Untuk sembarang Kähler manifold dengan c1 = 0 terdapat sebuah metrik Ricci-flat unik dengan sebuah struktur kompleks yang diberikan dan Kähler class. Penghilangan Chern class pertama, c1 = 0 , berarti bahwa ℜ1,1 adalah eksak. Sebuah Kähler manifold dengan c1 = 0 disebut sebagai Calabi-Yau Manifold13-16). Beberapa sifat penting dari Calabi-Yau 3-fold digambarkan dalam grup cohomology-nya6). Grup De Rham cohomology definisikan sebagai ruang hasil bagi dari modulo exact exterior form tertutup. Yaitu, elemen dari H p (K ) yang merupaan class dari exterior p-form ω sehingga

IJP Vol. 14 No. 3, 2003

dω = 0

, ω ≈ ω ' = ω + dα

163

.

(A.3)

Pada sebuah manifold kompleks, exterior derivative dapat dipecah dalam bagian holomorphic dan bagian anti-holomorphic, d = ∂ + ∂ ; juga sembarang exterior p-form dapat dapat dipecah kedalam ( p, q ) − form . ∂ disebut sebagai Dolbeault Cohomology grup

H ∂p ,q ( K )

2.

3.

4.

yang didefinisikan analogi dengan De

Rham cohomology. Dengan menggunakan dualitas Hodge star, konjugasi kompleks, dualitas holomorfik serta meninjau Calabi-Yau manifold dalam dimensi tiga p+q >6, kompleks, sehingga b p ,q ≡ 0 jika penggunaan dari hubungan diatas mereduksi jumlah dari hodge number independen :

(A.4)

5.

6.

7.

8. 9.

ω bertransformasi sebagai 3 ⊕ 3* oleh holonomy SU (3) dan sehingga bertransformasi secara non-trivial oleh parallel transport dan dan tidak dapat menjadi konstan secara kovarian. Oleh karena itu, b1 = 0 dan b1,0 = b0,1 = 0 dan kita sudah menurunkan form general yang disebut Hodge diamond untuk Calabi-Yau 3-fold :

10. 11.

12.

13. (A.5)

14.

15. 16. Daftar pustaka

1.

Polchinski, J., String Theory, Vol I danVol II. Cambridge, Cambridge University Press, 1988.

Hassan, S. F., Introductory School on String Theory, Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, 1988. Zulfi, Perluasan Simetri Gauge pada Teori String dan Teori –M. Tesis magister. Departemen Fisika, Institut Teknologi Bandung, 2003. Wardaya, A. Y., Kompaktifikasi Teori String Pada Sebuah Orbifold. Tesis Magister. Departemen Fisika, Institut Teknologi Bandung, 2003. Subagyo, B. A., Kompaktifikasi pada Calabi-Yau Manifold. Tugas Akhir S1. Departemen Fisika, Institut Teknologi Bandung, 2002. Zen, F. P., Compactification Problem in Superstring Theory and Duality Symmetries. Bandung, Seminar sehari FMIPA ITB, 1998. F.P. Zen, B.E. Gunara, dan A. Wardaya, String Heterotik pada Orbifold T6/ Z3 , akan diterbitkan di KFI. Kaku, M., Introduction to Superstring and MTheory. New York, Springer-Verlag, 1999. Green, M. B., Schwarz, J. H., dan Witten, E., Superstring Theory. Cambridge, Cambridge University Press., 1987. Townsend, P.K., Four Lectures on M-Theory. hep-th/9612121, 1996 Candelas, P., dan de la Ossa, X. C., Moduli Space of Calabi-Yau Manifolds, Nuclear Physics, B355, 455, (1991. Candelas, P., Horowitz, G. T., Strominger, A., dan Witten, E., Vacuum Configuration for Superstring, Nuclear Physics, B258,46, (1985). Chern, S. S., Chen, W. H., dan Lam, K. S., Lectures on Differential Geometry, Singgapore, World Scientific, 1997. Eguchi, T., Gilkey, P.B., dan Hanson, A. J., Gravitation, gauge Theories and Differential Geometry, Phys. Rep., C66, 213-393, (1980). Hübsch, T., Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists, Singapore, World Scientific, 1992. Nakahara, M., Geometry, Topology and Physics, Bristol, Institut of Physics Publishing, 1996.