Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Számítástudomány

Széchenyi István Egyetem

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Dr. Kallós Gábor

2014–2015 11



A valós számok kategorizálása

Eml. (ókori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámként (racionálisként) Ezek az irracionális számok

A racionális és az irracionális számok együtt hézagmentesen lefedik a teljes számegyenest Állítás: Egy szám racionális ⇔ törtfelírása periodikus, vagy egy idő múlva periodikus

0,3777… 0,57878…

Minden periodikusságot nélkülöző szám irracionális

Ez bármely (egész alapú) számrendszerben igaz

Feladat: mi az eredeti szám, ha a tört alak

Egyszerű példák: 2 , 3 , 5 , 6 , 7 stb. De: irracionális szám a G (vagy: φ), az e és a π is

Vigyázzunk, a felírás lehet néha becsapós, pl. 0,121122111222…

*10-es számrendszerben egy – leegyszerűsített – törtszám tizedes alakja…

… véges, ha a nevezőjében csak a 2 és 5 (hatványai) szerepelnek … tiszta szakaszos (periodikus), ha a nevezőjében csak 2-től és 5-től különböző prímek (hatványai) szerepelnek … vegyes szakaszos (egy idő múlva periodikus), ha a nevezőjében vegyesen szerepelnek 2 és 5, ill. 2-től és 5-től különböző prímek (hatványai) 2



A valós számok kategorizálása

Vannak olyan „szép” irracionális számok, amelyek egyszerű egész együtthatós egyenletek megoldásai, pl. 2 : x2 = 2,

3

(G vagy φ) : x2 = x + 1

Egy számot algebrainak nevezünk, ha található olyan egész (vagy: racionális) együtthatós véges(egész)fokú polinom (egyenlet), amelynek ő gyöke (megoldása)

Vá.: nem! Liouville, 1844: léteznek nem algebrai számok (transzcendens számok – elnevezés: Euler; amelyek nem elégítenek ki semmiféle algebrai egyenletet sem) Konkrétan a 10 −1! + 10−2! + 10−3! + 10−4! + ... konstans transzcendens

1880-as évek eleje: már ismert, hogy az e és a π is transzcendens Cantor: szinte minden szám transzcendens (!)

Megj.: csupa 0 együttható nem megengedett Nyilvánvaló, hogy a racionális számok is algebraiak (p/q-ra: 1 = q/p ⋅ x vagy 0 = p/q – x)

Természetes kérdés: minden irracionális szám ilyen vajon?

3 2 : x = 2,

Az algebrai számok megszámlálhatóan sokan vannak (ugyanúgy, mint a racionális számok), a transzcendens számok számossága ellenben nem megszámlálhatóan végtelen

Azaz: a számegyenesre „véletlenül rábökve” szinte biztosan transzcendens számot kapunk 3



A valós számok kategorizálása Lánctört alak Az irracionális (tehát: algebrai és transzcendens) számok jegyeiben – hagyományos (tizedes)tört felírás – általában nem látszik semmiféle szabályosság A lánctört alak azonban már mélyebb 1 6 2,44948974 2783... 2 = = + bepillantást enged a számok 1 2 + természetébe, és itt egyes irracionális 1 4+ számok „megszelídülnek” 1

4 + ...

Ezeket a számokat kvadratikus irracionalitásnak is nevezik ( 2 , 3 , 5 stb.)

Továbbá tudjuk, hogy az „e” számnál és a vele kapcsolatban levő számoknál is látszik bizonyos szabályosság Általában azonban egy szám, amely nem kvadratikus irracionalitás, nem mutat a lánctört alakjában szabályosságot

2+

Állítás (már tudjuk): Egy szám megoldása egy másodfokú algebrai egyenletnek ⇔ lánctört alakja periodikus, vagy egy idő múlva periodikus

Ilyenkor a lánctört alak mindig végtelen

Példák: 2. slidesor

*Feladat: Próbáljunk keresni olyan egyéb irracionális számot, amely nem tartozik a fenti kategóriákba, és mégis mutat valamilyen szabályosságot a lánctört alakjában! 4



Algebrai számok

Tétel: Algebrai számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa (nem nulla nevezővel) is algebrai szám

Bármilyen gyökös kifejezést írunk fel, az mindig algebrai

Pl. 1: 2 + 3 megoldása az x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 egyenletnek 30 10 15 6 Pl. 2: 3 5 2 5 7 felírható 30 510 ⋅ 215 ⋅ 7 6 -ként, és így gyöke az x − 5 ⋅ 2 ⋅ 7 polinomnak Pl.:

2 5 3 + 5 2 gyöke az ( x − 3) − 2 polinomnak

De: nem minden algebrai szám írható fel gyökös kifejezésként! (eml.: ötödfokú egyenletek)

Pl.: az x5 – 4x – 2 polinom gyökei nem állíthatók elő gyökös kifejezésként

5



Transzcendens számok

Probléma: a transzcendens számokat nehéz elképzelni

Ha véletlenszerűen írunk számjegyeket egy tizedestörtbe, szinte biztosan transzcendens számot kapunk

Persze a végtelenségig kell folytatnunk a felírást

De: annak pontos bizonyítása, hogy egy megadott konkrét konstans valóban transzcendens (pl. e + π, eπ, ππ) nehéz (vagy: nagyon nehéz) feladat (!) Hilbert (1900, Párizs): 23 egyszerűen megfogalmazható probléma, amelyek az akkori matematika számára megoldhatatlanok voltak (és nagyon nehezen megoldhatónak tűntek) 2 A 7. probléma: igazoljuk, hogy 2 transzcendens! Megoldás (1930-as évek, Gelfond és Schneider, tétel): Ha a ≠ 0, 1 algebrai szám, és b nem racionális algebrai szám, akkor ab transzcendens

Az általunk „használt” számok néhány kivételtől eltekintve nem ilyenek

Ezzel rengeteg transzcendens szám konstruálható

*A tétellel igazolható, hogy eπ transzcendens. i⋅π = –1 (az i képzetes egység algebrai). Valóban, az Euler-féle azonosságból e −i −i π −i Átalakítással (e i⋅π ) = (− 1) , azaz e = (− 1) . 6



Transzcendens számok *Az első ismert transzcendens szám ilyen tulajdonságának (vázlatos) igazolása Tétel (Liouville, 1844): ∞ 1 Az α = ∑ k ! = 0,11000100000000000000000100... konstans transzcendens

k =1

10

Megj.: Az összeg nyilvánvalóan véges

A bizonyításban kihasználjuk (igazolás nélkül): Tétel 2. (Liouville): Ha α gyöke egy egész együtthatós n-edfokú polinomnak, akkor csak véges sok olyan p/q tört létezik, amelyre α − p < 1 q

q n +1

Azaz: az algebrai számok racionális törtekkel nem közelíthetők „nagyon jól”, tehát ha egy szám törtekkel „nagyon-nagyon jól” közelíthető, akkor transzcendens

Bizonyítás: Tekintsük α közelítő részösszegeit. A k-adik részösszeg legyen pk/qk, ahol lnko(pk, qk) = 1. k 1 10 A + 1 Közös nevezőre hozva ∑ n! = , azaz qk = 10k!, és pk utolsó jegye 1. k! ∞ 10 n =1 10 p 1 1 A γk különbség becsülhető a következőképpen: 0 < γ k = α − k = ∑ m! < ( k +1)!−1 . qk

m = k +1

10

10

Itt felhasználtuk, hogy γk-ban az első nullától különböző jegy a (k+1)!-adik helyen szerepel, és a további jegyek között sok nulla is van; ezért γk biztosan kisebb azon számnál, ahol az eggyel kisebb pozícióban szerepel 1, és utána csupa 0 van. Mivel (k + 1)! – 1 = k⋅k! + (k! – 1) > k⋅k!, ezért γk < 1/10k⋅k! = 1/(qk)k-nál. Legyen most n rögzített, és tekintsük az összes k > n + 1 számot. pk 1 1 ≤ . Ezekre α − = γ k < qk (qk ) k (qk ) n +1 Ezek a törtek egyszerűsíthetetlen alakban vannak megadva, ezért mind különbözőek. Eszerint α bármely n-re végtelen sokszor „jól közelíthető”, tehát egyetlen n-re sem lehet gyöke egy egész együtthatós n-edfokú polinomnak. Így α transzcendens. 7



Nevezetes konstansok

A G (vagy: φ) szám (már tudjuk)

π (már tudjuk)

ζ(2)

Bevezetés (már az ókorban is ismert) Nevezetes ókori probléma – a kör négyszögesítése Jegyek meghatározása – legalább 4-5000 éves problémakör Irracionalitás és transzcendens tulajdonság igazolása (Lambert és Lindemann)

„e” szám (már tudjuk)

Bevezetés (már az ókorban is ismert): az aranymetszés aránya Kapcsolat a Fibonacci-sorozattal és az euklideszi algoritmussal Algebrai szám, lánctört alakja egyszerű

n

 1 1 +  = e lim n n→∞ 

Bevezetés (Bernoulli): banki probléma (1690 k.), Vizsgálat (Euler, 1740-es és 50-es évek): fontosabb tulajdonságok, irracionalitás, ex függvény Transzcendens tulajdonság igazolása (Hermite, 1873) =

π2 6

Bevezetés: Riemann zeta-függvény, négyzetszámok reciprokösszege Reciproka: annak esélye, hogy két véletlenül választott nagy szám relatív prím Transzcendens

További nevezetes konstansok

Euler-γ és Catalan-állandó (még nem ismert, hogy irracionálisak-e), ζ(3) – irracionális, sin(1) – transzcendens, Champernowne-konstans – transzcendens

8



Nevezetes konstansok A Brun-konstans Sejtés: Végtelen sok ikerprím van Tétel (Brun): Az ikerprímek reciprokösszege véges 1 1 1 1  1 1   1 1  Definíció (Brun-konstans): B =  +  +  +  +  +  +  +  + ... = 1,90216058...  3 5   5 7   11 13   17 19  Nem tudjuk, hogy a Brun-konstans irracionális vagy racionális-e Maple program a Brun-konstans meghatározására, futtatási eredmények 101-ig: 1,350600094 1001-ig: 1,518032464 10001-ig: 1,616893557 100001-ig: 1,672799585

9



Ajánlott irodalom

Fried Ervin: Léteznek-e transzcendens számok?, KÖMAL, 2001/4. Edward Kofler: Fejezetek a matematika történetéből, Gondolat, Budapest, 1965 Németh Regina: Nevezetes számok a matematikában (szakdolgozat), ELTE, 2013 Pelikán József: Matematikai konstansok (előadás, pdf változat – Török L., Hraskó A.), 2006

10

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Recommend Documents