Nevezetes sorozat-hat´ ar´ ert´ ekek 1. Minden pozit´ıv racion´ alis r sz´ am eset´ en limn!1 1/nr = 0 ´ es limn!1 nr = +∞. Bizony´ıt´ as. Jel¨olj¨ unk p-vel, illetve q-val egy-egy olyan pozit´ıv eg´eszt, melyekre p/q = r, tov´abb´a legyen ε tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am. Az al´abbi egyenl˝otlens´egek egym´assal egyen´ert´ek˝ uek, l´ev´en hogy pozit´ıv sz´amok k¨ozti egyenl˝otlens´egeket (ilyenekb˝ol ak´ar p, ak´ar q darabot) ¨ossze szabad szorozni, tov´abb´a egyenl˝otlens´eg mindk´et oldal´at be szabad szorozni ugyanazzal a pozit´ıv sz´ammal: sµ ¶ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 p q ¯ ¯= √ = < ε, − 0 ¯ r ¯ q n n np
µ ¶p
1 n
< εq ,
q 1 < εp , n
q
ε− p < n,
q
ez´ert minden olyan eg´esz sz´am, amely nagyobb az ε− p sz´amn´al, alkalmas a k¨ usz¨obindex szerep´ere. A m´asodik ´all´ıt´as olyan pozit´ıv tag´ u sorozatr´ol sz´ol, melynek reciproka a m´ar bizony´ıtottak szerint nullsorozat, ez´ert ez +∞-hez tart. 2. Legyen r tetsz˝ oleges pozit´ıv eg´ esz, b0 , . . . , br 1 tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok, br tetsz˝ oleges null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o val´ os sz´ am, v´ eg¨ ul minden pozit´ıv eg´ esz n-re legyen an := br nr + br Ekkor
(
lim a = n!1 n
r
1n
1
+ . . . + b1 n + b0 .
+∞, ha br > 0, −∞, ha br < 0.
Bizony´ıt´ as. Az ´all´ıt´as abb´ol k¨ovetkezik, hogy az (an ) sorozat el˝oa´ll egy +∞-hez tart´o, ´es egy br -hez tart´o sorozat szorzatak´ent, hiszen minden pozit´ıv eg´esz n-re Ã
an = n
r
!
br−1 b1 b0 br + + . . . + r−1 + r . n n n
3. Legyenek k ´ es m tetsz˝ oleges nemnegat´ıv eg´ eszek, c0 , . . . , ck 1 ´ es d0 , . . . dm 1 tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok, ck ´ es dm tetsz˝ oleges null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o val´ os sz´ amok, v´ eg¨ ul minden pozit´ıv eg´ esz n-re legyen ck nk + ck 1 nk 1 + . . . + c1 n + c0 an := . dm nm + dm 1 nm 1 + . . . + d1 n + d0 Ekkor
lim a = n!1 n
0, ck , dm +∞, −∞,
ha k < m, ha k = m, ha k > m ´ es ck dm > 0, ha k > m ´ es ck dm < 0.
Bizony´ıt´ as. Az an defin´ıci´oj´aban szerepl˝o t¨ortet mind a n´egy esetben egyszer˝ us´ıteni fogjuk 1
nm -mel. A k < m esetben c´elszer˝ u bevezetni a ci := 0 jel¨ol´est minden k-n´al nagyobb ´es m-n´el nem nagyobb i-re, ennek k¨osz¨onhet˝oen ugyanis a k < m ´es a k = m eset egyszerre vizsg´alhat´o. Mindk´et esetben azt kapjuk, hogy az eml´ıtett egyszer˝ us´ıt´es ut´an mind a sz´aml´al´o, mind a nevez˝o egy konstans ´es m darab nullsorozat ¨osszege: an =
cm + dm +
cm−1 n dm−1 n
+ ... + + ... +
c1 nm−1 d1 nm−1
+ +
c0 nm d0 nm
,
(1)
´ıgy az u ´j sz´aml´al´o hat´ar´ert´eke cm , az u ´j nevez˝o´e dm . Tegy¨ uk fel most, hogy k > m, jel¨olj¨ uk (1) jobb oldal´at zn -nel, nevez˝oj´enek reciprok´at yn -nel. Ekkor an = yn (ck nk−m + ck−1 nk−m−1 + . . . + cm+1 n) + zn . Itt a jobb oldal els˝o tagj´aban a m´asodik t´enyez˝o +∞-hez vagy −∞-hez tart att´ol f¨ ugg˝oen, hogy ck pozit´ıv vagy negat´ıv (l´asd a 3. hat´ar´ert´eket), s minthogy az els˝o t´enyez˝o hat´ar´ert´eke 1/dm , az els˝o tag +∞-hez vagy −∞-hez tart att´ol f¨ ugg˝oen, hogy a ck , dm f˝oegy¨ utthat´ok azonos, vagy k¨ ul¨onb¨oz˝o el˝ojel˝ uek. V´eg¨ ul ugyanez mondhat´o (an )-r˝ol is, hiszen a m´asodik tag korl´atos (s˝ot konvergens: hat´ar´ert´eke cm /dm ). √ 4. lim( n n) = 1. Bizony´ıt´ as. a m´ertani ´es a sz´amtani k¨ozepek k¨ozti egyenl˝otlens´eget n > 2 eset´en √ Alkalmazzuk √ az n tag´ u ( n, n, 1, . . . , 1) sorozatra: √ √ q√ √ √ n + n + 1 + ... + 1 n n 1−ε<1≤ n= n · n · 1···1 ≤ = n √ 2 n+n−2 2 2 2 = = √ + 1 − < 1 + √ < 1 + ε, n n n n az utols´o egyenl˝otlens´eg egy k¨ usz¨obindext˝ol kezdve minden n-re teljes¨ ul (l´asd az 1. hat´ar´ert´eket). 5. Tegy¨ uk fel, hogy az (xn ) sorozathoz tal´ alhat´ ok olyan k ´ es M pozit´ıv eg´ eszek, melyekre n ≥ M eset´ en 1/nk ≤ xn ≤ nk . Ekkor √ lim n xn = 1. n!1
Bizony´ıt´ as. k darab 1-hez tart´o sorozat szorzata 1-hez tart, 1-hez tart´o sorozat reciproka 1-hez tart, ez´ert alkalmazhat´o a k¨ozrefog´asi elv az s
n
1 = nk
Ã
!
√ ( n xn ),
1 √ , n ( n)k
´ ³ √ √ n ( nk ) = ( n n)k
sorozatokra. 6. Tegy¨ uk fel, hogy az (xn ) sorozathoz tal´ alhat´ ok olyan a ´ es b pozit´ıv sz´ amok ´ es M pozit´ıv eg´ esz, hogy minden M -n´ el nem kisebb n eg´ eszre a ≤ xn ≤ b (p´ eld´ aul minden n-re √ xn = a). Ekkor lim( n xn ) = 1. Bizony´ıt´ as. Ez az el˝oz˝o ´all´ıt´as k¨ovetkezm´enye, hiszen az ottani felt´etel teljes¨ ul (p´eld´aul) k = 1-gyel. 2
7. Minden q ∈ (−1, 1) eset´ en lim(q n ) = 0, minden a ∈ (1, +∞) eset´ en lim(an ) = +∞. Bizony´ıt´ as. A m´asodik ´all´ıt´as bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol legyen K tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am, becs¨ ulj¨ uk alulr´ol az an hatv´anyt a Bernoulli-egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel: an ≥ 1 + n(a − 1) > K, ha n > (K − 1)/(a − 1). Az els˝o ´all´ıt´as q = 0 eset´en nyilv´anval´o, q 6= 0 eset´en egyen´ert´ek˝ u az al´abbi ´all´ıt´asok ak´armelyik´evel: n
lim |q | = 0,
n→∞
n
lim |q| = 0,
n→∞
Ã
1 lim = +∞, n→∞ |q|n
lim
n→∞
1 |q|
!n
= +∞,
de az ut´obbit m´ar bizony´ıtottuk, hiszen a |q| sz´am reciproka nagyobb mint 1. 8. Ha az (xn ) sorozat konvergens ´ es hat´ ar´ ert´ eke nagyobb mint −1 ´ es kisebb mint 1, akkor lim(xn ) = 0. n Bizony´ıt´ as. Legyen A := lim(xn ) ´es q az (|A|, 1) intervallum tetsz˝oleges eleme. A h´aromsz¨ogegyenl˝otlens´eg felhaszn´al´as´aval a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´ab´ol — a q − |A| hibakorl´athoz v´alasztva k¨ usz¨obindexet — azt kapjuk, hogy valamely M pozit´ıv eg´eszt˝ol kezdve minden n-re |xn | ≤ |xn − A| + |A| < q − |A| + |A| = q, vagyis |xnn | = |xn |n ≤ q n ; ebb˝ol, felhaszn´alva az el˝oz˝o hat´ar´ert´eket ´es a k¨ozrefog´asi elvet, az k¨ovetkezik (ami egyen´ert´ek˝ u az eredeti ´all´ıt´assal), hogy lim(|xnn |) = 0. 9. lim(n!/nn ) = 0. Bizony´ıt´ as. A k¨ozrefog´asi elvet alkalmazzuk, a major´ans sorozat szerep´et olyan (xnn ) alak´ u sorozat fogja j´atszani, amelyre (xn ) hat´ar´ert´eke 1/2 (ez az el˝oz˝o nevezetes hat´ar´ert´ek szerint nullsorozat). ´Irjuk fel az els˝o n pozit´ıv eg´eszre a m´ertani ´es sz´amtani k¨ozepek k¨ozti egyenl˝otlens´eget: ³
n! 0< n ≤ n
´ n(n+1) n 2n nn
Ã
=
n(n + 1) 2n2
!n
µ
1 1 = + 2 2n
¶n
.
10. Ha k eg´ esz sz´ am, akkor a (q n nk ) sorozat q ∈ (−1, 1) eset´ en nullsorozat, q > 1 eset´ en pedig +∞-hez tart. Bizony´ıt´ as. A q ∈ (−1,√1) esetben u k¨ovetkezm´eny´er˝ol van sz´o, √ az 4. ´es 8. ´all´ıt´asok egyszer˝ n hiszen az n 7→ xn := q nk = q( n n)k sorozat hat´ar´ert´eke egy (−1, 1)-beli sz´ammal, q-val egyenl˝o, a vizsg´alt sorozat pedig ´eppen az (xnn ) sorozat. Ha q > 1, akkor olyan pozit´ıv tag´ u n −k sorozatr´ol van sz´o, melynek reciproka, az n 7→ (1/q) n sorozat a m´ar bizony´ıtottak szerint nullsorozat. Megjegyzend˝o, hogy a fenti sorozatnak sem a q < −1, sem a q = −1 ´es k > 0 esetben nincs hat´ar´ert´eke, hiszen ez a sorozat ilyenkor olyan v´altakoz´o el˝ojel˝ u sorozat, amely nem tarthat a null´ahoz, m´ıg a q = −1, k < 0 esetben nullsorozatr´ol van sz´o (az abszol´ ut ´ert´eke az 1. pontban t´argyalt sorozatok k¨oz´e tartozik). 11. Minden val´ os x sz´ am eset´ en az (xn /n!) sorozat nullsorozat. Bizony´ıt´ as. El´eg a vizsg´alt sorozat abszol´ ut ´ert´ek´er˝ol megmutatni, hogy nullsorozat, ezt a k¨ozrefog´asi elv seg´ıts´eg´evel tessz¨ uk. Legyen N tetsz˝oleges |x|-n´el nagyobb eg´esz ´es n > N .
3
A fels˝o becsl´est a nevez˝o cs¨okkent´es´evel v´egezz¨ uk, az n! t´enyez˝oi k¨oz¨ ul az N -n´el nagyobbak mindegyik´et N -re cser´elj¨ uk: |xn | |x|n NN 0≤ ≤ = n! N ! · N n−N N!
Ã
|x| N
!n
,
´es itt a major´ans sorozat az´ert nullsorozat, mert (cq n ) alak´ u — az 1-n´el kisebb abszol´ ut ´ert´ek˝ u q = |x|/N sz´ammal. 12. Minden egyes eg´ esz k eset´ en (nk /n!) nullsorozat. Bizony´ıt´ as. Minden n-re
·µ ¶
¸
nk 1 n k 2n n · , = n! 2 n! vagyis k´et olyan sorozat szorzat´ar´ol van sz´o, melyek k¨oz¨ ul az els˝o a 10., a m´asodik a 11. nevezetes hat´ar´ert´ek szerint null´ahoz tart. 13. Az an := (1 + 1/n)n , bn := (1 + 1/n)n+1 egyenl˝ os´ egekkel ´ ertelmezett (an ), (bn ) sorozatok k¨ oz¨ os hat´ ar´ ert´ ekhez konverg´ alnak (ezt a k¨ oz¨ os hat´ ar´ ert´ eket e-vel jel¨ olj¨ uk). Bizony´ıt´ as. El˝osz¨or azt bizony´ıtjuk, hogy minden n pozit´ıv eg´eszre an < an+1 ´es bn > bn+1 (vagyis (an ) szigor´ uan monoton n¨ov˝o, (bn ) szigor´ uan monoton fogy´o). Az el˝obbi egyenl˝otlens´eg mindk´et oldal´ab´ol n + 1-edik gy¨ok¨ot vonva, az ut´obbinak mindk´et oldal´ab´ol pedig n + 2-edik gy¨ok¨ot vonva azt kapjuk, hogy el´eg ezeket bizony´ıtanunk: sµ n+1
n+1 n
¶n
n+2 < < n+1
s
µ
n+2
n+1 n
¶n+1
.
Itt az els˝o egyenl˝otlens´eget megkapjuk, ha fel´ırjuk az n + 1 tag´ u µ
1,
n+1 n+1 ,..., n n
¶
sorozatra a m´ertani ´es sz´amtani k¨ozepek k¨ozti egyenl˝otlens´eget, a m´asodik egyenl˝otlens´eg bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol pedig elegend˝o, ha az n + 2 tag´ u µ
1,
n+1 n+1 ,..., n n
¶
sorozatra ´ırjuk fel a harmonikus ´es m´ertani k¨ozepek k¨ozti egyenl˝otlens´eget, ugyanis egyszer˝ u sz´amol´assal ellen˝orizhet˝o, hogy az el˝obbi sorozat sz´amtani k¨ozepe ´es az ut´obbi sorozat harmonikus k¨ozepe egyar´ant (n + 2)/(n + 1)-gyel egyenl˝o. an ´es bn defin´ıci´oj´ab´ol l´athat´o, hogy an < bn , ´ıgy az eddigiekb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy mindk´et sorozat korl´atos: a1 = 2 als´o, b1 = 4 fels˝o korl´atja mindk´et sorozatnak. V´eg¨ ul abb´ol, hogy a (bn − an ) sorozat el˝o´all egy korl´atos sorozat ´es egy nullsorozat szorzatak´ent, k¨ovetkez´esk´epp (bn − an ) nullsorozat: µ
1 bn − an = 1 + n
¶n µ
¶
1 1 1 + − 1 = an , n n
azt kapjuk, hogy a k´et hat´ar´ert´ek val´oban egyenl˝o egym´assal.
4
P
14. lim( n i=0 1/i!) = e. P Bizony´ıt´ as. Vezess¨ uk be az xn := (1 + 1/n)n , yn := ni=0 1/i! (n ∈ N) jel¨ol´eseket. Az el˝oz˝o hat´ar´ert´ek ´es a k¨ozrefog´asi elv alapj´an el´eg azt igazolni, hogy minden n-re xn ≤ yn ≤ e. x1 = y1 (= 2), ha n > 1, akkor a binomi´alis t´etelb˝ol ´es a binomi´alis egy¨ utthat´o defin´ıci´oj´ab´ol ezt kapjuk: Ã ! ¶ n n n X X Yµ X j n 1 1 i−1 1 xn = 2 + = 2 + 1 − < 2 + = yn . (2) i n i=2 i n i=2 i! j=1 i=2 i! Ha valamely N pozit´ıv eg´eszre e < yN volna, akkor abb´ol, hogy "
lim 2 +
n→∞
à ! # N X n 1 i=2
i ni
= lim 2 + n→∞
N Yµ X 1 i−1 i=2
i! j=1
¶
j 1− = yN n
(konvergens sorozatok ¨osszege konvergens, az ¨osszeg limesze egyenl˝o a limeszek ¨osszeg´evel), ad´odna olyan N -n´el nagyobb m eg´esz l´etez´ese, amelyre m´ar ennek a sorozatnak az m-edik tagja is nagyobb volna e-n´el, ´ıgy ez m´eg ink´abb igaz volna xm -re (l´asd xm -nek a (2) formul´ab´ol kiolvashat´o, a binomi´alis t´etel seg´ıts´eg´evel t¨ort´en˝o el˝oa´ll´ıt´as´at), ami viszont lehetetlen, mert az el˝oz˝o hat´ar´ert´ek t´argyal´asa sor´an bizony´ıtottak szerint (xn ) monoton n¨ov˝o, hat´ar´ert´eke e, teh´at minden tagja kisebb-egyenl˝o e-n´el. 15. Legyen q > 1 eg´ esz sz´ am, tegy¨ uk fel, hogy l´ etezik a lim(xn ) =: A, ´ es ha q p´ aros, √ q akkor azt is tegy¨ uk fel, hogy minden n-re xn ≥ 0. Ekkor a ( xn ) sorozatnak is van √ q hat´ ar´ ert´ eke, s ez a hat´ ar´ ert´ ek val´ os A eset´ en A-val, A ∈ / R eset´ en A-val egyenl˝ o. Bizony´ıt´ as. Ha A ∈ / R, akkor az ´all´ıt´as abb´ol k¨ovetkezik, hogy minden pozit´ıv K sz´am eset´en √ √ u az xn > K q , a q xn > K, illetve p´aratlan q eset´en a q xn < −K egyenl˝otlens´eg egyen´ert´ek˝ illetve az xn < −K q egyenl˝otlens´eggel, ez´ert ha az egyik teljes¨ ul egy k¨ usz¨obindext˝ol kezdve minden n-re, akkor ugyanez mondhat´o a vele egyen´ert´ek˝ u m´asikra is. Hasonl´oan egyszer˝ uen √ int´ezhet˝o el az A = 0 eset is amiatt, hogy a −ε < q xn < ε egyenl˝otlens´egp´ar pontosan akkor teljes¨ ul, amikor |xn | < εq . √ √ Tekints¨ uk v´eg¨ ul azt az esetet, amikor A null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os sz´am. A (| q xn − q A|) sorozatr´ol mutatjuk meg azt, hogy null´ahoz tart. E sorozat nemnegat´ıv tag´ u, ´ıgy a k¨ozrefog´asi elv alapj´an el´eg azt igazolni, hogy e sorozat (egy k¨ usz¨obt˝ol kezdve) fel¨ ulr˝ol becs¨ ulhet˝o az (|xn − A|) sorozatnak egy konstansszoros´aval. Legyen M olyan k¨ usz¨obindex, amelyt˝ol kezdve minden n-re |xn − A| < |A|, ezekre az n-ekre teh´at xn ´es A azonos el˝ojel˝ uek, k¨ovetkez´esk´eppen √ √ |xn − A| (∗) q | q xn − A| = ¯¯P ³√ ´i ³√ ´q−1−i ¯¯ = q q−1 ¯ ¯ q x A n ¯ i=0 ¯ |xn − A| 1 = P ³√ ´i ³√ ´q−1−i ≤ ³√ ´q−1 |xn − A|. q q q−1 q A xn A i=0
(∗)
xn ´es A azonos el˝ojel˝ u volt´ab´ol a csillaggal megjel¨olt l´ep´es jogoss´aga negat´ıv A ´es p´aratlan q eset´en az´ert k¨ovetkezik (p´aros q eset´en persze az xn ≥ 0 felt´etel miatt A nem lehet negat´ıv), mert ekkor a nevez˝o minden tagj´aban azonos el˝ojel˝ uek a t´enyez˝ok, hiszen vagy mindk´et kitev˝o p´aros, vagy mindk´et kitev˝o p´aratlan. A nevez˝o tagjainak pozit´ıv volt´ab´ol k¨ovetkezik a k¨ovetkez˝o l´ep´es helyess´ege is: a nevez˝ot cs¨okkentett¨ uk az´altal, hogy egy kiv´etellel az ¨osszes tagj´at elhagytuk. 5
16. Minden racion´ alis r sz´ am eset´ en µ
lim 1 + n!1
r ¶n
= er .
n
Bizony´ıt´ as. El˝osz¨or azt bizony´ıtjuk, r´aad´asul minden val´os r eset´en, hogy ez a sorozat egy k¨ usz¨obt˝ol kezdve monoton n¨ov˝o, konkr´etabban azt, hogy ha az n pozit´ıv eg´esz nagyobb mint −r, akkor ¶ ¶ µ µ r n n + 1 + r n+1 = an+1 . an := 1 + < n n+1 Az r = 1 esetben alkalmazott m´odszer most is eredm´enyre vezet (l´asd a 13. hat´ar´ert´ek t´argyal´as´at): ´ırjuk fel a m´ertani ´es sz´amtani k¨ozepek k¨ozti egyenl˝otlens´eget az n + 1 tag´ u µ
r r 1, 1 + , . . . , 1 + n n
¶
sorozatra, majd az ´ıgy kapott egyenl˝otlens´eg mindk´et oldal´at emelj¨ uk n + 1-edik hatv´anyra. Az r = 0 esetben az ´all´ıt´as nyilv´anval´o: a konstans 1 sorozat hat´ar´ert´eke 1. Az eddig bizony´ıtottakb´ol m´ar k¨ovetkezik, hogy (an )-nek van hat´ar´ert´eke, ez´ert el´eg valamely r´eszsorozat´ar´ol igazolni azt, hogy hat´ar´ert´eke er . Ha r pozit´ıv racion´alis sz´am, akkor el˝oa´ll´ıthat´o k´et pozit´ıv eg´esz, √ mondjuk p ´es q h´anyadosak´ent, ekkor a k 7→ akp r´eszsorozatr´ol igazoljuk, hogy hat´ar´ert´eke r e = ( q e)p : az v Ã
akp
1 = 1+ kq
!kp
!kq p uà u 1 q t = 1+
kq
√ ´atalak´ıt´as miatt el´eg arr´ol a k 7→ xk sorozatr´ol bizony´ıtani azt, hogy q e-hez tart, amelynek k-adik tagja a sz¨ogletes z´ar´ojelek k¨oz¨ott l´athat´o, ehhez az el˝oz˝o (15.) nevezetes hat´ar´ert´ek miatt el´eg, ha a k 7→ (1 + 1/(kq))kq sorozat e-hez tart, ami igaz, hiszen ez r´eszsorozata annak a sorozatnak, amelynek hat´ar´ert´ekek´ent az e sz´amot ´ertelmezt¨ uk (ld. 13.). Az r = −1-re vonatkoz´o ´all´ıt´as, hogy tudniillik µ
lim
n→∞
1 1− n
¶n
µ
= n→∞ lim
n−1 n
¶n
1 = , e
nyilv´an egyen´ert´ek˝ u azzal, hogy µ
lim
n→∞
n n+1
¶n+1
1 = , e
de az ut´obbi sorozat ´epp a reciproka egy olyan sorozatnak, amelyr˝ol m´ar tudjuk, hogy e-hez tart (ld. 13.). Legyen v´eg¨ ul r negat´ıv racion´alis sz´am, teh´at valamely pozit´ıv eg´esz p ´es q sz´amokkal r = −p/q. Minthogy s p q 1 , er = e el´eg, ha a pozit´ıv racion´alis r eset´en alkalmazott gondolatmenetet egyetlen apr´o v´altoztat´assal megism´etelj¨ uk: az r = −1 esetben vizsg´alt sorozatnak q a k 7→ qk indexsorozathoz tartoz´o r´eszsorozata 1/e-hez tart, ez´ert ennek q-adik gy¨oke q 1/e-hez, ´ıgy az ut´obbinak a p-edik hatv´anya er -hez, amib˝ol az der¨ ul ki, hogy a k 7→ apk r´eszsorozat hat´ar´ert´eke er . 6
17. Ha az x = (xn ) sorozatnak van hat´ ar´ ert´ eke ´ es minden pozit´ıv eg´ esz n-re An := An (x) := (x1 + · · · + xn )/n, akkor ennek az u ´jabb sorozatnak (melyet az x sorozat sz´ amtanik¨ oz´ ep-sorozat´ anak nevez¨ unk) szint´ en van hat´ ar´ ert´ eke, s ez megegyezik az (xn ) sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ evel. Bizony´ıt´ as. (a) Tegy¨ uk fel el˝osz¨or azt, hogy az x sorozat nullsorozat. Legyen ε tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am ´es M olyan k¨ usz¨obindex, amelyt˝ol kezdve minden n-re |xn | < ε/2, m´ıg N olyan pozit´ıv eg´esz, amelyt˝ol kezdve minden n-re |x1 | + · · · + |xM | ε < n 2 (n 7→ c/n nullsorozat minden r¨ogz´ıtett val´os c eset´en!). Ekkor az M ´es N nagyobbik´an´al nagyobb n pozit´ıv eg´eszekre |An | ≤
n M n 1X 1X 1 X ε n−M ε |xi | = |xi | + |xi | < + < ε. n i=1 n i=1 n i=M +1 2 n 2
(b) Ha lim(xn ) =: c ∈ R ´es minden n-re yn := xn − c, akkor (yn ) nullsorozat, ´ıgy a m´ar bizony´ıtottak szerint Pn
0 = lim An (y) = lim n→∞
n→∞
i=1
xi − nc = lim (An (x) − c). n→∞ n
(c) Ha lim(xn ) = +∞, K ∈ R+ , M olyan k¨ usz¨obindex, amelyt˝ol kezdve minden n-re xn > 2(K + 1), N pedig olyan, amelyt˝ol kezdve minden n-re M 1X xi > −1 n i=1
(ilyen ism´et az´ert l´etezik, mert n 7→ c/n nullsorozat minden r¨ogz´ıtett val´os c eset´en), akkor az N ´es 2M nagyobbik´an´al nagyobb n-ekre n M n 1X 1X 1 X n−M xi = xi + xi > −1 + 2(K + 1) = n i=1 n i=1 n i=M +1 n
M 1 )2(K + 1) > −1 + 2(K + 1) + K. n 2 (d) Ha lim(xn ) = −∞, akkor az im´ent bizony´ıtottak szerint az n 7→ An (−x) = −An (x) sorozat hat´ar´ert´eke +∞. −1 + (1 −
18. Ha a pozit´ıv tag´ u x = (xn ) sorozatnak van hat´ ar´ ert´ eke, tov´ abb´ a minden pozit´ıv eg´ esz n-re n √ es Hn := Hn (x) := 1 Gn := Gn (x) := n x1 · . . . · xn , ´ 1 , x1 + . . . + xn akkor ezeknek az u ´jabb sorozatoknak (melyeket az x sorozat m´ ertanik¨ oz´ ep-sorozat´ anak, illetve harmonikusk¨ oz´ ep-sorozat´ anak nevez¨ unk) szint´ en van hat´ ar´ ert´ ek¨ uk, s ezek 7
megegyeznek lim(xn )-nel. Bizony´ıt´ as. A harmonikus, a m´ertani, ´es a sz´amtani k¨ozepek k¨ozti egyenl˝otlens´eg szerint (´es persze amiatt, hogy pozit´ıv tag´ u sorozatr´ol van sz´o,) minden n-re 0 < Hn ≤ Gn ≤ An .
(3)
Ebb˝ol, a m´ar bizony´ıtott lim(An ) = lim(xn ) egyenl˝os´egb˝ol (ld. 17.), ´es a k¨ozrefog´asi elvb˝ol k¨ovetkezik, hogy el´eg a t´etelt a harmonikusk¨oz´ep-sorozatra bizony´ıtani. (a) Tegy¨ uk fel el˝osz¨or azt, hogy az x sorozat nullsorozat. Az (An ) sorozat nullsorozat, ´ıgy a k¨ozrefog´asi elvb˝ol ad´odik, hogy (Hn ) is nullsorozat. (b) Ha lim(xn ) =: p ∈ R+ , akkor (xn ) reciprok´anak hat´ar´ert´eke 1/p, ez´ert lim(An (1/x)) = 1/p, ´ıgy az ut´obbi sorozat reciprok´anak — ami nem m´as, mint a (Hn (x)) sorozat — hat´ar´ert´eke ism´et p. (c) Ha lim(xn ) = +∞, akkor (1/xn ) nullsorozat, ez´ert (An (1/x)) is nullsorozat, ´es persze pozit´ıv tag´ u, ez´ert az ut´obbi sorozat reciproka, a (Hn (x)) sorozat +∞-hez tart.
19. Az (1/
√ n
n!) sorozat nullsorozat.
Bizony´ıt´ as. Az (1/n) sorozat m´ertanik¨oz´ep-sorozat´ar´ol van sz´o. 20.
n lim √ = e. n n!1 n! Bizony´ıt´ as. El´eg azt igazolni, hogy ha xn = (1 + 1/n)n , akkor a vizsg´alt sorozatot megkaphatjuk u ´gy, hogy az (xn ) sorozatnak a (szint´en e-hez tart´o) m´ertanik¨oz´ep-sorozat´at megszorozzuk az 1-hez tart´o (n/(n + 1)) sorozattal: v s u 2 n−1 n n n n u 2 3 n (n + 1) n n n (n + 1) n t · Gn (x) = · . . . · · = = √ , n 2 n−1 n n+1 n+1 1 2 (n − 1) n n+1 n! n!
az utols´o el˝otti l´ep´esben n − 1 egyszer˝ us´ıt´est hajtottunk v´egre. 21.
Ã
lim
n!1
1+
1 2
+
1 3
+ ... +
1 n
!
= +∞.
Bizony´ıt´ as. Az els˝o n pozit´ıv eg´esz reciprok´anak ¨osszeg´et sn -nel jel¨olve, az (sn ) sorozat szigor´ uan monoton n¨ov˝o (sn+1 − sn = 1/(n + 1) > 0), teh´at van hat´ar´ert´eke, ´es ez a hat´ar´ert´ek megegyezik a sorozat ´ert´ekk´eszlet´enek fels˝o hat´ar´aval. Indirekt u ´ton folytatjuk: ha ez a fels˝o hat´ar nem +∞ lenne, akkor egy p pozit´ıv sz´am lenne. De akkor a p − 1/2 sz´am m´ar nem lehetne fels˝o korl´atja a sorozatnak, teh´at l´etezne olyan N pozit´ıv eg´esz, melyre sN > p − 1/2 lenne. Ebb˝ol viszont a p sz´am fels˝o korl´at volta ´es az (1/n) sorozat monoton fogy´o volta miatt, (aminek k¨ovetkezt´eben minden k ∈ N + 1, 2N eset´en 1/k ≥ 1/(2N ),) p ≥ s2N = sN +
2N X
1 1 1 1 1 >p− +N · =p− + =p 2 2N 2 2 k=N +1 k
ad´odna, ami k´eptelens´eg. 8
