KETERAMPILAN BERPIKIR TINGKAT TINGGI DALAM KEANTIAJAIBAN SUPER TOTAL SELIMUT GRAF CIRCULANT Elitta P. Dewy1, Dafik2, Susi Setiawani3 Abstract. Cover total Labeling (a, d) -H- antimagical on a graph G = (V, E) is a bijective function of the vertices and edges of a graph on the set of integers from 1, 2, 3, ... |V(G)|+|E(G)|, for every subgraph H of G which is isomorphic with H has a total labeling different and form the arithmetic sequence. H-lebeling is said to have super antimagical if vertices labeling and edge labeling where the label of vertices less than the label of edges . One technique that can be applied to get a super anti-magic total labeling blanket on a graph that is engineering the partition of the set of integers with different sets d. πΎ4 Partition symbolized In this article examines the super labeling (a,d)-πΆππ(π -antimagic π) total labelling of an shackle subgraph circulant with three arch and the complit graph (πΎ4 ) for the connector. Cca(sl)K πΎ
4 Key words : Super (a,d)-πΆππ(π -Antimagic Total Covering, shackle subgraph circulant π) with three arch and the complit graph (πΎ4 ) for the connector, High Order Thinking Skill.
PENDAHULUAN Di zaman yang serba modern ini, tidak dipungkiri bahwa semua perubahan yang terjadi dikarenakan perkembangan dari semua ilmu pengetahuan terutama matematika. Matematika berkembang seiring berjalannya waktu, sehingga matematika merupakan dasar dari segala ilmu. Menurut Johnson dan Myklebust matematika adalah bahasa simbiolis yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi teoritisnya adalah untuk memudahkan berfikir [9]. Matematika merupakan disiplin ilmu yang secara jelas mengandalkan proses berpikir karena diperlukan oleh setiap individu dalam kehidupan sahari-hari. Berpikir merupakan suatu ketrampilan yang kognitif untuk memperoleh pengetahuan. Definisi yang paling umum dari berfikir adalah berkembangnya ide dan konsep di dalam diri seseorang [11]. Perkembangan ide dan konsep ini berlangsung melalui proses penjalinan hubungan antara bagian-bagian informasi yang tersimpan dalam diri seseorang yang berupa pengertianpengertian. βberfikirβ mencakup banyak aktivitas mental. Hal ini menunjukkan ketika individu memecahkan masalah dan ingin menemukan penyelesaian maka individu tersebut akan mengalami proses berpikir, oleh karenanya manusia dapat mengenali masalah dalam berpikir, memahami, dan menyelesaikannya. 1
Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember Dosen Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember 3 Dosen Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember 2
Dewy dkk: Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi dalam Keantiajaiban β¦β¦β¦.
123
Keterampilan berpikir tingkat tinggi yang diterjemahkan dari Higher Order Thinking Skills (HOTS) adalah kegiatan berpikir yang melibatkan level kognitif hirarki tinggi dari taksonomi berpikir Bloom. Anderson, L., and Krathwohl, D. (eds.) merevisi level
taxonomi
ini
menjadi
(remembering)
mengingat,
(understanding)
memahami/mengerti, (applying) menerapkan, (analyzing) menganalisis, (evaluating), mengevaluasi, dan (creating) menciptakan [8]. Keterampilan berpikir tingkat tinggi dapat ditingkatkan melalui salah satu cabang ilmu matematika yaitu matematika diskrit yang memuat teori graf dalam kajiannya. Salah satu topik dalam teori graf yang banyak dikembangkan adalah pelabelan graf [3]. Jenis pelabelan yang banyak dikembangkan adalah pelabelan ajaib (magic) dan pelabelan antiajaib (antimagic). Pelabelan antiajaib merupakan pengembangan dari pelabelan ajaib yang dilakukan oleh Hartsfield dan Ringel, mereka mendefinisikan bahwa suatu graf πΊ yang memiliki verteks sebanyak π£πΊ = |π| = |π(πΊ)| dan ππΊ = |πΈ| = |πΈ(πΊ)| disebut antiajaib, jika sisi-sisinya dapat dilabeli dengan {1,2,3, . . . , ππΊ } sehingga setiap titik mempunyai bobot titik yang berbeda [5]. Pelabelan total ajaib kemudian dikembangkan menjadi pelabelan selimut ajaib yang pertama kali diperkenalkan oleh GutiΓ©rrez dan LladΓ³ [4]. Suatu graf πΊ = (π(πΊ), πΈ(πΊ)) dikatakan memiliki pelabelan selimutβπ» ajaib jika setiap garis pada πΈ(πΊ) termuat dalam subgrafβπ» dari πΊ yang isomorfik denganβπ». Sehingga dalam hal ini π» merupakan subgraf dari πΊ. Inayah et al. mengembangkan pelabelan selimut (π, π) β π» β antiajaib pada suatu graf πΊ adalah sebuah fungsi bijektif sehingga terdapat jumlahan yang merupakan barisan aritmatika {π, π + π, π + 2π+, . . . , +π + (π‘ β 1) π} [6]. Pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib total selimut dikatakan sebagai fungsi bijektif karena label selimut pada suatu graf tersebut selalu berbeda dan berurutan. Selanjutnya, dikatakan bahwa πΊ memuat selimutβπ». Salah satu teknik yang dapat diterapkan untuk mendapatkan pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib pada suatu graf yaitu teknik partisi dari himpunan bilangan bulat dengan menetapkan beda π. Misalkan {π, π, π, π, } dan π merupakan bilangan bulat positif dimana π jumlah kolom, π jumlah baris, π beda, π baris dan π selimut atau kolom. Partisi π (π, π) dari himpunan {1, 2, 3, . . . , ππ} dalam n kolom, π β₯ 2, dan π baris adalah ππ,π
partisi pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib dengan jumlah bilangan-bilangan sebanyak c baris untuk masing-masing kolom membentuk barisan aritmatika dengan beda π dan
124 ______________________Β©Kadikma, Vol. 6, No. 3, hal 122-131, Desember 2015 π π π (π, π) adalah jumlah bilangan pada ππ,π π = 1, 2, . . . , π. β ππ,π (π, π) dan d = ππ,π (π, π β 1) π π π (π, π). Notasi ππ,π -ππ,π (π, π) β π artinya setiap bilangan pada ππ,π (π, π) ditambahkan π
dengan π, dimana π dapat berupa bilangan asli atau anggota partisi yang lain [2]. Salah satu jenis graf yang belum diketahui super (π, π) β π» β antiajaib total πΎ
selimut adalah Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) dengan generalisasi graf. Graf ini merupakan pengembangan shackle subgraf, yang digunakan sebagai graf pusat adalah graf circulant (πΆππ ) dengan tiga busur dan konektor graf komplit (πΎ4 ). Sehingga notasi penamaan secara πΎ
umum dapat dituliskan graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π), dimana n merupakan ekspansi graf, πΎ4 sebagai shackle subgraf, ca yang merupakan jumlah titik dari graf circulant, dan π π merupakan jumlah busur dalam graf circulant [1], [7], [10]. Setiap pelabelan graf memiliki nilai batas atas π yang berbeda dan nilai π tidak tunggal. Nilai dengan π adalah bilangan bulat non negatif dan π merupakan nilai terbesar π dalam suatu graf. Tujuan menentukan batas atas ini adalah mengetahui nilai beda maksimum dalam mencari pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib total selimut. Oleh karena itu, peneliti akan mengembangkan pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib total πΎ
selimut pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π), serta akan mengkaji keterkaitan antara πΎ
menciptakan teorema pelabelan selimut dari graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) dengan keterampilan berpikir tingkat tinggi yang menggunakan acuan taksonomi Bloom. METODE PENELITIAN Penelitian ini menggunakan metode deduktif aksiomatik, metode pendektesian pola dan dikategorikan kedalam penelitian eksploratif dan terapan, serta penerapan teknik partisi dalam pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib total selimut dari operasi shackle subgraf dari graf circulant (πΆππ(π π) ) dengan tiga busur dan konektor graf komplit (πΎ4 ). Metode deduktif aksiomatik yaitu dengan menetapkan pengertian dasar pelabelan super πΎ
(π, π) β π» βantiajaib total selimut pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π). Selanjutnya menurunkan teorema tersebut untuk memperoleh pelabelan titik dan pelabelan sisi pada πΎ
graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) dengan menggunakan teorema yang telah ada yakni menggunakan metode pendeteksian pola (pattern recognition). Penelitihan ini juga menggunakan tahapan pada taksonomi Bloom yang telah direvisi yaitu mengingat (remembering), pemahaman (comprehension), penerapan (application), analisis
Dewy dkk: Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi dalam Keantiajaiban β¦β¦β¦.
125
(analysis), evaluasi (evaluation), dan menciptakan (creating). Setiap langkah dalam penelitian ini dikaitkan dengan tahapan-tahapan tersebut untuk mencapai keterampilan berpikir tingkat tinggi.
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil-hasil dari penelitihan ini ditemukan 8 macam partisi yang akan dikombinasikan untuk pelabelan super (π, π) β π» βantiajaib total selimut, serta dapat dikaitkan semua tahapan dengan keterampilan berpikir tingkat tinggi sesuai dengan taksonomi bloom yang telah direvisi. Berikut hasil teorema beserta pembuktiannya Tahap pertama yaitu mengingat, peneliti akan mengingat kembali famili graf yang dibangun dengan cara mengidentifikasi famili graf. Graf yang digunakan dalam penelitian ini adalah graf yang diperoleh dari hasil operasi shackle subgraf dari graf circulant (πΆππ(π π ) ) dengan konektor graf komplit (πΎ4 ), graf circulant (πΆππ(π π )) yang digunakan πΎ
memiliki jumlah busur π π = 3 sehingga graf ini dinotasikan dengan Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π). πΎ
Graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) akan diekspan sebanyak π yaitu jumlah dari subgraf circulant (πΆππ(π π ) ), dengan titik yang dimiliki oleh graf circulant (πΆππ(π π ) ) sebanyak π. Selain itu
mengingat teorema yang Martin BaΔa yang meyakini bahwa jika graf tunggal memiliki (π, 1) βsisi anti ajaib maka graf gabungannya memiliki (π, 1) βsisi anti ajaib, kemudian teorema Dafik yang menyatakan bahwa jika sebuah graf πΊ(π, πΈ) adalah pelabelan super (π, π) β π» βanti ajaib total selimut dengan mencari batas atas:
Tahap kedua yaitu memahami, peneliti akan memahami bagaimana menemukan πΎ
kardinalitas dan menghitung jumlah titik π serta sisi π pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π). πΎ
πΎ
Kardinalitas titik graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) adalah π (πΆππ4(1,2,3) , πΎ4 , π) = {π₯1,1 ; π₯2,1 ; π₯3,1 ; π₯4,1 } π΄ {π¦π,π |1 β€ π β€ π; 1 β€ π β€ π}, πΎ
sedangkan
kardinalitas
sisinya
adalah
πΈ (πΆππ4(1,2,3) , πΎ4 , π) = {π₯1,1 π₯2,1 ; π₯1,1 π¦1,1 ; π₯1,1 π¦10,1 ; π₯2,1 π¦10,1 ; π₯2,1 π¦1,1 ; π₯3,1 π¦5,π ; π₯3,1 π¦4,1 ;
126 ______________________Β©Kadikma, Vol. 6, No. 3, hal 122-131, Desember 2015
π₯3,1 π¦6,π ; π₯4,1 π¦5,π ; π₯4,1 π¦6,π } π΄ {π¦π,π π¦1,π+1|1 β€ π β€ π β 1} π΄ {π¦π+1,π π¦π,π+1 | 2
2
1 β€ π β€ π β 1} π΄ {π¦π,π π¦π,π+1 |1 β€ π β€ π β 1} π΄ {π¦π+1,π π¦1,π+1 |1 β€ π β€ π β 1} π΄ 2
2
{π¦π,π π¦(π+π π)modπ,π |1 β€ π β€ π; 1 β€ π β€ π; π π = π}, sedangkan jumlah titik π = |π| = 4 + ππ dan jumlah sisi π = |πΈ| = 4π + ππ + 6. Tahap ketiga yaitu menerapkan, setelah didapatkan kardinalitas peneliti akan πΎ
menentukan batas atas nilai beda π dari graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) dengan menggunakan πΎ
teorema yang telah ada. Batas atas π dari graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) adalah π β€ βπππ» + ππ»2 β
ππ» π(π+2) πβ1
6π
π» + πβ1 .
Tahap keempat yaitu menganalisis, dilakukan pengkajian ulang pada titik dan sisi yang akan dilabeli, serta menentukan fungsi partisi yang akan digunakan dalam πΎ
melabeli graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π). Penelitian ini menggunakan 8 macam partisi yang akan dikombinasikan utuk menentukan beda π dalam pelabelan. Tahap kelima yaitu mengevaluasi, pada tahap ini akan dilakukan pengecekan pada fungsi bijektif titik, sisi, dan bobot total selimut. Jika pelabelan yang didapatkan pada tahap sebelumnya memiliki pola yang sama disetiap ekspanannya, maka dengan mudah dapat ditentukan fungsi bijektif dari pelabelan titik, sisi dan bobot total selimutnya. Pada tahap ini yang akan dilakukan adalah membuktikan kebenaran fungsi yang telah dirumuskan. Membuktikan apakah fungsi yang telah dirumuskan pada graf tunggal dan gabungan sesuai dengan pola pelabelan bobot titik selimut dan bobot total selimut yang telah dibangun. Tahap yang terakhir yaitu mencipta, tahap ini peneliti akan menemukan teorema. Menemukan teorema yang dimaksud adalah bagaimana fungsi yang ditemukan setelah proses pada tahapan sebelumnya yaitu pengelompokkan pada beda yang konsisten. Sesuai dengan tujuan penelitian yaitu menemukan pelabelan super (π, π) β πΎ
πΎ
πΆππ4(π π) βantiajaib total selimut pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π), dimana π adalah bobot sisi terkecil, πΆ1 adalah konstanta, dan π adalah nilai bedanya. Sebagai ilustrasi akan dicontohkan operasi shackle subgraf dari graf circulant (πΆππ ) dengan tiga busur dan konektor graf komplit (πΎ4 ) sebagai berikut. Tabel 1 dan Gambar.1
berikut
merupakan
contoh
dari
pelabelan
super
(7678,58) β
Dewy dkk: Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi dalam Keantiajaiban β¦β¦β¦. πΎ
127
πΎ
πΆππ4(π π) βantiajaib total selimut pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π). Dari table terlihat jelas untuk pelabelan titik dari π = 1~20 maupun pelabelan sisinya dari π = 21~78.
πΎ
πΎ
Tabel. 1 Pelabelan Super (7678,58) β πΆππ4(π π) βAntiajaib Total Selimut pada Graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π)
128 ______________________Β©Kadikma, Vol. 6, No. 3, hal 122-131, Desember 2015
πΎ
πΎ
Gambar.1 Pelabelan Super (7678,58) β πΆππ4(π π) βAntiajaib Total Selimut pada Graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π)
Dewy dkk: Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi dalam Keantiajaiban β¦β¦β¦.
129
KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa operasi shackle subgraf dari graf circulant (πΆππ(π π ) ) dengan tiga busur dan konektor graf komplit πΎ
(πΎ4 ) yang dinotasikan dengan Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) memiliki pelabelan super (π, π) β πΎ
πΆππ4(π π) βantiajaib total selimut π = πΆ1 + π, dengan nilai πΆ1 = {π (β10 π=1 π‘π + 9π‘1 + 8π‘2 + 69
61
9
5
1
1
1
π‘ + 10 π‘4 + 2 β6π=5 π‘π + 3π‘7 + 2π‘8 + 6 π‘9 + 6 π‘10 + π‘1 2 + 2 β5π=3 π‘π 2 + 6 π‘6 2 + π‘8 2 + 10 3 1 2
2 β10 π=9 π‘π + 9π1 + 8π2 +
1
69 π 10 3
61
9
1
2 2 + 10 π4 + 2 β6π=5 ππ + 3π7 + 2π8 + 6 β10 π=9 ππ + π1 +
1
2
2 4 β6 π 2 + π8 2 + β10 π 2 + β10 π=1(ππ β 1)π π ) + βπ=1 π‘π + 5 βπ=3 π‘π + π‘6 + 2 π=3 π 2 π=9 π 1 2
1
2
1
1
2
3
1
β8π=7 π‘π + π‘9 + π‘10 β π‘7 2 + π‘8 2 + β2π=1 ππ + π3 + π4 + π6 + β8π=7 ππ + 3 3 2 2 5 5 2
1
2
1
1
1
1
π + 3 π‘10 β 2 π7 2 + 2 π8 2 } dan π = 2(π‘1 + π‘2 2 ) + 5 π‘3 β 5 π‘4 + π‘5 β π‘6 + π‘7 2 β π‘8 2 + 3 9 1
π‘ 3 9
1
1
1
1
1
β 3 π‘10 + 2π1 + 2π2 2 + 5 π3 β 5 π4 + π5 β π6 + π7 2 β π8 2 + 3 π9 β 3 π10 .
Selain itu, keterampilan berpikir tingkat tinggi yang merupakan keterampilan kognitif πΎ tertinggi dari taksonomi Bloom dengan pelabelan super (π, π) β πΆππ4(π π) βantiajaib total πΎ
selimut pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π) yakni dalam penemuan teorema pada batas atas yang telah ditentukan. Tahap mengingat meliputi mengingat istilah dan teorema yang terkait, mengenali graf yang akan digunakan. Tahap memahami yang terdiri dari πΎ
menjelaskan kesesuaian pada graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π)
serta definisinya.
Tahap
menerapkan yaitu mengguakan teorema batas atas untuk menunjkkan batas atas yang ada πΎ
pada SHATD graf Shack(πΆππ4(π π) , πΎ4 ,π), serta menerapkan teorema lainnya yang berkaitan, termasuk atura-aturan yang berlaku dalam ilmu hitung. Tahap menganalisis meliputi memecah graf menjadi beberapa bagian berdasarkan polanya, mengkerangkakan pola untuk setiap bagian dalam bentuk partisi. Tahap mengevaluasi yaitu mengecek pengkombinasian
partisi
pada
setiap
ekspanannya.
Tahap
mencipta
yaitu
memformulaskan partisi, π, dan π yang dipergunakan oleh serta menciptakan observasi dan teorema baru. πΎ
Berdasarkan hasil penelitian mengenai pelabelan super (π, π) β πΆππ4(π π) βantiajaib total selimut pada operasi shackle subgraf dari graf circulant (πΆππ(π π ) ) dengan konektor graf
130 ______________________Β©Kadikma, Vol. 6, No. 3, hal 122-131, Desember 2015 komplit (πΎ4 ) serta mengacu pada open problem dari hasil penelitian yang telah ditemukan, maka peneliti memberikan saran kepada pembaca untuk melakukan penelitian πΎ pada pelabelan super (π, π) β πΆππ4(π π) βantiajaib total selimut pada operasi shackle
subgraf dari graf circulant (πΆππ(π π )) dengan konektor graf komplit (πΎ4 ) menentukan partisi π,π π,π π,π π,π π,π π,π π,π (π, π, π), π«π‘,π‘ π«π‘,π‘ 2 (π, π, π), π« π‘ (π, π, π), π« π‘ (π, π, π), π«π‘,π‘ (π, π, π), π«π‘,βπ‘ (π, π, π), π«π‘,π‘ 2 (π, π, π) π‘,
π‘,β
5
5
π,π π,π π,π π«π‘,βπ‘ 2 (π, π, π), π« π‘ (π, π, π), π« π‘ (π, π, π) dengan tahapan pada keterampilan berpikir π‘,
3
π‘,β
3
πΎ tingkat tinggi dalam pelabelan super (π, π) β πΆππ4(π π) βantiajaib total selimut secara
diskonektif. DAFTAR PUSTAKA [1]
Azizah, I. dan Dafik. 2014. Super (a,d)$-H-antimagic total selimut pada graf shackle kipas f4. Prosiding Seminar Matematika dan Pendidikan Matematika, 1:242-250.
[2]
Baca, Bronkovic, L., Lascsakova, M., Phanalasy, dan Fenovcikova, A. S. 2013. On d-Antimagic Labellings of Plane Graoph. Electronica Journal of Graph Theory and Application, 1. 28-39.
[3]
Dafik. 2014. Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (HOTS). http://dafik-fkipunej.org/berita-199-keterampilan-berpikir-tingkat-tinggi-hots.html. [15 Juni 2016].
[4]
GutiΒ΄errez, A. dan LladΒ΄o, A. 2005. Magic Covering Of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. Vol.55: 451-461.
[5]
Hartsfield, N. and Ringel, G. 1994. Pearls in Graph Theory. Boston-San DiegoNewYork-London: Academic Press Limited.
[6]
Inayah, N., Simanjuntak, R., Salman, A. 2009. On (a,d)-H-Antimagic Covering of Graph. The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 71, 273-281.
[7]
Inayah, N., Simanjuntak, R., Salam A., Syuhada K.I.A. Super (a,d)-H-Antimagic Total Labelings for Shackles of A Connected Graph H. Australasian J. Combinatorics, 57 (2013) 127β138.
Dewy dkk: Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi dalam Keantiajaiban β¦β¦β¦. [8]
131
Krathwol, D. R. 2002. A Revision of Bloom's Taxonomy: An Overview. Theory Into Practice, 41 (4): 213-218.
[9]
Mulyono, Abdurrahman. 2008. Pendidikan Bagi Anak Berkesulitan Belajar. Jakarta: Rineka Cipta.
[10] Sugeng K. A., N.H. Bong. 2011. Vertex (π, π)-Antimagic Total Labeling On Circulant Graph πΆπ (1, 2, 3). The Journal of Indonesian Mathematics Society, PP. 79-88. [11] Suriasumantri. 1983. Psikologi Pendidikan Press. http://www.andragogi.com. [15 Juni 2016].
