Školní vzdělávací program a možnosti podpory žáků se speciálními vzdělávacími potřebami v matematice

Školní vzdělávací program a možnosti podpory žáků se speciálními vzdělávacími potřebami v matematice

Růžena Blažková

Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů

© JČMF 2006

SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

OBSAH 1. Analýza příčin problémů a nedostatků žáků v matematice 2. Problémy přechodu dětí na 2. stupeň ZŠ nebo do nižších ročníků víceletých gymnázií 3. Učivo matematiky 3.1. Číselné obory 3.2. Písemné sčítání 3.3. Písemné odčítání 3.4. Písemné násobení 3.5. Písemné dělení 3.6. Desetinná čísla 3.7. Zlomky 3.8. Záporná čísla 4. Obvody a obsahy geometrických útvarů 4.1. Základní pojmy 4.2. Vyvození obvodů a obsahů geometrických útvarů 4.3. Aplikační úlohy 5. Jednotky měr 6. Reedukace dyskalkulie 7. Individuální plány – ukázka Literatura

1. Analýza příčin problémů a nedostatků žáků v matematice U některých dětí se během školní docházky projevují problémy při zvládání čtení, psaní, pravopisu nebo matematického učiva. Jedná se přibližně o 4% - 6% dětí z běžné populace, které mají zpravidla přiměřenou inteligenci i dostatečně podnětné prostředí v rodině i ve škole. Příčiny mohou být různé – mohou souviset s lehkou mozkovou dysfunkcí, mohou být podmíněny dědičně, mohou být způsobeny některými vlivy z raných vývojových stadií dítěte apod. Často se vyskytují i v kombinaci s dalšími vadami, např. vadami sluchu, zraku, jemné motoriky. Projevují se oslabením funkcí, které jsou potřebné pro vytváření vzdělávacích dovedností a schopností. Teorií, které se snaží odhalit příčiny specifických poruch učení, je mnoho a mají různá východiska. Některé vycházejí z poruchy určitých oblastí mozku, jiné z nedostatečné funkce analyzátorů (zraku, sluchu), další z narušené komunikace mezi dítětem a světem. Z nejčastěji vyskytujících se poruch jsou popsány: Dyslexie – porucha čtení, která postihuje zejména rychlost čtení, správnost čtení nebo porozumění čtenému textu. Dysgrafie – porucha psaní, která postihuje úpravu písemného projevu, osvojování si jednotlivých znaků (písmen) a spojení hláska – písmeno. Dysortografie – porucha pravopisu, která nezahrnuje pravopisné chyby, ale specificky dysortografické chyby, jako např. rozlišování krátkých a dlouhých samohlásek, sykavek, tvrdých a měkkých slabik apod. Dyskalkulie – porucha matematických schopností, která postihuje matematické představy, operace s čísly, prostorové představy apod. Dysmuzie – porucha v oblasti hudebních dovedností. strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Dyspinxie – porucha v oblasti kresebných dovedností. Dyspraxie – porucha obratnosti. U dětí se mohou vyskytovat také poruchy soustředění, poruchy pravolevé orientace, poruchy prostorové orientace, poruchy řeči, poruchy sluchového vnímání, zrakového vnímání, poruchy jemné i hrubé motoriky i poruchy chování jako důsledek poruch učení. Všechny poruchy se navzájem ovlivňují a výsledkem může být oslabení funkcí, které jsou potřebné pro vytváření vzdělávacích dovedností a schopností. Např. dyslexie nebo dysgrafie může výraznou měrou ovlivnit úspěšnost dítěte v matematice. Pro některé dyslektiky je i symbolický matematický zápis problémem, nedokáží jej pochopit, avšak pro některé dyslektiky je záchranou, neboť symbolický zápis je pro ně snadněji srozumitelný. Dysgrafik může v matematice k záznamu svých výpočtů použít počítač a může se tak snížit zatížení žáka zápisem příkladů i textů. Vývojová porucha – dyskalkulie – se klasifikuje z různých hledisek. Jeden z prvních psychologů, který se dyskalkulií zabýval, L. Košč, klasifikuje dyskalkulii takto: Praktognostická dyskalkulie – projevuje se poruchou schopnosti provádět manipulaci s konkrétními předměty nebo symboly. Žák není schopen vytvořit skupinu předmětů o daném počtu prvků, není schopen dospět k pochopení pojmu přirozeného čísla. Má problémy s uspořádáním, porovnáváním čísel. Projevují se problémy s identifikací geometrických tvarů, s rozlišováním jejich velikostí, rozmístěním předmětů v prostoru a jejich znázorněním v rovině. Verbální dyskalkulie – je porucha označování počtu předmětů, používání znaků operací, problémy při vyjmenování řady čísel. Žák si pod číslem neumí představit příslušnou skupinu prvků a nebo označit počet prvků dané skupiny číslem. Lexická dyskalkulie – žák má problémy s čtením číslic a čísel, zejména čísel víceciferných, zaměňuje tvarově podobné číslice, má poruchu pravolevé orientace. Grafická dyskalkulie – je porucha zápisu matematických znaků. Problémy činí zápis čísel podle diktátu, zápis víceciferného čísla, zápis čísel v algoritmech operací apod. Žák má problém při rýsování geometrických útvarů. Operační dyskalkulie – je porucha při provádění operací s čísly, nejprve přirozenými, dále desetinnými, zlomky, mocninami apod. Problémy se vyskytují jak v provádění operací pamětných, tak i písemných. Žákům činí problém počítání s číselnými výrazy, ve kterých se vyskytuje více operací, nejsou schopni respektovat prioritu provádění operací. Ideognostická dyskalkulie – je porucha chápání matematických pojmů a vztahů mezi nimi, chápání souvislostí a zákonitostí. Problémy při řešení slovních úloh. Z hlediska vytváření matematických pojmů, numerace, vyvozování operací a dalšího využití učiva ve vyšších úrovních můžeme klasifikovat dyskalkulii takto: - Problémy při pochopení pojmu přirozeného čísla (později pojmu zlomku, čísla desetinného, čísla záporného, čísla reálného). Dítě neumí určit počet prvků v dané skupině, vytvořit skupinu prvků o stanoveném počtu, nechápe uspořádání řady čísel, neumí čísla porovnat. - Problémy s čtením a zápisem čísel - dítě má problémy s rozlišováním tvarově podobných číslic, se zápisem víceciferných čísel a s jejich čtením. Problémy se zápisem čísel pod sebou. - Problémy s pochopením operací s čísly, zvládnutím pamětných postupů provádění operací, zvládnutím písemných algoritmů, postupem řešení úloh s více operacemi. - Problémy s využitím operací při řešení slovních úloh a praktických příkladů. - Problémy s jednotkami měr a jejich převody. - Problémy s diferenciací geometrických útvarů, s prostorovým rozmístěním předmětů v prostoru, rýsováním geometrických obrazců. - Problémy při počítání velikostí geometrických útvarů. strana 3 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Základní kriteria, podle kterých lze klasifikovat specifickou vývojovou poruchu v matematice – dyskalkulii, lze uvést takto: - existuje zřetelný rozpor mezi zjištěnou inteligencí dítěte a jeho výkony v matematice, - úroveň rozumových schopností není v pásmu podprůměru, - problémy dítěte nevznikly na základě nemoci nebo na základě sociálním nebo emocionálním, - dítě je obklopeno normálním rodinným zázemím, které poskytuje pozitivní motivaci, - na základě odborného vyšetření lze identifikovat dysfunkci centrální nervové soustavy, dysfunkci kognitivních center mozku. Kromě specifických vývojových poruch učení má na úspěšnost dítěte v matematice vliv řada dalších faktorů. Jsou to zejména poruchy způsobené samotnou osobností dítěte – jeho věkovou nezralostí pro dané konkrétní učivo (za půl roku, či rok pochopí určité učivo bez problémů), jeho pamětí (krátkodobou i dlouhodobou), jeho volními vlastnostmi (neschopnost přimět se k systematické práci, kterou matematika vyžaduje), sebevědomím, úzkostností, s nejrůznějšími psychickými bariérami, jako je např. obava z matematiky, nebo některých jejích témat, obava z písemných prací a pětiminutovek, ze zkoušení apod. Také ztráta naděje na úspěch a role outseidera mezi ostatními dětmi má na úspěšnost dítěte obrovský vliv. Poruchy, které se projevují v dětském věku přetrvávají v určité podobě i v dospělosti. Další skupina problémů souvisí s osobností učitele a způsobem jeho výuky. Jeho nedostatečná odborná zdatnost, narušení vazby v používání matematického jazyka, problém v komunikaci se žáky, formalismus v práci, netrpělivost, problémy s hodnocením a klasifikací, nedostatek empatie, jsou jen některými z příčin malé úspěšnosti jeho pedagogické práce v souvislosti s úspěšností žáků v jeho předmětu. Rovněž předem předpokládané očekávání sníženého výkonu žáka s poruchou učení není pro žáka motivující. Pro učitele matematiky je třeba brát v úvahu specifičnost tohoto předmětu, která spočívá ve vysoké abstraktnosti pojmů, zobecňování, zdůvodňování, dokazování. Matematika má mezi ostatními vyučovacími předměty zvláštní postavení i v tom smyslu, že každý její prvek vyšší úrovně předpokládá precizní znalost a pochopení prvků nižší úrovně. Učivo na sebe systematicky navazuje a pokud dítě některou oblast nezvládne, nemůže pokračovat dál. Pak zbývá pouze jediná možnost – vrátit se k tomu učivu, které je prvotní příčinou problémů. To vyžaduje vysokou odbornou i metodickou erudici učitele vzdělávajícího žáky s poruchami učení. Nezanedbatelný je i přístup rodičů k dítěti, u kterého se projevují poruchy učení. Práce s rodiči je někdy složitější než práce s dětmi. Jen určitá skupina rodičů se snaží dítě pochopit a hledat pomoc v pedagogicko psychologické poradně a dítěti přizpůsobit výuku vzhledem k jeho poruše. Jsou však také rodiče ambiciózní, nepřiměřeně ctižádostiví, neoplývající takovou trpělivostí, kterou dyskalkulické dítě potřebuje. Přetěžují dítě neustálým doučováním, několikahodinovou denní přípravou do školy a nerespektují velmi snadnou unavitelnost dítěte. Další skupina rodičů rezignuje a nechají dítě bez pomoci (např. nedá se nic dělat, my jsme na matematiku také „nebyli“). Někteří zase naopak vylepšují práci dětí, sami jim úkoly doplňují a vymýšlejí různé postupy, které se mohou v budoucnu ukázat jako nevhodné. Na základě provedeného průzkumu u dospělých studentů (zpravidla polostrukturovaný rozhovor), kteří jako děti trpěli některou z poruch učení, byly zjištěny některé pozoruhodné skutečnosti: • Matematika pro mě byla předmětem vzorců a pouček, kterým jsem nerozuměla, • když mám něco počítat, mám strach, že to sama nezvládnu, • jako dyslektik jsem vždy špatně přečetl zadání a pokud mi učitelka nepomohla, nespočítal jsem nic, strana 4 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


• mám problémy s představivostí, dlouho mně trvalo, něž jsem pochopila obrázek, např. síť krychle nebo kvádru, • matematika pro mě byla trápením, do hodin matematiky jsem chodila se strachem, • hodiny matematiky se odvíjely od práce a pochopení pedagoga, • zařazením do speciální třídy vedlo k rezignaci, neměli jsme dostatečnou • motivaci k vyššímu výkonu, • domnívám se, že tím, že rodiče rezignovali (na matematiku nemáš buňky, • nebudeš jí rozumět, nenaučíš se ji), jsem byla připravena o možnost se matematiku naučit a poznat její krásu, • mám obavy z dědičnosti poruchy a o své děti, aby nemusely prožít tu hrůzu, • nepochopení okolí a někdy i zesměšňování a ponižování, které jsem prožil já.

2. Problémy přechodu dětí na 2. stupeň základní školy nebo do nižších ročníků víceletých gymnázií Na úspěšnost dyskalkulického dítěte na druhém stupni ZŠ má vliv mnoho faktorů a je nutné důkladně analyzovat příčiny případných potíží. Především je třeba ověřit, zda jde skutečně o vývojovou poruchu učení nebo zda je příčina problému v jiné oblasti. Tedy zda dítě podává neodpovídající výkon v matematice vzhledem ke svému stupni inteligence a tato porucha není způsobena nemocí nebo nevznikla na sociálním nebo emocionálním základě nebo nesprávným postupem výuky. Diagnostická zjištění specializovaných pracovišť zabývajících se specifickými vývojovými poruchami učení jsou východiskem k určení individuální terapie každého dítěte. Je třeba také zjistit vliv dalších vývojových poruch (zejména dyslexie a dysgrafie) na proces učení se matematice, neboť i ty význačnou měrou ovlivňují výkon dítěte v matematice. Dále je nutné sledovat, jak reedukační program a cvičení pomáhají dítěti orientovat se ve světě čísel a matematických „nástrah“, jak je dítě schopno logicky uvažovat, používat jazyk matematiky a matematiku jako nástroj k řešení praktických problémů (např. nákupy, život v rodině). Problémy dětí v matematice mohou být způsobeny také změnou stylu práce v matematice na 2. stupni ZŠ, změnou metod práce v matematice, zvýšenými požadavky na samostatnost dítěte a rychlost plnění úkolů, nesprávným způsobem výuky jak na prvním, tak na druhém stupni. Nezvládnutí prvků učiva nižší úrovně (např. sčítaní a odčítaní s přechodem přes základ deset, zvládnutí základních spojů násobení a dělení) neumožní dítěti zvládat další učivo. Většinou se předpokládá, že při přechodu na 2. stupeň má žák učivo v oboru přirozených čísel zvládnuté, že je schopno určitého stupně abstrakce a je schopno používat matematiku i v jiných oblastech při řešení aplikačních úloh a řešení adekvátních problémů praxe. Na úspěšnost dítěte v matematice na 2. stupni má dále vliv jeho vztah k matematice, (který se již 5 roků utvářel ať v pozitivním nebo negativním smyslu a je výrazně determinován učitelem), sociální zařazení dítěte v kolektivu třídy, adaptace na odborné vyučovaní, vztah učitele matematiky k dítěti a dítěte k učiteli, klasifikace v matematice, možnost využívání kompenzačních pomůcek podobně jak tomu bylo 1. stupni, aj. Protože úspěšnost dítěte v matematice na 2. stupni ZŠ muže ovlivnit mnoho faktorů, je nutné posoudit jeho nedostatky vzhledem k jejich původu, tj. vyhledat prapůvodní příčinu nedostatků a z tohoto hlediska posuzovat, zda se u dítěte projevuje vývojová porucha učení nebo zda jeho problémy mají příčiny v jiné oblasti. strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


3. Učivo matematiky Na 2. stupni základní školy se předpokládá zvládnutí učiva matematiky v oboru přirozených čísel. Zvyšují se požadavky na abstrakci, zobecňování, používání induktivních metod, schopnost dedukce, analýzy, syntézy a zejména schopnost aplikovat poznatky získané v matematice k řešení úloh z praxe. Obor přirozených čísel se postupně rozšiřuje na obor racionálních čísel (čísla desetinná, zlomky, čísla záporná), jsou zařazena témata, kde se tyto poznatky využívají – (např. procenta, úroky, mocniny, odmocniny, základy statistiky), děti se seznamují se základy algebry (algebraické výrazy, rovnice, nerovnice, funkce), seznamují se se základními geometrickými pojmy, geometrickými útvary, vztahy a s výpočty délek úseček a čar, obsahů geometrických útvarů a povrchů a objemů těles. Ze široké problematiky, jejíž každé téma by vyžadovalo zvláštní pojednání, uvedeme některé poruchy projevující se v číselných oborech. Některé děti, u kterých se projevuje porucha v chápání čísel a operací s čísly, jsou mnohem úspěšnější v geometrii a je tedy logické úspěchu v této oblasti využít pro hodnocení výsledků práce v matematice. 3.1. Číselné obory Během školní docházky si dítě postupně osvojuje přirozená čísla na základě manipulativní činnosti s konkrétními předměty a postupně se od konkrétních předmětů odpoutává a začíná pracovat s číslem jako s abstraktním pojmem. Učí se přirozená čísla číst, zapisovat, uspořádat podle daného kritéria, provádět operace s přirozenými čísly zpaměti i písemně. Procesu budování pojmu přirozeného čísla a přechodu od konkrétních modelů k abstraktnímu chápání je věnována dostatečná pozornost. Úspěšné zvládnutí pamětného sčítání a odčítání vyžaduje kromě zapamatování si základních spojů sčítání a odčítání v oboru do deseti i přesné postupy rozkladů čísel pro počítání s přechodem přes základ deset, rozkladů čísel na desítky a jednotky a respektování správných metodických postupů. Rovněž znalost základních spojů násobení a dělení v oboru násobilek je nezbytným předpokladem pro práci v matematice na 2. stupni ZŠ. Problematické jsou pro děti číselné výrazy, ve kterých je více operací a výrazy , ve kterých se vyskytují závorky. Např. respektovat prioritu násobení před sčítáním ve výrazu 3 + 7 . 4 = 31 je pro děti obtížné a vesměs počítají, jako by výraz byl tvaru (3 + 7) . 4 = 40, tedy nejprve sčítají a teprve potom násobí. Algoritmy písemných operací v oboru přirozených čísel, které se v 6. ročníku završují, vyžadují jednak schopnost provádět přesný postup jednotlivých kroků, kladou požadavky na krátkodobou i dlouhodobou paměť. I když dítě zvládá pamětné spoje operací sčítání, odčítání, násobení a dělení, může mít v dalším učivu potíže vyplývající z koordinace činností při provádění operací písemných. Pro dítě s dyskalkulií se po velké námaze zvládnutí určitého úseku učiva objevují se další úskalí. Algoritmy písemných operací mohou způsobovat dětem problémy, z nichž některé uvádíme:

strana 6 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


3.2. Písemné sčítání nesprávný zápis čísel pod sebe – dítě nerespektuje zápis čísel jednotlivých řádů pod sebou: 325 826 72 1943 1045 10203 nepochopení podstaty desítkové soustavy a zápisu čísel v poziční desítkové soustavě: 67.......................8 + 7 = 15, zapíše do součtu jednotky i desítky čísla 15 28 ....................2 + 6 = 8 815 nepochopení algoritmu sčítání - přičítání částečných součtů: 358.....................8 + 4 = 12, zapíše 2 pod jednotky a pokračuje 12 + 8 + 5 = 25, 184 zapíše 5 a pokračuje 25 + 1 + 3 = 29 2952 sčítá všechna čísla bez ohledu na řády: 53.......................počítá 7 + 3 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 8 = 23 87 23 částečně sčítá zpaměti, částečně písemně: 532 + 8 = 5310................počítá 8 + 2 = 10, ostatní čísla opíše 713 + 7 = 71310..............7 + 3 = 10, opíše celého prvního sčítance 23 + 35 = 5800................5 + 3 = 8, 3 + 2 = 5, připíše dvě nuly, protože obě čísla mají dohromady 4 číslice 230 + 350 = 5800............5 + 3 = 8, 3 + 2 = 5, dvě nuly z obou sčítanců připíše

3.3. Písemné odčítání nepochopí odčítání s přechodem přes základ 10 (vždy odčítá od většího čísla menší, jako by počítal 58 - 22): 52.......................počítá: 2 – 8 nejde, tak si upraví, aby mohl odčítat a počítá 8 – 2 = 6 5–2=3 -28 36 odčítá „shora“ – připisuje 1, nerespektuje řádně přechod: 1 nebo 1111 163.......počítá: 13 – 9 = 4 70205.........15 – 7 = 8, 10 – 6 = 4, -129 6–2=4 - 8967 12 – 9 = 3, 10 – 8 = 2 44 1–1=0 72348 7 sepíšeme nevadí mu, že rozdíl je většínež menšenec počítá jako zpaměti – rozkládá menšence i menšitele: 624 – 188 = 564.............počítá: 600 - 100 = 500, 24 – 88 nejde, tak počítá 88 – 24 = 64, 500 + 64 = 564 strana 7 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


část příkladu odčítá, část sčítá – nepamatuje si po celou dobu příslušnou operaci (zejména při odčítání s přechodem, kdy jednu desítku přičítá k menšiteli): 43........................počítá: 6 + ? = 13, 6 + 7 = 13, zapíše 7 -26 1+2+4=7 77

3.4. Písemné násobení Algoritmus písemného násobení vyžaduje koordinaci mnoha činností, které kladou nároky na psychiku dítěte – neboť musí zvládnout postup provádění jednotlivých úkonů (které číslo kterým násobit), zvládnout schéma zápisu (kam který součin zapsat), využít dlouhodobé paměti, neboť si musí vybavit základní spoje násobení, musí správně použít rozkladu čísla na desítky a jednotky a správně je desítky přičíst a to vše musí být koordinováno tak, aby všechny tyto činnosti bezchybně zvládl. Pokud se děti zaměří na správnost násobilek, zpravidla nezvládnou správný zápis algoritmu, pokud se zaměří na správný zápis, chybují v násobilkách. násobí jednotky jednotkami, desítky desítkami – přenášejí postup z písemného sčítání: 42.......počítá: 3 . 2 = 6 nebo 48.......počítá: 9 + 8 = 17, 7 zapíše, 1 přičítá .23 2.4=8 .39 9 + 4 + 1 = 14, 4 zapíše, 1 přičítá 86 8247 3 + 8 + 1 = 12. 2 zapíše, 1 přičítá 3+4+1= 8 částečné součiny do jednoho řádku, nezvládá sčítání s přechodem: 42.......násobí: 3 . 2 = 6, 3 . 4 = 12 2 . 2 = 4, 2 . 4 = 8 .23 84126 násobí pamětně jednotlivá čísla prvního činitele a součiny sečte: 2452 . 4......násobí: 4 . 2 = 8 4 . 5 = 20 4 . 4 = 16 4.2= 8 52000 všechny částečné součiny sečte a doplní tolik nul, kolik mají oba činitelé dohromady. nezapisuje správně součiny pod sebe: 536 nebo 137..............při násobení desítkami nebo stovkami .27 .124 neumí správně zapsat příslušné součiny 3752 548 v řádcích (posunout doleva) 1072 274 4824 137 959


SU

∑ MA


neumí počítat s čísly, ve kterých se vyskytují nuly: 307........násobí jako 37 nebo .6 .6 222

361........násobí jako 361 .704 .74 1444 2527 26714

3.5. Písemné dělení Algoritmus písemného dělení je nejnáročnější operací, neboť jsou zde integrovány všechny operace, které se doposud dítě naučilo a jednak jeho postup je odlišný od ostatních písemných operací – začíná se počítat od nejvyššího řádu dělence, zatímco všechny ostatní uvedené písemné operace se začínají počítat od jednotek (nejnižšího řádu). Klade nároky na úspěšné zvládnutí dělení se zbytkem, násobení, odčítání, sčítání, dále pak na krátkodobou i dlouhodobou paměť, vytvoření hypotéz a ověření jejich správnosti a zvládnutí složitého schématu zápisu čísel. nezvládá dělení se zbytkem: 628 : 9 = 72.............počítá: 62 : 9 = 7, zbytek 1 (vidí nejblíže vyšší násobek a jako zbytek 18 uvádí to, co do něj chybí) 0 zapisuje chybně částečné zbytky: 3164 : 8 = 3895 71 76 44 4 neumí počítat s čísly s nulami (v dělenci, děliteli i podílu): 421421 : 7 = 623 nebo 560 : 8 = 7 30 000 : 150 = 20 8 000 : 8 = 100

1000 : 200 = 50

začíná dělit od nižších řádů – jednotek nebo desítek: 568 : 8 = 17..........dělí: 8 : 8 = 1, 56 : 8 = 7 1025 : 5 = 52.........dělí: 25 : 5 = 5, 10 : 5 = 2 Reedukační cvičení pro zvládnutí algoritmů písemných operací vycházejí z velmi jemných metodických řad nácviku jednotlivých algoritmů a respektování přesných metodických postupů při vyvozování jednotlivých operací. Je potřebné uvědomit si, že u písemných algoritmů nejde zdaleka jen o výpočty, ale jde o rozvoj mnoha psychických funkcí dítěte. Dítě může zvládat bezpečně všechny základní spoje sčítání, odčítání, násobení, dělení a přesto může být v matematice od 6. ročníku neúspěšné. Správná diagnostika příčin problémů napomůže stanovení reedukačních cvičení, která jsou velmi individuální. Z několika uvedených příkladů je patrné, že pokud se u dětí projevuje vývojová porucha učení, může trápení dětí usnadnit používání kalkulátoru eventuelně procvičování vhodnými strana 9 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


počítačovými výukovými programy. Kalkulátor nebo počítač je výrazným motivačním prostředkem a prostřednictvím jejich možností může dítě kouzlo čísel objevit. 3.6. Desetinná čísla V návaznosti na přirozená čísla se zavádějí čísla desetinná. Tak, jak je věnována pozornost zavedení čísel přirozených, tak je nutné správné vyvození čísel desetinných. Pokud se dítě dozví, že desetinné číslo je číslo, které má desetinnou čárku, je to pro něj informace naprosto nulová. Pojem desetinného čísla musí být vybudován stejně důkladně, jako pojem čísla přirozeného. Výhodou je časté využívání desetinných čísel v běžném životě a tedy motivační příklady mohou této skutečnosti využívat. Je však nutné vybudovat “most” mezi čísly užívanými v běžné životní praxi a čísly v matematických úlohách. Mnoho dětí, které běžně desetinná čísla používají např. při nákupech, při řešení školních úloh selhávají. Výchozím pojmem pro vytvoření pojmu desetinného čísla je pojem zlomku jako část celku, následuje desetinný zlomek a poté desetinné číslo. Schematicky znázorněno: zlomek jako část celku - desetinný zlomek jako část celku - desetinné číslo Již dítě v mateřské škole chápe intuitivně pojem zlomku jako části celku - ví, co je polovina rohlíku, polovina nebo čtvrtina jablíčka, polovina nebo čtvrtina krajíce chleba a na toto je třeba navazovat. Metodické postupy vyvození zlomku jako části celku se opírají o manipulativní činnosti – překládání čtverců, kruhů obdélníků na několik stejných částí. Např. úkol „přeložte čtverec na čtyři stejné části“ mohou děti řešit tak, že papír přeloží na 4 shodné trojúhelníky nebo na 4 shodné čtverce nebo na 4 shodné obdélníky a uvědomí si, na kolik stejných částí dělily. Další činnost souvisí s vybarvováním: Vybarvěte jednu část čtverce. Zápis zlomku se provádí od jmenovatele: na kolik částí jsme rozdělili čtverec – na čtyři. Kolik částí jsme vybarvili – jednu část.

zápis:

1  4

V návaznosti na tyto činnosti se buduje pojem desetinného zlomku (nejprve desetiny, potom setiny). Např. Děti řeší úkol rozdělit obdélník na 10 stejných částí a jednu část vybarvit. 1 Jedna část je jedna desetina obdélníku, zapíšeme pomocí zlomku , 10 pomocí desetinného čísla 0,1. Postupně vybarvujeme např. dvě desetiny, pět desetin, sedm desetin, deset desetin, dvanáct desetin obdélníku a zapisujeme jek zlomkem, tak desetinným číslem. Analogicky vyvozujeme setiny – zvolíme čtverec (nebo obdélník), který má sto stejných čtverečků (nebo obdélníků), jeden čtvereček (obdélník) je jedna setina čtverce (obdélníku). Vybarvujeme např. pět setin, dvanáct setin, dvacet setin, sedmdesát pět setin, sto setin atd. Tento postup usnadní pochopení desetinného čísla a jeho zápisu. Děti mívají nejčastější problémy se zápisem desetinného čísla, protože nevědí, na které místo za desetinnou čárku zapsat příslušnou číslici. Např. 0,12 chápou jako dvanáct desetin (správně 1,2), 0,012 jako dvanáct setin strana 10 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


(správně 0,12) apod. Při porovnávání desetinných čísel se často projevuje nesprávný transfer z oboru přirozených čísel (větší číslo má ve svém zápisu větší počet číslic), takže např. 9,3 < 1,27, protože má méně číslic, podobně 0,448 > 0,45. Při provádění pamětných operací s desetinnými čísly se projevují problémy analogické problémům s čísly přirozenými. děti sčítají nebo odčítají čísla nestejných řádů, např. 0,2 + 0,03 = 0,5 nebo 0,80 – 0,05 = 0,3 zaměňují zápis čísla a operaci sčítání, např.: 0,3 + 0,3 = 0,33 nebo 1,1 + 1,1 = 11,11 nechápou podstatu poziční desítkové soustavy, např. 0,7 + 0,3 = 0,10 nebo 0,02 + 0,08 = 0,010 nepochopí podstatu násobení desetinných čísel, např. 0,3 . 0,6 = 1,8 nebo 0,2 . 0,3 = 0,6 při písemných operacích neumí zapsat čísla správně pod sebe nebo čísla “sepisuje”, např. 32,65 nebo 81,3 nebo 86 +8 , 3 - 6,55 -21,7..........sedm sepíše 112,95 1,58 65,7 nerespektují poziční desítkovou soustavu (např. pracuje zvlášť s desetinnou částí a s celou částí čísla): 5,6 nebo 20,4 + 9,8 ·3,7 15,42 29,12 zaměňují algoritmy operací, např.: 6,8.......počítají: 8 – 3 = 5 6–3=3 -2,3 3,5

nebo

4,9......počítají: 7 . 9 = 63, 3 zapíší ·3,7 6 + 7 = 13, 13 + 4 = 17, 7 zapíší 97,73 3 . 9 = 27, 7 zapíší 2 + 3 = 5, 5 + 4 = 9 oddělí des. čárkou 2 desetinná místa

Na několika příkladech je ilustrována problematika provádění operací s desetinnými čísly. Další škála problémů vzniká při násobení a dělení desetinných čísel deseti, stem, tisícem a toto pak zejména při převádění jednotek měr. Problematika dělení desetinných čísel jak pamětného, tak písemného vyžaduje zvládnutí všech dříve probíraných operací a navíc pochopení složitějšího mechanismu než u čísel přirozených.

3.7. Zlomky Používání zlomku jako čísla (racionálního), to znamená aby děti mohly s porozuměním tato čísla porovnávat, sčítat, odčítat, násobit, dělit, vyžaduje důkladné pochopení zlomku jako části celku a postupné zobecňování k práci se zlomkem jako s číslem racionálním. Při budování pojmu strana 11 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


zlomku je vhodné vycházet z manipulativní činnosti dělení celku na stejné části (např. dělení dortu na 8 stejných dílů, koláče na 4 stejné díly), překládání papíru tvaru čtverce, obdélníku nebo kruhu o od manipulační činnosti přecházet k zápisu zlomku tak, aby dítě jasně vidělo význam jednotlivých čísel ve zlomku a pochopilo význam čitatele a jmenovatele zlomku. Teprve na základě pochopení významu zlomku jako části celku můžeme zlomky porovnávat, sčítat, odčítat, násobit a dělit. Správné pochopení operací se musí opírat o správné grafické znázornění a mělo by vycházet ze situací, se kterými se dítě setkává v běžném životě. K nápravným cvičením jsou zpracovány pracovní listy a portfolio pomůcek pro každého žáka. 3.8. Záporná čísla Se zápornými čísly se v mnoha situacích děti setkávají mnohem dříve, než se stanou matematickým učivem, např. ve významu teploty nebo při označení podzemních pater ve výtahu. Správná motivace významu záporných čísel a jejich znázornění na číselné ose je východiskem k jejich pochopení. Problematickým učivem může být porovnávání záporných čísel, kdy děti nechápou, že např. −2 > − 5. Sčítání a odčítání záporných čísel a práce s čísly kladnými i zápornými může být motivováno např. významem čísel ve formě dluhu a aktiva vyžaduje vhodné metodické postupy a trpělivost při výuce. Schopnost dětí pochopit souvislost sčítání a odčítání celých čísel a znázorňování jednotlivých úloh na číselné ose usnadní výpočty. Např. úlohy typu −7 – (−8) = 1 je obtížné ilustrovat praktickou ukázkou, avšak při vhodných metodických postupech výuky sčítání a odčítání a řadách úloh, které spolu souvisejí mohou děti snadněji pochopit, že odčítat číslo vlastně znamená přičíst číslo opačné. Složitější situace nastává při násobení a dělení, kdy součin dvou záporných čísel např. (−3) . (−5) = 15 nelze ilustrovat na praktických příkladech a je třeba volit postupy v oblasti matematiky, např. využít funkčního myšlení nebo distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání. Pochopení a zvládnutí počítání s čísly celými je třeba pro další učivo – např. úpravy algebraických výrazů, rovnice, funkce aj.

4. Obvody a obsahy geometrických útvarů Základní problémy žáků s poruchami učení v oblasti početní geometrie: Správné chápání pojmů obvod a obsah geometrického útvaru (pokud nejsou pojmy správně vyvozeny, nerozlišují je, pletou si je). Nerozlišení geometrického útvaru a jeho míry (velikosti) (na otázku „co je obsah obdélníku“ odpovídají „to je ten obdélník“). Pouhé pamětné se naučení vzorců a vztahů snižuje význam geometrického učiva a soustřeďuje se jen na dosazování a aritmetické operace. Práce s jednotkami měr. Problémy v provádění operací s racionálními čísly. Základní metody práce: Manipulativní činnost každého žáka, odvození vztahů na základě vlastní činnosti žáků, upevnění řešením aplikačních úloh. Vzhledem k tomu, že učitel by měl vytvářet matematické pojmy v duchu správných definic těchto pojmů (i když je od žáků nevyžaduje), uvádíme v úvodu přehled základních pojmů. strana 12 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


4.1. Základní pojmy Podle Slovníku školské matematiky jsou základní pojmy uvedeny takto: Míra útvaru je společný název pro délku útvaru na přímce či křivce, pro obsah útvaru v rovině či na ploše, pro objem útvaru v prostoru. Pojem míra vyjadřuje společné vlastnosti funkcí, které přiřazují útvarům nezáporná reálná čísla pro jejich délky (obsahy, objemy). Nechť je dán systém M útvarů v takovém prostoru P, kde je definována shodnost útvarů a pojmy vnitřní a hraniční bod úvaru. Mírou útvarů ze systému M nazveme funkci m, která má tyto vlastnosti: Každému útvaru X přiřazuje reálné číslo m(X) ≥ 0. Každým dvěma shodným útvarům X, Y přiřazuje taková čísla m(X), m(Y), že m(X) = m(Y). Každým dvěma útvarům X, Y, které nemají společný vnitřní bod vzhledem k prostoru P, přiřazuje taková čísla m(X), m(Y), že m(X ∪ Y) = m(X) + m(Y). Alespoň jednomu útvaru E přiřazuje číslo m (E) = 1. Délka úsečky je číslo přiřazené úsečce některou mírou m definovanou na množině všech úseček. (Též velikost úsečky , vzdálenost dvou bodů.). Obvod obrazce je délka křivky nebo lomené čáry, která je hranicí obrazce v rovině. Měřitelnost hranice je jednou charakteristických vlastností útvarů zvaných obrazce. Obsah obrazce v rovině je číslo přiřazené obrazci některou mírou m definovanou na určité množině rovinných útvarů. Zvolenému čtverci E přísluší míra m(E) = 1. Ve školské matematice se nejprve odvozují obsahy pravoúhelníků s celočíselnými rozměry, které lze pokrýt shodnými čtverci E, dále pak obsahy rovnoběžníků, trojúhelníků, lichoběžníků, mnohoúhelníků. Obsahy jiných útvarů se určují pomocí jejich jader a obalů. Objem tělesa je číslo přiřazené tělesu některou mírou m definovanou na určité množině těles. Zvolené krychli B přiřazujeme m(B) = 1.

4.2. Vyvození obvodů a obsahů geometrických útvarů Při vyvozování pojmů souvisejících s velikostí geometrických útvarů vycházíme z konkrétní manipulativní činnosti každého žáka. Každý žák má z papíru vystřižený obdélník, čtverec a později další geometrické úvary – počátku s délkami stran vyjádřenými přirozeným číslem např. v centimetrech. Další pomůcky jsou uvedeny pro každý jednotlivý případ. A) Obdélník a čtverec Obvod obdélníku a čtverce Pomůcky: obdélníky a čtverce vystřižené z tvrdšího papíru nebo z plastových podložek, měřítko, nastříhané čtverečky o délce strany 1 cm, čtverce o délce strany 1 dm a 1 m. Vycházíme z manipulativní činnosti a praktických příkladů - určování obvodu konkrétních obdélníků a čtverců. Úkol: Vypočítat obvod obdélníku ( délku plotu zahrady, počet metrů krajky k olemování ubrusu, počet metrů lemovky k olemování koberce, počet metrů lišty ke stěnám místnosti, obvod desky školní lavice, apod. Způsob výpočtu zpočátku ponecháme na žácích – někteří měří a sčítají strana 13 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


každou ze stran obdélníku, někteří si všimnou shodnosti protějších stran, někteří sečtou délku kratší a delší strany. Na základě konkrétních příkladů se zobecní: Obdélník Sečteme délky všech stran: Využijeme shodnosti protějších stran: Využijeme součtu sousedních stran:

o= a+b+a+b o = 2a + 2 b o = 2(a + b)

b a Postup vyvození odvodu čtverce je analogický jako u obdélníku. Pomocí měření si žáci vyvodí vztah vlastní činností. Čtverec Sečteme délky všech stran: Využijeme shodnosti všech stran:

o=a+a+a+a o=4a

a Obsah obdélníku a čtverce Manipulativní činnost spočívá v pokrývání obdélníku s délkami stran vyjádřených přirozenými čísly (v centimetrech) čtverečky o obsahu 1 cm2. Tato činnost je nezastupitelná. Žáci na konkrétních případech poznávají, kolik jednotkových čtverců je třeba k určení obsahu obdélníku. Až po této činnosti můžeme použít čtvercovou síť na fólii (s modulem 1 cm). Na základě pochopení součinu počtu řad a počtu sloupců v konkrétních případech se zobecní:

Obdélník S=a.b b

a 11

12

13

14

15

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5 strana 14

Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Čtverec S = a . a = a2

a 7 8 9 4 5 6 1 2 3

B) Rovnoběžník Pomůcky: různé rovnoběžníky vystříhané z papíru nebo plastových podložek, kosočtverce, měřítko Obvod rovnoběžníku Postupujeme podobně jako při vyvození obvodu obdélníku. o = 2(a + b) b

a

Obsah rovnoběžníku Rovnoběžník přeměníme na obdélník téhož obsahu. Postupujeme tak, že překládáním papíru, ustřižením jednoho trojúhelníku a přiložením tak, aby se rovnoběžník přeměnil na obdélník, odvodíme vztah pro výpočet rovnoběžníku. Je vhodné vyznačit barevně jednu ze stran a k ní příslušnou výšku.

S = a . va = b . vb b

a


SU

∑ MA


Obsah kosočtverce Postupujeme analogicky jako při výpočtu obsahu obecného rovnoběžníku. Využijeme doplnění kosočtverce na obdélník dvojnásobného obsahu (pomocí rovnoběžek s jeho úhlopříčkami). u .u S= 1 2 2

C) Trojúhelník Pomůcky: trojúhelníky vystřižené z papíru nebo podložek z umělých hmot Obvod trojúhelníku určíme měřením délek jeho stran.

o=a+b+c c a b

Obsah trojúhelníku Vyvozuje se na základě rozdělení rovnoběžníku na dva trojúhelníky pomocí úhlopříčky rovnoběžníku. Překládáním papíru se vytvoří příslušný trojúhelník, barevně se vyznačí jeho strana a k ní příslušná výška.

S=

a.va 2

b

a


SU

∑ MA


D) Lichoběžník Pomůcky: různé lichoběžníky vystřižené z papíru (obecné, pravoúhlé, rovnoramenné), měřítko Obvod lichoběžníku c o=a+b+c+d

b

d a

Obsah lichoběžníku Obsah lichoběžníku se vyvozuje opět manipulativní činností. Žáci pracují s modelem lichoběžníku vystřiženým z papíru a mají možnosti: rozdělit lichoběžník na geometrické útvary, jejichž obsah umíme vypočítat (např. na dva trojúhelníky, na obdélník a dva trojúhelníky, na trojúhelník a rovnoběžník, na dva rovnoběžníky a trojúhelník apod.), přeměnit lichoběžník na geometrický útvar stejného obsahu (např. na obdélník nebo rovnoběžník), doplnit tak, aby vznikl další geometrický útvary, jehož obsah umíme vypočítat (např. na rovnoběžník dvojnásobného obsahu). Z každé z těchto činností se vyvodí vztah:

S=

(a + c).v 2

E) Pravidelné mnohoúhelníky Pomůcky: pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník, pravidelný pětiúhelník, měřítko Obsahy pravidelných mnohoúhelníků o délce strany a počítáme zpravidla pomocí obsahů vhodně zvolených trojúhelníků. a S = n ρ, kde ρ je poloměr kružnice mnohoúhelníku vepsané. 2

F) Kružnice, kruh Pomůcky: předměty, jejichž podstavy mají tvar kruhu, obruče, pet lahve, kruhy a kružnice vystřižené z papíru, provázek, měřítko Pojmy kružnice a kruh žáci často zaměňují. Proto je nezbytné na vhodných modelech pojmy ilustrovat. Vhodným modelem je např. sklenička tvaru válce, kdy horní okraj modeluje kružnici, dno modeluje kruh. Délka kružnice, obvod kruhu Vztah pro délku kružnice vyvozujeme na základě manipulativní činnosti. Žáci pomocí měřítka nebo provázkem určují obvod kruhu a měří jeho průměr. Výsledky měření zapisují do tabulky a strana 17 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


počítají poměr o : d. Při pečlivost a přesnosti jim poměr vychází konstantní – asi 3,14. Z tohoto poměru se pak vypočítá o. o d o:d délka kružnice o = πd = 2πr

Obsah kruhu Obsah kruhu vyvozujeme na základě přibližné změny kruhu na rovnoběžník (hodně podobný obdélníku). Kruh rozstříháme na 16 (nebo 32) výsečí a ty vhodně poskládáme do tvaru rovnoběžníku, který má délku jedné strany πr a výšku r. S = πr2 = π

d2 4

Části kruhu Pro zajímavost můžeme žákům pojmenovat části kruhu a uvést vztahy pro výpočet obsahu kruhové výseče a kruhové úseče. πr 2α kruhová výseč: S= 360 kruhová úseč: obsah lze vypočítat jako rozdíl obsahů kruhové výseče a rovnoramenného trojúhelníku.

4.3. Aplikační úlohy 1. Obdélník má obsah 36 cm2. Jaké mohou být délky jeho stran? nejmenší obvod?

Který z obdélníků má

2. Obdélník má obvod 48 cm. Jaké mohou být délky jeho stran? Který z obdélníků má největší obsah? 3. Určete obsah jednotlivých částí praporu, jestliže prapor má tvar obdélníku, jehož délky stran jsou 30 cm a 20 cm, je rozdělen na modrý klín tvaru trojúhelníku (strana 20 cm, výška 15 cm) a dva shodné lichoběžníky - bílý a červený.


SU

∑ MA


4. Změní se obsah (výměra) zahrady, která měla původně tvar čtverce o straně délky 50 m, jestliže jednu její stranu o 5 metrů zvětšíme a druhou její stranu o 5 metrů zkrátíme? 5. Jak se změní obsah obdélníku, jestliže jeho délku o 10 cm zmenšíme a jeho šířku o 10 cm zvětšíme? 6. Vypočítejte obvody a obsahy hřišť pro některé sporty: délka hřiště šířka hřiště házená 40 m 20 m kopaná 90 m 50 m košíková 26 m 14 m volejbal 18 m 9m Ledová plocha má minimální délku 56 m a maximální délku 61 m, minimální šířku 26 m, maximální šířku 30 m. Tenisový dvorec pro dvouhru má délku 2377 cm a šířku 823 cm. Tenisový dvorec pro čtyřhru má délku 1097 cm a šířku 823 cm. 7. Václavské náměstí v Praze má délku 750 m a šířku 80 m. Náměstí v Jihlavě má rozlohu 36 653 m2. Které z náměstí má větší rozlohu? 8. Je dán rovnoběžník ABCD, jeho strana má délku 5 cm a k ní příslušná výška má délku 3 cm.. Úhlopříčky tohoto rovnoběžníku jej rozdělí trojúhelníky. Kolik různých trojúhelníků můžete uvidět? Vypočítejte jejich obsahy. 9. Vypočítejte obsah kosočtverce, jehož úhlopříčky mají délku 6 cm a 8 cm. 10. Těžnice trojúhelníku rozdělí tento trojúhelník na šest trojúhelníků. Jaký je vztah mezi obsahy jednotlivých trojúhelníků a obsahem původního trojúhelníku. 11.Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník má obsah 32 cm2. Vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku. 12. Lichoběžník je svými úhlopříčkami rozdělen na čtyři trojúhelníky. V jakém vztahu jsou obsahy těchto trojúhelníků? (Nejprve řešte pro a = 10 cm, c = 5 cm, v = 4 cm a potom obecně). 13. Narýsujte lichoběžník ABCD, jehož výška je 2,5 cm, délky základen si vhodně zvolte. Vypočítejte obsah tohoto lichoběžníku. 14. Je dán lichoběžník ABCD, narýsujte jeho úhlopříčky AC, BD. Kolik dvojic geometrických útvarů, které mají sobě rovné obsahy, můžete najít? 15. Pravidelný šestiúhelník rozdělte na a) dva shodné čtyřúhelníky b) tři shodné šestiúhelníky c) šest shodných trojúhelníků d) šest shodných rovnoběžníků a vypočtěte vždy jejich obsahy. strana 19 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


16. V jakém poměru jsou a) obvody b) obsahy rovnostranného trojúhelníku o straně délky a, čtverce o straně délky a, a pravidelného šestiúhelníku o straně délky a. 17. Vepište do kružnice o poloměru r postupně rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník. Vyjádřete jejich obvody a obsahy pomocí r. 18. Jak se změní a) délka kružnice b) obsah kruhu, zvětšíme-li poloměr původní kružnice dvakrát (třikrát, obecně n – krát). 19. Počítejte a porovnejte délky čar: půlkružnice o poloměru r, r dvou půlkružnic o poloměru , 2 r čtyř půlkružnic o poloměru . 4 20. Jakou dráhu vykoná krajní bod sekundové ručičky hodinek za jeden den, jestliže délka ručičky je 1,2 cm? 21. Představte si, že máte hrášek o poloměru 1 cm, kopací míč o poloměru 10 cm a Zeměkouli o poloměru 6 378 km. Kolem každé z těchto koulí omotáte provaz (teoreticky) a potom délku provazu zvětšíte o 10 m. Jak velká bude mezera, která vznikne, když z provazu znovu vytvoříme kružnici kolem těles? 22. Z desky tvaru kruhu vyřízneme čtverec maximálního obsahu. Kolik procent činí odpad? Náměty na projekty Byt, dům – rozměry a obsahy místností, zařízení, okenní tabule skla, plán v měřítku apod. Zahrada – výměra, rozdělení na části, záhonky, sazenice, … Tapetování stěn, malování bytu, pokládání podlahových krytin, parkety apod. Obklady stěn, bazénů, nátěry bazénů, … Regionální zajímavosti – zahrady, obory, parky, lesy, rybníky, chráněné krajinné oblasti apod. rozměry, výměra Výpočet daně z nemovitosti (modelový příklad).

5. Jednotky měr V textu jsou uvedeny činnosti usnadňující učitelům výuku a žákům chápání jednotek měr – délky, obsahu, objemu, hmotnosti, času a měny a vztahů mezi nimi. Úkolem je najít komunikační cestu, která děti osloví a volit takové metody práce, které dětem usnadní pochopení tohoto učiva. Úspěšné zvládnutí základních jednotek je předpokladem pro to, aby děti mohly dále pracovat s jednotkami složenými jako jsou např. jednotky rychlosti, hustoty, síly, astronomické jednotky a další. strana 20 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Počítání s fyzikálními veličinami a s pojmenovanými čísly přináší dětem řadu potíží, z nichž nejčastější jsou: - děti nemají správnou představu o veličině ani o jednotce - neumí odhadnout alespoň přibližně velikost míry určité veličiny - mají problémy s převody jednotek příslušných veličin - nechápou souvislost mezi násobením mocninami deseti – chápou násobení ve smyslu 2 m . 10 = 20 m, když se úsečka zvětší desetkrát, ale již ne ve smyslu 2 m = (2.10) dm, kdy se jedná o tutéž délku úsečky vyjádřenou jinou jednotkou - nepochopí souvislost převodů jednotek měr a násobení a dělení přirozených nebo desetinných čísel čísly 10, 100, 1000, atd. - obtížně chápou, že „menších“ jednotek je „více“ a naopak – např. 5 dm = 50 cm, 500 cm = 5 m - neumí samostatně využít poznatků z reálného života. Pro práci s dětmi je vhodný metodický postup při postupném seznamování se s jednotkami měr. Některé kroky tohoto postupu jsou: Vytváření správné představy o jednotce příslušné veličiny: Tuto představu si dítě vytváří jednak pomocí konkrétních předmětů, které používá, prostřednictvím částí svého těla, pomocí měřidel (různých typů měřidel např. délky, hmotnosti aj.). Kolik cm měříš – jaká je tvoje výška. Vyjádři svoji výšku v decimetrech, v metrech. V jaké výšce svého těla můžeš ukázat 1 metr? Kolik cm naměříš, když rozpažíš? Ukaž pomocí rozpažení jeden metr. Jakou šířku má tvoje dlaň? Jakou délku má tvoje chodidlo? Má stejnou délku jako tvoje předloktí? Jakou jednotku může představovat šířka tvého ukazováčku? Dokážeš pomocí prstů ukázat 1 decimetr? Jakou máš hmotnost v kilogramech? Představ si množství písku, papíru, peří, železa – každé o hmotnosti 1 kg. Čím se tato množství od sebe liší? Kolik minut trvá tvoje cesta do školy? Kolik litrů tekutin denně vypiješ? Do jaké nádoby by se toto množství vešlo? Kolik decilitrů polévky se vejde do hlubokého talíře? Měření předmětů Dříve než začneme učit žáky převody jednotek, je třeba provádět konkrétní měření předmětů a vyjadřování v různých jednotkách – alespoň ve dvou různých (např. metrech a decimetrech), pokud je možné i ve třech různých jednotkách téže veličiny. Měříme rozměry třídy, učebnic, školních sešitů, stolu, chodby, hřiště, určujeme rozměry hřišť pro různé sporty (např. kopaná, volejbal, košíková, házená, hokej, tenis), rozměry bazénu. Určujeme hmotnost učebnic, školní aktovky s pomůckami, předmětů denní potřeby, nákupu aj. Vytyčujeme různé útvary daných rozměr (úsečky, obdélníky, čtverce) – např. běžeckou dráhu délky 60 m, 100 m, čtverec o délce strany 10 metrů (1 ar), hřiště pro vybíjenou apod. Procvičování odhadů K upevnění učiva o jednotkách má nezastupitelnou úlohu procvičování odhadů velikostí předmětů a následně porovnání se skutečnými rozměry: Jakou délku má asi cesta od domu ke škole? Jaká je vzdálenost do nejbližšího města, vesnice? strana 21 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Jakou rozlohu má rybník, les, park, atd.? Kolik arů nebo hektarů má fotbalový stadion (obdélník o rozměrech 100 m a 50 m)? Jakou hmotnost má nákup, který nesete domů? Uneseš milion hřebíčků, z nichž každý má hmotnost jeden gram? Kolik litrů vody se vejde do vany, ve které se koupáš? Kolik hektolitrů vody se vejde do bazénu? Kolik litrů vody denně spotřebuje vaše rodina? Domníváš se, že žiješ milion hodin? Umíš odhadnout, jak dlouhá doba (v hodinách či minutách) je milion sekund? Domníváš se, že od začátku počítání letopočtu uplynulo milion dní? Kolik metrů ujdeš, když ujdeš milion milimetrů? Jak velký balíček je tisíc tisícikorun ? Další činnosti Sestavování časového snímku dne (školního rozvrhu, činnosti o prázdninách aj.) Hra na prodávání v obchodě. Práce s jízdními řády (vlaků, autobusů, s letovými řády aj.). Práce s kurzovním lístkem měny. Využívání historických jednotek, jednotek různých zemí. Sestavení projektu – jak se dříve měřilo. Převody jednotek Pro správné pochopení si by měl učitel uvědomit úskalí, která provázejí tyto činnosti a měl by dětem sestavovat systém cvičení, která pomohou učivo zvládnout. Jedná se zejména o: násobení a dělení čísel přirozených i desetinných čísly 10, 100, 1000, … . sledování možností dětí při převodech jednotek měr, neboť některé děti raději pracují s čísly (aritmetický typ), pamatují si vztahy mezi jednotkami a dokáží je uplatnit. Další skupina dětí chápe spíše algebraicky a pamatuje si tabulky přímé úměrnosti sestavené pro jednotlivé jednotky. Pro děti, které potřebují neustálé činnosti jsou připraveny tak zvané mřížky pro převody jednotek měr, které velmi usnadňují dětem práci.

JEDNOTKY DÉLKY Využití převodních vztahů: 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 km = 1 000 m Využití funkčních závislostí např.: m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cm 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000


SU

∑ MA


Mřížka k převodu jednotek délky: km m dm cm mm 0 0 0 0 0 0 0 0 0

JEDNOTKY OBSAHU Převodní vztahy: 1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2 1 cm2 = 100 mm2 2 1 km = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m2 Mřížka:

0

0

0

0

km2 0 0

ha 0

m2

a 0

0

0

0

0

dm2 0 0

cm2 0 0

mm2 0 0

JEDNOTKY OBJEMU Převodní vztahy: 1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 1 dm3 = 1 l 100 l = 1 hl 1 cm3 = 1 000 mm3 1 cm3 = 1 ml Mřížka: m3 0

0

dm3 0

hl 0

0

l 0

cm3 Mmm3 dl cl ml 0 0 0 0 0 0

JEDNOTKY HMOTNOSTI 1 t = 1 000 kg 1 kg = 1 000 g JEDNOTKY ČASU 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3 600 s strana 23 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


6. Reedukace dyskalkulie Obecné reedukační postupy se dají uvést v tzv. „desateru“, avšak je nutné mít na zřeteli, že každé dítě je výrazná individualita a potřebuje svůj vlastní postup. To, co se osvědčí u jednoho dítěte, nemusí být přínosné u dítěte jiného. Stanovení diagnózy – formulování hlavních problémů dítěte v matematice, v kterém části učiva má dítě problémy, jaké jsou jejich příčiny, a také jaký má dítě vztah k matematice. Respektování logické výstavby matematiky a její specifičnosti – v matematice je pochopení a zvládnutí každého prvku nižší úrovně nezbytným předpokladem zvládnutí prvků vyšší úrovně. Reedukační cvičení musí proto začínat u toho učiva, které dítě přestalo chápat a zvládat. Pochopení základních pojmů a operací – veškeré základní pojmy je třeba generovat na konkrétních modelech a všechny pojmy i operace s čísly je třeba vyvozovat na základě vlastní manipulativní a myšlenkové činnosti dítěte. Přitom je třeba využívat nejrozmanitějších forem práce a stále nových situací a potřebnosti daných operací pro život dítěte. Navození „AHA efektu“ – kdy dítě samo objeví poznatek „já už vím“ a přijme poznatek za svůj. Je nutné mít neustále na zřeteli, že poznatky jsou nepřenosné, že přenosné jsou pouze informace. Využití všech smyslů – zapojení všech smyslů, kterých je možno pro získávání matematických poznatků – zraku, hmatu, sluchu, pohybu, tak aby to bylo dítěti příjemné a přispělo to k postupnému odbourávání problémů. Velký význam má využití vhodných her. Dyskalkulické děti jsou snadno unavitelné a změnou činností a využívání jiných smyslů se mohou aktivizovat. Diskuse s dítětem – „co vidíš“ – zda dítě vidí v dané situaci to, co jeho učitel. Každé dítě má svoje komunikační cesty, kterými se dobírá poznatků a ty je třeba diskusí s ním objevit. Neexistuje matematická slepota a každý se k matematice určitou cestou může dostat. Komunikační cesta dyskalkulického dítěte se může výrazně lišit od chápání ostatních dětí. Pamětné zvládnutí učiva – v míře takové, v které je dítě schopno. Avšak matematické učivo nemůže být opřeno o pouhou paměť bez porozumění a správného vyvození. Je třeba hledat vyváženost mezi vyvozováním a drilem. Zvyšování nároků na samostatnost a aktivitu dítěte - tvorba vlastních materiálů, příkladů a pomůcek samotným dítětem, nebo alespoň podíl na tvorbě – dítě si může uvědomovat nedostatky a podílet se aktivně na jejich nápravě zajímavou formou. Využití projektového vyučování. Neustálá potřeba úspěchu – dítě potřebuje pozitivní zážitky, pohodu, pochvalu, veselou, legrační cestu při nápravných cvičeních, terapii hrou, nepřetěžování, ale neustálé mírné zatěžování. Práce podle individuálního plánu - sestaveného pro konkrétní potřeby každého dítěte. Individuální výuka, individualizovaná výuka v integrované třídě.

7. Individuální plány - ukázka Zpracování individuálních plánů pro žáky s dyskalkulií probíhá zpravidla ve dvou úrovních. V první části obsahuje osobní údaje a charakteristiku žáka, která vyplývá z vyšetření v Pedagogicko psychologické poradně. Stanovená diagnóza a doporučení psychologa nebo speciálního pedagoga jsou pro učitele matematiky východiskem ke zpracování druhé části, která se opírá o analýzu skutečných vědomostí žáka v matematice a má výrazně individuální charakter. Některé postupy mohou mít obecnější planost, avšak jejich uplatňování závisí na možnostech žáka a jeho komunikačních cestách, kterými je schopen matematiku vnímat. Pro každého žáka lze najít určité strana 24 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


postupy, kterým porozumí, neexistuje tzv. matematická slepota. Dyskalkulie neopravňuje žáka k nečinnosti v matematice.

PROJEKT PETR Formulace problému: Petr má potíže s písemnými algoritmy – sčítáním, odčítáním, neví si rady s přechody přes základ deset, např. v příkladu 1 278 529 se projevují chyby typu: počítá 9 + 8 = 17, 17 zapíše pod jednotky, tedy

1 278 529 17917

nepřičte jednu desítku, ale číslo 10: 9 + 8 = 17, zapíše 7 a přičítá 10 + 2 + 7, to opakuje ve všech dalších součtech, tedy 1 278 529 11797 nepřičte desítku vůbec, počítá 9 + 8 = 17, zapíše 7, dále 2 + 7 = 9 , zapíše 9, atd. tedy 1278 529 1797 neovládá bezpečně pamětné spoje sčítání s přechodem přes základ 10 v oboru do dvaceti. Zkoušku správnosti neprovádí vůbec.

Analýza podproblémů - znovu je třeba vyvodit pamětné sčítání v oboru do dvaceti – např. pomocí mřížky, sledovat vlastní aritmetický model dítěte (některé děti sčítají podle modelu 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 15, tj. prvního sčítance doplní do deseti, některé děti však počítají 8 = 5 + 3, 7 = 5 + 2 , 5 + 5 = 10, 3 + 2 = 5, 10 + 5 = 15, tj. rozkládají pomocí pěti) - znovu upevnit rozklad čísla na desítku a jednotky: 17 / \ 10 7 - upevnit poznatek, že deset jednotek je jedna desítka - upevnit rozvoj čísla v desítkové soustavě: 17 = 1 . 10 + 7 - automatizace potřebných znalostí - procvičování odhadů výsledků – kolik asi vyjde.


SU

∑ MA


Práce s modely praktické využití – kde se v praktickém životě setkáme s příklady, kde potřebujeme větší sčítat čísla formální pomůcka – čtverečkovaný papír, zápis čísel přísně podle řádů do barevně vyznačených sloupců Kompenzační pomůcka: kalkulátor – za předpokladu, že je užíván funkčně, tj. že dítě umí pracovat s tlačítky správně a dokáže odhadnout výsledek

Nápravná cvičení Jsou zpracovány pracovní listy, které mají přibližně tento obsah (podrobné zpracování vychází vždy z potřeb žáka): nejprve sčítáme písemně čísla bez přechodu přes základ deset, např. 354 235 sčítáme čísla, ve kterých se vyskytuje pouze jeden přechod, např. 6257 1362 538 2573 sčítáme čísla, kdy jsou částečné součty 10, např. 562 748 965 156 134 258 sčítáme čísla, ve kterých se vyskytují všechny výše uvedené jevy.

PROJEKT LUCIE Formulace problému: Lucie má problémy při počítání se zápornými čísly, neví si rady se znaménkem „minus“ „-„. Nechápe, proč −2 > −5, příklady typu (−5) – (−8) v ní budí hrůzu. Analýza podproblémů Nejprve bylo nutné vysvětlit význam znaménka „minus“ jako: symbolu pro operaci odčítání, např. 12 − 7 označení záporného čísla, např. teplota byla – 6°C označení opačného čísla k danému číslu, např. k číslu 5 je opačné číslo (−5), k číslu –7 je opačné číslo –(−7) = +7 K pochopení čísla záporného byly nabídnuty modely: model fyzikální – měření teploty model peněžní – aktiva a dluhy model historický – zápis událostí před naším letopočtem model geografický – hory a prolákliny model herní – zápis kladných a záporných bodů při hře. Z nabídnutých modelů si Lucie vybrala model peněžní. strana 26 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


K formálnímu zápisu si vybrala dvě barvy – čísla kladná zapisovala modře, čísla záporná červeně. Nejprve se procvičovalo čtení a zápis čísel, pro jednoduchost se pracovalo pouze s čísly celými. Čísla se znázorňovala na číselné ose. Pomocí peněžního modelu a současném znázorňování čísel na číselné ose se pojmy začaly ujasňovat, intuitivně začala chápat číslo a jeho absolutní hodnotu, ačkoliv se s tímto pojmem nepracovalo. Problém nastal při porovnávání celých čísel. Lucie nemohla dlouho pochopit, proč např. –7 < −2, byla příliš fixována na pojem „větší dluh“ a na vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od obrazu čísla nula. Při dlouhodobém a trpělivém vysvětlování, využívání praktických příkladů a neustálém opakování začala přemýšlet a volit si vlastní příklady pro porovnávání čísel. Uplatnění mechanických pomůcek a vět se ukázalo neúčinné. Po zvládnutí numerace se přistoupilo k nácviku sčítání a odčítání celých čísel. Zde se pro některé případy uplatnil model bílých a černých knoflíků – žetonů.

Nápravná cvičení Metodická řada úloh pro procvičování obsahovala příklady typu: 5+4 (−5) + 4 (−5) + 8 5 + (−4) 5 + (−8) (−5) + (−4) (−5 ) + (−8) 5–4 (−5) – 4 5 − (−4) (−5) – (−4)

4–5 (−5) − 8 5 – (− 8) (−5) – (−8)

PROJEKT MICHAL Formulace problému: Michal má problémy se sčítáním zlomků – sčítá všechna čísla v čitatelích a všechna čísla ve jmenovatelích, např.: 1 1 1 3 + + = 2 3 6 11 Obecně:

a c a+c + = b d b+d

Analýza problému - pochopení pojmu zlomku jako části celku, - pochopení zlomku jako racionálního čísla. - pochopení sčítání zlomků - rozšiřování zlomků - hledání společného jmenovatele - určení nejmenšího společného násobku daných čísel strana 27 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Práce s modely Čtyři shodné kruhy z papíru, práce s nápoji (limonádou), odměrky na tekutiny Pracujeme za aktivní účasti dítěte. A) Barevné shodné kruhy rozdělíme postupně: první na dvě stejné části, druhý na tři stejné části, třetí na šest stejných částí, čtvrtý na jedenáct shodných částí a části vystřihneme. Poskládáme k sobě postupně jednu polovinu, jednu třetinu a jednu šestinu – tyto části vyplní celý kruh. Porovnáme s třemi jedenáctinami. To se zjevně nerovná. B) Do odměrky o objemu 1 litr nalijeme postupně jednu polovinu litru limonády, jednu třetinu litru a jednu šestinu litru – porovnáme s třemi jedenáctinami litru limonády. Práce s tekutinou - přelévání vody nebo limonády byla pro Michala atraktivnější a měla větší efektivitu při chápání součtu zlomků, než práce s papírovými kruhy. Nápravná cvičení se provádějí v jemné metodické řadě: 1 3 Sčítáme zlomky se stejnými jmenovateli, např. + 5 5 1 3 Sčítáme zlomky se jmenovateli, kdy jeden je násobek druhého, např. + 4 8 3 2 Sčítáme zlomky, jejichž jmenovatelé jsou čísla nesoudělná, např. + 5 7 3 5 Sčítáme zlomky, jejichž jmenovatelé jsou čísla soudělná, např. + 8 12 Speciálně zpracované postupy pro výuku žáků se specifickými vývojovými poruchami učení by měly respektovat několik zásad: zpracování výukových programů je výrazně individuální – každému dítěti vyhovuje jeho vlastní přístup k matematice, nesmí se porušit zásada vědeckosti v matematice, programy musí být zpracovány tak, aby jejich didaktická transformace neporušila matematickou správnost, tj. se dítě jednou naučené poznatky nemuselo v budoucnu učit znovu jinak, respektuje se vlastní matematický model dítěte, pokud je správný a je možno jej využít v dalším učivu, využívá se co nejvíce matematických her, a činností dětem blízkých, respektuje se časový faktor při zvládání matematického učiva – žáci se nepřetěžují nadměrnou časovou zátěží – vhodnější je méně, ale o to častěji, využívá se učiva v jiných situacích, nestaví se na pouhé paměti, ten, kdo pracuje s dětmi, musí prokázat velkou míru trpělivosti, každý, i sebemenší úspěch dítěte je třeba ocenit pochvalou.


SU

∑ MA


Na závěr 10 a jedna rada: D – diagnostika Y – y představuje rozcestí – když nevím jak, potřebuji okamžitou pomoc S – specifičnost matematiky – je abstraktní a každý prvek vyšší úrovně vyžaduje znalost prvků úrovně nižší K – konkrétní činnosti a modely k pochopení každého učiva A – „Aha“ efekt – už vím – k poznatku se dobere každý sám L - láska k dětem, i když mají nesnáze K – komunikace s dítětem U – úspěch vždy pochválíme L – líbivé pomůcky a modely I – individuální plán a činnosti E – energie, trpělivost.

Literatura BLAŽKOVÁ, R., MATOUŠKOVÁ, K., VAŇUROVÁ, M., BLAŽEK, M.: Poruchy učení v matematice. Brno, Paido 2000. HEJNÝ, M. a kol.: Teoria vyučovania matematiky. Bratislava, SPN 1990. KUCHARSKÁ, A.: Specifické poruchy učení a chování. Sborník 2000. Praha, Portál 2000. KRUPKA, P.: Sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií. Praha: Prometheus, 2000. KUŘINA, F.: Umění vidět v matematice. Praha: SPN 1989. KUŘINA, F.: Deset pohledů na geometrii. Praha: Matematický ústav AV ČR a Albra, 1996. KUŘINA, F.: Geometrické praktikum I. Praha: MÚ ČSAV, 1992. KUŘINA, F.: Geometrické praktikum II. Praha: MÚ ČSAV, 1994. POKORNÁ, V.: Cvičení pro děti se specifickými poruchami učení. Praha, Portál 1998. SERFONTEIN,G.: Potíže dětí s učením a chováním. Praha, Portál 1999 SOUČKOVÁ, B.: Sbírka písemných tématických prověrek a úloh z matematiky pro 6. ročník ZŠ. Praha: JČSMF, 1986. ŠVRČEK,J., VANŽURA, J.: Geometrie trojúhelníka. Praha: SNTL, 1988. ZELINKOVÁ, O.: Pedagogická diagnostika a individuální vzdělávací program. Praha: Portál, 2001. Slovník školské matematiky Matematické, fyzikální, chemické tabulky


SU

∑ MA


Školní vzdělávací program a možnosti podpory žáků se speciálními vzdělávacími potřebami v matematice

Recommend Documents