Kismedve — Szeged 2015
Főfeladatok 1. Micimackó, Malacka és Tigris töprengenek. Micimackó azt mondja: „Hármunk közül csak Malacka hazudós.” Malacka azt mondja: „Hármunk közül egyedül Tigris hazudós.” Tigris azt mondja: „Micimackó és Malacka is hazudós, egyedül én vagyok igazmondó.” Ki(k) az igazmondó(k), ha tudjuk, hogy a hazudósak mindig hazudnak, az igazmondók mindig igazat mondanak, és a társaságban van legalább egy igazmondó? 2. Legkevesebb hány szín kell egy oktaéder csúcsainak kiszínezéséhez, hogy az éllel összekötött csúcsai különböző színűek legyenek?
3. Dvejg Emese reggel a ruhásszekrény előtt próbálja eldönteni, hogy mit is vegyen fel aznap. Van hét különböző színű pólója, négy különböző színű szoknyája és három különböző színű cipője. Hányféle ruhaösszetétel közül kell meghoznia nehéz döntését, ha magenta színű pólója nem megy a narancssárga szoknyájához, és lila cipőjét csakis a fehér pólójával szereti hordani? 4. Három medve, Micimackó, Maci Laci és Bubu málnalekvárt vásároltak. Micimackó és Maci Laci együtt 6-tal kevesebbet vettek, mint Bubu. Maci Laci és Bubu együtt 16-tal többet vásároltak, mint Micimackó. Micimackó és Bubu pedig 8-cal többet szereztek be, mint Maci Laci. Mennyi a szorzata a Micimackó, Maci Laci és Bubu által vásárolt üveg lekvárok darabszámának? 5. Medvefölde kedvenc sportága a honeyball, melynek során a csapatok egy mézeskaptár formájú labdát próbálnak a másik csapat bödönébe juttatni. A bajnokság jelenleg 18 csapatos, melyek két divízióra, a Grizzlyre és az Örvösre oszlanak. Mindkét divízió 3 csoportból áll, csoportonként 3 csapattal. Ha egy csapat 4 meccset játszik egy szezonban minden csoportellenfele, 3 meccset minden azonos divízió-beli, de nem vele egy csoportban lévő, és 2 meccset minden másik divízió-beli ellenféllel, akkor összesen hány honeyball meccsből áll egy szezon? 6. Az első 2015 pozitív négyzetszám közül mennyinek áll a tízes helyiértékén páratlan számjegy? (Egy pozitív egész szám négyzetszám, ha előáll egy pozitív egész szám önmagával vett szorzataként.)
1
7. 50 medve áll egy sorban. Az első beáll a sor végére, aki második volt, bemegy a barlangba, így aki eredetileg harmadik volt, most első lesz. Ezután ő, aki első helyen áll beáll a sor végére, a következő pedig bemegy a barlangba. Ezt addig ismétlik, amíg csak 1 medve marad kint a barlang előtt. Hányadik volt ő az eredeti sorban? 8. Hány különböző tengelyesen szimmetrikus hatszög van, mely az ábrán látható síkidom négy egybevágó példányából kirakható? (Átfedés nélkül szeretnénk kirakni a hatszögeket, mind a négy példány felhasználásával.)
9. Aladár számológépe úgy ábrázolja a számjegyeket, hogy a 8-as 7 db szakaszból áll (lásd ábra), a többi számjegy pedig ezek közül párból, a szokásos módon. Hány olyan háromjegyű szám van, ha beüt a számológépébe és megszámolja a szakaszokat, akkor annyit kap, mint amennyi a szám számjegyeinek összege?
10. Az alábbi ábra pontjai közül hány olyan ponthármas választható ki, amelyek egy szabályos háromszög csúcsai?
Mellékfeladatok 11. Balu estére vendégeket vár. Nem tudja, hogy hány szendvicset készítsen, de elhatározza, hogy ő nem fog már este enni. Először 25 szendvicset készített, így minden vendégnek jut kettő, de három már nem. Ezt kevésnek találta, így készített még 10 szendvicset. Így már minden vendégnek jut három, viszont négy már nem. Mivel Balu szereti a hasát, ezért úgy döntött, hogy összesen 52 szendvicset készít. Így minden vendégnek jut majd négy szendvics, és még marad pár, így, aki nagyon éhes, ehet egy ötödik szendvicset, de ötödik szendvics nem jut már mindenkinek. Hány vendéget várt Balu? 2
12. Berninek 4-féle batkája van, fabatka, aranybatka, ezüstbatka és gyémántbatka, összesen 12 darab. Fabatka ugyanannyi van, mint ezüstbatka, aranybatkából pedig kétszer annyi van, mint gyémántbatkából. Hány gyémántbatkája van Berninek? 13. Medve László 54 éves, míg anyukája Medve Mama 80. Hány évvel ezelőtt volt Mama Maci éppen háromszor olyan idős, mint fia? 14. A mosómedve hétfőn, szerdán és pénteken mindig hazudik, a hét többi napján mindig igazat mond. A kodiak-medve kedden, szerdán és csütörtökön mond igazat, míg a hét többi napján hazudik. Milyen napon mondta mindegyikük: „Tegnap igazat mondtam!”? 15. Micimackó éléskamrájának egyik polcán egy sorban 4 bödön méz van: akácméz, virágméz, hársméz és repceméz. A repceméz az akácméztől balra található, de nem a sor szélén. Hányféle sorrendben állhatnak a bödönök? 16. Brumm Bálint pénztárcájában most 900 forint van. Két órával korábban elköltött 1200 forintot málnára, majd fél órával később pénze feléből csuprokat vett. Az így megmaradt pénze 32 részéből a csuprokat mézzel töltette tele, majd végül a fennmaradó összege 14 részéből lekvárt vett. Mennyi pénze volt Bálintnak még a málna vásárlása előtt? 17. Hány olyan kétjegyű szám van, amire igaz, hogy a számjegyei összegének és szorzatának összege egyenlő a kétjegyű számmal? 18. Micimackó kiskockákból épít téglatestet. Hány különböző téglatestet tud építeni, ha 72 db kis kockája van, és tudjuk, hogy az összes kockát felhasználta? (Két téglatest különböző, ha nem egybevágóak.) 19. A medvék különböző méretű sajtokat készítenek, amiket úgy pakolnak egymás tetejére, hogy felfelé haladva egyre kisebb átmérőjű sajtok legyenek. Az 5. sajt az eddigi legnagyobb, de pakolás közben sem raknak nagyobbat kisebbre, nehogy összedőljön a torony. Egyszerre csak egy sajtot bírnak el. 3 asztal áll rendelkezésükre, az egyiken van most a 4 sajtból álló torony, egy másikon pedig az 5. sajt, amire fel kell építeni a sajttornyot, a harmadik asztalt pedig segítségként használhatják a pakolás során. Mennyi a legkevesebb lépés, amivel fel tudják építeni az 5 sajtból álló tornyot? 20. Egy kétfordulós vetélkedőn öt bocs vett részt: Macilaci, Malackó, Mici, Misa és Mordu. A vetélkedő során mindegyik bocs egy álnevet használt. Az öt álnév: Balu, Beorn, Bubu, Bamse és Brummelisa. A vetélkedő első fordulójában Balu 54, Beorn 56, Bubu 45, Bamse 48 és Brummelisa 62 pontot szerzett. A második fordulóban minden jó válaszra - a feladat nehézségétől függően - 10, 15 vagy 20 pontot kaptak a bocsok, de minden rossz válasz után levontak tőlük 5 pontot. A vetélkedőt végül Mici nyerte 153 ponttal. Mi volt Mici álneve a vetélkedő során? 21. Mézkend Ersötét 2015-ben rájött, hogy pontosan négyszer annyi éves, mint amennyi a születési évszáma utolsó két számjegyéből képzett szám. Hány éves volt ekkor, ha tudjuk, hogy a 20. században született? 22. Öt barát célbadobósat játszott az ábrán látható céltáblán. Mindenki kétszer dobott, minden dobás eltalálta a táblát és mindegyik különböző pozitív egész számú pontot ért. A két dobás után az összegzett pontszámok a következők: 5, 10, 11, 18, 20. Melyik két mezőt találta el az, aki 10 pontot szerzett?
3
23. Legkevesebb hány szín kell egy kocka éleinek kiszínezéséhez, ha az egy csúcsban találkozó élek különböző színűek? 24. Melyik az a szám, amelyet hárommal szorozva, majd ezt az eredmény háromnegyedével növelve, majd héttel osztva, majd ezt a hányados egyharmadával csökkentve, majd az eredményt önmagával szorozva, majd ebből ötvenkettőt kivonva, majd százharminckettőt kivonva, majd nyolcat hozzáadva, végül tízzel osztva kettőt kapunk? 25. Még a középkorban történt, hogy egy kapzsi öregember találkozott az úton egy csintalan kisördöggel. - Megcsókolnád-e a patámat, apó? - kérdezte az ördögöcske. - Csókolná ám a vasorrú bába, az is csak boszorkányszombaton - mordult rá az öreg. - Pedig ahányszor megcsókolnád, annyiszor kétszereződne meg a dukátjaid száma a zsebedben - kacsintott rá az ördögfióka. - Igaz, hogy amiért ilyen nagy szerencsében részesítelek, nekem is fizetned kéne huszonnégy dukátot csókonként, de még így sem tűnik rossz üzletnek az ajánlatom. Ha mégsem állsz rá az alkura, lelked rajta. Én ugyan nem kényszerítelek! - s tettette magát, mintha menni akarna. Az öregember azonban vállon ragadta. - Igazat beszélsz? - csillant fel benne a kapzsiság. - Próbáld ki magad! - mondta a kisördög, a patáját nyújtva. Az öregember most már habozás nélkül megcsókolta, s valóban megtörtént a csoda. Egyszeriben kétszer annyi dukát lett a zsebében, mint amennyi azelőtt volt. Gyorsan leszámolt belőlük huszonnégyet az ördögnek, aztán újabb patacsókkal próbálkozott, és mivel pénze ismét megkétszereződött, megint huszonnégy dukátot adott. Majd a maradékot a zsebébe süllyesztve, elhelyezte a harmadik csókot a sátáni patán. De amikor ezután a forduló után is lerótta huszonnégy dukát adósságát, szomorúan kellett tapasztalnia, hogy - bárha zsebének tartalmát az utolsó pata-puszi is megkétszerezte - egyetlen huncut dukátja sem maradt. Kérdés, hány dukátja lehetett az öregembernek mielőtt találkozott a kisördöggel? 26. Hányféleképpen lehet kiszínezni egy szabályos hatszög oldalait 4 színnel úgy, hogy pontosan 3 színt használunk, mindegyiket két-két oldalon? (Az egymásba forgatható hatszögeket nem tekintjük különbözőnek.) 27. Ha sorban leírjuk az összes 0-nál nagyobb és 2015-nél kisebb természetes számot, akkor összesen hány darab nullát írunk le? 28. Medveapó délben Medvefalvából gyalogosan Medveváros felé indult. Valamivel később unokája, Mackó Pesta biciklivel utánaeredt. 1 órakor Mackó Pesta utol is érte nagyapját, majd rögtön visszafordult. Medvefalvába visszaérve Medve Pesta ismét rögtön visszafordult, és így Medve Apóval pontosan egyszerre, délután 4 órakor érkeztek Medvevárosba. Hány perccel később indult útnak Medve Pesta Medveapóhoz képest? 29. Medvefölde kedvenc sportága a honeyball, melynek során a csapatok egy mézeskaptár formájú labdát próbálnak a másik csapat bödönébe juttatni. A bajnokság jelenleg 18 csapatos, melyek két divízióra a Grizzlyre és az Örvösre oszlanak. Egy szezon az alapszakaszból és a rájátszásból áll. Mindkét divízió 3 csoportból áll, csoportonként 3 csapattal. Egy csapat 4 meccset játszik az alapszakasz során minden csoportellenfelével, 3 meccset minden azonos 4
divízió-beli, de nem vele egy csoportban lévő, és 2 meccset minden másik divízió-beli ellenféllel. A rájátszásba a 6 csoportgyőztes illetve divíziónként a legjobb másodikak jutnak. Ez a 8 csapat egyenes kieséses rendszerben dönti el a bajnoki cím sorsát. Egy kör egy oda-, és egy visszavágóból áll, a 2 meccs után a győztes továbbjut, a vesztes kiseik, és nem játszik több meccset. A rájátszás utolsó körét, azaz a nagydöntőt viszont egyetlen meccsen döntik el a teltházas Medve Arénában. Hányadik meccse ez a szezonnak? 30. A Medveügyi Minisztériumban 10 bizottság működik. Minden, a minisztériumban dolgozó medve 2 bizottságban dolgozik, és bármely két bizottságnak pontosan egy közös tagja van. Hány medve dolgozik a minisztériumban? 31. Brumi elfelejtette Durmi telefonszámát. Csak arra emlékszik, hogy a hétjegyű szám ötössel kezdődik, pontosan három darab négyes van benne, és nem tartalmaz kilencest és nullát. Legfeljebb hány számot kellene felhívnia Bruminak, hogy biztosan beszélhessen Durmival? 32. Az ABC háromszögben AB = 7, AC = 8, BC = 9. Az A-nál lévő szögfelező D-ben metszi a CB oldalt. Legyen a C-ből az AD egyenesre bocsátott merőleges talppontja E. Ha M a CB oldal felezőpontja, mekkora az EM szakasz? 33. Medveországban a hivatalos fizetőeszköz az aranybatka. Nagyobb váltópénze az ezüstbatka, kisebb váltópénze a bronzbatka. Egy aranybatka egész számú ezüstbatkával, egy ezüstbatka egész számú bronzbatkával egyenlő. Mackó úr egy étteremben a következő számlát kapja: Szamócaleves: 6 ezüstbatka 1 bronzbatka Sült őzláb: 9 ezüstbatka 4 bronzbatka Rántott békacomb: 4 ezüstbatka 7 bronzbatka Málnatorta: 3 ezüstbatka 3 bronzbatka Mézes muffin: 2 ezüstbatka 4 bronzbatka Összesen: 2 aranybatka 6 ezüstbatka 1 bronzbatka Hány bronzbatkát ér egy ezüstbatka, ha az árakat mindig a lehető legkevesebb érmével tüntetik fel?
5
