Költségoptimális nagytranszformátor tervezés Geometriai Programozás segítségével

XXIX. Kandó Konferencia  29th Kandó Conference

November 21, 2013, Budapest, Hungary

Költségoptimális nagytranszformátor tervezés Geometriai Programozás segítségével Orosz Tamás, Dr. Vajda István [email protected], [email protected] Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Villamos Energetika Tanszék, Egry József utca, 19., 1119, Budapest

Tartalmi kivonat: A Geometriai Programozás (GP) formalizmusával felírt nemlineáris optimalizálási feladatok egyik első alkalmazása a nagytranszformátorok költségoptimalizálása volt. Fő előnye a GP alkalmazásának a gyakorlati tervezés szempontjából, hogy az ebben a formalizmusban felírt optimalizálási feladatnak a megoldása biztosan a globális megoldás lesz. A GP feladatok egyszerű transzformációval átalakíthatóak konvex optimalizálási feladattá, ahol használhatók a korszerű, belsőpontos módszerek, melyek segítségével a változók kezdeti értékének a megadása nélkül, hatékonyan juthatunk el a feladatunk optimális megoldásához. A GP feladat célfüggvényének a transzformátor teljes bekerülési költségét választottam. Ekkor a gyártási költségen felül, az üzemeltetési költségekből számított kapitalizációs tényezőkön keresztül vesszük figyelembe a transzformátor rövidzárási és üresjárási veszteségeit. A feltételi egyenletek tartalmazzák a transzformátor optimalizálási modellhez redukált egyenletrendszerét.A közleményben röviden ismertetem az alkalmazott modellt és az azzal kapott eredményeket. Kulcsszavak: nagytranszformátor ;költségoptimalizálás; geometriai programozás

1

Bevezetés

Az energiaátviteli transzformátorok méretezése során a legfontosabb tervezési szempont a költségek minimalizálása az előírt paraméterek betartása mellett. Ez a feladat még napjainkban is nagyban a tervező intuícióján múlik. Már a 20. század eleje óta folynak kutatások olyan eljárások kidolgozására, amelyek elméletileg alátámasztott módon képesek az adott jellemzőkkel rendelkező transzformátorok meghatározására. Az irodalomban a legkülönfélébb matematikai modelleken alapuló módszerek találhatók meg a témában, az egyszerű iterációs eljárásoktól kezdve a legkorszerűbb optimalizáló eljárásokig [1-5]. A Geometriai

– 1

Orosz Tamás, Dr. Vajda István

Költségoptimális nagytranszformátor tervezés GP segítségével

Programozás [GP] a nemlineáris optimalizálási feladatok egy típusa, melynek egyik első alkalmazása a transzformátorok optimalizálása volt [2,3]. Nevét onnan kapta, hogy megoldásához a geometriai közép és a számtani közép közötti összefüggéseket használták fel. Jelentőségét az adja, hogy az újabb kutatások során [4,6,7] olyan új megoldási módszereket fejlesztettek ki, amelyek nagy hatékonyonysággal képesek kezelni az ilyen alakban felírt, nagy méretű optimalizálási feladatokat. Jabr [4] bemutatta, hogy egy egyfázisú, nagyfrekvenciás, köpeny típusú transzformátor tömegének minimalizálása hatékonyan kezelhető ezzel a módszerrel. A közleményben egy háromfázisú, mag-típusú transzformátorra fogom alkalmazni a korszerű GP megoldóprogramot. A megvalósított GP modell régóta ismert, megtalálható akár Del Vecchio könyvében [2], azonban az ott közölt modellhez képest a rövidzárási impedancia képletet módosítanom kellett, hogy helyes eredményeket kapjak, illetve az eredeti két-tekercses modell helyett, három-tekercses modellt használtam a számításokhoz.

2

Geometriai Programozás [GP]

A következő alakban felírt nemlineáris optimalizálási feladatot nevezzük GP feladatnak:

min {f 0 } f i ( x ) ≤1, i= 1,. . .m g j ( x ) =1, j=1, . .. o

(1)

x= x x . .. x

( 1, 2, n) az optimalizálási feladat változóinak a tárolására, az ahol fi(x) pozinomokkal adott feltételi egyenlőtlenségrendszer, gj(x) monomokkal adott feltételi egyenletrendszer. Az x vektor összes eleme pozitív kell legyen. A monomiális alakú kifejezés a következő képlettel adott: (α 1)

( α2 )

(α n)

g ( x ) =c g⋅x1 ⋅x 2 .. . x n ahol c g >0, c g ∈ℝ összegeként írható fel: K

α 1k

és

α 2k

(2)

α i ∈ℝ számok. Egy pozinom ilyen monomok α nk )

f ( x )=∑ c k x (1 ) x (2 ) .. . x (n

(3)

k= 1

A GP feladat nemlineáris, konvex optimalizálási problémává transzformálva gyorsan, automatikusan, kis számításigénnyel megoldható [6,7]. Ha a transzformáció, mely pl. a változók logaritmikus cseréjét jelenti, megtehető,

– 2



akkor az így kapott nemlineáris, konvex optimalizálási probléma lokális maximuma a globális maximum lesz [4, 6, 7]. Egy teljesen általános GP feladatról nem állítható, hogy konvex optimalizálási feladattá alakítható, azonban megfelelő modellezési szabályok betartásával ez biztosítható [6,7], az ilyen módon felírt egyenletrendszeren a transzformációt és a feladat megoldását már a megoldóprogram végzi. A feladatot a “CVXOPT” nevű [8] Python modul segítségével oldottam meg.

3

A megvalósított GP modell

A [2] által közölt kéttekercses modellt használtam fel a számításaimhoz. A feladat célfüggvényének én is a transzformátor ún. kapitalizált költségét tekintettem, amely költségként veszi figyelembe a transzformátor gyártási költsége mellett az élettartama során keletkező veszteségeket, így a különböző hatásfokú modellek összehasonlíthatók [9].

1.ábra Háromfázisú, három-tekercses transzformátor aktív részének metszeti sémája, elvi felépítése és gerjesztési képe. Ahol tb, tk, tsz, a belső, külső és szabályozó tekercsek szélességét jelölik, Rv, Rb, Rk, Rfsz, Rk pedig a vasmag, a belső tekercs, a főszigetelés, a külső tekercs közepes sugarát jelölik.

A különböző transzformátor tekercseket a módszer a töltőtényezőn keresztül veszi figyelembe. A töltőtényező, a tekercsbe beépített réz térfogatának és a

– 3



tekercs teljes térfogatának az aránya, a gyártási tapasztalatok és a tekercs névleges adatai alapján jól becsülhető, gyakorlatban használható eredményeket ad, de nyilvánvaló elhanyagolásokat visz az eredményekbe. Első fontos különbség a [2]-ben ismertetett modellhez képest, hogy az 1.ábrán látható módon három-tekercsessé egészítettem ki a modellt. A harmadik tekercs egy szabályozó tekercs, amelyről feltételeztem, hogy a szabályozó névleges fokozatállásában deenergizált állapotban van. Ez alapján ez a tekercs egy, az ablakszélességet növelő, radiális távolságot,és anyagköltséget fog jelenteni a modellben, amely ezen keresztül hatással van a vasmag tömegére, veszteségére, illetve a dropjára. A rövidzárási impedancia, az 1.ábra jelöléseivel, a következő alakban adható meg:

Z=

( 2⋅π 2 )⋅μ 0⋅f⋅Pf R b⋅t b Rk⋅t k U 2m⋅( h+s )

(

⋅

3

+

3

+R fsz⋅t fsz

)

(4)

ahol az f a frekvencia , μ0 a vákuum permeabilitása, s az ablakszélesség, Pf a fázisteljesítmény, h az ablakmagasság, Um menetfeszültség értéke. A képlet alakjából és a GP fejezetben látottak alapján belátható, hogy csak pozinomiális alakú egyenlőtlenségként tudjuk a dropot a modellben figyelembe. Nekünk a következő alakú kifejezésre lenne szükségünk, egy alsó korláthoz:

c 1⋅Z A+B+C+D

(5)

≤1

ahol a c 1 konstans jelképezi az optimalizálási paramétereket tartalmazó tagokat, az A, B, C, D betűkkel jelölt tényezők pedig az optimalizálási változókat tartalmazó tényezőket. A (4) - (5) összefüggésekből látható, hogy a következő egyenletet tudjuk csak pozinomiális alakban megadni:

c1⋅A+B+C+D Z

(6)

≤1

Azaz csak egy felső korlátot tudunk ilyen módon a rövidzárási impedanciára definiálni, ami az előírt impedanciaérték érték ±5%-os biztosításához nem elegendő, hiszen a (4)-es formulából látható, hogy a tekercsek szélességén és a főszigetelési távolság vastagságán keresztül a rövidzárási impedancia növelése a transzformátor tekercstömegét, anyagköltségét növeli. Alsó korlát előírása nélkül számolt rövidzárási impedancia értéke jóval elmarad a szabványban előírt értékektől, más feltételek hatásaképpen alakul ki az értéke, ez tervezési szempontból elfogadhatatlan.

– 4



A rövidzárási impedancia pontos számításához egy szukcesszív approximációs eljárást dolgoztam ki, amely a gyakorlati tervezési tapasztalaton alapul, ±3%-os bizonytalansággal számítja azt. Bevezettem a modellbe egy alaktényezőt, amely kezdetben semmilyen korlátozó szereppel nem bír, értékét a belső tekercs százalékos rövidzárási impedanciájából számítom, majd a számítás után a program ellenőrzi a kapott eredmények alapján a dropot, és amíg az az elfogadási tartományon kívül van, addig az újraszámolja az optimalizálási feladatot, a módosított alaktényezővel, egészen addig, amíg a drop az elfogadási tartományon belülre nem kerül. Így biztosítható, hogy a kapott eredmény megfelel minden tervezési követelménynek.

3.3 Mintaszámítás 3.3.1 Az optimalizálási feladat megoldása a gyakorlaból vett adatokkal Nézzünk egy számítást egy 40 MVA-es 132/20 kV-os YNd11 kapcsolású, ±10% szabályozási tartománnyal rendelkező 3 fázisú, 3 oszlopos transzformátor esetére, 1000 €/kW rövidzárási és 4000 €/kW üresjárási kapitalizációs költséggel számolva. A számítás során a kitöltési tényezőt 60%-ra választottam a fő tekercsekben, illetve 40%-ban a szabályozó tekercsben, 12 €/kg rézár mellett, a maximálisan megengedhető áramsűrűséget 4A/mm2-ben maximalizáltam. A vasmag anyag számításához az M1H mágneses acélra illesztett pozinomot használtam 3,5 €/kg ár, és 1,2 building faktor és 1,73 T megengedhető oszlopindukció mellett. Feltételezem, hogy a transzformátor dropjára 12%-ot írtak elő. Az optimalizáló programmal kapott eredmények összefoglalása, a gyakorlati adatokon alapuló számításra. 1. táblázat

Mennyiség

Mértékegység

Eredmény

Menetfeszültség Oszlopindukció Oszlopátmérő Vasmag tömege

[V] [T] [mm] [t]

115,0 1,73 648,0 20,8

Üresjárási veszteség

[kW]

18,9

Rövidzárási veszteség

[kW]

170,5

Drop (számított)

[%]

12,2

Tekercs szélességek (b; k; sz)

[mm]

101; 105; 18

Tekercs magasságok (b; k; sz)

[mm]

764; 764; 612

Áramsűrűségek (b; k; sz)

[A/mm2]

2,51; 2,42; 4,0

Közepes átmérők (b; k; sz)

[mm]

780; 1034; 1179

– 5



3.3.2 A gyakorlati számításra kapott eredmények értékelése A bemenő adatoknál láttuk, hogy a rövidzárási és az üresjárási veszteség kapitalizált költségének az aránya 1:4-hez, illetve a vasmag és a réz anyagának az aránya 1:3,4-hez, ami magyarázza az 1.táblázatban látható magas menetfeszültséget, és a veszteségek nagy arányát. A táblázatban feltüntettem a rövidzárási impedancia utólag számolt, százalékos értékét, mert ezt a program csak egy ±3%-os bizonytalansággal képes kezelni. 3.3.3 Módosított, elméleti számítás Levezethető hogy a transzformátor hatásfoka akkor maximális, hogyha a rövidzárási és az üresjárási veszteségek megegyeznek. Kényszerítsük rá a programunkat, hogy a fenti feladatot, a maximális hatásfokú gép kiszámítására oldja meg, ekkor azt várjuk, hogy a rövidzárási és az üresjárási veszteségek aránya 1:1 lesz. Ehhez a réz, a vasmaganyag árát elhanyagolhatóan kicsire 0,1 €/kg-ra választottam, a kapitalizációs tényezőket egyformán nagyon magasra 10000 €/kW értékűre. Az optimalizáló programmal kapott eredmények összefoglalása a módosított adatokkal végzett számításra. 2. táblázat

Mennyiség

Mértékegység

Eredmény

Menetfeszültség Oszlopindukció Oszlopátmérő Vasmag tömege

[V] [T] [mm] [t]

155,2 0,98 1001 72,8

Üresjárási veszteség

[kW]

19,57

Rövidzárási veszteség

[kW]

19,0

Drop (számított)

[%]

12,39

Tekercs szélességek (b; k; sz)

[mm]

338; 336; 11

Tekercs magasságok (b; k; sz)

[mm]

2138; 2138; 1710

Áramsűrűségek (b; k; sz)

[A/mm2]

0,2; 0,2; 2,69

Közepes átmérők (b; k; sz)

[mm]

1371; 2092; 2461

3.3.4 Az elméleti számítás eredményeinek az értékelése Látható a 2.táblázat adataiból, hogy óriási méretű transzformátort kaptunk, de most nem is az volt a cél, hogy a gyakorlatban megvalósítható paramétereket

– 6



kapjunk, hanem arra voltunk kíváncsiak, hogy a program az elméletnek megfelelően 1:1 arányban fogja-e megtalálni a rövidzárási és az üresjárási veszteségeket. Következtetések Sikerült olyan mag-típusú transzformátor-modellt alkotni, amely a korszerű GP megoldóprogram segítségével néhány másodperc alatt olyan eredményt ad egy adott specifikáció alapján a tervező részére, amely közel optimális megoldást ad a tervezési feladatra. Irodalom [1]

Újházy Géza, „Erőátviteli transzformátorok tekercsrendszerének méretezése”, Elektrotechnika, 1969/10-11

[2]

R. M. Del Vecchio, B. Poulin, P. T. Feghali, D. M. Shah, R. Ahuja, „Transformer Design Principles – With Applications to Core-Form Power Transformers”

[3]

R.J.Duffin, E.L.Peterson, and C.Zener, "Geometric Programming", Wiley, NY, 1967.

[4]

R. A. Jabr, „Application of Geometric Programming to Transformer Design”, IEEE Transactions on Magnetics, 2005 November.

[5]

P. S. Georgialakis, „Spotlight On Modern Transformer Design”, Springer, 2009.

[6]

S. P. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi, „A tutorial on geometric programming,” Information Systems Laboratory, Dept. Elect. Eng., Stanford Univ., Stanford, CA, Tech. Rep., 2004.

[7]

S. P. Boyd, L. Vandenberghe, „Convex Optimization”, Cambridge University Press, 2004.

[8]

M. Anderson, L. 2012-2013.

[9]

P. S. Georgialakis, „Environmental Cost of distribution transformer losses”, Elsevier

Vandenberghe, „CVXOPT”,

– 7

http://cvxopt.org,

Költségoptimális nagytranszformátor tervezés Geometriai Programozás segítségével

Recommend Documents