Kennismaking met de TI-83 (plus)
Marc Lemmens
Marc Lemmens
1
2
Basisbewerkingen
4
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
4 6 6 7 8 9
Enkele rekenfuncties 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
3
Overzicht Mathmenu Wortelvormen Meervoudige bewerkingen Complexe getallen Werken met geheugens Hoeken Vergelijkingen oplossen
Functies
10 10 11 11 12 12 13 14
16
3.1 3.2
Invoeren van een functievoorschrift Berekenen van functiewaarden
16 16
3.3 3.4 3.5
Functietabel Functie tekenen Berekeningen in verband met functies
18 18 19
Meerdere functies tekenen
21
Parametervergelijkingen Poolcoördinaten
23 24
3.6
3.7 3.8
4
Inleiding Instellingen Rekenen Een berekening wijzigen Haakjes Nauwkeurigheid van berekeningen
3.2.1 3.2.2
Met behulp van het functiemenu Zonder het functiemenu
3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4
Nulpunten bepalen Maximum berekenen Afgeleide in een punt Integralen
3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4
Lijnstijl Functies onzichtbaar maken Snijpunt bepalen Familie van functies
Statistiek
25 Marc Lemmens
4.1 4.2 4.3 4.4
5
Telproblemen Gegevens invoeren en statistische grootheden
25 26
Histogram en boxplot
28
Kansverdelingen
30
4.2.1 4.2.2
Gegevens invoeren Statistische grootheden
4.3.1 4.3.2
Histogram Boxplot
4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5
Binomiale verdeling Poissonverdeling Normale verdeling De inverse normaalverdeling Solver
Matrixrekenen 5.1 5.2 5.3
5.4 5.5
34
Overzicht van de menu’s Invoeren van een matrix Enkele bewerkingen
34 34 35
Een matrix verwijderen Een stelsel van vergelijkingen oplossen
37 37
5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6
Bibliografie
Vermenigvuldiging en optelling Determinant Getransponeerde matrix Inverse matrix Rijen verwisselen Enkele matrixfuncties
38
Marc Lemmens
1 Basisbewerkingen 1.1 Inleiding
tekenen van grafieken cursortoetsen
specifieke invoer van gegevens
speciale functies de onderste zes rijen komen min of meer overeen met de toetsen van een "gewone" rekenmachine
De meeste knoppen op de TI83 hebben 3 functies (of commando’s): • de hoofdfunctie; midden op de toets. Deze functie geven we aan met de knop zelf . •
•
de second-functie; in geel, links boven de toets. Dit commando geven we aan door de naam van het commando tussen [ en ] te plaatsen. [OFF]. Je moet hiervoor drukken op gevolgd door . de alfa-functie; in groen, rechts boven de toets. De naam daarvan staat ook tussen twee rechte haken, [ en ]; bij het gebruik van letters (de "echte" alfafunctie) echter niet. [SOLVE]. Druk hiervoor op gevolgd door .
Na het drukken op de
- of de
-toets wijzigt de gedaante van de cursor.
Je kunt de -toets blokkeren met [A-LOCK] ( drukken krijg je de normale toetsinstellingen.
). Door op
te
Marc Lemmens
Wissen van het scherm: Scherm donkerder: Scherm lichter:
, pijltje ingedrukt houden!
Wissen van het geheugen - Het is aan te raden het geheugen te wissen bij het begin van een nieuwe serie berekeningen (je loopt anders de kans dat "oude" gegevens van invloed zijn op de resultaten). Druk op [MEM] ( ). Op een TI-83 plus zie je dan: Dit is het MEMORY-menu. In zo’n menu kun je door het drukken op de cijfertoetsen de gewenste functie uitvoeren.
7:Reset… heeft tot gevolg, dat alle ingevoerde gegevens worden gewist. Druk op . Je ziet dan: Ga met naar ALL en druk op rekentoestel.
of op
. Volg nu de instructie van het
Het menu van een TI-83 is een beetje anders. Je moet na het drukken op [MEM] keuze 5:Reset… maken. Vervolgens kies je 1:All Memory… en bevestig je je keuze. Ook de instelling van de helderheid van het scherm wordt gereset. Je mag Reset NOOIT gebruiken als er een programma in de machine aanwezig is. Met Reset worden alle programma’s uit het geheugen gewist. Menu verlaten - Een menu kun je verlaten door op drukken.
of [QUIT] (
) te
Volgorde - De volgorde waarmee getallen, bewerkingstekens, ed. op de TI83 worden ingevoerd komt meestal overeen met die waarin de betreffende vormen worden opgeschreven. Deze volgorde wijkt duidelijk af van de volgorde op oudere zakrekenmachines.
Marc Lemmens
1.2 Instellingen De modusinstellingen bepalen hoe je grafisch rekentoestel werkt. Om deze instellingen op te roepen en te wijzigen druk je . Je verlaat dit scherm door op of [QUIT] te drukken.
Normal Sci Eng
numerieke notatie
Float 0123456789
aantal cijfers na het decimaalteken
Radian Degree
hoekeenheid: radialen of graden
Func Par Pol Seq
grafiektype: cartesiaans, parameter, poolcoördinaten of getallenrij
Connected Dot
punten in grafieken verbinden of niet
Sequential Simul
grafieken terzelfder tijd plotten
Real a+bi re^θi Full Horiz G-T
weergave complexe getallen volledige grafisch scherm – horizontaal gesplitst – grafiek/tabel
1.3 Rekenen •
Bereken 1+2+4+8+16 Je kunt deze opgave invoeren door gebruik te maken van de normale rekenfuncties van de TI83. Druk op om dit uit te rekenen. Deze toets werkt dus als een "is gelijk aan"-teken.
•
Stel nu dat je bij dit antwoord 32 willen optellen. Druk nu op 32. Ans is een speciale variabele die als waarde het laatste weergegeven antwoord (in dit geval 31) heeft. Je kunt Ans ook oproepen met [ANS] (
).
Bereken 1 + 63 door gebruik te maken van [ANS].
Na het drukken op
zie je:
Marc Lemmens
Je hebt de waarde uitgerekend van 1+2+4+8+16+32. De uitkomst daarvan is 63. Je kunt deze uitkomst ook berekenen met een machtsverheffing. •
Laat zien, dat 26 - 1 = 63 De toets voor de machtsverheffing is
.
De bewerkingstoets voor de aftrekking is . Dit is een blauwe toets, rechts op de machine. Verwar deze niet met de grijze op onderste rij. Dit is de toets voor negatieve getallen. Op het scherm geeft deze laatste toets een teken dat kleiner is dan het teken van de eerste toets.
Bij verkeerd gebruik (zie de eerste opdracht in de figuur hierboven) krijg je de keuze: o 1:Quit brengt je naar een nieuwe regel van het rekenscherm o 2:Goto stuurt je naar de plaats van de fout.
1.4 Een berekening wijzigen In de vorige paragraaf heb je 25 – 1 berekend. Stel nu, dat je ook 26 - 1 ; 27 - 1 ; 28 - 1 , ... wilt uitrekenen. Je kunt daarbij gebruik maken van de [ENTRY]-toets. Met behulp van deze toets kun je een reeds eerder gemaakte berekening opnieuw in beeld brengen. Kies na berekening van 25 - 1, de toets [ENTRY] ( ). [ENTRY] laat de gehele vorige uitdrukking zien. Druk op op en
om de cursor op de 5 te krijgen. Druk nu om deze berekening uit te voeren.
•
Herhaal de berekening ook eens voor 27 - 1; 28 - 1. Ga hierbij ook eens na wat het effect is van de toetsen en [INS].
•
Bereken 233 - 1 ; 234 - 1 ; ...
Marc Lemmens
Het getal 264 - 1 is ongeveer gelijk aan 1,8 x 1019. De machine berekent (eigenlijk "benadert") 264 - 1 als volgt: Als je een getal als hierboven als antwoord moet opschrijven, dan is het steeds noodzakelijk iets als E19 te vervangen door 1019. •
Voer 500 000 000 in via de wetenschappelijke notatie. De E krijg je met de [EE]-toets ( ). Verwar deze toets niet met de variabele E. Een 5 met 8 nullen krijg je dus via 5[EE]8.
1.5 Haakjes Uit de volgende opdrachten blijkt, dat je moet uitkijken met het al dan niet plaatsen van haakjes. Bereken 5 - (-3) door deze vorm in te toetsen ZONDER haakjes.
Als de volgorde van de twee verschillende minnen verwisselt, krijg je een foutmelding.
Het eerste minteken is het bewerkingsteken voor de aftrekking, . Het tweede, , is het wisselteken; dit teken maakt een positief getal negatief, en een negatief getal positief. 1 + 10 9+2 Je kunt het beste altijd haakjes om de teller en noemer van een breuk plaatsen. Vergelijk de beide uitkomsten:
Bereken:
Marc Lemmens
Bij het gebruik van bepaalde functies zet de machine zelf al haakjes. Dit is bijvoorbeeld het geval met de wortelfunctie. Bereken
4 ⋅ 9 en
4⋅9 .
De volgorde van invoeren van bovenstaande vormen is dezelfde als die waarin ze geschreven zijn. Druk dus eerst op [√] ). Je √] ( ziet dan dat de machine ook een openingshaakje neerzet.
De eerste te berekenen vorm eist nu een sluithaakje! Doe je dat niet, dan krijg je het antwoord van de tweede vorm. Voor sluithaakjes moet je zelf zorgen. Anders reageert de machine alsof alle nodige sluithaakjes aan het einde van de ingevoerde uitdrukking staan.
1.6 Nauwkeurigheid van berekeningen •
Bereken 1040 + 1 - 1040 Doe het eerst eens uit je hoofd! Doe het daarna met de machine. OEPS! Welk van beide antwoorden is juist?
•
Wat is de grootste waarde van n waarvoor de TI83 de uitdrukking 10n + 1 - 10n nog goed uitrekent? Het is hierbij handig de reeds ingevoerde uitdrukking met [ENTRY] ( gebruiken en daarin de waarde voor n te wijzigen.
•
) te
Bereken 1111111111 × 9 (er staan 10 enen) Tel daarna bij het antwoord 1 op. Tel er opnieuw 1 bij op. Je ziet, dat dit optellen geen effect heeft op het door de machine gegeven antwoord. De maximale nauwkeurigheid van de TI83 is bereikt.
Marc Lemmens
2 Enkele rekenfuncties 2.1 Overzicht Mathmenu Onderstaand menu’s roep je op door op
MATH-
menu
MATH NUM 1: Frac 2: Dec 3: ³ 4:
3
te drukken.
(
CPX PRB toont het resultaat in breukvorm toont het resultaat in decimale vorm derdemacht van een getal derdemachtswortel
5: x 6: fMin( 7: fMax( 8: nDeriv( 9: fnInt( 0: Solver …
x-de machtswortel (n-de machtswortel) minimum van een functie maximum van een functie afgeleide in een punt van een functie bepaalde integraal vergelijkingsoplosser
MATH NUM 1: abs( 2: round( 3: iPart( 4: fPart( 5: int( 6: min( 7: max( 8: lcm( 9: gcd(
CPX PRB absolute waarde getallen afronden geheel deel van een getal ipart(-5,3) = -5 decimaal deel van een getal grootste geheel getal int(-5,3) = -6 minimumwaarde van een reeks getallen maximumwaarde van een reeks getallen kleinste gemene veelvoud van 2 getallen grootste gemene deler van 2 getallen
De andere menu’s worden later besproken. Marc Lemmens
2.2 Wortelvormen machten 5² 23³
wortelvormen 25 = 3
125 =
{ 3
of 3
6
}
(
{
(
{
4096 =
x
}
}
{
}
8 +3= 7
2000 + 187 =
x
{
}
2.3 Meervoudige bewerkingen {2, 3, 6}
{4, 6, 12}
Dit kun je toepassen bij gelijkvormigheid van driehoeken en bij de controle of twee rechten of vlakken evenwijdig zijn in de ruimte. Zo is:
Marc Lemmens
2.4 Complexe getallen 5+i , de complexe eenheid i voer je in 4 − 3i met de toetscombinatie !. In de technische vakken wordt voor de complexe eenheid j gebruikt.
Bereken:
Als je rekentoestel in nevenstaande mode staat is je resultaat:
Als −4 voor de leerlingen nog niet bestaat plaats je het rekentoestel in de mode REAL (3de jaar). Wil je als resultaat complexe getallen dan is de instelling a+bi of re^θ i aangewezen. In het menu MATH CPX staan onderstaande functies: MATH NUM CPX PRB berekent het complex toegevoegde 1: conj( berekent het reëel deel 2: real( berekent het imaginaire deel 3: imag( berekent de argument 4: angle( berekent de modulus 5: abs( 6: Rect toont het resultaat in de vorm a+bi 7: Polar toont het resultaat in de vorm re^θi
2.5 Werken met geheugens Een waarde opslaan in het geheugen. "A (
)
Marc Lemmens
Om de waarde terug op te roepen heb je twee mogelijkheden. Tik onderstaande formules in en kijk wat het verschil is. o A
B
o [RCL] ( [RCL] C
C ") A
[RCL] B
Je kunt ook meerdere opdrachten in een regel plaatsen.
2.6 Hoeken Met kun je de hoekeenheid bepalen: graden (Degree) of radialen (Radian). Plaats je rekentoestel in graden. Bereken volgende goniometrische en cyclometrische functies.
Wens je het resultaat van een hoek in graden, minuten en seconden, dan druk je na je berekening [ANGLE] . Met het [ANGLE]-menu heb je nog mogelijkheden in verband met hoeken.
ANGLE 1: ° 2: ‘ 3: r 4: DMS 5: R Pr( 6: R Pθ( 7: P Rx( 8: P Ry(
enkele
aanduiding in graden aanduiding in minuten aanduiding in radialen omzetting naar ° ‘ “ berekent r, als (x, y) gegeven zijn berekent θ, als (x, y) gegeven zijn berekent x, als (r, θ) gegeven zijn berekent y, als (r, θ) gegeven zijn Marc Lemmens
Bereken sin(15°20’23”). Het °- en ’-teken voer je in met behulp van het [ANGLE]-menu, het ”-teken met . Wens je de cosinus van 1 radiaal te bereken dan kun je dit doen door je toestel in radialen te plaatsen en vervolgens cos(1) in te geven. Als je toestel in graden staat kun je ook de cosinus van 1 radiaal berekenen door achter de 1 een kleine r te plaatsen, [ANGLE] . Als je toestel in radialen staat en je wil bijvoorbeeld de cosinus berekenen van 2°15’30” dan moet je achter de hoek nog eens het °-teken plaatsen!
2.7 Vergelijkingen oplossen Als je met je rekentoestel vergelijkingen wilt oplossen moet het eerste lid van de vergelijking steeds nul zijn. Voorbeeld 1: los op 0 = 7 x −
73 − 2x 3
Roep de vergelijkingsoplosser op, 0:Solver. Als je nevenstaand scherm niet krijgt kun je dit bekomen door te drukken. Voer de vergelijking in en druk op
.
Terwijl de cursor op de regel staat van de onbekende druk je op [SOLVE] ( ).
Marc Lemmens
De oplossing wordt berekend, voor de berekende variabele staat een vol vierkantje. X=4,866666… zijn de grenzen waartussen een oplossing wordt gezocht.
bound={ondergrens, bovengrens}
is het verschil tussen het linkerlid en het rechterlid, de nauwkeurigheid van de oplossing.
left-rt=
Moet je met de oplossing nog berekeningen uitvoeren dan kun je deze oproepen met #.
Voorbeeld 2: los de tweedegraadsvergelijking Ax² + Bx + C = 0 op met A=1, B=2 en C=-15.
Voer de vergelijking in en vul de variabelen aan, ga met de cursor naar de X-lijn en druk op [SOLVE] ( ) Het rekentoestel geeft als oplossing X=3.
Door een startwaarde in te geven, X=-10, of de grenzen te wijzigen vind je misschien nog een oplossing. Eureka, X=-5
Marc Lemmens
3 Functies Gegeven is de functie f ( x ) = x 3 − x 2 − 9 x + 5 . Bereken: f(5) en f(-3) teken deze functie de nulpunten de coördinaten van de top richting van de raaklijn als x=-1 oppervlakte onder f(x) als x ∈ [ −2;0] De bovenste rij toetsen van het rekentoestel bevat de verschillende functiemenu’s om bovenstaande opdrachten mee uit te voeren.
3.1 Invoeren van een functievoorschrift Druk op $ en geef de functie f ( x ) = x 3 − x 2 − 9 x + 5 in, sluit af met . Staat achter Y1 al een functievoorschrift druk dan eerst op . Verlaat het scherm met [QUIT].
3.2 Berekenen van functiewaarden Bereken f(5) en f(-3)
3.2.1 Met behulp van het functiemenu De berekening van de functiewaarde voor x = 5 gaat nu met de opdracht Y1(5). Dit betekent: gebruik de variabele Y1 met waarde X=5.
De variabele Y1 kun je naar het basisscherm overbrengen met %
1:Function. Druk daarna op 1:Y1.
Marc Lemmens
Op het scherm komt dan het eerste deel van de uit te voeren opdracht. Deze moet nog worden aangevuld met het drukken op krijg je het antwoord.
. Na
Gebruik de [ENTRY]-toets om f(-3) te berekenen.
3.2.2 Zonder het functiemenu
Je kunt ook de functiewaarde berekenen zonder gebruik te maken van het functiemenu. Je slaat de waarde van x op in de variabele X van de machine en met behulp hiervan bereken je telkens X 3 − X 2 − 9 X + 5 .
Sla de eerste te gebruiken waarde van X op. Druk op "# . Met deze waarde voer je bovenstaande berekening uit. Gebruik telkens de toets # voor het plaatsen van de variabele X in het basisscherm.
De berekening moet nog uitgevoerd worden voor x = -3. Nu zou je opnieuw de formule X^3-X²-9X+5 kunnen invoeren. Niet doen, want het kan iets gemakkelijker! Druk nu op [ENTRY] [ENTRY] (dus twee keer achter elkaar). Na de tweede keer staat de gewenste opdracht in het basisscherm. Als je nu op drukt, vind je de functiewaarde voor x = -3.
Marc Lemmens
3.3 Functietabel Als je op [TABLE] ( &) drukt krijg je de functietabel. De instellingen van deze tabel kun je wijzigen met [TBLSET] ( ').
3.4 Functie tekenen Om de grafiek van de functie te tekenen druk je op &.
De grafische rekenmachine heeft verschillende mogelijkheden om de grafiek weer te geven. Druk op ( om een bepaalde instelling te kiezen. ZOOM MEMORY 1: ZBox
tekent een rechthoek die het zichtbaar venster aangeeft
2: Zoom In
geeft meer detail van de grafiek rond de cursor
3: Zoom Out
geeft minder detail van de grafiek rond de cursor
4: ZDecimal
standaard orthonormaal assenstelsel
5: ZSquare
orthonormaal assenstelsel
6: ZStandard
standaard instelling
7: Ztrig
handig bij goniometrische functies
8: ZInteger
ijken op de x- en y-as worden gehele getallen
9: ZoomStat
voor actuele statische lijsten
0: ZoomFit
maakt de grafiek precies passend
ZOOM MEMORY 1: ZPrevious
vorige instelling
2: ZoomSto
bewaart de instellingen van het venster
3: ZoomRcl
roept de instellingen van het venster terug op
4: SetFactors…
verandert de zoomfactoren voor de keuzen Zoom In en Zoom Out
Marc Lemmens
Wens je de verschillende parameters zelf te bepalen dan druk je op '.
Als je de TRACE-functie activeert – druk ) – kun je de volgcursor over de grafiek van de functie verplaatsen en onderaan op het scherm kun je de coördinaten van de cursor aflezen. Als je nu een getal ingeeft wordt onmiddellijk de functiewaarde berekend.
De parameters van het assenstelsel kun je wijzigen met [FORMAT].
3.5 Berekening in verband met functies Voor berekeningen in verband met functies druk je op [CALC] (
)).
CALCULATE 1: value
berekent Y (functiewaarde) voor een opgegeven X
2: zero
nulpunten
3: minimum
minimum van de functie
4: maximum
maximum van de functie
5: intersect
snijpunt van twee functies
6: dy/dx
berekent de numerieke afgeleide in een punt
7:
f(x)dx
berekent de numerieke integraal van de functie
Marc Lemmens
3.5.1 Nulpunten bepalen Kies in het CALC-menu 2:zero. Selecteer een punt links van het nulpunt en een punt rechts van het nulpunt. Selecteer bij Guess een punt in de omgeving van het nulpunt. De andere nulpunten bepaal je op dezelfde manier.
3.5.2 Maximum berekenen Om de coördinaten van de top te berekenen kies je in het CALC-menu 4:maximum. Als resultaat krijg je de coördinaten van de top.
3.5.3 Afgeleide in een punt Om de richting van de raaklijn in een punt te bepalen bereken je de afgeleide in dat punt. Kies in het CALCmenu 6:dy/dx. Geef nu de X-waarde van het punt.
Marc Lemmens
3.5.4 Integralen Om de oppervlakte onder f(x) met x ∈ [ −2;0] te berekenen kies je het CALC-menu 7:
f(x)dx en je
tikt vervolgens de ondergrens en de bovengrens in. Om de arcering te verwijderen druk je [DRAW] 1:ClrDraw.
3.6 Meerdere functies tekenen 3.6.1 Lijnstijl Als je meerdere functies ingeeft worden deze gelijktijdig getoond. Door met de cursor volledig naar links te gaan en vervolgens een aantal maal op te drukken kun je de lijnstijl aanpassen. *
dunne volle lijn
+
dikke volle lijn
,
gedeelte boven de functie wordt gearceerd
-
/
gedeelte onder de functie wordt gearceerd een cirkelvormige cursor volgt de hoofdlijn van de functie en tekent het pad in een dunne lijn een cirkelvormige cursor volgt de hoofdlijn van de functie en tekent geen lijn
0
tekent een stippellijn, de afstand wordt bepaald door Xres
.
Bij de arcering wordt de volgende volgorde gehanteerd: verticaal, horizontaal, aflopend diagonaal, oplopend diagonaal, verder draaiing vanaf de vijfde arcering. Geef onderstaande functies in met de bijhorende lijnstijl. f1 ( x ) = x 3 − x 2 − 9 x + 5 f2 ( x) = − x + 1 f 3 ( x ) = x + 15 f 4 ( x ) = − x − 10 x2 −4 2 f6 ( x) = 4 x f5 ( x) =
Marc Lemmens
Wens je het plotten van de grafiek tijdelijk te onderbreken druk dan op , druk nogmaals op om het plotten verder te zetten. Om het plotten volledig te stoppen druk je op .
3.6.2 Functies onzichtbaar maken Een ingevoerde functie kun je ook onzichtbaar maken. Roep het invoerscherm van de functies op, $. Ga op het =-teken staan van de betreffende functie en druk op .
3.6.3 Snijpunt bepalen Druk [CALC] 5: intersect, selecteer de betreffende functies en een punt in de omgeving van het snijpunt.
De coördinaten kun je in het berekeningsscherm oproepen met X (#) en Y ( ).
Marc Lemmens
3.6.4 Familie van functies
3.7 Parametervergelijkingen instellingen mode-menu
hyperbool x2 y 2 − =1 9 4 x = 3 ⋅ sec t = y = 2 ⋅ tan t
3 cos t
Marc Lemmens
3.8 Poolcoördinaten Lemniscaat van Bernoulli r 2 = 52 cos 2θ
r = 5 cos 2θ
θstep kun je aanpassen door te drukken op '.
θstep=0.2
θstep=0.01
Marc Lemmens
4 Statistiek 4.1 Telproblemen Roep onderstaande functies op met
.
MATH NUM CPX PRB genereert een willekeurig getal 1: rand aantal variaties (deelpermutaties) 2: nPr aantal combinaties 3: nCr faculteit (permutatie) 4: ! genereert een geheel getal 5: randInt( genereert een getal voor normale verdeling 6: randNorm( genereert een getal voor binomiale verdeling 7: randBin(
Permutatie
Pn = n !
Variatie (deelpermutatie) n! Vnr = (n − r )! = Pnr = nPr Combinatie
Cnr = =
n! (n − r )!⋅ r ! n r
= nCr
Marc Lemmens
4.2 Gegevens invoeren en statistische grootheden 4.2.1 Gegevens invoeren De jeugdvoetbalclub heeft 75 leden. De leeftijd van de leden is als volgt: leeftijd 14 frequentie 5
15 8
16 10
17 13
18 17
19 9
20 6
21 4
22 2
23 1
Sla deze gegevens op in ‘Lijsten’ . In L1 plaats je de leeftijd; in L2 zet je de frequenties. De 1-toets geeft je toegang tot de statistische mogelijkheden van de TI83. 1. Druk op 1 [Edit] 1:Edit. Je krijgt nu een scherm met lijsten. Maak deze lijsten zo nodig leeg met [MEM] 4:ClrAllLists . Geef vervolgens de gegevens in. Om na te gaan of je 75 gegevens hebt ingevoerd, kun je de waarden die in L2 staan, optellen. Ga met [Quit] naar het rekenscherm en kies [LIST] [Math] 5:sum(. Voer nu L2 in ( ) en sluit af met en . 2. Je kunt nu enkele statistische grootheden berekenen. Je hebt hier als meetwaarden de leeftijden 14, 15, …, 23 (deze getallen staan in L1). Wil je van die meetwaarden het gemiddelde uitrekenen (je krijgt daarnaast ook nog wat andere waarden), dan gebruik je de opdracht 1-Var (je hebt slechts 1 variabele gemeten, namelijk het eindcijfer). 3. Kies nu 1 [Calc] 1:1-Var Stats.
De knipperende cursor geeft aan dat je deze opdracht moet aanvullen. Vul ze aan met L1, L2. ( ) De TI-83 berekent nu enkele statistische grootheden van de meetwaarden in L1 en waarvan de frequenties in L2 staan.
Marc Lemmens
4.2.2 Statistische grootheden Het pijltje op de laatste regel geeft aan dat er nog meer grootheden berekend zijn. Die uitvoer zie je door een aantal keren op te drukken. x =17,587 Σ x = 1319 Σ x2=23515 Sx=2,0736 σx=2,0597 n=75 minX=14 Q1=16 Med=18 Q3=19 maxX=23
het gemiddelde van de gegevens de som van alle gegevens de som van de kwadraten van de gegevens de standaardafwijking bij deling door 74 (steekproef) de standaardafwijking bij deling door 75 (populatie) het aantal getallen (ook wel het aantal waarnemingen) de kleinste waarneming het eerste kwartiel de mediaan het derde kwartiel de grootste waarneming
Wil je maar een van deze grootheden hebben dan kun je ook gebruik maken van het menu [LIST] ( 1) [MATH]. NAMES OPS MATH minimum van een lijst 1: min( maximum van een lijst 2: max( gemiddelde van een lijst 3: mean( mediaan van een lijst 4: median( som van de elementen van een lijst 5: sum( product van de elementen van een lijst 6: prod( standaardafwijking van een lijst (steekproef) 7: stdDev( variantie van een lijst (steekproef) 8: variance(
Als je geen frequentielijst hebt dan kun je deze weglaten.
Marc Lemmens
4.3 Histogram en boxplot 4.3.1 Histogram De knop [STAT PLOT] ( $) geeft toegang tot het scherm waarmee statistische grafieken worden geselecteerd. Belangrijk is hier, dat je eerst via [Y=] controleert of er nog functies actief zijn. Schakel deze uit door de voorschriften te wissen of door de cursor op het = teken te zetten en op [ENTER] te drukken. 1 Kies nu [STAT PLOT]. In dit scherm kun je drie verschillende "plots" vastleggen. 2 Kies 1:Plot1; deze plot staat in eerste instantie Uit (Off). Zet Plot1 Aan (On) met . 3 Kies bij type het histogramsymbool. Controleer of bij Xlist en Freq de namen van de lijsten L1 en L2 staan. 4 Druk nu op &. Je krijgt misschien een histogram te zien. 5 In eerste instantie kun je proberen met ( 9:ZoomFit. Maar je verwacht toch op z’ n minst 9 staven! De oorzaak hiervan is gelegen in het feit dat de TI83 wat anders omgaat met de gegevens dan je verwacht. 6 Handiger is het om via ' direct de grenswaarden op de x-as (horizontale as) in te stellen. Xmin= minX – 0.5 Xmax = maxX + 0.5 De waarden minX en maxX heb je in het vorige punt gevonden.
Marc Lemmens
7 Met de opdracht ) kun je over de toppen van de staven van het histogram "springen". Onder in het scherm staan dan de klassengrenzen (min en max) en de klassenfrequentie (n).
4.3.2 Boxplot Het tekenen van een boxplot gebeurt op een gelijkaardige manier als het histogram. 1 Kies [STAT PLOT] 1:Plot1. Zet nu de cursor op het tweede pictogram in de tweede rij (achter Type).
2 Druk op & 3
Ook hier kun je met ) de verschillende statistische grootheden bekijken. Eerst zie je de mediaan (Med). Met en kun je vervolgens Q1, minX en Q3, maxX in beeld brengen.
Marc Lemmens
4.4 Kansverdelingen Om onderstaande functies op te roepen, gebruik je het menu [DISTR] (
DISTR DRAW 1: normalpdf( 2: normalcdf( 3: invNorm( 4: tpdf( 5: tcdf( 6: χ²pdf( 7: χ²cdf( 8: Fpdf( 9: Fcdf( 0: binompdf( A: binomcdf( B: poissonpdf( C: poissoncdf( D: geometpdf( E: geometcdf(
DISTR DRAW. 1: Shadenorm( 2: Shade_t( 3: Shade-χ²( 4: Shade-F(
%)
normale verdelingsfunctie normale kansverdeling inverse van de normale kansverdeling t-student kansdichtheid t-student kansverdeling chi-kwadraat kansdichtheid chi-kwadraat kansverdeling F-kansdichtheid F-kansverdeling
binomiale kansverdeling binomiale cumulatieve kansverdeling Poisson-verdeling cumulatieve Poisson-verdeling Geometrische kansverdeling Cumulatieve geometrische kansdichtheid
arceert de normale kansverdeling arceert de t-student kansverdeling arceert de chi-kwadraat kansverdeling arceert de F-kansverdeling
Marc Lemmens
4.4.1 Binomiale verdeling binompdf(aantal pogingen, p, x) binomcdf(aantal pogingen, p, x)
X ~ B (10, 0.3) P( X = 2)
P( X ≤ 3)
4.4.2 Poissonverdeling poissonpdf(gemiddelde, x) poissoncdf(gemiddelde, x)
X ~ Po(3) P( X = 4) P( X ≤ 4)
4.4.3 Normale verdeling normalcdf(ondergrens, bovengrens [, µ, σ ])
µ = 35 en σ = 10
X ~ N (35,10)
P( X < 30) = Deze kans bereken je door de oppervlakte onder de verdelingsfunctie te berekenen tussen -∞ (-1E99) en 30. P(30 < X < 50) =
Laat je de laatste twee termen weg dan wordt uitgegaan van de normaalverdeling, µ = 0 en σ = 1 . Met de functie normalpdf ( x −µ )
bereken je de functiewaarde van de verdelingsfunctie
2
− 1 2 e 2σ . Deze functie wordt zelden gebruikt in de statistiek. Ze is wel σ 2π nodig voor het tekenen van de normaalverdeling op het grafische rekentoestel.
f ( x) =
Marc Lemmens
Tekenen van de verdelingsfunctie Druk op $, vervolgens [DISTR] en dan # en tenslotte op & Xmin=10 Xmax=60 Xscl=5 Ymin=0 Ymax=0.05 Yscl=1 Xres=1
Voor het bepalen van Ymax kun je gebruik maken van de functie normalpdf(35, 35, 10).
Grafische voorstelling van de kansverdeling Druk [DISTR] kies DRAW en vervolgens 1:ShadeNorm( en tik de gegevens in: na het drukken op
krijg je:
Xmin=10 Xmax=60 Xscl=5 Ymin=0 Ymax=0.05 Yscl=1 Xres=1
Om de grafiek te wissen kies je in het menu [DRAW] 1:ClrDraw.
4.4.4 De inverse normaalverdeling invNorm(bereik [, µ, σ ])
Hierbij wordt de waarde x berekend in functie van een bereik links van de waarde van x.
Marc Lemmens
4.4.5 Solver Om de standaardafwijking of het gemiddelde te berekenen moet je gebruik maken van de vergelijkingsoplosser (solver). Met de EQUATION SOLVER kun je vergelijkingen oplossen van de vorm f(x) = 0. P(X < x) = normalcdf(ondergrens, x, µ, σ) Herneem de vorige waarden en zoek de standaardafwijking. P(X < 30) = 0,3085375322 µ = 35 Je kunt deze vergelijking niet rechtstreeks oplossen met je grafische rekentoestel. De vergelijking is niet gelijk aan nul. Door alles naar het eerste lid te brengen krijg je: P(X < x) - normalcdf(ondergrens, x, µ, σ) = 0 Plaats deze vergelijking in de EQUATION SOLVER ( grafische rekentoestel.
Solver
) van je
P - normalcdf(-1EE99, X, U, S) = 0 Na het drukken op vul je de bekende variabelen van de op te lossen vergelijking in. Achter bound={ staan de grenzen waartussen het grafische rekentoestel de oplossing zal zoeken.
Plaats vervolgens de cursor achter de variabele die je wenst te zoeken en kies [SOLVE] ( ). Door afrondingsfouten vind je σ = 9,999999999. Als je een waarde invult bij de onbekende variabele wordt deze gebruikt als startwaarde. Het is dan mogelijk dat je grafisch rekentoestel de onbekende sneller vindt.
Marc Lemmens
5 Matrixrekenen 5.1
Overzicht van de menu’s NAMES MATH EDIT determinant 1: det( T transponeren 2: dimensie van de matrix 3: dim( kent alle elementen een constante waarde toe 4: Fill( eenheidsmatrix 5: identity( willekeurige matrix 6: randM( voegt twee matrices samen 7: augment( slaat een matrix op in een lijst 8: Matr list( slaat een lijst op in een matrix 9: List matr( cumulatieve som van een matrix (kolom) 0: cumSum( rijvorm van een matrix A: ref( gereduceerde rijvorm B: rref( wisselt twee rijen C: rowSwap( telt twee rijen op en slaat het resultaat in de tweede rij op D: row+( vermenigvuldigt de rij met een getal E: *row( vermenigvuldigt de rij met een getal en telt het resultaat op F: *row+( bij de tweede rij
5.2
Invoeren van een matrix Om een matrix in te voeren druk je op [MATRX] en neem je het EDIT-menu. Maak een keuze en geef de dimensie van de matrix in. Tik nu de verschillende elementen van de matrix in. Met ga je naar het volgende element van de matrix. Geef onderstaande matrix in: 2 −1 3 A= 4 2 −2 0 Sluit af met [QUIT].
5 3
Je kunt met het EDIT-menu een matrix weergeven of veranderen. De cursor kun je bewegen met de pijltjestoetsen.
Marc Lemmens
Geef op dezelfde manier matrix B in. 1
2
B = −2 4 −5 3
5.3
Enkele bewerkingen
5.3.1 Vermenigvuldiging en optelling Voer in het bewerkingsscherm onderstaande formule in. C = A×B [MATRIX] 2[MATRIX] "[MATRIX] Bereken nu: B+C
5.3.2 Determinant Bereken: 2
−1 3
4 −2
2 0
[MATRIX]
5 = det( A ) 3 [MATRIX]
5.3.3 Getransponeerde matrix Bereken de getransponeerde matrix B: [MATRIX]
[MATRIX]
Marc Lemmens
5.3.4 Inverse matrix
Bereken A-1 [MATRIX]
3
vermenigvuldig dit antwoord met A
5.3.5 Rijen verwisselen
5.3.6 Enkele matrixfuncties 2 A= 4 −2
−1 3 2 0
5 3
1
2
B = −2 4 −5 3
Marc Lemmens
Telt rij 2 op bij rij 3 en de som wordt in rij 3 opgeslagen.
Vermenigvuldig rij 3 met de waarde 2.
5.4
Een matrix verwijderen Om een matrix te verwijderen druk je: [MEM] 2: Mem MGMT/Del…. 5: Matrix Ga met de cursor op de matrix staan en druk op
5.5
.
Een stelsel van vergelijkingen oplossen Los onderstaand stelsel op: 5x + 3 y − z = 23 x + y + z = 3 2x − y + 2 z = −9 Plaats in een matrix de coëfficiënten van dit stelsel.
Los dit stelsel op (reduceren van een matrix). x + 0 y + 0z =
1
0x + y + 0z = 5 0z + 0 y + z = −3 of x =
1
y = 5 z = −3 Marc Lemmens
Bibliografie TI-83 plus – handleiding, Texas Instrument ICT practicumboek TI-83 (plus), van basis tot limiet 3, Die keure Educatief, Oude Gentweg 108, 8000 Brugge – ISBN 90 5751 383 8 ICT practicumboek TI-83 (plus), van basis tot limiet 4, Die keure Educatief, Oude Gentweg 108, 8000 Brugge – ISBN 90 5751 337 4 ICT-Werkbladen Grafische rekenmachine, Delta-T 3 (4/5u), Wolters-Plantyn, Santvoortbeeklaan 21-23, 2100 Deurne, ISBN 90 301 7121 9 Uitwiskeling, Tijdschrift voor wiskundeleerkrachten, Celestijnenlaan 200B, 3001 Leuven De TI83 kennismaken en toepassen, Drijvers, P. e.a., Wolters Noordhoff, Groningen, ISBN 90 01 83290 3 Andere literatuur Wiskunde met de TI-83(plus), Basishandleiding, Van Poppel, Jan, Garant, LeuvenApeldoorn, ISBN 90 441 1121 3 Solve it, Snel, Marcel, Academic Service, ISBN 90 395 1247 7 Statistiek met een grafisch rekentoestel, Herweyers, G., Uitgeverij Acco, Tiensestraat 134-136, 3000 Leuven, ISBN 90 334 4597 2 Web http://www.education.ti.com http://www.pandd.demon.nl http://home.wanadoo.nl/ti83world/ned/start.htm http://www.henkshoekje.com http://www.fi.uu.nl/wisweb
Marc Lemmens
