Kennis en ervaringen van leerkrachten met betrekking tot het didactisch materiaal bij het curriculum breuken van de lagere school

Universiteit Gent Faculteit Psychologie en Pedagogische Wetenschappen Academiejaar 2009-2010

Kennis en ervaringen van leerkrachten met betrekking tot het didactisch materiaal bij het curriculum breuken van de lagere school

Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad van master in de Pedagogische Wetenschappen Afstudeerrichting: pedagogiek en onderwijskunde

Annelies Claeys Promotor: Prof. Dr. M. Valcke Begeleider: Dhr. Hendrik Van Steenbrugge

Ondergetekende Annelies Claeys geeft toestemming tot het raadplegen van de scriptie door derden. Annelies Claeys

2

DANKWOORD Voor u ligt het resultaat van de zoektocht waar ik ruim een jaar mee bezig ben geweest. Deze zoektocht heb ik niet in mijn eentje klaargespeeld. Ik heb heel wat steun ervaren uit verschillende hoeken. Hier blijf ik dan ook graag eens een momentje stilstaan om een aantal personen speciaal te bedanken voor hun hulp tijdens mijn persoonlijke zoektocht. Eerst en vooral wil ik graag de leerkrachten bedanken die deelgenomen hebben aan dit onderzoek. Zonder hun inspanningen was ik er niet in geslaagd om een beeld te creëren van de onderwijspraktijk in de breuklessen. Ik kon mijn onderzoek vormgeven aan de hand van interviews met een aantal leerkrachten. Heidi, Lies, Petra, Melissa, Ulrike, Miranda, Annelies, Eline, Lieselotte, Annelore, Annelore, Aäron, Bert, Ine, en Kelly wil ik graag bedanken voor hun persoonlijk verhaal. Ook gaat mijn dank naar de directies toe, die de leerkrachten op hun school motiveerden om deel te nemen aan dit onderzoek. Mijn speciale dank gaat uit naar mijn begeleiders Dhr. Hendrik Van Steenbrugge en Mevr. Elise Burny. Zij waren steeds bereid om te reageren op de vragen waarmee ik te maken had. Ze konden mij nieuwe inzichten en tips meegeven en zorgden voor een positieve kijk zodat ik terug verder kon tijdens mijn zoektocht. Zeker wil ik ook mijn promotor Prof. Dr. M. Valcke bedanken voor het vertrouwen en de begeleiding van dit onderzoek. Dankjewel aan mijn ouders en mijn grootmoeder die mij tijdens deze studie steeds hebben aangemoedigd om ervoor te gaan. Hun vertrouwen en interesse was voor mij een extra duwtje in de rug. Graag wil ik ook mijn vrienden bedanken voor hun luisterend oor, een gezellige babbel, een leuk praatje of een dikke knuffel. Ik wil graag Annelies Delaere, Bruno Devos en Mieke Eeckhout bedanken voor het nalezen van dit onderzoek. Tot slot wil ik graag de vele ‘sympathisanten’, die ik nu niet allemaal bij naam kan noemen bedanken. Geregeld kreeg ik de vraag hoe het was met mijn scriptie. Eventjes kort kunnen uitleggen waar ik mee bezig was bracht voor mij nieuwe energie om verder te werken. Mijn oprechte dank! Annelies Claeys – Gent, 28 april 2010

3

INHOUDSOPGAVE Dankwoord ............................................................................................................................................. 3 lijst tabellen ............................................................................................................................................ 7 Lijst figuren............................................................................................................................................. 8

A.

Inleiding ......................................................................................................................................... 9

1.

Algemene inleiding ......................................................................................................................... 9

2.

Literatuurstudie ............................................................................................................................ 11 2.1

Breuken ................................................................................................................................ 11

2.1.1

Een omschrijving........................................................................................................... 11

2.1.2

Vijf subconstructen ....................................................................................................... 11

2.1.3

Modellen voor breuken ................................................................................................ 12

2.1.4

Ontwikkeling van breuken ............................................................................................ 14

2.1.5

Breukenonderwijs ......................................................................................................... 15

2.1.6

Moeilijkheden bij breuken ............................................................................................ 16

2.2

Didactisch materiaal ............................................................................................................. 20

2.2.1

Wat is didactisch materiaal? ......................................................................................... 20

2.2.2

Waarom didactisch materiaal gebruiken? .................................................................... 21

2.2.3

Het gebruik in de klas ................................................................................................... 24

2.3

Kennis en ervaringen van leerkrachten ................................................................................ 26

2.4 Probleemstelling en onderzoeksvragen ..................................................................................... 28

B.

Onderzoek.................................................................................................................................... 30

3.

Methodologie ............................................................................................................................... 30 3.1

Verantwoording keuze ......................................................................................................... 30

3.2

Kwantitatief onderzoek ........................................................................................................ 31

3.2.1

Onderzoeksinstrument ................................................................................................. 31

3.2.2

Respondenten .............................................................................................................. 31

3.2.3

procedure ..................................................................................................................... 31

3.3

Kwalitatief onderzoek ........................................................................................................... 33

3.3.1

Onderzoeksinstrument ................................................................................................. 33

3.3.2

Respondenten .............................................................................................................. 33 4

3.3.3 3.4

4.

Betrouwbaarheid en validiteit van het onderzoek ............................................................... 36

3.4.1

Betrouwbaarheid van het onderzoek ........................................................................... 36

3.4.2

Validiteit van het onderzoek ......................................................................................... 36

Onderzoeksresultaten .................................................................................................................. 37 4.1

Kwantitatieve onderzoeksresultaten .................................................................................... 37

4.1.1

Wanneer wordt didactisch materiaal gebruikt? ........................................................... 37

4.1.2

Soort materiaal ............................................................................................................. 38

4.1.3

Wie gebruikt het materiaal? ......................................................................................... 40

4.1.4

Groepering van de klas ................................................................................................. 42

4.1.5

Motivatie van de leerlingen .......................................................................................... 42

4.2

5.

procedure ..................................................................................................................... 33

Kwalitatieve onderzoeksresultaten ...................................................................................... 44

4.2.1

Oppervlaktemodellen, lengtemodellen en set modellen voor de breuklessen ............ 44

4.2.2

Soorten didactisch materiaal tijdens de breuklessen ................................................... 48

4.2.3

Redenen tot materiaalgebruik ...................................................................................... 53

4.2.4

Hoe wordt materiaal gebruikt ...................................................................................... 56

4.2.5

Ontwikkeling van het breukenconcept ......................................................................... 61

4.2.6

Invloed van de wiskundemethode ................................................................................ 65

Discussie ....................................................................................................................................... 68 5.1

Interpretatie van de onderzoeksresultaten .......................................................................... 68

5.1.1

Welk didactisch materiaal wordt in het breukenonderwijs gebruikt? .......................... 68

5.1.2

Hoe wordt didactisch materiaal gebruikt in het breukenonderwijs? ............................ 70

5.1.3 Met welke bedoeling wordt tijdens het breukenonderwijs gebruik gemaakt van didactisch materiaal? ................................................................................................................... 71 5.1.4

Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de leerjaren heen? .... 72

5.1.5

Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de methoden heen? .. 73

5.2

Kritische reflectie van het onderzoek ................................................................................... 74

6.

Conclusie ...................................................................................................................................... 75

7.

Bibliografie ................................................................................................................................... 77

5

Bijlagen................................................................................................................................................. 83 Bijlage 1: Vragenlijst voor de leerkrachten ....................................................................................... 83 Bijlage 2: Leidraad interviews leerkrachten...................................................................................... 83 Bijlage 3: Informed consent voor interviews .................................................................................... 83

6

LIJST TABELLEN Tabel 1: Eindtermen breuken voor het basisonderwijs ........................................................................ 16 Tabel 2: Taxonomie van moeilijkheden (Boulet, 1998) ........................................................................ 18 Tabel 3: Labels en categorieën gelinkt aan de onderzoeksvragen ....................................................... 34 Tabel 4: Verschillende didactische materialen in het breukenonderwijs aangeboden door de methode. .............................................................................................................................................. 38 Tabel 5: Tevredenheid van de wiskundemethode (Rekensprong, Zo gezegd zo gerekend en Kompas) ............................................................................................................................................................. 39 Tabel 6: Overzicht aangekocht materiaal ............................................................................................. 40 Tabel 7: Didactisch materiaal dat door de leerlingen en leerkracht gebruikt wordt in de lessen breuken ................................................................................................................................................ 41 Tabel 8: Gebruikte oppervlaktemodellen per leerjaar ......................................................................... 44 Tabel 9: Gebruikte lengtemodellen per leerjaar .................................................................................. 46 Tabel 10: Gebruikte set modellen per leerjaar ..................................................................................... 47 Tabel 11: Verwoording voorwerpen dagelijks leven ............................................................................ 48 Tabel 12: Overzicht manipulatives ....................................................................................................... 50 Tabel 13: Computerprogramma's voor het breukenonderwijs ............................................................ 52 Tabel 14: Redenen voor het gebruik van didactisch materiaal ............................................................. 53 Tabel 15: individueel werken in het breukenonderwijs ....................................................................... 57 Tabel 16: Groepswerk in het breukenonderwijs .................................................................................. 58 Tabel 17: Samenwerking tussen leerkracht en leerlingen voor wat betreft materiaal ......................... 59 Tabel 18: Wanneer wordt didactisch materiaal gebruikt tijdens de lessen .......................................... 63 Tabel 19: Gebruikte methodes door de geïnterviewde leerkrachten................................................... 65 Tabel 20: Strikt volgen van de wiskundemethode ................................................................................ 65 Tabel 21: Tevredenheid over de wiskundemethode ............................................................................ 67

7

LIJST FIGUREN Figuur 1: oppervlaktemodellen ............................................................................................................ 13 Figuur 2: set modellen .......................................................................................................................... 13 Figuur 3: lengtemodellen ..................................................................................................................... 13 Figuur 4: Translation model (Lesh et al., 2003) .................................................................................... 22 Figuur 5: Moment waarop didactisch materiaal gebruikt wordt .......................................................... 37 Figuur 6: Redenen voor de ontevredenheid met het materiaal aangeboden door de methode ......... 39 Figuur 7: Verantwoording voor de grotere motivatie bij leerlingen als didactisch materiaal gebruikt wordt .................................................................................................................................................... 43 Figuur 8: Individuele breukendoos voor leerlingen .............................................................................. 45 Figuur 9: Poster met breukenladder aangeboden door de handleiding ............................................... 46 Figuur 10: Vlakke figuren voor klassikaal gebruik ................................................................................. 51 Figuur 11: Vlakke figuren die door de leerlingen verknipt wordt ......................................................... 51 Figuur 12: waslijn met breuken, kommagetallen en procenten ........................................................... 52

8

A. INLEIDING 1. ALGEMENE INLEIDING Uit PISA-onderzoek (Program for International Student Assessment) blijkt dat Vlaamse leerlingen globaal gezien goede scores behalen voor wiskunde in vergelijking met andere landen (De Meyer, 2007). Hiermee is niet alles gezegd natuurlijk. Zo blijkt dat Vlaanderen een weinig benijdenswaardige koppositie bekleedt voor wat de kloof betreft tussen hoog presterende en laag presterende leerlingen. Dit onderzoek wil dieper ingaan op één deelaspect van wiskunde: breuken. Leerlingen en leerkrachten ervaren dit namelijk als een heel moeilijk concept uit het wiskundecurriculum van het lager onderwijs (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Groff, 1994; Ni & Zhou, 2005; Panaoura, Gagatsis, Deliyianni, & Elia, 2009; Van de Walle, 2007; Van Steenbrugge, Valcke & Desoete, 2010; Yoshida & Shinmachi, 1999). Bij het aanleren van breuken wordt didactisch materiaal gebruikt. Dit materiaal kan uit het dagelijks leven van de leerlingen komen. Daarnaast wordt er speciaal materiaal ontwikkeld voor de lessen breuken, zoals breukencirkels en breukenstroken (Sharp & Adams, 2002; Uttal, Scudder & Deloache, 1997). In deze scriptie wordt nagegaan op welke manier didactisch materiaal een plaats krijgt in de lessen breuken en waarom precies dat materiaal gebruikt wordt. Dit gebeurt eerst en vooral aan de hand van een vragenlijst voor leerkrachten, waardoor een algemeen beeld gecreëerd wordt van het gebruikte materiaal en de achterliggende redenen. Aan de hand van interviews met leerkrachten wordt hier in het kwalitatief luik dieper op ingegaan. De keuze van mijn scriptie is geleidelijk aan gegroeid. Vooreerst is er mijn persoonlijke motivatie. Vanuit mijn vooropleiding als leerkracht lager onderwijs ontstond mijn interesse voor didactisch materiaal. De docente wiskunde bracht tijdens de lessen op regelmatige basis heel wat interessante materialen mee voor de wiskundelessen in het lager onderwijs. Zelf vond ik het heel boeiend om tijdens de opleiding lager onderwijs te zoeken naar geschikt didactisch materiaal voor mijn stagelessen. Maar op welke manier krijgt dit materiaal een plaats in de lessen breuken? Breuken aanbrengen in de lagere school vond ik niet eenvoudig. Ik ben dan ook heel benieuwd naar de manier waarop verschillende leerkrachten rond dit onderwerp werken met breukenmateriaal. Daarnaast is breuken geen gemakkelijke wiskundeleerstof. Omtrent breuken is dan ook al heel wat wetenschappelijk onderzoek gevoerd. Naar de manier waarop didactisch materiaal in het breukenonderwijs een plaats krijgt werd echter weinig onderzoek gevoerd. Via dit onderzoek wil ik een beeld scheppen van de praktijk van het breukenonderwijs wat het aspect didactisch materiaal betreft. Het onderzoek bestaat eerst en vooral uit een theoretisch gedeelte, de literatuurstudie en daarnaast het eigenlijke onderzoek. In het eerste deel, de literatuurstudie wordt de inhoud van het onderzoek uitgediept, dit gebeurt aan de hand van drie hoofdstukken. Het eerste hoofdstuk gaat dieper in op het breukenconcept, de manier waarop dit ontwikkelt en de problemen die daarbij optreden. Er wordt ook aandacht besteed Masterproef – Inleiding 9

aan de plaats van breuken in het Vlaamse onderwijs. Vervolgens behandelt een tweede hoofdstuk ‘didactisch materiaal’. Daarbij wordt stilgestaan bij de verschillende soorten didactisch materiaal en de redenen waarom deze gebruikt worden in het onderwijs. Tot slot wordt in het derde hoofdstuk ingegaan op de manier waarop leerkrachten het materiaal kunnen gebruiken in de klas. In dit hoofdstuk wordt de kennis belicht die leerkrachten nodig hebben om onderwijs te geven. Vanuit dit literatuuronderzoek worden de uiteindelijke probleemstelling en de daarbij aansluitende onderzoeksvragen geformuleerd, die aan bod zullen komen in het onderzoek. Een tweede deel geeft het uitgevoerde onderzoek weer. Daarbij wordt eerst en vooral de methodologie van het onderzoek geduid. Deze methodologie bestaat uit een kwantitatief en een kwalitatief luik. Er wordt stilgestaan bij de keuze van de methode. De deelnemende respondenten worden in kaart gebracht en er wordt ingegaan op het onderzoeksinstrument en de gebruikte procedure. De betrouwbaarheid en de validiteit in het desbetreffende onderzoek worden aangegeven. In een volgend hoofdstuk worden de onderzoeksresultaten weergegeven voor zowel het kwantitatief als het kwalitatief luik van het onderzoek. Daarna worden in de discussie de onderzoeksresultaten nader belicht, dit aan de hand van een koppeling tussen de onderzoeksresultaten en het uitgevoerde literatuuronderzoek. Tot slot wordt een algemene conclusie geformuleerd, worden beperkingen van het huidig onderzoek weergegeven en wordt een aanzet voorgesteld tot vervolgonderzoek.

Masterproef – Inleiding 10

2. LITERATUURSTUDIE 2.1

BREUKEN

Breuken kunnen gezien worden als een fundamenteel onderdeel van wiskundeonderwijs (Siegal & Smith, 1997). In het lager onderwijs wordt ‘breuken’ ervaren als één van de moeilijkste wiskundige concepten dat verworven moet worden (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005; Charalambous & PittaPantazi, 2006; Groff, 1994; Ni & Zhou, 2005; Panaoura, Gagatsis, Deliyianni, & Elia, 2009; Van de Walle, 2007; Van Steenbrugge, Valcke & Desoete, 2010; Yoshida & Shinmachi, 1999). In dit deel wordt eerst stilgestaan bij de omschrijving van het breukenconcept. Breuken zijn gekend met hun specifieke vorm a/b. Breuken worden echter ook gekenmerkt door vijf onderliggende subconstructen en verschillende modellen die gebruikt worden om breuken voor te stellen. Vervolgens wordt dieper ingegaan op de ontwikkeling van het breukenconcept, dit aan de hand van een stappenplan. Daarna wordt gekeken op welke manier breuken een plaats krijgen binnen het Vlaamse onderwijs. Tenslotte worden mogelijke verklaringen gezocht voor de moeilijkheden die er bij breuken kunnen ontstaan.

2.1.1 EEN OMSCHRIJVING Breuken zijn rationele getallen die geschreven worden onder de vorm a/b (Ni & Zhou, 2005). In a/b stelt a de teller en b de noemer voor. De teller geeft aan hoeveel gelijke delen er geteld kunnen worden. De noemer duidt aan wat er geteld wordt en hoeveel gelijke delen er nodig zijn om een geheel te vormen (Van de Walle, 2007). Breuken maken deel uit van de rationele getallen want ze verwijzen naar de deel-geheel relatie van rationele getallen, waarbij een geheel of eenheid verdeeld wordt in gelijke delen (Ni & Zhou, 2005). Verdeeltaken voor leerlingen vormen dan ook een goede basis om kennis over breuken verder te ontwikkelen (Van de Walle, 2007), op die manier kunnen leerlingen zien dat breuken voor komen in concrete situaties.

2.1.2 VIJF SUBCONSTRUCTEN Het breukenconcept is opgebouwd uit een vijftal subconstructen (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Kieren, 1993). Om het breukenconcept goed te begrijpen wordt dan ook verondersteld dat een goed begrip van deze subconstructen noodzakelijk is (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005). Deze vijf subconstructen worden hieronder verder besproken. Het ‘deel-geheel’ subconstruct verwijst naar een situatie waarbij een continue hoeveelheid of een aantal objecten verdeeld worden in gelijke delen. De noemer van de breuk geeft het totaal aantal delen weer waarin de eenheid verdeeld is. De teller telt het aantal delen van de verdeelde eenheid. In deze situatie is de teller dus kleiner of gelijk aan de noemer en wordt het voor leerlingen duidelijk waar de teller en de noemer van een breuk voor staan (Van de Walle, 2007). Het is belangrijk dat leerlingen bij het verwerven van dit subconstruct weten dat de delen gelijk verdeeld worden. Het moet duidelijk zijn dat alle delen samen het geheel vormen en dat de delen kleiner worden indien het geheel in meerdere stukken verdeeld wordt (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Om een goed inzicht te verkrijgen in breuken, zijn verdeelsituaties bijgevolg interessante oefeningen (Van Galen Feijs, Figueiredo, Gravemeijer, Van Herpen, & Keijzer, 2005). Masterproef – Literatuurstudie 11

Het subconstruct ‘ratio’ staat voor de verhouding of vergelijking tussen twee hoeveelheden van een verschillend type: 4/6 staat voor vier rode knikkers tegenover 6 groene knikkers. De breuk geeft de vergelijking tussen de twee hoeveelheden weer. Het moet duidelijk zijn voor de leerlingen dat de twee hoeveelheden in een ratiorelatie samen veranderen, zodat een gelijke verhouding blijft bestaan. Dus indien de ene hoeveelheid vermenigvuldigd wordt met een getal, gebeurt dit ook met de andere hoeveelheid. Dit subconstruct vormt ook de basis voor het idee van gelijkwaardige breuken (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Gelijkwaardige breuken geven dezelfde hoeveelheid weer. Om gelijkwaardige breuken te verkrijgen moeten teller en noemer ook met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden (Van de Walle, 2007). Bij een interpretatie van het ‘operator’ subconstruct wordt een breuk in functie van een getal gezien: 2/3 wordt dan gezien als 2 x (1/3 van de eenheid), of 1/3 x (2 eenheden) (Izsák, 2008). Indien leerlingen breuken gaan zien als ‘operators’ dan wordt het gemakkelijker om vermenigvuldiging van breuken te begrijpen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Een breuk als operator kan ook bij een hoeveelheid gezien worden: 2/3 van 9 geeft 6 als resultaat (Murdock-Stewart, 2005). Het subconstruct ‘quotiënt’ verwijst naar een deling. Dus 2/4 kan gezien worden als 2 gedeeld door 4. Dit subconstruct valt terug op het eerlijk verdelen van een continue hoeveelheid zoals een pizza. Hier kan de teller kleiner, groter of gelijk aan de noemer zijn. Het resultaat van het eerlijk verdelen kan dus kleiner, groter of gelijk aan de eenheid zijn (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Het vijfde subconstruct ‘maat’ maakt gebruik van een eenheidsbreuk (1/a) die herhaaldelijk gebruikt wordt om de afstand vanaf het startpunt te meten. Dus 5/6 bestaat uit 5 keer 1/6 eenheid vanaf het startpunt. Dit subconstruct wordt vaak geassocieerd met getallenlijnen (Charalambous & PittaPantazi, 2005). Dat betekent dat breuken niet alleen een toepassing bij verdeelsituaties vinden, maar ook bij het meten van lengtes kunnen breuken gebruikt worden (Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs, 1998). Om bijvoorbeeld de lengte van een tafel te meten, kunnen er stroken gebruikt worden. Stroken kunnen verder gevouwen worden, zodat de maat verfijnd kan worden en de lengte van de tafel bepaald kan worden. Het is noodzakelijk dat leerlingen uiteindelijk de verschillende subconstructen integreren zodat ze tot een volledig begrip komen van de betekenis van breuken (Yoshida & Shinmachi, 1999). Vanuit de bovenstaande subconstructen kunnen bewerkingen uitgevoerd worden met breuken, kan er gewerkt worden met gelijkwaardige breuken en wordt het mogelijk om problemen met breuken op te lossen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006).

2.1.3 MODELLEN VOOR BREUKEN Bij het ontwikkelen van abstracte ideeën over breuken kan de ervaring met concrete modellen hulp bieden om het concept verder te ontwikkelen. Deze modellen helpen leerlingen bij het denken en redeneren over breuken (Van Galen et al., 2005). Er kunnen verschillende modellen gebruikt worden bij de instructie in de breuklessen (Hatfield, Edwards, Bitter & Morrow, 2008). Van de Walle (2007) maakt een onderscheid tussen drie modellen: ‘oppervlaktemodellen’, ‘lengtemodellen’ en ‘set modellen’. Oppervlaktemodellen (zie Figuur 1) zijn vlakke figuren die verdeeld worden in gelijke delen. Er kunnen cirkels, vierkanten, rechthoeken en andere figuren gebruikt worden om de gelijke verdeling Masterproef – Literatuurstudie 12

aan te tonen. Het cirkelmodel werd vroeger het meest gebruikt door leerkrachten (Peck & Jencks, 1981). Dit model benadrukt duidelijk welk deel van het geheel nog ontbreekt. Uit onderzoek (Martin & Schwartz, 2005) blijkt dat het gebruik van cirkelvormige modellen minder effectief is aangezien breukencirkels ervoor zorgen dat het geheel meteen zichtbaar wordt. Tegels zouden beter aangewezen zijn omdat deze de leerlingen meer aanzetten om zelf tot een interpretatie te komen (Martin & Schwartz, 2005). Daarnaast bestaan lengtemodellen (zie Figuur 2) uit lengtes die met elkaar vergeleken worden. Er kunnen fysische materialen gebruikt worden waarvan hun lengte met elkaar vergeleken wordt, bijvoorbeeld blokjes of stokken. Daarnaast kunnen stroken en getallenlijnen ook als lengtemodellen gezien worden. Stroken zorgen ervoor dat de deel-geheel redenering gemakkelijk weergegeven wordt. De getallenlijn is abstracter, want het geheel is daar een punt op een lijn (Van Galen et al., 2005). Het lokaliseren van breuken op getallenlijnen is niet gemakkelijk voor leerlingen. Ze hebben soms de neiging om de streepjes op de getallenlijn te tellen in plaats van de intervallen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Leerlingen moeten eerst kennismaken met andere begrippen zoals gelijkwaardige breuken om de getallenlijn vlot te kunnen gebruiken (Van de walle, 2007). De getallenlijn kan een interessante invalshoek zijn om gelijkwaardige breuken aan te brengen bij de leerlingen (Keijzer, 2003). Ten derde bestaan set modellen (zie Figuur 3) uit een serie aparte voorwerpen die gezien worden als een geheel. Subsets van deze voorwerpen stellen dan een breuk voor (Van de Walle, 2007; Hatfield et al., 2008). Voor leerlingen is het soms moeilijk om alle voorwerpen samen als 1 te zien. Hun aandacht moet hierbij uitgaan naar het aantal gelijke delen en niet naar het aantal voorwerpen op zich (Van de Walle, 2007).

FIGUUR 1: OPPERVLAKTEMODELLEN

FIGUUR 2: LENGTEMODELLEN

FIGUUR 3: SET MODELLEN

Singer-Freeman en Goswami (2001) maken een onderscheid tussen continue en discontinue modellen. Continue modellen kunnen verdeeld worden in veel verschillende delen. Daartegenover staan de discontinue modellen die niet verdeeld kunnen worden in om het even hoeveel delen. Het geheel bestaat uit een aantal losse voorwerpen, voorbeelden hiervan zijn een doos met eieren, stippen, kroonkurkjes, koekjes, .... Voor beide modellen is het noodzakelijk dat eerst de eenheid aangeduid wordt en dat dan het geheel in delen van gelijke grootte verdeeld wordt (MurdockStewart, 2005). Uit onderzoek blijkt dat het gebruik van continue modellen gemakkelijker is dan redeneren met discontinue modellen (Singer-Freeman & Goswami, 2001; Murdock-Stewart, 2005). Het is gemakkelijker om een cirkel of een rechthoek als een geheel te zien, dan een verzameling voorwerpen. Masterproef – Literatuurstudie 13

Bovenvermelde modellen zijn belangrijke hulpmiddelen om inzicht te krijgen in wiskunde en wiskundeproblemen op te lossen. Het is echter onvoldoende om een dergelijk model, zoals de getallenlijn, te kennen, maar het moet echt door de leerlingen gebruikt kunnen worden in verschillende probleemsituaties (Keijzer, 2003). Om een correct en duidelijk beeld van breuken te krijgen is het aan te raden om meerdere modellen te gebruiken voor eenzelfde situatie. Een representatie kan namelijk niet het volledig construct voorstellen en elke representatie biedt verschillende voordelen (Duval, 2006; Panaoura et al., 2009). Niet elk model is even geschikt om breuken aan te brengen. Volgens Charalambous en Pitta-Pantazi (2006) is de getallenlijn een moeilijk model. Dit is een abstracter model, waardoor het moeilijker is voor de leerlingen om het te gebruiken. Leerkrachten helpen leerlingen het best door eerst andere modellen aan te bieden, zoals het cirkelmodel, vooraleer de getallenlijn geïntroduceerd wordt (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2005; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). De getallenlijn gebruiken bij de aanbreng van breuken kan er echter wel voor zorgen dat leerlingen kunnen vertrekken vanuit hun vroegere kennis die zij opgedaan hebben bij de natuurlijke getallen. Een getallenas wordt eerder reeds gebruikt bij de natuurlijke getallen, op die manier kunnen breuken gekoppeld worden aan natuurlijke getallen (Keijzer, 2003).

2.1.4 ONTWIKKELING VAN BREUKEN De ontwikkeling van begrip en kennis over breuken is niet eenvoudig. Het breukenconcept kan niet aangeleerd worden met behulp van een aantal regels en algoritmes (Aksu, 1997; Haseman, 1981). Het is noodzakelijk dat leerlingen echt inzicht verwerven in het getalbegrip van breuken en een breuk zien als een getal op zich met eigen kenmerken. Leerlingen moeten ervaren wat het breukenconcept inhoudt en daarbij zijn de vijf subconstructen belangrijk (Van de Walle, 2007). Het is noodzakelijk dat de leerlingen een conceptuele verandering ervaren tijdens het leerproces zodat ze de relatie tussen delen en gehelen volledig begrijpen (Saxe, Gearhart & Seltzer, 1999). Stafylidou en Vosniadou (2004) formuleren in drie stappen op welke manier kennis over het breukenconcept als getal tot stand kan komen. In de eerste stap zien leerlingen de teller en de noemer van een breuk als twee onafhankelijke gehele getallen. Daarbij kan het zijn dat leerlingen de waarde van de breuk vergroten of verkleinen als de teller of noemer vergroot of verkleint. Leerlingen schatten bijvoorbeeld de breuk 4/6 groter dan 4/5 omdat de noemer 6 groter is dan 5. Dit is duidelijk een verkeerde opvatting die gecreëerd wordt tijdens een overgangsfase van gehele getallen naar breuken. Hier vallen leerlingen terug op hun kennis omtrent natuurlijke getallen (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Bij de tweede stap zien de leerlingen breuken als delen van een geheel. Teller en noemer worden dan gezien als twee getallen die verbonden zijn met de delen en het geheel van een voorwerp. Eens leerlingen inzicht hebben in de deel-geheel structuur, kunnen ze wiskundige problemen waarbij ze moeten eerlijk verdelen en relaties tussen delen en gehelen moeten representeren gemakkelijker oplossen (Saxe et al., 1999). De leerlingen blijven er in deze stap echter van overtuigd dat een breuk steeds kleiner dan of gelijk aan één geheel is (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Tenslotte wordt in de derde stap een breuk gezien als een relatie tussen twee getallen en begrijpen ze ook de relatie tussen de teller en de noemer. In deze stap weten leerlingen dat breuken kleiner,

Masterproef – Literatuurstudie 14

gelijk of groter dan een geheel kunnen zijn. Om tot dit inzicht te komen is een grote verandering nodig in het breukenconcept van de leerling (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Indien leerlingen deze drie stappen doorlopen hebben, zullen ze breuken zien als getallen op zich. Dit zou een noodzakelijke voorwaarde zijn om over te gaan tot bewerkingen met breuken (Kerslake, 1986; Siegal & Smith, 1997). Er moet een duidelijk inzicht zijn in het breukenconcept. Daarbij aansluitend moeten leerlingen voldoende inzicht hebben in de verschillende subconstructen van breuken, om de bewerkingen met breuken correct op te lossen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Naast dit stappenplan speelt de voorkennis van de leerling ook een rol bij het leerproces over breuken. Vooral de kennis van gehele getallen die leerlingen eerder al verworven hebben, beïnvloedt de ontwikkeling van het wiskundig concept (Mack, 1995; Ni & Zhou, 2005; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Op welke manier deze voorkennis het leerproces verder beïnvloedt, wordt hierna verder verduidelijkt.

2.1.5 BREUKENONDERWIJS Er wordt wel eens getwijfeld over de relevantie van breuken in het lager onderwijs (Groff, 1994; Treffers, Streefland & De Moor, 1994). Breuken is geen gemakkelijke leerstof in het lager onderwijs. Bovendien worden breuken vandaag meer en meer vervangen door decimale getallen die binnen de economie en de wetenschap een prominente plaats innemen (Goddijn, 2005). Toch wordt er nog in breukentermen gerekend en geredeneerd. Indien er bijvoorbeeld geschat moet worden hoeveel 21% van 200 is, is het eenvoudiger om uit te rekenen dat 1/5 van 200, 40 is. Daarenboven vormen breuken het fundament voor het begrip van verhoudingen, kommagetallen en procenten (Saxe, Gearhart & Nasir, 2001; Van Galen et al., 2005). Om de kwaliteit van het wiskundeonderwijs te verbeteren is het belangrijk stil te staan bij de manier waarop breuken aangebracht wordt in de klas en welke invloed dit heeft op het leerproces van de leerlingen (Saxe et al., 1999). Regels memoriseren is niet de beste manier om kennis over breuken te verwerven. Leerlingen voeren de regels uit, maar ze kunnen niet verklaren waarom en ze weten niet of hun antwoord correct is of niet (Haseman, 1981; Peck & Jencks, 1981; Aksu, 1997). Daarom is het noodzakelijk dat het wiskundeonderwijs expliciet aandacht besteedt aan de verschillende kenmerken en subconstructen van het breukenconcept (Yoshida & Sawano, 2002). In Vlaanderen werden eindtermen geformuleerd. Eindtermen zijn minimumdoelen op het vlak van kennis, inzicht, vaardigheden en attitudes die de onderwijsoverheid als noodzakelijk en bereikbaar acht voor een bepaalde leerlingenpopulatie (Vlaams Ministerie van Onderwijs en Vorming, n.d.). Wat het leergebied wiskunde betreft, wordt veel belang gehecht aan de verschillende subconstructen van breuken (zie Tabel 1, eindterm 1.4). Daarnaast wordt de relatie tussen breuken, procenten en kommagetallen aangehaald (zie tabel 1, eindterm 1.18) en wordt er verwacht dat leerlingen in het lager onderwijs ook bewerkingen met eenvoudige breuken kunnen uitvoeren (zie Tabel 1, eindtermen 1.22 en 1.23).


TABEL 1: EINDTERMEN BREUKEN VOOR HET BASISONDERWIJS

Nummer eindterm 1.4

Omschrijving eindterm

1.5

Leerlingen kunnen natuurlijke getallen van maximaal 10 cijfers en kommagetallen (met 3 decimalen), eenvoudige breuken, eenvoudige procenten lezen, noteren, ordenen en op een getallenlijn plaatsen.

1.18

Leerlingen kunnen in eenvoudige gevallen de gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten vaststellen en verduidelijken door omzettingen.

1.22

Leerlingen kunnen eenvoudige breuken gelijknamig maken in functie van het optellen en aftrekken van breuken of in functie van het ordenen en het vergelijken van breuken.

1.23

Leerlingen kunnen in een zinvolle context eenvoudige breuken en kommagetallen optellen en aftrekken. In een zinvolle context kunnen zij eveneens een eenvoudige breuk vermenigvuldigen met een natuurlijk getal.

Leerlingen kunnen in voorbeelden herkennen dat breuken kunnen uitgelegd worden als: een stuk (deel) van, een verhouding, een verdeling, een deling, een vermenigvuldigingsfactor (operator), een getal (met een plaats op een getallenlijn), weergave van een kans. De leerlingen kunnen volgende terminologie hanteren: stambreuk, teller, noemer, breukstreep, gelijknamig, gelijkwaardig.

Deze eindtermen worden geconcretiseerd in leerplannen en handleidingen die gebruikt worden in het lager onderwijs. De basis voor het breukenonderwijs wordt in het Vlaams onderwijs aangeboden vanaf de eerste graad van het lager onderwijs (Gemeenschapsonderwijs, n.d.; Onderwijssecretariaat van de Steden en Gemeenten van de Vlaamse gemeenschap, 1998; VVKBaO, 1998). Voor de eerste graad van het lager onderwijs hebben leerlingen al heel wat wiskundige kennis opgedaan, zowel in het kleuteronderwijs, thuis, als in hun dagelijkse ervaringen. Leerlingen beschikken elk op hun eigen manier over ervaringen met breuken. Dit zorgt ervoor dat elk kind reeds beschikt over persoonlijke kennis omtrent het breukenconcept. Dit heeft een invloed op de manier waarop de leerkracht omgaat met het breukenonderwijs (Yoshida & Sawano, 2002).

2.1.6 MOEILIJKHEDEN BIJ BREUKEN Uit onderzoek van Boulet (1998) blijkt dat leerkrachten er in het algemeen van overtuigd zijn dat leerlingen hun lessen voldoende begrijpen. Toch worden in het breukenonderwijs een aantal moeilijkheden aangegeven. Volgens Newstead en Murray (1998) beschikken leerlingen over een beperkt begrip van breuken. Dit is enerzijds toe te schrijven aan de complexheid van het breukenconcept zelf. Breuken bestaan uit vijf subconstructen die gekend moeten zijn om een volledig inzicht in breuken te hebben (Keijzer & Gravemijer, 2005; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Anderzijds kunnen leerlingen over verkeerde veronderstellingen en ideeën beschikken omtrent breuken (Newstead & Murray, 1998, Canterbury, 2006). Masterproef – Literatuurstudie 16

In het breukenonderwijs gaat de aandacht uit naar de vijf subconstructen waaruit breuken bestaan (Keijzer & Gravemijer, 2005; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Soms wordt er in het onderwijs op bepaalde subconstructen meer nadruk gelegd dan op andere. Daardoor verkrijgen de leerlingen geen volledig beeld van breuken, maar eerder een beeld dat aansluit bij één of meerdere subconstructen (Yoshida & Shinmachi, 1999). Leerlingen moeten eerst en vooral voldoende tijd krijgen om die conceptuele kennis van breuken volledig te kunnen ontwikkelen (Hasemann, 1981). Volgens Peck en Jencks (1981) ervaren leerlingen vooral problemen met de conceptuele kennis van breuken. Bewerkingen met breuken kunnen ze uitvoeren aan de hand van regels, maar ze hebben onvoldoende ervaringen opgedaan met het breukenconcept zelf om tot een volledig begrip te komen van de procedures (Peck & Jencks, 1981; Canterbury, 2006). Door de nadruk te leggen op regelverwerving wordt enkel een instrumenteel begrip nagestreefd (Hasemann, 1981; Aksu, 1997). Het is belangrijk dat leerlingen beschikken over een relationeel begrip van wiskunde (Aksu, 1997). Daarbij gaat de aandacht uit naar conceptuele kennis, de procedurele kennis en de relatie tussen conceptuele en procedurele kennis. Leerlingen moeten hun kennis van breuken kunnen gebruiken bij de uitvoering van bewerkingen. De relatie tussen procedurele en conceptuele kennis is hier van toepassing (Aksu, 1997). Ten tweede is het mogelijk dat verkeerde intuïties en informele ideeën over breuken niet bijgestuurd worden in de klas (Newstead & Murray, 1998). Vooraleer een leerling les krijgt in de klas, beschikt die reeds over informele kennis over breuken (Mack, 1995). Het is noodzakelijk dat het onderwijs leerlingen uitdaagt om tot correcte kennis van breuken te komen en voorkomt dat leerlingen verkeerde voorkennis blijven gebruiken. Deze voorkennis kan voor de leerlingen bij het ontwikkelen van het getalbegrip voor breuken zowel voor- als nadelen bieden. Enerzijds kan het verwerven van het breukenconcept niet los staan van de informele kennis waar een leerling reeds over beschikt. Zo kan een verdeelactiviteit een goede aanzet zijn voor de ontwikkeling van het breukenbegrip, die aansluit bij de voorkennis van leerlingen over gehele getallen (Mack, 1995; Yoshida & Sawano, 2002; Van Galen et al., 2005). Toch kan de voorkennis van leerlingen evenzeer als een hindernis ervaren worden (Yoshida & Shinmachi, 1999, Stafylidou & Vosniadou, 2004). Een getal delen door een breuk kan ingaan tegen de ideeën van leerlingen. Indien leerlingen een deling koppelen aan kleiner worden van het deeltal, dan gaat dit niet op voor een deling door een breuk die kleiner is dan één geheel. Bij een deling door een breuk kleiner dan één geheel bekom je namelijk een quotiënt dat groter is dan het deeltal. Er is dus onder andere nood aan een nieuw begrip van deling (Newstead & Murray, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Ook de kennis over gehele getallen kan voor moeilijkheden zorgen bij het verwerven van het breukenconcept. Leerlingen zijn geneigd om hun kennis van gehele getallen te gebruiken bij het oplossen van problemen met breuken (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Zo kan het bijvoorbeeld gebeuren dat leerlingen om breuken te ordenen rekening houden met de teller of de noemer, maar niet de breuk als een getal op zich zien. Boulet (1998) ontwikkelde een taxonomie van moeilijkheden in het breukenonderwijs. Leerlingen kunnen volgens deze taxonomie tijdens hun leerproces te maken krijgen met vier probleemcategorieën: ‘gelijk verdelen’, ‘opnieuw samenstellen’, ‘ordenen’ en ‘kwantificeren’. Elke categorie beschikt over een aantal problematische elementen die ervoor zorgen dat het aanleren van breuken moeilijk kan verlopen (zie Tabel 2). Eerst en vooral kunnen de problemen met betrekking tot het ‘gelijk verdelen’ van een geheel beïnvloed worden door verschillende elementen. Het geheel kan Masterproef – Literatuurstudie 17

continu of discreet zijn of er kan een combinatie van beide types gebruikt worden. Voor sommige leerlingen is het moeilijk om een taart in gelijke stukken te verdelen. Aparte voorwerpen gelijk verdelen is voor sommige leerlingen moeilijk omdat ze alle voorwerpen dan als een geheel moeten zien. Daarnaast kunnen verschillende geometrische vormen ook een invloed uitoefenen. Een cirkelvorm kan moeilijker verdeeld worden in oneven delen dan in even delen. De manier waarop het geheel verdeeld wordt kan ook verschillen (Boulet, 1998). Daarom is het belangrijk dat leerlingen tijdens hun leerproces vaak de kans krijgen om zelf een verdeling uit te voeren (Van Galen et al., 2005). Ten tweede kan het ‘opnieuw samenstellen’ tot een geheel voor problemen zorgen. Het moet voor leerlingen duidelijk zijn dat het geheel bestaat uit een samenstelling van alle delen, maar niet alle leerlingen begrijpen dit meteen. Er wordt vaak aan leerlingen gevraagd om een geheel te verdelen in gelijke delen, maar het moet ook duidelijk zijn voor hen dat de delen apart een geheel vormen (Boulet, 1998). Ten derde kan het ‘ordenen’ van breuken ook voor moeilijkheden zorgen bij de leerlingen. Als leerlingen hier uitgaan van hun voorkennis over gehele getallen kunnen ook problemen optreden. Daarbij lijkt 1/5 < 1/6 want 5 < 6. Daarnaast kunnen leerlingen breuken eventueel ordenen volgens hun relatieve grootte. Een grotere pizza verdeeld in 10 stukken en een kleinere pizza verdeeld in 6 stukken kan voor verwarring zorgen. Leerlingen die uitgaan van de relatieve grootte van de stukken zullen in deze situatie besluiten dat 1/10 groter is dan 1/6 (Boulet, 1998). Tenslotte worden soms moeilijkheden ervaren met betrekking tot het ‘kwantificeren’ van breuken. Leerlingen ervaren soms problemen bij het toekennen van getallen aan de deel-geheel relatie. Dit omdat breuken soms gebruikt worden in onnatuurlijke situaties (Groff, 1994; Boulet, 1998). Bijvoorbeeld het verdelen van een doos snoepjes onder vijf vrienden. Elke vriend krijgt 1/5 van de doos snoepen. Daarnaast is het dubbel tellen van de gelijk verdeelde stukken ook nieuw. Eén keer worden de stukken geteld om de teller te bepalen en één keer om de noemer te bepalen. Bij vroegere telervaringen mocht elk stuk maar één keer geteld worden en dus is dit een nieuwe moeilijkheid. Leerlingen kunnen ook uit het oog verliezen dat breuken gaat over het verdelen in gelijke delen. De gelijkheid van de delen staat hierbij centraal. Ook de taal is soms verwarrend en niet gebruikelijk voor leerlingen. Er wordt nu gesproken met ordinale telwoorden (derden) en niet meer alleen met de nominale telwoorden (drie) zoals bij de gehele getallen. De schrijfwijze van een breuk is daarenboven nieuw voor de leerlingen (Boulet, 1998). TABEL 2: TAXONOMIE VAN MOEILIJKHEDEN (BOULET, 1998)

Categorie Gelijk verdelen

Problematische elementen

Opnieuw samenstellen

- Conservatie: het geheel is de som van de delen (1 = n/n) - Omkering van het verdeelproces (verwarring van 1/n met n)

-

Types van gehelen (discreet, continu, combinatie) Geometrische vormen (cirkels, rechthoeken) Types van verdeling (verticaal, diagonaal) Bestaande verdelingen (perceptuele afleiders)


Ordenen

- Vertrouwen op de kennis van gehele getallen (1/n < 1/m want n < m) - Vertrouwen op de fysieke grootte om de grootte van een breuk te bepalen (aangeven dat 1/n groot kan zijn, maar ook klein, afhankelijk van de grootte van het geheel) - Vertrouwen op de fysieke grootte om de relatieve breukgrootte te bepalen (1/n < 1/m of 1/n > 1/m afhankelijk van de grootte van het geheel)

Kwantificeren

- Kunstmatigheid van de context (verdelen van pizza’s, chocolade, …) - Moeilijk om de delen twee keer te tellen, één keer als deel en één keer als deel van het geheel - Negeren van de gelijkheid van de delen (vertrouwen op de kennis van gehele getallen) - Conventioneel taalgebruik (benoemen met ordinale getallen) - Illustreren van de symbolisatie in plaats van de deel-geheel relatie

We kunnen besluiten dat het breukenonderwijs voor leerlingen niet eenvoudig is aangezien breuken bestaan uit vijf onderliggende subconstructen. Om breuken duidelijker te maken aan leerlingen kunnen verschillende modellen gebruikt worden tijdens de breuklessen. Deze modellen kunnen zowel schematisch weergegeven worden, met een tekening, maar er kan ook gekozen worden voor concreet didactisch materiaal. In het volgend hoofdstuk wordt verder stilgestaan bij het didactisch materiaal dat gebruikt kan worden in de lessen breuken.


2.2

DIDACTISCH MATERIAAL

Uit vorig hoofdstuk blijkt dat ‘breuken’ in het wiskundeonderwijs geen gemakkelijke leerstof is. Hierna wordt dieper ingegaan op de plaats van didactisch materiaal in het breukenonderwijs. Didactisch materiaal wordt vaak gebruikt in het onderwijs. In de wiskundelessen kunnen leerkrachten verschillende materialen gebruiken om de lessen te verduidelijken. Wat er nu precies bedoeld wordt met didactisch materiaal wordt duidelijk in dit hoofdstuk. Er wordt ingegaan op de verschillende soorten didactisch materiaal. Verder wordt ook aangegeven waarom didactisch materiaal een belangrijke plaats krijgt in de dagelijkse klaspraktijk en op welke manier het gebruikt kan worden.

2.2.1 WAT IS DIDACTISCH MATERIAAL? Didactisch materiaal is materiaal dat gebruikt wordt om leerlingen te helpen bij het verwerven van abstracte concepten (Mc Neil & Jarvin, 2007; Moyer, 2001; Uttal et al., 1997). Goed didactisch materiaal is betekenisvol voor de leerling en heeft karakteristieken die aansluiten bij de wiskundige structuren die aangebracht worden (Clements, 1999). Zo kunnen breukstroken gebruikt worden om gelijkwaardige breuken aan te brengen. Verschillende stroken met elkaar vergelijken kan zorgen voor meer begrip bij leerlingen. Didactisch materiaal wordt niet alleen gezien als concrete voorwerpen op zich, maar zijn volgens Uttal en collega’s (1997) symbolen voor wiskundige concepten of geschreven symbolen. Er is heel wat didactisch materiaal op de markt dat leerlingen kan helpen om inzicht te verwerven in diverse wiskundige concepten. Dit didactisch materiaal kan in verschillende categorieën onderverdeeld worden betreffende de mogelijkheden qua gebruik en de visuele kenmerken van het materiaal. Wat het gebruik betreft kan didactisch materiaal onderverdeeld worden in drie grote groepen. Eerst en vooral kunnen voorwerpen uit het dagelijks leven van de leerlingen een plaats krijgen in de wiskundeles zoals snoepjes, glazen water, chocolade, … (Sharp & Adams, 2002). Een tweede categorie betreft de zogenaamde ‘manipulatives’. Dit zijn concrete objecten die speciaal voor de wiskundelessen ontwikkeld worden om kinderen te helpen bij het verwerven van inzicht en het leren van wiskunde (Uttal et al., 1997). In tegenstelling tot de voorwerpen uit het dagelijks leven van de leerlingen maken deze materialen deel uit van de schoolse wereld (Sharp & Adams, 2002). Voorbeelden van ‘manipulatives’ zijn breukencirkels, MAB-materiaal, cuisinaire staafjes, … Zowel de voorwerpen uit het dagelijks leven als de ‘manipulatives’ zijn voorbeelden van concreet, tastbaar materiaal dat leerlingen kunnen vastnemen, voelen en aanraken (Ross, 2008). Als derde en laatste categorie voegt Clements (1999) hier ‘computer manipulatives’ aan toe. Deze ‘manipulatives’ kunnen in tegenstelling tot de eerder genoemde niet vastgenomen worden, maar worden aangeboden op een computerscherm en vormen zo een alternatief voor de ‘fysieke manipulatives’. De gebruiker hanteert deze ‘virtuele manipulatives’ aan de hand van een muis of een klavier. Waardoor ook deze ‘virtuele manipulatives’ een concrete handeling van de leerlingen uitlokken (Strom, 2009). McNeil en collega’s (2009) delen didactisch materiaal op in twee groepen op basis van de visuele kenmerken: neutrale materialen en perceptueel rijke materialen. Neutrale materialen zijn het meest gekend in de wiskundelessen. Een voorbeeld van neutraal didactisch materiaal is het MAB-materiaal Masterproef – Literatuurstudie 20

dat bestaat uit gekleurde blokken met een verschillende grootte, waarmee eenheden, tientallen en honderdtallen voorgesteld worden. Perceptueel rijke materialen worden aantrekkelijk gemaakt door veel kleuren, leuke details en een realistische weergave van gekende objecten. In de breuklessen kan er enerzijds gebruik gemaakt worden van neutrale breukencirkels ofwel kan een cirkel de voorstelling van een pizza zijn en dus een realistische afbeelding van een pizza weergeven.

2.2.2 WAAROM DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKEN? Didactisch materiaal gebruiken in de wiskundelessen is algemeen aanvaard door leerkrachten en wordt sterk gestuurd vanuit theorievorming en onderzoek (Clements, 1999; Moyer, 2001). Het gebruik van didactisch materiaal kan leerlingen helpen, het niet gebruiken kan nadelig zijn voor de leerlingen (Ball, 1992). Uit verschillende onderzoeken blijkt dat didactisch materiaal hanteren voordelen biedt voor de leerlingen (McNeil, & Jarvin, 2007). Bovendien toont onderzoek aan dat leerlingen die didactisch materiaal voor een langere periode gebruiken betere resultaten behalen dan deze die dat niet doen (Ross, 2008; Sowell, 1989). Zowel leerkrachten als onderzoekers wijzen op het feit dat concrete objecten ervoor kunnen zorgen dat leerlingen de verbinding maken tussen hun eigen ervaringen en hun eigen kennis van wiskundige concepten en symbolen (Uttal et al., 1997). Leerlingen zijn in staat om een informeel begrip over breuken te verwerven als ze eerder al eens een taart verdeeld hebben onder vrienden. De leerkracht kan hier op inspelen tijdens de wiskundelessen en verder bouwen op deze informele kennis bij de aanbreng van breuken. Bruner (1966) geeft aan dat lerenden drie verschillende representaties doorlopen bij het verwerven van de kennis: ‘enactive representation’ (motorische ervaringen opdoen met fysieke objecten), ‘iconic representation’ (afbeeldingen, tekeningen en schema’s om kennis voor te stellen) en ‘symbolic representation’ (kennis aan de hand van een formeel symbolensysteem). Lesh, Cramer, Doerr, Post en Zawojewski (2003) schuiven vijf verschillende manieren naar voren om wiskundige ideeën voor te stellen. Wiskundige concepten kunnen voorgesteld worden met didactisch materiaal, tekeningen, contexten uit het dagelijks leven, verbale symbolen en geschreven symbolen. Om te komen tot een goed wiskundig begrip is het noodzakelijk om de concepten op verschillende manieren te presenteren. Daarom is het belangrijk dat het wiskundeonderwijs aandacht heeft voor de verschillende manieren waarop wiskundige concepten gepresenteerd kunnen worden. De vertaling van de ene naar de andere manier zorgt er ook voor dat de verschillende representaties zinvoller worden voor leerlingen. Een situatie uit het dagelijks leven uitvoeren met concrete materialen, om er dan een symbolische bewerking van neer te schrijven kan zorgen voor meer inzicht bij de leerlingen. Dit model (zie Figuur 4) wordt het ‘translation model’ genoemd (Lesh et al., 2003; Murdock-Stewart, 2005).


Contexten dagelijks leven

Tekeningen

Geschreven symbolen

Verbale symbolen

Didactisch materiaal

FIGUUR 2: TRANSLATION MODEL (LESH ET AL., 2003)

Ook Piaget (1952) en Dienes (1969) geven aan dat lerenden een aantal stadia doorlopen als ze leren. Didactisch materiaal krijgt in deze stadia een duidelijke plaats toegeschreven. Vooral in het wiskundeonderwijs wordt dit in de praktijk gebracht. Doordat het materiaal tastbaar is wordt het mogelijk om het te koppelen aan de eigen intuïtieve ideeën (Clements, 1999). Het is belangrijk om eerst concreet te werken met leerlingen (VVKBaO, 2001). Leerlingen moeten de kans krijgen om relationeel begrip te ontwikkelen. Wat breuken betreft is het noodzakelijk dat leerlingen zowel het concept breuken als de procedures kennen om te werken met breuken. Dit gebeurt best aan de hand van het gebruik van concreet materiaal (Hasemann, 2001). Eens de leerlingen voldoende geoefend hebben met het echt materiaal, kan er overgegaan worden naar tekeningen of symbolen (Sharp & Adams, 2002). Op het schematisch niveau kan gebruik gemaakt worden van schema’s, afbeeldingen en tekeningen, die het concrete materiaal voorstellen. Tenslotte kan overgegaan worden naar het abstract niveau, indien leerlingen voldoende vertrouwd zijn met de leerinhoud (VVKBaO, 2001). De aanwezigheid van didactisch materiaal is evenwel niet voldoende om te leren: het is niet het materiaal zelf, dan wel het manipuleren ervan dat het leerproces zou beïnvloeden (Strom, 2009). Door het gebruik van het materiaal krijgt de lerende de kans om zelf visuele en tactiele ervaringen op te doen en wordt hij actief betrokken bij het leerproces (Clements, 1999; Moyer, 2001). Deze handelingen met concrete voorwerpen zorgen ervoor dat leerlingen hun omgeving kunnen aanpassen en interpreteren, waardoor het leren ondersteund wordt. Vanuit deze acties zullen leerlingen inzien dat bepaalde acties zinvoller zijn dan andere en worden logische wiskundige structuren ontwikkeld (Martin, Lukong, & Reaves, 2007). Bovendien zorgt het actief manipuleren van het materiaal ervoor dat de lerende een gamma aan beelden ontwikkelt die in een volgend stadium, als er abstract gewerkt wordt, goed van pas kunnen komen (Moyer, 2001). Het actief zoeken naar de oplossing van een probleem aan de hand van didactisch materiaal zorgt er ook voor dat kinderen het geleerde beter begrijpen en onthouden en ook gemakkelijker hun eigen fouten kunnen verbeteren (Martin, & Schwartz, 2005; Thompson, 1994). Het gebruik van meerdere zintuigen (zien, voelen, Masterproef – Literatuurstudie 22

horen), kan er bovendien voor zorgen dat leerlingen op een hoger niveau presteren (Martin et al., 2007; McNeil, & Jarvin, 2007). Samengevat kan gesteld worden dat didactisch materiaal gebruikt wordt met de bedoeling om abstracte concepten en geschreven symbolen van deze concepten te representeren (Mc Neil & Jarvin, 2007; Moyer, 2001; Uttal et al., 1997). Aan de hand van didactisch materiaal kan het wiskundig denken van de leerlingen verbeteren en kan er dus een interne representatie van een extern, abstract begrip ontwikkeld of versterkt worden (Clements, 1999; Moyer, 2001; Strom, 2009). Naast een beter begrip van wiskunde kan didactisch materiaal meer intrinsiek plezier brengen bij de leerlingen. Didactisch materiaal biedt een alternatief voor de traditionele ‘drill-and-practice-manier’ van lesgeven en zorgt voor een aantrekkelijke didactische aanpak om het wiskundig begrip bij leerlingen te stimuleren (Ball, 1992; Moch, 2001). Onderzoek toont aan dat leerlingen meer interesse tonen, sterker gemotiveerd zijn en actiever en beter betrokken zijn als er concreet materiaal gebruikt wordt (Moyer, 2001; Ross, 2008). Indien leerlingen een grotere intrinsieke motivatie hebben bij het oplossen van wiskundige taken, heeft dit ook een positieve invloed op hun leren en op hun attitudes ten aanzien van wiskunde (Sowell, 1989). Er wordt vaak verondersteld dat leerlingen beter presteren als wiskundige problemen in een alledaagse context of een praktische situatie worden aangeboden in plaats van in een louter schoolse context (Mc Neil, Uttal, Jarvin, & Sternberg, 2009). Het gebruik van didactisch materiaal biedt de mogelijkheid om de alledaagse realiteit in een rekenles op school te brengen. Door dit concrete materiaal te gebruiken wordt er gesteund op de kennis die leerlingen hebben opgebouwd in het dagelijkse leven. Het is namelijk gemakkelijker voor leerlingen om problemen op te lossen die aansluiten bij hun eigen praktische kennis die ze verworven hebben (McNeil, & Jarvin, 2007). Didactisch materiaal wordt dan ook vaak ontwikkeld om deze kennis uit de echte wereld aan te spreken (McNeil, & Jarvin, 2007). Het is dus een uitdaging voor leerkrachten om geschikte realistische contexten en materialen te vinden die gebruikt kunnen worden in de wiskundeles (Moyer, 2001). De impact van het gebruik van didactisch materiaal dient echter genuanceerd te worden: niet in elke context en voor elk kind is het gebruik van didactisch materiaal de meest aangewezen aanpak. Niet iedereen is dan ook voorstander van het gebruik van didactisch materiaal. Onder andere Freudenthal gebruikt liever rijke situaties in de wiskundelessen. Aan de hand van deze situaties wordt een wiskundig concept volledig onderzocht, in plaats van didactisch materiaal te gebruiken (Gravemeijer, & Terwel, 2000). Daarnaast blijkt uit onderzoek dat sommige materialen in bepaalde omstandigheden geen voordelen bieden of zelfs het leerproces kunnen belemmeren (Brown, McNeil, & Glenberg, in press; Martin et al., 2007; McNeil, & Jarvin, 2007; Sloutsky, kaminski, & Heckler, 2005). Indien de leerkracht bijvoorbeeld gebruik maakt van voorwerpen die de leerlingen kennen uit hun dagelijks leven, kan het gebeuren dat de leerlingen dit niet zien als een symbool voor een wiskundig concept (Uttal et al., 1997). Ook kleurrijk en esthetisch aantrekkelijk materiaal kan de wiskundelessen leuker maken, maar bij sommige voorwerpen is de relatie met het wiskundig concept ver te zoeken (Moyer, 2001).


2.2.3 HET GEBRUIK IN DE KLAS Ball (1992) geeft aan dat didactisch materiaal niet gezien kan worden als iets magisch dat ervoor zorgt dat wiskundige kennis automatisch zal ontstaan bij het gebruik ervan. Materiaal eenvoudigweg binnenbrengen in het alledaagse klasgebeuren is onvoldoende. Er wordt vaak stilgestaan bij de vraag op welke manier abstracte concepten en symbolen aangebracht kunnen worden met behulp van didactisch materiaal bij leerlingen. Het materiaal kan een hulp bieden in de wiskundelessen, maar dan is het belangrijk dat het correct geïmplementeerd wordt (Strom, 2009). De voornaamste taak van de leerkracht bestaat erin de kloof tussen informele wiskundekennis en de bijhorende formele symbolische representaties te overbruggen (Mc Neill et al., 2009). Daarbij kan didactisch materiaal hulp bieden. Het is dus noodzakelijk dat de leerkracht goed nadenkt over het gebruik van didactisch materiaal in de klas, zodat dit op een constructieve manier gebruikt kan worden door de leerlingen. Strom (2009) wijst op de voorbereiding van de leerkracht vooraleer deze werkelijk aan de slag kan gaan met didactisch materiaal. Het is noodzakelijk om vooraf stil te staan bij de inhoud van de leerstof. De leerkracht moet weten welke verschillende representaties de leerlingen kunnen maken met het materiaal, zodat verkeerde representaties van de leerlingen snel herkend kunnen worden (Thompson, 1994). Het didactisch materiaal dat gebruikt wordt moet zeker een correct model vormen voor het wiskundig concept dat wordt aangebracht (Moyer, 2001). De leerkracht moet weten op welke manier de leerlingen de symbolische relatie tussen het abstract concept en het concreet materiaal kunnen begrijpen. Sommige voorwerpen geven gemakkelijker deze onderliggende relatie weer dan andere (Uttal et al., 1997). Uit onderzoek blijkt bijvoorbeeld dat het voor leerlingen gemakkelijker is om breuken te ordenen volgens grootte als ze lineaire voorwerpen kunnen gebruiken (vb. breukenstroken, reep chocolade) in plaats van cirkelvormige voorwerpen zoals taarten (Siegal, & Smith, 1997). Als leerkracht is het ook noodzakelijk te weten wanneer het materiaal gebruikt zal worden in het leerproces. Didactisch materiaal moet niet gezien worden als een doel op zich, maar eerder als een middel om de wiskundedoelen te bereiken (Clements, 1999). Zomaar materiaal aanbieden is zeker niet voldoende. Het didactisch materiaal zelf is niet de drager van betekenis of inzicht, maar het moet gezien worden als een instrument om tot inzicht te komen bij de lerende. Het is niet de bedoeling dat materiaal gebruikt wordt om regels of algoritmes uit het hoofd te leren. Indien dit het geval is, worden procedures uitgevoerd zonder kennis van de achterliggende wiskundige concepten (Moyer, 2001). Daarom is het noodzakelijk dat er gereflecteerd wordt op de acties die uitgevoerd worden met het materiaal. Zowel leerkracht als leerling moeten in staat zijn om stil te staan bij de uitgevoerde acties en de onderliggende wiskundige concepten en procedures. De leerkracht moet kunnen reflecteren op de wiskundige representaties van de leerlingen en hen helpen bij het ontwikkelen van deze representaties (Ball, 1992). Indien deze reflectie niet gebeurt is het mogelijk dat voorwerpen correct gehanteerd worden, maar dat het achterliggende concept niet duidelijk is voor de leerling. Daarnaast is het ook mogelijk dat de uitgevoerde handelingen niet overeenkomen met de mentale acties die de leerkracht wil overbrengen (Clements, 1999). Goed wiskundeonderwijs is niet afhankelijk van de kwaliteit van het concrete materiaal, maar van de kwaliteit van de discussies van leerlingen over de onderbouwing van hun redenering (Van Galen et al., 2005). Bij de aanbreng van nieuwe leerstof kan materiaal nuttiger zijn dan wanneer het gebruikt wordt voor gekende leerstof (Strom, 2009). Leerlingen met weinig voorkennis over een bepaald concept kunnen soms meer voordeel halen uit de ondersteuning van extra materiaal. Leerlingen die een bepaald Masterproef – Literatuurstudie 24

concept reeds verworven hebben, kunnen gehinderd worden als ze gebruik moeten maken van concreet materiaal (McNeil et al., 2009). Soms is de relatie tussen het materiaal en de wiskundige representatie niet altijd transparant voor leerlingen (Ball, 1992; Moyer, 2001; Thompson, 1994; Uttal et al., 1997). Begeleiding en instructie van de leerkracht is hier fundamenteel (Brown et al., in press; Uttal et al., 1997). Expliciete herhaaldelijke instructie is noodzakelijk om de relatie tussen concreet en abstract te duiden. Concreet materiaal kan dus niet gezien worden als een vervangmiddel voor instructie van de leerkracht, maar gaat ermee gepaard (Uttal et al., 1997). Als een degelijke instructie ontbreekt, kunnen leerlingen de voorwerpen zien als leuke objecten, zonder de verbinding te maken met de onderliggende wiskundige representaties. Hierdoor kan het gebruik van didactisch materiaal onvruchtbaar zijn en het leerproces belemmeren. Zonder de relatie tussen concrete voorwerpen en abstracte concepten worden twee aparte zaken geleerd. De leerlingen moeten dan enerzijds het materiaal leren hanteren en anderzijds het concept verwerven (Uttal et al., 1997). Daarnaast is het niet onbelangrijk dat leerlingen ook een stuk vrijheid krijgen om zelf te exploreren (Brown et al., in press). Indien de leerkracht didactisch materiaal steeds op een voorgeschreven manier gebruikt, bestaat het gevaar dat leerlingen een proces leren, maar niet het onderliggend concept. Door leerlingen zelf te laten exploreren kunnen alternatieve werkmethodes gevonden worden, waardoor leerlingen tot een dieper wiskundebegrip kunnen komen (Thompson, 1994). Het is dus aan de leerkracht om te zoeken naar een goed evenwicht tussen het aanbieden van structuur en het geven van vrijheid. Aangezien didactisch materiaal de lessen aangenamer kunnen maken, wordt het soms gebruikt als een beloning voor goed gedrag van de leerlingen. Leerkrachten nemen het materiaal soms weg als leerlingen niet het juiste gedrag vertonen. Het gebruik van materiaal is dan niet meer afhankelijk van het wiskundig concept dat aangebracht wordt, maar van het gedrag van de leerlingen. Didactisch materiaal wordt hierdoor niet gebruikt om betekenis te geven aan wiskunde. De potentiële mogelijkheid van materiaal als representatie van wiskundige concepten wordt hierdoor ondergewaardeerd (Moyer, 2001). Leerkrachten zijn centrale personen in het klasgebeuren. De leerkracht maakt beslissingen over de manier waarop de leerstof aangebracht wordt aan de leerlingen, welke oefeningen gemaakt zullen worden, welke materialen gebruikt worden, op welke manier de klasorganisatie eruit zal zien, .... Deze beslissingen zijn gebaseerd op de kennis en overtuigingen van de leerkrachten (Foss & Kleinsasser, 1996). Kennis en de ervaringen van leerkrachten is dus cruciaal in de manier waarop de lessen georganiseerd worden. Hierna gaan we dieper in op de vragen welke kennis van leerkrachten noodzakelijk is en op welke manier deze kennis invloed uitoefent op de klaspraktijk.


2.3

KENNIS EN ERVARINGEN VAN LEERKRACHTEN

De leerkracht heeft een duidelijke invloed op de resultaten van leerlingen (An et al., 2004; Hill, Blunk, Charalambous, Lewis, Phelps, Sleep, & Ball, 2008; Zhou, Peverly, & Xin, 2006). Uit onderzoek blijkt dat de kennis en de ervaring van de leerkracht, de resultaten van leerlingen positief beïnvloedt (Hill, Ball & Schilling, 2008; Izsák, 2008). Om een duidelijk beeld te krijgen van de onderwijspraktijk is het dus onvoldoende om enkel het gedrag van een leerkracht te bekijken (Van Driel, Beijaard, & Verloop, 2001). Leerkrachten maken onderwijskundige beslissingen gebaseerd op hun kennis en overtuigingen (Foss, & Kleinsasser, 1996). Volgens het ‘National Council of Teachers of Mathematics’ (2000) heeft een leerkracht nood aan kennis en begrip van wiskunde, van leerlingen als leerders en van pedagogische strategieën om effectief wiskundeonderwijs aan te bieden. De expertise waar de leerkracht over beschikt bepaalt dus voor een deel de resultaten van de leerlingen (Zhou et al., 2006). De vraag hierbij is: wat moeten leerkrachten kennen om effectief onderwijs te kunnen geven (Ball, Thames, & Phelps, 2008)? Door het dagelijks handelen ontwikkelen leerkrachten praktische kennis. Deze praktische kennis bestaat uit een integratie van kennis, opvattingen, overtuigingen en waarden die de leerkracht ontwikkelt (Van Driel et al., 2001). Kennis die ontstaat vanuit eerdere ervaringen maakt hier ook deel van uit. Praktische kennis staat niet los van de leerinhoud die door de leerkracht wordt gegeven. Daarbij aansluitend speelt ook de ‘pedagogical content knowledge’ van Shulman (1986) een rol. De expertise van leerkrachten is volgens Shulman (1986) gebaseerd op de ontwikkeling van drie soorten kennis: ‘Subject matter content knowledge’, ‘pedagogical content knowledge’ en ‘general pedagogical knowledge’. ‘Subject matter content knowledge’ bestaat niet alleen uit de kennis van feiten, ideeën en concepten, maar ook uit de onderliggende structuur. Deze bestaat onder andere uit de relaties tussen de verschillende concepten, maar ook uit de regels die aangeven of een bepaalde actie correct is of niet (Shulman, 1986; Zhou et al., 2006). De regel van de commutativiteit bijvoorbeeld bepaalt dat de factoren van een vermenigvuldiging verwisseld mogen worden van plaats. Deze regel geldt niet bij een deling. De kwaliteit van wiskundeonderwijs hangt dus ten dele af van de inhoudelijke kennis van de leerkracht (Ball, Hill, & Bass, 2005). De inhoudelijke wiskundige kennis van leerkrachten moet echter gedetailleerder zijn dan de wiskunde die belangrijk is voor het dagelijks functioneren (Ball et al., 2008). ‘Pedagogical content knowledge’ is de inhoudelijke kennis die noodzakelijk is om les te geven over een bepaald onderwerp (Shulman, 1986). Ball en andere (2008) spreken hier over gespecialiseerde inhoudelijke kennis die uniek is aan het onderwijs. Deze kennis is specifiek gekoppeld aan de inhoud die moet worden overgebracht en is breder dan de algemene wiskundige kennis (Kahan, Cooper, & Bethea, 2003). De leerkracht moet weten op welke manier de inhoud gepresenteerd kan worden en waarom een procedure op die manier uitgevoerd wordt. Daarnaast is het nodig dat een leerkracht begrijpt waarom een bepaald concept centraal staat en belangrijker is dan een ander concept of idee (Shulman, 1986; Ball et al., 2008). Een leerkracht moet ook een beeld hebben van de misopvattingen van leerlingen en de typische problemen waar leerlingen mee geconfronteerd worden. Op die manier kan de leerkracht de leerlingen beter begeleiden doorheen hun leerproces (Shulman, 1986; Van Driel et al., 2001). Volgens Ball e.a. (2008) kan hier gesproken worden over ‘kennis van de Masterproef – Literatuurstudie 26

inhoud en van de leerlingen’. Leerkrachten moeten kunnen anticiperen op de gedachten en opvattingen van leerlingen. Daarnaast moeten leerkrachten ook beschikken over ‘kennis over inhoud en onderwijs’. Daarbij is het belangrijk dat een leerkracht beschikt over wiskundige kennis om goede instructie te ontwerpen. Voor wiskunde wordt ook wel eens gesproken over ‘mathematical knowledge for teaching’ (Hill et al., 2008). Daarbij moet een leerkracht in staat zijn om verschillende curriculummaterialen te kunnen gebruiken, geschikte representaties te kiezen, op een goede manier te reageren op antwoorden van leerlingen, kunnen interpreteren wat leerlingen zeggen en ook evaluaties ontwerpen (Hill et al., 2008; Izsák, 2008). Volgens An en andere (2004) bestaat deze inhoudelijke pedagogische kennis uit drie componenten: kennis over de inhoud, kennis over onderwijs en kennis over het curriculum. Centraal hierbij is de kennis van het onderwijzen die versterkt wordt door kennis van de inhoud en het curriculum (An et al., 2004). Een beeld van het curriculum zorgt ervoor dat de leerkracht weet welke wiskundige ideeën aan bod komen. Op die manier kan de leerkracht het verband tussen deze ideeën gemakkelijker leggen. Enerzijds moet de leerkracht beschikken over een ‘laterale curriculumkennis’. Met deze kennis is de leerkracht in staat om kennis uit andere vakken te gebruiken in de wiskundelessen. Anderzijds is ‘verticale curriculumkennis’ belangrijk, zodat de leerkracht duidelijk weet wat er eerder en later in het curriculum aan bod komt (Ball et al., 2008). Kortom een leerkracht moet vooral weten hoe de leerlingen denken en hoe hij of zij instructie moet organiseren (An et al., 2004). ‘General pedagogical knowledge’ omvat algemene theorieën en principes van leren en onderwijzen, kennis over de leerlingen en kennis van de principes en technieken voor klasmanagement (Zhou et al., 2006). Er kan geconcludeerd worden dat leerkrachten over verschillende soorten kennis en ervaringen beschikken om de leerprocessen van leerlingen te begeleiden en ondersteunen. Dit onderzoek vertrekt dan ook van deze kennis en ervaringen om een beeld te krijgen van het didactisch materiaal dat gebruikt wordt in de breuklessen.


2.4 PROBLEEMSTELLING EN ONDERZOEKSVRAGEN Uit de bovenvermelde literatuurstudie blijkt dat er reeds heel wat onderzoek gevoerd werd omtrent breukenonderwijs, didactisch materiaal en de kennis van leerkrachten. In het Vlaamse onderwijs komt breuken aan bod van het tweede tot het zesde leerjaar (Vlaams Ministerie van Onderwijs en Vorming, n.d.). De literatuur bevestigt echter dat breuken in het lager onderwijs als een knelpunt aanzien kan worden. Dit is enerzijds te wijten aan het breukenconcept dat opgebouwd is uit vijf subconstructen (Charalambous, & Pitta-Pantazi, 2006). Deze subconstructen moeten duidelijk zijn voor de leerling, zodat gekomen kan worden tot een volledig begrip van breuken. Verschillende modellen kunnen hulp bieden bij het verwerven van inzicht (Singer-Freeman, & Goswami, 2001; Van de Walle, 2007). Anderzijds kunnen problemen bij breuken veroorzaakt worden door verkeerde intuïties en informele ideeën van leerlingen omtrent breuken (Newstead, & Murray, 1998). Deze moeilijkheden kunnen mogelijk ontweken worden door het gebruik van didactisch materiaal. Didactisch materiaal gebruiken in het onderwijs biedt een aantal voordelen voor de leerlingen. Leerlingen kunnen met behulp van materiaal zelf actief aan de slag en tonen meer interesse in wiskunde (Clements, 1999; Moyer, 2001). Daarnaast wordt het mogelijk om abstracte concepten en geschreven symbolen eenvoudiger voor te stellen (Mc Neil, & Jarvin, 2007; Moyer, 2001; Uttal et al., 1997). Het is aan de leerkracht om het materiaal op een geschikte manier in het onderwijs te gebruiken. De leerkracht moet hierbij zorgen voor een goede begeleiding en instructie (Uttal et al., 1997; Brown et al., in press). De organisatie van de lessen wordt bepaald door de leerkracht. Het is dan ook de leerkracht die uitmaakt of didactisch materiaal een plaats krijgt in de lessen en op welke manier. Het is bijgevolg noodzakelijk dat leerkrachten beschikken over voldoende kennis over de leerstof die aangebracht wordt. Het is niet alleen belangrijk dat de leerkracht beschikt over inhoudelijke kennis van de leerstof maar daarenboven wordt ook verwacht dat de leerkracht weet op welke manier de les aangepakt kan worden (Ball et al., 2008; Hill et al., 2008). Uit het voorgaande kan besloten worden dat leerkrachten een belangrijke plaats innemen in het breukenonderwijs. Daarom lijkt het interessant om na te gaan op welke manier Vlaamse leerkrachten didactisch materiaal een plaats geven binnen het breukenonderwijs. Dit werd eerder niet onderzocht en daarom wordt hier in dit onderzoek dieper op ingegaan. Daarbij wordt vertrokken van de volgende probleemstelling: Over welke kennis en ervaringen beschikken Vlaamse leerkrachten uit het basisonderwijs met betrekking tot het gebruik van didactisch materiaal in de breuklessen?*

Om deze probleemstelling te operationaliseren worden de volgende onderzoeksvragen centraal gesteld: 1. Welk didactisch materiaal wordt in het breukenonderwijs gebruikt? 2. Hoe wordt didactisch materiaal gebruikt in het breukenonderwijs? Masterproef – Literatuurstudie 28

3. Met welke bedoeling wordt tijdens het breukenonderwijs gebruik gemaakt van didactisch materiaal? 4. Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de leerjaren heen? 5. Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de methoden heen? *Aangezien breuken vanaf het tweede leerjaar een aanzienlijke plaats krijgt in het wiskundecurriculum worden in dit onderzoek leerkrachten bevraagd van het tweede tot en met het zesde leerjaar.


B. ONDERZOEK 3. METHODOLOGIE 3.1

VERANTWOORDING KEUZE

Deze studie is een combinatie van een kwantitatief en een kwalitatief onderzoek. Aangezien er op het vlak van didactisch materiaal in de lessen breuken weinig onderzoek in Vlaanderen is uitgevoerd, wordt aan de hand van dit onderzoek de praktijk in kaart gebracht. Het is noodzakelijk om een volledig beeld te creëren, daarom wordt er gekozen om zowel een kwantitatief als een kwalitatief onderzoek uit te voeren. Aan de hand van de ‘gemengde methode’ (Tashakkori, & Teddlie, 1998) kunnen de voordelen van beide onderzoeksmethoden benut worden. Beide onderzoeksvormen volgen elkaar op, er wordt sequentieel gewerkt (Tashakkori, & Teddlie, 1998). Met het kwantitatief onderzoek wordt een algemene indruk verkregen van de gebruikte didactische materialen. Aan de hand van kwalitatief onderzoek kan hier dieper op ingegaan worden en wordt dus een completer beeld gecreëerd van wat leerkrachten willen bereiken met dit didactisch materiaal en op welke manier ze dit doen.

Masterproef – Methodologie 30

3.2

KWANTITATIEF ONDERZOEK

3.2.1 ONDERZOEKSINSTRUMENT Er werd gekozen voor een vragenlijst met zowel open vragen, gesloten vragen als meerkeuzevragen (cfr. Bijlage 1). Door deze verschillende vragen worden niet alleen cijfergegevens bekomen, maar ook uitgebreidere beschrijvende informatie. De vragenlijst wordt ingeleid met een korte introductie waar de bedoeling van het onderzoek geduid wordt. Ze bestaat uit 26 vragen en kan opgedeeld worden in twee delen. Een eerste deel bevraagt algemene gegevens van de leerkracht en de school waar de leerkracht lesgeeft. Het tweede deel polst specifiek naar het gebruik van didactisch materiaal in de lessen breuken. De vragen werden opgemaakt aan de hand van de beschikbare materialen voor de lessen breuken en aan de hand van een verkenning van de literatuur. De vragenlijst bestaat uit algemene vragen, aangezien het de bedoeling is om de praktijk van de lessen breuken te verkennen. De vragenlijst is bedoeld voor leerkrachten van het tweede tot het zesde leerjaar uit het lager onderwijs. Het eerste leerjaar werd niet opgenomen in het onderzoek aangezien er in dit leerjaar nog geen breukenonderwijs georganiseerd wordt. Vanaf het tweede leerjaar start de kennismaking met breuken en tot in het zesde leerjaar komen breuken aan bod in de wiskundelessen (Vlaams ministerie van Onderwijs en Vorming, n.d.).

3.2.2 RESPONDENTEN Er werden 71 leerkrachten bevraagd: 7 leerkrachten van het tweede leerjaar, 16 leerkrachten van het derde leerjaar, 14 van het vierde leerjaar, 17 van het vijfde leerjaar en 9 leerkrachten van het zesde leerjaar. Daarnaast reageerden ook 6 zorgleerkrachten en 2 leerkrachten van het buitengewoon onderwijs. De leerkrachten hebben gemiddeld 13,5 jaar (SD = 10.61) ervaring in het onderwijs en 6,4 jaar (SD = 5.67) in het leerjaar of in de functie waar ze momenteel lesgeven. De leerkrachten zijn tewerkgesteld op verschillende scholen: 52 leerkrachten staan in het vrij katholiek onderwijs, 10 leerkrachten in het gemeentelijk of stedelijk onderwijs, 5 leerkrachten in het gemeenschapsonderwijs en 4 leerkrachten in het methodeonderwijs.

3.2.3

PROCEDURE

3.2.3.1 O PMAAK VRAGENLIJST Er werd gekozen voor een online vragenlijst aangezien dit gemakkelijk bereikbaar is voor iedereen en leerkrachten dit kunnen invullen wanneer ze willen. De vragenlijst werd online geplaatst via www.enquetemaken.be dat online ter beschikking is. De vragenlijst voor het kwantitatief onderzoek naar didactisch materiaal in de lessen breuken stond online van 15 mei 2009 tot 15 maart 2010. 3.2.3.2 S AMENSTELLEN ONDERZOEKSGROEP Het onderzoek werd via verschillende kanalen bekend gemaakt. Er werd persoonlijk langsgegaan in verschillende scholen in West-Vlaanderen. Via de directie werd een oproep gedaan om leerkrachten te bereiken. Daarbij kregen de leerkrachten een brief waarop meer uitleg stond over het onderzoek en waarop de link naar de website vermeld werd. Daarnaast werden via een aantal online fora (Klasse, Leerkrachtenforum en Klascement) leerkrachten aangesproken om de vragenlijst in te vullen. Tenslotte werd ook beroep gedaan op het persoonlijk netwerk van de onderzoeker. Leerkrachten werden persoonlijk gemaild met de oproep deel te nemen aan het onderzoek. Masterproef – Methodologie 31

3.2.3.3 G EGEVENSVERWERKING Er werd gekozen om de kwantitatieve gegevens te verwerken met behulp van het statistisch programma ‘SPSS 16’. De gegevens worden voornamelijk op een beschrijvende manier weergegeven, aangezien het de bedoeling is om een algemeen beeld te verkrijgen van wat er in de praktijk gebruikt wordt in de breuklessen en op welke manier. Hierbij worden gemiddelden, frequentietabellen, staafdiagrammen en cirkeldiagrammen weergegeven. Daarnaast wordt gebruik gemaakt van de variantie-analyse die nagaat of de variantie tussen groepen groter is dan de variantie binnen groepen (Huizingh, 2008).


3.3

KWALITATIEF ONDERZOEK

Uit het voorgaande kwantitatieve onderzoek bleek het interessant om dieper in te gaan op de resultaten aan de hand van een kwalitatieve deelstudie. Hiermee kunnen achterliggende verklaringen gezocht worden voor de resultaten van het kwantitatief onderzoek.

3.3.1 ONDERZOEKSINSTRUMENT Voor de kwalitatieve deelstudie werd gekozen voor de afname van face to face interviews (Billiet, 1995). Daarbij wordt informatie uitgewisseld vanuit het eigen standpunt (Cohen, Manion, & Morrison, 2000). Er werd een semi-gestructureerd interview opgesteld voor leerkrachten. Daardoor wordt voldoende consistentie tussen de verschillende interviews bekomen en kunnen vergelijkingen tussen de interviews gemaakt worden (Herzog, 1996). Deze manier van werken laat de onderzoeker echter ook toe om bijvragen te stellen, zodat alles voldoende verduidelijkt kan worden (Drever, 1995). De leidraad voor dit onderzoek (zie Bijlage 2) werd opgesteld aan de hand van de literatuur en op basis van de bevindingen uit het kwantitatief onderzoek. Deze vragenlijst bestaat uit een aantal algemene vragen die peilen naar de ervaring van de leerkracht en daarnaast uit 16 hoofdvragen over het gebruik van didactisch materiaal in de breuklessen. Tijdens de interviews werden soms bijvragen gesteld, zodat dieper ingegaan werd op de gegeven antwoorden. Er wordt onder andere gepolst naar de redenen waarom didactisch materiaal gebruikt wordt, het soort materiaal dat gebruikt wordt, de tevredenheid omtrent de gebruikte wiskundemethode en de klasorganisatie.

3.3.2 RESPONDENTEN Er werden 16 leerkrachten geïnterviewd, 14 vrouwen en 2 mannen. Deze leerkrachten geven les in verschillende leerjaren: 2 leerkrachten van het 2e leerjaar, 3 leerkrachten van het 3e leerjaar, 3 leerkrachten van 4e leerjaar, 4 leerkrachten van het 5e leerjaar en 4 leerkrachten van het 6e leerjaar. Bij één interview in het 6 e leerjaar, kwam de parallelleerkracht van het 6 e leerjaar mee luisteren en werden beide meningen, ideeën en ervaringen verwerkt in het interview. De leerkrachten zijn gemiddeld 28 jaar oud (SD = 6.20); ze hebben gemiddeld 6,6 jaar (SD = 4.36) ervaring en staan gemiddeld 3.1 jaar (SD = 2.60) in het leerjaar waar ze momenteel lesgeven.

3.3.3

PROCEDURE

3.3.3.1 S AMENSTELLEN ONDERZOEKSGROEP Bij de keuze van de respondenten was het vooral belangrijk om leerkrachten van de verschillende leerjaren te bereiken. Er werd een brief opgesteld voor de leerkrachten waarbij extra uitleg gegeven werd over het onderzoek. In deze brief werd aangegeven hoeveel tijd een interview in beslag zou nemen en wat er van hen verwacht werd. Verder gaf de brief ook aan dat de gegevens van de leerkrachten vertrouwelijk behandeld zouden worden. Negen leerkrachten werden telefonisch gecontacteerd om een afspraak te maken, 4 leerkrachten per mail en 2 leerkrachten werden aangesproken door een leerkracht waar de onderzoeker eerder contact mee had. De respondent mocht zelf de plaats en het tijdstip van het interview bepalen. Er werden 10 leerkrachten op school geïnterviewd, tijdens de middagpauze of tijdens een vrij uur. Vijf leerkrachten mocht de onderzoeker thuis bezoeken om een interview af te nemen. Masterproef – Methodologie 33

3.3.3.2 A FNAME INTERVIEWS De interviews werden afgenomen tussen 10 februari 2010 en 4 maart 2010. Vooraleer het interview werd afgenomen werd de leerkracht geïnformeerd over het onderzoek en de bedoeling van het onderzoek. In de ‘informed consent’ (zie bijlage 3) werd meegedeeld dat het interview zou worden opgenomen, zodat de onderzoeker achteraf de gegevens gemakkelijker zou kunnen verwerken. De duur van de interviews varieert van 20 minuten tot 35 minuten. Na de afname van het interview werd een schriftelijke neerslag gemaakt. De interviews werden letterlijk uitgeschreven zoals de geïnterviewde vertelde, dit met behulp van de audio-opnames van de interviews. 3.3.3.3 G EGEVENSVERWERKING Voor de gegevensverwerking werd gebruik gemaakt van de methode voorgesteld door Baarda, De Goede en Teunissen (2001). De interviews werden door de onderzoeker ingedeeld in verschillende relevante fragmenten (Baarda et al., 2001). De fragmenten worden opgedeeld per vraag. Eén fragment kan ook uit meerdere vragen en antwoorden bestaan, indien de betekenis van de opeenvolgende vragen samenhangt of één vraag onvoldoende duidelijkheid brengt om er één fragment van te maken. Elk fragment werd genummerd, bijvoorbeeld fragment 1.2 is het tweede fragment uit het eerste interview. Deze fragmenten werden afzonderlijk gelezen en kregen labels. Deze labels zijn terugkerende thema’s in de verschillende interviews, onderwerpen die af te leiden zijn uit het kwantitatief onderzoek of onderwerpen die in de literatuurstudie eerder vermeld worden. Eén fragment kan meerdere labels krijgen (Baarda et al., 2001). Een label kan soms worden onderverdeeld in meerdere categorieën. Een overzicht van de labels en categorieën die toegekend werden aan de verschillende fragmenten is terug te vinden in tabel 3. De link tussen de labels en de vooropgestelde onderzoeksvragen wordt weergegeven. Eens alle fragmenten gelabeld waren, werden de fragmenten per label geplaatst. Vanuit deze labels werd door de onderzoeker gezocht naar gelijkenissen en verschillen tussen de fragmenten. Vanuit deze vergelijkende analyses kon de onderzoeker een aantal bevindingen formuleren. TABEL 3: LABELS EN CATEGORIEËN GELINKT AAN DE ONDERZOEKSVRAGEN

Label Modellen

Categorie - oppervlaktemodellen - lengtemodellen - set modellen

Onderzoeksvraag 1. Welk didactisch materiaal wordt in het breukenonderwijs gebruikt? 4. Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de leerjaren heen?

Soorten didactisch materiaal

-

1.Welk didactisch materiaal wordt in het breukenonderwijs gebruikt? 4. Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de leerjaren heen?

voorwerpen dagelijks leven manipulatives computer spel


Label Hoe

Categorie - Klasorganisatie: (klassikaal, individueel, groepjes) - Wie (leerkracht-leerling)

Onderzoeksvraag 2. Hoe wordt didactisch materiaal gebruikt in het breukenonderwijs?

Ontwikkeling

- Concreet, schematisch, abstract - Wanneer gebruikt in de les, in een schooljaar

4. Zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de leerjaren heen?

Methode

- Tevreden - Niet tevreden

5. Welke invloed heeft de methode op het gebruik van didactisch materiaal?


3.4

BETROUWBAARHEID EN VALIDITEIT VAN HET ONDERZOEK

Om de kwaliteit van het uitgevoerde onderzoek te bepalen wordt er ingegaan op de betrouwbaarheid en de validiteit. Indien de resultaten een correct beeld van de realiteit weergeven kan er gesproken worden over een goede kwaliteit van het onderzoek (Korzilius, 2000).

3.4.1 BETROUWBAARHEID VAN HET ONDERZOEK Een betrouwbaar onderzoek is een onderzoek dat hetzelfde resultaat weergeeft onafhankelijk van het moment waarop het onderzoek is verricht, de onderzoeker die het uitvoert en het gebruikte meetinstrument (Korzilius, 2000). Er is dus een afwezigheid van toevallige vertekeningen van het object van studie (Maso, & Smaling, 1998). De betrouwbaarheid in het kwantitatieve en het kwalitatieve luik wordt gegarandeerd door de nauwkeurige beschrijving van de gebruikte meetinstrumenten, respondenten en procedure. Er wordt een duidelijk onderscheid gemaakt tussen de onderzoeksresultaten en de interpretaties van het onderzoek. Het herhalen van het kwantitatieve luik wordt op die manier mogelijk. Voor het kwalitatieve luik wordt dit moeilijker, aangezien er hier gewerkt wordt met unieke situaties. Door de opmaak van een leidraad voor het interview wordt de betrouwbaarheid vergroot. Daarnaast worden de interviews opgenomen op audio en worden de interviews letterlijk uitgetypt wat ook zorgt voor een grotere consistentie van het onderzoek en de betrouwbaarheid tegemoet komt (Maso & Smaling, 1998). De resultaten van de interviews worden geïllustreerd met behulp van citaten van de respondenten.

3.4.2 VALIDITEIT VAN HET ONDERZOEK Door te meten wat je beoogt te meten wordt de validiteit van het onderzoek gewaarborgd. Het is de mate waarin de resultaten de werkelijkheid correct weergeven. De interne validiteit beoogt de kwaliteit van de conclusies die in het onderzoek genomen worden. De externe validiteit gaat in op de generaliseerbaarheid van de onderzoeksresultaten (Korzilius, 2000). Tijdens de kwalitatieve studie wordt vermeden dat respondenten sociaal wenselijk gaan antwoorden (Korziliuis, 2000) doordat ze zelf mochten bepalen waar het interview werd afgenomen. Op die manier voelen de respondenten zich op hun gemak, waardoor meer valide informatie bekomen wordt. Door de combinatie van kwantitatief en kwalitatief onderzoek wordt de interne validiteit verhoogd, aangezien er op die manier aan triangulatie gedaan wordt (Maso, & Smaling, 1998). Door informatie aan de hand van verschillende invalshoeken te verzamelen, wordt een beter beeld van de situatie gecreëerd (Baarda et al., 2001). Dit onderzoek is een exploratief onderzoek met de bedoeling een idee te krijgen van het materiaal dat gebruikt wordt in het breukenonderwijs. Aan de kwantitatieve deelstudie deden 71 leerkrachten mee. Dit is een voldoende aantal om een verkennend beeld van de praktijk te verkrijgen. Voor het kwalitatieve luik werden 15 leerkrachten geïnterviewd, een grotere steekproef is bij deze onderzoeksmethode niet mogelijk. Er werden interviews afgenomen tot een verzadigingspunt werd bereikt en geen nieuwe informatie door de leerkrachten gegeven werd (Baarda et al., 2001).


4. ONDERZOEKSRESULTATEN 4.1

KWANTITATIEVE ONDERZOEKSRESULTATEN

De resultaten van de vragenlijst worden weergegeven volgens onderwerp. Daarbij worden verschillende vragen over hetzelfde onderwerp onder eenzelfde titel verwerkt.

4.1.1 WANNEER WORDT DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKT? Er werd gevraagd aan de leerkrachten hoe vaak ze didactisch materiaal gebruiken tijdens de lessen breuken. In het onderzoek geeft geen enkele leerkracht aan dat er nooit didactisch materiaal gebruikt wordt tijdens de breuklessen. 29.58% van de leerkrachten geeft aan dat ze soms materiaal gebruiken, 49.30% van de leerkrachten gebruikt vaak materiaal en 19.72% van de leerkrachten gebruikt altijd materiaal tijdens de breuklessen. De resultaten met betrekking tot de frequentie waarop didactisch materiaal gebruikt wordt kunnen bekeken worden in relatie tot het leerjaar waar de leerkracht lesgeeft. Er is een significant verschil tussen de frequentie waarop didactisch materiaal gebruikt wordt in de verschillende leerjaren (F(4,58) = 5.641, p= 0.001). Uit een paarsgewijze vergelijking blijkt dat er een significant verschil is wat betreft de frequentie waarop didactisch materiaal gebruikt wordt tussen het tweede leerjaar en het vijfde leerjaar, het tweede leerjaar en het zesde leerjaar en het derde leerjaar en het zesde leerjaar. Leerkrachten uit de lagere leerjaren (2e en 3e leerjaar) gebruiken vaker didactisch materiaal dan deze uit de hogere leerjaren (5e en 6e leerjaar). Didactisch materiaal wordt ook gebruikt om te differentiëren door 63 leerkrachten (88.7%). Door 8 leerkrachten (11.3%) wordt het didactisch materiaal in de lessen breuken niet gebruikt om te differentiëren. Het materiaal kan op verschillende momenten in de les gebruikt worden. In onderstaande figuur wordt weergegeven in welke lesdelen didactisch materiaal gebruikt wordt (zie Figuur 5).

Wanneer wordt didactisch materiaal gebruikt tijdens de breuklessen Bij het maken van een toets

1,41

Bij de zorgleerkracht

1,41

Als er een toepassing wordt gevraagd

23,94

Als een leerling iets niet begrijpt

98,59

Bij het inoefenen van de leerstof

50,70

Bij aanbreng van nieuwe leerstof

98,59 0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

procent leerkrachten

FIGUUR 3: MOMENT WAAROP DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKT WORDT

Masterproef – Onderzoeksresultaten 37

4.1.2 SOORT MATERIAAL De wiskundemethodes bieden tijdens de lesbeschrijvingen verschillend materiaal aan voor de breuklessen. Leerkrachten maken gebruik van verschillende wiskundemethodes als ze lesgeven. De leerkrachten die meewerkten aan dit onderzoek gebruiken één van de volgende methodes: ‘Kompas’ (26.8%), ‘Zo gezegd zo gerekend’ (25.3%), ‘Rekensprong’ (21.1%), ‘Nieuwe Tal-rijk’ (7.0%), ‘Pluspunt’ (4.2%), ‘Eurobasis’ (2.8%) en ‘Nieuwe pluspunt’ (1.4%). Daarnaast geven vijf leerkrachten (7.0%) aan gebruik te maken van eigen werkblaadjes en drie leerkrachten (4.2%) gebruiken meerdere methodes voor de wiskundelessen. In de lessen breuken kan heel wat verschillend materiaal gebruikt worden. Het onderzoek gaat na welke materialen door de methode worden aangeboden voor de breuklessen. In tabel 4 volgt een overzicht van de didactische materialen die vermeld worden in de wiskundemethode. TABEL 4: VERSCHILLENDE DIDACTISCHE MATERIALEN IN HET BREUKENONDERWIJS AANGEBODEN DOOR DE METHODE.

Aantal leerkrachten

Aantal leerkrachten

Absolute frequentie

Relatieve frequentie

Breukenstroken

49

69.0%

Breukencirkel

42

59.1%

Vierkante vormen

23

32.4%

Computersoftware rond breuken

17

23.9%

Breukenkaart

14

19.7%

Lineaire breukenset

7

9.9%

Breukenladder

5

7.0%

Breukendomino

5

7.0%

Breukenspel

4

5.6%

Concreet dagdagelijks materiaal

3

4.2%

Niets

3

4.2%

Breukendriehoeken

2

2.8%

Breukentoren

2

2.8%

Smartboard

2

2.8%

Posters

2

2.8%

Papier

1

1.4%

Materiaal om op te eten

1

1.4%

Tekeningen

1

1.4%

Breukenas

1

1.4%

Breukenkwartet

1

1.4%


De meningen omtrent dit materiaal zijn verdeeld, 53.5% van de leerkrachten is tevreden met het materiaal dat aangeboden wordt door de methode. Daarnaast geven 39.4% (N=28) van de leerkrachten aan dat ze niet tevreden zijn met het materiaal van de handleidingen. Indien de tevredenheid bekeken wordt van de drie meest gebruikte methodes in dit onderzoek (‘Kompas’, ‘Zo gezegd zo gerekend’ en ‘Rekensprong’), dan blijkt een significant verschil in tevredenheid en de gebruikte handleiding ( 2 (2)= 9,105, p = 0.011). De relatieve frequenties (tabel 5) geven aan dat ongeveer evenveel gebruikers van rekensprong tevreden als ontevreden zijn. Meer gebruikers van Zo gezegd zo gerekend zijn ontevreden en voor Kompas zijn duidelijk meer leerkrachten tevreden over de handleiding dan ontevreden. TABEL 5: TEVREDENHEID VAN DE WISKUNDEMETHODE (REKENSPRONG, ZO GEZEGD ZO GEREKEND EN KOMPAS)

Methode

Aantal tevreden

Aantal ontevreden

leerkrachten

leerkracht

Rekensprong

8

16.3%

6

12.2%

Zo gezegd zo gerekend

7

14.3%

11

22.4%

Kompas

15

30.6%

2

4.1%

Totaal

30

61.1%

19

38.8%

Een aantal leerkrachten werkt niet met vaste methodes of is niet op de hoogte van het materiaal dat aangeboden wordt in de wiskundemethode (12.5%). 23 (32.3%) leerkrachten geven aan waarom ze niet tevreden zijn over het materiaal dat door de wiskundemethode aangeboden wordt. De reden waarvoor deze leerkrachten niet tevreden zijn varieert. Een deel van de ontevreden leerkrachten spreekt over een tekort aan beschikbaar materiaal (60.9%, n=14). Daarnaast is het niet altijd mogelijk om leerlingen het aangeboden materiaal zelf te laten gebruiken en manipuleren (13.0%, n=3). Sommige leerkrachten vinden dat er te eenzijdige voorstellingen gegeven worden (13.0%, n=3) of te abstracte voorstellingen (13.0%, n=3). Figuur zes geeft een overzicht van deze resultaten.

Redenen voor ontevredenheid van didactisch materiaal aangeboden door de methode te weinig materiaal 13%

zelf handelen is niet mogelijk

13% 13%

61%

te éénzijdig voorgesteld

te abstract voorgesteld FIGUUR 4: REDENEN VOOR DE ONTEVREDENHEID MET HET MATERIAAL AANGEBODEN DOOR DE METHODE


Naast het materiaal dat aangeboden wordt door de handleidingen, werken heel wat leerkrachten met zelfgemaakt materiaal (87.3%). 12.7% van de leerkrachten maakt geen gebruik van zelfgemaakt materiaal. Ook wordt door 67.6% van de leerkrachten aangegeven dat de school extra materiaal afzonderlijk aangekocht. Enerzijds wordt door een aantal leerkrachten (5.6%) concreet materiaal uit de leefwereld van de leerlingen aangekocht, zoals chocolade, taarten in plastiek, pizzastukken, appels, koeken, lolly’s, schoenveters en smeerkaasdozen. Dit kunnen zowel eetbare zaken zijn, als niet-eetbaar materiaal dat leerlingen kennen uit hun nabije omgeving. Anderzijds worden ook speciaal ontwikkelde materialen aangekocht. In tabel 6 volgt een overzicht van het materiaal dat aangekocht wordt voor de lessen breuken en het aantal leerkrachten dat dit vermeld. TABEL 6: OVERZICHT AANGEKOCHT MATERIAAL

Aangekocht materiaal

Aantal leerkrachten

Aantal leerkrachten

absolute frequentie

relatieve frequentie

Breukencirkels (klassikaal, individueel, magnetisch)

17

23.9%

Breukdoos (klassikaal en individueel)

8

11.3%

Breukstaven (klassikaal en individueel)

7

9.9%

Software breuken

5

7.0%

Breukenvierkanten

3

4.2%

Blokken

3

4.2%

Breukenspelletjes

2

2.8%

Lineaire breukenset

2

2.8%

Breukentafel

2

2.8%

Breukentabel

1

1.4%

Puzzels

1

1.4%

Magnetische breukenstroken

1

1.4%

Breukenkwartet

1

1.4%

Breukstokken

1

1.4%

Breukenstroken

1

1.4%

Breukentoren

1

1.4%

Breukenkoffer

1

1.4%

Breukendriehoeken

1

1.4%

Breukenkaart

1

1.4%

4.1.3 WIE GEBRUIKT HET MATERIAAL? De leerkrachten geven heel wat verschillende didactische materialen op die door de leerlingen zelf gebruikt worden. Het volgend didactisch materiaal wordt door leerlingen gebruikt: concrete materialen (appels, koeken, stiften, blokken, …) (32.4%), breukencirkels (28.2%), breukenstroken Masterproef – Onderzoeksresultaten 40

(26.8%), breukendozen (12.7%), breukenladder (9.9%), breukenstaven (9.9%), computersoftware (9.9%) en papier (9.9%). Er zijn vier leerkrachten (5.6%) die vermelden dat de leerlingen zelf niet met het materiaal te werk gaan. Daarnaast is er één leerkracht (1.4%) die geen gebruik maakt van vast materiaal, maar waarvan dit varieert van les tot les. Klassikaal maken de leerkrachten zelf ook heel wat gebruik van verschillende materialen. Breukencirkels (49.3%) worden het meest gebruikt gevolgd door concrete materialen (chocolade, koeken en andere zaken uit de leefwereld van de leerlingen) (25.3%), breukenstroken (23.9%), de klassikale breukendoos (12.7%), de breukenladder (11.3%), breukstaven (9.9%) en computersoftware (9.9%), het bord (8.5%) en tekeningen (7.0%). In tabel 7 volgt een overzicht van het didactisch materiaal dat door de leerlingen en de leerkracht gebruikt wordt in de lessen breuken. TABEL 7: DIDACTISCH MATERIAAL DAT DOOR DE LEERLINGEN EN LEERKRACHT GEBRUIKT WORDT IN DE LESSEN BREUKEN

Aantal

Aantal

leerlingen

leerkrachten

Concreet materiaal (appels, koeken, stiften, blokken, …)

23

32.4%

18

25.3%

Breukencirkels

20

28.2%

35

49.3%

Breukenstroken

19

26.8%

17

23.9%

Breukendozen

9

12.7%

9

12.7%

Breukenladder

7

9.9%

8

11.3%

Breukenstaven

7

9.9%

7

9.9%

Computersoftware

7

9.9%

7

9.9%

Papier

7

9.9%

5

7.0%

Breukentafel

6

8.5%

5

7.0%

Vierkante vormen

4

5.6%

4

5.6%

MAB-materiaal

4

5.6%

3

4.2%

Geen eigen materiaal

4

5.6%

0

0.0%

Tekeningen

3

4.2%

5

7.0%

Getallenas

3

4.2%

4

5.6%

Breukenstokjes

3

4.2%

4

5.6%

Breukenkaart (eigen stappenplan)

3

4.2%

4

5.6%

Lineaire breukenset

3

4.2%

3

4.2%

Smartboard

2

2.8%

3

4.2%

Bord

2

2.8%

6

8.5%

Breukendriehoeken

2

2.8%

2

2.8%

Breukenspel

2

2.8%

2

2.8%

Schrift

2

2.8%

1

1.4%


Breukentoren

1

1.4%

2

2.8%

Breukenmuur

1

1.4%

1

1.4%

Tegels speelplaats

1

1.4%

1

1.4%

Breukentrap

1

1.4%

1

1.4%

Breukenkoffer

1

1.4%

1

1.4%

Breukenkwartet

1

1.4%

0

0.0%

Geen vast materiaal

1

1.4%

0

0.0%

4.1.4 GROEPERING VAN DE KLAS De leerkracht kan de groep leerlingen op verschillende manieren indelen als didactisch materiaal gebruikt wordt. Door 50 leerkrachten (70.0%) wordt het materiaal vooral klassikaal gebruikt. Er zijn 10 leerkrachten (14.1%) die het materiaal gebruiken, door leerlingen in kleine groepjes te laten werken en 10 leerkrachten (14.1%) laten het materiaal vooral door de leerlingen individueel gebruiken. Eén leerkracht (1.4%) geeft aan dat de manier waarop het materiaal gebruikt wordt niet voorgetoond wordt aan de leerlingen; 69 leerkrachten (97.2%) daarentegen tonen voor aan de leerlingen hoe ze het materiaal moeten hanteren.

4.1.5 MOTIVATIE VAN DE LEERLINGEN Werken met materiaal wordt door 70 leerkrachten (98.6%) ervaren als motiverend voor de leerlingen. Eén leerkracht heeft deze vraag niet beantwoord (1.4%). De leerkrachten geven op verschillende manieren aan hoe ze aan de leerlingen merken dat het didactisch materiaal voor extra motivering zorgt. Volgens 29.6% (n=21) van de leerkrachten zorgt het gebruik van didactisch materiaal voor een sneller begrip en meer inzicht bij de leerlingen en heeft dit een motiverende invloed. Daarnaast zorgt het materiaal voor meer betrokkenheid (19.7%, n=14) en volgens 16 leerkrachten (22.5%) voor meer enthousiasme bij de leerlingen. Leerlingen zelf laten ontdekken en ervaren zorgt volgens 8.4% (n=6) van de leerkrachten voor meer motivatie. De leerkrachten geven ook aan dat leerlingen er ook zelf naar vragen en spontaan het materiaal bij de hand nemen als ze dit nodig vinden (8.4%, n=6). Tenslotte heeft 5.6% (n=4) van de leerkrachten aan dat de leerlingen langer geconcentreerd kunnen werken als er didactisch materiaal gebruikt wordt tijdens de lessen breuken. Volgens twee leerkrachten (2.8%) zorgt het materiaalgebruik ervoor dat breuken meteen gelinkt worden aan het gebruikte materiaal en 2.8% van de leerkrachten (n=2) geeft geen duidelijke verantwoording voor de hogere motivatie van de leerlingen.


verantwoording leerkrachten

Redenen voor de grotere motivatie van leerlingen bij het gebruik van didactisch materiaal Geen verantwoording Breuken meteen gelinkt aan het materiaal langer geconcentreerd Lln vragen er zelf naar, gebruiken het zelf Zelf ontdekken, zelf ervaren Betrokkenheid Enthousiaste en tevreden leerlingen Meer inzicht, sneller en beter begrip 0,0%

2,80% 2,80% 5,60% 8,50% 8,50%

19,70% 22,50% 29,6% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% 30,0% 35,0%

procent leerkrachten

FIGUUR 5: VERANTWOORDING VOOR DE GROTERE MOTIVATIE BIJ LEERLINGEN ALS DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKT WORDT


4.2

KWALITATIEVE ONDERZOEKSRESULTATEN

Uit de afgenomen interviews kunnen verschillende relevante onderwerpen afgeleid worden die hierna worden geduid. Deze onderwerpen werden gekozen vanuit de literatuurstudie, de resultaten die voortvloeiden uit het kwantitatieve onderzoek en de interviews zelf. Eerst en vooral wordt ingegaan op de modellen en het soort didactisch materiaal dat gebruikt wordt tijdens het breukenonderwijs. Er wordt stilgestaan bij de redenen die de respondenten aanhalen en hoe het materiaal gebruikt wordt. Daarnaast wordt de ontwikkeling doorheen de leerjaren weergegeven en wordt de tevredenheid van de wiskundemethode behandeld. De resultaten worden geïllustreerd met behulp van citaten uit de interviews.

4.2.1 OPPERVLAKTEMODELLEN , LENGTEMODELLEN EN SET MODELLEN VOOR DE BREUKLESSEN Alle leerkrachten vermelden tijdens de interviews het gebruik van verschillende modellen, afhankelijk van het leerjaar waar ze lesgeven, de handleiding die gebruikt wordt en de persoonlijke voorkeur van de leerkracht zelf. 4.2.1.1 O PPERVLAKTEMODELLEN Alle respondenten geven aan dat ze gebruik maken van oppervlaktemodellen. Hiervoor kunnen verschillende vlakke figuren en materialen gebruikt worden. TABEL 8: GEBRUIKTE OPPERVLAKTEMODELLEN PER LEERJAAR

2e lj

3e lj

4e lj

5e lj

6e lj

Totaal

2

3

3

4

3

15

1

2

2

2

1

8

0

0

2

0

0

2

1

1

1

0

0

3

1

2

1

2

1

7

1

2

0

1

1

5

1

1

0

0

1

3

Vierkant

2

1

1

0

0

4

Andere vlakke

1

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

2

Cirkelmodel Zelfgemaakt cirkelmodel Breukendoos leerlingen Eetbare cirkel Benoemd als taart of pizza Rechthoeken Blad papier

figuren MABmateriaal


Zoals blijkt uit tabel 8 worden verschillende oppervlaktemodellen gebruikt. De cirkel wordt door alle leerkrachten gebruikt. Acht respondenten geven aan dat ze zelf cirkelmodellen hebben gemaakt. Er wordt door twee respondenten gebruik gemaakt van breukendozen voor de leerlingen (zie figuur 8) die allerlei cirkelmodellen bevatten. In deze doos zitten taartstukjes die een verschillende grootte aannemen, ½, 1/3, ¼, ... Op het deksel van de doos kunnen de leerlingen de verschillende stukjes in een taartvorm leggen om op die manier een geheel te vormen.

FIGUUR 6: INDIVIDUELE BREUKENDOOS VOOR LEERLINGEN

Het cirkelmodel wordt door drie respondenten voorgesteld aan de hand van een eetbare cirkel. De leerkracht brengt dan een echte taart, een echte pizza of een echte pannenkoek mee naar de klas. Daarnaast benoemen zeven respondenten het cirkelmodel als een taart of een pizza. Leerkrachten maken dan gebruik van een cirkel, maar vertellen aan de leerlingen dat dit een pizza of een taart is die verdeeld moet worden in gelijke stukken. Naast het gebruik van cirkels worden ook nog andere vlakke figuren gebruikt. Vijf respondenten spreken over het gebruik van rechthoeken. Drie respondenten doen dit aan de hand van een blad papier dat verdeeld wordt in gelijke delen. Twee van deze respondenten vinden dat er met rechthoeken gemakkelijker verschillende verdelingen gemaakt kunnen worden dan met cirkels. Met de rechthoek heb je meer mogelijkheden om breuken te verdelen. Met een rechthoek kun je zeggen: “ ik verdeel hem in 10, in 20, in 100”, met een cirkel kun je dat niet natuurlijk. Het gaat wel, maar het is niet gemakkelijk. Vier respondenten geven aan dat ze vierkanten gebruiken om breuken aan te duiden. Eén respondent vermeldt daarnaast nog andere vlakke figuren: ruiten, trapezia, parallellogrammen en driehoeken. De leerkracht geeft aan dat verschillende figuren gebruikt kunnen worden, als ze maar gemakkelijk in gelijke delen verdeeld kunnen worden. MAB-materiaal wordt door twee respondenten gebruikt aan het begin van het vijfde leerjaar. Een andere respondent van het zesde leerjaar beschikt niet over MAB-materiaal maar mist dit ook niet tijdens de breuklessen. Wat ik wel niet gebruik of niet meer gebruik en wat andere leerkrachten misschien wel nog gebruiken zijn die MAB-materialen. … Ik vind dat vooral in een vijfde, in een derde graad is dat niet echt meer nodig. Dan kan je al andere zaken aangrijpen om iets duidelijk te maken. Masterproef – Onderzoeksresultaten 45

4.2.1.2 L ENGTEMODELLEN Lengtemodellen worden door alle respondenten gebruikt. Dit gebeurt onder verschillende vormen (zie Tabel 9). TABEL 9: GEBRUIKTE LENGTEMODELLEN PER LEERJAAR

2e lj

3e lj

4e lj

5e lj

6e lj

Totaal

Stroken

2

1

6

0

2

6

Breukenladder

0

0

3

4

2

9

Lijnstukken

0

2

0

1

0

3

Getallenlijn

0

0

1

0

1

2

Zes respondenten manipuleren stroken tijdens de breuklessen. De leerlingen mogen werken met de stroken en deze verdelen in gelijke delen. Er zijn drie respondenten die liever stroken gebruiken dan cirkels. Eén respondent maakt gebruik van stroken omdat ze hierdoor gemakkelijker een samenvattend overzicht aan het bord kan maken. Het gebruik van breukstroken lijkt op een schema dat in een aantal methodes aangeboden wordt (Kompas en Eurobasis). Er zijn negen respondenten die werken met een breukenladder (zie Figuur 9). De breukenladder is een poster of een visuele voorstelling in het werkboek. In de handleiding heb je ook nog de breukenladder. Het geheel staat vanboven en dan verdeeld in 1/2, 1/3, 1/4 en telkens zo… dat is zo een trap tot aan 1/10. Dan is hij verdeeld in 10 stukken onderaan, hetzelfde als een meter die verdeeld is in tien stukken. De breukenladder komt dan wel aan bord, ja.

FIGUUR 7: POSTER MET BREUKENLADDER AANGEBODEN DOOR DE HANDLEIDING


Eén respondent van het vijfde leerjaar bouwt de breukenladder op aan de hand van blokken. Deze breukenladder wordt niet gebruikt in het tweede en het derde leerjaar. De respondenten die lesgeven in het vierde en het vijfde leerjaar geven aan dat ze dit in de breuklessen gebruiken. De respondenten uit het zesde leerjaar die de breukenladder vermelden geven aan dat ze deze niet expliciet gebruiken. De breukenladder is volgens twee respondenten vooral een handig hulpmiddel voor het aanbrengen van gelijkwaardige breuken, breuken vergelijken en ordenen. Er kunnen ook lijnstukken gebruikt worden als lengtemodel. Eén respondent van het tweede leerjaar gebruikt dit niet tijdens de lessen aangezien dit nog te moeilijk is voor de leerlingen. Drie respondenten werken met lijnstukken in de breuklessen, maar duiden op de moeilijkheden die leerlingen kunnen ervaren bij de verdeling ervan. Het is belangrijk dat leerlingen de lijnstukken nauwkeurig meten vooraleer ze deze gaan onderverdelen. Zowel een respondent van het vijfde leerjaar, als twee respondenten van het derde leerjaar hebben hier aandacht voor. Tot slot wordt er door twee respondenten gesproken over een getallenlijn. Eén respondent van het vierde leerjaar heeft zelf een getallenlijn gemaakt die als spelvorm gebruikt kan worden. De leerlingen moeten kaartjes met breuken op de juiste plaats op de getallenlijn plaatsen. Dit kan gebruikt worden om de leerlingen extra oefeningen aan te bieden. Een respondent van het zesde leerjaar maakt gebruik van een getallenlijn met breuken, kommagetallen en procenten. 4.2.1.3

S ET MODELLEN

TABEL 10: GEBRUIKTE SET MODELLEN PER LEERJAAR

2e lj Set model Schrijfgerief

3e lj

4e lj

5e lj

6e lj

Totaal

2

3

3

2

2

12

1

2

1

0

1

5

0

2

1

0

1

4

1

2

1

1

0

3

0

0

1

1

0

2

0

1

1

1

1

4

leerlingen Materiaal van de leerlingen Eetbare set modellen Leefwereld leerlingen Afbeelding set model

Twaalf respondenten maken gebruik van set modellen tijdens de breuklessen. Verschillende voorwerpen kunnen hiervoor gebruikt worden, tabel 10 geeft hiervan een overzicht weer. Vijf leerkrachten gebruiken hiervoor schrijfgerei van de leerlingen. Vier leerkrachten benoemen dit in het algemeen als materiaal van de leerlingen zelf. Masterproef – Onderzoeksresultaten 47

Drie respondenten vermelden ook eetbare set modellen zoals koekjes, peren, snoepjes, appels. Twee respondenten spreken over materialen die herkenbaar zijn in de leefwereld van de leerlingen. Daarbij worden pokémonkaarten en voetbalstickers vermeld. Daarnaast worden nog andere materialen opgegeven door individuele respondenten die tijdens de breuklessen gebruikt kunnen worden: magneten, blokjes, knikkers, krijtjes, getalbeelden, rietjes, ronde schijfjes, potjes, eitjes, de bak chocomelk, muntstukken en penselen. Set modellen worden niet steeds voorgesteld aan de hand van concreet didactisch materiaal, maar vier respondenten stellen dit model voor aan de hand van afbeeldingen. Afbeeldingen van bolletjes, sterretjes, appels en andere interessante prentjes worden als voorbeeld gegeven.

4.2.2 SOORTEN DIDACTISCH MATERIAAL TIJDENS DE BREUKLESSEN Leerkrachten kunnen verschillende soorten materiaal gebruiken tijdens de lessen breuken. Er kan een onderscheid gemaakt worden tussen materiaal dat de leerlingen zelf moeten manipuleren, materiaal dat de leerlingen moeten verknippen en materiaal dat enkel gebruikt wordt om te visualiseren. Bij deze laatste kan er gedacht worden aan de poster waar de breukenladder op afgebeeld staat. De leerlingen moeten er zelf niet mee handelen. Lk4: Bij de breukendoos moeten ze het nog altijd zelf leggen. Bij de breukenladder is het werkelijk gewoon dat je het duidelijk ziet. Hierna volgt een overzicht van de voorwerpen uit het dagelijks leven, de manipulatives, de computerprogramma’s en de gezelschapspelen die gebruikt worden tijdens de breuklessen. 4.2.2.1 V OORWERPEN DAGELIJKS LEVEN Er zijn elf respondenten die tijdens de lessen gebruik maken van voorwerpen uit het dagelijks leven. De respondenten hebben verschillende benamingen voor voorwerpen uit het dagelijks leven, tabel 11 brengt een overzicht. Vier respondenten hebben het over concreet materiaal. Twee respondententen spreken over materialen uit het dagelijks leven. Ook concreet aanschouwelijk materiaal wordt vernoemd door één respondent. Voorwerpen uit het dagelijks leven worden ook echte materialen genoemd door twee respondenten. Er is één respondent die spreekt over reëel materiaal. Dit worden ook kleine materialen genoemd door twee respondenten en één respondent noemt dit dagdagelijkse materialen. TABEL 11: VERWOORDING VOORWERPEN DAGELIJKS LEVEN

Naam

Aantal respondenten

Concreet materiaal

4

Materialen uit het dagelijks leven

2

Echte materialen

2

Kleine materialen

2

Concreet aanschouwelijk materiaal

1

Reëel materiaal

1

Dagdagelijkse materialen

1 Masterproef – Onderzoeksresultaten 48

De manier waarop voorwerpen uit het dagelijks leven gebruikt worden door leerkrachten in de breuklessen wordt weergegeven per leerjaar. Leerkrachten uit het tweede leerjaar gebruiken tijdens de lessen heel wat voorwerpen uit het dagelijks leven. Eén leerkracht uit het tweede leerjaar gebruikt vooral materiaal dat gekend is bij de leerlingen zoals water, koeken en eitjes. Een andere leerkracht van het tweede leerjaar maakt een onderscheid tussen eetbare materialen (taart, chocolade en koekjes) en niet-eetbare materialen (kleurpotloden en magneten) en bouwt de breuklessen ook op die manier op. I: En je zegt van “de kleurpotloden dat is dan een stapje verder”, waarom? Lk 1: Omdat het niet eetbaar is, het spreekt minder aan omdat het niet eetbaar is. Ze verlangen eigenlijk om dat op te eten. In het derde leerjaar zijn er twee respondenten die het belangrijk vinden dat er nog met materiaal uit het dagelijks leven van de leerlingen gewerkt wordt. Er worden verschillende materialen vernoemd: magneten, legoblokjes en krijtjes. De derde leerkracht van het derde leerjaar gebruikt minder materiaal, maar eerder betekenisvolle situaties. Eén leerkracht uit het vierde leerjaar geeft aan dat ze het belangrijk vindt dat er gewerkt wordt met materialen uit het dagdagelijks leven. Daarbij wordt ook gebruik gemaakt van materialen van de leerlingen zelf (schrijfgerief, materiaal voor de knutselles, voetbalkaarten) en materialen die gekend zijn door de leerlingen (penselen, muntstukken, potjes). Twee andere respondenten die lesgeven in het vierde leerjaar gebruiken weinig of geen concreet materiaal. In mijn vierde leerjaar gebruik ik nu niet nog dat concrete materiaal. Ik ga niet meer werken met een appel, met snoepjes, met koekjes. Doordat eigenlijk de basis van de breuken al gezien is, in het tweede en het derde leerjaar. In het vijfde leerjaar geven vier respondenten aan dat er weinig met concreet materiaal gewerkt wordt. Eén leerkracht van het vijfde leerjaar maakt duidelijk dat zijn leerlingen geen behoefte hebben aan voorwerpen uit het dagelijks leven. Ze kennen dit al voldoende. In dit leerjaar wordt er eerder teruggegrepen naar tekeningen. Er worden nog een aantal materialen uit het dagelijks leven genoemd die uitzonderlijk gebruikt worden: chocolade, koekjes, snoepjes, muntjes, linten en balpennen. In het zesde leerjaar wordt door twee respondenten gebruik gemaakt van voorwerpen uit het dagelijks leven die aanwezig zijn in de klas als er nieuwe leerstof wordt aangebracht. Een andere leerkracht van het zesde leerjaar maakt geen gebruik van dagdagelijkse materialen tijdens de breuklessen. 4.2.2.2 M ANIPULATIVES Het gebruik van manipulatives verschilt van leerkracht tot leerkracht. Twee respondenten geven aan dat ze graag gebruik maken van aangekochte manipulatives. Twee andere respondenten maken duidelijk dat er liever gewerkt wordt met materiaal dat ze zelf gemaakt hebben. De meningen hierover zijn verdeeld.


Er worden verschillende voorbeelden van manipulatives genoemd door de respondenten tijdens de interviews (zie Tabel 12). TABEL 12: OVERZICHT MANIPULATIVES

Soort manipulatives

Aantal leerkrachten

Breukendoos

Voor leerlingen en voor leerkracht

2

Eigen vormen

Klassikaal gebruikt

5

Voor leerlingen

2

Kopieerbladen uit handleiding met vlakke figuren

3

Vormen enkel aan het bord getekend

2

Poster

6

Magnetische poster

1

Blokjes om breukenladder te bouwen

1

(bevat hulpmiddelen voor wiskunde, voor breuken is

1

Breukenladder

Rekenzak

dat de breukenladder MAB-materiaal Breukenwaslijn

2 Breuken, decimalen en percentages worden aan

1

elkaar gelinkt, op die manier wordt een getallenlijn opgebouwd Meter

1

Eerst en vooral wordt de breukendoos vermeld. Twee respondenten beschikken over breukendoosjes voor de leerlingen in het klein en een grote breukendoos voor de leerkracht. Eén respondent van het vijfde leerjaar beschikt over een grote breukendoos op school, maar vindt het niet nodig dat dit nog gebruikt wordt. Er zijn twee respondenten die expliciet vermelden dat ze geen breukendoos hebben op school. Naast de breukendoos maken leerkrachten ook eigen vormen. Deze worden door vijf respondenten klassikaal gebruikt (zie Figuur 10). Twee respondenten zorgen voor vlakke figuren die de leerlingen dan zelf kunnen verknippen (zie Figuur 11). Er zijn drie respondenten die gebruik maken van kopieerbladen die door de handleiding aangeboden worden en waarop verschillende vlakke figuren staan, die de leerlingen dan zelf kunnen knippen. Door twee respondenten worden geen figuren gemaakt, maar worden vormen enkel aan het bord getekend.


FIGUUR 8: VLAKKE FIGUREN VOOR KLASSIKAAL GEBRUIK

FIGUUR 9: VLAKKE FIGUREN DIE DOOR DE LEERLINGEN VERKNIPT WORDT

Een ander manipulative dat door verschillende respondenten genoemd wordt is de breukenladder. Zes respondenten beschikken over een poster, waar de breukenladder op afgebeeld staat. Eén respondent beschikt over een magnetische poster met de breukenladder. Eén leerkracht beschikt over blokjes waarmee de breukenladder opgebouwd wordt. Maar wij hebben dan ook een breukenladder, die zowel op het bord kan getekend worden of in het echt samen met de kinderen opgemaakt worden. Dan leggen we één geheel, dan nemen ze verschillende blokjes en dan leggen ze die, de helft ½ dat zijn dan twee blokjes enzoverder en zo bouwen we zelf de breukenladder op. (9.2) De rekenzak wordt in de klas geïntroduceerd door één respondent. In deze zak zitten verschillende vakjes met hulpmiddelen voor de leerlingen. Eén van deze hulpmiddelen bestaat uit een schema met de breukentafel. MAB-materiaal om de link tussen breuken, procenten en kommagetallen te duiden wordt in het begin van het vijfde leerjaar door twee respondenten gebruikt. Eén van deze twee respondenten beschikt over magnetisch MAB-materiaal op school. Twee respondenten vermelden cuisinaire staven. Deze zijn op de school aanwezig, maar worden niet gebruikt tijdens de breuklessen. Eén leerkracht reflecteert hierover en bedenkt dat dit in de toekomst misschien gebruikt kan worden. … die cuisinaire staafjes. Ik heb er al eens aan gedacht, maar ik denk dat ik het dan misschien wat moeilijker ga maken dan het eigenlijk is. … Maar misschien is dat niet slecht om dat eens te doen. Als kind herinner ik me altijd die doos met die mooie kleurtjes. Dus ja misschien onthouden ze het ook wel. Eventjes om zelf over na te denken of ik dat wel zou proberen of niet, maar tot nu toe heb ik het nog niet gebruikt. Er worden nog een aantal andere manipulatives vernoemd door individuele leerkrachten. Eén respondent gebruikt de meter om tijdens de lessen metend rekenen te verwijzen naar breuken. Er is één leerkracht die terugdenkt aan het breukenonderwijs dat ze zelf ervaren heeft. Toen werd er gebruik gemaakt van breukenstaafjes. Dit was voor haar erg duidelijk, ze beschikt er nu zelf niet over Masterproef – Onderzoeksresultaten 51

en mist dit tijdens de lessen. Eén leerkracht beschikt over een waslijn met een overzicht van breuken, procenten en kommagetallen (zie Figuur 12).

FIGUUR 10: WASLIJN MET BREUKEN, KOMMAGETALLEN EN PROCENTEN

4.2.2.3 C OMPUTER Twee respondenten geven aan dat ze geen computer gebruiken voor de breuklessen. Eén respondent vermeldt niets over computergebruik. De overige respondenten beschikken over programma’s of maken gebruik van websites met breukenoefeningen. TABEL 13: COMPUTERPROGRAMMA'S VOOR HET BREUKENONDERWIJS

Soort

Aantal leerkrachten

Websites

4

Programma’s aangeboden door

3

ICT-coördinator Aangekochte programma’s

Best leuk zo’n breuk

1

Breukenrom

1

Digikids

1

Maatwerk

3

Er zijn vier respondenten die websites gebruiken om breukenoefeningen aan te bieden. Eén respondent biedt deze websites aan op de online weblog, maar deze worden in de klas niet ingeoefend. Daarvoor beschikt de school over onvoldoende computers. Een andere respondent plaatst de websites ook op de weblog van de klas, maar dit wordt eerst in de klas uitgevoerd. De website ‘Rekenweb’ wordt vermeld door één respondent met het spel, ‘Kaas verdelen’. Er zijn drie respondenten die aangeven dat de ICT-coördinator een aantal programma’s op de computer geplaatst heeft, daartussen zitten ook oefeningen voor breuken. Eén respondent vermeldt het programma ‘Best leuk zo’n breuk’. Daarbij worden standaardoefeningen aan de leerlingen aangeboden, de snellere leerlingen komen vlugger naar een moeilijker niveau, maar alle leerlingen krijgen dezelfde oefeningen aangeboden. Eén respondent


vermeldt ‘Breukenrom’ en ‘Digikids’. Daarnaast wordt het programma ‘Maatwerk’ door drie respondenten vermeld. De leerlingen kunnen hiermee oefeningen op hun eigen niveau maken. 4.2.2.4 S PEL Eén respondent heeft zelf een aantal spelen gemaakt om breuken verder in te oefenen. Deze leerkracht heeft een memory gemaakt en een getallenlijn met kaartjes. Dit wordt niet vaak gebruikt, maar wordt soms eens bovengehaald om de leerstof verder in te oefenen. De andere respondenten vermelden geen gezelschapspelen die gebruikt worden tijdens de lessen breuken.

4.2.3 REDENEN TOT MATERIAALGEBRUIK Uit de interviews worden verschillende redenen aangegeven waarom didactisch materiaal een plaats krijgt in de klaspraktijk. Eerst en vooral biedt het de mogelijkheid om te differentiëren. Ook is het een middel om tot meer begrip te komen bij de leerlingen. Daarnaast zorgt het materiaal ervoor dat de les gevisualiseerd kan worden. Het kan zorgen voor meer betrokkenheid van de leerlingen. Bovendien brengt het gebruik van didactisch materiaal meer motivatie bij de leerlingen. Met materiaal kan de kennis van het dagelijks leven van de leerlingen aangesproken worden en tenslotte is het mogelijk om met behulp van didactisch materiaal de leerstof terug op te frissen Hierna volgt een overzicht (zie Tabel 14) en deze redenen worden verder toegelicht. TABEL 14: REDENEN VOOR HET GEBRUIK VAN DIDACTISCH MATERIAAL

Reden

Aantal leerkrachten

Differentiëren

15

Begrip van de leerlingen

12

visualisering

10

Betrokkenheid

6

Motivatie

5

Aanspreken kennis dagelijks leven

4

Heropfrissen leerstof

3

4.2.3.1 D IFFERENTIËREN Alle respondenten differentiëren indien dit nodig is. Twee respondenten hebben dit het huidig schooljaar nog niet moeten doen, vorig schooljaar heeft één van deze twee respondenten dit wel gedaan aangezien er toen leerlingen met rekenproblemen in de klas zaten. Twaalf respondenten gebruiken extra materiaal voor zwakke leerlingen of voor leerlingen die de leerstof niet begrijpen en laten sterke leerlingen sneller zonder materiaal werken. Eén respondent van het derde leerjaar beschikt over een aantal doosjes met breukencirkels. Deze worden naast klassikaal gebruik, ook gebruikt om te differentiëren. Leerlingen die de leerstof nog niet zo goed begrijpen kunnen hiermee aan de slag. Drie respondenten grijpen niet meteen terug naar het didactisch materiaal om te differentiëren. Deze respondenten gebruiken tekeningen of schematische voorstellingen vooraleer er met materiaal gewerkt wordt om te differentiëren. Masterproef – Onderzoeksresultaten 53

Je hebt de instructie gedaan met materiaal, dan met een tekening en dan gaan ze oefenen. Het gaat nog niet goed en dan grijp je eerst terug naar de tekening. Die tekening, het gaat ook nog niet zo goed, dan ga je nog een stap terug naar het materiaal. Maar in het vijfde is dat eigenlijk… De meeste kunnen dat eigenlijk al van in het vierde. Vier respondenten vermelden de zorgleerkracht. De zorgleerkracht beschikt over meer didactisch materiaal om samen met de leerlingen te remediëren. Drie respondenten zijn niet op de hoogte van het materiaal dat gebruikt wordt door de zorgleerkracht. 4.2.3.2 B EGRIP VAN DE LEERLINGEN Er zijn twaalf respondenten die aangeven dat didactisch materiaal gebruiken, kan zorgen voor meer begrip bij de leerlingen. Leerlingen begrijpen de leerstof beter als er met didactisch materiaal gewerkt wordt. Dit wordt door vier respondenten expliciet vermeld. Twee respondenten ervaren dat leerlingen de leerstof vlugger begrijpen als er materiaal gebruikt wordt. Twee respondenten geven aan dat ze met behulp van didactisch materiaal nagaan of de leerlingen de leerstof echt begrijpen. Ook het materiaal laat zien of ze het begrijpen of niet. Als je zegt aan de kinderen leg eens 2/3 en ze leggen 2/5 dan zie je ook, oei, ze begrijpen het niet. Volgens vier respondenten wordt de leerstof beter onthouden door de leerlingen als er met materiaal gewerkt wordt, dit is mogelijk doordat leerlingen zelf met het materiaal mogen handelen. Drie respondenten merken op dat de leerlingen vlot oefeningen kunnen maken en volgens één van deze respondenten maken leerlingen minder fouten als er materiaal wordt gebruikt. Twee respondenten vinden dat materiaal gebruikt wordt om ervoor te zorgen dat de leerlingen een transfer kunnen maken van het geleerde en dit zelf kunnen toepassen in oefeningen. Er zijn drie respondenten die merken dat leerlingen meer inzicht krijgen in de redenen waarom ze breuken moeten kennen. … ze moeten toch eigenlijk weten van waarom heb ik dat nu nodig, dus is het belangrijk dat je met die groepjes gaat werken en dat ze veel concreet kunnen handelen en inzien: “Waarom moet ik dat nu eigenlijk kunnen, wat is daar zo belangrijk aan?” Daarnaast zijn er twee leerkrachten die aangeven dat het materiaal er ook voor kan zorgen dat de inhoud van de les duidelijker is voor de leerlingen. 4.2.3.3 V ISUALISERING Visualisering is een belangrijke reden voor leerkrachten om didactisch materiaal te gebruiken. Er zijn tien respondenten die aangeven dat het belangrijk is dat leerlingen breuken visueel kunnen voorstellen. … zodanig dat leerlingen een beeld vormen van een breuk. Dat breuken niet zomaar iets zijn als ½, wat is dat? Dat ze zich kunnen voorstellen, wat is dat eigenlijk ½. En als dat in hun hoofd zit, dan ben je eigenlijk vertrokken met elke leerling, is het nu optellen, aftrekken, vermenigvuldigen van breuken, wat nog allemaal. Ze moeten het zich visueel kunnen voorstellen en dat moet eigenlijk in hun hoofd zitten.


Dit voorstellen wordt niet door alle respondenten enkel met didactisch materiaal gedaan. De respondenten gebruiken niet alleen materiaal als visualisering, ook tekeningen kunnen ervoor zorgen dat de leerlingen zich een beeld kunnen vormen van een breuk. Vier respondenten geven aan dat visueel werken belangrijk is in het begin, om dan over te gaan naar abstractere manieren van werken. 4.2.3.4 B ETROKKENHEID Drie respondenten geven aan dat het werken met didactisch materiaal kan zorgen voor meer aandacht, meer betrokkenheid of meer concentratie. Drie leerkrachten geven aan dat de hogere betrokkenheid te verklaren is doordat de leerlingen zelf aan de slag zijn. Ze moeten zelf iets doen, waardoor ze actief betrokken worden bij de les. Maar als je ziet dat ze daar met materiaal, met iets in hun handen, met een meter of met een lint of met een touw bezig zijn of aan het knippen zijn of aan het plakken zijn, dan zie je dat ze daar eigenlijk veel betrokkener mee bezig zijn. Ze praten daarover ook in hun groepje, want meestal mogen ze dat dan in groep doen. Dan wordt er daarover gediscussieerd, van nee dat is zo, nee dat is zo. Of dan roepen ze u, dan weet je dat ze daar eigenlijk over nadenken. Eén respondent van het tweede leerjaar vermeldt dat leerlingen van het tweede leerjaar snel afgeleid zijn. Om dit te vermijden werkt zij vooral klassikaal met materiaal, waarbij alle leerlingen om de beurt een opdracht mogen uitvoeren. Dit is mogelijk doordat ze lesgeeft aan een kleine klas en de leerlingen niet lang op hun beurt moeten wachten. 4.2.3.5 M OTIVATIE Twee respondenten vermelden uitdrukkelijk dat leerlingen meer gemotiveerd zijn als er met didactisch materiaal gewerkt wordt. Misschien een beetje voor de motivatie ook, als de motivatie er niet is ga je ze ook niets kunnen leren. Eén respondent uit het tweede leerjaar wil duidelijk met het didactisch materiaal dat gebruikt wordt de interesse van de leerlingen opwekken. Eén respondent geeft aan dat didactisch materiaal zorgt voor meer afwisseling tijdens de breukles, waardoor leerlingen meer gemotiveerd zijn. Het gebruik van computerspelletjes in de breuklessen kan volgens één leerkracht ook voor deze afwisseling zorgen en de leerlingen op die manier meer uitdagen. 4.2.3.6 A ANSPREKEN KENNIS DAGELIJKS LEVEN Leerkrachten kunnen voorwerpen uit het dagelijks leven van leerlingen gebruiken (zie 4.2.2 Soorten didactisch materiaal tijdens de breuklessen). Dit materiaal kan ook expliciet gebruikt worden om de kennis van het dagelijks leven bij leerlingen aan te spreken. Vier respondenten gebruiken dagdagelijkse situaties om breuken te kaderen. Hiervoor kunnen zowel voorwerpen uit het dagelijks leven gebruikt worden (vb. tablet chocolade) als manipulatives (breukencirkel die voorgesteld wordt als taart). Door gebruik te maken van deze situaties streven leerkrachten ernaar om duidelijk te maken aan de leerlingen waarom breuken gebruikt worden. Masterproef – Onderzoeksresultaten 55

Door met dat materiaal te werken, leren ze van “kijk, breuken dat wordt eigenlijk ook in het dagelijks leven gebruikt”. 4.2.3.7 H EROPFRISSEN VAN DE LEERSTOF Twee respondenten geven aan dat ze de leerstof van het vorig schooljaar terug opfrissen met behulp van didactisch materiaal. Het materiaal wordt daardoor meer in het begin van het schooljaar gebruikt tijdens de herhalingsperiode van het vorig schooljaar. I: Waarom gebruik je in het begin van het schooljaar wel nog die echte materialen? Lk 5: Omdat ze in het begin van het schooljaar heel wat jonger zijn. De kinderen moeten opnieuw de heropfrissing hebben van de leerstof van het tweede leerjaar. Eén respondent van het vijfde leerjaar grijpt terug naar didactisch materiaal om vorige leerstof terug op te frissen die belangrijk is bij de aanbreng van nieuwe leerstof. Eén respondent vindt het belangrijk om kort te herhalen met behulp van didactisch materiaal om op die manier een kapstok aan te bieden voor de leerlingen.

4.2.4 HOE WORDT MATERIAAL GEBRUIKT Didactisch materiaal kan op verschillende manieren gebruikt worden. De klasorganisatie en de persoon die het materiaal hanteert hebben hier een invloed. De manier waarop het materiaal gebruikt wordt door de respondenten wordt hierna verduidelijkt. 4.2.4.1 K LASORGANISATIE De leerkracht kan didactisch materiaal op verschillende manieren gebruiken. Het materiaal kan klassikaal gebruikt worden, een leerling kan er individueel mee aan de slag of er kan in groepjes mee gewerkt worden. Afhankelijk van de doelstelling die de leerkracht voorop stelt, de mogelijkheden in de klas en de leerstof zal de leerkracht een keuze maken over de klasorganisatie. Klassikaal werken Elke respondent vermeldt dat er wel eens klassikaal gewerkt wordt met didactisch materiaal. De klasopstelling kan hierbij verschillen. Vier respondenten geven aan dat de banken van de leerlingen in groepjes opgesteld staan in de klas. In zeven andere klassen zijn de banken frontaal gericht en zitten de leerlingen naast elkaar per twee. De overige respondenten doen hier geen uitspraak over. Klassikaal werken zorgt voor een beter overzicht over de leerlingen, zodat je weet wie de leerstof begrijpt en wie niet, volgens twee respondenten. Vier respondenten vermelden expliciet dat ze materiaal gebruiken tijdens de klassikale instructiemomenten. Klassikaal werken kan betekenen dat de leerkracht aan het bord staat en vooraan uitleg geeft, vijf respondenten werken op die manier. Eén respondent gebruikt hiervoor het smartboard. De leerkrachten geven aan dat er tijdens deze instructiemomenten niet alleen met didactisch materiaal gewerkt wordt, maar dat er ook aan het bord getekend kan worden. Zeven respondenten werken met behulp van een demotafel, ook wel instructietafel genoemd. De leerkracht gaat samen met de leerlingen rond een tafel zitten en het didactisch materiaal wordt


gemanipuleerd. Drie leerkrachten werken graag op deze manier aangezien ze een kleine klas hebben, waardoor de instructietafel voor iedereen zichtbaar is. Ja, meestal staan er vier banken apart en zitten er drie kinderen, zit ik ook nog neer en staat de rest daar mooi zo rond de kanten. En nog een tweetal leerlingen achter iemand die neer zit of zo. Zodat ze eigenlijk allemaal goed zicht hebben en elk om beurt mogen ze iets doen. Eén respondent vindt het belangrijk dat het gebruikte didactisch materiaal groot genoeg is om klassikaal te kunnen werken. Daarom heeft deze leerkracht zelf materiaal gemaakt, zodat de gebruikte manipulatives voldoende groot zijn. Leerlingen individueel werken TABEL 15: INDIVIDUEEL WERKEN IN HET BREUKENONDERWIJS

2e lj Individueel

3e lj

4e lj

5e lj

6e lj

Totaal

Ja

0

3

3

4

3

13

Nee

2

0

0

0

0

2

werken

Beide respondenten van het tweede leerjaar werken nooit individueel. Dit neemt te veel tijd in beslag volgens de ene respondent. De andere respondenten werken wel individueel (zie Tabel 15). Maar daarvoor wordt niet altijd materiaal gebruikt. Eén respondent gebruikt hiervoor het syntheseschrift, het werkschrift, de getallenlijn en een overzicht met de regeltjes als hulpmiddel voor de leerlingen als ze individueel aan het werk gaan. Vier respondenten beschikken over materiaal voor leerlingen die nog problemen hebben, zoals breukendoosjes, breukencirkels of MAB-materiaal. Als er individueel gewerkt wordt, mogen deze kinderen extra materiaal nemen. Twee respondenten spreken hierbij over de breukenladder en de breukendoos. De breukenladder kan slechts individueel gebruikt worden na een klassikale uitleg volgens deze twee respondenten van het vierde leerjaar. Zij vinden dit noodzakelijk aangezien er een systeem schuilt achter het gebruik van de breukenladder. Het is noodzakelijk dat de leerkracht dit duidt aan de leerlingen, vooraleer ze zelf aan het werk gaan. Eén van deze twee respondenten vindt het niet nodig dat een klassikale uitleg gegeven wordt bij het gebruik van de breukendoos. Eén respondent maakt gebruik van materiaal om de leerlingen die reeds klassikaal alles begrijpen individueel aan de slag te laten gaan. Met de andere leerlingen werkt de leerkracht dan verder in een groepje. Wat ik ook vaak doe is de kinderen die het snel mee hebben laten alleen werken op hun tafel en kinderen die zeggen van “ik snap het nog niet zo goed” of “ik worstel er nog mee”, die komen nog eens kijken bij mij, dat doe ik ook heel vaak.


Deze leerkracht beschikt ook over een boekje met opdrachtenkaarten dat aangeboden wordt door de handleiding. Dit boekje bevat aanvullende oefeningen, waaronder oefenmateriaal voor breuken. De leerlingen kunnen dit individueel oplossen en verbeteren met behulp van de verbeterkaart. Drie respondenten gaan kijken bij de leerlingen zelf als die individueel aan het werk zijn. Indien ze merken dat bepaalde leerlingen moeite hebben met de leerstof, dan wordt dit kort nog eens uitgelegd met materialen van de leerlingen zelf, zoals balpennen of stiften. Groepswerk TABEL 16: GROEPSWERK IN HET BREUKENONDERWIJS

2e lj Groepswerk

3e lj

4e lj

5e lj

6e lj

Totaal

2

3

3

4

3

15

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

2

0

0

2

0

0

2

0

1

0

0

0

1

0

2

1

2

1

6

Vier leerlingen

0

0

0

2

0

2

Geen grootte

2

1

2

0

2

7

Liever klassikaal Groepje voor extra uitleg Groepje met materiaal extra uitleg Gebruik van kleine materialen Grootte van de groepjes Twee leerlingen

meegedeeld

Alle respondenten werken met groepjes tijdens de breuklessen (zie Tabel 16). Niet alle leerkrachten doen dit even vaak. Eén respondent van het derde leerjaar werkt liever klassikaal met de leerlingen omdat ze hierdoor meer overzicht heeft over de klas. Twee respondenten werken weinig in groepjes tenzij een groepje extra uitleg nodig heeft. Andere leerkrachten gebruiken ook materiaal om een groepje leerlingen extra uitleg te geven met materiaal.


Eén respondent vindt het belangrijk dat er kleine materialen aanwezig zijn waar de leerlingen in groep mee aan de slag kunnen. Deze leerkracht gebruikt breukendoosjes waarmee er in groepjes gewerkt wordt. Twee respondenten vinden het belangrijk dat leerlingen ook eens de kans krijgen om in groepjes te werken aangezien ze dan zelf meer moeten nadenken. De discussie die gevoerd wordt tijdens het groepswerk is belangrijk volgens twee respondenten. I: En wat is het voordeel dat ze dat in een groepje doen? Lk 12: … Het gesprek errond dat ze samen voeren, die gesprekken zijn eigenlijk echt wel goud waard. ‘Ja jij doet dat zo?’ ‘Waarom doe je dat zo?’ ‘Wel weet je het niet…’ En zo helpen ze elkaar en lukt dat eigenlijk. Het gesprek errond is eigenlijk het belangrijkste van de opdracht. Zes respondenten vormen groepjes van twee leerlingen als ze met materiaal werken. Twee respondenten letten er op dat een sterke en een zwakke leerling kunnen samenwerken tijdens het groepswerk. Op die manier kunnen leerlingen het aan elkaar uitleggen. Twee respondenten vermelden dat de leerlingen per twee moeten werken aangezien er onvoldoende materiaal aanwezig is op school voor alle leerlingen (zie Tabel 16). Twee andere respondenten werken eerder in groepjes van vier leerlingen. Eén leerkracht doet dit op die manier omdat de banken zo geplaatst zijn. 4.2.4.2 W IE BRENGT MATERIAAL AAN EN WIE GEBRUIKT HET MATERIAAL De leerkracht en de leerlingen spelen een rol in de dagelijkse klaspraktijk. De manier waarop materiaal gebruikt wordt door beide partijen en wie er materiaal aanbrengt wordt duidelijk weergegeven in tabel 17. TABEL 17: SAMENWERKING TUSSEN LEERKRACHT EN LEERLINGEN VOOR WAT BETREFT MATERIAAL

Wat

Aantal leerkrachten

Aanbreng van materiaal door leerkracht

15

Leerlingen brengen geen materiaal aan

12

Aanbreng van materiaal door leerlingen

2

Geen uitspraak over de aanbreng van leerlingen

1

Materiaal door de leerkracht meegebracht van thuis

2

Materiaal van de leerlingen gebruikt

4

Eigen materiaal maken

11

Geen eigen materiaal

4


Leerkracht stuurt sterk bij de aanbreng van materiaal

4

Leerkracht en leerlingen gaan samen op zoek naar de manier waarop

4

materiaal gehanteerd wordt. Leerlingen moeten zelf ontdekken

3

Sturing afhankelijk van het soort materiaal dat aangebracht wordt

2

Nog geen nieuw materiaal aangebracht

2

Leerlingen mogen zelf werken met materiaal

10

Leerlingen werken sporadisch met het materiaal

1

Leerlingen werken niet meer met materiaal, maar ze mogen tekenen

2

Geen uitspraak

2

Leerlingen nemen zelf materiaal indien ze dit nodig hebben

7

Leerlingen en leerkracht beslissen samen wie materiaal nodig heeft en

4

wie niet. Geen uitspraak

4

Materiaal dat gebruikt wordt in de klas wordt door de leerkracht aangebracht. Twaalf respondenten geven aan dat de leerlingen uit zichzelf geen materiaal aanbrengen tijdens de les. Eén leerkracht vermeldt dat leerlingen soms spontaan een lat nemen als ze moeten gaan meten, maar leerlingen brengen zelf geen materiaal aan. Een andere leerkracht zegt dat het wel eens gebeurt dat leerlingen een andere voorstelling geven voor de breuken. Eén respondent doet hierover geen uitspraak. De materialen die over het algemeen in de klas gebruikt worden, brengt de leerkracht steeds zelf aan. Twee respondenten brengen materiaal mee van thuis dat gebruikt wordt tijdens de breuklessen. Vier respondenten geven aan dat er materialen van de leerlingen zelf gebruikt worden, zoals balpennen, stiften, kleurpotloden en knutselmateriaal. Door elf respondenten wordt er eigen materiaal gemaakt voor de breuklessen. Dit kan zowel materiaal zijn dat door de leerkracht gebruikt wordt of materiaal dat door de leerlingen gemanipuleerd wordt. Daarnaast worden ook posters gemaakt door de leerkrachten waarop de leerstof voor de leerlingen verduidelijkt wordt. Uit de antwoorden van de respondenten blijkt dat er niet voor elke les materiaal gemaakt wordt, maar dat dit sporadisch gebeurt. De overige vier respondenten geven aan dat ze geen eigen materiaal maken omdat er eerder met tekeningen gewerkt wordt, omdat er verwacht wordt van de leerlingen in het zesde leerjaar dat ze het al zelf kunnen of omdat er enkel bestaand materiaal gebruikt wordt. Eén leerkracht geeft geen verklaring hiervoor. De aanbreng van nieuw materiaal kan op meer of mindere mate gestuurd worden door de leerkracht. Drie respondenten hebben nog geen nieuw didactisch materiaal aangebracht, het Masterproef – Onderzoeksresultaten 60

materiaal werd de vorige leerjaren reeds geïntroduceerd. Vier respondenten geven aan dat ze zelf sterk gaan sturen bij de aanbreng van nieuw didactisch materiaal. Daarnaast geven vier respondenten aan dat er samen met de leerlingen gezocht wordt naar de manier waarop de materialen gehanteerd kunnen worden. Voor drie leerkrachten is het belangrijk dat de leerlingen zelf kunnen zoeken en ontdekken op welke manier het materiaal gebruikt kan worden. Er zijn twee leerkrachten die aangeven dat de hoeveelheid sturing van de leerkracht afhankelijk is van het soort materiaal dat aangebracht wordt. De breukenladder is een voorbeeld van didactisch materiaal dat door twee respondenten vernoemd wordt als didactisch materiaal dat meer uitleg van de leerkracht vraagt. Sommige materialen vragen voor meer uitleg en geleidelijk aan aanbrengen en andere vragen weinig uitleg en gewoon doen. Er zijn tien respondenten die expliciet vermelden dat leerlingen zelf iets mogen doen met het aangeboden materiaal tijdens de breuklessen en dat ze ook moeten weten op welke manier ze het materiaal zelf moeten gebruiken. Eén respondent vermeldt dat leerlingen slechts sporadisch zelf aan de slag gaan met materiaal. Daarnaast is er ook één respondent van het vijfde leerjaar en één respondent van het zesde leerjaar die zegt dat de leerlingen niet meer met materiaal werken, maar dat ze zelf ook mogen tekenen. Bij zeven respondenten in de klas is het mogelijk dat leerlingen zelf materiaal nemen indien ze dit nodig hebben. Door vier respondenten wordt aangegeven dat het soms de leerkrachten zelf zijn die beslissen om materiaal te gebruiken, maar dat leerlingen hier ook inspraak bij hebben. De kinderen waarvan ik weet dat ze het nodig hebben krijgen zowiezo een breukendoos en de kinderen waarvan ik denk ze gaan het wel kunnen, die krijgen dan de keuze.

4.2.5 ONTWIKKELING VAN HET BREUKENCONCEPT De respondenten vermelden op welke manier het breukenconcept ontwikkelt over de leerjaren heen. Daarnaast heeft de ontwikkeling van het breukenconcept ook een invloed op de manier waarop het materiaal gehanteerd wordt tijdens de lessen en doorheen het schooljaar. 4.2.5.1 V ERANDERINGEN IN MATERIAALGEBRUIK OVER DE LEERJAREN HEEN De respondenten gebruiken verschillend materiaal afhankelijk van het leerjaar waar ze lesgeven. In het tweede leerjaar geven beide respondenten aan dat ze gebruik maken van concreet dagdagelijks materiaal en manipulatives. Beide respondenten doen dit echter op hun eigen manier. De ene respondent gebruikt zowel dagdagelijkse materialen als manipulatives in eenzelfde les. Elke les start met concreet materiaal, waarmee de les gekaderd wordt. Dan gaan leerlingen werken met stroken en vlakke figuren om dan te eindigen met oefeningen in het werkboek. Deze respondent gebruikt elke les dezelfde opbouw en de leerlingen herkennen deze manier van werken. Eens de leerlingen de verschillende stappen kennen wordt er sneller gewerkt en wordt de verwoording belangrijker. Hetzelfde materiaal wordt gebruikt. Maar het zijn wel dezelfde stappen die telkens terugkomen. … Dan gaan ze direct de link leggen van “ah eerst gaan we met materiaal bezig zijn en dan is het weer tijd voor de figuurtjes en de stroken ah en dan gaan we mogen kleuren”. Zo die structuur dat hebben ze wel nodig, de kinderen. Masterproef – Onderzoeksresultaten 61

De andere respondent gebruikt één soort materiaal tijdens één les en bouwt een evolutie doorheen de lessen. De eerste lessen wordt er gestart met eetbaar materiaal, dan niet eetbaar materiaal, daarna mogen leerlingen een les met stroken werken om dan één van de laatste lessen breuken in het tweede leerjaar te werken met geprojecteerde figuren aan het bord. Deze respondent maakt voor breuken geen oefeningen in het werkboek. Beide respondenten geven aan dat er in het tweede leerjaar een aanloop tot breuken gegeven wordt. In het derde leerjaar wordt door drie respondenten op een verschillende manier gewerkt. Twee respondenten vermelden dat er van concreet, naar schematisch, naar abstract gewerkt wordt. Dus dat ze eigenlijk, als je begint met concreet, dan geeft je ze echt materiaal en laat je ze echt leggen en doen. Dan ga je naar schematisch. Concreet, schematisch, abstract, het is zo. Dus dan ga je naar een schema en dat is dan bijvoorbeeld, teken een lijnstuk en neem daar nu eens 2/4 van. … Dus dat is eigenlijk met een tekening werken, met een schema werken en dan ga je naar abstract en dat is bijvoorbeeld, neem 2/5 van 16. Dus dan hebben ze niets meer om naar te kijken, geen tekening, maar moeten ze van een getal, dus kunnen delen door de noemer en maal de teller doen. Dus die opbouw wordt gebruikt een beetje. De ene respondent in het derde leerjaar werkt eerder concreet en schematisch met behulp van allerlei voorwerpen uit de klas en tekeningen. Het abstracte komt bij deze respondent niet aan bod in het derde leerjaar. Dit tegenover een andere respondent die slechts concreet materiaal in het begin van het schooljaar gebruikt en snel overgaat naar praktische oefeningen zonder materialen. De derde respondent van het derde leerjaar vermeldt dat er gestart wordt met cirkelmodellen, dan rechthoeken, dan sterretjes of cirkeltjes en als laatste worden lijnen gebruikt. Lijnen worden ook door de methode meer op het einde van een les gebruikt, want dat is moeilijker volgens de respondent. Respondenten in het vierde leerjaar geven aan dat er al minder concreet gewerkt wordt maar meer visueel voorgesteld of abstract. In mijn vierde leerjaar gebruik ik nu niet nog dat concrete materiaal. Ik ga niet meer werken met een appel, met snoepjes, met koekjes. Doordat eigenlijk de basis van de breuken al gezien is, in het tweede en het derde leerjaar. Dus dat zou er eigenlijk al moeten inzitten. De drie respondenten maken gebruik van de breukenladder en twee ervan gebruiken ook de breukendoosjes voor de leerlingen. Er wordt minder met echt materiaal gewerkt, maar meer visueel voorgesteld aan het bord en met behulp van tekeningen. Eén respondent geeft aan dat er bij extra uitleg opnieuw zo concreet mogelijk gewerkt wordt met de leerlingen. De methode die gebruikt wordt door één respondent vermeldt nog steeds het concreet werken, dan het schematisch en dan abstract. De respondent volgt de handleiding hier niet in en werkt meteen schematisch met behulp van de breukendoos en de breukenladder. In het vijfde leerjaar wordt er van de leerlingen verwacht dat ze toch al wat kennen van breuken. Voor mij is het vooral belangrijk dat de kinderen zich de breuk visueel kunnen voorstellen en daardoor dan eigenlijk de oefeningen kunnen maken want in het vijfde leerjaar zijn de breuken eigenlijk al een tijdje aangebracht dus we veronderstellen dat dat al gekend is. Masterproef – Onderzoeksresultaten 62

Volgens één respondent kunnen leerlingen al een eigen voorstelling maken van wat een breuk is en is het dus niet meer nodig om echt met blokken een breuk voor te stellen. Een andere respondent geeft aan dat er verwacht wordt dat breuken voor leerlingen een automatisme worden. Drie respondenten maken gebruik van de breukenladder om breuken voor te stellen. Twee daarvan gebruiken die enkel in het begin van het schooljaar. Er wordt schematisch gewerkt met behulp van tekeningen door de vier respondenten van het vijfde leerjaar. Eén respondent gebruikt de tekeningen ook minder naar het eind van het vijfde leerjaar. Twee respondenten maken eerst gebruik van tekeningen als een leerling iets niet begrijpt vooraleer er opnieuw met echt materiaal gewerkt wordt. In het vijfde leerjaar wordt abstracter gewerkt. De drie respondenten van het zesde leerjaar verwachten dat de leerlingen reeds abstract kunnen werken. Concreet materiaal wordt niet meer gebruikt in het zesde. De leerlingen moeten zelfstandig kunnen werken, daarbij kunnen ze gebruik maken van tekeningen of regelkaartjes. Eén leerkracht bereidt de leerlingen voor op de overgang naar het middelbaar, waar er ook van de leerlingen verwacht wordt dat ze abstract of met schematische voorstellingen kunnen werken. In het zesde leerjaar wordt er vooral van de leerlingen verwacht dat ze de leerstof kunnen inoefenen en zelfstandig kunnen werken. En zeker ik zeg het nog eens, het is een zesde leerjaar, ze moeten zelfstandig worden, ze moeten hun plan leren trekken en ze moeten zelf oplossingen zoeken of vragen aan hun buur: “gaan we het samen oplossen, omdat we er niet uit geraken?”. 4.2.5.2 W ANNEER WORDT DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKT Tijdens de lessen TABEL 18: WANNEER WORDT DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKT TIJDENS DE LESSEN

2e lj

3e lj

4e lj

5e lj

6e lj

Totaal

Volledige les

2

1

2

0

0

5

Aan het begin van de

0

1

1

1

0

3

0

0

0

2

2

4

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

les Aanbreng nieuwe leerstof Zelden materiaal bij aanbreng Geen materiaal bij aanbreng.

Didactisch materiaal wordt door vijf leerkrachten een volledige les gebruikt: twee respondenten van het tweede leerjaar, één respondent van het derde leerjaar en twee respondenten van het vierde leerjaar. Het materiaal wordt daarom niet door alle leerlingen gebruikt. De leerkrachten van het derde en het vierde leerjaar geven aan dat er gewerkt wordt met een klassikale instructie om daarna Masterproef – Onderzoeksresultaten 63

de leerstof in te oefenen. Tijdens deze inoefening mogen leerlingen dan nog materialen gebruiken indien ze dit nodig hebben. I: Wanneer maak je in een breukenles gebruik van didactisch materiaal? Lk7: Vooral in instructiemomenten gebruik ik dat klassikaal. En dan als de kinderen aan het werk zijn, hebben ze de keuze van kijk doe je het zonder materiaal dan doen ze het zonder. Zeg je van ik heb er nog een beetje steun aan, dan kunnen ze dat gebruiken nog tijdens het individueel werk of tijdens het begeleiden van een groepje dan bij mij. Drie respondenten gebruiken didactisch materiaal aan het begin van de les tijdens een instructiemoment. Vier respondenten gebruiken het materiaal voor de breuklessen bij de aanbreng van nieuwe leerstof. In het derde leerjaar gebruikt één respondent zelden materiaal bij de aanbreng van nieuwe leerstof. De respondenten gebruiken soms blokjes indien een leerling de leerstof niet meteen begrijpt, maar dit komt niet veel voor. Eén leerkracht van het zesde leerjaar gebruikt geen materiaal bij de aanbreng, maar haalt het enkel boven indien een leerling iets niet begrijpt. Eén respondent van het tweede leerjaar gebruikt tijdens één les verschillende soorten materiaal en bouwt op die manier haar les op. Ze start met het verdelen van verschillende concrete zaken (eitjes, water, lint) om dan over te gaan naar papieren figuren die verdeeld worden door de leerlingen. Andere respondenten geven aan dat er verschillende modellen gebruikt worden tijdens één les zoals cirkels, stroken, voorwerpen. Een andere respondent van het tweede leerjaar maakt enkel gebruik van één soort materiaal gedurende één les. Doorheen het schooljaar Didactisch materiaal voor het breukenonderwijs wordt niet het volledig schooljaar op dezelfde manier gehanteerd. Vier respondenten gebruiken didactisch materiaal vooral aan het begin van het schooljaar, maar dit neemt af naar het eind van het schooljaar. Twee respondenten vermelden materiaalgebruik tijdens de herhalingsperiode van het vorig schooljaar in het begin van het nieuwe schooljaar. I: Wanneer wordt dat MAB-materiaal gebruikt? A: Vooral in het begin van het jaar. Als we bij het aanbrengen: “dit betekent 1/100, het kan er 10 keer in, het kan er 100 keer in. 1/100, we kunnen dat ook zo voorstellen”. Vooral in het begin van het jaar. Dat is niet echt het aanbrengen want ze kennen de kommagetallen al, maar zo die herhaalde aanbreng zogezegd, die beginfase in het jaar. Eén respondent van het tweede leerjaar start met de breuklessen vanaf het tweede trimester. Deze lessen komen nog niet aan bod in het begin van het schooljaar. Bij de aanbreng van nieuwe leerstof wordt door vijf respondenten gebruik gemaakt van materiaal. Dit materiaalgebruik neemt af naarmate de leerlingen verder gevorderd zijn in het leerproces.


Een computerprogramma voor breuken wordt door vier respondenten gebruikt tijdens een contractwerk of een hoekenwerk. Twee leerkrachten gebruiken deze computerprogramma’s voor vlugge leerlingen die tijd over hebben.

4.2.6 INVLOED VAN DE WISKUNDEMETHODE De geïnterviewde leerkrachten maakten gebruik van verschillende wiskundemethoden (zie Tabel 19). TABEL 19: GEBRUIKTE METHODES DOOR DE GEÏNTERVIEWDE LEERKRACHTEN

Methode

Aantal leerkrachten

Kompas

6

Eurobasis

3

Nieuwe Tal-rijk

2

Zo Gezegd Zo Gerekend (ZGZG)

2

Rekensprong

2

De methode wordt door tien respondenten niet strikt gevolgd (zie Tabel 20). Twee respondenten geven hier geen verklaring voor, de andere wel. Twee respondenten geven aan dat het materiaal zelf gekozen wordt door de leerkracht, maar dat de werkwijze die voorgesteld wordt door de methode gevolgd wordt. Daarnaast zijn er twee respondenten die de handleiding raadplegen, maar hun klaspraktijk afstemmen op de noden van de klasgroep. Er is één respondent die aangeeft dat de leerkracht de methode niet letterlijk gaat volgen, maar dat er zelf aangevoeld wordt wat er gebruikt kan worden in de klas. De methode biedt veel te veel materiaal aan, drie respondenten maken een keuze en gaan oefeningen selecteren die door de methode aangeboden wordt. TABEL 20: STRIKT VOLGEN VAN DE WISKUNDEMETHODE

Kompas

Eurobasis

Nieuwe

ZGZG

Tal-rijk Methode niet

Reken-

Totaal

sprong

5

3

1

1

0

10

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

3

0

0

1

0

0

1

strikt gevolgd Methode strikt gevolgd Methode niet bekeken Geen duidelijk antwoord


Vier respondenten maken gebruik van de opbouw van het werkboek voor de opmaak van hun les. Deze respondenten gebruiken tijdens een klassikale instructie dezelfde modellen als degene die voorkomen in het werkboek. Als er in de methode oefeningen zijn vooral met lijnstukken, dan ga ik daar op werken. Zijn er op dat moment vooral oefeningen met tekeningen van bloemetjes of knikkers of zo. Dan gaan we daar mee werken. Dus het hangt er eigenlijk echt van af wat er in het werkboek staat en waarover het eigenlijk gaat en wat er gebruik wordt in de handleiding. Er is slechts één respondent die de methode strikt volgt aangezien deze nog maar net nieuw is. Drie respondenten kijken niet naar de methode en één respondent geeft niet duidelijk weer of de methode strikt gevolgd wordt of niet. Wat de tevredenheid over de wiskundemethode betreft zijn de meningen verdeeld (zie tabel 21). Zeven respondenten zijn tevreden over hetgeen de methode aanbiedt. Er wordt aangehaald dat er voldoende oefeningen voor de leerlingen aangeboden worden en dat de opbouw en schema’s die de methode aanbiedt duidelijk zijn. Vijf respondenten zijn niet tevreden over de methode die gebruikt wordt. Twee respondenten vinden dat er onvoldoende tijd is om alle aangeboden oefeningen te maken. De opbouw van de lessen is niet goed volgens één respondent, de posters die door de handleiding aangeboden worden zijn te klein of er is onvoldoende afwisseling. I: Ben je dan eigenlijk tevreden over de lessen breuken die in de handleiding worden aangeboden. Lk 3: Niet altijd, ik vind dat ze nog meer mogen afwisselen op verschillende manieren. Het kan zijn dat ze die manier gezien hebben en dat dan op de toets of op een werkblaadje op die manier komt. Ze mogen dus eigenlijk nog meer afwisselen. Twee respondenten zijn soms wel tevreden en soms niet. Eén respondent vermeldt hierbij dat de aangeboden oefeningen goed zijn, maar dat de methode te moeilijke vragen gebruikt om de leerlingen inzicht te bezorgen in het breukenconcept. De andere respondent merkt op dat de methode geen extra oefeningen aanbiedt voor de extra doelen die in het gemeentelijk onderwijs bereikt moeten worden. Eén respondent geeft geen mening over de wiskundemethode aangezien deze niet geconsulteerd wordt voor de breuklessen.


TABEL 21: TEVREDENHEID OVER DE WISKUNDEMETHODE

Kompas

Eurobasis

Nieuwe

ZGZG

Tal-rijk Tevreden over

Reken-

Totaal

sprong

3

1

1

1

1

7

2

2

0

1

0

5

1

0

1

0

0

2

0

0

0

0

1

1

methode Niet tevreden over methode Soms wel/soms niet tevreden Geen mening

Er is slechts één leerkracht die andere methodes raadpleegt voor contractwerk of een kieskast. Vier andere respondenten vermelden expliciet dat ze geen andere wiskundemethodes raadplegen voor het breukenonderwijs.


5. DISCUSSIE 5.1

INTERPRETATIE VAN DE ONDERZOEKSRESULTATEN

Vanuit de onderzoeksresultaten kan verder ingegaan worden op de vooropgestelde onderzoeksvragen: (1) welk didactisch materiaal wordt in het breukenonderwijs gebruikt?; (2) hoe wordt didactisch materiaal gebruikt in het breukenonderwijs?; (3) met welke bedoeling wordt tijdens het breukenonderwijs gebruik gemaakt van didactisch materiaal?; (4) zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de leerjaren heen?; (5) zijn er verschillen in het gebruik van didactisch materiaal over de methoden heen? Er wordt nagegaan of de onderzoeksresultaten overeenkomen met de bevindingen uit de literatuurstudie.

5.1.1 WELK DIDACTISCH MATERIAAL WORDT IN HET BREUKENONDERWIJS GEBRUIKT? Er worden tijdens de breuklessen verschillende soorten didactisch materiaal gebruikt: ‘voorwerpen uit het dagelijks leven van de leerlingen’, ‘manipulatives’, ‘computer manipulatives’ en ‘spelvormen’. Volgens Sharp en Adams (2002) kunnen ‘voorwerpen uit het dagelijks leven van de leerlingen’ gebruikt worden tijdens de wiskundelessen. Uit zowel het kwantitatief als het kwalitatief luik van het onderzoek blijkt dat leerkrachten gebruik maken van deze gekende, dagelijkse voorwerpen. Er worden verschillende voorbeelden van materialen aangehaald: appels, koeken, stiften, magneten, krijtjes, taart, koekjes, penselen, muntstukken, potjes, …. Deze materialen worden door de leerkracht van thuis meegebracht of zijn reeds aanwezig in de klas. In het kwalitatief luik van het onderzoek wordt door een leerkracht het onderscheid gemaakt tussen eetbare en niet-eetbare voorwerpen uit het dagelijks leven. Naast voorwerpen uit het dagelijks leven wordt er door leerkrachten gebruik gemaakt van specifieke voorwerpen voor het breukenonderwijs: breukencirkels, breukenladder, breukenstroken, breukenstaven, …. Uttal en collega’s (1997) spreken hierbij over ‘manipulatives’. Deze kunnen allerlei verschillende vormen aannemen: cirkel, vierkant, strook, rechthoek, …. Uit deze studie blijkt dat leerkrachten ook eigen manipulatives maken die gebruikt worden voor breuken en dat hiervoor manipulatives ook zelf aangekocht worden. De tevredenheid over aangekochte materialen is verdeeld, dit blijkt uit het kwalitatief luik van het onderzoek. De ‘computer manipulatives’ worden als een derde soort didactisch materiaal benoemd (Clements, 1999). Uit het onderzoek blijkt dat leerkrachten in mindere mate gebruik maken van computerprogramma’s om breuken in te oefenen. Uit het kwalitatief luik van het onderzoek wordt duidelijk dat leerkrachten beschikken over computerprogramma’s, websites of programma’s aangeboden door de ICT-coördinator. Deze programma’s worden niet frequent gebruikt tijdens de lessen breuken. Naast ‘voorwerpen uit het dagelijks leven’, ‘manipulatives’ en ‘computer manipulatives’ kunnen leerkrachten gebruik maken van ‘spelvormen’ om de leerstof verder in te oefenen. Er wordt door een paar leerkrachten gesproken over een breukenkwartet, een breukenmemory of een getallenlijn met kaartjes. Deze ‘spelvormen’ komen niet dikwijls aan bod in de wiskundelessen, maar eerder als herhaling of een korte inoefening op het einde van een les. Dit wordt door een leerkracht aangehaald tijdens het kwalitatief onderzoek. Masterproef – Discussie 68

Didactisch materiaal in de breuklessen kan verschillende vormen aannemen. In het onderzoek worden verschillende modellen gebruikt tijdens de breuklessen, dit sluit aan bij de bevindingen van Hatfield en collega’s (2008). Eerst en vooral wordt het ‘oppervlaktemodel’ (Van de Walle, 2007) door alle leerkrachten gebruikt. In het onderzoek wordt de cirkel als model het vaakst gebruikt. Volgens Peck en Jencks (1981) werd het cirkelmodel vroeger ook het meest gebruikt door leerkrachten. Uit het kwalitatief onderzoek wordt duidelijk dat het cirkelmodel op verschillende manieren aangeboden wordt. Dit kan een zelfgemaakt cirkelmodel van de leerkracht zijn, een breukendoos voor de leerlingen, een eetbare cirkel (taart of pannenkoek) of een cirkel die benoemd wordt als een taart of een pizza. Naast de cirkel worden ook andere oppervlaktemodellen gebruikt zoals een rechthoek, een vierkant en andere vlakke figuren. Uit het onderzoek blijkt dat leerkrachten lengtemodellen (Van de Walle, 2007) gebruiken, zoals de breukenladder, de lineaire breukenset en breukenstaven. Hierbij worden breuken voorgesteld met behulp van een lengte die in gelijke delen verdeeld wordt. In het kwalitatief onderzoek maken de leerkrachten gebruik van het lengtemodel, zoals de breukstroken, de breukenladder, lijnstukken en getallenlijnen. De breukenladder is een afbeelding gebaseerd op het lengtemodel en wordt door een aantal leerkrachten gebruikt. Deze brengt een duidelijk overzicht van de grootte van de breuken en maakt het gemakkelijker voor de leerlingen om breuken met elkaar te vergelijken. Een aantal leerkrachten van het kwalitatief onderzoek vinden lengtemodellen ingewikkelder voor de leerlingen. Volgens Charalambous en Pitta-Pantazi (2006) is het voor leerlingen moeilijker om een breuk op een getallenlijn te lokaliseren, aangezien leerlingen eerder de streepjes op de getallenlijn willen tellen in plaats van de intervallen. Dit wordt ook in het onderzoek door één geïnterviewde leerkracht letterlijk vermeld. Een aantal leerkrachten gebruiken het lengtemodel niet vanaf het begin van een leergang, maar maken eerst gebruik van andere modellen. Het lengtemodel is abstracter en Charalambous en Pitta-Pantazi (2005, 2006) raden daarom ook aan om eerst andere modellen te gebruiken, vooraleer dit model geïntroduceerd wordt. Keijzer (2003) spreekt dit tegen en geeft aan dat het gebruik van een getallenlijn kan aansluiten bij de voorkennis van leerlingen over natuurlijke getallen. Leerlingen moeten daar reeds gebruik maken van een getallenlijn en dus is dit model niet volledig nieuw. In het onderzoek is er echter geen enkele leerkracht die aangeeft dat het lengtemodel als eerste geïntroduceerd wordt in de breuklessen. Tot slot wordt ook gebruik gemaakt van ‘set modellen’, dit zijn allerlei aparte voorwerpen die als geheel aanzien worden en in gelijke delen verdeeld worden om een breuk voor te stellen (Van de Walle, 2007). Leerkrachten geven tijdens de interviews aan dat ze verschillende losse voorwerpen verdelen, zoals schrijfgerief, koekjes, peren, snoepjes, voetbalstickers, blokjes, knikkers, … Niet alle leerkrachten vermelden dit model tijdens het kwalitatief onderzoek. In het kwantitatief onderzoek wordt dit model niet vermeld. De verschillende modellen die gebruikt worden om breuken voor te stellen, worden niet steeds aangeboden als materiaal dat vastgenomen kan worden. De leerkrachten vermelden tijdens interviews dat er ook vaak met afbeeldingen en tekeningen gewerkt wordt, die de verschillende modellen voorstellen. Dit is een andere manier om wiskundige concepten voor te stellen (Lesh et al., 2003). Leerlingen moeten kennismaken met de verschillende representaties waardoor een wiskundig concept duidelijker wordt. Masterproef – Discussie 69

Tot slot kan er nog een onderscheid gemaakt worden tussen aangekocht materiaal en zelfgemaakt materiaal. Uit het kwantitatief onderzoek blijkt dat de meerderheid van de leerkrachten beschikt over materiaal dat aangekocht wordt. Daarnaast is het duidelijk dat de overgrote meerderheid van de leerkrachten zelf materiaal maakt dat gebruikt wordt tijdens de breuklessen.

5.1.2 HOE WORDT DIDACTISCH MATERIAAL GEBRUIKT IN HET BREUKENONDERWIJS? Uit het onderzoek blijkt dat materialen manipuleren niet iets is dat enkel door de leerkracht wordt gedaan, maar leerlingen mogen ook zelf gebruik maken van het materiaal. Leerlingen worden op die manier actief betrokken bij hun leerproces en doen verschillende visuele en tactiele ervaringen op met het materiaal (Clements, 1999; Moyer, 2001). Hierbij is het belangrijk dat leerlingen niet zomaar de regels memoriseren, maar dat ze hun eigen handelingen kunnen verklaren (Haseman, 1981; Peck & Jencks, 1981, Aksu, 1997). Door leerlingen zelf het materiaal te laten gebruiken, wordt het mogelijk om bewerkingen beter te kunnen verklaren. Slechts een aantal leerkrachten uit het kwantitatief onderzoek geven aan dat de leerlingen niet beschikken over eigen materiaal. Uit het kwalitatief onderzoek blijkt dat leerlingen in de hogere leerjaren geen echt didactisch materiaal gebruiken, maar dat ze eerder zelf tekenen. Door het tekenen doen de leerlingen ook zelf ervaringen op en gaan ze actief op zoek naar de oplossing van een probleem (Martin & Schwartz, 2005). Het materiaal dat gebruikt wordt tijdens de breuklessen wordt door alle leerkrachten zelf aangebracht. De leerlingen zelf brengen geen materiaal aan. Dit valt te verklaren doordat het de taak van de leerkracht is om een goede keuze te maken betreffende het materiaal dat gebruikt wordt om de leerstof duidelijk over te brengen aan de leerlingen. Het is belangrijk dat het materiaal een duidelijke representatie biedt van het wiskundig concept dat aangebracht wordt (Moyer, 2001). Daarom is het noodzakelijk dat de leerkracht een doordachte keuze maakt bij de aanbreng van didactisch materiaal (Strom, 2009). De leerkrachten kunnen in meerdere of mindere mate de les sturen als er didactisch materiaal gebruikt wordt. Uit het kwantitatief luik van het onderzoek blijkt dat de overgrote meerderheid van de leerkrachten voortoont aan de leerlingen op welke manier het materiaal gebruikt moet worden. Vanuit het kwalitatief luik van het onderzoek wordt duidelijk dat de sturing van de leerkracht varieert. Een aantal leerkrachten gaan sterk sturen bij de aanbreng van nieuw didactisch materiaal, terwijl andere samen met de leerlingen zoeken naar de manier waarop het materiaal gehanteerd wordt. Volgens Brown en collega’s (in press) is het belangrijk dat leerlingen zelf kunnen exploreren met het materiaal zodat ze de leerstof beter zouden begrijpen. Daarnaast wordt ook door een paar leerkrachten vermeld dat de sturing afhankelijk is van het soort materiaal dat aangebracht wordt. De breukenladder vraagt meer uitleg volgens deze leerkrachten. In de literatuur wordt aangegeven dat de begeleiding en instructie van materiaal heel belangrijk is als de relatie tussen het materiaal en het wiskundig concept niet transparant is (Ball, 1992: Thompson, 1994; Moyer, 2001; Uttal et al., 1997). Kortom het is belangrijk dat de leerkracht op zoek gaat naar evenwicht tussen het aanbieden van vrijheid en sturing aan de leerlingen. De klasorganisatie kan variëren bij het gebruik van didactisch materiaal. Uit het kwantitatief luik van het onderzoek blijkt dat de meerderheid van de leerkrachten voornamelijk klassikaal aan de slag gaat met didactisch materiaal tijdens de breuklessen. Minder leerkrachten laten leerlingen vooral individueel of in groepjes werken met materiaal. Masterproef – Discussie 70

Uit het kwalitatief luik van het onderzoek blijkt dat alle leerkrachten klassikaal aan het werk gaan met didactisch materiaal. Dit kan op verschillende manieren gebeuren. De leerkracht kan uitleg aan het bord geven of er kan gewerkt worden aan de demotafel. De klasopstelling kan ook variëren. De banken kunnen frontaal gericht zijn naar het bord of ze kunnen in groepjes opgesteld staan. Daarnaast laat de meerderheid van de leerkrachten de leerlingen ook individueel werken tijdens de breuklessen. Daarvoor wordt niet altijd materiaal gebruikt. Slechts een aantal leerkrachten beschikken over materiaal waar de leerlingen individueel mee aan het werk kunnen, zoals de breukendoos en de breukenladder. Een aantal leerkrachten begeleiden leerlingen individueel met materiaal indien een oefening niet duidelijk is. Alle leerkrachten werken ook in groepjes met materiaal. De grootte van de groepjes varieert van twee tot vier leerlingen. De frequentie waarop in groep gewerkt wordt, varieert. Een paar leerkrachten vinden de discussie die tijdens groepswerk gevoerd wordt heel belangrijk. Volgens Van Galen en collega’s (2005) zijn deze discussies van cruciaal belang aangezien op die manier de redeneringen van de leerlingen geuit worden.

5.1.3 MET WELKE BEDOELING WORDT TIJDENS HET BREUKENONDERWIJS GEBRUIK GEMAAKT VAN DIDACTISCH MATERIAAL ? Didactisch materiaal kan voor verschillende redenen gebruikt worden in het breukenonderwijs. Het materiaal kan gebruikt worden om te differentiëren, leerlingen te motiveren, de leerstof te visualiseren, kennis van het dagelijks leven aan te spreken of om de leerstof opnieuw op te frissen. In het kwantitatief luik geeft de overgrote meerderheid van de respondenten aan dat didactisch materiaal gebruikt wordt om te differentiëren. Ook in het kwalitatief luik geven alle leerkrachten aan dat didactisch materiaal gebruikt wordt om te differentiëren. Er wordt voor de zwakkere leerlingen extra materiaal voorzien of er worden tekeningen en schematische voorstellingen gebruikt. Het is belangrijk dat de leerkracht een beeld heeft van de verschillende problemen waar leerlingen mee geconfronteerd kunnen worden. Op die manier kunnen de leerlingen beter begeleid worden doorheen hun leerproces (Shulman, 1986; Van Driel et al., 2001) en kan er op een geschikte manier gedifferentieerd worden. Daarnaast wordt in het onderzoek aangegeven dat het gebruik van didactisch materiaal, zorgt voor een grotere motivatie bij de leerlingen. Ook Moyer (2001) en Ross (2008) duiden op de grotere interesse, sterkere motivatie en actieve betrokkenheid van leerlingen als er didactisch materiaal gebruikt wordt. In het kwantitatief onderzoek geven leerkrachten aan op welke manier ze dit merken bij de leerlingen. Een aantal redenen zijn ook terug te vinden in het kwalitatief luik. Zo blijkt dat leerlingen de leerstof beter begrijpen als er met materiaal gewerkt wordt. Het wordt gemakkelijker om logische wiskundige structuren te ontwikkelen aangezien leerlingen de kans krijgen om zinvolle acties te ondernemen met het materiaal (Martin et al., 2007). Uit het kwalitatief luik blijkt dat leerkrachten materiaal ook kunnen gebruiken om na te gaan of leerlingen de leerstof begrijpen. Daarnaast is er ook een grotere betrokkenheid van de leerlingen. In het kwantitatief interview wordt de grotere motivatie van de leerlingen ook duidelijk aan het enthousiasme van de leerlingen. Ze zijn tevreden als ze met materiaal mogen werken. De leerlingen krijgen echt de kans om zelf te ontdekken of zelf ervaringen op te doen. Het zelf manipuleren van didactisch materiaal beïnvloedt het leerproces van leerlingen (Strom, 2009). Het gebeurt dat leerlingen zelf vragen om materiaal te gebruiken. Tenslotte kunnen leerlingen langer geconcentreerd werken. Een grotere intrinsieke motivatie bij het oplossen van wiskundeoefeningen zorgt voor een positieve invloed op het leren en de attitudes van leerlingen ten aanzien van wiskunde (Sowell, 1989). Didactisch Masterproef – Discussie 71

materiaal zorgt volgens het onderzoek voor een positieve invloed op deze intrinsieke motivatie van de leerlingen. Naast een grotere motivatie en differentiatie kan materiaal ook gebruikt worden om breuken te visualiseren. De meerderheid van de leerkrachten uit het kwalitatief luik halen dit aan als een belangrijke reden om didactisch materiaal te gebruiken. Leerlingen kunnen een interne representatie ontwikkelen van een abstract begrip met behulp van didactisch materiaal (Clements, 1999; Moyer, 2001, Strom, 2009). Volgens een aantal leerkrachten is het belangrijk om visueel te werken bij de aanbreng van leerstof, om geleidelijk aan over te gaan naar abstractere manieren van werken. Leerlingen kunnen abstracter werken als ze beschikken over verschillende beelden die ze ontwikkeld hebben door het werken met concrete materialen (Moyer, 2001). Daarnaast gebruiken een aantal leerkrachten materiaal om kennis van het dagelijks leven van de leerlingen aan te spreken. Leerkrachten gebruiken hiervoor zowel ‘voorwerpen uit het dagelijks leven van de leerlingen’ als ‘manipulatives’. Volgens McNeil & Jarvin (2007) is het voor leerlingen gemakkelijker om problemen op te lossen die aansluiten bij hun eigen praktische kennis. Didactisch materiaal kan hier gebruikt worden om deze praktische kennis aan te spreken. Door praktische situaties aan te bieden aan leerlingen, kan het gebeuren dat leerlingen beter presteren (McNeil e. a., 2009). Volgens een aantal leerkrachten uit het onderzoek wordt het voor leerlingen duidelijker waarom breuken gebruikt worden als een herkenbare situatie wordt aangeboden. Tot slot kan didactisch materiaal ook gebruikt worden om gekende leerstof opnieuw op te frissen. Volgens Uttal en collega’s (1997) is het van belang dat de leerkracht zorgt voor een duidelijke relatie tussen concreet en abstract aan de hand van herhaaldelijke instructies. Deze herhaaldelijke instructie wordt door een aantal leerkrachten van het onderzoek gedaan met behulp van didactisch materiaal.

5.1.4 ZIJN ER VERSCHILLEN IN HET GEBRUIK VAN DIDACTISCH MATERIAAL OVER DE LEERJAREN HEEN? Uit het onderzoek blijkt dat er een duidelijke ontwikkeling merkbaar is betreffende het soort didactisch materiaal dat gebruikt wordt doorheen de verschillende leerjaren van het lager onderwijs. Daarnaast neemt de frequentie waarop didactisch materiaal voor de breuklessen gebruikt wordt, af naarmate de leerlingen in een hoger leerjaar zitten. Om wiskundige concepten te verwerven worden drie verschillende representaties opeenvolgend doorlopen volgens Bruner (1966). Er wordt gestart bij de ‘enactive representation’, waarbij leerlingen motorische ervaringen opdoen met fysieke objecten. Tijdens deze fase wordt er werkelijk met materiaal gewerkt. In het onderzoek is duidelijk dat deze manier van werken vooral in het tweede, derde en vierde leerjaar aan bod komt. Leerlingen krijgen daar de kans om met concrete voorwerpen uit het dagelijks leven en manipulatives breuken visueel voor te stellen en te manipuleren. Daarna volgt de ‘iconic representation’ waarbij afbeeldingen en tekeningen gebruikt worden om wiskundige concepten te presenteren. Deze fase komt in deze studie naar voor in het vijfde en zesde leerjaar waar meer tekeningen gebruikt worden. Tot slot wordt de ‘symbolic representation’ bekomen waarbij leerlingen voldoende hebben aan symbolen. In deze studie is het duidelijk dat deze ontwikkeling doorlopen wordt voor het curriculum breuken doorheen het lager onderwijs. Er wordt vertrokken van concreet materiaal, waarna overgestapt wordt op tekeningen om dan uiteindelijk de leerlingen te laten oefenen zonder materiaal of hulpmiddelen, dus op het symbolisch niveau. Deze drie representaties kunnen niet alleen doorheen de lagere school opgemerkt worden, maar ook in Masterproef – Discussie 72

één les kunnen leerkrachten deze drie stappen gebruiken. Dit als ze vertrekken van concreet materiaal, om dan over te gaan naar oefeningen waarbij de modellen voorgesteld worden met behulp van tekeningen om dan te eindigen met oefeningen zonder tekeningen. Dit wordt door een aantal leerkrachten in het onderzoek aangegeven. Het soort materiaal dat over de leerjaren heen gebruikt wordt, verandert ook. Waar er in het tweede en het derde leerjaar nog meer gebruik gemaakt wordt van materialen uit het dagelijks leven worden in het vierde leerjaar meer ‘manipulatives’ gebruikt. Uit de literatuur blijkt dat concrete voorwerpen ervoor kunnen zorgen dat de verbinding gelegd wordt tussen het wiskundig concept en de eigen ervaring en voorkennis (Uttal et al., 1997). Op die manier kan de leerkracht verder bouwen op de voorkennis van leerlingen om nieuwe leerstof aan te brengen. Eens leerlingen voldoende geoefend hebben op het concreet niveau kan er overgegaan worden naar het schematisch niveau (VVKBaO, 2001). Waar de grens ligt tussen het concrete niveau en het schematisch niveau is niet duidelijk. Verschillende leerkrachten hebben hier een ander idee over, er is geen eenduidigheid omtrent deze begrippen. Sommige leerkrachten benoemen de breukendoos en de breukenladder schematisch, andere ervaren het tekenen van modellen als werken op het schematisch niveau. In het vijfde leerjaar wordt meer en meer gebruik gemaakt van tekeningen en worden manipulatives in mindere mate gebruikt. In het zesde leerjaar wordt er echt al verwacht dat leerlingen op het abstract niveau kunnen werken, bij moeilijkheden worden over het algemeen tekeningen gebruikt; zo blijkt uit dit onderzoek. Hieruit kan besloten worden dat er dus doorheen het lager onderwijs een duidelijke evolutie zichtbaar is. Er wordt van concreet naar schematisch naar abstract gewerkt.

5.1.5 ZIJN ER VERSCHILLEN IN HET GEBRUIK VAN DIDACTISCH MATERIAAL OVER DE METHODEN HEEN ? In het onderzoek worden verschillende wiskundemethodes door de leerkrachten gebruikt. Een aantal leerkrachten maakt geen gebruik van de methode of heeft een eigen methode die gevolgd wordt. Niet alle leerkrachten die over een methode beschikken, zijn hier tevreden over. Wiskundemethodes bieden geen vast pakket didactisch materiaal aan dat gebruikt kan worden in de wiskundelessen. Een aantal handleidingen (‘Kompas’ en ‘Zo Gezegd Zo Gerekend’) biedt posters aan bij de handleiding. Er worden ook kopieerbladen aangeboden met vlakke figuren die de leerlingen dan kunnen manipuleren. Vanuit de methodes wordt er advies gegeven aan leerkrachten om materialen te gebruiken, maar er wordt verwacht dat leerkrachten daar zelf voor zorgen. De vraag hierbij is of leerkrachten ook echt verwachten om een vast pakket materiaal te krijgen vanuit de methode. Uit dit onderzoek blijkt dat het tekort aan materiaal dat door de methode aangeboden wordt, de voornaamste reden voor ontevredenheid is. Daarnaast is het niet altijd mogelijk om leerlingen met het materiaal van de methode te laten handelen. Volgens andere leerkrachten zijn de voorstellingen die door de methode gebruikt worden te eenzijdig of te abstract. De meeste leerkrachten volgen de handleiding niet strikt. Hierbij speelt de praktische kennis van de leerkracht (Van Dries et al., 2001) en de ‘pedagogical content knowledge’ (Shulman, 1986) een rol. Een aantal leerkrachten geven aan dat ze beslissingen nemen op basis van de noden van de klasgroep. De leerkracht volgt hier de eigen overtuigingen bij de keuzes voor de klaspraktijk. Andere leerkrachten volgen de opbouw van de handleiding tot op zekere hoogte, maar maken nog eigen keuzes. De voorbereiding van leerkrachten blijft belangrijk (Strom, 2009) zodat de juiste keuzes gemaakt worden voor het leerproces van de leerlingen. Masterproef – Discussie 73

5.2

KRITISCHE REFLECTIE VAN HET ONDERZOEK

De manier waarop didactisch materiaal een plaats krijgt in de breuklessen werd niet eerder onderzocht. Om een algemeen beeld te creëren van het didactisch materiaal dat in het breukenonderwijs in het lager onderwijs gebruikt wordt, werd dit onderzoek uitgevoerd. Er werd een gemengd onderzoek uitgevoerd, wat zeker zorgt voor een duidelijk overzicht van de klaspraktijk. Toch wordt er even stilgestaan bij een aantal kritische bemerkingen. Op het methodologisch gebied werden de onderzoeksresultaten verwerkt door één onderzoeker. De resultaten van het kwalitatief onderzoek kunnen op die manier beïnvloed worden door de opvattingen van de onderzoeker. Om dit te vermijden werd er gebruik gemaakt van categorieën. Door de codering door meerdere onderzoekers te doen kon dit opgelost worden. Gezien het tijdsbestek, was het echter niet mogelijk om het coderen door meerdere onderzoekers uit te voeren. De validiteit en betrouwbaarheid van het onderzoek worden gewaarborgd door het grote aantal respondenten dat deelgenomen heeft aan het onderzoek en door de combinatie van kwalitatief en kwantitatief onderzoek. Daarnaast is het niet altijd duidelijk of leerkrachten die deelnamen aan het kwantitatief onderzoek de materialen die ze gebruiken ook op dezelfde manier benoemen. Hierdoor is het dus mogelijk dat twee leerkrachten hetzelfde materiaal gebruiken maar dat dit door één leerkracht als ‘breukstok’ genoemd wordt en door een andere wordt dit een ‘breukstaaf’ genoemd. Het is dus niet altijd duidelijk of leerkrachten dezelfde concepten gebruiken. In het kwalitatief luik worden de gebruikte materialen duidelijker door de leerkrachten beschreven, waardoor hier geen conceptuele verwarring optreedt. Aangezien er eerder nog geen dergelijk exploratief onderzoek werd uitgevoerd is het niet duidelijk in welke mate een correct beeld van de werkelijkheid gecreëerd wordt. Door het grote aantal respondenten dat aan het onderzoek deelgenomen heeft, zullen de resultaten betrouwbaar en valide zijn. De verkregen resultaten kunnen echter niet vergeleken worden met een gelijkaardig onderzoek. Een vergelijkend onderzoek met hetgeen hier uitgevoerd werd, kan ook aangeven of de gegevens die hier weergegeven worden ook een goed beeld creëren van de werkelijkheid. Toch was het mogelijk om terug te koppelen naar de bestaande literatuur omtrent het gebruik van didactisch materiaal en de literatuur over breuken. Er konden waardevolle conclusies genomen worden die verder meegenomen kunnen worden in vervolgonderzoek.

Masterproef – Discussie 74

6. CONCLUSIE Het huidig onderzoek is er in geslaagd een algemeen beeld te creëren van de didactische materialen die gebruikt worden tijdens de breuklessen in het lager onderwijs. Dit door de combinatie van kwalitatief en kwantitatief onderzoek wat als een troef aanzien kan worden. Door dit gemengd onderzoek uit te voeren werd het mogelijk om de klaspraktijk in verband met het gebruik van didactisch materiaal in de breuklessen, voor een stuk in kaart te brengen. Een dergelijk onderzoek werd in Vlaanderen niet eerder uitgevoerd, dus wordt hier voor het eerst een zicht gegeven op de klaspraktijk van leerkrachten betreffende het curriculum breuken. Met dit onderzoek kan er besloten worden dat leerkrachten heel wat verschillende soorten didactisch materiaal gebruiken in de breuklessen zoals voorwerpen uit het dagelijks leven, manipulatives, computer manipulatives en spelvormen. Daarnaast worden verschillende modellen gebruikt om breuken voor te stellen: lengtemodellen, oppervlaktemodellen en set modellen. De klasorganisatie varieert, er wordt zowel klassikaal, individueel als in groepjes met materiaal gewerkt. Didactisch materiaal wordt niet alleen door de leerkracht gebruikt, maar ook leerlingen maken er gebruik van. Leerkrachten geven verschillende redenen aan waarom ze didactisch materiaal gebruiken tijdens de breuklessen. Het wordt gebruikt om te differentiëren, leerlingen te motiveren, de kennis van het dagelijks leven van leerlingen aan te spreken, leerstof op te frissen, breuken te visualiseren of omdat leerlingen het beter zouden begrijpen. Er is een ontwikkeling merkbaar doorheen de lagere school. Het gebruik van didactisch materiaal neemt af naarmate de leerlingen in een hoger leerjaar zitten. Ook het soort materiaal evolueert: er wordt eerst met voorwerpen uit het dagelijks leven gewerkt om dan over te gaan naar ‘manipulatives’ en te eindigen met visuele voorstellingen. Verder is ook vooral gebleken dat leerkrachten niet slaafs de methode volgen die gebruikt wordt. Leerkrachten blijken dus in dit opzicht geen slaaf van de eigen methode te zijn! Dit onderzoek richt zich op de kennis en ervaringen van de leerkrachten. Het standpunt van leerlingen wordt hierbij niet in kaart gebracht. Op welke manier leerlingen het gebruik van didactisch materiaal in de breuklessen ervaren, is dus niet bepaald. Toekomstig onderzoek kan stilstaan bij de ervaringen en kennis van leerlingen over het gebruik van didactisch materiaal in de breuklessen. In het huidig onderzoek werd geen onderscheid gemaakt tussen meer en minder ervaren leerkrachten. Het is mogelijk dat het aantal jaar ervaring een invloed heeft op de manier waarop leerkrachten omgaan met didactisch materiaal in de breuklessen. Het kan dus interessant zijn om deze variabele op te nemen in vervolgonderzoek. Dit was een exploratief onderzoek naar het soort materiaal dat gebruikt wordt en de manier waarop het gehanteerd wordt door leerkrachten. In een vervolgonderzoek kan de effectiviteit van de didactische materialen die in dit onderzoek het vermeld worden, nagegaan worden. Daarbij kunnen de leerresultaten van leerlingen eventueel vergeleken worden om op die manier de effectiviteit van de verschillende materialen te achterhalen. Indien een vervolgonderzoek op deze manier uitgevoerd wordt, verschuift de aandacht naar de leerlingen in plaats van de leerkrachten die centraal stonden in het huidig onderzoek. Naast de beperkingen en vooropgestelde verbeteringen die voorgesteld werden, mag er echter niet vergeten worden dat dit onderzoek niet alleen interessante informatie biedt voor wetenschappers, maar ook voor leerkrachten en andere betrokkenen bij het breukenonderwijs. Door de Masterproef – Conclusie 75

praktijkgerichtheid van het onderzoek kan het verder zijn dienstbaarheid bewijzen. Dit onderzoek stelt leerkrachten centraal en ondersteunt hun manier van werken, er wordt geen oordeel uitgesproken over wat goed is en wat niet goed. Er wordt vertrouwen geuit ten opzichte van de professionaliteit van leerkrachten. Het onderzoek kan leerkrachten inspireren om met nieuwe materialen aan de slag te gaan of nieuwe werkvormen te gebruiken.

Masterproef – Conclusie 76

7. BIBLIOGRAFIE Aksu, M. (1997). Student performance in dealing with fractions. The journal of educational research, 90 (6), 375-380. An, S., Kulm, G. & Wu, Z. (2004). The pedagogical content knowledge of middle school, mathematics teachers in China and the U.S. Journal of mathematics teacher education, 7, 145172. Baarda, D.B.; De Goede, M.P.M., & Teunissen, J. (2001). Basisboek kwalitatief onderzoek: praktische handleiding voor het opzetten en uitvoeren van kwalitatief onderzoek. Groningen, Stenfert Kroese. Ball, D.L. (1992). Magical hopes, manipulatives and the reform of math education. American educator: the professional journal of the American federation of teachers, 16 (2), 14-18. Ball, D.L.; Hill, H.C., & Bass, H. (2005, fall). Knowing mathematics for teaching. Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American educator, 1422, 43-46. Ball, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: what makes it special? Journal of teacher education, 59, 389-407. Behr, M., Lesh, R., Post, T., & Silver, E. (1983). Rational number concepts. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, (13-47). NJ: Lawrence Erlbaum. Billiet, J.B. (1995). Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek: ontwerp en dataverzameling. Leuven/Amersfoort, Acco. Boulet, G. (1998). Didactical implications of children’s difficulties in learning the fraction concept. Focus on learning problems in mathematics, 20 (4), 19-34. Brown, M.C., Mc Neil, N.M., & Glenberg, A.M. (in press). Using concreteness in education: real problems, potential solutions. Child development perspectives. Bruner, J.S. (1966). Towards a theory of instruction, New York: Norton. Canterbury, S.A. (2006). An investigation of conceptual knowledge: urban African American middle school students’ use of fraction representations and fraction computations in performance-based tasks, Georgia State University. Charalambous, Y., & Pitta-Pantazi, D. (2005). Revisiting theoretical model on fractions: implications for teaching and research. In Chick, H.L. & Vincent, J.L., editors, Proceedings of the 29th conference of the international group for the psychology of mathematics education, 2, 233240.

Masterproef – Referentielijst 77

Charalambous, Y., & Pitta-Pantazi, D. (2006). Drawing on a theoretical model to study students’ understanding of fractions. Educational studies in mathematics, 64, 293-316. Clements, D.H. (1999). ‘Concrete’ manipulatives, concrete ideas. Contemporary issues in early childhood, 1 (1), 45-60. De Meyer, I. (2007). Wetenschappelijke vaardigheden voor de toekomst, de eerste resultaten van PISA 2006, Veurne, drukkerij Pattyn. De Vocht, A. (2009). Basishandboek SPSS 17. Utrecht, bijleveld Press. Dienes, Z.P. (1969). Building up mathematics, Hutchison Education, London. Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in learning of mathematics. Educational studies in mathematics, 61, 103-131. Foss, D.H., & Kleinsasser, R.C. (1996). Preservice elementary teachers’ views of pedagogical and mathematical content knowledge. Teaching & teacher education, 12 (4), 429-442. Gemeenschapsonderwijs (n.d.) Leerplannen. Geraadpleegd op 2 februari 2010 op http://www.go.be/SITES/PORTAAL_NIEUW/BASISONDERWIJS/LEERPLANNEN/Pages/default.aspx Goddijn, A. (2005). Breuk, komma, getal. Panama-post, 24 (2), 30-36. Gravemeijer, K., & Terwel, J. (2000). Hans Freudenthal: a mathematician on didactics and curriculum theory. Curriculum studies, 32 (6), 777-796. Groff, P. (1994). The future of fractions. International journal of mathematical education in science and technology, 25 (4), 549-561. Hasemann, K. (1981). On difficulties with fractions. Educational studies in mathematics, 12, 7187. Hatfield, M.M., Edwards, N.T., Bitter, G.G., Morrow, J. (2008). Mathematics methods for elementary and middle school teachers, 6th edition. Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons. Herzog, T. (1996). Research methods in the social sciences. United states, Harper Collins College Publishers. Hill, H.C.; Ball, D.L., & Schilling, S.G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal for research in mathematics education, 39 (4), 372-400. Hill, C.H., Blunk, M.L., Charalambous, C.Y., Lewis, J.M., Phelps, G.C., Sleep, L., & Ball, D.L. (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: an exploratory study. Cognition and instruction, 26, 430-511. Masterproef – Referentielijst 78

Huizingh, E. (2008). Inleiding SPSS 16.0 voor windows en data entry. Den Haag, Sdu Uitgevers bv. Izsák, A. (2008). Mathematical knowledge for teaching fraction multiplication. Cognition and instruction, 26, 95-143. Kahan, J.A., Cooper, D.A., & Bethea, K.A. (2003). The role of mathematics teachers’ content knowledge in their teaching: a framework for research applied to a study of student teachers. Journal of mathematics teacher education, 6, 223-252. Keijzer, R. (2003). Teaching formal mathematics in primary education. Amersfoort, Wilco. Keijzer, R., & Gravemeijer, K.P.E. (2005). Breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen in discussie. Panama-post, 24 (2), 24-29. Kerslake, D. (1986). Fractions: children’s strategies and errors. Windsor, Berkshire: NFER-Nelson. Kieren, T.E. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursive understanding. In T.P. Carpenter, E. Fennema & T.A. Romberg (eds.)rational numbers: an integration of research, Lawrence Erlbaum associaties, NJ, 49-84. Korzilius, H. (2000). De kern van Survey-onderzoek. Assen, Van Gorcum & comp. Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H., Post, T., & Zawojewski, J. (2003). Using a translation model for curriculum development and classroom instruction. In Les, R. Doerr, H. (2003) Beyond constructivism. Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching. Mawah, New Jersey Lawrence Erlbaum Associaties. Mack, K.N. (1995). Confounding whole-number and fraction concepts when building on informal knowledge. Journal for research in mathematics education, 26 (5), 422-441. Martin, T., & Schwartz, D.L. (2005). Physically distributed learning: adapting and reinterpreting physical environments in the development of fraction concepts. Cognitive Science Society, 29, 587-625. Martin, T., Lukong, A., & Reaves, R. (2007). The role of manipulatives in arithmetic and geometry tasks. Journal of education and human development, 1 (1). Mc Neil, N.M., & Jarvin, L. (2007) When theories don’t add up: disentangling the manipulatives debate. Theory into practice, 46 (4), 309-316. Mc Neil, N.M., Uttal, D.H., Jarvin, L., & Sternberg R.J. (2009). Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems. Learning and instruction, 19, 171-184. Moch, P. (2001). Manipulatives work! Educational forum. 66, 81-87. Masterproef – Referentielijst 79

Murdock-Stewart, V. (2005). Making sense of students’ understanding of fractions: an exploratory study of sixth graders’ Construction of fraction concepts trough the use of physical referents and real World representations. Geraadpleegd op 2 februari op http://etd.lib.fsu.edu/theses_1/available/etd-10302005024424/unrestricted/FINALMANUSCRIPT.pdf National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Newstead, K., & Murray, H. (1998). Young students’ constructions of fractions. Proceedings of the twenty-second international conference for the psychology of mathematics education, 3, 295302. Ni, Y., & Zhou, Y.D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: the origins and implications of whole number bias. Educational psychologist, 40 (1), 27-52. Onderwijssecretariaat van de Steden en Gemeenten van de Vlaamse gemeenschap (1998). Leerplan wiskunde voor de basisschool. Brussel, OVSG. Panaoura, A, Gagatsis, A., Deliyianni, E., & Elia, L. (2009). The structure of students’ beliefs about the use of representations and their performance on the learning of fractions. Educational psychology, 29 (6), 713-728. Peck, M.D., & Jencks, M.S. (1981). Conceptual issues in the teaching and learning of fractions. Journal for research in mathematics education. 12 (5), 339-348. Piaget, J. (1952). The child’s conception of Number, Humanities Press, New York. Ross, C.J. (2008). The effect of mathematical manipulative materials on third grade students’ participation, engagement and academic performance. Florida, University of Central Florida, 99 blz. Saxe, G., Gearhart, M., & Seltzer, M. (1999). Relations between classroom practices and student learning in the domain of fractions. Cognition and instruction, 17 (1), 1-24. Saxe, G.; Gearhart, M., & Nasir, N.S. (2001). Enhancing students’ understanding of mathematics: a study of three contrasting approaches to professional support. Journal of mathematics teacher education, 4, 55-79. Sharp, J., & Adams, B. (2002). Children’s constructions of knowledge for fraction division after solving realistic problems. The journal of educational research, 95 (6), 333-347. Shulman, L.S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational researcher, 15, 4-14.


Siegal, M., & Smith J. (1997). Toward making representation count in children’s conceptions of fractions. Contemporary educational psychology. 22, 1-22. Singer-Freeman, K.E., & Goswami, U. (2001). Does half a pizza equal half a box chocolates? Proportional matching in an analogy task. Cognitive Development, 16, 811-829. Sloutsky, V.M., Kaminski, J.A., & Heckler, A.F. (2005). The advantage of simple symbols for learning and transfer. Psychonomic Bulletin & Review, 12 (3), 508-513. Sowell, E.J. (1989). Effects of manipulative materials in mathematics instruction. Journal for research in mathematics education, 20 (5), 498-505. Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students’ understanding of the numerical value of fractions. Learning and instruction, 14, 503-518. Strom, J. (2009). Manipulatives in mathematics instruction. Minnesota, USA, Bemidji State University. Tashakkori, A., & Teddlie, C. (1998). Mixed Methodology. Thousand Oaks, California, Sage Publications. Thompson, P.W. (1994). Concrete materials and teaching for mathematical understanding. Arithmetic teacher, 41 (9), 556-558. Treffers, A.; Streefland, L., & De Moor, E. (1994. Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool; deel 3A Breuken. Tilburg, Zwijsen. Uttal, D.; Scudder, K., & Deloache, J. (1997). Manipulatives as symbols: a new perspective on the use of concrete objects to teach mathematics. Journal of applied developmental psychology, 18, 37-54. Van den Reym, M. (n.d.). Enquête maken. Geraadpleegd op 1 mei 2009 van www.enquetemaken.be Van Driel, J.; Beijaard, D., & Verloop, N. (2001). Professional development and reform in science education: the role of teachers’ practical knowledge. Journal of research in science teaching, 38 (2), 137-158. Van Galen, F.; Feijs, E.; Figueiredo, N.; Gravemeijer, K.; Van Herpen, E., & Keijzer, R. (2005). Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen. Groningen, Wolters-Noodhoff. Van Steenbrugge, H.; Valcke, M., & Desoete, A. (2010). Mathematics learning difficulties in primary education: teachers’ professional knowledge and the use of commerically available learning packages. Educational studies, 36 (1), 59-71.


Vlaams ministerie van onderwijs en vorming (n.d.) Onderwijs Vlaanderen. Geraadpleegd op 2 februari 2010 op http://www.ond.vlaanderen.be/ Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs (VVKBaO) (1998), wiskunde leerplan. Brussel, VVKBaO. Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs (VVKBaO) (2001), Getallenkennis toelichtingen. Brussel, VVKBaO. Yoshida, H., & Shinmachi, Y. (1999). The influence of instructional intervention on chilren’s understanding of fractions. Japanese psychological research, 41 (4), 218-228. Yoshida, H., & Sawano, K. (2002). Overcoming cognitive obstacles in learning fractions: ewual partitioning and equal whole. Japanese psychological research, 44 (4), 183-195. Zhou, Z.; Peverly, S.T., & Xin, T. (2006). Knowing and teaching fractions: a cross-cultural study of American and Chinese mathematics teachers. Contemporary educational psychology, 31, 438457.


BIJLAGEN BIJLAGE 1: VRAGENLIJST VOOR DE LEERKRACHTEN BIJLAGE 2: LEIDRAAD INTERVIEWS LEERKRACHTEN BIJLAGE 3: INFORMED CONSENT VOOR INTERVIEWS

Masterproef - Bijlagen 83

BIJLAGE 1: VRAGENLIJST VOOR DE LEERKRACHTEN

Beste,

Ik ben een studente uit de tweede master pedagogische wetenschappen aan de Universiteit Gent. Dit schooljaar wordt er van mij verwacht om mijn masterproef uit te werken. Ik heb ervoor gekozen om het didactisch materiaal in de lessen breuken wat dichterbij te bestuderen. Om dit zo goed mogelijk te kunnen doen wil ik een algemeen beeld krijgen van de didactische materialen die aan bod komen en op welke manier die gebruikt worden. Graag wil ik een correct beeld van de praktijk en daarom heb ik uw hulp nodig. U kunt mij helpen door de volgende vragenlijst in te vullen. Ik richt mij hiervoor tot leerkrachten die lesgeven in het tweede, derde, vierde, vijfde of zesde leerjaar van alle Vlaamse onderwijsnetten. De gegevens die gevraagd worden in de vragenlijst worden vertrouwelijk behandeld en zullen enkel voor mijn thesis gebruikt worden. Bent u leerkracht in het tweede, derde, vierde, vijfde of zesde leerjaar, dan hoop ik dat u een momentje tijd vindt om deze enquête in te vullen. Het invullen van de enquête neemt slechts tien minuten van uw tijd in beslag. U zou mij er een groot plezier mee doen. Alvast bedankt Vriendelijke groeten Annelies Claeys

Masterproef - Bijlagen 84

DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN 1 De school waar ik lesgeef hoort bij:

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Het vrij katholiek onderwijs Het gemeentelijk of stedelijk onderwijs Het provinciaal onderwijs Het gemeenschapsonderwijs Het methodeonderwijs 2 Hoe lang geeft u reeds les?

…………………………………………………………………………………………………………… 3 Ik ben leerkracht in het

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is 2e leerjaar 3e leerjaar 4e leerjaar 5e leerjaar 6e leerjaar Anders, namelijk :………………………………………………………………………………………………………… 4 Hoe lang staat u al als leerkracht in dit leerjaar?

…………………………………………………………………………………………………………… 5 Welke rekenmethode gebruikt u in de lessen wiskunde?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Pluspunt Nieuwe pluspunt Rekensprong Nieuwe Tal-rijk Octoplus Zo gezegd zo gerekend Nieuwe Rekenraak Kompas Eurobasis Anders, namelijk :…………………………………………………………………………………………………………

Masterproef – Bijlagen 85

DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN In het tweede deel van de enquête gaat de aandacht uit naar het didactisch materiaal in de lessen breuken. Hier wordt niet aan een schoolbord en het handboek gedacht, maar specifiek aan materiaal dat de leerkracht of de leerlingen kunnen vastnemen en gebruiken om inzicht te krijgen in breuken. 6 Hoe vaak gebruikt u didactisch materiaal in de lessen breuken?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Altijd Vaak Soms Nooit 7 Wanneer wordt er didactisch materiaal gebruikt in de lessen breuken? (Meerdere antwoorden zijn mogelijk.)

Je kan meer dan 1 antwoord aangeven Bij aanbreng van nieuwe leerstof. Bij het inoefenen van de leerstof. Als een leerling iets niet begrijpt. Als er een toepassing gevraagd wordt. Andere : 8 Op welk moment in de les wordt het didactisch materiaal aangewend?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Aan het begin van de les. In het midden van de les. Om de les af te sluiten. Anders, namelijk : 9 Welk materiaal voor de lessen breuken wordt door de handleiding aangeboden?

Je kan meer dan 1 antwoord aangeven Breukencirkels

Computersoftware rond breuken

Vierkante vormen

Andere :

Breukenstroken

……………………………………………………………

Breukendriehoeken Breukentoren Breukenkaart Breukendomino Lineaire breukenset Breukenkwartet Breukenspel


DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN 10 Bent u tevreden over het materiaal dat aangeboden wordt door de handleiding?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Ja Nee 11 Indien nee geantwoord, waarom bent u niet tevreden?

Voer in onderstaand vak het antwoord op de vraag in …………………………………………………………………………………………………………… 12 Gebruikt u soms zelfgemaakt materiaal in de lessen breuken?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Ja Nee 13 Gebruikt u materialen die afzonderlijk werden aangekocht?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Ja Nee 14 Zo ja, welke?

…………………………………………………………………………………………………………… 15 Werkt het gebruik van materiaal motiverend voor de leerlingen?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Ja Nee 16 Hoe merkt u dit?

…………………………………………………………………………………………………………… 17 Welk materiaal gebruiken de leerlingen in uw klas om te werken rond breuken?

…………………………………………………………………………………………………………… 18 Welk materiaal gebruikt u in de klas om breuken te verduidelijken?

……………………………………………………………………………………………………………


DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN 19 Hoe gebruikt u het materiaal het vaakst?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Klassikaal In kleine groepjes Elk kind individueel

20 Toont u aan de leerlingen hoe ze met het materiaal te werk moeten gaan?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Ja Nee 21 Gebruikt u het didactisch materiaal om te differentiëren in de lessen breuken?

Geef het antwoord aan dat (het meest) op je van toepassing is Ja Nee Naam:

…………………………………………………………………………………………………………… E-mail

…………………………………………………………………………………………………………… Wat is de naam en gemeente van de school waar u momenteel lesgeeft?

…………………………………………………………………………………………………………… Hebt u nog algemene opmerkingen?

……………………………………………………………………………………………………………


BIJLAGE 2: LEIDRAAD INTERVIEWS LEERKRACHTEN INTERVIEW : DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN

ACHTERGRONDINFORMATIE : Datum interview:………………………………………………………………………………………………………………… Naam leerkracht:………………………………………………………………………………………………………………… Leeftijd:…………………………………………………………………………………………………………………………… …

Hoe lang geeft u al les in het lager onderwijs? :…………………………………………………………………. In welk leerjaar geeft u momenteel les? ……………………………………………………………………………………………………………… Hoe lang geeft u reeds les in dit leerjaar? ……………………………………………………………………………………………………………… Heeft u al in andere leerjaren les gegeven? Zoja, welke en hoe lang? ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Welke wiskundemethode gebruikt u? …………………………………………………………………………………………………………………


1. Wat is voor jou in het algemeen belangrijk bij de keuze van materiaal dat gebruikt wordt tijdens de lessen rond breuken? 2. Wanneer in een breukenles maak je gebruik van didactisch materiaal? 3. Welk didactisch materiaal gebruik je tijdens de lessen breuken? Kun je dit beschrijven? 4. Waarom en wanneer gebruik je specifiek dit materiaal? 5. Welk materiaal gebruik je bewust niet tijdens de lessen breuken? Waarom? 6. Wordt materiaal anders gebruikt aan het begin van een leergang, een toepassing, …? Op welke manier? 7. Met welke bedoeling gebruik je didactisch materiaal in de lessen breuken? 8. Waar haal je het materiaal dat je gebruikt tijdens de lessen breuken? a. Methode b. Andere methode c. Zelf gekocht/gemaakt d. ICT: computerprogramma’s, internet,… e. Andere 9. Gebruik je het materiaal dat in de methode voorzien wordt voor lessen rond breuken? a. Nee, hoe wijk je ervan af? b. Ja, hanteer je het materiaal volledig zoals de handleiding voorschrijft? i. Nee, hoe wijk je er eventueel vanaf? 10. Ben je tevreden over de lessen breuken die in de handleiding aangeboden worden? Waarom wel/niet? 11. Ben je tevreden over het materiaal dat door de methode wordt aangeboden bij de lessen breuken? Waarom wel/niet? 12. Heb je zelf al materiaal gemaakt voor de lessen breuken? Welk materiaal? 13. Op welke manier merk je dat leerlingen al dan niet voordeel halen uit het gebruik van didactisch materiaal in de breuklessen? 14. Hoe ziet de klasorganisatie eruit als er gewerkt wordt met didactisch materiaal? (lk, ll gebruiken het materiaal, in groepjes, individueel, klassikaal, …) 15. Hoe breng je nieuw didactisch materiaal aan tijdens de lessen breuken? 16. Brengen leerlingen nieuw materiaal aan tijdens de lessen breuken?


DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN BIJLAGE 3: INFORMED CONSENT VOOR INTERVIEWS

INFORMED CONSENT ONDERZOEK : DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN

Mevrouw, mijnheer,

In het kader van mijn masterthesis voer ik onderzoek naar het gebruik van didactisch materiaal tijdens lessen rond breuken. In een eerste fase van het onderzoek werden leerkrachten bevraagd door middel van een vragenlijst. Om dieper op een aantal zaken in te gaan, worden interviews met leerkrachten afgenomen. Elke leerkracht wordt éénmalig geïnterviewd, waarbij de focus gelegd op het gebruik van didactisch materiaal tijdens de lessen rond breuken.

Het interview wordt opgenomen op audio, zodat de gegevens achteraf gemakkelijk verwerkt kunnen worden. Deze gegevens worden enkel gebruikt voor het desbetreffende onderzoek en na het uitvoeren van het onderzoek worden de audio-gegevens gewist.

Tijdens dit onderzoek word ik begeleid door Hendrik Van Steenbrugge, die u steeds kan contacteren op de onderstaande contactgegevens. De eindverantwoordelijkheid van dit onderzoek ligt bij de promotor Prof.Dr. Martin Valcke. Alvast bedankt Vriendelijke groeten Annelies Claeys Tweede master pedagogische wetenschappen-onderwijskunde Universiteit Gent

Hendrik Van Steenbrugge H.Dunantlaan 2 9000 Gent 09.264 86 29


DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN

INFORMED CONSENT ONDERZOEK : DIDACTISCH MATERIAAL IN DE LESSEN BREUKEN

Ik, ondergetekende (naam + voornaam) ………………………………………………………………………………………………………….. werd vooraf duidelijk geïnformeerd over de bedoeling van het onderzoek didactisch materiaal in de lessen breuken en de verwachtingen. Hierbij geef ik toestemming voor de deelname aan het onderzoek. Ik ben leerkracht in de volgende school: ………………………………………………………………………………………………………. Opgemaakt op …………………………………………………….. te ……………………………………………………………………………………

Handtekening:



Kennis en ervaringen van leerkrachten met betrekking tot het didactisch materiaal bij het curriculum breuken van de lagere school

Recommend Documents