KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang

SOLUSI OLIMPIADE SAINS NASIONAL TAHUN 2015

ASTRONOMI RONDE TEORI Waktu: 210 menit

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 2015

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

Pilihan Berganda

No.

Pilihan

1

C

2

B

3

D

4

A

5

A

6

D

7 8

C A

9

C

10 11

B A

12

E

13

C

14

C

15


E

Halaman 1 dari 15

Essay 1. [Supergugus dan Kosmologi] Sebuah gugus galaksi yang menjadi anggota supergugus galaksi berada pada jarak 100 juta tahun cahaya dari pusat supergugus. Gugus galaksi itu diamati meninggalkan supergugus yang berbentuk bola dan bermassa 1 trilyun massa Matahari. a. Hitunglah perbandingan kecepatan gugus akibat pengembangan alam semesta terhadap kecepatan lepas gugus dari kelompoknya! Manakah yang lebih dominan? Berikan penjelasan! b. Berapa besar pergeseran panjang gelombang 550 nm yang berasal dari pusat supergugus dan diamati dari gugus tersebut? c. Berapa kerapatan supergugus agar dapat melawan pengembangan alam semesta dan menahan lepasnya gugus galaksi? Nyatakan dalam satuan g cm−3 ! Solusi: Massa kelompok gugus: M = 1012 M⊙ dengan M⊙ = 2 × 1030 kg

Jarak

d = 108 tahun cahaya × 3 × 107 detik × 3 × 108 = 9 × 1023 m Dalam parsek, jarak menjadi 30,66 Mparsek, Konstanta Hubble: 72 km/detik/Mparsek V = H0 d = 72 km/detik/Mparsek × 30, 66 Mparsek = 2208 km/detik (Nilai 10) Dari v ∆λ = λ c diperoleh 2208 × λ(5500) = 40, 48 300000 40, 48 + 5500 = 5540, 48 Angstrom = 554, 05 nm (Nilai 10) Kecepatan Gugus lepas dari Gravitasi Grup adalah V =

r

2GM = d

r

2 × 2, 667 × 10−11 × 1012 × 1033 = 16, 7 km/detik 9 × 1023

(Nilai 20) Kecepatan pengembangan alam semesta dibagi kecepatan lepas ternyata 132 kali. Medan gravitasi GrupGugus tidak cukup kuat melawan pengembangan alam semesta. Gugus lepas oleh “Pengembangan Alam Semesta” (Nilai 10)


Halaman 2 dari 15

Dengan menyamakan kecepatan pengembangan alam dengan kecepatan lepas diperoleh: H02 d2 =

2G 43 π d3 ρ 2GM = d d

(Nilai 30) Didapat kerapatan gugus: ρ=3

(7, 6 × 10−18 /s)2 H02 =3 = 1, 03 × 10−28 gram/cm3 8π G 8π 6, 67 × 10−8

(Nilai 20)


Halaman 3 dari 15

2. [Eksoplanet] Bintang induk sebuah eksoplanet memperlihatkan paralaks 0,02′′ . Fluks bintang adalah 7 × 10−9 Watt/m2 dengan puncak spektrum pada λmax = 500 nm. a. Untuk bintang ini, berlaku hubungan luminositas dan massa dalam bentuk L ∝ M 3,5 Tentukan massa bintang dalam satuan Matahari! b. Hitung suhu kesetimbangan planet dengan pendekatan 250 Tplanet = √ d dengan d adalah jarak planet-bintang dalam satuan sa. c. Apakah planet tersebut layak huni bagi manusia? Jelaskan! Solusi: a. p = 0, 02′′ Terang semu = 7 × 10−9 Watt/m2

λefektif = 500 nm = 500 × 10−9 m,

Dari d=

1 = 1, 5 × 1018 m p

Terang semu: L = 7 × 10−9 Watt/m2 , 2 4πd diperoleh L = 2 × 1029 Watt (Nilai 10) Dari Hukum Wien, λefektif (m) =

0, 0029 , T (K)

diperoleh T = 5800 K. (Nilai 10) Pakai Hukum Stefan Boltzmann, maka luminositas dan jejari bintang ditentukan dari : L = 4 π R2 σ T 4 , diperoleh jejari bintang R = 1, 6 × 1010 m (Nilai 20) Dalam satuan Matahari:

L = 519 L⊙ R = 23 R⊙


(Nilai 5) (Nilai 5)

Halaman 4 dari 15

b. Dari hubungan massa-luminositas L ≈ M 3,5 diperoleh M ≈ 6 M⊙ (Nilai 10) Jarak planet dari bintang induk di dapat dari Hukum Kepler 3 (nyatakan P dalam tahun) a3 = P 2 M = 0, 00877 tahun × 8 M⊙

a = 0, 41 sa = 0, 41 × 150 juta km = 60 juta km

(Nilai 10) Kecepatan pada t = 77 jam adalah V = 143, 72 cm/detik (Nilai 5), kecepatan adalah kecepatan radial (Nilai 5) 250 = 390 K. Tplanet = √ 0, 41 (Nilai 20) c. Tidak layak huni karena: • untuk bintang bermassa besar ini, jarak planet ke bintang jauh lebih dekat dibanding dengan jarak Bumi-Matahari • temperatur planet terlalu tinggi (dekat ke temperatur didih H2 O)


Halaman 5 dari 15

3. [Wahana Antariksa] Wahana antariksa Dawn mengorbit planet kerdil Ceres pada orbit lingkaran dengan radius 1200 km. Setelah 22 hari survey, Dawn mengubah orbit menjadi elips dengan jarak terdekat beberapa ratus kilometer dan jarak terjauh beberapa ribu kilometer. Berapakah jarak terdekat dan terjauh wahana tersebut dari pusat Ceres? Perhatikan bahwa hal itu dilakukan Dawn dengan cara mengurangi momentum sudut menjadi 60% harga semula dan menjaga energi totalnya tetap saat perubahan orbit berlangsung! Solusi: Dari perubahan momentum sudut L = 0, 6 Lc , didapat m V R = 0, 6 m Vc Rc . Jadi V = 0, 6

V c Rc R

atau V = 0, 6 (Nilai 20)

Rc

p

GM/Rc R

Dari energi total 1 GM m GM m 1 mVc2 − = mV 2 − 2 Rc 2 R (Nilai 20)

V2 = 0, 36Vc2

Rc2 R2

=

2GM 2GM 2GM 2GM + Vc2 − = + Vc2 − 2Vc2 = − Vc2 R Rc R R 2GM − Vc2 R

dengan GM = Vc2 Rc Vc2

Rc2 Rc 0, 36 2 + 1 = 2Vc2 , R R

didapat 0, 36

R2 − 2Rc R + 0, 36Rc2 = 0

(Nilai 20) R= (Nilai 20)

Rc2 Rc +1−2 =0 R2 R

i p 1h 1p 2Rc ± (4Rc2 − 1, 44Rc2 ) = (1 ± 2, 56)Rc = (1 ± 0, 8)Rc 2 2

Jadi jarak maksimum R = 1, 8Rc = 2160 km dan jarak minimum R = 0, 2Rc = 240 km (Nilai 20)


Halaman 6 dari 15

4. [Materi Antar Bintang] Diketahui sebuah bintang dalam catalog BMSS (Bosscha M Star Survey) No 8-24 (IRAS 17154-3407) pada posisi koordinat bujur dan lintang galaksi masing-masing

l = 352◦,48 b = 1◦, 92. Diketahui pula spektrum bintang adalah M6.5 (late M star, bintang kelas spektrum M tipe akhir). Hasil pengamatan magnitudo inframerah-dekat dan warna bintang menunjukkan

I = 7,8 (R − I) = 3,3. Diketahui bintang M6.5 mempunyai warna intrinsik, magnitudo semu pada panjang gelombang 12 µm (m12 ), dan warna inframerah (m12 −m25 ) (dengan m25 adalah magnitudo semu pada panjang gelombang 25 µm) masing-masing sebesar

(R − I)0 = 1,6

m12 = 1,4

m12 − m25 = 0,87. Pelemahan (ekstingsi) di arah tersebut adalah AV ≈ 1,5 − 2,0 mag/kpc. Telaah menunjukkan informasi tersebut berlaku hingga jarak 4 kpc. Hukum pemerahan umum dianggap

R = 3,55 AV , R = EB−V EV −I = 1,5 EB−V , dan EV −R = 0,8 EB−V . dengan EB−V , EV −I , dan EV −R masing-masing adalah ekses warna dalam B − V , V − I, dan V − R.

Dari hasil telaah bintang-bintang inframerah diperoleh 3 (tiga) hubungan magnitudo mutlak dalam 12 µm:

[1] : M12 = −8,458 − 2,219 (m12 − m25 ),

[2] : M12 = −8,846 − 2,619 (m12 − m25 ), dan [3] : M12 = −8,895 − 3,075 (m12 − m25 ).

a. Bila pelemahan pada panjang gelombang 12 µm dan 25 µm diabaikan, hitung jarak rata-rata bintang dengan menggunakan informasi inframerah! b. Nyatakan AI , AR , dan AV sebagai fungsi dari ER−I ! c. Hitung EB−V dan ER−I !


Halaman 7 dari 15

Solusi: Point penilaian [dalam skala 100]: Step 1 [25 point]: Jarak secara umum dapat ditentukan dengan rumus: m − M = −5 + 5 log d(pc) + A

m = magnitudo semu, M = magnitudo absolute, d = jarak (parsek), dan A = pelemahan dalam skala magnitudo. m12 − M12 = −5 + 5 log d(pc) + A

m12 = magnitudo semu pada panjang gelombang 12 mikron, M12 = magnitudo absolut pada panjang gelombang 12 mikron, d = jarak (parsek), dan A = pelemahan dalam skala magnitudo pada panjang gelombang 12 mikron. Bila pelemahan dianggap bisa diabaikan maka A = 0. Diketahui m12 = 1.40 dan m12 − m25 = 0.87; maka kemungkinan: M12 = −8.458 − 2.219(m12 − m25 )

M12 = −10.39

d = 2.28 kpc

atau

M12 = −8.846 − 2.619(m12 − m25 )

M12 = −11.12

d = 3.20 kpc

atau

M12 = −8.895 − 3.075(m12 − m25 )

M12 = −11.57

d = 3.93 kpc

Step 2 [30 point]: Diketahui

E(V − I) = 1.5 E(B − V ) dan AV 3.55 = atau E(B − V ) AV = 3.55 E(B − V ) maka

AV − AI

= 1.5 E(B − V ) atau

3.55 E(B − V ) − AI = 1.5 E(B − V ) atau AI

AI


= 2.05 E(B − V ) atau AV = 0.58 AV = 2.05 3.55 Halaman 8 dari 15

Diketahui E(V − R) = 0.80 E(B − V ) dan AV atau 3.55 = E(B − V ) AV = 3.55 E(B − V ) maka AV − AR = 0.80 E(B − V ) atau

3.55 E(B − V ) − AR = 0.80 E(B − V ) atau AR = 2.75 E(B − V ) atau AV AR = 2.75 = 0.77 AV 3.55

Maka E(R − I) = AR − AI = 2.75 E(B − V ) − 2.05 E(B − V ) = 0.70 E(B − V ) dan E(R − I) = 2.93 E(R − I) atau AI = 2.05 E(B − V ) = 2.05 0.70 AI = 2.93 E(R − I) dan AI

= 0.58 AV

maka AV

= 5.05 E(R − I) dan

AR = 0.77 AV maka

AR = 3.89 E(R − I) Step 3 [30 point]: E(R − I) = (R − I) − (R − I)0 = 3.3 − 1.6 = 1.7 dan AI

= 2.93 E(R − I) = 2.93 × 1.7 = 4.981

maka

AV AR

4.981 AI = = 8.59 dan 0.58 0.58 = 3.89 E(R − I) = 6.61

=

Step 4 [15 point]:

E(B − V ) = E(B − V ) =


AV R 8.59 = 2.42 3.55

Halaman 9 dari 15

5. [Fisika Bintang] Pada reaksi nuklir proton-proton di dalam suatu bintang seukuran Matahari, energi yang dihasilkan per gram per detik adalah sebesar 6 2/3 10 eA Epp = 2, 5 × 106 ρ X 2 T " 6 1/3 # 10 A = −33, 8 T dengan ρ = rapat massa pusat bintang X = fraksi massa hidrogen = massa hidrogen dalam 1 gram materi T

= temperatur pusat bintang

Untuk bintang tersebut, diketahui ρ = 55 g cm−3 X = 0,88 T

= 107 K

dan reaksi nuklir berlangsung hingga sejauh 0,2 R dari pusat bintang. Radiasi keluar secara seragam ke semua arah. Dengan mengabaikan faktor serapan dan emisi, tentukanlah temperatur permukaan bintang tersebut! Solusi:

A = Epp

"

−33, 8

106 107

1/3 #

= −15, 688570258

106 = 2, 5 × 10 × 55 × (0, 88) × 107 = 3, 533 erg/g/detik [20 poin] 6

2

2/3

e(−15,688570258)

4 L = Epp × π (0, 2 R)3 ρ [40 poin] 3 4 = 4π R2 σ Teff [10 poin]

4 Teff =

= = = Teff = ≈


L 4π R2 σ Epp × 34 π (0, 2 R)3 ρ 4π R2 σ Epp × (0, 2)3 R ρ 3σ 8 R ρ Epp [20 poin] r3000 σ 4 8 R ρ Epp 3000 σ 5020 K [10 poin]

Halaman 10 dari 15

6. [Tata Surya] Sebuah planet ekstrasolar beralbedo 0,06, berada diantara dua bintang yang memberikan tarikan gravitasi sama kuatnya. Bintang pertama sama seperti Matahari dan berjarak seperti jarak Bumi-Matahari, sedangkan bintang kedua massanya 3 kali bintang pertama. Bintang pertama dan kedua merupakan bintang deret utama. Jika fluks yang diserap planet sama dengan yang diemisikannya, berapakah temperatur permukaan planet ekstrasolar tersebut? Gunakan pendekatan dengan mengabaikan interaksi antar bintang. Solusi: Pengaruh gravitasi sama kuat:

F1 = F2 GM2 mp GM1 mp = 2 r1 r22 M1 r22 = M2 r12 1 2 r12 = r2 3 r 1 r1 = r2 3 Dari hubungan massa-luminositas: L2 ≃ 33.5 L1 Kesetimbangan fluks di planet:

Eout = Ein L2 L1 + (1 − a) 4πr12 4πr22 1 L1 L2 1 = (1 − 0.06) + (1 − 0.06) 2 σ σ 4πr1 4πr22 = 784K

σT 4 = (1 − a) T4 T


Halaman 11 dari 15

7. [Gravitasi] Seorang astronot yang mengikuti misi ke Planet Mars memiliki hobi bermain bola. Dia berharap bisa melanjutkan hobinya ketika tinggal di Mars. Dia menyadari bahwa kondisi di Mars berbeda dengan di Bumi. Di Bumi, dia menendang bola bermassa 500 g dengan laju awal 25 m/s pada sudut 45◦ . Dengan energi yang biasa dikerahkan saat bermain bola di Bumi, apakah bola akan lepas dari gravitasi Mars? Hitunglah rasio kecepatannya! Agar dapat bermain bola di Mars dengan nyaman, dia memodifikasi massa bola sehingga bola melambung dengan ketinggian yang sama seperti di Bumi. Berapakah massa bola tersebut setelah diubah? Solusi: Kecepatan lepas p p Ve = 2GM/r = 2 ∗ 6.67 ∗ 10−11 ∗ 0.107 ∗ 5.97 ∗ 1024 /(0.532 ∗ 6378000)

Ve = 5011 m/s

Tidak. Bola tidak lepas dari Mars karena dibutuhkan kecepatan yang jauh lebih besar. Rasio kecepatannya 25/5011 = 0.004 Untuk mengubah massa dengan mengetahui ketinggian saat menendang, gunakan persamaan gerak peluru. Ketinggian bola di Bumi dan di Mars (gravitasi di Mars 0.376 g):

hBumi = hMars v0m (sin α)2 v0b (sin α)2 = gBumi gMars 2 2 v0m = 0.376 v0b v0m = 15.32 m/s Momentum saat menendang sama: mb v0b = mm v0m Massa bola yang dimodifikasi: mm = mb


v0b ≃ 0.815 kg v0m

Halaman 12 dari 15

8. [Pemetaan Materi Gelap] Sebagaimana diberitakan dalam majalah Nature bulan April 2015, sebuah tim telah berhasil memetakan distribusi materi gelap (dark matter ) di sebagian belahan langit selatan. Menggunakan teleskop Victor M. Blanco yang dilengkapi kamera dengan resolusi 24000×24000 pixel2 , mereka mampu memetakan area seluas 700 kali piringan Matahari. Berapakah resolusi sudut yang dihasilkan? Nyatakan dalam detik busur per pixel! Solusi: Luas piringan Matahari: 2 πδ⊙ 4 π(30 · 60)2 = 4 = 2,5447 × 106 arcsec2

A =

Resolusi kamera:

r

700 × A 24000 × 24000 p = 3,0925 = 1,758563867 arcsec/pixel

α =

Poin penilaian: • Proses perhitungan 50%. • Hasil perhitungan 50%


Halaman 13 dari 15

Daftar Konstanta dan Data Astronomi

Nama konstanta

Simbol

Harga 2,99792458 × 108 m/s

Kecepatan cahaya

c

Konstanta gravitasi

G

6,673 × 10−11 m3 /kg/s2

Konstanta Planck

h

6,6261 × 10−34 J s

Konstanta Boltzmann

k

1,3807 × 10−23 J/K

Konstanta kerapatan radiasi

a

Konstanta Stefan-Boltzmann

σ

5,6705 × 10−8 W/m2 /K4

Muatan elektron

e

1,6022 × 10−19 C

Massa elektron

me

9,1094 × 10−31 kg

Massa proton

mp

1,6726 × 10−27 kg

Massa neutron

mn

Massa atom 1 H1

1,6749 × 10−27 kg

mH

Massa atom 2 He4

1,6735 × 10−27 kg

mHe

6,6465 × 10−27 kg

Massa inti 2 He4 Konstanta gas


7,5659 × 10−16 J/m3 /K4

6,6430 × 10−27 kg R

8,3145 J/K/mol

Halaman 14 dari 15

Nama besaran

Notasi

Harga

Satuan astronomi

sa

1,49597870 × 1011 m

Parsek

pc

Tahun cahaya

ly

3,0857 × 1016 m 0,9461 × 1016 m

Tahun sideris

365,2564 hari

Tahun tropik

365,2422 hari

Tahun Gregorian

365,2425 hari

Tahun Julian

365,2500 hari

Periode sinodis Bulan (synodic month)

29,5306 hari

Periode sideris Bulan (sidereal month) Hari Matahari rerata (mean solar day )

27,3217 hari 24j 3m 56d,56

Hari sideris rerata (mean sidereal day )

23j 56m 4d,09

Massa Matahari

M⊙

Jejari Matahari

R⊙

Temperatur efektif Matahari

Teff,⊙ L⊙

Luminositas Matahari Magnitudo semu visual Matahari

1,989 × 1030 kg 6,96 × 108 m 5785 K 3,9 × 1026 W

V

Indeks warna Matahari

−26,78

B−V

0,62

U −B

0,10

Magnitudo mutlak visual Matahari

MV

4,79

Magnitudo mutlak biru Matahari

MB

5,48

Magnitudo mutlak bolometrik Matahari Massa Bulan

Mbol M%

Jejari Bulan

R%

Jarak rerata Bumi–Bulan

4,72 7,348 ×

1738000 m

H0

69,3 km/s/Mpc

Jejari

Merkurius Venus Bumi Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus

Massa

ekuatorial

(kg)

(km)

3,30 × 1023 4,87 × 1024

5,97 × 1024 6,42 × 1023

ke Matahari (103 km) 57910

6052

243,019 hari 23j 56m 4d,1

244,7018

108200

365,2500

149600

24j 37m 22d,6 9j 55m 30d

686,9257

227940

4330,5866

778330

10746,9334

1429400

30588,5918

2870990

59799,8258

4504300

6378 3397

60268


Psideris (hari) 87,9522

5,69 × 1026 1,03 × 1026

Protasi 58,646 hari

71492

8,66 × 1025

Jarak rerata

2440

1027

1,90 ×

kg

384399000 m

Konstanta Hubble

Objek

1022

25559 24764

10j 39m 22d 17j 14m 24d 16j 6m 36d

Halaman 15 dari 15

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Recommend Documents