Knoch László: Információelmélet
Mi az ítélet? LOGIKA • Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: • i igaz • h hamis • A 2 páros és prím. Logikai értéke pedig igaz. • A mákos tészta egyik alapanyaga a mustár. Ennek logikai értéke hamis. • Most következzen egy mondat, ami nem ítélet: Hazudok. Ennek nem dönthető el a logikai értéke, hiszen: 1. ha igaz, akkor hazudok, tehát hamis 2. ha hamis, akkor igazat mondok, vagyis igaz.
Az elemi ítélet és az ítélet • Az elemi ítélet olyan ítélet, amely nem bontható tovább más ítéletekre. Minden ítélet egy vagy több elemi ítélet logikai műveletekkel való összekapcsolásával hozható létre. • Egy összetett ítélet: A 2 páros és prím. • Ez két elemi ítélet összekapcsolása az ÉS logikai művelettel. Az elemi ítélet és az ítélet
A logikai műveletek
•
•
Legyen A illetve B ítélet a következő. A: A gomba növény. (logikai értéke: h) B: A kukorica növény. (logikai értéke: i) C: A gorilla emlős. (logikai értéke: i) Ebből képezhetünk összetett ítéleteket. Például a következőket.
1
A negáció • Jele:Ø • A negáció az ítélet tagadása. Ha p igaz, akkor p hamis. Ha pedig p hamis, akkor p igaz. • Példa: p: Süt a nap. Ha a "süt a nap" kijelentés igaz, akkor a "nem süt a nap" kijelentés hamis. Ha a "süt a nap" kijelentés hamis, akkor a "nem süt a nap" kijelentés igaz.
A konjunkció • Jele: Ù • Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk az ÉS kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a konjunkció. Egy konjunkció logikai értéke csak akkor igaz, ha a benne szereplő ítéletek mindegyike igaz. Egyébként hamis. • Példa: r: A hidrogén nemesgáz. s: A hidrogén vegyjele H. A hidrogén nem nemesgáz, tehát az állítások közül az első hamis. A hidrogén vegyjele H, tehát a második állítás igaz. Így a "hidrogén nemesgáz ÉS vegyjele H" állítás hamis lesz.
A diszjunkció • Jele: Ú • Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk a VAGY kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a diszjunkció. Egy diszjunkció logikai értéke akkor igaz, ha a benne szereplő ítéletek közül legalább az egyik igaz. Egyébként hamis. • Példa: r: A kukorica növény. s: A kukorica állat. A kukorica növény, tehát az állítások közül az első igaz. A kukorica nem állat, tehát a második állítás hamis. Így a "kukorica növény vagy állat" állítás igaz lesz, mivel legalább az egyik teljesült.
2
Az antivalencia • Jele: Å • Olyan vagy művelet, amely akkor igaz, ha a benne szereplő állítások közül pontosan egy igaz. Egyébként hamis. • Példa: r: Rendet rakok a szobámban. s: Kimegyek görkorcsolyázni. A "VAGY rendet rakok a szobámban, VAGY kimegyek görkorcsolyázni." mondat hamis, ha mindkét állítás igaz. Azaz akkor igaz, ha rendet rakok a szobámban, de nem korcsolyázom, vagy ha korcsolyázom, de nem rakok rendet. Az implikáció • •
Jele: ® Ha p és q két állítás, akkor a HA p, AKKOR q alakú új állítást implikációnak, vagy következtetésnek nevezzük, és azt jelenti, ha p igaz, akkor q is igaz. Ezt úgy mondjuk, hogy "p implikálja q-t". Az implikáció csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis ( p igaz, de q hamis). Az implikáció tehát két részből áll: •
r: esik az eső s: vizes a járda A r s implikáció így hangzik: "Ha esik az eső, akkor vizes a járda". Ennek logikai értéke igaz. A s r implikáció, ami az előző megfordítása pedig így hangozhat: "Ha vizes a járda, akkor esik az eső". Amint látjuk ennek lehet hamis is a logikai értéke, például, ha egy locsoló kocsi járt arra. Láthatjuk tehát, hogy egy implikációnak és megfordításának nem feltétlenül egyezik meg a logikai értéke.
Tehát csak akkor hamis az implikáció, ha igaz feltételből hamis lesz a következtetés. Az ekvivalencia • Jele: « • Ha egy implikációnak és megfordításának logikai értéke megegyezik (vagy egyszerre igaz, vagy egyszerre hamis), akkor ezt ekvivalenciának nevezzük. Ha például p q igaz, és megfordítása q p is egyszerre igaz, akkor implikációnak nevezzük. Vagy ha r s hamis, és megfordítása s r is egyszerre hamis, akkor szintén implikációról beszélünk. Tehát az implikáció így írható fel: (p q) (q p) Az ekvivalenciát a "p akkor és csak akkor, ha q" alakban szoktuk megfogalmazni. Példa: p: A háromszög egyenlő oldalú q: A háromszög minden szöge egyenlő p q: A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha minden szöge egyenlő. 3
Ezt megfogalmazhatnánk két implikáció formájában is: Ha a háromszög egyenlő oldalú, akkor minden szöge egyenlő. ÉS Ha a háromszög minden szöge egyenlő, akkor egyenlő oldalú.
A Sheffer művelet • •
Jele: | Kizárásnak is szokás nevezni. A művelet logikai értéke csak akkor hamis, ha az ítéletek közül mindkettő igaz. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Sheffer művelet akkor igaz, ha legalább az egyik állítás hamis.
A sem-sem művelet • Jele: ~ • A művelet logikai értéke csak akkor igaz, ha az ítéletek közül mindkettő hamis.
MŰVELETEK: Legyenek p, q, r és s a következő ítéletek! p: Szép nap van. q: Még a rabkocsiból is nóta hangzik. r: Kutyák futkosnak az árokszélen. s: Mindenki remekül tölti az időt. • 1. feladat: Fogalmazd meg a következő kijelentéseket! a) p Ù r b) p ® s Ù q c) r Å s Megoldás: a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen. b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül tölti az időt, és még a rabkocsiból is nóta hangzik. c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy mindenki remekül tölti az időt. 4
•
Írd fel a következő mondatokat logikai jelek segítségével! a) Mindenki remekül tölti az időt, és kutyák futkosnak az árokszélen. b) Ha nem futkosnak kutyák az árokszélen, akkor mindenki remekül tölti az időt. c) Akkor és csak akkor tölti mindenki remekül az időt, ha még a rabkocsiból is nóta hangzik.
Megoldás: a) s Ù r b) Ør ® s c) s « q •
Add meg a következő kifejezés logikai értékét, ha p igaz, q igaz, r hamis, s hamis. a) p ® q b) q Å s c) s | p d) Ø s e) q Ú r f) s ~ r Megoldás: • a) igaz, mert ha az implikáció feltétele és következménye is igaz, akkor az implikáció is igaz. b) igaz, mert az antivalencia akkor igaz, ha az ítéletek közül pontosan az egyik igaz, itt pedig q igaz, és s hamis. c) igaz, mert a Sheffer művelet csak akkor hamis, ha mindkét ítélet igaz, itt pedig az egyik (s) hamis. d) igaz, mert s hamis, ezért negációja (tagadása) igaz. e) igaz, mert a diszjunkció akkor igaz, ha legalább az egyik ítélet igaz. f) igaz, mert a sem-sem művelet csak akkor igaz, ha mindkét ítélet hamis. Itt pedig r és s is hamis. A műveletek sorrendje Egy többszörösen összetett művelet logikai értékét többféleképpen lehetne értelmezni, ha nem állítanánk fel egy műveleti sorrendet. A logika műveleteknél ez a következő. 1. negáció 2. konjunkció 3. diszjunkció 4. implikáció 5. ekvivalencia Egyenértékű jelek esetén pedig balról jobbra végezzük el a műveleteket. •
Nézzük meg, hogy milyen értékeket vehet fel a kifejezés attól függően, hogy milyen sorrendet határozunk meg. 1. Először a negációt végezzük el, azután a konjunkciót:
2. most nézzük meg milyen igazságértékeket kapunk, ha a konjunkciót végezzük el először, és csak azután a negációt: Láthatjuk, hogy két teljesen különböző eredményt kaptunk, tehát fontos, hogy figyeljünk a helyes műveleti sorrendre.
5
Logikai érték kiszámítása igazságtáblával A több állításból álló ítéletek logikai értékének kiszámítása nehezen követhető, ha segítség nélkül próbáljuk végiggondolni. Az igazságtábla segít rendszerezni a különböző műveletek logikai értékét. Példa: (pØ®q )Ú(pÙr) A logikai értékek meghatározásához tudnunk kell a pØ®q és a pÙr kifejezések logikai értékét. A pÙr meghatározható közvetlenül a p és az r logikai értékeiből, de a pØ®q meghatározásához még szükségünk van a q értékeire is. Először beírjuk p, q és r összes variációját. Majd q alapján Øq-t határozzuk meg. Így könnyen megadható pØ®q kifejezés. Ezután megadjuk pÙr logikai értékeit. pØ®q és pÙr alapján meghatározható a végeredmény.
•
b) (ØpØÙ q)Ú(q®r)
6
Határozd meg a következő ítéletek lehetséges logikai értékeit igazságtábla segítségével! a) (AÙB)®(ØAÚB)
7
