1 / 23
KOMBINATORIKA Příklad 1 Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. Způsob řešení a)
Kombinatorické pravidlo součinu: Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n2 způsoby atd. až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby, je roven n1 n2 nk . Způsob řešení b)
Kombinatorické pravidlo součtu: Jsou-li A1, A2, … , An konečné množiny, které mají po řadě p1, p2, …, pn prvků, a jsou-li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny A1 A2 … An je roven p1 + p2 + …+ pn. Příklad 2 Určete počet všech čtyřciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti cifer se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. a)
Kolik z těchto čísel je větších než 9000?
b)
Kolik z těchto čísel je menších než 3000?
Příklad 3 Z Andělského údolí do Bílínského lesa vedou čtyři cesty. Z Bílínského lesa vedou tři různé cesty dál do Cikánské rokle. Kolika různými způsoby lze dojít z Andělského lesa do Cikánské rokle a zpět, pokud… a) neklademe žádné požadavky? b)
právě jedna cesta je použita dvakrát?
c)
žádná cesta není použita dvakrát?
d)
právě dvě cesty jsou použity dvakrát?
A
B
C
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
2 / 23
alespoň jedna cesta je použita dvakrát?
e)
Příklad 4 V městské knihovně v oddělení zoologie jsou všechny svazky knih očíslovány čtyřcifernými čísly tvořenými ciframi 1, 2, 3, 4 a 5 (tyto cifry se mohou v čísle opakovat). Určete počet knih, které mají svoje registrační číslo dělitelné … a) pěti. b)
dvěma.
c)
čtyřmi.
Pomocí kombinatorických pravidel vyřešte následující úlohy: 1) Jana má 5 různě barevných triček a 3 nestejné sukně. Kolika způsoby si může vzít tričko a sukni, aby pokaždé vpadala jinak? 2)
Do tanečních přišlo 32 chlapců a 34 dívek. Kolik různých tanečních párů mohou vytvořit?
3)
V restauraci mají na jídelní lísku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, 4 druhy moučníků. K pití si lze objednat kávu, limonádu nebo džus. Kolika způsoby si host může vybrat oběd, za předpokladu, že bude jíst…
4)
a)
jen polévku a hlavní jídlo.
b)
polévku, hlavní jídlo a dále si objedná nápoj.
c)
polévku, hlavní jídlo, moučník a nápoj.
Ve třídě chodí 13 žáků na francouzštinu a 14 žáků na němčinu. Každý žák navštěvuje právě jeden z uvedených předmětů. Kolika způsoby lze vybrat dvojici na týdenní službu tak, aby měl službu jeden žák z oddělení němčiny a jeden žák z oddělení francouzštiny? Kolik let by žáci museli chodit do školy, aby se všechny tyto dvojice vystřídaly? Počítejte, že školní rok má 33 vyučovacích týdnů.
Řešení: 1) 15
2) 1 088
3) a) 21 b) 63 c) 252
4) 182 krát; 5,5 let
Příklad 5 Při vykopávkách se našla ohnivzdorná skříň. Našel se i klíč, ale k otevření bylo potřeba znát heslo, na které bylo potřeba nastavit pět kotoučů s čísly 0 až 9. Heslo se tedy skládalo z pěti číslic, avšak nikdo nevěděl z kterých. Nezbylo nic jiného, než vyzkoušet všechny možnosti. Kolik jich bylo?
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
3 / 23
K-členná variace s opakováním z n prvků (popř. Variace k-té třídy z n s opakováním) je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. K-člennou variaci s opakováním z n prvků označujeme V´(k,n) (popř. V´k (n)) a její počet je nk. Příklad 6 O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval pouze to, že má předvolbu 607 a v další šestici se žádná cifra neopakuje. Určete, kolik telefonních čísel připadá v úvahu.
607
K-členná variace bez opakování z n prvků (popř. Variace k-té třídy z n) je uspořádaná ktice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. K-člennou variaci bez opakování z n prvků označujeme V(k, n), (popř. Vk (n)) a její počet je n n 1 n 2n k 1 . Příklad 7 Napište všechny dvoučlenné variace s opakováním i bez opakování z prvků a, b, c. Zkontrolujte počet vypsaných variací výpočtem. V(2;
)=
V´(2; ) =
Příklad 8 Určete počet:
V 3,5= V 5,10 = V 3, n = V k ,8 =
V 3,5=
V 5,3 =
V 5,10 =
V 10,5 =
V 3, n =
V n,3 =
V k ,8=
V 8, k =
Příklad 9 Kolika způsoby můžeme mezi 8 sportovců rozdělit zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili? Příklad 10 Státní poznávací značka byla tvaru uspořádané sedmice znaků. První tři znaky tvořila písmena a další čtyři znaky číslice. Kolik poznávacích značek bylo teoreticky k dispozici, mohlo-li být použito 26 písmen a 10 číslic?
Příklad 11 K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Kolik různých vlajek lze z těchto látek sestrojit?
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika b)
Kolik z nich má modrý pruh?
c)
Kolik jich má modrý pruh uprostřed?
d)
Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?
4 / 23
Příklad 12 Zástupce ředitele školy sestavuje rozvrh hodin. a)
Kolika způsoby lze sestavit rozvrh hodin na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanáct různých předmětů (každý nejvýše jednu hodinu denně) a tento den se vyučuje šest hodin?
b)
Kolika způsoby lze sestavit rozvrh hodin, pokud první hodinu je vyučována matematika?
c)
Kolika způsoby lze sestavit rozvrh hodin, pokud se určitě vyučuje fyzika?
Příklad 13 Určete počet prvků, z nichž lze utvořit a) 240 dvoučlenných variací bez opakování
b)
256 dvoučlenných variací s opakováním.
Příklad 14 Změní-li se počet prvků o 2, zvětší se počet tříčlenných variací a) desetkrát. Určete počet prvků.
b)
o 150. Určete počet prvků.
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
5 / 23
Vyřešte následující úlohy: 1. Kolika způsoby lze rozdělit 10 různě velkých banánů mezi 18 opic, jestliže žádná opice neobdrží více než jeden z rozdělovaných plodů? 2. Dvojčata Lenka a Lucka mají ve skříni dohromady 6 sukní, 10 halenek a 8 druhů korálků. Kolika způsoby se mohou připravit do divadla, předpokládáme-li, že každý si obleče halenku, sukni a vezme jedny korále? 3. Kolik různých telefonních stanic lze zapojit, jsou-li všechna telefonní čísla 6ti ciferná a nepřipouštíme-li umístění 0 na prvním místě. 4. Mějme znaky ♠ a ♪ . Lze zakódovat českou abecedu sestavením těchto znaků do skupin o jednom až čtyřech prvcích? 5. Máme přirozená čísla 0 – 999 999. Určete, zda je více těch čísel, která mají ve svém zápisu 1 nebo těch, která v číselném zápisu 1 nemají. 6. Kolika způsoby můžeme vytvořit ve vaší třídě skupinku 4 žáků tak, aby ve skupině byli 2 chlapci a 2 dívky, přičemž 1 chlapec bude mít funkci zástupce této skupiny a 1 dívka bude mluvčí skupiny? 7. Ve studentském pokoji žijí 4 studenti. Mají 4 šálky, 5 talířků a 6 čajových lžiček (všechny šálky, talířky a lžičky se navzájem odlišují). Kolika způsoby mohou prostřít stůl k pití čaje; každý dostává 1 šálek, 1 talířek a 1 lžičku. 8. Kolik různých kódů délky šest můžeme vytvořit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, jestliže kód nesmí začínat čtyřkou a na posledním místě může být z uvedených číslic pouze číslice lichá? 9. Kolik lichých čísel existuje mezi 1 000 a 9 999 (včetně), přičemž všechny cifry v čísle jsou navzájem různé? Kolik z nich je dělitelných pěti? 10. Kolik sudých čísel existuje mezi 1 000 a 9 999 (včetně), přičemž všechny cifry v čísle se mohou opakovat? Kolik z nich je dělitelných deseti? 11. Kolik členů bylo registrováno v klubu cyklistů, když víme, že předseda použil na registraci všechny 3ciferné kódy neobsahující žádnou osmičku? 12. Kolik 4znakových kódů můžeme vytvořit ze znaků & # @ * ^ $ %, jestliže znak * je vždy použit, ale smí stát jenom na začátku nebo na konci, znak $ se nepoužije ani jednou a znaky se mohou opakovat? Řešení: 1) 158 789 030 400
2) 151 200
5) 1 nemá
6) V(2, n)V(2, 7) 172 800
3) 9.105
4) ne pro abecedu s háčkama
ano bez háčků a čárek 531 441; 1 má 468 559 9) 2 240, 448
PRACOVNÍ LISTY
8) 5 000
m) 10) 4 500, 900 11) 729
12) 275
Kombinatorika
6 / 23
Příklad 15 V osudí je deset očíslovaných koulí. Kolik různých tahů může nastat, pokud jsou taženy tři koule a záleží na jejich pořadí?
a)
Kolik různých tahů může nastat, pokud je vytaženo všech deset koulí?
b)
Po tahu se koule do osudí nevrací. Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou. Značíme P(n). Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků. Počet
permutací
z
n
prvků
je
P(n) n n 1 n 22 1 n! , kde n! nazveme n faktoriál.
Pro úplnost ještě dodefinujeme 0! = 1. Příklad 16 Vypočítej P(3)=
P(n+1)=
P(4)=
P(n-1)=
P(n)=
P(n-4)=
Příklad 17 Zapiš 12! Pomocí a)
11!
b)
9!
Příklad 18
V (k , n) Dokažte, že platí:
n! n k !
Příklad 19 Učitel dějepisu se rozhodl, že dnes vyzkouší studenty: Adama, Blaženu, Cyrila a Danu. Kolik možných způsobů, v jakém pořadí žáky vyvolá, vyučující má?
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
7 / 23
Příklad 20 Zjednodušte: a)
b)
c)
d)
7! 4!
11 ! 10 ! 9 !
n 2 ! n!
n 1 ! n 1 !
e)
1 3 n2 4 n ! n 1 ! n 2 !
f)
n2 9 6 1 n 3 ! n 2 ! n 1 !
Příklad 21 Kolika způsoby se mohou tři děvčata a tři chlapci rozsadit do lavice se šesti místy, pokud … a)
Petra chce sedět na svém oblíbeném místě u dveří?
b)
Pavlína chce sedět na kraji?
c)
Honza chce sedět hned vlevo od Lenky?
d)
Lukáš potřebuje opisovat od Lenky, musí sedět tedy vedle ní?
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
8 / 23
Příklad 22 Určete počet všech šestimístných … a)
kódů,
b)
přirozených čísel,
které obsahují všechny cifry 0, 2, 4, 6, 8, 9. Příklad 23 V nádražní hale před pokladnami se sešlo sedm členek pěveckého kroužku a tři chlapci z rokové kapely. Zjistěte, kolika způsoby se mohou postavit do fronty, mají-li … a)
chlapci stát za sebou?
b)
dívky i chlapci stát za sebou?
Příklad 24 Řeš rovnice s neznámou n N a) 5 n 1 ! n 2 !
b)
n 2 ! n ! 24 n 1 ! n 1 !
Příklad 25 Zástupce ředitele školy připravuje rozvrh třídy, která má mít v určitý den tyto předměty: český jazyk, anglický jazyk, matematiku, seminář z matematiky, fyziku a tělesnou výchovu. Určete počet všech možných rozvrhů třídy pro tento den, které se liší pořadím uvedených předmětů, jestliže každý předmět se vyučuje právě jednu hodinu a přitom… a) pořadí předmětů může být libovolné. b)
tělesná výchova je šestou vyučovací hodinu.
c)
seminář z matematiky nesmí být před matematikou.
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
9 / 23
d)
seminář z matematiky musí být ihned po matematice.
e)
mezi matematikou a seminářem z matematiky nesmí být žádný předmět.
f)
matematika musí být nejpozději čtvrtou vyučovací hodinu.
Vyřešte následující úlohy: 1)
Kolika způsoby lze přemístit písmena slova PERMUTACI.
2)
Kolika způsoby lze přemístit písmena slova FAKTORIAL, tak aby některá skupina po sobě jdoucích písmen utvořila … a) slovo FAKTA? b) slova FAKTA a LORI v libovolném pořadí? c) slova LIRA a KAT v libovolném pořadí?
3)
V množině přirozených čísel řeš rovnice: a)
n! 4n n 2 !
c)
n 6 ! n n 4 ! 5n 80 n 4 ! n 5 !
b)
10 17n 4 0 n 1 ! n 1 !
d)
2n 1! 3n ! n 1! 50 2n ! 3n 1! 2n !
PRACOVNÍ LISTY
Komplexní čísla
Řešení: 1) 362 880
10 / 23
2)
a) 120 b) 2
c) 6
3)
a) 5
b) 2
c) 5
d) 11
Příklad 26 Kolika způsoby si může vybrat třída tři vyučující ze čtyř možných na školní exkurzi?
K-členná kombinace z n prvků (popř. Kombinace k-té třídy z n) je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vykytuje nejvýš jednou.
K (k , n) C k (n)
n n! = n, k Z+0; k n k! k n ! k
Příklad 27
5 3 5 2 3 3
4 4 7 2 7 5
Příklad 28 Kolika způsoby mohou tři osoby obsadit sedadla v pětimístném automobilu, pokud záleží pouze na tom, které místo je obsazeno, nezáleží nám, kým je obsazeno.
PRACOVNÍ LISTY – Matematický seminář
3-4. ROČNÍK
Kombinatorika
11 / 23
Příklad 29 Kolika způsoby lze vybrat ze 7 chlapců a 4 dívek 6-ti členné družstvo tak, aby … a)
v něm byly právě 2 dívky?
b)
v něm byly alespoň 2 dívky?
Příklad 30 Kolika způsoby je možné z vaší třídy vybrat 10 osob, požadujeme-li, aby mezi vybranými … c)
nebyla osoba A?
d)
nebyly zároveň osoby A a B?
e)
byla alespoň jedna z osob A a B?
Příklad 31 Určete, kolika způsoby může m chlapců a n dívek vytvořit jeden taneční pár. Příklad 32 Kolika způsoby můžeme z 24 hráčů vytvořit 4 volejbalová družstva?
Příklad 33 Skupina vědců je složena z pěti psychologů a tří sociologů. a)
Kolik existuje různých výborů složených z pěti vědců?
b)
Kolik existuje různých výborů složených z pěti vědců, z nichž tři jsou psychologové a zbytek sociologové?
Příklad 34 V hradecké městské dopravě se používají jízdenky s devíti očíslovanými poli. Při každé jízdě má cestující za povinnost ve znehodnocovacím strojku si označit svoji jízdenku. Tento strojek vždy probije tři nebo čtyři pole na jízdence. Vychytralý chlapec ZŠ si řekl, že pokud každý den získá jednu označenou jízdenku, musí přeci za nějakou dobu získat všechny možné jízdenky. Nejdříve za jak dlouho bude moci říct, že už nemůže získat žádnou jinak označenou jízdenku?
Příklad 35 Určete, z kolika prvků lze utvořit 136 dvoučlenných kombinací.
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
12 / 23
Příklad 36 Matka se zeptala svého syna, jaké je vlastně zastoupení dívek a chlapců v matematickém kroužku, který její syn navštěvuje. Dostala následující odpověď: „Chodí tam 26 žáků z naší školy a dohromady můžeme vytvořit 160 dvoučlenných kombinací“. Kolik chlapců a kolik dívek navštěvuje matematický kroužek?
Příklad 37 Zmenší-li se počet čísel o 3, zmenší se počet dvoučlenných kombinací vytvořených z těchto prvků o 33. Určete původní počet prvků.
Příklad 38 Určete počet prvků, z nichž lze vytvořit 6x více čtyřčlenných kombinací než dvoučlenných.
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
13 / 23
V množině přirozených čísel řeš rovnice:
n n 1 1. 1. 4 2 2 n n 2. n 2 2 2 1 n 1 n 2 3. 9 n 3 n 4 n n 5n 4. n 2 n 1 2
n 1 n 2 5. 4n 11 n 3 n 4 n n 3 6. 4n 6 n 2 n 5 n n n3 1 7. 2 n 2 n 1
Řešení: 1)
2)
n -2n-3 = 0 n = 3 4)
3)
n =n n2
2
2
5) 2
n -4n = 0 n = 4 7) nemá řešení
n2-4n-5 = 0 n = 5
2
6) 2
n -8n+15 = 0 n = 5
n2-8n+12 = 0 n = 6
Řešte následující úlohy: 1) Při sportovním dni je třeba ze třídy, ve které je 19 chlapců a 16 dívek, vybrat 4 žáky. Kolika způsoby to lze provést, jestliže to mají být … a) aspoň 2 chlapci. b) nejvýše 2 dívky. 2) V bedně je 30 kusů výrobků, z nichž 3 mají výrobní vadu. Kolika způsoby lze z bedny vybrat součastně 5 výrobků tak, že mezi nimi … a) budou všechny výrobky bez vady. b) bude nejvýše 1 výrobek vadný. c) budou nejvýše 2 výrobky vadné. d) budou alespoň 4 výrobky bez kazu. 3) V lavici může sedět 5 žáku A, B, C, D, E. Kolika způsoby si mohou sednout, jestliže … a) A má sedět na určeném kraji. b) A má sedět na jednom nebo na druhém kraji. c) žáci A a C mají sedět vedle sebe. d) žák A má sedět na kraji a žáci B, C vedle sebe. 4) Kolika způsoby lze ubytovat 5 hostů (záleží v kterém pokoji, ne kdo leží v jaké posteli) … a) do 1 pětilůžkového pokoje. b) do 1 čtyřlůžkového a 1 jednolůžkového pokoje. c) do 1 dvoulůžkového a 1 třílůžkového pokoje. d) do 2 jednolůžkových pokojů a 1 třílůžkového pokoje. e) do 5 jednolůžkových pokojů. 5) Po letech se sešli dobré přítelkyně. Pobavily se, pobesedovaly a na rozloučenou se políbily - každá s každou. Kolik bylo polibků, jestliže … a) byly 3. b) bylo jich 10. PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
14 / 23
c) bylo jich n. 6) Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací 56krát. Určete počet prvků. 7) Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet variací 2. třídy bez opakování o 18. Určete původní počet prvků. 8) Kolika způsoby lze seřadit do řady komorní sbor 12ti zpěváků tak, že daní 2 zpěváci nejsou vedle sebe. 9) Fotbalový trenér má k dispozici 3 brankáře, 5 obránců, 4 záložníky a 10 útočníků. Kolik různých fotbalových mužstev z nich může sestavit, tvoří-li jedno mužstvo 1 brankář, 2 obránci, 3 záložníci a 5 útočníků? 10) Ve třídě se vyučuje 11 předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh hodin na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 11) Kolika způsoby můžeme seřadit do řady 4 Angličany, 5 Francouzů a 3 Turky, pokud osoby téže národnosti stojí vedle sebe. 12) Kolik můžeme utvořit 4ciferných čísel z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, pokud se cifry nemohou opakovat. Kolik z nich je sudých 13) Určete počet sudých čísel vytvořených z cifer 2, 3, 4, 5, 6, pokud … a) cifry se nemohou opakovat. b) cifry se mohou opakovat. Řešení: 1) a) K(4,19)+16K(3,19)+ K(2,16) K(2,19) b) K(4,19)+16K(3,19)+ K(2,16) K(2,19) 4) a) 1
b) 5 c) 10 d) 20 e) 120 7) 9 10) 332 640 13) a) 221 b) 2 343
PRACOVNÍ LISTY
2) a) K(5,27)
b) K(5,27)+3K(4,27) c) K(5,27)+3K(4,27)+ K(2,3)K(3,27) d) K(5,27)+3K(4,27) 5) a) 3 b) 45 c) n.(n-1)/2
8) 399 168 000 11) 103 680
3) a) 24
b) 48 c) 48 d) 24 6)
6
9) 30 240 12) 300,156
Kombinatorika
15 / 23
Pascalův trojúhelník: 0 0 1 1 0 1
n0 n 1
1 1
2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3
n2 n3 n4
1
4 0
4 1
4 2
n n 1 0 n
4 3
4 4
n n 1
1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
n n k n k
n n n 1 k k 1 k 1
Příklad 39 Zjednodušte:
72 72 10 11
72 73 74 72 72 72
72 72 20 51
6 6 7 3 4 5
8 8 8 8 4 5 6 7 9 10 9 3 4 2 5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 4
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
16 / 23
Binomická věta: 0 0 1 1 0 1
n0 n 1
2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3
n2 n3
4 0
n4
a bn a bn
4 1
4 2
4 3
4 4
1
(a b) 0
1 1
( a b) 1
1 2 1
(a b) 2
1 3 3 1
(a b) 3
1 4 6 4 1
n n n n n a n b 0 a n 1b1 a n 2 b 2 ... a n k b k ... a 0 b n 0 1 2 k n n n k 0 a n k b k k
k-tý člen binomického rozvoje:
Příklad 40 Užitím binomické věty vypočtěte: (a + b)5= (1- m)7 = (2a3 - 5)4= 6
a b 2 3
(2 3 3 ) 7
PRACOVNÍ LISTY
n n ( k 1) k 1 Ak b a k 1
Kombinatorika
17 / 23
Příklad 41 Najděte v rozvoji (u 7 u )14 prostřední člen.
Příklad 42 1 Najděte v rozvoji ( x )10 šestý člen. 2
Příklad 43 Najděte v rozvoji (1
m 11 ) čtvrtý člen. 3
Příklad 44 Pro které x je v rozvoji výrazu (
1
1 )10 pátý člen roven 105? 2 x 2
Příklad 45 2 Určete absolutní člen v rozvoji výrazu ( 3 x )12 . x
Příklad 46 Najděte v rozvoji výrazu (2 3 x )10 člen obsahující x2.
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
18 / 23
Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou. Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují k1, k2, …, kn – krát:
P´( k1 , k2 ,..., kn )
k1 k2 ... kn ! k1! k2!...kn !
Př.1 Určete počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA. Určete, v kolika z nich
a) žádná dvojice sousedních písmen není tvořena dvěma písmeny A;
b) žádná pětice sousedních písmen není tvořena pěti písmeny A.
Výsledky: P´(5,2,2,1,1)
11! ; a) 5!2!2!
11! 7! 7 6! 81900 . 3780 ; b) 5!2!2! 2!2! 5 2!2!
Př. 2 Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných devíti, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze číslice 0, 1, 2, 5, 7. (6+12+6+9+9+12=54)
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
19 / 23
Příklad 47 Určete, kolika způsoby je možné srovnat do řady 2 šedé, 3 modré a 4 černé kostky.
Příklad 48 Určete počet uspořádání těchto šesti prvků: a, a, a, b, b, c.
Příklad 49 Určete kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi. Kolik z nich nezačíná písmenem M?
P'(1, 4, 4, 2) = 34 650; P'(1, 4, 4, 2) − P'(4, 4, 2) = 34 650 − 3 150 = 31 500
Příklad 50 Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, jež lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v každém z nich být číslice 5 a) právě třikrát; b) nejvýše třikrát; c) aspoň třikrát.
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
20 / 23
Příklad 51 Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých?
P'(2, 7) + 2 · P'(1, 8) + 1 = 55 P'(2, 6) + P'(1, 8) + P'(1, 7) + 1 = 28 + 9 + 8 + 1 = 46
Příklad 52 Ze sedmi kuliček, z nichž čtyři jsou modré (navzájem nerozlišitelné), jedna bílá, jedna červená a jedna zelená, máme vybrat a položit do řady pět kuliček. Kolika způsoby to lze provést?
Příklad 53 Určete počet způsobů, jimiž lze na šachovnici 8 × 8 rozmístit všechny figurky šachové hry (bílý král, bílá dáma, 2 bílí střelci, 2 bílí jezdci, 2 bílé věže, 8 bílých pěšců + totéž černé barvy).
P'(1, 1, 2, 2, 2, 8, 1, 1, 2, 2, 2, 8, 32)
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
21 / 23
Kombinace s opakováním k-členná kombinace s opakováním z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Počet K'(k, n) všech k-členných kombinací s opakováním z n prvků je K'(k, n) =
( n + kk − 1 ) .
Příklad 54 Určete, kolika způsoby je možné rozmístit sedm stejných kuliček do tří krabiček. Řešení Sedmkrát vybíráme jednu ze tří krabiček, do které umístíme kuličku; jde tedy o sedmičlenné kombinace s opakováním ze tří prvků (k = 7, n = 3). K'(7, 3) =
( 3 + 77 − 1 ) = ( 97 )
= 36
Příklad 55 Kolika způsoby lze rozdělit 15 bonbónů mezi 10 dětí? Řešení Patnáctkrát vybíráme jedno z deseti dětí, kterému dáme bonbón; jde tedy o patnáctičlenné kombinace s opakováním z deseti prvků(k = 15, n = 10). K'(15, 10) =
( 10 +1515 − 1 ) = ( 24 15 )
= 1 307 504
Příklad 56 Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, 7.
Řešení Tři čísla a, b, c mohou být velikosti stran trojúhelníku, pokud platía + b > c,a + c > b,b + c > a. Tuto podmínku splňuje každá trojice sestavená z čísel 4, 5, 6, 7: vezmeme dvě nejmenší možná čísla (tj. 4 a 4) a porovnáme jejich součet s největším možným číslem (tj. 7). Protože 4 + 4 > 7, trojúhelníková nerovnost platí pro krajní případ a proto platí i pro všechny ostatní případy. PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
22 / 23
Příklad se tak zjednodušil na hledání počtu neuspořádaných trojic sestavených z čísel 4, 5, 6, 7, tedy na určení počtu tříčlenných kombinací s opakováním ze čtyř prvků(k = 3, n = 4). K'(3, 4) =
( 4 + 33 − 1 ) = ( 63 )
= 20
Příklad 57 V obchodě mají tři druhy sirupu: jahodový, malinový a pomerančový. Určete počet všech možností nákupu pěti lahví sirupu v tomto obchodě. K'(5, 3) =
( 3 + 55 − 1 ) = ( 75 ) =
= 21
Příklad 58 Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm (stejných) jablek. (K'(8, 3) = 45)
Příklad 59 Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců)vybereme a) dvojici, b) trojici. Jaký je počet možností pro jejich složení? ( a) K'(2, 4) = 10b) K'(3, 4) − 3 = 17)
Příklad 60 V železničním depu je dvacet osobních, sedm lůžkových a pět poštovních vozů. Kolik různých souprav s pěti vozy je možno v tomto depu sestavit, jestliže nezáleží na pořadí vozů v soupravě? (K'(5, 3) = 21)
PRACOVNÍ LISTY
Kombinatorika
23 / 23
Příklad 61 Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? (K'(3, 3) − 1 = 9)
Příklad 62 Určete, kolika různými způsoby lze rozdělit 15 korunových mincí mezi 10 dětí, jestliže a) neklademe žádná omezení; b) každé dítě dostane alespoň jednu minci; c) nejstarší dítě dostane alespoň dvě mince.
a) K'(15, 10) b) K'(5, 10)
= 1 307 504; = 2 002;
c) K'(13, 10)
PRACOVNÍ LISTY
= 497 420
