Prˇ edna´sˇka 10
Kineticka´ teorie idea´lnı´ho plynu 10.1 Postula´ty kineticke´ teorie Narozdı´l od termodynamiky kineticka´ teorie odvozuje makroskopicke´ vlastnosti la´tek (naprˇ. tlak, teplotu, vnitrˇnı´ energii) na za´kladeˇ prˇedstav o jejich vnitrˇnı´ mikroskopicke´ strukturˇe. Historicky byla kineticka´ teorie zalozˇ ena na trˇech postula´tech (prˇedpokladech) o vnitrˇnı´ strukturˇe la´tek:
Postula´t 1 La´tky ktere´hokoli skupenstvı´ se skla´dajı´ z cˇ a´stic, mezi nimizˇ je volne´ mı´sto (mluvı´me o diskre´tnı´ strukturˇ e la´tek).
Postula´t 2 Cˇ a´stice v la´tka´ch se neusta´le chaoticky pohybujı´.
Postula´t 3 Cˇ a´stice la´tek libovolne´ho skupenstvı´ na sebe navza´jem pu˚ sobı´ soucˇ asneˇ silami prˇ itazˇ livy´mi i odpudivy´mi. Velikost vy´sledny´ch sil mezi cˇ a´sticemi za´visı´ na vzda´lenostech mezi nimi.
V soucˇ asne´ dobeˇ lze povazˇ ovat vsˇ echny tyto postula´ty za experimenta´lneˇ oveˇ rˇene´ skutecˇ nosti.
10 – 1
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 10: Kineticka´ teorie idea´lnı´ho plynu
10.2 Vlastnosti idea´lnı´ch plynu˚ Metody kineticke´ teorie budeme demonstrovat na la´tka´ch v plynne´m skupenstvı´, jejichzˇ popis je naprˇ´ıklad ve srovna´nı´ s popisem pevny´ch la´tek zdaleka nejjednoduzˇ sˇ´ı. V te´to kapitole budeme navı´c aproximovat rea´lne´ plyny modelem idea´lnı´ho plynu, ktery´ ma´ tyto vlastnosti: • skla´da´ se z N identicky´ch cˇ a´stic • kromeˇ okamzˇ iku˚ sra´zˇ ek na sebe cˇ a´stice idea´lnı´ho plynu navza´jem siloveˇ nepu˚ sobı´ • sra´zˇ ky mezi cˇ a´sticemi idea´lnı´ho plynu jsou idea´lneˇ pruzˇ ne´ • celkovy´ objem, ktery´ zabı´rajı´ cˇ a´stice idea´lnı´ho plynu je zanedbatelneˇ maly´ vu˚ cˇ i objemu na´doby v nı´zˇ je plyn uzavrˇ en • cˇ a´stice idea´lnı´ho plynu se neusta´le chaoticky pohybujı´ Experimenta´lneˇ bylo zjisˇ teˇ no, zˇ e ve veˇ tsˇ ineˇ situacı´ lze chova´nı´ rea´lny´ch plynu˚ dobrˇe popsat pomocı´ modelu idea´lnı´ho plynu. Tato shoda se zlepsˇ uje, pokud plyny zrˇed’ujeme. Vyjı´mkou jsou plyny prˇi velmi vysoky´ch tlacı´ch nebo velmi nı´zky´ch teplota´ch, kdy roste hustota molekul plynu a klesa´ strˇednı´ molekulova´ vzda´lenost tak, zˇ e uzˇ nelze zanedbat mezimolekula´rnı´ sı´ly. Tehdy model idea´lnı´ho plynu selha´va´.
10.3 Tlak, teplota, strˇ ednı´ kvadraticka´ rychlost 10.3.1 Tlak idea´lnı´ho plynu Nynı´, na za´kladeˇ postula´tu˚ kineticke´ teorie a z vlastnostı´ idea´lnı´ho plynu odvodı´me vztah pro tlak idea´lnı´ho plynu. Z mikroskopicke´ho hlediska tlak plynu na steˇ ny na´doby zrˇejmeˇ souvisı´ s neusta´ly´mi na´razy molekul plynu s ru˚ zny´mi rychlostmi na steˇ ny na´doby v nı´zˇ je plyn uzavrˇen. Pro odvozenı´ tlaku plynu uvazˇ ujme N molekul idea´lnı´ho plynu uzavrˇeny´ch v krychlove´ na´dobeˇ s objemem V , jejı´zˇ steˇ ny jsou
10 – 2
Tlak, teplota, strˇ ednı´ kvadraticka´ rychlost
Michal Varady
y
vx vx v’ ’
v vx x
0
z
Obra´zek 10.1: Idea´lneˇ pruzˇ ny´ odraz molekuly plynu od steˇ ny na´doby. kolme´ k sourˇadny´m osa´m a jsou udrzˇ ova´ny na konstantnı´ teploteˇ T . Spocˇ teˇ me tlak plynu naprˇ´ıklad na steˇ nu krychle, ktera´ je kolma´ na osu x. Nejprve uvazˇ ujme odraz jedne´ molekuly plynu od vybrane´ steˇ ny na´doby (viz obra´zek 11.1). Vzhledem k tomu, zˇ e odrazy molekul plynu od steˇ n jsou idea´lneˇ pruzˇ ne´, velikosti rychlosti dane´ molekuly prˇed odrazem |v| a po odrazu |v′ | na steˇ nou na´doby musı´ by´t stejne´, pouze x–ova´ slozˇ ka rychlosti molekuly vx se zmeˇ nı´ na opacˇ nou. Zmeˇ na hybnosti molekuly beˇ hem jednoho odrazu od steˇ ny je tedy ∆px = mvx − (−mvx ) = 2mvx
,
kde m je hmotnost jedne´ molekuly. Prˇedpokla´dejme, zˇ e v na´dobeˇ je v dane´m okamzˇ iku N (vx ) molekul, ktere´ majı´ slozˇ ku rychlosti vx z intervalu (vx , vx +∆vx ). Potom na steˇ nu na´doby s plochou S dopadnou za cˇ as τ pouze ty molekuly s danou x–ovou slozˇ kou rychlosti, ktere´ stihnou za uvazˇ ovanou dobu doleteˇ t k dane´ steˇ neˇ .
10 – 3
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 10: Kineticka´ teorie idea´lnı´ho plynu
Pro jejich pocˇ et platı´
N (vx ) Svx τ . V Jakou strˇednı´ silou tedy pu˚ sobı´ tyto molekuly na steˇ nu na´doby? Z II. Newtonova za´kona vı´me, zˇ e sı´la je cˇ asova´ zmeˇ na hybnosti, tedy ∆Nvx =
∆px N (vx ) 2mvx 2mS = Svx τ = N (vx )vx2 . ∆t V τ V Dosta´va´me tedy sı´lu, kterou na steˇ nu na´doby pu˚ sobı´ molekuly s x–ovy´mi slozˇ kami rychlostmi z vybrane´ho intervalu. Fx (vx ) = ∆Nvx
Je jasne´, rychlosti molekul v na´dobeˇ a tedy i x–ove´ slozˇ ky rychlostı´ molekul jsou ru˚ zne´. Abychom k vy´sledne´ sı´le zapocˇ etli prˇ´ıspeˇ vky od molekul se vsˇ emi mozˇ ny´mi rychlostmi, rozdeˇ lı´me cely´ interval vyskytujı´cı´ch se x–ovy´ch slozˇ ek rychlostı´ na intervaly (vx1 , vx2 ), . . . , (vxi−1 , vxi ), (vxi , vxi+1 ), . . . (vxK−1 , vxK ), kde v jednotlivy´ch intervalech jsou na´sledujı´cı´ pocˇ ty cˇ a´stic: N (vx1 ), N (vx2 ), . . . , N (vxi ), N (vxi+1 ), . . . , N (vxK ). Zavedeme-li nynı´ strˇ ednı´ hodnotu kvadra´tu x–ove´ slozˇ ky rychlosti vx2 jako vx2 =
K N (vx1 )vx21 + · · · + N (vxi )vx2i + · · · + N (vxK )vx2K 1 ! = N (vxi )vx2i , N N i=1
kde N je celkovy´ pocˇ et molekul v na´dobeˇ . Vzhledem k tomu, zˇ e na vybranou steˇ nu na´doby nara´zˇ ejı´ pouze molekuly s kladneˇ orientovanou x–ovou slozˇ kou rychlosti, je vy´sledna´ sı´la SN m 2 vx Fx = V a tedy tlak na steˇ nu Fx Nm 2 p= = v , S V x kde m je hmotnost molekuly, N je pocˇ et molekul v na´dobeˇ a V je objem na´doby. Pro kvadra´t vy´sledne´ rychlosti kazˇ de´ molekuly platı´ v2 = vx2 + vy2 + vz2 . Vzhledem k velike´mu pocˇ tu molekul v na´dobeˇ a k tomu, zˇ e vsˇ echny smeˇ ry pohybu molekul musı´ by´t stejneˇ pravdeˇ podobne´ (jinak bychom pozorovali tecˇ enı´ plynu ve smeˇ ru nejpravdeˇ podobneˇ jsˇ´ıho smeˇ ru rychlosti) da´le platı´
kde velicˇ ina molekul.
"
1 vx2 = vy2 = vz2 = v 2 3
,
(10.1)
v 2 = vk se nazy´va´ strˇ ednı´ kvadraticka´ rychlost posuvne´ho pohybu
10 – 4
Tlak, teplota, strˇ ednı´ kvadraticka´ rychlost
Michal Varady
Definice 18 Strˇ ednı´ kvadraticka´ rychlost posuvne´ho pohybu molekul plynu vk = " v 2 je da´na vztahem vk2 = v 2 =
2 N (v1 )v12 + N (v2 )v22 + · · · + N (vi )vi2 + · · · + N (vK )vK N
neboli vk2
=
v2
K 1 ! = N (vi )vi2 N
.
,
(10.2)
i=1
Nynı´ s vyuzˇ itı´m vztahu (10.1) lze pro tlak plynu na steˇ nu na´doby napsat vy´sledny´ vztah Nm 2 v . (10.3) p= 3V k
10.3.2 Teplota plynu a strˇ ednı´ kvadraticka´ rychlost molekul Prˇepı´sˇ eme–li rovnici (10.3) jako 1 N mvk2 , 3 a porovna´me–li ji se stavovou rovnicı´ idea´lnı´ho plynu pV =
pV = RnT dostaneme vztah
1 , RnT = N mvk2 3 ktery´ mu˚ zˇ eme s pouzˇ itı´m definicˇ nı´ch vztahu˚ pro la´tkove´ mnozˇ stvı´ n = N/NA a mola´rnı´ hmotnost Mm = m0 NA da´le upravit a dostaneme vztah mezi teplotou plynu T , strˇednı´ kvadratickou rychlostı´ vk a mola´rnı´ hmotnostı´ plynu Mm : # 3RT vk = . (10.4) Mm Vyja´drˇ´ıme–li naopak T , dostaneme
Mm 2 v . (10.5) 3R k Vidı´me tedy, zˇ e teplota plynu je jednoznacˇ nou rostoucı´ funkcı´ strˇednı´ kvadraticke´ rychlosti molekul a rovneˇ zˇ strˇednı´ kvadraticka´ rychlost molekul je jednoznacˇ nou rostoucı´ funkcı´ teploty. Z kineticke´ kineticke´ teorie tedy vyply´va´, zˇ e teplota plynu je velicˇ ina, ktera´ charakterizuje intenzitu chaoticke´ho pohybu molekul. T =
10 – 5
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 10: Kineticka´ teorie idea´lnı´ho plynu
10.4 Strˇ ednı´ volna´ dra´ha molekul Vezmeˇ me opeˇ t N molekul idea´lnı´ho plynu uzavrˇene´ho v na´dobeˇ s objemem V jejı´zˇ steˇ ny jsou udrzˇ ova´ny na konstantnı´ teploteˇ T . Po neˇ jake´m cˇ ase se mezi steˇ nami na´doby a plynem vytvorˇ´ı stav termodynamicke´ rovnova´hy. Molekuly plynu v na´dobeˇ se samozrˇejme chaoticky pohybujı´ a navza´jem do sebe nara´zˇ ejı´, takzˇ e se neusta´le meˇ nı´ smeˇ ry a velikosti jejich rychlostı´. Uzˇ itecˇ ny´m parametrem, ktery´ popisuje vy´znam sra´zˇ ek molekul je takzvana´ strˇ ednı´ volna´ dra´ha ⟨l⟩. Fyzika´lnı´ vy´znam tohoto parametru je prosty´. Vybereme–li jednu molekulu plynu a budeme–li meˇ rˇit dostatecˇ neˇ dlouho dra´hy, ktere´ tato molekula urazı´ mezi jednotlivy´mi sra´zˇ kami a vypocˇ teme–li z teˇ chto drah aritmeticky´ pru˚ meˇ r, dostaneme strˇednı´ volnou dra´hu (rozumeˇ j dra´hu bez sra´zˇ ky). Prˇi odvozenı´ strˇednı´ volne´ dra´hy prˇedpokla´dejme, zˇ e vsˇ echny molekuly plynu majı´ kulovy´ tvar o stejne´m polomeˇ ru R a jsou v klidu, takzˇ e jedina´ molekula v pohybu je molekula jejı´zˇ pohyb sledujeme. Da´le pro jednoduchost prˇedpokla´dejme, zˇ e se pohybuje pode´l osy x a sra´zˇ kami se jejı´ smeˇ r nezmeˇ nı´. Molekula prˇi sve´m pohybu narazı´ do molekul jejichzˇ strˇedy jsou ve vzda´lenosti δ < 2R, tedy jejichzˇ strˇedy lezˇ´ı uvnitrˇ va´lce centrovane´ho osou x o polomeˇ ru 2R. Prˇedpokla´da´me–li zˇ e rychlost sledovane´ molekuly je ⟨v⟩, potom za cˇ as τ urazı´ pode´l osy x vzda´lenost ∆x = ⟨v⟩τ
,
tedy objem zmı´neˇ ne´ho va´lce je ∆V = 4πR2 ⟨v⟩τ
.
Pocˇ et kulovy´ch molekul ktere´ majı´ sve´ strˇedy uvnitrˇ tohoto va´lce a tedy take´ pocˇ et sra´zˇ ek sledovane´ molekuly za cˇ as τ tedy je ντ =
N N ∆V = 4πR2 ⟨v⟩τ V V
.
Strˇednı´ volna´ dra´ha tedy bude rovna podı´lu vzda´lenosti urazˇ ene´ sledovanou molekulou a pocˇ tem sra´zˇ ek na te´to dra´ze, tedy ⟨l⟩ =
∆x ⟨v⟩τ V V = = 2 ντ 4πR N ⟨v⟩τ 4πR2 N
.
(10.6)
Takto odvozeny´ vztah vsˇ ak platı´ pouze prˇiblizˇ neˇ . Du˚ vodem je to, zˇ e jsme prˇedpokla´dali pohyb pouze jedne´ molekuly, zatı´mco vsˇ echny ostatnı´ byly v klidu.
10 – 6
Strˇ ednı´ volna´ dra´ha molekul
Michal Varady
Zatı´mco v cˇ itateli vztahu (10.6) spra´vneˇ vystupuje strˇednı´ rychlost molekuly vu˚ cˇ i laboratornı´ soustaveˇ , ve jmenovateli bychom meˇ li pouzˇ´ıt strˇednı´ rychlost relativnı´ho pohybu molekul vu˚ cˇ i sobeˇ . Se zahrnutı´m te´to korekce bychom dostali spra´vny´ vztah pro strˇednı´ volnou dra´hu V ⟨l⟩ = √ , (10.7) 4 2πR2 N kde V je objem na´doby, N pocˇ et molekul v na´dobeˇ a R polomeˇ r molekul.
10 – 7
Michal Varady
Prˇ edna´sˇ ka 10: Kineticka´ teorie idea´lnı´ho plynu
10 – 8
